二轮复习 圆锥曲线的性质 学案(全国通用)

微专题67 圆锥曲线的性质

一、基础知识 （一）椭圆： 1、定义和标准方程：

（1）平面上到两个定点12,F F 的距离和为定值（定值大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆，其中

12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距

（2）标准方程：

①焦点在x 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离和

122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22

221x y a b

+=，其中()2220,a b b a c >>=-

②焦点在y 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离和

122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22

221y x a b

+=，其中()2220,a b b a c >>=-

焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大

2、椭圆的性质：以焦点在x 轴的椭圆为例：()22

2210x y a b a b

+=>>

（1）a ：与长轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为长轴长 b ：与短轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为短轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距 （2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称 （3）椭圆上点的坐标范围：设()00,P x y ，则00,a x a b y b -≤≤-≤≤ （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦

② 过焦点且与长轴垂直的弦2

2b PQ a

=

说明：假设PQ 过()1,0F c -，且与长轴垂直，则()()00,,,P c y Q c y ---，所以

22

42

002221c y b y a b a +=⇒=，可得20b y a =。则22b PQ a

= （5）离心率：c

e a

=

，因为c a <，所以()0,1e ∈ （6）焦半径公式：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径

① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - （7）焦点三角形面积：122

tan 2

PF F S b θ

=V （其中12PF F θ=∠）

证明：1212121

sin 2

PF F S PF PF F PF =⋅V 且2

2

2

12

1212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-

()

()2

12

121221cos PF PF PF PF F PF =+-+

()2212124421cos c a PF PF F PF ∴=-+ 222

1212122221cos 1cos a c b PF PF F PF F PF -∴==

++ 12

212121212

112sin sin 221cos PF F b S PF PF F PF F PF PF F =⋅=⋅+V 22121212sin tan 1cos 2

F PF F PF

b b F PF =⋅

=+

因为1200122PF F S c y c y =

⋅⋅=⋅V ，所以2120tan 2

F PF

b c y =⋅，由此得到的推论： ① 12F PF ∠的大小与0y 之间可相互求出

② 12F PF ∠的最大值：12F PF 最大⇔12PF F S V 最大⇔0y 最大⇔P 为短轴顶点 （二）双曲线：

1、定义：平面上到两个定点12,F F 距离差的绝对值为一个常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支

2、标准方程：

① 焦点在x 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离差的绝对值

122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22

221x y a b

-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-

② 焦点在y 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离差的绝对值

122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22

221y x a b

-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-

焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数

2、双曲线的性质：以焦点在x 轴的双曲线为例：()22

2210,0x y a b a b

-=>>

（1）a ：与实轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为实轴长 b ：与虚轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为虚轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距 （2）对称性：双曲线关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称

（3）双曲线上点坐标的范围：设()00,P x y ，则有0x a ≤-或0x a ≥，0y R ∈ （4）离心率：c

e a

=

，因为c a > ，所以()1,e ∈+∞ （5）渐近线：当x →+∞或x →-∞时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。

① 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出y

关于x 的直线即可。例如在()222210,0x y a b a b -=>>中，求渐近线即解：22

220x y a b

-=，变

形为b y x a =±

，所以b

y x a

=±即为双曲线的渐近线 ② 渐近线的几何特点：直线,,,x a x a y b y b ==-==-所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线

③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现,,a b c 的关系。 （6）通径：

① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段