奥数-排列组合讲义-第二讲
排列组合讲义
排列组合方法篇一、两个原理及区别二、排列数公式三、组合数公式四、排列数与组合数的关系五、二项式定理公式：六、排列组合应用排列组合解法特殊元素优先排； 合理分类与分步； 先选后排解混合； 正难则反用转化； 相邻问题来捆绑； 间隔插空处理法; 定序需要用除法； 分排问题直接法； 集团问题先整体； 有的问题选模型。
○1排列数公式 m n A=)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. ○2排列恒等式 （1）11m m n n A nA--=;（2）11m m m n n nAA mA-+=+.○3会推以下恒等式 （1）1(1)mm nnA n m A -=-+; （2）1m mnn n A A n m-=-; （3）11nn n nn n nA A A ++=-; （4）1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.○1组合数公式 mn C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). ○2组合数的两个性质 （1）m n C =m n n C - ; （2）m n C +1-m n C =m n C 1+. 注：规定10=n C . 1.分类计数原理(加法原理) 12n N m m m =+++ 2.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯m mn n A m C =⋅！. (1)0111()......n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++ *()n N ∈ (2)1k n k k k n T C a b -+= （3）∑=nr rnC=n2(4)13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=.解决排列组合一般思路: 1.审题要清2.分步还是分类3.排列还是组合4.牢记右侧方法常见题型归类及决策：一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 位置分析法和元素分析法2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.乙甲丁丙2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合8.排列组合问题常用方法2
高中数学讲义摆列组合问题的常用方法总结 2知识内容1．基本计数原理⑴加法原理分数原理：做一件事，达成它有n 法，在第一法中有m1种不一样的方法，在第二法中有 m2种方法，⋯⋯，在第 n 法中有 m n种不一样的方法．那么达成件事共有N m1 m2 L m n种不一样的方法．又称加法原理．⑴乘法原理分步数原理：做一件事，达成它需要分红 n 个子步，做第一个步有 m1种不一样的方法，做第二个步有 m2种不同方法，⋯⋯，做第 n 个步有 m n种不同的方法．那么完成件事共有N m1 m2 L m n种不一样的方法．又称乘法原理．⑴加法原理与乘法原理的综合运用假如达成一件事的各样方法是互相独立的，那么计算达成这件事的方法数时，使用分类计数原理．假如达成一件事的各个步骤是互相联系的，即各个步骤都一定达成，这件事才告达成，那么计算达成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导摆列数、组合数公式的理论基础，也是求解摆列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要一定仔细学好，并正确地灵巧加以应用．2．摆列与组合⑴摆列：一般地，从n 个不一样的元素中任取m(m ≤ n) 个元素，依据必定的次序排成一列，叫做从n 个不一样元素中拿出m 个元素的一个摆列．（此中被取的对象叫做元素）摆列数：从 n 个不一样的元素中拿出m(m ≤ n) 个元素的所有摆列的个数，叫做从n个不一样元素中拿出m 个元素的摆列数，用符号 A m n表示．摆列数公式： A m n 全摆列：一般地，n的阶乘：正整数由n(n 1)(n 2) L (n m 1) ， m，n N，而且 m ≤ n ．n 个不一样元素所有拿出的一个摆列，叫做n 个不一样元素的一个全摆列．1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用n! 表示．规定： 0! 1 ．⑴组合：一般地，从 n 个不一样元素中，随意拿出 m (m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取思想的挖掘能力的飞腾1高中数学讲义m个元素的一个组合．组合数：从 n 个不一样元素中，随意拿出m (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不一样元素中，随意拿出 m 个元素的组合数，用符号C n m表示．组合数公式： C n m n( n1)(n 2)L( n m1)n!， m,n N ，而且m≤n．m!( n m)!m!组合数的两个性质：性质m n m m m m 101：C n C n；性质 2：C n 1C n C n．（规定 C n 1 ）⑴摆列组合综合问题解摆列组合问题，第一要用好两个计数原理和摆列组合的定义，即第一弄清是分类仍是分步，是排列仍是组合，同时要掌握一些常有种类的摆列组合问题的解法：1．特别元素、特别地点优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其余元素；地点优先法：先考虑有限制条件的地点的要求，再考虑其余地点；2．分类分步法：对于较复杂的摆列组合问题，常需要分类议论或分步计算，必定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．清除法，从整体中清除不切合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的摆列，能够先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其余元素进行摆列，而后再给那“一捆元素”内部摆列．5．插空法：某些元素不相邻的摆列，能够先排其余元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n个同样元素，分红 m(m ≤ n) 组，每组起码一个的分组问题——把n个元素排成一排，从 n 1个空中选 m 1 个空，各插一个隔板，有C n m11．7．分组、分派法：分组问题（分红几堆，无序）．有平分、不平分、部分平分之别．一般地均匀分红 n 堆（组），一定除以n ！，假如有m 堆（组）元素个数相等，一定除以m ！8．错位法：编号为 1 至n的n个小球放入编号为 1 到n的n个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不一样，这类摆列称为错位摆列，特别当n 2 ，3，4，5 时的错位数各为1，2，9，44．对于 5、6、7 个元素的错位摆列的计算，能够用剔除法转变为 2 个、 3 个、 4 个元素的错位摆列的问题．1．摆列与组合应用题，主要考察有附带条件的应用问题，解决此类问题往常有三种门路：⑴元素剖析法：以元素为主，应先知足特别元素的要求，再考虑其余元素；⑴地点剖析法：以地点为主考虑，即先知足特别地点的要求，再考虑其余地点；⑴间接法：先不考虑附带条件，计算出摆列或组合数，再减去不切合要求的摆列数或组合数．求解时应注意先把详细问题转变或归纳为摆列或组合问题；再经过剖析确立运用分类计数原理仍是分步计数原理；而后剖析题目条件，防止“选用”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义2．详细的解题策略有：⑴对特别元素进行优先安排；⑴理解题意后进行合理和正确分类，分类后要考证能否不重不漏；⑴对于抽出部分元素进行摆列的问题一般是先选后排，以防出现重复；⑴对于元素相邻的条件，采纳捆绑法；对于元素间隔摆列的问题，采纳插空法或隔板法；⑴次序固定的问题用除法办理；分几排的问题能够转变为直排问题办理；⑴对于正面考虑太复杂的问题，能够考虑反面．⑴对于一些摆列数与组合数的问题，需要结构模型．典例剖析挡板法（名额分派或许同样物件的分派问题）【例 1】某市植物园要在30 天内招待 20 所学校的学生观光，但每日只好安排一所学校，此中有一所学校人数许多，要安排连续观光 2 天，其余只观光一天，则植物园30 天内不一样的安排方法有种．【例 2】某校准备组建一个由12 人构成篮球队，这12 个人由 8 个班的学生构成，每班起码一人，名额分配方案共种．【例 3】 a b c d 15有多少项？【例 4】有20个不加区其余小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数许多编号数，问有多少种不一样的方法？思想的挖掘能力的飞腾3高中数学讲义【例 5】不定方程x1x2x3... x50100 中不一样的正整数解有组，非负整数解有组．【例 6】 5 个人参加秋游带10 瓶饮料，每人起码带 1 瓶，一共有多少种不一样的带法．【例 7】将7个完整同样的小球随意放入 4 个不一样的盒子中，共有多少种不一样的放法？【例 8】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不一样的走法．【例 9】有10个三勤学生名额，分派到高三年级的 6 个班里，要求每班起码1个名额，共有多少种不一样的分派方案．【例 10】某中学准备组建一个18 人的足球队，这18 人由高一年级10 个班的学生构成，每个班起码一个，名额分派方案共有_____种．4思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义【例 11】 10 个优异指标名额分派到一、二、三 3 个班，若名额数许多于班级序号数，共有多少种不一样的分派方法？插空法（当需排的元素不可以相邻时）【例 12】从1，2，3，L，1000个自然数中任取10 个互不连续的自然数，有多少种不一样的取法．【例 13】某会议室第一排共有8 个座位，现有 3 人就座，若要求每人左右均有空位，那么不一样的坐法种数为（）A ．12B． 16C．24 D ．32【例 14】三个人坐在一排8 个座位上，若每一个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【例 15】要排一张有6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有 ____ 种．思想的挖掘能力的飞腾5高中数学讲义【例 16】路上有号l，2，3，⋯⋯ ，10十个路灯，用又看清路面，能够把此中的三只灯关掉，但不可以同关掉相的两只或三只，在两头的灯也不可以关掉的状况下，求足条件的关灯方法共有_____种．（用数字作答）【例 17】配制某种染色，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种增添，此中有机染料的增添序不可以相．要研究所有不一样增添序染色成效的影响，共要行的次数．（用数字作答）【例 18】一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不一样的坐法．【例 19】某班班会准备从甲、乙等7 名学生中选派 4 名学生讲话，要求甲、乙两名同学起码有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的讲话不可以相邻．那么不一样讲话次序的种数为（）A ． 360B． 520C． 600D． 7206思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义【例 20】在一个含有8 个节目的节目单中，暂时插入两个歌唱节目，且保持原节目次序，有多少中插入方法？【例 21】某人连续射击8次有四次命中，此中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不一样的结果有多少种．捆绑法（当需排的元素有一定相邻的元素时）【例 22】4名男生和3名女生共坐一排，男生一定排在一同的坐法有多少种？【例 23】四个不一样的小球所有放入三个不一样的盒子中，若使每个盒子不空，则不一样的放法有种．【例 24】某市植物园要在30 天内招待 20 所学校的学生观光，但每日只好安排一所学校，此中有一所学校人数许多，要安排连续观光 2 天，其余只观光一天，则植物园30 天内不一样的安排方法有思想的挖掘能力的飞腾7高中数学讲义【例 25】泊车站划出一排12 个泊车地点，今有 8 辆不一样型号的车需要停放，若要求节余的 4 个空车位连在一同，则不一样的泊车方法共有 __________ 种．【例 26】四个不一样的小球放入编号为1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）除序法（均匀分堆问题，整体中部分次序固定，对某些元素有次序限制的摆列，能够先不考虑次序限制排列后，再除掉规定次序元素个数的全摆列．）【例 27】6本不一样的书均匀分红三堆，有多少种不一样的方法？【例 28】6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不一样分法？8思想的挖掘能力的飞腾高中数学讲义【例 29】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字构成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数 2， 4， 6 序次必定，有多少个？⑵若偶数 2， 4， 6 序次必定，奇数1，3， 5， 7 的序次也必定的有多少个？【例 30】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，假如数学一定排在体育以前，那么该天的课程表有多少种排法？【例 31】甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每日至多安排一人，并要求甲安排在此外两位前方．不一样的安排方法共有（）A ．20种B．30种C．40种D．60种【例 32】某考生打算从7所要点大学中选3所填在第一品位的 3 个志愿栏内，此中 A 校定为第一志愿，再从 5 所一般大学中选 3 所填在第二品位的 3个志愿栏内，此中B，C 校必选，且 B 在C 前，问此考生共有种不一样的填表方法（用数字作答）．思想的挖掘能力的飞腾9高中数学讲义推法【例 33】一楼梯共10，假如定每次只好跨上一或两，要走上10 楼梯，共有多少种不同的走法？用法解摆列合【例 34】某人射8 次有四次命中，此中有三次命中，按“中”与“不中” 告果，不一样的果有多少种．【例 35】6个人参加秋游10 瓶料，每人起码 1 瓶，一共有多少不一样的法．【例 36】从1，2，3，⋯，1000个自然数中任取10 个不的自然数，有多少种不一样的取法．10思想的挖掘能力的飞腾11 / 12高中数学讲义【例 37】某城市街道呈棋盘形，南北向大街5 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北角，行程最短的走法有多少种．【例 38】一个楼梯共18 个台阶 12 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不一样的走法．【例 39】求 a b c 10的睁开式的项数．【例 40】亚、欧乒乓球抗衡赛，各队均有 5 名队员，按预先排好的次序参加擂台赛，两方先由 1 号队员竞赛，负者裁减，胜者再与负方 2 号队员竞赛，直到一方全被裁减为止，另一方获胜，形成一种比胜过程．那么所有可能出现的比胜过程有多少种？【例 41】圆周上共有15 个不一样的点，过此中随意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？思想的挖掘能力的飞腾1112 / 12。
排列组合讲义（含答案）
排列组合讲义（含答案）排列组合、⼆项式定理、参数⽅程、极坐标.⼀、排列组合：主⼲⽅法：特殊优先，分开插空，相邻捆绑，正难则反，先选后排，分类穷举，定序扣数，分组分堆.1.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待⼯作，每个场馆⾄少分配⼀名志愿者的⽅案种数为（）A. 540B. 300C. 180D. 1502. 某⼯程队有6项⼯程需要单独完成，其中⼯程⼄必须在⼯程甲完成后才能进⾏，⼯程丙必须在⼯程⼄完成后才能进⾏，有⼯程丁必须在⼯程丙完成后⽴即进⾏。
那么安排这6项⼯程的不同排法种数是。
（⽤数字作答）3. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项⽬,且在同⼀个城市投资的项⽬不超过2个,则该外商不同的投资⽅案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种4. 3张卡⽚的两⾯分别写有1和2，3和4，5和6，将这三张卡⽚任意拼盘，可以组成多少个不同的三位数？_________.5.现从男.⼥共8名候选学⽣中选出2名男⽣,2名⼥⽣分别参加全校资源、⽣态、环保三个夏令营,且每个夏令营⾄少⼀⼈参加，已知共有1080种不同的参加⽅案.则候选的8位学⽣的构成情况是( )A.2名男⽣、6名⼥⽣B.6名男⽣、2名⼥⽣C.4名男⽣、4名⼥⽣D.5名男⽣、3名⼥⽣6.5名乒乓球队员中,有2名⽼队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体⽐赛,则⼊选的3名队员中⾄少有⼀名⽼队员,且1、2号中⾄少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)7. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红⾊卡⽚和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝⾊卡⽚，从这8张卡⽚中取出4张卡⽚排成⼀⾏．如果取出的4张卡⽚所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（⽤数字作答）．8.某⼈有4种颜⾊的灯泡（每种颜⾊的灯泡⾜够多），要在如题图所⽰的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装⼀个灯泡，要求同⼀条线段两端的灯泡不同⾊，则每种颜⾊的灯泡都⾄少⽤⼀个的安装⽅法共有种（⽤数字作答）.例8图A BC 1A1B练习：如图，⽤四种不同颜⾊给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂⾊，要求每个点涂⼀种颜⾊，且图中每条线段的两个端点涂不同颜⾊，则不同的涂⾊⽅法有（A ）288种（B ）264种（C ）240种（D ）168种答案：例1.D ；例2.20；例3.D ；例4.48；例5.D ；例6.48.例7.432.例8.216⼆、⼆项式定理：1.若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．122. 在()()1n x n N *+∈的⼆项展开式中，若只有5x 的系数最⼤，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .113.已知n 展开式中，各项系数的和与其各项⼆项式系数的和之⽐为64，则n 等于（）Ａ．4Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 4.设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211a a a a ++++ 的值为（）Ａ．2- Ｂ．1-Ｃ．1 Ｄ．2 5. 如果2323n x x ??- ??的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n 的最⼩值为（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．106. （1+2x 2）(x －1x )8的展开式中常数项为。
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根据乘法原理，得到不同的取法的种数是： N= m1× m2 = 6×5 = 30
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例2 有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各位上的数 字许重复）？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：
排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有 排列的个数叫做从n个元素中取出m个元素的排列数，用符 号 Anm 表示。
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排列数公式：
Amn ＝n(n 1)(n 2) (n m 1)
A
m n
n! (n m)!
证明用
计算用
全排列数：
Ann＝n (n 1) (n 2) 3 21 n!
A55，A41 A31 A33，A31 A31 A33，AA3121AA3131AA33，33 A31A3331 A33
个，合并总计300个。
用排除法也行，6个数全排，去掉首位是零的，然后一半即可 （A66-A55）/2=（6*5*4*3*2*1-5*4*3*2*1）/2=300
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八、“至少”问题间接法
3×3×1＝9种。
引申：n封装入n个信封时全部装错的装法总数为。n!1
1 1!
1 2!
(1) n
1 n!
通常称为伯努利一欧拉错装信封问题，又称为乱序排列，即把n个元素的排列a1，
a2，L，an重新排列，使每个元素都不在原来的位置上的排列问题。
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(NOIP 2002) • 在书架上放有编号为1，2，…，n的n本书。现将n本书全
• 间接法（排除法）．
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一、相邻问题捆绑法
四年级数学同步奥数 第二讲 认识多位数 (排列组合(一))
第二讲认识多位数(排列组合(一))[知识概述]生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中,又有几种可能的做法，那么考虑完成这件事所有可能的做法,就要用加法原理的知识去解决。
同样的，日常生活中常常会遇到这样一些问题:就是做一件事情时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就要用到乘法原理的知识去解决。
把两种方法灵活地运用，考虑顺序关系，称为排列问题，只考虑选出来，不需要按一一定的排列顺序去思考,称为组合,今天我们就来研究相关知识。
例题精学例1、从1到99 的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?[思路分析] 从1~99的所有自然数可分为两类: 即一位数、两位教，一位数中，不含4的有8个，它们是1,2,3,5,6,7,8,9;两位数中，不含4的可以这样考虑:十位上，不含4的有1，2，3，5，6，7，8，9这8种情况;个位上，不含4的有0,1,2,3,5,6,7,8,9这9种情况。
要确定一个两位数，可以先取十位教，再取个位教，应用乘法原理便可求出来。
同步精练1. 1~100的自自然数中，一共有多少个数字0?2.从1到99的所有自然数中，含有数字5的自然数有多少个?3.从1到99的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?例2、由数字0,1,2,3组成三位数，问:可组成多少个没有重复数字的三位数。
[思路分析]在确定由0,1,2,3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。
所以可分成三个步骤来完成。
要求组成的三位数中没有重复数字，百位上不能取0，有3种取法;十位上，由于百位已在1,2,3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法;个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法，结合乘法原理，可求出有多少种不同的取法。
同步精练1.用0,3,4,6可组成多少个没有重复数字的三位数?2.用1,3,5,2可组成多少个没有重复数字的三位数?3.用1，2，3，4可组成多少个没有重复数字的三位数并且是双数?例3用1,2,3,4,5 可组成多少个没有重复数字的三位数?[思路分析] 这是一个从5个元素中取3个元素的排列问题，根据排到计算公式可进行计算，在这里介绍一下计算方法:如:A23=3X2,A24=4X3,A25=5X4A33=3X2X1,A34=4X3X2,A35=5X4X3也就是说A n m=mX(m-1)......X(m-n+1)，其中m≥n，从最多元素开始，从大到小，依次连续n个因数相乘。
组合数学第二讲共26页文档
组合数学第二讲
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
组合数学 第二讲 排列算法和组合意义
排列的生成算法
在实际工作中，需要将所有可能的排列一一罗列出 来加以分析，如何排列出来，需要有排列的生成算法。 下面介绍几种排列的生成算法：
S1. 求满足关系式 pj1 pj 的 j 的最大值，设为 i ，即 i max{ j | pj1 pj}。 S2. 求满足关系式 pi1 pk 的 k 的最大值，设为 h ，即 h max{k | pi1 pk} 。 S3. 排列 p1 p2 p3 pn1 pn 中 pi1 与 ph 互换得 p1 p2 p3 pn1 pn 。 S4. 令 p1 p2 pi1 pi pi1 pn 中 的 pi pi1 pn 的 顺 序 逆 转 便 得 到 下 一 个 排 列 p1 p2 pi1 pn pi1 pi 。
结论：0 到 n!1 之间的任何整数 m 可以唯一地表示为： m an1 (n 1)! an2 (n 2)! a2 2! a1 1!
可以证明 0 到 n!1 之间的 n!个整数和序数 (an1 an2 a2 a1) 一一对应。
从 m 求序数 (an1 an2 a2 a1) 的方法
m an1 (n 1 )!an 2 n ( 2 ) ! a 2 a21! 1 ! 令 n1 m 除以 2，余数为 r1 ，则 a1 r1
五年级下册数学奥数试题——排列组合应用
第2讲 排列组合应用一、知识点上一讲学习了排列组合的计算公式.这讲主要用排列组合解决一些实际问题.在解决实际问题时，先要判断出顺序对于问题的结果有没有影响，从而确定应该用排列还是组合来计算. 排列与顺序有关，而组合与顺序无关.二、典型例题例1 9支球队进行足球比赛：（1）如果实行单循环制，即每两队之间恰好比赛一场.每场比赛后，胜方得3分，负方不得分，平局双方各得1分，那么一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？（2）如果实行双循环制，即每两队之间分主、客场.那么一共要举行多少场比赛？例2 围棋兴趣小组一共有8名同学，请问：（1）如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法？（2）如果从中选3名同学去参加一次全市比赛，共有多少种选法？例3 周末大扫除，老师要从10名男生和10名女生中选出5名留下打扫卫生.（1）如果任意选择，一共有多少中选择方法？（2）如果老师决定选出2名男生和3名女生，一共有多少种选择方法？例4 由数字43210、、、、可以组成多少个（1）没有重复数字的三位数？（2）没有重复数字的三位奇数？（3）小于2000的四位数？例5 （1）6个人分成A 、B 两队拔河.要求这两队都是3个人，一共有多少种分队的方法？（2）6个人分成两队拔河.要求这两队都是3个人，一共有多少种分队的方法？例6 五个同学照相，分别求出在下列条件下有几种排法？（1）五个人排成一排；（2）五个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；（3）五个人排成一排，某两人必须站在两头；（4）五个人排成一排，某两人不能站在两头；（5）五个人排成一排，某两人必须站在一起.三、水平测试1. 某班毕业生中有10名同学参加聚会，他们互相握了一次手，请问这次聚会大家一共握了多少次手？2. 要从15名士兵中选出2名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？3. 小明走进一家商店要买些新衣服，现在从他看中的5件上衣和4条裤子中选出3件上衣和2条裤子，一共有多少种选法？4. 将87654321，，，，，，，这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有________种不同的排法.A. 1152B. 864C. 576D. 288。
四年级奥数讲义：排列组合的综合应用
四年级奥数讲义：排列组合的综合应用排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码？又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法？回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.（前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有20196种不同选法.）当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.解：符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种.注运用两个基本原理时要注意：①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式.解：由此可知，排列共有如下八种：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.分析此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.解法1：分析某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置.解：分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法.第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法.由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个.答：可组成4536个无重复数字的四位数.解法2：分析对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一.解：组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个.第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个.∴由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个.解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数（称为排除法）.此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列.解：从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个（0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个）∴共有满足条件的四位数10×9×8×7-9×8×7=9×8×7×（10-1）=4536个.注用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种？要做到不重不漏.例4 从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？分析首先，构成三角形与三个点的顺序无关因此是组合问题，另外考虑特殊点的情况：如三点在一条直线上，则此三点不能构成三角形，四点在一条直线上，则其中任意三点也不能构成三角形.此题采用排除法较方便.解：组合总数为C311，其中三点共线不能构成的三角形有7C33，四点共线不能构成的三角形有2C34，∴C311-（7C33+2C34）=165-（7+8）=150个.例5 7个相同的球，放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？（请注意，球无区别，盒是有区别的，且不允许空盒）分析首先研究把7分成4个自然数之和的形式，容易得到以下三种情况：①7=1+1+1+4②7=1+2+2+2③7=1+1+2+3其次，将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球，而其余盒子里各放1个球，由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一，有4种放法，而其他盒子只放一个球，而球是相同的，任意调换都是相同的放法，所以第一类只有4种放法.第二类：有一个盒子里放1个球，有4种放法，其余盒子里都放2个球，与第一类相同，任意调换都是相同的放法，所以第二类也只有4种放法.第三类：有两个盒子里各放一个球，另外两个盒子里分别放2个及3个球，这时分两步来考虑：第一步，从4个盒子中任取两个各放一个球，这种取法有C24种.第二步，把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球，这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.∴由加法原理，可得符合题目要求的不同放法有4+4+12=20（种）答：共有20种不同的放法.注本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底，使盒不空，剩下3个球，放入4个有区别盒的放置方式数.例 6 用红、橙、黄、绿、蓝、青、紫七种颜色中的一种，或两种，或三种，或四种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？分析首先介绍正四面体（模型）.正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）.先看简单情况，如取定四种颜色涂于四个面上，有两种方法；如取定一种颜色涂于四个面上，只有一种方法.但取定三种颜色如红、橙、黄三色，涂于四个面上有六种方法，如下图①②③（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄三色）如果取定两种颜色如红、橙二色，涂于四个面上有三种方法.如下图④⑤⑥但是从七种颜色里，每次取出四种颜色，有C47种取法，每次取出三种颜色有C37种取法，每次取出两种颜色有C27种取法，每次取出一种颜色有C17种取法.因此着色法共有2 C47+6 C37+3 C27+ C17=350种.习题六1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如右图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.。
二年级奥数-第二讲：简单的排列组合(教)_
二年级奥数-第二讲：简单的排列组合(教)
小，十位有0和4可以选择，有两种三位数，明显204最小。
分析2不一定要学会，只是对数学爱好者提供一种快速解答的方法。
最大问题时数字由大到小排座位，最小问题时数字由小到大排座位。
例7 从1个1元、2个5毛、10个1毛硬币中拿出1元5毛钱，可以有多少不同的拿法？
分析：1元5毛钱可以由多种组合而成：
1个 +1个 =1元5毛
1个 +5个 =1元5毛
1个 +10个 =1元5毛
2个 +5个 =1元5毛
所以共有4种不同的拿法。
牛刀小试：
1 、罗老师有6件不同颜色的上衣，3条不同颜色的裤子。
如果她每天都想有不同的穿法，请问最多可以穿多少天？
答案： 6*3=18，天数就是衣服的搭配种类，所以有18天
2、从学校出发到电影院有4条路可走，从电影院到游泳池有5条路可走。
请问从学校先到电影院，再到游泳池，一共有多少不同的走法？（要求小朋友画路线图）
答案：4*5=20种
3、用数字2、
4、7组合成多少个没有重复数字的三位数？他们是哪些？
答案：247，274，427，472，724，742.
4、用1个5分、4个2分、9个1分硬币中拿出9分钱，可以有多少种不同的拿法？
答案：8种。
1个5分 + 1个2分 +2个1分
1个5分 +2个2分 +1个1分
1个5分 + 4个1分
1个2分+7个1分
2个2分+5个1分
3个2分+3个1分
4个2分+1个1分
9个1分。
组合二讲义
【复习】1.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？2.将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？1.2.2组合的基本问题考点一：简单组合问题（注意分类与分步几何排列解决无限制条件的排列组合）A B C D E5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，思考：,,,,则冠、亚军的可能情况共有多少种？例1:从1,3,5,7,9中任取三个数，从2,4,6,8中取2个数字，一共可以构成多少个没有重复数字的五位数？例 2.一位教练的足球队共有17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？考点二：有限制条件的组合问题（考虑科学分类分类或者正难则反思路）例3．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；例4.有11名外语翻译，期中五人是英语翻译，4名是日语翻译，两人两语都精通，从中找出8人，4人翻译英语，4人日语，两组同时工作，这8人的名单共有______种。
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排列与组合经典精讲1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.3.排列数公式:4.组合数公式:5.组合数的两个性质m n n m n C C -= 规定：10=n C11-++=m nm n m n C C C 排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.例1. 从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？②有多少个不同的乘法算式？解： ①要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，因为乘法的交换率，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.由组合数公式得到，共有 个不同的乘积.②要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.由排列数公式，共有P 25＝ 5×4＝20种不同的乘法算式.点评：看准是排列还是组合，剩下的就是简单计算了。
例2. 如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？②下右图中，共有多少个角？ )!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---=L )!(!!!)1()2)(1(m n m n m m n n n n A A C m m m n m n -=+---==L解：①在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，而与选这两个端点的顺序无关，所以，这是一个组合问题由组合数公式知，共有条不同的线段；②从O点出发的射线一共有11条，它们是OA， OP1，OP2，OP3，…，OP9，OB.注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角.显然，是组合问题，共有C211种不同的取法，所以，可组成C211个角.由组合数公式知，共有点评：在几何计数当中也用到了很多排列组合的方法。
此题可拓展常用的数线段，数三角形，数正方形、数长方形的公式和方法例3. 国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？解：①实行单循环赛，比赛的所有场次包括三类：第一组中比赛的场次，第二组中比赛的场次，决赛时比赛的场次.总的场次计算要用加法原理。
第一组中8个队，每两队比赛一场，8个队里边选2两个队，是组合问题，所以共比赛C28场；第二组中7个队，每两队比赛一场，所以共比赛C27场；决赛中4个队，每两队比赛一场，所以共比赛C24场.实行单循环赛共比赛②由于是实行主客场制，每两个队之间要比赛两场，比赛场次是①中的2倍.另外，还可以用排列的知识来解决.由于主客场制不仅与参赛的队有关，而且与比赛所在的城市（即与顺序）有关.所以，第一组共比赛P28场，第二组共比赛P27场，决赛时共比赛P24场.实行主客场制，共需比赛2×（C28＋C27＋C24）＝110（场）.或解为：P28＋P27＋P24＝8×7＋7×6＋4×3＝56＋42＋12＝110（场）.例4. 某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？提示1：首先根据不同情况分清楚看是用排列还是组合，然后再根据排列组合公式进行求解。
提示2。
要在42人中选3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，共有C 343种不同的选法. 要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，共有P 342种不同的站法.提示3。
由组合数公式，共有种不同的选法由排列数公式，共有P 342＝42×41×40＝68880种不同的站法.例5. 从8人的数学兴趣小组中选2个（1）分别担任正副组长，有多少种不同的选法？（2）共同参加一次数学竞赛，有多少种不同的选法？提示1：：注意分清排列问题和组合问题提示2：（1）选出正副组长，有正副之分，也就是从8人中选2人后，要进一步确认正副组长，因此是个排列问题（2）题选人参加数学竞赛没有顺序，因此是个组合问题。
提示3：（1）利用排列公式，共有28A =8×7=56种选法。
（2）利用组合公式，共有28C =8721⨯⨯=28种选法。
例6. 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：（1）直线段（2）三角形（3）四边形？提示1：首先观察是组合问题还是排列问题，那就要看你取的点是否与顺序有关？ 提示2：很明显，你要画的三个图形都与取出点的顺序无关，所以三个问题都应该是组合问题。
由于10个点都在圆周上，因此任意三点都不共线，故只要在10个点中任取2点，就可画出一条线段；在10个点中任取3个点，就可画出一个三角形；在10个点中任取4个点就可画出一个四边形。
提示3：由组合数公式：（1）2101094521C ⨯==⨯，可画出45条线段； （2）3101098120321C ⨯⨯==⨯⨯，可画120个三角形；（3）410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，画210个四边形。
例7. 七个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人必须排在一起，有多少种不同的排法？提示1：首先看是排列还是组合？这道题明显是排列问题，然后你再看所要排列的各个元素之间的关系，利用排列公式就可以了。
提示2：甲乙丙三人必须排在一起，可以用分类的方法，考虑三人在七个位置中的不同情况，如： 甲 乙 丙此时甲乙丙占了头三个位置，然后再排其他四个人，最后再考虑甲乙丙三人的顺序，这种方法比较复杂，我们可以换一种方法来考虑这个问题，由于甲乙丙要拍在一起，因此我们可以先将这三个人看作一个元素，将这个元素与其他四个元素进行排序，最后将这三个元素排序，用这种方法大大简化了思维过程。
第一步：甲、乙、丙看作一个元素与其他四个元素排列，即五个元素进行排序：55A ；第二步：甲乙丙三个元素排序：33A提示3：不同的排法数有：55A ×33A =5×4×3×2×1×3×2×1=720.例8. （1）把八本书排在上下两格书架上，每格四本，求有多少种不同的排法？（2）把八本书放在书架上，上格一本，中格三本，下格四本，求有多少种排法？提示1：书放在上层和下层是否相同？弄清楚是排列还是组合？提示2：很明显，书放在上层和下层不相同，应该用乘法原理，但每层书的摆放要用排列原理，（1）八本书中先选四本排在第一格，有48A 种排法，再将剩下4本书排在第二格，有44A 种排法（2）八本书选一本放在上格有18A 种排法，再从剩下的7本中选三本放中格，有37A 种排法，最后四本书放下格，有44A 种方法提示3：根据乘法原理：（1）不同的排法数是44A ×48A =8×7×6×5×4×3×2×1=40320种（2）不同的排法是18A ×37A ×44A =8×7×6×5×4×3×2×1=40320种。
注意：从上两小题发现，无论放几层，分几本放，结果都是一样的，都是40320，若分成4层呢？是不是还是40320？例9. 学校乒乓球队有10名男生，8名女生，现要选8人参加区里比赛，在下列的条件下，分别有多少种排法？（1）恰有3名女生入选；（2）至少有2名女生入选；（3）最多有3名女生入选；（4）某2名女生，某2名男生必须入选。
提示1：此题是个典型的组合问题，元素之间没有顺序，第二三小题中涉及至少至多的问题，一般可分类来解决，而至少有2名女生入选的情况有：2名，3名，4名，5名……8名女生入选，情况较多，因此考虑从全部选法中除去没有女生的选法和恰有1名女生的选法，这种方法称为间接法。
提示2：（1）先选3名女生，38C ，再从10名男生中选5人：510C（2）从全部选法中除去没有女生的选法和恰有1名女生的选法全部选法数818C恰有1名女生入选的选法：18C ×710C没有女生入选的选法：810C分四类，第一类没有女生入选，810C ;第二类，恰有一女生入选，；18C ×710C第三类，恰有二女生入选26810C C ⨯；第四类，恰有三名女生入选35810C C ⨯；（4）某2名女生，某2名男生必须入选，说明有4人已选定，只须从剩下的14人中再选4人提示3：（1）恰有3名女生入选共有：38C ×510C =14112种选法 （2）至少有2名女生入选的方法：818C -18C ×710C -810C =42753种（3）最多有三名女生入选的选法数：810C +18C ×710C +26810C C ⨯+35810C C ⨯=45+960+5880+14112=20997 （4）从剩下的14人中再选4人，共有选法414C =1001种。
例10. 某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解：在每个车队抽调一辆车的基础上，还须抽调的3辆车可分成三类：从一个车队中抽调，有17C ＝7种；从两个车队中抽调，一个车队抽1辆，另一个车队抽两辆，有27A ＝42种；从C＝35辆.由分类计数原理知，共有7＋42＋35三个车队中抽调，每个车队抽调一辆，有37＝84种抽调方法.本题可用档板法来解决：由于每个车队的车均多于4辆，只需将10个份额分成7份.具体来讲，相当于将10个相同的小球，放在7个不同的盒子中，且每个盒子均不空.可将10个小球排成一排，在相互之间的九个空档中插入6个档板，即可将小球分成7份，因而C＝84种抽调方法.有69补充题目1．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐6节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？2. 在7名运动员中选出4人组成接力队，参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？3．有5双不同型号的皮鞋，从中任取4只有多少种不同的取法？所取的4只中没有2只是同型号的取法有多少种？所取的4只中有一双是同型号的取法有多少种？4. 4名男生5名女生，一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？5.有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人.（1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少种分法？（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？（4）平均分成三堆，每堆2本，有多少种分法？家庭作业1.（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）342.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.3.8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38B、83C、38AD、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。