「离散数学」讲义李克凡
离散数学第六版讲解
离散数学第六版讲解
离散数学第六版主要研究一些不连续的数学问题，是研究离散量的结构及相互关系的学科，具有很强的抽象性。
离散数学的特征包括离散性、可构造性和抽象性。
离散性是指以离散量为研究对象，可构造性则是指在求解中注重过程与步骤，且步骤是有限的、有规则的，易于进行算法描述。
抽象性则体现在数值vs. 元素、运算vs. 关系以及研究推理的抽象性与形式化。
离散数学是计算机、软件专业本科生必修的专业基础课，一方面给后继课，如“数据结构”、“编译系统”、“操作系统”、“数据库原理”等提供必要的科学基础；另一方面，通过学习离散数学，培养和提高了同学们的抽象思维和逻辑推理能力，为大家今后继续学习和工作打下坚实的数学基础。
此外，网络上也有很多关于离散数学的讲解视频，如东北大学的《离散数学》课程、屈婉玲主讲的《离散数学》课程等。
这些视频可以帮助你更深入地理解离散数学的概念和应用。
以上内容仅供参考，建议查阅离散数学相关书籍获取更全面和准确的信息。
离散数学讲义(第1章)
1-2 联结词（续）
例：P：上海是一个大城市。 P：上海并不是一个大城市。 或 P：上海是一个不大的城市。
这两个命题具有相同的含义，因此用 同一个符号表示。
17
1-2 联结词（续）
P与 P的真值关系：
P
T F
PHale Waihona Puke F T否定是一个一元运算。
18
1-2 联结词（续）
（2）合取 设P，Q是两个命题，新命题“P并且Q”是 一个复合命题，称为命题P，Q的合取。记作： P∧Q 如：P：北京是中国的首都。 Q：北京是一个故都。 P∧Q：北京是中国的首都并且是一个 故都。
5
趣味逻辑数学题－巧猜围棋子
用数理逻辑学方法解题
P表示：“棋子为白色” Q表示：“甲说的是真话” 数理逻辑运算符： （非），（与），（或）
问题答案：S=(PQ)(PQ)
6
第一篇
数理逻辑
7
数理逻辑
数理逻辑是用数学方法来研究推理 过程的科学。主要是指引进一套符 号体系的方法，因此数理逻辑一般 又叫符号逻辑。 基本内容是：命题逻辑（演算）和 谓词逻辑（演算）。
22
1-2 联结词（续）
P∨Q的真值关系：
P T T F F Q T F T F P∨Q T T T F
析取是一个二元运算。
23
1-2 联结词（续）
注意：析取联结词∨与汉语中的“或”的意义不 完全相同。汉语中的“或”既可以表示“排斥 或”，也可以表示“可兼或”。
例如： P：今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。 Q：他可能是100米或400米赛跑的冠军。
28
1-2 联结词（续）
在命题演算中，五个联结词的含义由真值表唯一确定。
离散数学(第四版)讲义1
引言Discrete Math.离散数学研究离散对象及其相互间关系的一门数学学科。
研究离散结构的数学分支。
（辞海）计算机科学、信息科学、数字化科学的数学基础离散数学的内容：数理逻辑(Mathematics Logic)集合论(Sets)代数结构(Algebra Structure)图论(Graph Theory)组合论(Combination)线性代数(Linear Algebra)概率论(Probability Theory)……与高等数学的区别教学内容：数理逻辑(Mathematics Logic)集合论(Sets)代数结构(Algebra Structure)图论(Graph Theory)离散数学的由来与发展：一、古老历史：计数：自然数发展：图论：Konigsberg七桥问题二、年青新生：计算机：二进制运算离散数学课程设置：计算机系核心课程信息类专业必修课程其它类专业的重要选修课程离散数学的后继课程：数据结构、编译技术、算法分析与设计、人工智能、数据库、……离散数学课程的学习方法：强调：逻辑性、抽象性；注重：概念、方法与应用参考教材：1、离散数学（耿素云，屈婉玲，北大版）2、离散数学（方世昌，西安电子科大版）3、离散数学结构（第三版、影印版）（Bernard Kolman、Robert C.Busby、Sharon Ross，清华版）4、离散数学提要与范例（阮传概、卢友清，北京广播学院版）第一章命题逻辑（Proposition Logic）1、命题符号化及联结词2、命题公式及分类3、等值演算4、联结词全功能集5、对偶与范式6、推理理论逻辑学：研究推理的一门学科数理逻辑：用数学方法研究推理的一门数学学科——一套符号体系+ 一组规则数理逻辑的内容：古典数理逻辑：命题逻辑、谓词逻辑现代数理逻辑：逻辑演算、公理化集合论、递归论、模型论、证明论1、命题符号化及联结词命题(Proposition)：一个有确定真或假意义的语句。
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。
以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。
如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。
集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。
集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。
此外，还有补集的概念。
如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。
集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。
例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。
离散数学讲义(第4章)
4-4 基数的概念（续）
Peano公理：
（1）0N，（其中0=） （2）如果0N，则n+N（其中n+=n∪{n}）
（3）如果一个子集S N具有性质：
（a） 0S （b）如果nS，有n+S 则S=N
注：
1）性质（3）称极小性质，指明了自然数系统的最小性。 即自然数系统是满足公理（1）（2）的最小集合。 2）自然数也可不从0开始，只需定义=1即可。
证明：令f：PS，f(x)=tg-1x/p+1/2 (- ∞ <x< ∞)
显然f的值域是S，且f是双射函数。
18
4-4 基数的概念（续）
定理：在集合族上等势关系是一个等价关系。 证明：设集合族为S a）对任意的A S，必有A A b）若A,B S，如果A B，必有B A c）若A,B,C S，如果A B，B C，则有A C 定义：如果有一个从集合{0,1,…,n-1}到A的双射函数，那 么称集合 A 是有限的；如果集合 A 不是 有限的 ，则它是 无 限的。 定理：自然数集合N是无限的。 证明：设 n 是 N 的任意元素，f 是任意的从 {0,1,…,n-1} 到 N 的函数。设k=1+max{f(0),f(1),…,f(n-1)} ，那么k N， 但对每一个x {0,1,…,n-1}，有f(x) k。因此f不能是满 射函数，即f也不是双射函数。因为n和f都是任意的，故N 是无限的。
注：一般有h (g f) = (h g) f，即函数的复合是可结 合的。因此可以将括号去掉。
12
4-2 逆函数和复合函数（续）
定义：函数f：X Y称作常函数，如果存在某个y0 Y， 对于每个x X，都有f(x)=y0，即f(X)={y0}。 定义：如果Ix={〈x,x〉|xX}，则称函数Ix：X X为恒 等函数。
离散数学讲义第2章
10
2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
22
2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
18
某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
12
2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
离散数学课件-绪论
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
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1 ⎡0 1 0 0⎤ 2 ⎢⎢0 0 0 0⎥⎥ 3 ⎢0 0 0 0⎥ 4 ⎢⎣1 0 1 0⎥⎦
Multiplicity: The number of the edges from vertex v to vertex u.
abc
Eg.
The adjacent matrix of the left graph is
Eg. For the left graph, the adjacent matrix A is
⎡1 1 0 1⎤
⎡3 1 3 1⎤
A
=
⎢⎢1 ⎢0
0 1
1 0
0⎥⎥ 2⎥
and
A2 = ⎢⎢1 ⎢3
2 0
0 5
3⎥⎥ 0⎥
.
A213=3
⎢
⎥
means that there are 3 paths of length 2 from vertex 1
Eg. For the left graph, the path from a to d through b, c is 3, the path from g to b via a is 2.
Weight, w(v,x): The weighting value of edge from vertex v to vertex x. Weighted graph: A graph’s each edge has a weight. Eg. A weighted graph (left) and an un-weighted graph (right).
Chapter 1 Graph Theory
1-1 Representations of Graphs Graph, G=(V,E): It consists of the set V of vertices and the set E of edges. If each edge has its direction, the graph is called the directed graph (digraph). If each edge is undirected, the graph is called the undirected graph (multigraph). Eg. An undirected graph (left) and a directed graph (right).
Adjacent matrix: A=[Aij], where Aij is the number of paths from vertex i to vertex j. Eg. For the left graph, the corresponding adjacent matrix is
. Eg. For the left digraph, the corresponding adjacent matrix is
and the
⎡0 1 0 0⎤
corresponding
adjacent
matrix
of
G*
is
M*=
⎢⎢1 ⎢1
0 0
0 1
1⎥⎥ 1⎥
.
⎢
⎥
⎣0 0 1 0⎦
Theorem If A is the adjacent matrix of a simple graph, the ijth entry of An is equal to the number of paths of length n from vi to vj. And the diagonal entries of A2 give the number of the edges on the vertices.
a ⎡0 b ⎢⎢1
2 0
1⎤ 3⎥⎥
.
The
c ⎢⎣2 0 0⎥⎦
multiplicity of (a,b) is 2 and the multiplicity of (b,c) is 3.
Simple graph: The graph whose entry of the adjacent matrix is 0 or 1 is called a
Weighted length of a path: The sum of weights of the edges in one path. Eg. For the left graph, the weighted length from a to c via b is 2+3=5. The weighted length from a to b via d is 2+11=13.
simple graph.
Eg. The graph G* is a simple graph,
but G is not a simple graph. The
corresponding adjacent matrix of G
⎡0 2 0 0⎤
is
M=
⎢⎢1 ⎢2
0 0
0 1
4⎥⎥ 1⎥
⎢
⎥
⎣0 0 1 0⎦
to vertex 3: 1→2→3, 1→4→3 (straight line), and
1→4→3 (curve).
Eg. For the left simple graph, the adjacent matrix A is
,
A13=2 means that there are 2 paths of length 2 from a to c: a→b→c and a→d→c. The diagonal entries of A2 give the number of the edges on the vertices. For example, [A2]33=3 means that there are 3 edges incident on c.
Path: A set of edges of which each edge connects to the initial vertex of the next edge is called a path. Length of a path: The number of the edges in one path.