数值分析与计算方法的基本原理
数值分析方法
数值分析方法数值分析方法是一种通过数学模型和计算方法来解决实际问题的技术。
它在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
数值分析方法的核心在于将连续的数学问题转化为离散的计算问题，通过数值计算来逼近解析解，从而得到问题的近似解。
本文将介绍数值分析方法的基本原理、常用技术和应用领域。
数值分析方法的基本原理是利用数值计算来逼近解析解。
在实际问题中，很多数学模型很难或者无法得到精确的解析解，这时就需要借助数值分析方法来求解。
数值分析方法的基本步骤包括建立数学模型、离散化、选择适当的数值计算方法、计算近似解并进行误差分析。
其中，离散化是数值分析方法的核心，它将连续的数学问题转化为离散的计算问题，从而使得问题可以通过计算机进行求解。
常用的数值分析方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等。
插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
数值积分是一种通过数值计算来逼近定积分的方法，常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。
常微分方程数值解和偏微分方程数值解是解决微分方程数值解的常用方法，常用的数值解方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
数值分析方法在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
在科学计算中，数值分析方法常用于模拟物理现象、计算数学模型等。
在工程设计中，数值分析方法常用于求解结构力学、流体力学等问题。
在经济分析中，数值分析方法常用于求解经济模型、金融衍生品定价等问题。
总之，数值分析方法已经成为现代科学技术和工程技术中不可或缺的一部分。
综上所述，数值分析方法是一种通过数学模型和计算方法来解决实际问题的技术。
它的基本原理是利用数值计算来逼近解析解，常用的方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等。
数值分析方法在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解数值分析方法的基本原理和应用价值。
《数值分析》课程教案
《数值分析》课程教案数值分析课程教案一、课程介绍本课程旨在介绍数值分析的基本概念、方法和技巧，以及其在科学计算和工程应用中的实际应用。
通过本课程的研究，学生将了解和掌握数值分析的基本原理和技术，以及解决实际问题的实用方法。
二、教学目标- 了解数值分析的基本概念和发展历程- 掌握数值计算的基本方法和技巧- 理解数值算法的稳定性和收敛性- 能够利用数值分析方法解决实际问题三、教学内容1. 数值计算的基本概念和方法- 数值计算的历史和发展- 数值计算的误差与精度- 数值计算的舍入误差与截断误差- 数值计算的有效数字和有效位数2. 插值与逼近- 插值多项式和插值方法- 最小二乘逼近和曲线拟合3. 数值微积分- 数值积分的基本原理和方法- 数值求解常微分方程的方法4. 线性方程组的数值解法- 直接解法和迭代解法- 线性方程组的稳定性和收敛性5. 非线性方程的数值解法- 迭代法和牛顿法- 非线性方程的稳定性和收敛性6. 数值特征值问题- 特征值和特征向量的基本概念- 幂迭代法和QR方法7. 数值积分与数值微分- 数值积分的基本原理和方法- 数值微分的基本原理和方法四、教学方法1. 理论讲授：通过课堂授课，讲解数值分析的基本概念、原理和方法。
2. 上机实践：通过实际的数值计算和编程实践，巩固和应用所学的数值分析知识。
3. 课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，加深对数值分析问题的理解和思考能力。
五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与和作业完成情况。
2. 期中考试：对学生对于数值分析概念、原理和方法的理解程度进行考查。
3. 期末项目：要求学生通过上机实验和编程实践，解决一个实际问题，并进行分析和报告。
六、参考教材1. 《数值分析》（第三版），贾岩. 高等教育出版社，2020年。
2. 《数值计算方法》，李刚. 清华大学出版社，2018年。
以上是《数值分析》课程教案的概要内容。
通过本课程的研究，学生将能够掌握数值分析的基本原理和技术，并应用于实际问题的解决中。
数值计算方法及其在工程中的应用
数值计算方法及其在工程中的应用数值计算是以计算机为工具，通过数值分析、计算和模拟等手段，对实际问题进行数值模拟和解析的一种方法。
它在科学计算、工程技术和经济管理等领域都有广泛的应用。
本文将从数值计算方法的基本原理、常见方法及其在工程中的应用等方面进行探讨。
一、数值计算方法的基本原理1.数学模型数学模型是研究问题的基础。
它在数值计算中的作用，就相当于实验中的试验模型。
数学模型的形式很多，例如微分方程、积分方程、概率模型等等。
这些模型中的各个参量和变量都需要通过实际测量或计算得到。
2.离散化在数值计算过程中，数学模型需要离散化，将其转化为有限个变量的函数。
这样才能实现数值计算的可行性。
离散化一般是将问题分成若干个小部分，每个小部分单独处理，并用数值计算方法连接起来。
3.差分格式差分格式是数值计算的核心内容之一。
它是一种将微分方程转化为差分方程的方法。
在差分格式中，一般使用有限差分法，通过对问题进行离散，用有限差分法求得差分方程的解，然后通过插值等一系列方法将其还原为原问题的解。
4.误差分析误差分析是数值计算过程中必不可少的一部分。
由于数值计算不能完全精确，因此需要对数值结果的误差进行分析。
误差分为截断误差、舍入误差、稳定性误差等等。
误差分析不仅能够评估计算精确度，还能够指导计算过程的优化。
二、数值计算方法的常见方法1. 数值积分数值积分是数值计算的基本内容之一。
它的主要目的是从一定的数据集中寻找积分值。
数值积分算法常见的有梯形公式、辛普森公式、高斯公式等。
数值积分广泛应用于工程领域，特别是在机械工程、电力工程和天文学上，能够帮助工程师更好地处理与积分有关的问题。
2. 数值微分数值微分是利用离散化的方法，对微分算子逼近的一种方法。
数值微分算法常见的有欧拉法、龙格 -库塔法等。
数值微分主要在数值模拟和优化处理方面发挥作用，例如在工程领域应用中，可以帮助工程师根据实际数据得出微分值，以评估机器设备的效果。
科学计算和数值分析
科学计算和数值分析科学计算和数值分析是现代科学研究和工程技术领域中的重要工具和方法。
它们通过数学模型和计算机算法来解决实际问题，对于深入理解和解决复杂的科学与工程问题起着重要的作用。
本文将介绍科学计算和数值分析的基本概念、应用领域以及其在实践中的重要性。
一、科学计算的基本概念科学计算是利用数字计算机和数值计算方法进行科学研究和工程设计的过程。
它主要涉及到数值计算、数据处理和模拟实验等方面。
科学计算的基本步骤包括建立数学模型、选择合适的数值计算方法、编写计算程序、进行计算和分析结果等。
科学计算的关键在于利用计算机的高速运算能力和大容量存储能力，对复杂的数学模型进行求解和模拟。
二、数值分析的基本原理数值分析是研究利用数值计算方法对数学问题进行近似计算和求解的学科。
它主要关注数学模型的数值解，通过使用数值方法将连续问题转化为离散问题，然后通过逼近和插值等方法得到数值解。
数值分析的基本原理包括数值逼近、插值与外推、数值积分、常微分方程数值解等，这些原理和方法在科学计算中起着重要的作用。
三、科学计算和数值分析的应用领域科学计算和数值分析广泛应用于各个领域，如物理学、化学、生物学、工程学等。
在物理学领域，科学计算和数值分析可以用于模拟天体力学、高能物理实验等；在化学领域，科学计算和数值分析可以用于分子结构计算、反应动力学模拟等；在生物学领域，科学计算和数值分析可以用于基因序列分析、蛋白质折叠模拟等。
此外，科学计算和数值分析还广泛应用于材料科学、金融学、环境科学等领域。
四、科学计算和数值分析在实践中的重要性科学计算和数值分析在实践中具有重要的作用。
首先，科学计算和数值分析可以帮助研究人员更深入地理解科学问题和工程现象，提供定量预测和验证实验结果的方法，推动科学研究的进展。
其次，科学计算和数值分析可以帮助工程技术人员进行工程设计和优化，加快产品开发周期，降低成本，提高质量和可靠性。
此外，科学计算和数值分析还对决策制定具有重要影响，可以为政策制定者提供科学依据和决策支持。
数值计算与算法分析
1 xn dx 0 x5
。
解：由于 yn+5yn-1=1/n，可得到计算yn的一些递推公式
记真实值与近似值的误差为
~ y ~ n yn n
和
n y n y n
相应的误差传播规律为：
~ (5)~ (5)n ~ n n1 0
下面考虑，
不同的块扫描次序和方体计算次序对整个数据立方体
的计算效率的影响。 下表是各平面相关块大下的数据
方体 项目 整块大小 AB AC BC A B C
16 000
160 000
1 600 000
40
400
4000
子块大小
1 000
10 000
100 000
10
100
1000
数值计算一般原理
下面的讨论，我们都假定扫描次序为1到64。
其中c1，c2不依赖于h，若用步长h’=2h计算，则
用(3)-4x(2)得到
T(2h)-I=4[T(h)-I]+O(h4) 忽略O(h4)得到新的数值计算公式：
I≈T(h)+[T(h)-T(2h)]/3
(4)式具有更高的计算精度。
（4）
数值计算一般原理
数值计算中的精确度分析
误差来源与分类
模型误差
数值计算一般原理
算法分类
串行算法：
只有一个进程，适用于串行计算机；
并行算法：
两个或两个以上进程的算法，适用于并行计算机。
数值计算一般原理
算法好坏的判断
一个面向计算机，计算复杂性好，又有可靠理论分析的
算法就是一个好算法。
计算复杂性：包含时间复杂性和空间复杂性两个方面，
应用文-海洋平台系泊数值分析基本理论及计算方法
海洋平台系泊数值分析基本理论及计算方法'海洋平台系泊数值分析基本理论及计算方法通常认为，船舶码头系泊的主要因素可以看作以下几个部分：码头、护舷、系泊缆、系泊结构物（船舶或者平台）、载荷。
以上几个因素相互影响，相互作用，最终决定系泊的结果。
当前系泊状态主要受到风、浪、流三种载荷，按照静力计算方式或者采用公式可以对风、流载荷进行估算和确定，但是波浪力比较特殊，是其中唯一的动载荷，码头系泊的动态船舶运动特性可以看作波浪与结构物的相互作用。
波浪力在早期的研究中往往简化为平均波浪力或者等效波浪力，在考虑风载荷和流载荷的叠加后，大多采用静态、准静态方法进行实际的缆绳受力、护舷受力计算，并没有考虑到波浪的动态属性。
系泊缆绳的张力计算需要遵循一定的计算准则，在上个世纪80年代左右，chemjawski、Michaell就已经提出了一种解析方法来求解计算船舶系泊缆张力。
求解的方法有以下几个重要步骤：1）通过计算确定设定的方向船舶承受的风、流和等效静波浪力；2）计算求得由船舶横摇、纵摇、垂荡运动引发的垂直方向静回复力；3）用系泊揽本身属性如长度、横截面积、方向角度、弹性模量（非线性）等属性作为基础计算求出系泊缆绳的刚度矩阵；4）最后一步，求出整个系泊系统的总的刚度矩阵，采取提高载荷大小的方式进行迭代计算从而求得每个缆绳的张力值。
2 三维势流理论在早期的码头系泊计算时往往采用静力或者准静力的计算方法，后来理论，计算方式大多采用频域或者时域分析方法。
静力或准静力分析方法仅适用与水域状况较好、系泊船舶等运动不大的情况，由此得出系泊缆绳、护舷受力和系泊物体的运动。
时域方法结合三维势流理论、脉冲响应原理、缆绳护舷的非线性很好的解决了各种情况下系泊物体的码头系泊问题。
为了适应实际工程问题，三维势流理论针对流体的性质进行了相应的简化，假设流体为无粘性、无旋、均匀的且不可压缩的理想流体。
之所以这样简化是因为：l）波浪的波幅和系泊浮体相比量级很小，绕射作用明显大于粘性影响，所以忽略粘性；2）对于理想流体而言，初始运动无旋，之后任意时刻运动均无旋，无旋假定合理；3）流体本身的密度几乎不发生变化，水密度假设为均匀和不可压缩也是合理的。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是数学与计算机科学交叉的一个重要领域，用来研究数学上的问题通过计算机进行有效的数值近似和解答。
它的应用范围广泛，包括物理学、工程学、金融学等各个领域。
在实际应用中，数值分析不仅能解决复杂的数学问题，还能帮助人们做出科学决策和优化设计。
本文将对数值分析的基本原理、常用方法和应用案例进行总结。
首先，数值分析的基本原理是通过近似计算的方式，以数值方法对数学问题进行求解。
它的核心思想是将连续的数学问题转化为离散的数值计算问题，通过将问题划分为多个离散的子问题来进行求解。
常用的数值分析方法包括差分法、插值法、数值积分等。
差分法是将连续函数在一系列有限的点上进行逼近的方法。
通过计算函数在这些离散点上的差分值，来近似计算连续函数的导数或微分方程的解。
差分法广泛应用于数值微分、数值积分和常微分方程的数值解法等问题中。
插值法是利用已知数据点构造一个连续函数，通过对这个函数进行求值来近似计算其他位置的数值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法和牛顿插值法。
插值法在数值逼近、数据拟合和信号处理等领域有重要应用。
数值积分是通过对函数在一段有限区间上进行近似计算来求取积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和高斯积分法。
数值积分在物理学、统计学和金融学等领域有广泛应用。
除了上述方法，数值分析还包括线性方程组求解、非线性方程求解和最优化等问题的数值解法。
线性方程组求解是在给定线性方程组的系数矩阵和常数向量的情况下，通过计算求解未知变量的数值解。
非线性方程求解是通过数值迭代法求解一个非线性方程的数值解。
最优化是寻找一个函数的最优解的问题，通过数值方法进行求解。
数值分析在实际应用中有许多成功的案例。
例如，在工程设计中，利用数值分析可以进行电路仿真、结构分析和流体力学模拟等，帮助工程师优化设计和验证方案。
在金融学中，数值分析可以用来计算期权定价、风险管理和投资组合优化等，对金融机构和投资者做出科学决策。
数值分析基础
数值分析基础数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算的学科，它涉及到数学、计算机科学和工程学等多个领域。
数值分析基础是数值计算领域最基本的理论和方法，为实现高精度、高效率的数值计算提供了重要的基础。
一、数值分析的概念数值分析是通过数值方法解决数学问题的过程。
它的基本思想是将连续的数学问题转化为离散的数值问题，并利用计算机进行求解。
数值分析的应用范围非常广泛，包括线性代数方程组的求解、非线性方程求根、插值与逼近、数值微积分、常微分方程的初值问题和边值问题的数值解等。
二、数值计算的误差分析在数值分析中，误差分析是非常重要的一环。
数值计算过程中产生的误差可以分为截断误差和舍入误差。
截断误差是由于在离散化和近似计算中引入的近似误差，而舍入误差是由于计算机在表示实数时的有限精度引起的。
准确估计和控制误差是数值计算的核心问题之一。
三、常用的数值计算方法1. 插值与逼近方法：插值是在给定一组数据点的情况下，通过构造一个函数来近似这组数据点之间未知函数值的方法。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
逼近是通过在给定函数空间中寻找一个尽可能接近原函数的近似函数的方法，常见的逼近方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。
2. 数值积分方法：数值积分是计算定积分的近似值的方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和复合求积法。
3. 数值微分方法：数值微分是通过差商逼近导数的计算方法。
常见的数值微分方法有中心差商、前向差商和后向差商。
4. 数值求解线性方程组的方法：线性方程组求解是数值计算中的一个重要问题。
常用的求解方法有直接法和迭代法。
5. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法是通过数值方法求解微分方程的方法。
常用的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法和变步长方法等。
四、数值计算的应用领域数值分析在各个学科领域都有广泛的应用。
在物理学中，数值分析被用于求解天体运动、弹道问题等。
在工程学中，数值分析被用于优化设计、结构力学分析等。
数值分析原理课件第一章
第一章 绪 论本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题．§1.1 引 言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1)非线性方程的近似求解方法；(2)线性代数方程组的求解方法；(3)函数的插值近似和数据的拟合近似；(4)积分和微分的近似计算方法；(5)常微分方程初值问题的数值解法；(6)优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关．计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差．我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差． 如的计算是无穷过程，当用作为的 +++=!21!111e !1!21!111n e n ++++= e 近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差．e e n - 当用计算机计算时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到的近似值，也就是n e n e *e 说最终用近似，该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差．*e e 当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差．由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点． 可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性．所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题． 对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算． 在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解．对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性． 收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零．对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法． 如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求n 次多项式值0111a x a x a x a n n nn ++++-- 的如下快速算法；n a s =； k n a t -=t sx s +=),,2,1(n k =它通过n 次乘法和n 次加法就计算出了任意n 次多项式的值． 再如幂函数可以通过如下64x 快速算法计算出其值；x s =；循环6次s s s ⋅=如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果．算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度(计算机运行程序所需时间的度量)、空间复杂度(程序、数据对存储空间需求的度量)和逻辑复杂度(关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性)． 事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法． 也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法．§1.2 误差的度量与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字．定义1.1 用作为量的近似，则称为近似值的绝对误差．*x x )(:**x e x x =-*x 由于量x 的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界，即有ε (1.1)ε≤-=x x x e **)(称正数为近似值的绝对误差限，简称误差． 这样得到不等式ε*x εε+≤≤-**x x x 工程中常用ε±=*x x 表示近似值的精度或真值x 所在的范围．*x 误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度． 如量 (1.2)m m cm s μ50001230000005.023.15.0123±=±=±=为此，我们需要引入相对误差定义1.2 用作为量的近似，称为近似值的相对误差． 当0*≠x x )(:**x e xxx r =-*x 是x 的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差*x (1.3)***)(xx x x e r -= 显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化． 如式(1.2)中的量s 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值．同样地，因为量x 的真值未知，我们需要引入近似值的相对误差限，它是相*x )(*x r ε对误差绝对值的较小上界． 结合式(1.1)和(1.3)，相对误差限可通过绝对误差限除以近似*x 值的绝对值得到，即(1.4)***)()(xx x r εε=为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，又能体现其精确程度，需引入有效数字以及有效数的概念．定义1.3 设量的近似值有如下标准形式x *x p n ma a a a x 21*.010⨯±= (1.5)()pm p n m n m m a a a a ----⨯++⨯++⨯+⨯±101010102211 ＝其中且，m 为近似值的量级． 如果使不等式}9,,1,0{}{1 ⊂=pi i a 01≠a (1.6)n m x x -⨯≤-1021*成立的最大整数为n ，则称近似值具有n 位有效数字，它们分别是、、… 和 ． *x 1a 2a n a 特别地，如果有，即最后一位数字也是有效数字，则称是有效数．p n =*x 从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限． 利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数． 对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数． 注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度．例1.1 设量，其近似值，，． 试回答这三个近π=x 141.3*1=x 142.3*2=x 722*3=x 似值分别有几位有效数字，它们是有效数吗？解 这三个近似值的量级，因为有1=m 312*110211021005.000059.0--⨯=⨯=≤=- x x 413*2102110210005.00004.0--⨯=⨯=≤=- x x571428571428.3*3=x 312*310211021005.0001.0--⨯=⨯=≤=- x x 所以和都有3位有效数字，但不是有效数． 具有4位有效数字，是有效数．*1x *3x *2x 二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差． 对于函数有近似值，利用在点处),,,(21n x x x f y =),,,(**2*1*n x x x f y =),,,(**2*1n x x x 的泰勒公式(Taylor Formula)，可以得到 )(),,,()(*1**2*1**i i ni n i x x x x xf y y y e -≈-=∑=(1.7))(),,,(*1**2*1i ni n i x e x x xf ∑== 其中，是的近似值，是的绝对误差． 式(1.7)表明函ii x f f ∂∂=:*i x i x )(*i x e *i x ),,2,1(n i =数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值． 从式(1.7)也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式 (1.8))(),,,()(***1**2*1*i r i ni ni r x e yx x x x f y e ∑=≈对于一元函数，从式(1.7)和(1.8)可得到如下初值误差传播近似计算公式)(x f y = (1.9))()()(***x e x f y e '≈ (1.10))()()(*****x e yx x f y e r r '≈式(1.9)表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值的绝对误差也可能很大．例1.2 试建立函数的绝对误差(限)、相对误差n n x x x x x x f y +++== 2121),,,(的近似传播公式，以及时的相对误差限传播公式．{}ni i x 1*0=> 解 由公式(1.7)和(1.8)可分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下(1.11)∑∑==≈ni i ini nix e x e x x xf y e 1**1**2*1*)()(),,,()(＝ (1.12)∑∑==≈ni i r i i r i ni ni r x e yx x e y x x x x f y e 1******1**2*1*)()(),,,()(＝ 进而有∑∑∑===≤≤≈ni i n i ini ix x e xe y e 1*1*1**)()()()(ε于是有和的绝对误差限近似传播公式 ∑=≈ni ixy 1**)()(εε当时，由式(1.3)推得相对误差限的近似传播公式{}ni i x 1*=>)(max )(max )(max )()()(*11***11***11****1**i r ni ni i ir n i ni i i r n i ni i r i ni ir x yx x yx x x y x yxy εεεεεε≤≤=≤≤=≤≤====≤=≈∑∑∑∑ 例1.3使用足够长且最小刻度为1mm 的尺子，量得某桌面长的近似值3.1304*=a mm ，宽的近似值mm (数据的最后一位均为估计值)． 试求桌子面积近似值的绝8.704*=b 对误差限和相对误差限．解 长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误差限 mm ，mm 5.0)(*=a ε5.0)(*=b ε面积，由式(1.7)得到近似值的绝对误差近似为ab S =***b a S = )()()(*****b e a a e b S e +≈进而有绝对误差限 mm 255.10045.03.13045.08.704)()()(*****=⨯+⨯=+≈b a a b S εεε相对误差限 %11.00011.08.7043.130455.1004)()(***=≈⨯=≈S S S r εε§1.3 数值实验与算法性能比较本节通过几个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项． 算例1.1 表达式，在计算过程中保留7位有效数字，研究对不同)1(1111+=+-x x x x 的x ，两种计算公式的计算精度的差异．说明1：Matlab 软件采用IEEE 规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位． 机器数的相对误差限(机器精度)eps=2－52≈2.220446×10－16，能够表示的数的绝对值在区间(2.2250739×10－308，1.797693×10308)内，该区间内的数能够近似表达，但有舍入误差，能够保留至少15位有效数字． 其原理可参阅参考文献[2, 4]．分析算法1： 和算法2： 的误差时，精确解用双精111)(1+-=x x x y )1(1)(2+=x x x y 度的计算结果代替． 我们选取点集中的点作为x ，比较两种方法误差的差异．301}{=i i π 从图1.1可以看出，当x 不是很大时，两种算法的精度相当，但当x 很大时算法2的精度明显高于算法1． 这是因为，当x 很大时，和是相近数，用算法1进行计算时出x 111+x 现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大． 这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出． 鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减．在图1.2中我们给出了当x 接近时，两种算法的精度比较，其中变量x 依次取为1-． 从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为，因而二者的精度相当．{}3011=--i iπ710-图1.1 算例1.1中两种算法的相对误差图（）+∞→x图1.2 算例1.1中两种算法的精度比较)1(-→x 算例1.2 试用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组⎩⎨⎧=+=+2321200001.02121x x x x 说明2：浮点数系统中的加减法在运算时，首先按较大的阶对齐，其次对尾数实施相应的加减法运算，最后规范化存入计算机．算法1 首先用第一个方程乘以适当的系数加至第二个方程，使得第二个方程的的系1x 数为零，这时可解出；其次将带入第一个方程，进而求得(在第三章中称该方法为高2x 2x 1x 斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法1a 和算法1b ． 算法 2 首先交换两个方程的位置，其次按算法1计算未知数 (第三章中称其为选主元的高斯消元法)． 当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法2a 和算法2b ．方程组的精确解为， ，用不同的算法计算出的...25000187.01=x ...49999874.02=x 结果见表1.1．表1.1 对算例1.2用不同算法的计算结果比较算例1.2*1x )(*1x r ε*2x )(*2x r ε算法1a 0.00000.10×1010.50000.25×10－7算法2a 0.25000.75×10－70.50000.25×10－7算法1b 0.26000000.40×10－10.49999870.10×10－6算法2b0.25000200.50×10－80.50000000.25×10－7对于算例1.2，表中的数据表明，当用4位尾数计算时，算法1给出错误的结果，算法2则给出解很好的近似． 这是因为在实现算法1时，需要给第一个方程乘以加00001.0/2－至第二个方程，从而削去第二个方程中的系数，但在计算的系数时需做如下运算1x 2x(1.13)661610000003.0104.0103.0104.03200001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－对上式用4位尾数进行计算，其结果为． 因为舍入误差，给相对较大的数加以6104.0⨯－相对较小的数时，出现大数“吃掉”小数的现象． 计算右端项时，需做如下运算(1.14)661610000002.0102.0102.0102.02100001.02⨯⨯⨯⨯=+⨯＋＝－＋－－同样出现了大数吃小数现象，其结果为． 这样，得到的变形方程组6102.0⨯－⎩⎨⎧⨯-=⨯-⨯=⨯+⨯62612114102.0104.0101.0102.0101.0x x x 中没有原方程组中第二个方程的信息，因而其解远偏离于原方程组的解． 该算法中之所以出现较大数的原因是因为运算，因而算法设计中尽可能避免用绝对值较大的数00001.0/2－除以绝对值较小的数． 其实当分子的量级远远大于分母的量级时，除法运算还会导致溢出，计算机终止运行．虽从单纯的一步计算来看，大数吃掉小数，只是精度有所损失，但多次的大数吃小数，累计起来可能带来巨大的误差，甚至导致错误． 例如在算法1a 中出现了两次大数吃小数现象，带来严重的后果． 因而尽可能避免大数吃小数的出现在算法设计中也是非常必要的． 当用较多的尾数位数进行计算，舍入误差减小，算法1和2的结果都有所改善，算法1的改进幅度更大些．算例1.3 计算积分有递推公式，已知⎰+=1055dx x x I n ),2,1(511 =-=-n I nI n n ． 采用IEEE 双精度浮点数，分别用如下两种算法计算的近似值．56ln 0=I 30I算法1 取的近似值为，按递推公式计算0I 6793950.18232155*0=I *1*51--=n n I nI *30I 算法2 因为，取的近似值为)139(5156)139(611039103939+⨯=<<=+⨯⎰⎰dx x I dx x 39I ，按递推公式计算3333330.004583332001240121*39≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=I ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-**1151n n I n I *30I 算法1和算法2 的计算结果见表1.2． 误差绝对值的对数图见图1.3．表1.2 算例1.3的计算结果算法1算法2n *nI n n I I -*n *nI nn I I -*18.8392e-002 1.9429e-01639 4.5833e-0033.9959e-0042 5.8039e-0029.8532e-016384.2115e-0037.9919e-0053 4.3139e-002 4.9197e-01537 4.4209e-003 1.5984e-0054 3.4306e-002 2.4605e-01436 4.5212e-003 3.1967e-0065 2.8468e-002 1.2304e-01335 4.6513e-003 6.3935e-0076 2.4325e-002 6.1520e-01334 4.7840e-003 1.2787e-007………33 4.9255e-003 2.5574e-00825 1.1740e+001 1.1734e+00132 5.0755e-003 5.1148e-00926-5.8664e+001 5.8670e+00131 5.2349e-003 1.0230e-00927 2.9336e+002 2.9335e+002 305.4046e-003 2.0459e-01028-1.4667e+003 1.4668e+003 297.3338e+0037.3338e+003 30-3.6669e+004 3.6669e+004图1.3 算例1.3用不同算法计算结果的误差绝对值的对数图从表1.2中的计算结果可以看出，算法1随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地以5的倍数增长，即有0*02*221*1*555I I I I I I I I n n n n n n n -≈≈-≈-≈----- 成立． 对于逐步向前推进的算法，若随着过程的进行，相对误差在不断增长，导致产生不可靠的结果，这种算法称之为数值不稳定的算法． 对于算法1绝对误差按5的幂次增长，但真值的绝对值却在不断变小且小于1，相对误差增长的速度快于5的幂次，导致产生错误的结果，因而算法1数值不稳定，不能使用． 而算法2随着计算过程的推进，绝对误差几乎不断地缩小为上一步的1/5，即有m m n m n n n n n n n I I I I I I I I 5/5/5/*22*21*1*++++++-≈≈-≈-≈- 成立． 绝对误差不断变小，真值的绝对值随着过程向前推进却在变大，这样相对误差也越来越小，这样的方法称之为数值稳定的算法． 算法1和算法2的误差对数示意图见图1.3． 这个算例告诉我们应该选用数值稳定的算法．知识结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧算法设计要点数值方法的稳定性数值方法的收敛性算法多元函数一元函数传播有效数字相对误差（限）绝对误差（限）度量截断误差舍入误差误差的产生误差误差与算法习题一1 已知有效数，，． 试给出各个近似值的绝对误105.3*1-=x 4*210125.0⨯=x 010.0*3=x 差限和相对误差限，并指出它们各有几位有效数字．2 证明当近似值是x 的较好近似时，计算相对误差的计算公式和相差一个*x x x x -***xxx -和同阶的无穷小量．2*⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x x 3 设x 的近似值具有如式(1.5)的表示形式，试证明*x 1)若具有n 位有效数字，则相对误差；*x n r a x e -⨯≤11*1021)(2)若相对误差，则至少具有n 位有效数字．n r a x e -⨯+≤11*10)1(21)(*x 4 试建立二元算术运算的绝对误差限传播近似计算公式．5 试建立如下表达式的相对误差限近似传播公式，并针对第1题中数据，求下列各近似值的相对误差限．1) ； 2) ； 3) *3*2*1*1x x x y +=3*2*2x y =*3*2*3/x x y =6若例题1.3中使用的尺子长度是80mm ，最小刻度为1mm ，量得某桌面长的近似值mm ，宽的近似值mm ． 试估计桌子长度、宽度的绝对误差限，并3.1304*=a 8.704*=b 求用该近似数据计算出的桌子面积的绝对误差限和相对误差限．7 改变如下计算公式，使其计算结果更为精确．1) 且0,cos 1≠-x xx1<<x 2)1,1ln )1ln()1(ln 1>>--++=⎰+N N N N N xdx N N3) 1,133>>-+x x x 8 (数值试验)试通过分析和数值试验两种手段，比较如下三种计算近似值算法的可靠性．1-e 算法1 ；∑=--≈mn nn e 01!)1( 算法2 ；101!1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛≈∑m n n e算法3 ；101)!(1-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈∑m n n m e9 (数值试验)设某应用问题归结为如下递推计算公式 ，，72.280=y 251-=-n n y y,2,1=n 在计算时取为具有5位有效数字的有效数． 试分析近似计算公式的2*c **1*5c y y n n -=-绝对误差传播以及相对误差传播情况，并通过数值实验验证 (准确值可以用IEEE 双精度浮点运算结果代替)，该算法可靠可用吗？。
数值分析方法
数值分析方法数值分析方法是一种应用数学和计算机科学的交叉学科，目的是通过数学模型和计算机技术来解决现实世界问题。
在科学研究、工程设计和商业决策等领域中，数值分析方法被广泛应用，以提供精确、高效的解决方案。
本文将介绍数值分析方法的基本原理、常见应用领域以及未来发展趋势。
一、基本原理数值分析方法的基本原理是将现实世界的问题转化为数学模型，并通过计算机来求解这些数学模型。
数值分析方法主要包括数值逼近、数值积分、数值微分、数值代数方程求解和数值微分方程求解等几个方面。
1. 数值逼近数值逼近是通过有限个已知数据点来拟合一个连续函数。
常见的数值逼近方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、最小二乘法等。
这些方法可以在给定的数据点上构建一个近似函数，从而在未知点上进行预测或估计。
2. 数值积分与数值微分数值积分是通过将连续函数在一定区间上求和或求平均来估计函数的积分值。
常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法等。
而数值微分则是通过数值逼近的方法来估计函数的导数。
这些方法在面对复杂函数或无法进行解析计算的函数时尤为有用。
3. 数值代数方程求解数值代数方程求解是解决线性方程组或非线性方程组的问题。
数值方法如高斯消元法、追赶法、牛顿法等可以迅速求解复杂的代数方程。
4. 数值微分方程求解数值微分方程求解是解决微分方程的数值近似解法。
微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法将微分方程转化为差分方程，并通过迭代逼近的方式求解。
二、应用领域数值分析方法在各个科学和工程领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学和工程学数值分析方法在物理学和工程学中被用于求解复杂的物理现象，如天体力学、流体力学、电磁场等。
利用数值模拟和数值计算，研究人员可以更好地理解现象背后的物理规律，并为设计和优化工程系统提供指导。
2. 金融学和风险管理在金融学和风险管理领域，数值分析方法被广泛应用于投资组合优化、期权估价、风险测度等。
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数值分析与计算方法的基本原理
数值分析与计算方法是一门涉及数学、计算机科学和工程学的学科，主要研究如何利用数值计算的方法解决实际问题。
本文将从数值分析和计算方法的基本原理两个方面进行论述。
一、数值分析的基本原理
数值分析的基本原理是通过数学方法对实际问题进行近似计算，以获得问题的数值解。
它主要涉及数值逼近、数值积分、数值微分和数值代数等方面。
1. 数值逼近
数值逼近是指通过一系列已知的数值来近似表示一个函数或者数值。
其中最常用的方法是插值和拟合。
插值是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些点上与原函数值相等；拟合是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在这些点上与原函数的差别最小。
插值和拟合可以用于曲线拟合、数据预测等问题。
2. 数值积分
数值积分是指通过数值计算的方法对函数的积分进行近似计算。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。
这些方法通过将积分区间划分成若干小区间，在每个小区间上用简单的数值计算方法来估计积分值，然后将这些估计值相加得到近似的积分值。
3. 数值微分
数值微分是指通过数值计算的方法对函数的导数进行近似计算。
常用的数值微分方法有有限差分法和微分拟合法。
有限差分法通过计算函数在某一点的前后差值来估计导数的值；微分拟合法通过在某一点附近构造一个拟合函数，然后计算该函数的导数来估计原函数的导数。
4. 数值代数
数值代数是指通过数值计算的方法解决线性代数方程组、非线性方程和矩阵特
征值等问题。
常用的数值代数方法有高斯消元法、迭代法和特征值分解等。
这些方法通过将复杂的代数问题转化为简单的数值计算问题来求解。
二、计算方法的基本原理
计算方法是指利用计算机进行数值计算的方法，它主要涉及数值计算软件、算
法设计和计算机编程等方面。
1. 数值计算软件
数值计算软件是指专门用于进行数值计算的软件工具，如MATLAB、Python
的NumPy库和SciPy库等。
这些软件提供了丰富的数学函数和数值计算工具，方
便用户进行各种数值计算操作。
2. 算法设计
算法设计是指根据具体的数值计算问题，设计出一种高效、准确的计算方法。
算法的设计需要考虑问题的特点和数值计算的要求，以便获得尽可能好的计算结果。
常用的算法设计方法有迭代法、分治法和动态规划等。
3. 计算机编程
计算机编程是指将数值计算方法转化为计算机可执行的程序代码，并通过计算
机进行实际的数值计算。
编程语言如C、C++、Python等提供了丰富的编程工具和
库函数，方便用户实现各种数值计算方法。
综上所述，数值分析与计算方法是一门重要的学科，它通过数学方法和计算机
技术解决实际问题。
数值分析的基本原理包括数值逼近、数值积分、数值微分和数值代数等方面；计算方法的基本原理包括数值计算软件、算法设计和计算机编程等
方面。
掌握这些基本原理可以帮助我们更好地应用数值分析与计算方法解决实际问题，提高计算效率和准确性。