10-语言和有限状态机-离散数学讲义-海南大学(共十一讲)

10.语言和有限自动机Language and Finite－State Machine §10.1 语言Languages由符号以一定规则组成单词word，由单词以一定规则（语法）组成句子sentences。

以一定规则给句子的含义作出解释叫语义。

Grammars文法G＝（V，S，v0，→）短语结构文法phrase structure grammarV是有限符号集，S⊆V，S终止符号集v0∈V－S，初始符号，→是V*上的有限产生关系product relation。

w，w’∈V*, w→w’是产生规则，w叫左边，w’叫右边。

N＝V－S，非终止符号集。

例1. S={John,Jill,drives,jogs,carelessly,rapidly,frequently}N={sentence, noun, verbphrase,verb,adverb}V=N∪S，v0＝sentence.sentence→noun verbphrasenoun→Johnnoun→Jillverbphrase→verb adverbverb→drivesverb→jogsadverb→carelesslyadverb→rapidlyadverb→frequentlysentencenoun verbphraseJill verbphraseJill verb adverbJill drives adverbJill drives frequently例2．正则文法，3型文法。

G=(V,S,v0,→),V＝{v0,w,a,b,c},S={a,b,c},1．v0→aw. 2. w→bbw. 3. w→c.G能接受的语句是v0→aw→ab2w→……→ab2n w→ab2n c.简记为v0 ab2n cG确定的语言L(G)={ ab2n c|n∈N}＝a(bb)*c.例3．0型文法。

G=(V,S,v0,→),V＝{v0,w,a,b,c},S={a,b,c},1. v0→av0b.2. v0b→bw.3. abw→c.v0→av0b→aav0bb→a n v0b n→a n bwb n－1＝a n－1abwb n－1→a n－1cb n－1简记为v0 a n－1cb n－1G能接受的语句是a n cb n，n≥0.L(G)={ a n cb n | n≥0}形式文法的分类0型文法type 0：规则无限制.无限制文法。

1型文法type 1：每条规则左边的长度小于等于右边的长度。

lwr→lw’r,上下文有关文法。

2型文法type 2：A→α，A∈N，左边只含单个非终结字符。

上下文无关文法。

3型文法type 3：正则文法。

A→α或A→αB，A，B∈N，左边只含单个非终结字符，右边最右端可以有一个非终结符号。

右线性文法。

A→α或A→Bα，A，B∈N，左边只含单个非终结字符，右边最右端可以有一个非终结符号。

左线性文法。

语言2型文法生成的语言叫2型语言，上下文无关语言。

3型文法生成的语言叫3型语言，正则语言。

L(G)＝{a n b n|n≥3}求文法G？L(G)={x n y m|n,m≥2}求文法G？§10.2 特殊文法和语言的表示BNF 记号notation （Bachus－Naur 形式）例1.〈sentence〉::＝〈noun〉〈verbphrase〉，〈noun〉 ::=John|Jill〈verbphrase〉::=〈verb〉〈adverb〉〈verb〉 ::=drives|jogs〈adverb〉 ::=carelessly|rapidly|frequently例2. 〈v0〉::=a〈w〉〈w〉::=bb〈w〉|c左边记号在右边出现，叫做递归recursive例3．程序设计C语言〈十进制数〉::＝〈无符号整数〉|〈十进分数〉|〈无符号整数〉〈十进分数〉〈十进分数〉::=.〈无符号整数〉〈无符号整数〉::=〈十进数字〉|〈十进数字〉〈无符号整数〉〈十进数字〉::=0|1|2|3|4|5|6|7|8|923.1423例4.G=(V,S,identifier,→)N＝{identifier,remaining,digit,letter} S＝{a,b,c,......,z,0,1,2, (9)V=N∪S1．〈identifier〉::＝〈letter〉|〈letter〉〈remaining〉2．〈remaining〉::＝〈letter〉|〈digit〉|〈letter〉〈remaining〉|〈digit〉〈remaining〉3. 〈letter〉::=a|b|……|z4. 〈digit〉::=0|1|2|3|4|5|6|7|8|9语法图Syntax Diagrams〈w〉::＝〈w1〉〈w2〉〈w3〉〈w〉::＝〈w1〉〈w2〉|〈w1〉a|bc〈w2〉〈w〉::＝ab〈w〉〈w〉::＝ab|ab〈w〉例5.例6.正则文法和正则表达式Regular Grammar and Regular Expressions设A 是一个字符集，由如下产生规则生成的字符串叫做A 的正则表示, 不引起歧义时简称正则表示，省略A ：Re1. 空串Λ是正则表示。

Re2. 如果A x ∈,则x 是正则表示。

Re3. 如果α，β是正则表示，则αβ，即α∙β，是正则表示。

Re4. 如果α，β是正则表示，则(α∨β)是正则表示。

Re5. 如果α是正则表示，则(α)*是正则表示。

定理1. S有限集，L⊆S*,则L正则当且仅当存在正则文法G＝(V,S,v0,→)，L＝L(G)。

将正则文法用BNF图表示，合成一个图，只含一个v0，其他都是终结符号，称为G的主图。

通过这个图，正则文法和正则表示式有一个对应：1．终结符对应自己。

2．两个片断D1和D2串连成D，D对应α1⋅α2。

3．两个片断D1和D2并连成D，D对应α1∨α2。

4．一个片断D由D1的环构成，D对应α1*.例8.§10.3有限状态自动机Finite－State Machine有限状态集S＝{s0,s1,s2,……,s n}。

有限输入集I，每个x∈I，有一个状态转换函数f x：S→S。

F＝{f x | x∈I}.M=（S，I，F）叫有限状态自动机。

状态s i，输入x，f x(s i)下一个状态。

M=(S, I, F)与M’=（S，I，F）等价：F：S×I→S，F(s i,x)= f x(s i).例1．S＝{ s0,s1}, I={0,1}.f0(s0)=s0，f0(s1)=s1，f1(s0)=s1，f1(s1)=s0，例2．I＝{a,b}, S={ s0,s1,s2},f a(s0)=s0，f a(s1)=s2，f a(s2)=s1，f b(s0)=s1，f b(s1)=s0，f b(s2)=s2，定义S上关系R M，s i R M s j 当且仅当存在一个输入x，f x(s i)=s j.M的图：Moore Machine识别机recognition machineM＝(S, I, F, s0, T),s0初始状态，T可接受状态集。

自动机同余和商自动机Machine Congruence andQuotient Machine设M＝（S，I，F），R是M上同余关系：R是S上等价关系，且对任意s，t∈S，sRt当且仅当对任意x∈I，f x(s)Rf x(t).令S＝S/R={[s] | s∈S}对任意x ∈I ，令{([],[()])}x x f s f s =由R 是同余关系，x f 是S 上的函数。

令{}F |x f x I∈＝ ,称有限自动机M ＝（S ，I ，F ）为M 对应R 的商，记做M ＝M/R.如果M ＝(S, I, F , s 0, T), R 是M 上的同余关系，M ＝（S ，I ，F ，s 0，T ），T ={[t] | t ∈T}。

M 称为M 的商Moore Machine.例6. 令S ＝{ s 0, s 1,s 2,s 3,s 4, s 5 }，T={ s 1,s 3,s 4}. 状态变换表： S 上同余关系R ：R 101000010*********M 01010100001001101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝[s 0]={ s 0,s 2 }=[s 2][s 1]={ s 1,s 3, s 5}=[s 3]=[s 5] [s 4]＝[s 4]S =S/R={[s 0], [s 1], [s 4]}F例7．I ＝{0,1},S={ s 0, s 1, s 2, s 3, s 4, s 5, s 6, s 7 }， M={S, I, F }S/R={{ s 0, s 4}, { s 1, s 2, s 5}, {s 6},{ s 3, s 7}}§10.4.半群，自动机和语言semigroups ，machines and languagesM={S, I, F }S ＝{ s 0,s 1,s 2,……,s n }。

F ＝{ f x | x ∈I}.I*是一个独异点，空串Λ是单位元。

S 上所有函数的集合SS ，关于复合组成独异点，恒等变换1s 是单位元。

任意x ∈I ，f x ∈S S ,设w ＝x 1x 2……x n ∈I*, 令f w ＝f xn ◦ f xn-1 ◦…◦ f x1，f Λ=1s ，对每个w∈I*, f w∈S S, 称f w是w对应的状态变换函数。

例1. M={S, I, F}, S＝{ s0,s1,s2 }, I={0,1}。

状态变换表F：设w＝011∈I*，f w(s0)= f1◦ f1◦ f0(s0) =f1◦ f1 (s0) = f1(s1)= s2.f w(s1)= f1◦ f1◦ f0(s1) =f1◦ f1 (s2) = f1(s0)= s1.f w(s2)= f1◦ f1◦ f0(s2) =f1◦ f1 (s1) = f1(s2)= s0.例2．上例Moor 机f w(s0)= s2，f w(s1)= s1，f w(s2)= s0.w’=01011f w’(s0)= s1, f w’(s1)= s2, f w’(s2)= s0.令M={S, I, F}, 定义函数T：I*→S S，对任意w∈I*，T(w)=f w∈S S。

定理1.（a）T(w1⋅w2)= T(w2) ⋅T(w1).（b）M=T(I*)构成S S的子独异点。

例3.则f add◦ f bad= f badadd.证明.f add(s0)= s0, f add(s1)= s0, f add(s2)= s0,f bad(s0)= s1, f bad(s1)= s1, f bad(s2)= s1,f add◦ f bad(s0)= f add(s1)=s0f add◦ f bad(s1)= f add(s1)=s0.f add◦ f bad(s2)= f add(s1)=s0.f badadd(s0)= s0, f badadd(s1)= s0, f badadd(s1)= s0,因此f add◦ f bad= f badadd.例4. Moor机如下图，证明f w(s0)= s0当且仅当w含有3n个1。