离散数学及应用配套网站
离散数学及应用
强连通与弱连通
在有向图中，如果任意两个节点 之间都有路径，则称图是强连通 的；在无向图中，如果任意两个 节点之间都有路径，则称图是弱 连通的。
最短路径问题
问题描述
Dijkstra算法
在一个图中，找到两个节点之间的最短路 径。
用于在有向图中找到单源最短路径。
Bellman-Ford算法
Floyd-Warshall算法
离散数学中的图论、集合论等在土木工程中用于描述和分析建
筑结构、道路网络等。
经济学中的应用
决策分析
离散数学中的概率论、统计决策理论等在经济学中用于决策分析，如风险评估、效用函数等。
博弈论
离散数学中的博弈论在经济学中用于研究竞争和策略行为，如寡头竞争、拍卖理论等。
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归纳推理
从特殊到一般的推理 方式，即从个别性前 提推出一般性结论的 推理。
推理规则
在逻辑推理中需要遵 循的规则，如“假言 推理”、“拒取式” 、“析取三段论”等 。
逻辑谬误
在逻辑推理中需要避 免的错误，如“偷换 概念”、“循环论证 ”等。
05
离散概率论
离散随机事件
01
定义
离散随机事件是样本空间中有限 或可数的子集，通常表示为E、F 、G等。
03
图论
图的基本概念
01 节点
图中的顶点称为节点。
03 边
连接两个节点的线段称为
边。
02 定向图与无向图
边是否有方向决定了图的
定向或无向性。
04 权重
某些边可以带有数值，表
示某种度量或权重。
图的连通性
连通性
如果图中的任意两个节点之间都 存在路径，则称图是连通的。
离散数学及其应用集合论部分课后习题答案
作业答案：集合论部分P90:习题六5、确定下列命题是否为真。
（2）ÆÎÆ（4）{}ÆÎÆ（6）{,}{,,,{,}}a b a b c a b Î解答：（2）假（4）真（6）真8、求下列集合的幂集。
（5）{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}（6）{{,2},{2}}Æ解答：（5）集合的元素彼此互不相同，所以{2,1,1,2}{1,2}=，所以该题的结论应该为{,{{1,2}},{{2,1,2}},{{2,1,1,1}},{{1,2},{2,1,2},{2,1,1,1}}}Æ（6）{,{{,2}},2,{{,2},{2}}}ÆÆÆ9、设{1,2,3,4,5,6}E =，{1,4}A =，{1,2,5}B =,{2,4}C =,求下列集合。
（1）A B（2）()A B 解答：（1）{1,4}{3,4,6}{4}A B ==（2）(){1}{2,3,4,5,6}A B ==31、设A,B,C 为任意集合，证明()()()()A B B A A B A B --=-证明：()(){|}{|()()}{|()()()()}{|()()}{|()()}{|()()}{|()()}{|()(A B B A x x A B x B A x x A x B x B x A x x A x B x B x B x A x A x B x A x x A x B x B x A x x A B x A x B x x A B x A x B x x A B x A B x x AB x A--=Î-ÚÎ-=ÎÙÏÚÎÙÏ=ÎÚÎÙÏÚÎÙÎÚÏÙÏÚÏ=ÎÚÎÙÏÚÏ=ÎÙÏÚÏ=ÎÙÎÚÎ=ÎÙÎ=ÎÙÎ)}B A B AB=-34、设A,B 为集合，证明：如果()()A B B A AB --=，则AB =Æ。
数学网站
/Mathematics/index.htm麻省理工学院开放式课程网页，很多视频资料/courses/index.html富有特色的数学网站大观/ide/index.html这是美国Addison Wesley Longman出版公司属下的一个网站，提供了该公司出版的大量微分方程教材的实时模拟实验。
对于一些常见的常微分方程，你可以在这个网站看到物理实验的网上模拟和相应动力系统的相图变化。
类似这样的网上模拟在美国许多大学甚至中学已经成为多媒体教学的一部分进入课堂，深受学生欢迎。
这里的实验包括各种振动模型(二次常微分方程)，生态方程组和混沌模型等。
网站的程序是由Java语言编成的，虽然它也在市场上定价出售，但是你可以在网站上免费欣赏所有精彩的动态模拟。
/mathserv/index.html这是美国Vanderbilit大学数学系和商学院联合建立的一个网站。
在这个网站上，你可以运行各种微积分和常微分方程的基本运算：你输入所有必要信息后几秒钟内，不管多复杂的运行结果和图象都会马上显示在计算机屏幕上。
网站的数学运算功能是建立在著名数学软件Mathematica基础上的，可以说这是一个简单的网上Mathematica计算机器(它并不是一般意义下的计算器，它的功能比计算器强得多)，但是你不需要花天文数字的价钱购买Mathematica，甚至不用懂得Mathematica的编程方式，所以对于数学或者各种理工科工作者来说，这是一个好极了的工具。
它的功能包括定积分和不定积分，微分，极限，因式分解，牛顿法，二维和三维函数绘图，解各类基本常微分方程等等。
/在一些国家，许多家谱的数据库已经上网，人们可以在网上查到他们的祖宗八代。
而数学家常常也把自己的博士导师称为他们的“数学父亲”，这样自然也就有了数学家的家谱。
一个可搜索的数学家家谱已经开始在美国明尼苏达州立大学建立起来了，一半以上的美国大学数学系为它的建立提供了它们的博士毕业生的历史资料，现在这一网站已经搜集了历史上48294位数学家的“出生身世”。
离散数学及其应用图论部分课后习题答案
作业答案：图论部分P165:习题九1、 给定下面4个图（前两个为无向图，后两个为有向图）的集合表示，画出它们的图形表示。
（1）111,G V E =<>，112345{,,,,}V v v v v v =，11223343345{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （2）222,G V E =<>，21V V =，11223344551{(,),(,),(,),(,),(,)}E v v v v v v v v v v = （3）13331,,,D V E V V =<>=31223324551{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> （4）24441,,,D V E V V =<>=31225523443{,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v =<><><><><> 解答： （1）（2）10、是否存在具有下列顶点度数的5阶图？若有，则画出一个这样的图。
（1）5，5，3，2，2；（2）3，3，3，3，2；（3）1，2，3，4，5；（4）4，4，4，4，4 解答：（1）（3）不存在，因为有奇数个奇度顶点。
14、设G 是(2)n n ≥阶无向简单图，G 是它的补图，已知12(),()G k G k δ∆==，求()G ∆，()G δ。
解答：2()1G n k ∆=--；1()1G n k δ=--。
15、图9.19中各对图是否同构？若同构，则给出它们顶点之间的双射函数。
解答：（c ）不是同构，从点度既可以看出，一个点度序列为4，3，3，3，3而另外一个为4，4，3，3，1（d ）同构，同构函数为12()345x a x bf x x c x d x e=⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪=⎪=⎪⎩ 16、画出所有3条边的5阶简单无向图和3条边的3阶简单无向图。
离散数学及其应用第2版课后练习题含答案
离散数学及其应用第2版课后练习题含答案1. 引言《离散数学及其应用》是一本经典的离散数学教材，是计算机科学和数学专业的必修课程。
本文将为读者提供《离散数学及其应用》第2版课后练习题的答案，并希望能够帮助读者加深对离散数学的理解。
2. 答案解析第一章习题 1.11.给定一组七个数字 {1, 3, 3, 4, 6, 9, 12}，请给出这组数字的中位数。
答案：中位数为 4。
2.给出两个整数 a 和 b 的三进制表示： a = 111011，b = 101101。
求 a + b。
答案：a + b = 1011000。
3.证明奇奇数的积为奇数。
答案：令两个奇数分别为 2n + 1 和 2m +1，则有：(2n + 1) × (2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1 = 2(2nm + n + m) + 1，即奇奇数的积还是一个奇数。
习题 1.21.证明：如果一个整数 n 能同时被 2 和 3 整除，则它也能被 6 整除。
答案：首先，n 能同时被 2 和 3 整除，则分别有 n = 2k 和 n = 3m。
联立方程组 2k = 3m，得 k = (3/2)m。
因此，n = 2k = (3m/2) × 2 = 3m× (2/2) = 6m，可以被 6 整除。
2.求 10010 的八进制表示。
答案：将 10010 转换为四位一组的二进制数，得 0010 0100。
将 0010 和 0100 分别转换为八进制数，得 2 和 4。
因此，10010 的八进制表示为 24。
3.已知 547a5 是 11 的倍数，求 a 的值。
答案：根据 11 的倍数的规律，将 547a5 中的奇数位数字相加，再将偶数位数字相加，然后将两个和的差求出来： (5 + 7 + a) - (4 + 5) = 13 + a - 9 = a + 4。
因为547a5 是 11 的倍数，所以 a + 4 也必须是 11 的倍数。
离散数学及应用PPT课件
引 言（续）
二、该课程的主要内容： 离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑。(教材的第一、二章) 集合论，包括集合、关系和函数。（教材的第三、四章） 代数系统，包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系
统和格。（教材的第五、六章） 图论，包括图的基本概念，几种特殊的图。 (教材的第七章)
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。
集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法
分析。 2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思
维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数 学基础。
版） (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社
28.04.2020
引 言（续）
七、考核方式： 期末考试成绩占70%, 平时成绩占30%.
28.04.2020
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的 哲学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七 世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符 号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
离散数学及其应用(课后习题)
离散数学及其应用（课后习题）习题1.12. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。
（3）大雁北回，春天来了。
（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。
（5）张三和李四在吵架。
解：（3）和（4）是复合命题，（5）是原子命题。
习题1.21. 指出下列命题的真值：（1）若224+>，则太阳从西方升起。
解：该命题真值为T （因为命题的前件为假）。
（3）胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解：该命题真值为F （如鸭嘴兽虽是哺乳动物，但不是胎生动物）。
2. 令P ：天气好。
Q ：我去公园。
请将下列命题符号化。
（2）只要天气好，我就去公园。
（3）只有天气好，我才去公园。
（6）天气好，我去公园。
解：（2）P Q →。
（3）Q P →。
（6）P Q ↔。
习题1.32. 将下列命题符号化（句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示）： （1）我去新华书店（P ），仅当我有时间（Q ）。
（3）只要努力学习（P ），成绩就会好的（Q ）。
（6）我今天进城（P ），除非下雨（Q ）。
（10）人不犯我（P ），我不犯人（Q ）；人若犯我，我必犯人。
解：（1）P Q →。
（3）P Q →。
（6）Q P ⌝→。
（10）()()P Q P Q ⌝→⌝∧→。
习题1.41. 写出下列公式的真值表： （2）()P Q R ∨→。
解：该公式的真值表如下表：2. 证明下列等价公式：（2）()()()P Q P Q P Q ∨∧⌝∧⇔⌝↔。
证明：()(()()) ()()) ()() ()()P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q ⌝↔⇔⌝∧∨⌝∧⌝⇔⌝∧∧⌝⌝∧⌝⇔⌝∧∧∨⇔∨∧⌝∧（4）()()()P Q P R P Q R →∧→⇔→∧。
证明：()()()() () ()P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⇔→∧3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后，有人问他们谁的成绩最好，甲说，不是我。
好用的高等数学教材网站
好用的高等数学教材网站一、简介如今，在互联网的发展下，越来越多的教育资源网站涌现出来，为学生和教师提供了更丰富、更便捷的学习和教学方式。
本文将介绍几个好用的高等数学教材网站，为学习高等数学的人士带来更好的学习体验。
二、MathwayMathway是一个功能强大的数学问题解答工具。
无论是代数、几何、微积分还是其他高等数学领域，Mathway都能为用户提供详细的解题步骤和答案。
在Mathway上，用户可以输入待解决的数学问题或方程式，系统会自动计算并给出解答，帮助用户更好地理解数学知识。
此外，Mathway还提供了应用程序，方便用户随时随地解决数学问题。
三、Khan AcademyKhan Academy是一个颇具声誉的在线教育平台，涵盖了各个学科的教学资源。
在高等数学领域，Khan Academy提供了一系列系统化的数学课程和视频教学，涵盖了从基础概念到高级应用的内容。
学生可以根据自己的学习进度和需求，选择相应的课程进行学习。
Khan Academy的视频教学通俗易懂，配以详细解说和示例演示，能够帮助学生深入理解高等数学的各个概念和技巧。
四、CourseraCoursera是一个知名的在线教育平台，提供了来自世界各地高校和名师的数百门在线课程。
其中，有许多高等数学相关的课程可供选择。
通过Coursera的平台，学生可以免费或付费参与这些课程，获得来自优秀大学的高等数学教育资源，与来自世界各地的学员共同学习和交流。
此外，Coursera还提供了丰富的练习和测验，帮助学生巩固所学知识。
五、Wolfram AlphaWolfram Alpha是一个多功能的计算引擎，它不仅可以进行数学问题的求解，还能提供综合性的数学知识和数据。
在高等数学领域，Wolfram Alpha能够根据用户输入的数学问题，给出详细的解答和计算过程。
同时，它还提供了丰富的数学概念、公式和图表，方便学生深入学习和探索高等数学的各个方面。
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离散数学及应用配套网站
离散数学及应用是一门重要的数学学科，它研究的是离散的对象和离散的结构。
离散数学的应用广泛，包括计算机科学、信息技术、电子工程和通信工程等领域。
在学习离散数学的过程中，配套的网站是不可或缺的学习资源。
以下是几个优秀的离散数学及应用配套网站：
1. Mathstackexchange
Mathstackexchange是一个在线的数学交流社区，在这里你可以向其他的数学爱好者和专家提问并获得解答。
它提供了很多离散数学的问题和答案，并且有关于离散数学的标签进行分类。
这个网站功能强大，对于学习离散数学非常有帮助。
2. Brilliant
Brilliant是一个在线学习平台，它提供了很多离散数学的课程和问题。
这些问题涵盖了离散数学的各个方面，包括集合论、逻辑、图论、代数等。
通过解决这些问题，你可以提高自己的离散数学技能，并且学习如何将离散数学应用到实际问题中去。
3. MIT OpenCourseWare
MIT OpenCourseWare是麻省理工学院开放教育资源项目，它提供了很多麻省理工学院的课程资料和讲义。
其中包括了一些离散数学的课程，如《离散数学导论》和《离散数学和概率》等。
这些课程资料和讲义可以免费下载和学习，对于深入理解离散数学的概念和技巧非常有帮助。
4. Coursera
Coursera是一个知名的在线教育平台，它合作了很多世界级大学和教育机构，提供了很多高质量的课程。
在Coursera上，你可以找到一些离散数学的课程，如《离散数学》和《应用离散数学》等。
这些课程由专业的教师讲授，并且配有视频讲解、练习题和作业等学习资源，非常适合离散数学的学习和应用。
5. Wolfram Alpha
Wolfram Alpha是一个计算知识引擎，它可以对数学问题进行求解和计算。
在学习离散数学中，你经常会遇到一些复杂的计算问题，如组合数学、概率和逻辑等。
Wolfram Alpha可以帮助你解决这些问题，并且提供详细的计算过程和结论，对于巩固离散数学的计算技巧非常有帮助。
以上是几个优秀的离散数学及应用配套网站，它们提供了丰富的学习资源和交流平台，帮助学生更好地理解和应用离散数学的知识。
通过利用这些网站，学生可以提高自己的离散数学技能，并且将离散数学知识应用到实际问题中去。
所以，我强烈推荐学习离散数学的同学们使用这些网站，加强自己的学习效果。