山东省济南市 九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知m−nn=12，则mn的值为（ ）A. 23B. 13C. 32D. 122.在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=45，则cos B的值等于（ ）A. 35B. 45C. 34D. 553.若点A（a，b）在反比例函数y=2x的图象上，则代数式ab-4的值为（ ）A. 0B. −2C. 2D. −64.某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为（ ）A. 5.3米B. 4.8米C. 4.0米D. 2.7米5.若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2（AC＞BC），则AC等于（ ）A. 5−1B. 3−5C. 5−12D. 5−1或3−56.在反比例函数y=-2x图象上有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜0，则下列结论正确的是（ ）A. 0<y1<y2B. y1<y2<0C. 0<y2<y1D. y2<y1<07.河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）A. 53米B. 10米C. 15米D. 103米8.如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E、F分别是PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=3，则S1+S2的值是（ ）A. 3B. 6C. 12D. 249.如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）A. 8tan20∘B. 8tan20∘C. 8sin20∘D. 8cos20∘10.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为（ ）A. 9B. 12C. 15D. 1811.已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于（ ）A. 23B. 34C. 43D. 3212.如图，△ABC和△DEF的各顶点分别在双曲线y=1x，y=2x，y=3x在第一象限的图象上，若∠C=∠F=90°，AC∥DF∥x轴，BC∥EF∥y轴，则S△ABC-S△DEF=（ ）A. 112B. 16C. 14D. 512二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，则a=______cm．14.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则tan A=______．15.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2：3，AD=4，则DB=______．16.如图是某几何体的三视图，则该几何体左视图的面积为______．17.如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=k2+2k+1x的图象上．若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为______．18.如图，反比例函数y=kx的图象经过点（-1，-22），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点D，当ADCD=2时，则点C的坐标为______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）19.计算2sin45°+3tan30°-（π-1）020.已知a6=b5=c4≠0，且a+2b-2c=3，求a的值．四、解答题（本大题共7小题，共66.0分）21.如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=12CD．（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为2，求四边形BCDF的面积．22.如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得大厦顶端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）23.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，-4），B（3，-2），C（6，-3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）若每一个方格的面积为1，则△A2B2C2的面积为______．24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1的图象与反比例函数y2的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，-4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=35．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．25.如图，已知直线l的函数表达式为y=-34x+6，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点Q、P移动时间为t秒．（1）求点A、B的坐标；（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，求时间t的值．26.已知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF，求证：DE=CF；（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：DECF=ADCD；（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，当∠B=∠EGF时，第（2）问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由．27.（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：DPBQ=PEQC；（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM•EN．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵，∴2m-2n=n，则2m=3n，∴=，故选：C．由整理得出2m=3n，由比例的性质可得答案．本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．2.【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cosB=sinA=．故选：B．在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．先把点（a，b）代入反比例函数y=求出ab的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵点（a，b）反比例函数y=上，∴b=，即ab=2，∴原式=2-4=-2．故选：B．4.【答案】B【解析】解：设这棵树的高度为x．∵在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．∴∴x==4.8∴这棵树的高度为4.8米．故选：B．在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高和其影子的比值等于树的高与其影子长的比值．解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．5.【答案】A【解析】解：根据黄金分割点的概念得：AC=AB=（-1）cm．故选：A．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．6.【答案】A【解析】解：∵反比例函数y=-中的k=-2＜0，∴反比例函数y=-的图象经过第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵x1＜x2＜0，∴0＜y1＜y2，故选：A．根据反比例函数图象的增减性解答．考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系．7.【答案】A【解析】解：Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=5米；故选：A．Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．8.【答案】C【解析】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF=BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．故选：C．过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．9.【答案】A【解析】解：由已知图形可得：tan20°=，木桩上升的高度h=8tan20°．故选：A．根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得直角三角形，根据三角函数求解．10.【答案】A【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC-BD=AB-3；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE；∴，即；解得AB=9．故选：A．由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．11.【答案】C【解析】解：如图，过点C作CE⊥l4于点E，延长EC交l1于点F．在矩形ABCD中，∠BCD=90°，∵∠α+∠BCE=90°，∠BCE+∠DCF=180°-90°=90°，∴∠α=∠DCF，又∵∠BEC=∠CFD=90°，∴△BEC∽△CFD，∴=，即=，∴BE=h．在Rt△BCE中，∵∠BEC=90°，∴tanα===．故选：C．过点C作CE⊥l4于点E，延长EC交l1于点F，根据同角的余角相等求出∠α=∠DCF，利用两角对应相等的两三角形相似证明△BEC∽△CFD，再由相似三角形对应边成比例可得BE=h，然后在Rt△BCE中利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角形函数的定义，作辅助线，构造出相似三角形以及∠α所在的直角三角形是解题的关键．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，根据点C、F 的坐标表示出点A、B、D、E的坐标是解题的关键．设点C（a，），点F（b，），由AC∥DF∥x轴、BC∥EF∥y轴利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出点A、B、D、E的坐标，从而得出AC、BC、DF、EF 的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S△ABC-S△DEF的值．【解答】解：设点C（a，），点F（b，），则点A（，）、B（a，）、D（，）、E（b，），∴AC=，BC=，DF=，EF=，∴S△ABC-S△DEF=AC•BC-DF•EF=-=．故选A．13.【答案】1【解析】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴，∵b=3cm，c=2cm，d=6cm，∴，解得：a=1cm．故答案为：1．由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得，又由b=3cm，c=2cm，d=6cm，即可求得a的值．此题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．14.【答案】12【解析】解：如图，△ACD中，∵∠ADC=90°，CD=2，AD=4，∴tanA===．故答案为．把∠A置于直角三角形中，进而求得对边与邻边之比即可．本题考查锐角三角函数的定义，把所求的角置于直角三角形中，是解决本题的突破点．15.【答案】2【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC的周长之比为2：3，∴AD：AB=2：3，∵AD=4，∴AB=6，∴DB=AB-AD=2，故答案为：2．由DE∥BC，易证△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质即可求出AB的长，进而可求出DB的长．此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．16.【答案】123cm2【解析】解：观察该几何体的三视图发现：该几何体为底面为边长为4的正三角形，高为6cm的三棱柱，其左视图为矩形，矩形的一边长为6，另一边的长为=2，面积为：6×2=12cm2，故答案为：12cm2首先根据几何体的三视图确定该几何体的形状，然后计算其左视图的面积即可．考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图的知识，解题的关键是确定该几何体的左视图的形状并确定尺寸．17.【答案】1或-3【解析】解：如图：∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，∴S△CBD-S△BEO-S△OFD=S△ADB-S△BHO-S△OGD，∴S四边形HAGO=S四边形CEOF=2×2=4，∴xy=k2+2k+1=4，解得k=1或k=-3．故答案为1或-3．根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1=4，再解出k的值即可．本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关键是判断出S=S四边形HAGO．四边形CEOF18.【答案】（2，-2）【解析】解：连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．∵反比例函数y=的图象经过点（-1，-2），∴k=-1×（-2）=2．∵△ABC为等腰直角三角形，OA=OB，∴OC=OA，∠AOC=90°．设点A的坐标为（m，）（m＞0），则点C的坐标为（，-m）．∵AE⊥x轴，CF⊥x轴，∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴=，即=，解得m=或m=-（舍去）．∴点C的坐标为（2，-）．故答案为：（2，-）．连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，利用待定系数法可求出反比例函数解析式，设点A的坐标为（m，）（m＞0），由等腰直角三角形的性质结合旋转的性质可得出点C的坐标为（，-m），由AE⊥x轴、CF⊥x轴、∠ADE=∠CDF可证出△ADE∽△CDF，根据相似三角形的性质即可求出m的值，再将其代入点C的坐标中即可得出结论．本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰直角三角形以及旋转的性质和反比例函数等相关知识，根据等腰直角三角形的性质及旋转的性质找出点A、C 坐标间的关系是解题的关键．19.【答案】解：原式=2×22+3×33−1=1+3−1=3．【解析】将特殊锐角的三角函数值代入、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值，掌握零指数幂的规定及实数的运算顺序．20.【答案】解：设a6=b5=c4=k，则a=6k，b=5k，c=4k，∵a+2b-2c=3，∴6k+10k-8k=3，解得：k=38，∴a=6×38=94．【解析】设，得出a=6k，b=5k，c=4k，代入a+2b-2c=3求出k，再求出a即可．本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．21.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，AB∥CD∴∠ABF=∠CEB∴△ABF∽△CEB（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB平行且等于CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，∵DE=12CD，∴S△DEFS△CEB=（DECE）2=19，∵S△DEF=2，∴S△CEB=18，∴S四边形BCDF=S△BCE-S△DEF=16，【解析】（1）根据平行四边形的性质，证明两角对应相等，两三角形相似即可．（2）首先证明△ABF≌DEF，再证明△EFD∽△EBC，利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，即可求出△EBC的面积，由此即可解决问题．本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质和判定是解决问题的关键．22.【答案】解：设AB=x，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∵∠C=30°，∠ADB=45°，CD=80∴DB=x，AC=2x，BC=(2x)2−x2=3x，∵CD=BC-BD=80，3x-x=80，∴x=40（3+1）≈109.3米．答：该大厦的高度是109.3米．【解析】先设AB=x；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得DB、CB的数值，再根据CD=BC-BD=80，进而可求出答案．本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．23.【答案】14【解析】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）△A2B2C2的面积为：4×8-×2×4-×2×6-×2×8=14．故答案为：14．（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用△A2B2C2所在矩形的面积减去周围三角形面积进而得出答案．此题主要考查了轴对称变换和位似变换以及三角形面积求法，根据题意得出对应点位置是解题关键．24.【答案】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E设反比例函数的解析式为y2=kx∵AE⊥x∴∠AEO=90°在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=35，∴AE=3，OE=4，∴A（-4，3）．∵点A在反比例函数上∴k=-12∴y2=-12x；（2）∵B（m，-4）在反比例函数y2=-12x的图象上，∴−4=−12m m=3，∴B（3，-4），设直线AB的解析式为y1=ax+b（a≠0）将点A（-4，3），B（3，-4）代入y1=ax+b，得3=−4a+b−4=3a+b解得a=−1b=−1∴一次函数解析式为y1=-x-1．令y1=-x-1中y=0解得：x=-1∴C（-1，0），∴S△AOB=12×1×(yA−yB)=72；（3）由函数图象知：当y1＜y2时，x的取值范围是：-4＜x＜0，x＞3．【解析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y=．通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度，即求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标，设直线AB的解析式为y=ax+b，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，令该解析式中y=0即可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（3）根据函数图象可以直接得到答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出直线AB 的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．25.【答案】解：（1）∵直线的表达式为y=-34x+6，令x=0，y=6，∴B（0，6），令y=0，∴0=-34x+6，∴x=8，∴A（8，0）；（2）在Rt△BOA中，BO=6，AO=8．∴AC=10，由题意可知，BQ=2t，AQ=10-2t，AP=t，①当AQ=AP时，10-2t=t，∴t=103，②当PQ=AP时如图1，过点P作PH⊥AQ于H，∵PH⊥AQ，∴∠PHA=∠AOB=90°，∵∠HAP=∠OAB，∴△AHP∽△AOB，∴AHAO=APAB，∵PQ=PA，PH⊥AQ∴AH=HQ，∴AH=5-t，∴5−t8=t10∴t=259，③当QP=QA时，如图2，过点Q作QM⊥AP于M，∵QM⊥AP，∴∠QMA=∠AOB=90°，∵∠QAM=∠BAO，∴△AQM∽△ABO，∴AMAO=AQAB∵QP=QA，QM⊥AP，∴AM=PM，∴AM=t2，∴t28=10−2t10，∴t=8021，综上所述，当t=103，t=259，t=8021时，以点A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形【解析】（1）根据坐标轴上点的特点即可求出点A，B坐标；（2）分三种情况，①当AQ=AP时，利用等腰三角形的性质建立方程即可得出结论；②当PQ=AP时，构造出△AHP∽△AOB，得出比例式建立方程求解即可得出结论；③当AQ=PQ时，构造出△AQM∽△ABO，得出比例式建立方程求解即可得出结论．此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．26.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AD=DC，∴∠ADE+∠AED=90°，∵DE⊥CF，∴∠ADE+∠CFD=90°，∴∠AED=∠CFD，∴△ADE≌△DCF，∴DE=CF；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°，∵DE⊥CF，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠DCF+∠CFD=90°，∴∠ADE=∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴DECF=ADDC；（3）解：当∠B=∠EGF时，DECF=ADDC成立，证明：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，则∠CMF=∠CFM，∵AB∥CD，∴∠A=∠CDM，∵AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B=∠EGF，∴∠EGF+∠A=180°，∴∠AED=∠CFM=∠CMF，∴△ADE∽△DCM，∴DECM=ADDC，即DECF=ADDC．【解析】（1）由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且AD=DC，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ADE与三角形DCF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）由四边形ABCD为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形DCF相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证；（3）当∠B=∠EGF时，=成立，理由为：如图3，在AD的延长线上取点M，使CM=CF，利用平行线的性质，以及同角的补角相等得到三角形ADE与三角形DCM相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证．此题属于相似形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．27.【答案】（1）证明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ=APAQ，同理在△ACQ和△APE中，EPCQ=APAQ，∴DPBQ=PEQC．（2）①作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高AQ=22，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，∴AD=13，DE=23，∵DE边上的高为26，MN：GF=26：22，∴MN：23=26：22，∴MN=29．故答案为：29．②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴DGCF=BGEF，∴DG•EF=CF•BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF•BG，由（1）得DMBG=MNGF=ENFC，∴MNGF×MNGF=DMBG•ENCF，∴（MNGF）2=DMBG•ENCF，∵GF2=CF•BG，∴MN2=DM•EN．【解析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案．本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．。
2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学期中试题及答案
2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期数学期中试题及答案一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 下列四个几何体中，主视图为圆的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据几何体的主视图是否为圆进行判断即可．【详解】解：A．圆锥的主视图是三角形，不合题意；B．球的主视图是圆，符合题意；C．正方体的主视图是正方形，不合题意；D．圆柱的主视图是长方形，不合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了三视图，解题时注意：从正面看到的图形是主视图．2. 若34yx=，则x yx+的值为（ ）A. 1B. 47C.54D.74【答案】D 【解析】【详解】∵34 yx=，∴x y x +=3114y x =+=+=74，故选：D3. 已知点(3,2)A -在双曲线k y x =上，则下列各点也在此双曲线上的是（ ）A. (1,6)B. (2,3)C. (1,6)--D. (2,3)-【答案】D【解析】【分析】将点(3,2)A -代入双曲线k y x =，求得k 的值，然后由给点的横纵坐标相乘，结果是﹣6的，就在此函数图象上．【详解】∵A（3，﹣2）在双曲线k y x=上，∴()326k xy ==⨯-=-，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣6的点在函数图象上．A 、因为166⨯=≠k，所以该点不在双曲线k y x=上．故A 选项错误；B 、因为236⨯＝≠k，所以该点在双曲线k y x=上．故B 选项错误；C 、因为()()616-⨯-=≠k，所以该点不在双曲线k y x =上．故C 选项错误；D 、因为()236-⨯=-＝k ，所以该点不在双曲线k y x=上．故D 选项正确．故选D ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．4. 顺次连结某四边形的中点所得的图形是菱形，则这个某四边形一定是（ ）A. 正方形B. 矩形C. 对角线相等的四边形D. 平行四边形【解析】【分析】连接AC 、BD ，根据三角形中位线定理得到EH AC FG ∥∥，12EH FG AC ==，同理可证，12EF GH BD ==，可知当BD AC =时，四边形为菱形．【详解】解：如图连接AC 、BD ，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边中点，EH AC ∴ ，GF AC ∥，即，12EH AC =，12GF AC =，同理可证，12EF GH BD ==，∴当BD AC =时，EF GH GF EH ===，即，四边形EFGH 是菱形，即顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形时，该四边形一定是对角线相等的四边形，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理，三角形的中位线定理是解此题的关键．5.在一个不透明的袋子中放有若干个球，其中有6个白球，其余是红球，这些球除颜色外完全相同.每次把球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右，则红球的个数约是（ ）A. 2B. 12C. 18D. 24【解析】【分析】根据用频率估计概率可知:摸到白球的概率为0.25,根据概率公式即可求出小球的总数,从而求出红球的个数.【详解】解:小球的总数约为:6÷0.25=24(个)则红球个数为:24－6=18(个)故选C.【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求小球的总数,掌握概率公式是解决此题的关键.6.若关于x 一元二次方程230x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（ ）A. 9- B. 94- C. 94 D. 9【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ0=，进而即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个相等的实数根，∴24940b ac m ∆=-=-=．解得：94m =．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++=(0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=-，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．7. 如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，将BCD △沿对角线BD 折叠得到,BDE BE 交AD 于点O ，BE 恰好平分ABD，若AB =O 到BD 的距离为（ ）的的B. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】如图，过点O作OF⊥BD于F，可得OF为点O到BD的距离，根据矩形的性质可得∠A=∠ABC=90°，根据折叠性质可得∠EBD=∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ABO=∠EBD，即可得出∠ABO=30°，根据角平分线的性质可得OA=OF，利用∠ABO的正切值求出OA的值即可得答案．【详解】如图，过点O作OF⊥BD于F，∴OF为点O到BD的距离，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，△沿对角线BD折叠得到△BDE，∵将BCD∴∠EBD=∠CBD，，∵BE恰好平分ABD∴∠ABO=∠EBD，OA=OF，∴∠EBD=∠CBD=∠ABO，∴∠ABO=30°，∵AB∴OF=OA=AB·tan30°=2，故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．8.如图，ABC ∽ADE V ，ABC S ：1BDEC S =四边形：2，其中CB =DE 的长为（）B. C. D. 6【答案】A【解析】【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：ABC S ：1BDEC S =四边形：2，ABC S ∴ ：1ADE S =△：3，ABC ∽ADE V ，BC DE ∴=，CB = ，DE ∴=故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．9. 已知点()14,A y -，()22,B y -，()33,C y 都在反比例函数()0k y k x=<的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A. 321y y y << B. 132y y y <<C. 312y y y << D. 231y y y <<【答案】C【解析】【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】解： 在反比例函数(0)k y k x=<中，0k <，∴此函数图象在二、四象限，420-<-< ，∴点()14,A y -，2(2,)B y -在第二象限，10y ∴>，20y >，函数图象在第二象限内为增函数，420-<-<，120y y ∴<<．30> ，3(3,)C y ∴点在第四象限，30y \<，1y ∴，2y ，3y 的大小关系为312y y y <<．故选：C ．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．10.在正方形ABCD 中，2AB =，E 是BC 的中点，在BC 延长线上取点F 使EF ED =，过点F 作FG ED ⊥交ED 于点M ，交AB 于点G ，交CD 于点N ，以下结论中：①12CN CF =；②NM NC =；③12CM EG =；④GBEM S =四边形．正确的是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【答案】B【解析】【分析】根据已知确定:1:2CE CD =，再证明DEC FEM ≌ 可得2,1,2MF CD ME CE MF CD ======，进一步证明MEF CNF ∽ ，判定①对，然后证明Rt Rt DMN FCN ≌ 可得NM CN =得出②对，由三角形全等，勾股定理得③错误；在Rt EFM △中，EF =，则1BF =+，再证明Rt Rt GBF FCN ∽ 可得12GF CN BF CF ==，则12GF BF ==，所以11212BGE S GE BE =⨯==⋅ ，由Rt Rt GBE GME ≌ ，即可得④对从而的结论．【详解】解：∵正方形ABCD 中，2AB =，E 是BC 的中点，1,2,90BE CE CD AB DCE ∴====∠=︒，:1:2CE CD ∴=，在DEC 和FEM △中，90DEC MEF DCE FME EF ED ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AAS DEC FEM ∴≌ ，2,1,2MF CD ME CE MF CD ∴======，,90FG ED DCF ⊥∠=︒ ，90EMF DCF ∴∠=∠=︒，又F F ∠=∠ ，MEF CNF ∴∽ ，∴12CN ME CF MF ==，故①对；EF ED = ，EF CE ED EF ∴-=-，DM FC ∴=，MND FNC ∠= ，Rt Rt DMN FCN ∴≌ ，NM CN ∴=，故②对；,BE EC ME EC == ，BE ME ∴=，GE GE =，()Rt Rt HL GBE GME ∴≌ ，BEG MEG ∴∠=∠，,ME EC EMC ECM =∠=∠ ，EMC ECM BEG MEG ∠+∠=∠+∠ ，GEB MCE ∴∠=∠，MC GE ∴∥，CMF EGF ∴∽ ，CM CF EG EF=∴，EF DE === 1CF EF EC =-=-，CM EG ==∴，故③错误；在Rt EFM △中，EF ===1BF BE EF ∴=+=CN BG ∥ ，Rt Rt GBF FCN ∴∽ ，∴12GF CN BF CF ==，12GF BF ∴==，11212BGE GE S BE ∴⨯==⋅=1,BE ME GE EG === ，()Rt Rt HL GBE GME ∴≌ ，22BGE GBEM S S ∴===四边形 ，故④对，故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、勾股定理、正方形的性质、相似三角形的性质乃综合题，理解题意是解决问题的关键．二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 如图，在菱形ABCD 中，1060AB B ︒=∠=，，则AC 的长为___________．【答案】10【解析】【分析】由菱形ABCD 中，=60B ∠︒，易证得ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴10AB BC ==，∵=60B ∠︒，∴ABC 是等边三角形，∴10AC =．故答案为：10．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．12.如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥.若2AO =，1OF =，2FD =.则BE EC 的值为______．【答案】32【解析】【分析】由平行线分线段成比例可得，21BO AO OE OF ==，12OE OF EC FD ==，得出2BO OE =，2EC OE =，从而2322BE OE OE EC OE +==.【详解】AB EF CD ， 2AO =，1OF =，21BO AO OE OF ∴==，2BO OE ∴=，12OE OF EC FD ==，2EC OE ∴=，2322BE OE OE EC OE +∴==；故答案为：32.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.13.一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球恰好颜色不同的概率是______．【答案】12【解析】【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，∴两次摸到球是一白一红的概率为2142=，故答案为：12．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．14. 已知α、β是方程2210x x +-=的两个实数根，则23ααβ++的值为_______．【答案】1-【解析】【分析】根据题意求出221αα+=，2αβ+=-的值，代入代数式进行计算即可．【详解】解：∵已知α、β是方程2210x x +-=的两个实数根，∴2210+-=αα，2αβ+=-∴221αα+=，∴2232121ααβαααβ++=+++=-=-．故答案为：1-．【点睛】本题考查的是根与系数的关系，熟知12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，1212b c a x x x x a+=-=是解题的关键．15.如图Rt OAB 中，直角顶点O 在坐标原点，且2OB OA =，点A 在()20=>y x x上，点B 在k y x=上，则k =__________．的【答案】8【解析】【分析】过点B 作BN x ⊥轴交于点N ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，结合题意和直角三角形两个锐角互余可推得NBO AOM ∠=∠，BON OAM ∠=∠，根据相似三角形的判定和性质可得2BN OM =，2ON AM =，设AM a =，则2ON a =，根据题意可求得2OM a =，4BN a =，推得点B 的坐标，代入k y x=，即可求解．【详解】解：过点B 作BN x ⊥轴交于点N ，过点A 作AM x ⊥轴交于点M ，如图：∵90AOB ∠=︒，BN x ⊥轴，AM x ⊥轴，∴90BON AOM ∠+∠=︒，90BON NBO ∠+∠=︒，90OAM AOM ∠+∠=︒，∴NBO AOM ∠=∠，BON OAM ∠=∠，∴NBO MOA ∽，∴=BN ON OB OM AM OA=，∵2OB OA =，∴2BN OM =，2ON AM =，设AM a =，则2ON a =，∵点A 在()20=>y x x上，将y a =代入()20=>y x x 得：2x a=，∴2OM a =，则4BN a=，故42,B a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵点B 在k y x=上，将42,B a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入k y x =得：42k a a =-，解得：8k =-，故答案为：8 ．【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，相似三角形的判定和性质，求反比例函数的函数值和自变量，熟练掌握反比例函数上点的特征是解题的关键．16.如图，在矩形ABCD 中，BD 为对角线，将矩形ABCD 沿BE 、BF 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处，点C 落在BD 上的点N 处，连接EF ，交BD 于点O ．已知6,8AB BC ==，则OM 的长为________．【答案】1817##1117【解析】【分析】根据勾股定理求出BD ，根据折叠的性质得到,6,8AE EM BM AB BN BC =====，证明EDM BDA ∽ ，根据相似三角形的性质求出DE ，同理出去DF ，进一步求得,EM FN ，根据EOM FON ∽ ，得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，6,8,90AB CD AD BC A C EDF ∴====∠=∠=∠=︒，10BD ∴===，∵将矩形ABCD 沿BE 、BF 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处，点C 落在BD 上的点N 处，,6,8,90AE EM BM AB BN BC A BME ∴=====∠=∠=︒，90,862EMD MN BN BM ∴∠=︒=-=-=，EDM ADB ∠=∠ ，EDM BDA ∴∽ ，ED EM BD AB∴=，设DE x =，则8AE EM x ==-，∴8106x x -=，解得，5x =，即5DE =，853EM ∴=-=，同理，DNF DCB ∽ ，DF NF BD BC∴=，设DF y =，则6CF NF y ==-，∴6108y y -=，解得，103y =，即103DF =，108633NF CF ∴==-=，90EMD BNF ∠=∠=︒ ，EM FN ∴∥，EOM FON ∴∽ ，OM EM ON FN ∴=，即3823OM OM =-，1817OM ∴=，故答案为：1817．【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换的性质、证明三角形相似是解题的关键．三．解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解方程：（1）2210x x --=（2）()3122x x x-=-【答案】（1）11x =+，21x =-（2）123x =-，21x =【解析】【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；（2）变形后用因式分解法解一元二次方程即可．【小问1详解】2210x x --=由题意得，1,2,1a b c ==-=-，则()()22424118b ac ∆=-=--⨯⨯-=，∴1x ===±，即11x =21x =【小问2详解】()3122x x x-=-可变为，()()3210x x +-=则320x +=或10x -=解得123x =-，21x =；【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．18. 如图，在矩形ABCD 中，AE BD ⊥于点,E BF AC ⊥于点F ．求证：AE BF =．【答案】见解析【解析】【分析】根据矩形的性质以及已知条件，AAS 证明AOE BOF △≌△，根据全等三角形的性质，即可得证．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OB =,AE BD BF AC ⊥⊥ ，90AEO BFO ︒∴∠=∠=又∵AOE BOF∠=∠AOE BOF∴ ≌AE BF∴=【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．19. 如图，在 ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC ，AC ＝3，求CD 的长．【答案】2【解析】【分析】根据题意DBC A ∠∠＝，结合图形中公共角DCB BCA ∠∠＝，推出BCD ACB ∽，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可．【详解】解：∵DBC A DCB BCA ∠∠∠∠＝，＝，∴BCD ACB ∽，∴BC CD AC CB ==解得CD ＝2，故CD 长为2．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．20. 如图，已知O 是坐标原点，A ，B 两点的坐标分别为()()3,1,2,1-．（1）以点O 为位似中心，在y 轴左侧将OAB 放大为原来的两倍，画出OA B ''△；（2）A 点的对应点A '的坐标是 ；OA B ''△的面积是 ；（3）在AB 上有一点(),P x y ，按（1）的方式得到的对应点P '坐标是 ．【答案】（1）见解析 （2）()6,2-，10（3）()2,2x y --【解析】【分析】本题主要考查了作图-位似变换．（1）利用位似变换的性质分别作出A ，B 的对应点,A B ''即可；（2）根据点的位置写出坐标，利用分割法求出三角形面积；（3）利用位似变换的性质求解．【小问1详解】解：如图，OA B ''△即为所求；【小问2详解】解：A 点的对应点A '的坐标是()6,2-，OA B ''△的面积1114624262410222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；故答案为：()6,2-，10；【小问3详解】解：在AB 上有一点(),P x y ，按（1）的方式得到的对应点P '坐标是()2,2x y --．故答案为：()2,2x y --．21.如图，O 为平行四边形ABCD 的对称中心，对角线AC⊥AB，过点O 作直线//EF AB ，分别交A D ，BC 于E ，F ，连接AF ，CE ．（1）证明：四边形AFCE 是菱形；（2）若四边形AFCE 是正方形且BC ＝6，求AB 的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质以及O 为平行四边形ABCD 的对称中心得，()AOE COF AAS ≅ ，由全等的性质得，OE OF =，先证出四边形AFCE 是平行四边形，再由AC AB ⊥，//EF AB ，即可证明四边形AFCE 是菱形；（2）根据正方形的性质以及//EF AB 可求出，45B CFE ∠=∠=︒，由AC AB ⊥可得，BAC 是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解．【详解】（1） 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AEO CFO \Ð=Ð，O 为平行四边形ABCD 的对称中心，OA OC ∴=，在AOE △与COF 中，AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOE COF AAS ∴≅ ，OE OF ∴=，∴四边形AFCE 是平行四边形，AC AB ⊥ ，//EF AB ，AC EF ∴⊥，∴四边形AFCE 是菱形；（2） 四边形AFCE 是正方形，90AFC ∴∠=︒，AF CF =，45AFE CFE ∠=∠=︒，//EF AB ，45B CFE ∴∠=∠=︒，AC AB ⊥ ，BAC ∴ 是等腰直角三角形，由勾股定理得： 222AB AC BC +=，2226AB ∴=，A B ∴=．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定以及正方形的性质，熟记平行四边形和特殊平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．22.为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；（2）C 组所对应的扇形圆心角为_______度；（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．【答案】（1）40，图见解析（2）72 （3）560（4）12【解析】【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】÷=（名），本次调查总人数为410%40---=（名），C组人数为40416128补全图形如下：故答案为：40；【小问2详解】836072⨯︒=︒，40故答案为：72；【小问3详解】161400560⨯=（人），40故答案为：560；【小问4详解】画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为61122=．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．23.白银市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20%（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设该品牌头盔的实际售价为y 元，根据月销售利润=每个头盔的利润⨯月销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，求解出y 的值，根据尽可能让顾客得到实惠取值即可求出结论．【小问1详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，依题意，得：()21501216x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；【小问2详解】解：设该品牌头盔的实际售价为y 元，依题意，得：()40306005100000.5y y -⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，整理，得：213040000y y -+=，解得：180y =（不合题意，舍去），250y =，尽可能让顾客得到实惠，∴该品牌头盔的实际售价应定为50元，答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．24.物体在太阳光线的照射下会留下“影子”，某兴趣小组在利用影子测量物体的高度时，甲同学测得一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为0.5米，请解答下列问题．（1）如图1，乙同学测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为6米，那么旗杆AB 的高度为 米．（2）如图2，丙同学想测量一棵树DE 的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，地面上的影长EF 为3米，墙上的影长GF 长为1米，则树DE 的高度为多少？（3）如图3，丁同学想测量一根电线杆HI 的高度，他发现电线杆的影子恰好落在地面和一斜坡上，测得地面上的影长IJ 为4米，坡面上的影长JK 为2米，已知斜坡的坡角为30︒，则电线杆的高度是多少？【答案】（1）12 （2）树DE 的高度为7米（3）电线杆的高度是(9+米【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用、相似三角形的应用举例．（1）根据物体的高度与其在地面上的影长的关系计算；（2）连接DG并延长，交直线EF于点H，根据物体的高度与其在地面上的影长的关系列式计算即可；（3）连接HK并延长，交直线IJ于点C，过点K作KN IC⊥于点N，根据锐角三角函数的定义分别求出,KN JN，计算即可．【小问1详解】解：∵一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为0.5米，∴旗杆AB在地面上的影长BC为6米，旗杆AB的高度为12米，故答案为：12；【小问2详解】解：如图2，连接DG并延长，交直线EF于点H，1GF=米，0.5FH∴=米，3.5EH EF FH∴=+=米，则1 3.50.5 DE=，解得：7DE=，答：树DE的高度为7米；【小问3详解】解：如图3，连接HK并延长，交直线IJ于点C，过点K作KN IC⊥于点N，在Rt KJN 中，2JK =米，30KJN ∠=︒，则112KN JK ==米，cos 2JN JK KJN =⋅∠==由题意得：0.5CN =米，(4.5IC ∴=+米，10.5=，解得：9HI =+米，答：电线杆的高度是(9+米．25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx b =+与x 轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，与反比例函数m y x=在第四象限内的图象交于点()6,C a ．（1）求反比例函数的表达式：（2）当m kx b x+>时，直接写出x 的取值范围；（3）在双曲线m y x=上是否存在点P ，使ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6y x =-（2）<2x 或06x <<（3）()32-，或()16-，【解析】【分析】（1）将()4,0A ，()0,2B 代入y kx b =+,求得一次函数表达式，进而可得点C 的坐标，再将点C 的坐标代入反比例函数即可；（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；（3）过点A 作AP BC ⊥交y 轴于点M ，勾股定理得出点M 坐标，在求出直线AP 的表达式，与反比例函数联立方程组即可．【小问1详解】解：把()4,0A ，()0,2B 代入y kx b =+中得：402k b b +=⎧⎨=⎩，∴122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线y kx b =+的解析式为122y x =-+，在122y x =-+中，当6x =时，1212y x =-+=-，∴()61C -，，把()61C -，代入m y x=中得：16m -=，∴6m =-，∴反比例函数的表达式6y x =-；【小问2详解】的解：联立1226y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得61x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩，∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为()()6123--，、，，∴由函数图象可知，当<2x -或06x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴当mkx b x +>时，<2x -或06x <<；【小问3详解】解：如图所示，设直线AP 交y 轴于点()0M m ，，∵()4,0A ，()0,2B ，∴222244BM m m m =-=-+，2222420AB =+=，2222416AM m m =+=+，∵ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形，∴90BAM ∠=︒，∴222BM BA AM =+，∴22442016m m m -+=++，解得8m =-，∴()08M -，，同理可得直线AM 的解析式为28y x =-，联立286y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩或16x y =⎧⎨=-⎩，∴点P 的坐标为()32-，或()16-，．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．26. （1）问题发现：如图1，ABC 和DEC 均为等边三角形，直线AD 和直线BE 交于点F ．填空：①请写出图1中的一对全等三角形： ；②线段AD BE ，之间的数量关系为 ；③AFB ∠的度数为 ；（2）类比研究：如图2，ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，90,,ABC DEC AB BC DE EC ∠=∠=︒==，直线AD 和直线BE 交于点F ，请判断AFB ∠的度数及线段AD BE ，之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，在ABC 中，90,30,5ACB A AB ∠=︒∠=︒=，点D 在AB 边上，DE AC 于点E ，3AE =，将ADE V 绕着点A 在平面内旋转，请直接写出直线ED 经过点B 时BD 长．的【答案】（1）①ACD 和BCE ；②AD BE =；③60︒；（2）45AFB ∠=︒，AD =．理由见解析；（3）4BD =或4-【解析】【分析】（1）根据ABC 和DEC 均为等边三角形，①运用等边三角形性质证明()SAS ACD BCE ≌△△；②由ACD BCE △△≌即可得出结论；③由三角形内角和定理及ACD BCE △△≌，即可得到答案；（2）先根据ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，证明ACD BCE △△∽，可得CAD CBE ∠=∠，AD AC BE CB==（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵ABC 和DEC 均为等边三角形，60,,ACB DCE CA CB CD CE ∴∠=∠=︒==，ACD BCD BCD BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD 和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACD BCE ≌△△，,AD BE CAD CBE ∴=∠=∠，CBE AFB CAD ACB ∠+∠=∠+∠ ，60AFB ACB ∴∠=∠=︒，故答案为：①ACD 和BCE ；②AD BE =；③60︒；（2）45AFB ∠=︒，AD =．理由如下：∵ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，90,,ABC DEC AB BC DE EC ∠∠=︒==＝，AC CD CB CE∴==45ACB DCE ∠=∠=︒，ACB BCD BCD DCE ∴∠+∠=∠+∠，即ACD BCE ∠=∠，∵AC CD CB CE==，ACD BCE ∴∽ ，CAD CBE ∴∠=∠，AD AC BE CB ==，AD ∴=，CAD ACB CBE AFB ∠+∠=∠+∠ ，45AFB ACB \Ð=Ð=°；（3）如图3中，90AEB ACB =∠=︒ ，∴A，B ，C ，E 四点共圆，30,CEB CAB ABD ACE ∴∠=∠=︒∠=∠，30FAE BAC ∠=∠=︒ ，BAD CAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∽ ，∴cos30EC AC BD AB ==︒=EC ∴，在Rt ADE △中，3,30AE DAE =∠=︒，DE ∴==4BE ∴==，4BD BE DE ∴=-=如图4中，当D ，EB 在同一直线上时，同法可知4BD DE EB =+=+，综上所述，4BD=+或4．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形性质，特殊角三角函数值，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质是解题关键．。
2023-2024学年度第一学期山东省济南市九年级数学期中复习试卷及参考答案
2023-2024学年度第一学期山东省济南市九年级数学期中复习试卷（ 第2章 一元二次方程 ～ 第六章 反比例函数 ）一、选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）1．一元二次方程x （x ＋2）＝0的解为（ ）A ．x ＝0B ．x ＝﹣2C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝﹣22．一个几何体如图水平放置，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若ABC DEF △△∽，其相似比为2:3，则ABC 与DEF △的面积比为（ ）A ．2:3B ．3:2C ．4:9D ．16:814．已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（ ）A ．（1，﹣2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）5.甲、乙两人用“分歧终端机”玩“石头、剪刀、布”：两人先把手伸进不透明的圆筒中出手势， 然后同时打开圆筒判断胜、负、平，从而使游戏公平进行．两人玩一次“石头、剪刀、布”，求甲获胜的概率（ ）A ．12B ．13C ．14D ．166．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取B ，C ，D 三点，使得AB BC ⊥，CD BC ⊥，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得30m BE ＝，10m CE ＝，20m CD ＝，则河的宽度为（ ）A ．20mB ．30mC ．40mD ．60m7．函数y ax a =+与(0)a y a x=≠在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8. 如图，小明在A 时测得某树的影长为8m ，B 时又测得该树的影长为2m ，A．2m B．4m C．6m D．8m9.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9 m，则两路灯之间的距离是（）A．24 m B．25 m C．28 m D．30 m10.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为（）A．①②B．②③C．①②③D．②③④二、填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）11．若23a b =，则a b b += ． 12.桌面上倒扣着形状大小相同，背面图案相同的下面五张卡片，从中任意选取一张卡片，恰好是带有光盘行动字样卡片的概率是 ．13．关于x 的一元二次方程20x x a +−=的一个根是2，则另一个根是 ．14．如图，已知路灯离地面的高度AB 为4.8m ，身高为1.6m 的小明站在D 处的影长为2m ，那么此时小明离电杆AB 的距离BD 为 m ．15 .如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2570m ，则道路宽x 为 m ．16.如图，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为(4,0)，点B 在y 轴上， 若反比例函数(0)k y k x =≠的图象过点C ，则k 的值为 ．三、解答题（本大题共有10个小题，共86分）17，用适当的方法解方程：（1）x2+6x+4＝0；（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0．18.小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于2，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．19.如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．AB=，20.已知如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，5mBC=．某一时刻AB在太阳光下的投影3m(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，计算DE的长．21．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果AB=3，EC=2，求DC的长．322．为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全校学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被抽取的部分人数是名；（2）把条形统计图补充完整；（3）某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率．23.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率；(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？24 .如图，Rt ABC △，90C ∠=°，10cm AC =，8cm BC =．点P 从点C 出发，以2cm /s 的速度沿CA 向点A 匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿BC 向点C 匀速运动，设点P 、Q 运动时间为t ，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．(1)求经过几秒后，PCQ △的面积等于216cm(2)经过几秒，PCQ △与ABC 相似？(3)①是否存在t ，使得PCQ △的面积等于220cm 若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由； ②设四边形APQB 的面积为S ，请直接写出．．．．S 的最大值或最小值．25.如图，一次函数y ＝﹣x +3的图象与反比例函数y ＝（k ≠0）在第一象限的图象交于A （1，a ）和B ，与x 轴交于C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且△APC 的面积为5，求点P 的坐标；（3）若点P 在y 轴上，是否存在点P ，使△ABP 是以AB 为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．26．（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．2023-2024学年度第一学期山东省济南市九年级数学期中复习试卷（解答卷） （ 第2章 一元二次方程 ～ 第六章 反比例函数 ）一、选择题（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）1．一元二次方程x （x ＋2）＝0的解为（ ）A ．x ＝0B ．x ＝﹣2C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝﹣2【答案】D2．一个几何体如图水平放置，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B3．若ABC DEF △△∽，其相似比为2:3，则ABC 与DEF △的面积比为（ ）A ．2:3B ．3:2C ．4:9D ．16:81【答案】C4．已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（ ）A ．（1，﹣2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣1，﹣2）【答案】D5.甲、乙两人用“分歧终端机”玩“石头、剪刀、布”：两人先把手伸进不透明的圆筒中出手势， 然后同时打开圆筒判断胜、负、平，从而使游戏公平进行．两人玩一次“石头、剪刀、布”，求甲获胜的概率（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B6．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取B ，C ，D 三点，使得AB BC ⊥，CD BC ⊥，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得30m BE ＝，10m CE ＝，20m CD ＝，则河的宽度为（ ）A ．20mB ．30mC ．40mD ．60m【答案】D7．函数y ax a =+与(0)a y a x =≠在同一坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】A8.如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（）A．2m B．4m C．6m D．8m【答案】B9.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9 m，则两路灯之间的距离是（）A．24 m B．25 m C．28 m D．30 m 【答案】D10.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝14CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为（）A．①②B．②③C．①②③D．②③④【答案】B二、填空题（本大题共有6个小题，每小题4分，共24分）11．若23ab=，则a bb+=．【答案】5 312.桌面上倒扣着形状大小相同，背面图案相同的下面五张卡片，从中任意选取一张卡片，恰好是带有光盘行动字样卡片的概率是．【答案】2 5【答案】-314．如图，已知路灯离地面的高度AB 为4.8m ，身高为1.6m 的小明站在D 处的影长为2m ，那么此时小明离电杆AB 的距离BD 为 m ．【答案】415 .如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2570m ，则道路宽x 为 m ．【答案】116.如图，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为(4,0)，点B 在y 轴上， 若反比例函数(0)k y k x=≠的图象过点C ，则k 的值为 ．三、解答题（本大题共有10个小题，共86分）17，用适当的方法解方程：（1）x 2+6x +4＝0； （2）x （x ﹣2）+x ﹣2＝0．解：（1）x 2+6x +4＝0， ∵a =1，b =6，c =4，∴x =∴13x =−23x =−；（2）x （x ﹣2）+x ﹣2＝0，化简得：x 2﹣x ﹣2＝0， 因式分解得：（x ﹣2）（x +1）＝0 解得：12x =，21x =−．18.小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形． 转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于2，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．解：这个游戏对双方是公平的．列表得：∴一共有6种情况，积大于2的有3种，∴P(积大于2)＝31=62， ∴这个游戏对双方是公平的．19.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP ．证明：∵四边形ABCD 是正方形∴90D C ∠=∠=°，4AD CD BC === ∵3BP PC = ∴114PC BC == ∵Q 是CD 的中点 ∴122DQ CQ CD ===∵4221AD CQ ==，21DQ PC = ∴AD DQ CQ PC = ∵90D C ∠=∠=° ∴ADQ QCP ∽．20.已知如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，5m AB =，某一时刻AB 在太阳光下的投影3m BC =．(1)请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影．(2)在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，计算DE 的长．解：（1）DE 在阳光下的投影是EF 如图所示；（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，,AB DE AC DF ∥∥ABC DEF ∴ ∽，5m AB = ，3m BC =，6m EF =， ∴AB DE BC EF=， ∴536DE =， ()10m DE ∴=，答：DE 的长为10m ．21．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE =60°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）如果AB =3，EC =23，求DC 的长．解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，AB =AC ，∵∠B +∠BAD =∠ADE +∠CDE ，∠B =∠ADE =60°，∴∠BAD =∠CDE∴△ABD ∽△DCE ；（2）解：由（1）证得△ABD ∽△DCE ， ∴BD CE =，设CD=x，则BD=3﹣x，∴33x−=23x∴x=1或x=2，∴DC=1或DC=2．22．为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全校学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被抽取的部分人数是名；（2）把条形统计图补充完整；（3）某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率．解：（1）本次被抽取的人数是2440%60÷=（名）．故填：60；（2）条形图中，D级人数为：−−−=（名），603182415补全条形统计图为：、、、，画树状图如图：（3）把小利、小芳、小明、小亮分别记为A B C D共有12个等可能的结果，小利被选中的结果有6个，．∴小利被选中的概率为：61=12223.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？解：（1）设每次降价的百分率为x ，依题意得：()240132.4x −=． 解方程得：10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意舍去）． 答：每次降价的百分率为10%；（2） 设每件应降价y 元，依题意得：()()4030488504y y −−+=理得2430y y −+=． 解方程得：11y =，23y =．要尽快减少库存，所以取3y =．答：每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价3元．24 .如图，Rt ABC △，90C ∠=°，10cm AC =，8cm BC =．点P 从点C 出发，以2cm /s 的速度沿CA 向点A 匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿BC 向点C 匀速运动，设点P 、Q 运动时间为t ，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．(1)求经过几秒后，PCQ △的面积等于216cm ？(2)经过几秒，PCQ △与ABC 相似？(3)①是否存在t ，使得PCQ △的面积等于220cm 若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由； ②设四边形APQB 的面积为S ，请直接写出．．．．S 的最大值或最小值．解：（1）由题意知，2cm PC t =，cm BQ t =，∵10cm AC =，8cm BC =，∴()8cm CQ t =−，05t <≤，∵PCQ △的面积等于216cm ， ∴1162PC CQ = ∴()128162t t ×−= ，即()240t −= ∴124t t == 即经过4秒后，PCQ △的面积等于216cm（2）∵90ACB PCQ °∠=∠=， ∴①当PCQ ACB ∽时，PC CQ AC BC∴28108t t −=， 解得：40t =；②当PCQ BCA ∽时，PC CQ BC AC∴28810t t −=， 解得：167t =； 由①②可得：当经过4013秒或167秒PCQ △与ABC 相似 （3）①不存在，理由:假设存在t ，使得PCQ △的面积等于220cm ， ∴1202PC CQ = ∴()128202t t ×−= ， ∴28200t t −+=，而644120160∆=−××=−<，∴此方程无实数根，∴不存在t ，使得PCQ △的面积等于220cm②设四边形APQB 的面积为S∴ABC PCA S S S −△△1122BC AC PC CQ − ()118102822t t =××−− 2840t t =−+()2424t =−+25.如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B，与x轴交于C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2），把A（1，2）代入反比例函数，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，理由如下：联立，解得：或，∴B点坐标为（2，1），∵点P在y轴上，∴设P（0，m），∴AB＝＝，AP＝，PB＝，若BP为斜边，∴BP2＝AB2+AP2 ，即＝2+，解得：m＝1，∴P（0，1）；若AP为斜边，∴AP2＝PB2+AB2 ，即＝+2，解得：m＝﹣1，∴P（0，﹣1）；综上所述：P（0，1）或P（0，﹣1）．26．（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．解：（1）证明：如图1∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC∴△ADP∽△BPC．∴即AD·BC=AP·BP．（2）结论AD·BC=AP·BP 仍成立．理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC．又∵∠BPD=∠A+∠ADP．∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP．∵∠DPC =∠A=θ．∴∠BPC =∠ADP又∵∠A=∠B=θ．∴△ADP∽△BPC．∴∴AD·BC=AP·BP．（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E．∵AD=BD=5，AB=6．∴DC=DE=4．∴BC=5-4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B．由已知，∠DPC =∠A，∴∠DPC =∠A=∠B．由（1）（2）可得：AD·BC=AP·BP．又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1．解得t1=1，t2=5．∴t的值为1秒或5秒．。
山东省济南市历下区2022—2023学年九年级上学期期中考试数学试题
山东省济南市历下区2022—2023学年九年级上学期期中考试数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}, B={2,4,6}, 则A∩B=（）A. {1,2,3,4,6}B. {2}C. {1,3}D. {4,6}2. 已知x≠0，则“x＞2”的否定是（）A. x≤2B. x≥2C. x＞-2D. x≤-23. 已知直线l：2x+3y=6，则l的斜率为（）A. -2B. -1/2C. 1/2D. 24. 若直线ax+by+c=0与圆x^2+y^2=4相交，则a^2+b^2的值为（）A. 4B. 8C. 16D. 325. 已知a，b为实数，且ab≠0，则“a＞b”的否定是（）A. a≤bB. a＞-bC. a≥bD. a＜-b二、填空题（每小题3分，共15分）6. 已知直线l：y=2x-3，则l的斜率为 _______ 。
7. 已知直线l：2x+3y=6，则l的倾斜角为_______ 。
8. 若抛物线y^2=2px（p>0）的焦点为F，则p的值等于_______ 。
9. 若椭圆C：x^2/9+y^2/4=1，则C的离心率为_______ 。
三、解答题（共55分）10. （12分）已知直线l：y=3x-1，m：3x+y-3=0，求直线l与m的交点坐标。
解：将y=3x-1代入3x+y-3=0，得3x+3x-1-3=0，即6x-4=0，解得x=2/3，将x=2/3代入y=3x-1，得y=2，即直线l与m的交点坐标为（2/3，2）。
11. （13分）已知椭圆C：x^2/4+y^2/9=1，求C的长轴长和短轴长。
解：将x^2/4+y^2/9=1两边同时乘以36，得9x^2+4y^2=36，解得x^2=36-4y^2，令x^2=a^2，则a^2=36-4y^2，又x^2+y^2=36，令x^2+y^2=b^2，则b^2=36，由a^2+b^2=2a^2，得2a^2=2(36-4y^2)+36，解得y^2=9，即C的长轴长为a=6，短轴长为b=6。
【5套打包】济南市初三九年级数学上期中考试检测试题(解析版)
新九年级（上）数学期中考试试题(含答案)(1)一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列运算中，结果正确的是（）A. B. C. D.2.若是关于x．y的方程2x-y+2a=0的一个解，则常数a为（）A. 1B. 2C. 3D. 43.下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（）A. B.C. D.4.如图，直线a∥b，∠1=120°，则∠2的度数是（）A.B.C.D.5.已知a m=6，a n=3，则a2m-3n的值为（）A. B. C. 2 D. 96.下列代数式变形中，是因式分解的是（）A. B.C. D.7.已知4y2+my+9是完全平方式，则m为（）A. 6B.C.D. 128.803-80能被（）整除．A. 76B. 78C. 79D. 829.如果x=3m+1，y=2+9m，那么用x的代数式表示y为（）A. B. C. D.10.已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（）①当a=5时，方程组的解是；②当x，y的值互为相反数时，a=20；③不存在一个实数a使得x=y；④若22a-3y=27，则a=2．A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.在方程4x-2y=7中，如果用含有x的式子表示y，则y=______．12.将方程3x+2y=7变形成用含y的代数式表示x，得到______．13.若要（a-1）a-4=1成立，则a=______．14.如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB′A′的度数为______°．15.有若干张如图所示的正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片，如果要拼成一个长为（2a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片______张．16.若x+y+z=2，x2-（y+z）2=8时，x-y-z=______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）17.计算：（1）（8a3b-5a2b2）÷4ab（2）（2x+y）2-（2x+3y）（2x-3y）18.我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图1所示，（单位：cm）（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒．①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张；y个，根据题意完成表格：B型（张）x③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是______个；此时，横式无盖礼品盒可以做______个．（在横线上直接写出答案，无需书写过程）四、解答题（本大题共5小题，共36.0分）19.化简：（1）（2a2）4÷3a2（2）（1+a）（1-a）+a（a-3）20.先化简，再求值：（2x+3）（2x-3）-（x-2）2-3x（x-1），其中x=2．21.已知a-b=7，ab=-12．（1）求a2b-ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．22.如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数．23.已知：如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE=90°．（1）请问BD和CE是否平行？请你说明理由．（2）AC和BD的位置关系怎样？请说明判断的理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、x3•x3=x6，本选项正确；B、3x2+2x2=5x2，本选项错误；C、（x2）3=x6，本选项错误；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误，故选：A．A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、合并同类项得到结果，即可做出判断；C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：将x=-1，y=2代入方程2x-y+2a=0得：-2-2+2a=0，解得：a=2．故选：B．将x=-1，y=2代入方程中计算，即可求出a的值．此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．3.【答案】D【解析】解：A、（x+2）（x-2）=x2-4，是多项式乘法，故此选项错误；B、x2-1=（x+1）（x-1），故此选项错误；C、x2-4+3x=（x+4）（x-1），故此选项错误；D、x2-4=（x+2）（x-2），正确．故选：D．直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．4.【答案】C【解析】解：∵a∥b∴∠3=∠2，∵∠3=180°-∠1，∠1=120°，∴∠2=∠3=180°-120°=60°，故选C．如图根据平行线的性质可以∠2=∠3，根据邻补角的定义求出∠3即可．本题考查平行线的性质，利用两直线平行同位角相等是解题的关键，记住平行线的性质，注意灵活应用，属于中考常考题型．5.【答案】A【解析】解：∵a m=6，a n=3，∴原式=（a m）2÷（a n）3=36÷27=，故选：A．原式利用同底数幂的除法法则及幂的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．此题考查了同底数幂的除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.【答案】D【解析】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、左边不等于右边，故B错误；C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确；故选：D．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式乘积的形式是解题关键．7.【答案】C【解析】解：∵4y2+my+9是完全平方式，∴m=±2×2×3=±12．故选：C．原式利用完全平方公式的结构特征求出m的值即可．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵803-80=80×（802-1）=80×（80+1）×（80-1）=80×81×79．∴803-80能被79整除．故选：C．先提取公因式80，再根据平方查公式进行二次分解，即可得803-80=80×81×79，继而求得答案．本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后，利用平方差公式进行二次分解是关键．9.【答案】C【解析】解：x=3m+1，y=2+9m，3m=x-1，y=2+（3m）2，y=（x-1）2+2，故选：C．根据移项，可得3m的形式，根据幂的运算，把3m代入，可得答案．本题考查了幂的乘方与积的乘方，先化成要求的形式，把3m代入得出答案．10.【答案】D【解析】解：把a=5代入方程组得：，解得：，本选项错误；由x与y互为相反数，得到x+y=0，即y=-x，代入方程组得：，解得：a=20，本选项正确；若x=y，则有，可得a=a-5，矛盾，故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确；方程组解得：，由题意得：2a-3y=7，把x=25-a，y=15-a代入得：2a-45+3a=7，解得：a=，本选项错误，则正确的选项有，故选：D．把a=5代入方程组求出解，即可做出判断；根据题意得到x+y=0，代入方程组求出a的值，即可做出判断；假如x=y，得到a无解，本选项正确；根据题中等式得到2a-3y=7，代入方程组求出a的值，即可做出判断．此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．11.【答案】【解析】解：4x-2y=7，解得：y=．故答案为：将x看做已知数求出y即可．此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．12.【答案】x=【解析】解：由题意可知：x=故答案为：x=根据等式的性质即可求出答案．本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．13.【答案】4，2，0【解析】解：a-4=0，即a=4时，（a-1）a-4=1，当a-1=1，即a=2时，（a-1）a-4=1．当a-1=-1，即a=0时，（a-1）a-4=1故a=4，2，0．故答案为：4，2，0．根据任何非0的数的0次幂等于1，以及1的任何次幂等于1、-1的偶次幂等于1即可求解．本题考查了整数指数幂的意义，正确进行讨论是关键．14.【答案】25【解析】解：∵∠B=55°，∠C=100°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-55°-100°=25°，∵△ABC平移得到△A′B′C′，∴AB∥A′B′，∴∠AB′A′=∠A=25°．故答案为：25．根据三角形的内角和定理求出∠A，再根据平移的性质可得AB∥A′B′，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠AB′A′=∠A．本题考查了平移的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟记平移的性质得到AB∥A′B′是解题的关键．15.【答案】5【解析】解：长方形的面积=（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+b2，所以要拼成一个长为（2a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片5张．故答案为5．计算长方形的面积得到（2a+b）（a+2b），再利用多项式乘多项式展开后合并，然后确定ab的系数即可得到需要C类卡片的张数．本题考查了多项式乘多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．16.【答案】4【解析】解：∵x2-（y+z）2=8，∴（x-y-z）（x+y+z）=8，∵x+y+z=2，∴x-y-z=8÷2=4，故答案为：4．首先把x2-（y+z）2=8的左边分解因式，再把x+y+z=2代入即可得到答案．此题主要考查了因式分解的应用，关键是熟练掌握平方差公式分解因式．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．17.【答案】解：（1）原式=2a2-ab；（2）原式=4x2+4xy+y2-4x2+9y2=10y2+4xy．【解析】（1）原式利用多项式除以单项式法则计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】64 38 20 16或17或18【解析】解：（1）由题意得：，解得：，答：图甲中a与b的值分别为：60、40．（2）由图示裁法一产生A型板材为：2×30=60，裁法二产生A型板材为：1×4=4，所以两种裁法共产生A型板材为60+4=64（张），由图示裁法一产生B型板材为：1×30=30，裁法二产生A型板材为，2×4=8，所以两种裁法共产生B型板材为30+8=38（张），故答案为：64，38．由已知和图示得：横式无盖礼品盒的y个，每个礼品盒用2张B型板材，所以用B型板材2y张．由上表可知横式无盖款式共5y个面，用A型3y张，则B型需要2y张．则做两款盒子共需要A型4x+3y张，B型x+2y张．则4x+3y≤64；x+2y≤38．两式相加得5x+5y≤102．则x+y≤20.4．所以最多做20个．两式相减得3x+y≤26．则2x≤5.6，解得x≤2.8．则y≤18．则横式可做16，17或18个．故答案为：20，16或17或18．（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解．（2）根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数，同样由图示完成表格，并完成计算．本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，再是根据图示解答．19.【答案】解：（1）原式=24a8÷3a2=．（2）原式=1-a2+a2-3a=1-3a．【解析】（1）根据单项式的幂的乘方法则和除法法则进行计算．（2）根据多项式的乘法法则以及单项式乘多项式的法则进行计算．本题考查单项式的乘方法则、单项式除以单项式的法则、乘法公式等知识，正确运用法则是解题的关键．20.【答案】解：（2x+3）（2x-3）-（x-2）2-3x（x-1）=4x2-9-x2+4x-4-3x2+3x=7x-13，当x=2时，原式=7×2-13=1．【解析】利用平方差及完全平方公式化简，再把x=2代入求解即可．本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简．21.【答案】解：（1）∵a-b=7，ab=-12，∴a2b-ab2=ab（a-b）=-12×7=-84；（2）∵a-b=7，ab=-12，∴（a-b）2=49，∴a2+b2-2ab=49，∴a2+b2=25；（3）∵a2+b2=25，∴（a+b）2=25+2ab=25-24=1，∴a+b=±1．【解析】（1）直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案；（2）直接利用完全平方公式进而求出答案；（3）直接利用（2）中所求，结合完全平方公式求出答案．此题主要考查了完全平方公式以及提取公因式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．22.【答案】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°．【解析】由平行线的性质知∠DEF=∠EFB=20°，进而得到图b中∠GFC=140°，依据图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG进行计算．本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性新人教版数学九年级上册期中考试试题(含答案)一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下面四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根3．用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝8 4．把一元二次方程（x﹣3）2＝5化为一般形式，二次项系数；一次项系数；常数项分别为（）A．1，6，4 B．1，﹣6，4 C．1，﹣6，﹣4 D．1，﹣6，9 5．已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大6．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+17．若方程x2﹣3x﹣2＝0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6 C．8 D．128．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 9．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．710．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）A．4cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm2二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．已知两个数的差为3，它们的平方和是65，设较小的数为x，则可列出方程，化成一般形式为．12．已知方程x2+2x﹣3＝0的两根为a和b，则ab＝．13．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有．14．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），则此抛物线的对称轴是．15．函数y＝x2﹣2x+2的图象顶点坐标是．16．点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标是，关于原点对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是；三、解答题（本大题2小题，共18分）17．解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）18．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；求抛物线函数解析式．19．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？20．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2016年该企业投入科研经费5000万元就，2018年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；（2）若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该企业投入科研经费多少万元．21．某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线，铅球在离地面1米高的A处推出，达到最高点B时的高度是2.6米，推出的水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地（1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的解析式；（2）这个同学推出的铅球有多远？22．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣6＝0（1）证明：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为2，试求2k2+8k+2018的值．23．某店销售台灯，成本为每个30元，销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）未降价之前，该店每月台灯总盈利为元；（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利元，平均每月可售出个；（用含x的代数式进行表示）（3）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．24．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）当运动开始后1秒时，求△DPQ的面积；（2）当运动开始后秒时，试判断△DPQ的形状；（3）在运动过程中，存在这样的时刻，使△DPQ以PD为底的等腰三角形，求出运动时间．25．如图，抛物线y＝与x轴交于A、B两点，△ABC为等边三角形，∠COD＝60°，且OD＝OC．（1）A点坐标为，B点坐标为；（2）求证：点D在抛物线上；（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，若以M、N、O、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下面四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：B．2．关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】根据根的判别式，可得答案．【解答】解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，故选：C．3．用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝8 【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝7，配方得：x2﹣2x+1＝8，即（x﹣1）2＝8，故选：C．4．把一元二次方程（x﹣3）2＝5化为一般形式，二次项系数；一次项系数；常数项分别为（）A．1，6，4 B．1，﹣6，4 C．1，﹣6，﹣4 D．1，﹣6，9 【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．【解答】解：化简方程，得x2﹣6x+4＝0，二次项系数；一次项系数；常数项分别为1，﹣6，4，故选：B．5．已知二次函数y＝2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x＝﹣3C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣12x+19＝2（x﹣3）2+1，∴开口向上，顶点为（3，1），对称轴为直线x＝3，有最小值1，当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小；故C选项正确．故选：C．6．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝3（x﹣2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．故选：C．7．若方程x2﹣3x﹣2＝0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6 C．8 D．12【分析】根据（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2x1+2x2+4＝x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根．∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2x1+2x2+4＝x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2＝3、x1•x2＝﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2x1+2x2+4＝x1x2+2（x1+x2）+4＝（﹣2）+2×3+4＝8．故选：C．8．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1 【分析】先求出方程（x﹣1）2﹣4＝0的解，得出函数与x轴的交点坐标，根据函数的性质得出答案即可．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的开口向上，当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，解得：x＝3或﹣1，∴当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故选：C．9．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：＝15，解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛．故选：C．10．小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）A．4cm2B．8cm2C．16cm2D．32cm2【分析】本题考查二次函数最小（大）值的求法．【解答】解：设矩形的长为x，则宽为，矩形的面积＝（）x＝﹣x2+4x，S最大＝＝＝4，故矩形的最大面积是4cm2．故选：A．二．填空题（共6小题）11．已知两个数的差为3，它们的平方和是65，设较小的数为x，则可列出方程x2+（x+3）2＝65 ，化成一般形式为x2+3x﹣28＝0 ．【分析】首先表示出两个数字进而利用勾股定理列出方程再整理即可．【解答】解：设较小的数为x，则另一个数字为x+3，根据题意得出：x2+（x+3）2＝65，整理得出：x2+3x﹣28＝0．故答案为：x2+（x+3）2＝65，x2+3x﹣28＝0．12．已知方程x2+2x﹣3＝0的两根为a和b，则ab＝﹣3 ．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得ab＝﹣3．故答案为：﹣3．13．二次函数y＝3x2+1和y＝3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象开口方向、大小相同；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，1）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们与坐标轴都有一个交点；其中正确的说法有①．【分析】根据a的值可以判定开口方向和开口大小，利用顶点式直接找出对称轴和顶点坐标，利用对称轴和开口方向确定y随着x的增大而增大对应x的取值范围．【解答】解：①因为a＝3＞0，它们的图象都是开口向上，大小是相同的，故此选项正确；②y＝3x2+1对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），y＝3（x﹣1）2的对称轴是x＝1，顶点坐标是（1，0），故此选项错误；③二次函数y＝3x2+1当x＞0时，y随着x的增大而增大；y＝3（x﹣1）2当x＞1时，y随着x的增大而增大，故此选项错误；④它们与x轴都有一个交点，故此选项错误；综上所知，正确的有①．故答案是：①．14．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），则此抛物线的对称轴是x ＝2 ．【分析】因为点（﹣2，0），（6，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x＝求解即可．【解答】解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），（6，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x＝＝2，即x＝2．故答案是：x＝2．15．函数y＝x2﹣2x+2的图象顶点坐标是（1，1）．【分析】根据二次函数解析式，进行配方得出顶点式形式，即可得出顶点坐标．【解答】解：y＝x2﹣2x+2＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1，∵抛物线开口向上，当x＝1时，y最小＝1，∴顶点坐标是（1，1）．故答案为：（1，1）．16．点P（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标是（﹣2，﹣3），关于原点对称点的坐标是（2，﹣3），关于y轴的对称点的坐标是（2，3）；【分析】利用关于原点对称点的坐标性质以及关于x轴、y轴对称的点的坐标性质分别得出答案．【解答】解：点P（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为：（2，﹣3），关于x轴的对称点的坐标为（﹣2，﹣3），关于y轴的对称点的坐标为（2，3）．故答案为：（﹣2，﹣3）；（2，﹣3）；（2，3）．三．解答题（共9小题）17．解方程：x2﹣6x+5＝0（配方法）【分析】利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝﹣5，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得x2﹣6x+32＝﹣5+32，即（x﹣3）2＝4，∴x＝3±2，∴原方程的解是：x1＝5，x2＝1．18．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；求抛物线函数解析式．【分析】直接利用交点式写出抛物线的解析式．【解答】解：抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3．19．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？【分析】设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，根据共要比赛28场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，根据题意得：＝21，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．答：共有7个队参加足球联赛．20．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2016年该企业投入科研经费5000万元就，2018年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；（2）若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2019年该企业投入科研经费多少万元．【分析】（1）设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x，根据2016年及2018年投入科研经费，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据2019年投入科研经费＝2018年投入科研经费×（1+增长率），即可求出结论．【解答】解：（1）设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2．答：这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为20%．（2）7200×（1+20%）＝8640（万元）．答：2019年该企业投入科研经费8640万元．21．某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线，铅球在离地面1米高的A处推出，达到最高点B时的高度是2.6米，推出的水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地（1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的解析式；（2）这个同学推出的铅球有多远？【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+2.6，由待定系数法求出其解即可；（2）当y＝0时代入（1）的解析式，求出其解即可．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+2.6，由题意，得1＝a（0﹣4）2+2.6，解得：a＝﹣0.1．故y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.6．答：抛物线的解析式为：y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.6；（2）由题意，得当y＝0时，﹣0.1（x﹣4）2+2.6＝0，解得：x1＝+4，x2＝﹣+4＜0（舍去），故x＝+4．答：这个同学推出的铅球有（+4）米远．22．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣6＝0（1）证明：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为2，试求2k2+8k+2018的值．【分析】（1）计算判别式的中得到△＝24，然后根据判别式的意义得到结论；（2）把x＝2代入方程k2+4k＝2，再把2k2+8k+2018表示为2（k2+4k）+2018，然后利用整体代入的方法计算．【解答】（1）证明：△＝（2k）2﹣4（k2﹣6）＝24＞0，所以方程有两个不相等的实数根；（2）把x＝2代入方程得4+4k+k2﹣6＝0，所以k2+4k＝2，所以2k2+8k+2018＝2（k2+4k）+2018＝2×2+2018＝2022．23．某店销售台灯，成本为每个30元，销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）未降价之前，该店每月台灯总盈利为6000 元；（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利（40﹣x）元，平均每月可售出[（40﹣x）×200+600] 个；（用含x的代数式进行表示）（3）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．【分析】（1）根据总盈利＝单件获利乘以销量列出代数式；（2）根据“当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个”列出代数式（3）设每个台灯的售价为x元．根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答；【解答】解：（1）依题意得：未降价之前，该店每月台灯总盈利为600×（40﹣30）＝6000元．故答案是：6000．（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利（x﹣30）元，平均每月可售出[（40﹣x）×200+600]个故答案为：（x﹣30），[（40﹣x）×200+600]．（2）设每个台灯的售价为x元．根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]＝8400，解得x1＝36（舍），x2＝37．当x＝36时，（40﹣36）×200+600＝1400＞1210；当x＝37时，（40﹣37）×200+600＝1200＜1210；答：每个台灯的售价为37元．24．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）当运动开始后1秒时，求△DPQ的面积；（2）当运动开始后秒时，试判断△DPQ的形状；（3）在运动过程中，存在这样的时刻，使△DPQ以PD为底的等腰三角形，求出运动时间．。
2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级上学期数学期中试题及答案
2023-2024学年山东省济南市济阳区九年级上学期数学期中试题及答案本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本次考试不允许使用计算器进行运算．第Ⅰ卷（选择题 40分）第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）1. 下列几何体中，主视图是三角形的为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案.【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意；B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意；C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意；D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键.a b ，那么下列各式中一定正确的是（ ）2. 已知线段a、b，如果:2:3A. 23a b =B. 5a b += C.52a b a += D.312a b +=+【答案】C 【解析】【分析】根据比例的性质进行判断即可．【详解】解：A 、由:2:3a b =，得32a b =，故本选项错误，不符合题意；B 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是10a b +=，故本选项错误，不符合题意；C 、由:2:3a b =，得52a b a +=，故本选项正确，符合题意；D 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是3728a b +=+，故本选项错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．3.在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等C. 测量对角线是否相互平分 D. 测量对角线是否相等【答案】A 【解析】【分析】根据矩形的判定方法：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，由矩形的判定方法即可得出结论．【详解】解：A 、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；B 、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；C 、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；A 、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较4. 点()1,2-和点()2,a 在反比例函数ky x=的图象上，则a 的值是（ ）A. 2- B. 2C. 1D. 1-【答案】D 【解析】【分析】根据反比例函数ky x=的系数=k xy ，得出122k a =-⨯=，解得即可．【详解】解： 点()1,2-和点()2,a 在反比例函数ky x=的图象上，122k a ∴=-⨯=，解得1a =-，故选：D【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．5. 若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，则（ ）A. 14k <B. 14k >C. 14k ≤D. 14k ≥【答案】B 【解析】【分析】根据根的判别式小于零列式求解即可．【详解】解：关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，∴()2140k --<，∴14k >．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式24=b ac ∆-与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当0∆>时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，一元二次方程没有实数根．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A ，B ，C 三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（ ）A. 12 B.13C.16D.29【答案】B 【解析】【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，∴明明和亮亮两人恰好选择同一场馆的概率3193==,故选：B ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．7.菱形ABCD 中对角线相交于点O ，且OE AB ⊥，若8AC =，6BD =，则OE 长是（ ）A. 2.4B. 2.5C. 5D. 4的【答案】A 【解析】【分析】由菱形的性质得到AC BD ⊥，142AO CO AC ===，132BO DO BD ===，由勾股定理得到5AB =，利用1122AOB S OA OB AB OE =⋅=⋅ 即可得到OE 的长．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，142AO CO AC ===，132BO DO BD ===，∴90AOB ∠=︒，则根据勾股定理可得：5AB ===，∵1122AOB S OA OB AB OE =⋅=⋅ ，∴ 2.4OA OBOE AB⨯==．故选：A【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．8.如图是一个圆形的运动场地，其中大圆直径恰好等于其内部两个完全一样的小圆的直径和，现向该场地随机投掷一颗玻璃珠（假设它落在场地内的每一点都是等可能的），则它落在阴影部分的概率是（ ）A. 12 B.13C.1πD.14【答案】A 【解析】【分析】求出阴影部分面积所占的比例，即可得出结果．【详解】解：设小圆半径为r ，则大圆的半径为2r ，∴阴影部分的面积为()222222r r r πππ-=，的∴玻璃珠落在阴影部分的概率是()222122r r ππ=；故选A ．【点睛】本题考查几何概率．准确的求出阴影部分的面积，是解题的关键．9.如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DP 保持水平，边DE 与点B 在同一直线上．已知直角三角纸板中18cm DE =，12cm EP =，测得眼睛D 离地面的高度为1.7m ，他与“步云阁”的水平距离CD 为114m，则“步云阁”的高度AB 是（ ）A. 74.1mB. 77.7mC. 79.5mD. 79.7m【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意得PED BCD ∽ ，有PE BCED CD=即可求得76m BC =，结合眼睛离地面的高度即可求得答案．【详解】解：∵D D ∠=∠，90PED BCD ∠=∠=︒，∴PED BCD ∽ ，∴PE BCED CD=，∵18cm DE =，12cm EP =，114cm CD =，∴1218114BC =，解得76BC =，∵眼睛D 离地面的高度为1.7m ，∴ 1.7m AC =，∴ 1.77677.7m AB =+=，故选：B ．10.如图，动点P 在函数12y x=()0x >的图象上运动，PM x ⊥轴于点M ，PN y ⊥轴于点N ，线段PM 、PN 分别与直线:1AB y x =-+交于点E 、F ，则AF BE ⋅的值是（ ）A. 2B. 1C. 12D.14【答案】B 【解析】【分析】由于P 的坐标为12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且PN OB ⊥，PM OA ⊥，那么N 的坐标和M 点的坐标都可以a 表示，那么BN NF 、的长度也可以用a 表示，接着F 点、E 点的也可以a 表示，然后利用勾股定理可以分别用a 表示AF BE 、，最后即可求出AF BE ⋅．【详解】解：作FG x ⊥轴，P 的坐标为12a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，且PN OB ⊥，PM OA ⊥，N ∴的坐标为102a ⎛⎫⎪⎝⎭，，M 点的坐标为()0a ，，112BN a∴=-，令0x =，则1y =，令0y =，则1x =，则()()1001A B ，，，，∴1OB OA ==，则OAB 是等腰直角三角形，∴45NBF ∠=︒，在Rt BNF △中，45NBF ∠=︒，112NF BN a∴==-，F ∴点的坐标为11122a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，同理可得出E 点的坐标为()1a a -，，222211111222AF a a a ⎛⎫⎛⎫∴=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222()()2BE a a a =+-=，22221212AF BE a a∴⋅=⋅=，即1AF BE ⋅=．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、勾股定理，解题的关键是通过反比例函数上的点P 坐标，来确定E 、F 两点的坐标，进而通过勾股定理求出线段乘积的值．第Ⅱ卷（非选择题 110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 某反比例函数的图象过点()16-，，则该反比例函数的解析式为___________．【答案】6y x=-【解析】【分析】设反比例函数为：,k y x=结合反比例函数的图象经过点()16-，，利用待定系数法求解解析式即可．【详解】解：设反比例函数为：,ky x=而反比例函数的图象经过点()16-，，166,k \=-´=-所以反比例函数为：6y x=- ．故答案为：6y x=-．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，掌握“待定系数法”是解本题的关键．12. 若关于x 方程：230x x a ++=有一个根为2，则另一个根为______．的【答案】5-【解析】【分析】根据根与系数的关系，进行求解即可．【详解】解：设方程的另一个根为m ，则：23m +=-，∴5m =-；故答案为：5-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，牢记“两根之和为ba-，两根之积为ca”是解题的关键．13. 如图所示，网格中相似的两个三角形是______．（填序号）【答案】①③##③①【解析】【分析】分别求出四个三角形的三条边，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判定即可．，2==3；图③中三角形的三边长分别为：2==，3=；==，==∴网格中相似的两个三角形是①③，故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，分母有理化，解题的关键是熟练掌握勾股定理求出四个三角形的三条边．14.如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，4AB =，1AD =，则AC 的长为______．【答案】2【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，由于ACD B ∠=∠，加上A 为公共角，则可判断ACD ABC △△∽，然后利用相似比可求出AC 的长．【详解】解：DAC CAB ∠=∠ ，ACD B ∠=∠，ACD ABC ∴∽ ，AC ADAB AC ∴=，即14AC AC=，解得：2AC =，即AC 的长为2．故答案为：2．15.定义运算“★”：()()22a b a b a b b a a b ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩★，关于x 的方程()()2123x x t +-=★恰好有两个不相等的实数根，则t 的取值范围是_______．【答案】174t >-【解析】【分析】先根据题意得出一元二次方程241480x x t -+-=，然后根据根的判别式得出()()2144480t --⨯->，求出t 的取值范围即可．【详解】解：∵2123x x +>-，∴()()2123x x t +-=★可变为：()22321x x t ---=，整理得：241480x x t -+-=，∵关于x 的方程()()2123x x t +-=★恰好有两个不相等的实数根，∴()()2144480t --⨯->，解得：174t >-，故答案为：174t >-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．16.如图，在平面直角坐标系中，点,A B 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上．点A 的坐标为()m,2．连接,,OA OB AB ．若,90OA AB OAB =∠=︒，则k 的值为___________．【答案】2-##2-+【解析】【分析】过点A 作CD y ⊥轴于点D ，过点B 作BC CD ⊥于点C ，证明DAO CBA ≌，进而根据全等三角形的性质得出,DA CB AC OD ==，根据点(),2A m ，进而得出()2,2B m m +-，根据点,A B 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上．列出方程，求得m 的值，进而即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作CD y ⊥轴于点D ，过点B 作BC CD ⊥于点C ，∴90C CDO ∠=∠=︒，∵,90OA AB OAB =∠=︒，∴90DAO CAB CBA∠=︒-∠=∠∴DAO CBA≌∴,DA CB AC OD==∵点A 的坐标为()m,2．∴2AC OD ==，AD BC m==∴()2,2B m m +-∵,A B 在反比例函数(0)k y x x =>的图象上，∴()()222m m m =+-解得：1m =-或1m =（舍去）∴22k m ==-故答案为：2-．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点B 的坐标是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，共86分）17. 解方程：2890x x +-=.【答案】11x =，29x =-【解析】【分析】先移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可；【详解】方程2890x x +-=，289x x +=，281625x x ++=，即()2425x +=45x +=±∴11x =，29x =-【点睛】本题考查了解一元二次方程，要根据方程的特点选择合适的方法解方程，本题选用配方法比较简便．18. 已知：如图，矩形ABCD 中，AF BE =．求证：DE CF=【答案】见详解【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，根据矩形的性质得AD BC =和A B ∠=∠，结合题意得AE BF =，可证DAE CBF ≌，即有结论成立．【详解】证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD BC =，90A B ∠=∠=︒，∵AF BE =，∴A F E F B E E F +=+，即AE BF =，在DAE 和CBFV DA CB DAE CBFAE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS DAE CBF ≌，则DE CF =．在19. 已知关于x 的方程()2210x k x +-+=有两个相等的实数根，求k 的值．【答案】4k =或0【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解答本题的关键．当关于x 的方程()2210x k x +-+=有两个相等的实数根时，根的判别式等于0，得到方程并求解，即得答案．【详解】 关于x 的方程()2210x k x +-+=有两个相等的实数根，()2Δ240k ∴=--=，解得4k =或0．20.如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为35m ，15m ，现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地，若扩充后的矩形绿地面积为800m ，求新的矩形绿地的长与宽．【答案】新的矩形绿地的长为40m ，宽为20m ．【解析】【分析】设绿地的长、宽增加的长度为m x ，然后根据扩充后的矩形绿地面积为800m ，列出方程求解即可．【详解】解：设将绿地的长、宽增加m x ，则新的矩形绿地的长为()35m x +，宽为()15m x +，根据题意得：()()3515800x x ++=，整理得：2502750x x +-=，解得：15=x ，255x =-（不符合题意，舍去），3535540x ∴+=+=，1515520x +=+=.答：新的矩形绿地的长为40m ，宽为20m .【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．21.为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A 、B 、C 表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．【答案】23【解析】【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出抽取两本书中有《九章算术》的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：画树状图为：共有6种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为4种，所以抽取两本书中有《九章算术》的概率为42=63【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出,n 再从中选出符合事件A 或B 的结果数目,m 然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．22.已知：如图，AD 是ABC 的角平分线，过点D 分别作AC 和AB 的平行线交AB 于点E ，交AC 于点F ．（1）求证：四边形AEDF 是菱形；（2）若58AE AD ==，，试求四边形AEDF 的面积．【答案】（1）见解析 （2）24【解析】【分析】（1）由已知易得四边形AEDF 是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠∠FA D FD A =，进而证明AF DF =，则四边形AEDF 是菱形；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，可得4OA =，根据勾股定理得3OE =，则6EF =，最后根据菱形的面积即可求出答案．【小问1详解】证明：∵AD 是ABC 的角平分线，∴∠∠E A D FA D =，∵DE AC DF AB ∥，∥，∴四边形AEDF 是平行四边形，∠∠E A D A D F =，∴∠∠FA D FD A=∴AF DF =，∴四边形AEDF 是菱形；【小问2详解】解：如图所示，连接EF ，与AD 交于点O ，∵四边形AEDF 是菱形，∴AD EF 、互相垂直且平分，∴142OA AD ==，2EF OE =根据勾股定理得3OE ==，∴6EF =，∴四边形AEDF 的面积11682422AD EF =⋅=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知菱形对角线 垂直平分是解题的关键．23.如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，6cm AB =，10cm AC =．点M 、N 分别在AB 、BC 上，且点M 以2cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时点N 以1cm /s 的速度由点B 向点C 运动，当其中一点到达终点时运动停止，设运动时间为t （s ）．（1）当MN AC ∥时，求t 的值；（2）在运动过程中，是否存在一个时刻t ，使线段MN 的长度为cm ？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2411（2）存在，45t =，理由见解析【解析】【分析】（1）证BMN BAC ∽，根据相似三角形的性质得出BM BN BA BC=，即可求解；（2）由勾股定理得222BM BN MN +=，解方程，即可求解．【小问1详解】解：由题意可知，2AM t = cm ，BN t = cm ，()62cm BM AB AM t ∴=-=-，90ABC ∠=︒ ，6cm AB =，10cm AC =，∴BC == cm MN AC ∥，BMN BAC ∴ ∽，∴BM BN BA BC =即6268t t -=解得：2411t =，【小问2详解】存在，理由如下：90ABC ∠=︒ ，∴222BM BN MN +=，即()(22262t t -+=整理得：2524160t t -+=，解得：124,45t t ==（舍去）∴45t =【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．24.某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y （℃）与时间x （h ）之间的函数关系如图所示，其中BC 段是恒温阶段，CD 段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：（1）求CD 段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）恒温阶段保持的时间有多少小时？（3）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？【答案】（1）()2401224y x x=<< （2）恒温阶段保持的时间有10小时（3）这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时【解析】【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．（1）应用待定系数法求函数解析式；（2）由（1）知12a =，观察图象可得；（3）先求出AB 段的解析式，代入临界值12y =，分别求出AB 段和CD 段温度为12℃的时间，再相减即可即可．【小问1详解】解：设CD 对应函数解析式为0ky k x=≠（），把()24,10D 代入0ky k x=≠（）中得：2410240k =⨯=，240y x∴=，当20y =时，24020x=，解得12x =，即12a =；()2401224y x x∴=<<；小问2详解】解：由（1）知12a =，()2,20B ，∴恒温阶段保持的时间有：12210-=（小时），答：恒温阶段保持的时间有10小时；【小问3详解】解：设AB 的解析式为：()02y mx n x =+≤≤，把(0,10)、(2,20)代入y mx n =+中得：10220n m n =⎧⎨+=⎩，解得：510m n =⎧⎨=⎩，AB 的解析式为：510y x =+，当12y =时，12510x =+，解得0.4x =，24012x=，20x =，200.419.6∴-=（小时），答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时．25. 阅读以下材料通过列表描点我们可以画出y x =的图象如图：【观察图象可以得出以下结论：0x =时，函数x 有最小值，最小值是0．若y 随x 的增大而增大，x 的取值范围是0x >，若y 随x 的增大而减少，x 的取值范围是0x <．提出问题：当0x >时如何求函数1y x x =+最大值或最小值？解决问题：借鉴我们已有的研究函数的经验，我们利用观察函数的图像探索函数1y x x =+（0x >）的最大（小）值．（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数1y x x =+（0x >）的图象：x (1)413121234…y ……（2）观察猜想：观察该函数的图象，当x =______时，函数1y x x =+（0x >）有最______值（填“大”或“小”），是______．若y 随x 的增大而增大，x 的取值范围是______，若y 随x 的增大而减少，x 的取值范围是______．（3）知识能力运用：直接写出函数()40y x x x=-->当x =______时，该函数有最______值（填“大”或“小”），是______．【答案】（1）见解析 （2）1，小，2，1x >，01x <<（3）2，大，4-【解析】【分析】（1）将x 的值分别代数函数1y x x=+之中求出y 的值，并填在相应的表格中，再描点、画出函数图象即可；（2）观察函数1(0)y x x x=+>的图象即可得出答案；（3）画出函数4(0)y x x x =-->的图象，观察所画函数图象即可得出答案．【小问1详解】解：当14x =时，11171444y =+=．当13x =时，11101333y =+=．当12x =时，1151222y =+=．当1x =时，112y =+=．当2x =时，15222y =+=．当3x =时，110333y =+=．当4x =时，117444y =+=．将上述的对应值填入表格如下：x ⋯141312 1 2 3 4 ⋯y ⋯17410352252103174⋯将表格中x ，y的对应值作为点的坐标在直角坐标系中描出各点，再按照横坐标由小到大用一条光滑的曲线连接起来，就得到函数1(0)y x x x=+>的图象如图所示，【小问2详解】观察该函数的图象，当1x =时，函数1(0)y x x x=+>有最小值，最小值是2，若y 随x 的增大而增大，x 的取值范围是1x >，若y 随x 的增大而减少，x 的取值范围是01x <<．故答案为：1，小，2，1x >，01x <<；【小问3详解】解：画出函数4(0)y x x x=-->的图象如图所示：观察函数的图象得：当2x =时，该函数有最大值，最大值是4-．故答案为：2，大，4-．【点睛】此题主要考查了描点法画函数的图象，利用函数的图象求函数的最值，理解题意，熟练掌握描点法画函数的图象，数形结合思想类比思想的应用是解决问题的关键．26. 如图，正方形ABCD 中，点E 是CD 边上一点，连结BE ，以BE 为对角线作正方形BGEF ，边EF 与正方形ABCD 的对角线BD 相交于点H ，连结AF ，CG ．（1）写出AF 和CG 的数量关系，并证明．（2）求证：22BG BH BD=⋅（3）若正方形ABCD 的边长为3，1EC =，求AF 的长．【答案】（1）AF CG =，证明见解析（2）见解析 （3【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证ABF CBG ≌△△，即可求解；（2）证明BEH BDE ∽△△，可得BE BH BD BE=，结合BE =，即可证明；（3）通过证明ABF DBE ∽，可得DE BD AF AB ==，即可求解．【小问1详解】解：AF CG =，理由如下：四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC ∠=︒，四边形BGEF 是正方形，BF BG ∴=，90FBG ABC ∠=︒=∠，ABF GBC ∴∠=∠，()SAS ABF CBG ∴ ≌，AF CG ∴=；【小问2详解】证明：45BEH EDB ∠=∠=︒ ，EBH DBE ∠=∠，DE BEH B ∴∽ ，∴BE BH BD BE=，2BE BD BH ∴=⋅，BE = ，22BG BH BD ∴=⋅；【小问3详解】解：1EC = ，3DC =，2DE ∴=，四边形ABCD 是正方形，BD ∴=，四边形FBGE 是正方形，EB ∴=，∴AB BF BD BE=，45ABD FBE ∠=∠=︒ ，ABF EBD ∴∠=∠，ABF DBE \∽V V ，∴DE BD AF AB==，AF ∴==【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．。
(教研室)山东省济南市天桥区九年级上学期期中考试数学试题
（教研室）山东省济南市天桥区九年级上学期期中考试数学试题注意事项：本试题共6页，满分为150分，考试时间为120分钟。
答题前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡规定位置，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试题规定的位置。
答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm 黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答。
直接在试题上作答无效。
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．一元二次方程22x x 的根是A ．2xB ．0xC ．10x ，22x D ．10x ，22x2．某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所 示，则此工件的左视图是3．在一个暗箱里放有n 个除颜色外其它完全相同的球，这n 个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出n 大约是 A ．12B ．9C ．4D ．34．已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为A ．1：1B ．1：3C ．1：6D ．1：9 5．菱形不一定具备的性质是A ．四条边都相等B ．对角线相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形 6．若关于x 的一元二次方程220xx m 有两个不相等的实数根，则实数m 取值范围是A ．1mB ．1m ≤C ．1mD ．1m ≥ 7．在反比例函数2yx图象上有三个点A （-1，y 1）、B （1，y 2）、C （2，y 3），则下列结论正确的是A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2 8．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、O、C′三点在同一条直线上C．AO：AA′＝1：2 D．AB∥A′B′9．如图，在正方形ABCD中，点G为CD边的中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为A．6 B．8 C．10 D．1210．如图，在平面直角坐标系中，函数kyx（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA、AB分别交于点M、N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为A 532B352C352D332第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．若23ab，则a bb= _________．12．把一枚硬币连续抛掷两次，两次都是正面朝上的概率是__________．13．已知3x是关于x的方程270x x m的一个根，则m＝_________．14．如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ACD=∠ABC，AD=4，BD=5，则AC的长度为_________．15．如图，在平面直角坐标系中，函数kyx（0x ，0k ）的图象经过点(12)A ，，()B m n ，， 点B 在点A 右侧，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若△ABC 的面积为2，则点B 的坐标为_________．16．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE =CF =14A C ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ．下列结论：①:1:2AG GB ；②:2:3GH AC ③ADGBGHSS；④:9:16DEFDGHSS．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．三、解答题:（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(本小题满分6分)解方程：2430x x 18．(本小题满分6分)如图，已知E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点，且AE =CF ． 求证：BE=DF ．19．(本小题满分6分)如图，利用标杆BE 测量建筑物CD 的高度．已知标杆BE 高1.2m ，测得AB =1.6m ，BC =12.4m ． 求建筑物CD 的高．20．(本小题满分8分)把一定体积的钢锭拉成钢丝，钢丝的总长度y（m）是其横截面积x（mm2）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求y与x的函数关系式；（2）当钢丝总长度不少于80m时，钢丝的横截面积最多是多少mm2．21．(本小题满分8分)一个不透明的口袋中有三个小球，一个标有字母A，另外两个都标有字母B，除所标字母不同外，其它完全相同．小明和小刚做摸球游戏，小明从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，小刚再随机摸出一个小球，两次摸出的小球所标字母相同则小明赢，所标字母不同则小刚赢．（1）用画树状图或列表的方法，求小明赢的概率；（2）请问这个游戏规则对双方公平吗？试说明理由．22．(本小题满分8分)如图，正方形ABCD中，AB=9，E为BC上一点，过E做EF⊥AE交CD于点F，连接AF．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）当BE=3时，求CF的长．23．(本小题满分10分)2018年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2020年，家庭年人均纯收入达到了3600元．（1）求该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2021年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？24．(本小题满分10分)已知一次函数y kx b的图象和反比例函数myx的图象相交于(4)A n，，(24)B，两点，连接OA、OB，直线AB与x轴相交于点C．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点C的坐标和△OAB的面积；（3）直接写出不等式mkx bx的解集．25.（本小题满分12分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当0时，AEBD的值为_________．②当180时，AEBD的值为_________．（2）拓展探究试判断：当0360时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．26．(本小题满分12分)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC ，∠ABC =90°，BC =2，23AB ，顶点A 在第一象限，B ，C 在x 轴的正半轴上（C 在B 的右侧），△ABC 可沿x 轴左右移动，△ADC 与△ABC 关于AC 所在的直线对称．（1）当OB =2时，直接写出点A 和点D 的坐标；（2）判断（1）中的A ，D 是否在同一个反比例函数的图像上，请说明理由；如果不在，试问OB 多长时，点A 、D 在同一个反比例函数1k yx的图象上，并求出1k 的值； （3）如图2，点A 、D 在同一个反比例函数图象上时，把四边形ABCD 向右平移，记平移后的四边形为A 1B 1C 1D 1，过点D 1的反比例函数2k yx的图象与BA 的延长线交于点P ．当△PD 1D 是以PD 1为底边的等腰三角形时，求2k 的值．。
山东省济南市槐荫区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
山东省济南市槐荫区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．4B．55．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2，则S△BCF为（）滑行时间t /s01234滑行距离s /m 0 4.51428.548根据以上信息，可知s 与t 的函数关系式是（不考虑取值范围）A ．2332s t t =+B ．2332s t t =-C ．s =7．如图所示，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点轴交于点C ．现有下列结论：①abc ＞0；②4a ﹣2b+c ＞中，正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．38．如图，ABC 是边长为6的等边三角形，点D ，EA．33-B．9．阅读材料：余弦定理是这样描述的：在a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：2222cosb ac ac B=+-；2c＝60︒，则AC的长为（）A．23B．10．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为图，在正方形OABC中，点方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（A．4，-1B．二、填空题11．已知52ab=，则a ba-=12．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的长度是m.13．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等）日”的规则，“马”应该落在位置处，能使“角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似．14．槐荫区某校举办了建校70周年校庆活动，节目展演环节主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 的长为20m ，点C 为长为m ．15．我国是最早了解勾股定理的国家之一，东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图了勾股定理，如图，若9CB =，12CG =则tan FEI ∠=16．如图，在平面直角坐标系中，正方形111A BB C ，2A B 其中点123,,,B B B B 都在x 轴上，点1C 在21A B 上，2C 在形4344A B B C ⋯，若点1A 坐标为(1,1)，则点2023C 的坐标为三、解答题17．计算：2cos 30tan 60sin 45cos 45︒-︒+︒︒．四、问答题(1)求BC 的长；(2)求sin A 的值．五、证明题19．已知点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF AE ⊥于点F ，求证：ABF EAD △∽△．六、解答题20．如图，在直角坐标系中， ABC 各顶点的坐标为()1,1A -，B (2，3)，C (0，3)．(1)以坐标原点O 为位似中心，在x 轴上方作与 ABC 的位似比为2的位似图形A B C ''' ．(2)顶点A '的坐标为______，A B C ''' 与 ABC 的面积之比为______．七、问答题21．黄河是中华文明最主要的发源地，中国人称其为“母亲河”，1855年8月，黄河改道山东大清河入渤海，自此与泉城济南结下了不解之缘．黄河在济南流经7个区县，绵延300余里，哺育了济南儿女，润泽了泉城大地，为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到黄河某段流域进行研学旅行．某兴趣小组在只有米尺和测角仪的情况下，想要求出黄河某处的宽度（不能到达对岸）如图，已知该段河对岸岸边有一点A ，兴趣小组以A 为参照点在河这边沿河边任取两点B 、C ，测得6545ABC ACB ∠=︒∠=︒，，量得BC 的长为300m ．求河的宽度．（结果精确到1m ，参考数据sin650.91cos650.42tan65 2.14︒≈︒≈︒≈，，）八、证明题22．如图所示，ABC 和ADE V 均为等腰直角三角形，ACB =∠90AED ∠=︒，AC ＝BC ，AE DE ＝，B 、D 、E 三点共线，线段BE 、AC 交于点F ．(1)求线段BD 、CE 之间的数量关系；(2)求BEC ∠的度数．九、应用题23．在篮球运动中，跳投是进攻队员面对防守队员或摆脱防守队员后投篮的方法，跳投能出其不意地甩开防守人员的防守，也能有效避免被对方封盖，如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心B 水平距离4m 处跳起投篮，出手点为C ，蓝球沿一条抛物线运动，当蓝球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内（穿过篮圈中心B ），已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，试解答下列问题：(1)建立如图所示的平面直角坐标系，其中A 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线所对应的函数表达式．(2)这次跳投时，球出手点离地面多高？十、解答题24．如图，在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠=︒==，，，CD AB ⊥于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．(1)求线段CD 的长；(2)当t 为何值时，CPQ 与ABC 相似？十一、证明题十二、问答题26．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h（单位：m)，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽DE=，竖直高度为EF的长，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上度3cm边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m)．(1)若 1.5m h =，0.5m EF =．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC ；②求下边缘抛物线与x 轴的正半轴交点B 的坐标；(2)若1m EF =，要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h 的最小值．。
2022-2023学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期中试题及答案
2022-2023学年山东省济南市长清区九年级上学期数学期中试题及答案第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）1. 一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的俯视图是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从上面看，一个正方形里面有一个圆且是实线．故选C．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．2. 方程（x﹣2）（x+3）＝0的两根分别是（ ）A. x1＝﹣2，x2＝3 B. x1＝2，x2＝3C. x1＝﹣2，x2＝﹣3 D. x1＝2，x2＝﹣3【答案】D【解析】【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】方程（x−2）（x＋3）＝0，可得x −2＝0或x ＋3＝0，解得：x 1＝2，x 2＝−3，故选：D ．【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3. 已知12m n =，则m n n-的值为（ ）A. 12-B. 13-C. 12D.13【答案】A 【解析】【分析】将m n n-变形为1m n -，将12m n =代入即可求解．【详解】解：12m n =，111122m n mn n-∴=-=-=-．故选：A ．【点睛】本题考查比例的性质，将m n n-变形为1mn -是解题的关键．4.如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被1l 、2l 、3l 所截，6AB =，8BC =，4DE =，则EF 长为（ ）A. 12B. 3C.163D. 5【答案】C 【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理列式求解即可．【详解】解： 直线123l l l ∥∥，∴AB DEBC EF=，的6AB =，8BC =，4DE =，∴648EF=，∴163EF =．故选C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．5.如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形''''A B C D ，已知'13OA OA =，四边形ABCD 的面积是2，则四边形''''A B C D 的面积是（ ）A. 4B. 6C. 8D. 18【答案】D 【解析】【分析】根据'13OA OA =从而得出位似图形的面积比，进而求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 和四边形''''A B C D 关于点O 位似，'13OA OA =，∴''''19ABCD A B C D S S =四边形四边形，∵四边形ABCD 的面积是2，∴四边形''''A B C D 的面积是18．故选：D ．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似是特殊的相似，位似图形的面积比等于相似比的平方．6. 已知C 是线段AB 的黄金分割点，<AC BC ，若2AB =，则BC =（）1-C. 3【答案】A 【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知BC 是较长线段，由黄金分割的公式：较长的线段=原线倍，计算即可．【详解】解： 线段2AB =，点C AB 黄金分割点，<AC BC，21BC ∴==；故选：A ．【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式是解题关键．7.如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一点C ，在AC 、BC 上分别找点M ，N ，使得2AM CM =，2=BN CN ，测量出MN 的长为12m ，由此可知A 、B 间的距离为（ ）A. 18mB. 24mC. 36mD. 48m【答案】B 【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：ACB MCN ∽△△，再根据相似三角形对应边成比例即可进行解答．【详解】解：∵2AM CH =，2=BN CN ，∴2AMCM =，2BN CN=，∵ACB MCN ∠=∠，∴ACB MCN ∽△△，∴2ABMN=，∵12m MN =，是∴24m AB =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”以及相似三角形对应边成比例．8.某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ．则所列方程为( )A. 30（1+x ）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50C. 30（1+x 2）＝50 D. 30（1﹣x 2）＝50【答案】A 【解析】【分析】根据题意和题目中数据，可以得到()230150x +=，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【详解】解：由题意可得，230(1)50x +=，故选：A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．9.如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，分别以点A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点E ，F ，直线EF 交AD 于点M ，交BC 于点N ，若8AM =，2DM =，则边AB 的长为（ ）A. 6B. 10C.D. 【答案】D 【解析】【分析】如图，连接CM ，利用垂直平分线与勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，连接CM ．的由作图可知，MN 垂直平分线段AC ，∴MA＝MC ＝8，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D＝90°，=∴AB=CD=，故选D ．【点睛】本题考查作图−基本作图，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10. 如图，已知菱形ABCD 的边长为4，对角线AC BD 、相交于点O ，点M N 、分别是边BC CD 、上的动点，60BAC MAN ∠=∠=︒，连接MN OM 、，MN 与AC 相交于点E ．以下四个结论：①AMN 点是等边三角形；②MN 的最小值是3BM =时，34CE =；④当OM BC ⊥时，2·OA DN AB =．其中正确的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4【答案】D 【解析】【分析】由四边形ABCD 是菱形得AB CB AD CD ===，AB CD ∥，AC BD ，OA OC =，而60BAC ACD ∠=∠=︒，则ABC 和ADC △都是等边三角形，再证明BAM CAN ≌ ，得AM AN =，而60MAN ∠=︒，则AMN 是等边三角形，可判断①正确；当AM BC ⊥时，AM 的值最小，此时MN 的值也最小，由90AMB ∠=︒，60ABM ∠=︒，4AB =可求得MA AM ==，可判断②正确；证明BAM CME ∽ ，可判断③正确；由,CB CD BM CN ==得CM DN =，再证明OCM BCO ∽ ，得CM OCOC CB=，所以2OC CM CB =⋅，即2·OA DN AB =，可判断④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 菱形，∴AB CB AD CD ===，AB CD ∥，AC BD ，OA OC =，∴60BAC ACD ∠=∠=︒，∴ABC 和ADC △都是等边三角形，∴60,ABM ACN AB AC ∠=∠=︒=，∵60MAN ∠=︒，∴60BAM CAN CAM ∠=∠=︒-∠，∴(ASA)BAM CAN ≌ ，∵AM AN =，∴AMN 是等边三角形，故①正确；当AM BC ⊥ 时，AM 的值最小，此时MN 的值也最小，∵90,60,4AMB ABM AB ∠=︒∠=︒=，∴604MN AM AB sin ==⋅︒==∴MN的最小值是，故②正确；∵3BM =，∴431MC =-=，∵60ABM AMN ACB ∠=∠=∠=︒，∴120AMB EMC AMB BAM ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAM CME ∠=∠，∴BAM CME ∽ ，∴AB BMMC CE =，∴431CE=，∴34CE =，故③正确；∵,CB CD BM CN ==，是∴CB BM CD CN -=-，∴CM DN =，∵OM BC ⊥，∴90CMO COB ∠=∠=︒，∵OCM BCO ∠=∠，∴OCM BCO ∽ ，∴CM OCOC CB=，∴2OC CM CB =⋅，∴2·OA DN AB =，故④正确，故选：D ．【点睛】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数，掌握菱形的性质以及相似三角形的性质是关键．第II 卷（选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）11. 关于x 的一元二次方程20x ax +=的一个根是2，则a 的值是___________；【答案】2-【解析】【分析】将2x =代入方程进行求解即可．【详解】解：由题意得：2220a +=，解得：2a =-；故答案为：2-．【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．12.四条线股a 、b 、c 、d 成比例，其中3a =cm ，6c =cm ，8d =cm ，则b 的长为___________ ．【答案】4cm 【解析】【分析】由四条线段a 、b 、c 、d 成比例，根据比例线段的定义，分类讨论，即可求得b 的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．【详解】解：∵四条线段a 、b 、c 、d 成比例，∴a cb d=，∴ad bc =，∵3a =，6c =，8d =，∴386b ⨯=，解得：4b =，故答案为：4cm【点睛】本题主要考查了比例线段．解题的关键是熟练掌握比例线段的定义，分类讨论．13.在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸棋实验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在20%，估计白色棋子的个数为___________；【答案】20【解析】【分析】先根据摸到黑色棋子的频率稳定在20%求出棋子的总个数即可得出答案．【详解】解：根据题意得：520%520÷-=．故答案为：20．【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()mP A n=是解题关键．14.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．【答案】49【解析】【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，∴它最终停留在阴影区域的概率是49．故答案为：49【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P （必然事件）=1；P （不可能事件）=0是解题的关键．15.如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA 、OB ，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ．测得8.5m MC =，13m CD =，垂直于地面的木棒EF 与影子FG 的比为23：．则点O 、M 之间的距离等于___________m ；【答案】10【解析】【分析】连接OM 交AC 于点H C 作CNBD ⊥，通过证明HMC EFG HAO ∽∽△△△，通过相似三角形对应边成比例即可解答．【详解】解：连接OM 交AC 于点H ，过点C 作CNBD ⊥，∵HC EG ∥，∴HCM EGF ∠=∠，∵90HMC EFG ∠=∠=︒，∴HMC EFG ∽△△，∴23HM EF MC FG ==，∵8.5m MC =，∴28.53HM =，解得：173HM =．设2EF x =，3FG x =，则EG ==，∵,EGF NDC EFG CND ∠=∠∠=∠，∴CND EFG ∽△△，∴CN CD EF EG=，即2CN x =解得：CN =∵,,AB BN AB AC CN BD ⊥⊥⊥，∴四边形ABNC 为矩形，∴AB CN ==∴12OA AB ==，∵,AHB MHC OAH HMC ∠=∠∠=∠，∴HAO HMC ∽△△，∵HMC EFG ∽△△，∴HAO EFG ∽△△，∴OA OH FG EG ==解得：133OH =，∴13171033OM OH HM =+=+=，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是画出辅助线，构建相似三角形．16.如图，ABC 是边长为1的等边三角形，分别取AC BC 、边的中点D 、E ，连接DE ，作EF AC ∥得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；分别取EF BE ，的中点11D E ，，连接11D E ，作11E F EF ∥，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ，…，照此规律作下去，则2022C 等于___________．【答案】202012【解析】【分析】根据三角形中位线定理可求出1C 的值，进而可得出2C 的值，找出规律即可得出2022C 的值．【详解】解：∵点B 、E 为AC BC 、边的中点，EF AC ∥，∴DE 是ABC 的中位线，∴1122DE AB ==，1122AD AC ==，DE AF ∥，∴DE AD =，∵EF AC ∥，∴四边形EDAF 是菱形，∴11422C =⨯=；同理求得：221412C =⨯=； (211422)n n n C -=⨯=，∴20222202022201122C -==．故答案为：202012．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质、菱形的性质；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共86分，）17. 解方程：2680x x -+=【答案】x 1＝4，x 2＝2【解析】【分析】原方程运用因式分解法求解即可【详解】解：2680x x -+=（x －4）（x －2）＝0x －4＝0 或x －2＝0∴x 1＝4，x 2＝2【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活选用方法是解答本题的关键18. 若235a b c ==，且322a b c -=＋，求a b c -＋的值是多少？【答案】8【解析】【分析】设0235a b c k k ===≠（），则235a k b k c k ＝，＝，＝，再根据322a b c -=＋求得k 的值，进而得出a 、b 、c 的值，然后代入求解即可．【详解】解：设0235a b c k k ===≠（），则235a k b k c k ＝，＝，＝∵322a b c -=＋∴233252k k k ⨯-⨯=＋，解得：k ＝2，∴4610a b c ＝，＝，＝，∴46108a b c -+-+＝＝．【点睛】本题主要考查了比例性质及代数式求值，解题的关键是根据题意设未知数求出k 的值．19. 如图，E F 、是正方形ABCD 的对角线BD 上的两点，且BE DF =，求证：ABE CDF ≅ ；【答案】见解析【解析】【分析】正方形的性质可得,DC AB DC AB =∥，然后运用SAS 即可证明结论．【详解】证明：∵正方形ABCD∴,DC AB DC AB=∥的∴CDF ABEÐ=Ð在ABE 和CDF 中AB DC =，CDF ABE Ð=Ð，BE DF=∴()SAS ABE CDF ≅ ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，理解正方形的性质是解答本题的关键．20. 如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，连接DE ，且AED B ∠=∠，6AD =，8AB =，10AC =，求AE 的长．【答案】 4.8AE =【解析】【分析】根据两角对应相等证明ABC ∆∽AED ∆，利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：根据题意，∵AED B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ABC ∆∽AED ∆，∴AB AC AE AD=，∴8106AE =，∴ 4.8AE =；【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，从而进行证明．21.如图，一路灯AB 与墙OP 相距20米，当身高 1.6CD =米的小亮在离墙17米的D 处时，影长DG 为1米．（1）求路灯B 的高度；（2）若点P 为路灯，请画出小亮位于N 处时，在路灯P 下的影子NF （用粗线段表示出来）【答案】（1）6.4米（2）见解析【解析】【分析】（1）通过证明ABG CDG ∽即可求出路灯的高度；（2）连接PM 并延长，交BO 于点F ．【小问1详解】解：∵AB BO ⊥，CD BO ⊥，∴ABG CDG ∠=∠，∵CGD AGB ∠=∠，∴ABG CDG ∽，∴BG AB DG CD=，∵20OB =米，17OD =米，1DG =米，∴20173BD OB OD =-=-=米，314BG BD DG =+=+=米，∴41 1.6AB =，解得： 6.4AB =．∴路灯高6.4米．【小问2详解】如图所示：【点睛】本题主要考查了用相似三角形测高，解题的关键是根据题意和图形找出相似三角形，根据对应边成比例列出方程求解．22.如图，用一段长为16m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长8m ），若这个围栏的面积为230m ，求与墙垂直的一边的长度．【答案】5m【解析】【分析】设与墙垂直的一边的长度为m x ，根据矩形面积公式列一元二次方程，求出方程的根后再检验平行于墙的一边长度是否小于墙长，即可求解．【详解】解：设与墙垂直的一边的长度为m x ，则平行于墙的一边的长度为()162m x -，由题意可得：()16230x x -=，整理得：28150x x -+=，解得：13x =，25x =．当3x =时，1621623108x -=-⨯=>，不合题意，舍去；当5x =时，162162568x -=-⨯=<，符合题意．故与墙垂直的一边的长度为5m ．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出一元二次方程．23. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为()4,1A ，()2,3B ，()1,2C ．（1）画出ABC 先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度的111A B C △，并写出点1B 的坐标；（2）以原点O 为位似中心，在所给的方格纸纸中（不能超出方格纸）画一个222A B C △，使它与111A B C △的相似比为3:1，并写出点2B 的坐标；（3）在ABC 内有一点(),P x y ，按（1）与（2）的方式得到的对应点2P 的坐标是___________．【答案】（1）点1B 的坐标为()0,2，图见解析（2）点2B 的坐标为()0,6-，图见解析（3）()63,33x y --【解析】【分析】（1）将()4,1A ，()2,3B ，()1,2C 分别先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到1A ，1B ，1C ，顺次连接即可得到111A B C △；（2）根据位似图形的性质及相似比，找到2A ，2B ，2C ，顺次连接即可得到222A B C △；（3）先根据“纵坐标上加下减，横坐标左减右加”得出1P 的坐标，再根据位似图形的性质求出2P 的坐标．【小问1详解】解：如图，将()4,1A ，()2,3B ，()1,2C 分别先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到1A ，1B ，1C ，顺次连接，111A B C △即为所求图形．由图可知，点1B 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：如图，连接1AO 并延长到2A 点，使123A O AO =，连接1B O 并延长到2B 点，使123B O B O =，连接1C O 并延长到2C 点，使123C O C O =，顺次连接2A ，2B ，2C ，222A B C △即为所求图形．由图可知，点2B 的坐标为()0,6-．【小问3详解】解：由作图方法可知：(),P x y 按（1）的方式得到的对应点1P 的坐标为：()2,1x y --，再按（2）的方式得到的对应点2P 的横坐标为：()3263x x --=-，纵坐标为：()3133y y --=-，故2P 的坐标为()63,33x y --．【点睛】本题考查平移作图，画位似图形，求平移后对应点坐标以及位似图形的对应坐标，解题的关键是掌握点的平移规律——“纵坐标上加下减，横坐标左减右加”，以及位似图形的性质——位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比．24.为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生数是___________人，圆心角β=___________度；（2）补全条形统计图；（3）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？（4）若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．【答案】（1）50，144（2）见解析（3）600人（4）1 6【解析】【分析】（1）用等级为“良好”的人数除以等级为“良好”所占的百分比即可求出学生人数，先求出等级为“优异”的学生所占百分比，即可求出圆心角β的度数；（2）用调查学生总人数分别减去“达标”、“良好”、“优异”的人数即可；（3）用学生总人数乘以“优异”所占的百分比即可求解；（4）画树状图得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得．【小问1详解】解：由图可知：等级为“良好”的人数为：10人，等级为“良好”所占的百分比为：20%，本次调查的学生数是：1020%50÷=（人），2036014450=︒⨯=︒，故答案为：50，144．【小问2详解】等级为“优秀”的人数：502102018---=（人），如图所示：【小问3详解】20150060050⨯=（人），答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为600人．【小问4详解】根据题意画出树状图如图所示：共有12种等可能的结果数，满足条件的结果数有2种，恰好抽到A 、C 两人同时参赛的概率21126=．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25. 如图，ABC 的三边长分别为a 、b 、c （a b c >>），111A B C △的三边长分别为1a 、1b 、1c ．已知111ABC A B C ∽△△，相似比为()1k k >．（1）若12c a ==，5a =，求1c 的值．（2）若1c a =，求证：a kc =；（3）若1c a =，试给出符合条件的一对ABC 和111A B C △，使得a 、b 、c 和1a 、1b 、1c 都是正整数；（4）若11,b a c b ==，是否存在ABC 和111A B C △使得2k =？并请说明理由．【答案】（1）45（2）见解析 （3）8,6,4a b c ===，1114,3,2a b c ===（4）不存在；理由见解析．【解析】【分析】（1）利用三角形相似的性质：对应边对应成比例进行计算即可；（2）利用三角形相似的性质：对应边对应成比例进行证明即可；（3）取8,6,4a b c ===，同时取1114,3,2a b c ===，即可满足要求；（4）不存在，假设存在推出24b c c c c a +=+<=，进而推出a 、b 、c 构不成三角形．【小问1详解】解：∵111ABC A B C ∽△△，12c a ==，5a =，∴11a c a c =，即：1522c =，解得：145c =；【小问2详解】证明：∵111ABC A B C ∽△△，相似比为()1k k >， ∴1a k a = ，∴1a ka =，又∵1c a =，∴a kc =．【小问3详解】取8,6,4a b c ===，同时取1114,3,2a b c ===，此时 1112a b c a b c ===，∴111ABC A B C ∽△△，且1c a =，【小问4详解】不存在这样的ABC 和111A B C △，理由如下：假设存在，则1112,2,2a a b b c c ===．又∵1b a =，1c b =，∴112244a a b b c ====，∴2b c =，∴24b c c c c a +=+<=，与三角形的三边关系b c a +> 不符，∴不存在ABC 和111A B C △，使得2k =．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的性质：对应边对应成比例是解题的关键．26. 解答题（1）如图1，ABC 和ADE V 都是等边三角形，连接BD 、CE ，求证，BD CE =；[类比探究]（2）如图2，ABC 和ADE V 都是等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，连接BD CE ，．求BD CE的值．[拓展提升]（3）如图3，ABC 和ADE V 都是直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，2AC AE AB AD==．连接BD CE 、，延长CE 交BD 于点F ，连接AF ．若AFC ∠恰好等于90︒，请直接写出此时AF BF CF ，，之间的数量关系．【答案】（1）见解析 （2（3）2CF BF =【解析】【分析】（1）证明BAD CAE ≌△△，从而得出结论；（2）证明BAD CAE ∽，从而得出结果；（3）过点B 作BH CF ⊥，垂足为点H ，令AB 和CF 相交于点O ．通过证明OBH BCH ∆∆∽以及AOF BOH ∆∆∽，根据对应边成比例，即可将AF BF CF ，，三条线段表示出来，即可得出结论．【小问1详解】解：∵ABC 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60∠∠︒DAE BAC ==，∴DAE BAE BAC BAE ∠-∠=∠-∠，即：DAB EAC ∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC DAB EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BAD CAE ≌△△，∴BD CE =．【小问2详解】解：∵ABC 和ADE V 都是等腰直角三角形，∴45DAE BAC ∠=∠=︒，90ADE ABC ∠=∠=︒，∴ABC ADE △△∽，∴AD AE AB AC =，则AD AB AE AC=，∵DAE BAE BAC BAE ∠-∠=∠-∠，即：DAB EAC ∠=∠，在BAD 和CAE V 中，DAB EAC ∠=∠，AD AB AE AC =，∴BAD CAE ∽，∴BD AB CE AC=，令AB x =，根据勾股定理可得：AC =，∴BD AB CE AC ===．【小问3详解】过点B 作BH CF ⊥，垂足为点H ，令AB 和CF 相交于点O ．∵90ABC ADE ∠=∠=︒，2AC AE AB AD==，∴30ACB AED ∠=∠=︒，60BAC DAE ∠=∠=︒，∴ACB AED ∆∆∽，则DAE BAC ∠=∠，∴DAE BAE BAC BAE ∠-∠=∠-∠，即：DAB EAC ∠=∠，∵2AC AE AB AD==，∴BAD CAE ∽，∴ACE ABD ∠=∠，在FO B ∆和AOC ∆中，ACE ABD ∠=∠，FOB AOC ∠=∠，∴60OFB OAC ∠=∠=︒，设FH x =，OH y =，则2,BF x BH ==，∵BH CF ⊥，OB BC ⊥，∴OBH BCH ∆∆∽，∴OH BH BH CH ==，23x CH y =，∴2233x x xy CF CH FH x y y+=+=+=，∵90AFO BHO ∠=∠=︒，AOF BOH ∠=∠，∴AOF BOH ∆∆∽，∴AF OF BH OH =x y y -=，AF =∵2,BF x =AF =23x xy CF y +=，∴24,BF x =233x xy y-=，∵223334x xy x xy x CF y y-++==，∴2CF BF =+．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．。
2023-2024学年山东省济南市钢城区九年级上学期数学期中试题及答案
山东省济南市钢城区九年级上学期数学期中试题及答案注意事项：1.答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确．2.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟．3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔．4.考试结束后，由监考教师把答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题40分）一、选择题（本题共10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分）1. 若锐角30a Ð=°，则sin a 的值是（ ）A. 1B. 12【答案】B 【解析】【分析】根据30度角的正弦值为12即可得到答案．【详解】解：∵30a Ð=°，∴1sin 2a =，故选：B ．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，熟知30度角的正弦值是解题的关键．2. 下列函数是二次函数的是（ ）A. 3y x = B. 3y x=C. 23y x = D. 23y x =【答案】C 【解析】【分析】利用二次函数的一般形式为：2(y ax bx c a b c =++、、是常数，0a ¹），进而判断得出即可．【详解】解：A 、3y x =是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确；B 、3y x=是反比例函数，不是二次函数，故本选项不正确；C 、23y x =符合二次函数的定义，故本选项正确；D 、23y x=的右边不是整式，因此不是二次函数，故本选项不正确．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．3. 若反比例函数6y x-=的图象一定经过的点是（ ）A. ()16--，B. ()16-，C. ()61--，D. ()16，【答案】B 【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出答案．【详解】解：()()()()166166616-´-=´-=--´-=，，，166´=，∴图象一定经过的点是()16-，，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；掌握反比例函数图象上点的坐标特征，即纵横坐标的积等于k （定值）是解决问题的关键．4. 对于二次函数y ＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）A. 开口向下B. 对称轴是x ＝﹣1C. 顶点坐标是（1，2）D. 最大值是2【答案】C 【解析】【分析】直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．【详解】解：由y ＝（x﹣1）2+2得，开口向上，选项A 不符合题意；对称轴为直线x ＝1，故选项B 错误；顶点坐标为（1，2），选项C 符合题意；最小值为2，故选项D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．5. 在同一平面直角坐标系中，函数1y kx =+与()0ky k x=¹的图象大致是（ ） A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质进行判断即可．【详解】解：分两种情况讨论：①当0k >时，1y kx =+与y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限；②当0k <时，1y kx =+与y 轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限；综上分析可知，只有选项A 符合题意．故选：A ．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象为性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，一次函数()0y kx b k =+¹，当0k >直线经过一、三象限，当0k <直线经过二、四象限，当0b >直线与y 轴正半轴有交点，0b <直线与y 轴负半轴有交点．6.下表是小明通过计算得到的函数25y x x =--的几组对应值，则方程250x x --=的一个实数根可能是（ ）x 1.5- 1.7- 1.9- 2.1-y1.25-0.41-0.511.51A. 1.6x »-B. 1.8x »-C. 1.95x »-D. 2.2x »-【答案】B 【解析】【分析】抛物线2(0)y ax bx c a =++¹与x 轴交点的横坐标即是20(0)ax bx c a ++=¹的解．由表格确定0y =时，对应的自变量值即与x 轴交点的横坐标．【详解】解：抛物线25y x x =--的对称轴为0.5x =，∴0.5x <，y 随x 的增大而减小．0y =时，0.410.51y -<<，相应的 1.9 1.7x -<<-．∴方程250x x --=的一个实数根 1.9 1.7x -<<-；故选：B【点睛】本题考查二次函数的增减性，函数与方程的关系；理解抛物线2(0)y ax bx c a =++¹与x 轴交点的横坐标即是20(0)ax bx c a ++=¹的解是解题的关键．7.如图，点A 是反比例函数6y x-=的图象上一点，过点A 作AB 垂直于y 轴，C ，D 在x 轴上，AD BC P ，则平行四边形ABCD 的面积是（ ）A. 3B. 6C. 12D. 24【答案】B 【解析】【分析】作AE BC ^于E ，根据四边形ABCD 为平行四边形得AD x ∥轴，则可判断ABOE ABCD S S =长方形平行四边形，根据反比例函数k 的几何意义得到ABOE S k =，据此即可得到答案．【详解】解：过点A 作CD 于E ，如图，Q 四边形ABCD 为平行四边形，AD x \∥轴，ABOE ABCD S S \=长方形平行四边形，6ABOE S k ==Q ，6ABOE ABCD S S \==长方形平行四边形，故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数(0)ky k x=¹系数k 的几何意义，解题的关键是掌握从反比例函数(0)ky k x=¹图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为||k ．8. 将二次函数()221y x =-+的图象绕点()2,1旋转180°得到的图象满足的解析式为（）A. ()221y x =-+ B. ()221y x =++C. ()221y x =--+ D. ()221y x =-+-【答案】C 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．求出原抛物线的顶点坐标以及绕点(2,1)旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：Q 抛物线()221y x =-+的顶点坐标为(2,1)，开口向上\绕点(2,1)旋转180°后的抛物线的顶点坐标为(2,1)，开户口向下，\所得到的图象的解析式为()221y x =--+，故选：C ．9. 如图，四边形ABCD 为正方形，点E 在边BC 上，且BE EC <，点F 在边CD 上，且90AEF Ð=°．若2CF =，7DF =，则tan EAF Ð的值为（ ）A.27B. 12C.23D.32【答案】C 【解析】【分析】证明ABE ECF ∽△△，设BE x =，则9EC x =-，根据相似三角形的性质求得3x =，进而根据正切的定义，tan EFEAF AEÐ=，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，90AEF Ð=°．∴B C Ð=Ð，90BAE BEA CEF Ð=°-Ð=Ð，∴ABE ECF ∽△△，∴BE AB AECF EC EF==∵2CF =，7DF =，则9AB BC ==，设BE x =，则9EC x =-，∴929x x=-解得：3x =或6x =∵BE EC <，∴3BE =，∴2tan 3EF FC EAF AE BE Ð===,故选：C ．【点睛】本题考查了求正切，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．10.如图所示，已知11,3A y æöç÷èø，()23,B y 为反比例函数1y x=图象上的两点，动点(),0P x 在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A. 1,03æöç÷èøB. 4,03æöç÷èøC. 2,03æöç÷èøD.10,03æöç÷èø【答案】D 【解析】【分析】连接AB 交x 轴于点P ¢，当A 、B 、P 共线时取等号，即点P 与点P ¢重合，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，利用待定系数法求得直线AB 的表达式，然后令0y =求解即可．【详解】解：连接AB 交x 轴于点P ¢，则AP BP AB -£，当A 、B 、P 共线时取等号，即点P 与点P ¢重合，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，∵11,3A y æöç÷èø，()23,B y 为反比例函数1y x =图象上的两点，∴13y =，213y =，则1,33A æöç÷èø，13,3B æöç÷èø，设直线AB 的表达式为y kx b =+，则133133k b k b ì+=ïïíï+=ïî，解得1103k b =-ìïí=ïî，∴103y x =-+，令0y =，由1003x -+=得103x =，∴10,03P æö¢ç÷èø，故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、求一次函数解析式，正确得出最大值时点P 的位置是解答的关键．第Ⅱ卷（非选择题110分）一、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共24分）11. 已知反比例函数2ky x-=的图象在第二、四象限，则k 的取值范围是_____．【答案】2k >【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质求解，即可得到答案．【详解】解：Q 反比例函数2ky x-=的图象在第二、四象限，20k \-<，2k \>，故答案为：2k >．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题关键是掌握反比例函数中，0k >，函数图象在第一、三象限内；0k <，函数图象在第二、四象限内．12.如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A B ¢¢的位置，已知AO 的长为4米．若栏杆的旋转角60AOA ¢Ð=°，则栏杆A 端升高的高度为______．【答案】##【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．本题过点A ¢作A C ¢AB ^于点C ，根据锐角正弦的定义即可求出答案．【详解】解：如图，过点A ¢作A C ¢AB ^于点C ．在Rt OC V A ¢，sin a =A C A O ¢¢，所以A C ¢=sin A O A O a ¢¢×=．由题意得A O ¢4AO ==，∴A C ¢4==故答案为：13.在平面直角坐标系中，把抛物线2112y x =-+向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得抛物线的解析式是_________．【答案】()21332y x =-++【解析】【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，最后根据顶点坐标写出抛物线的解析式即可．【详解】解：∵抛物2112y x =-+的顶点坐标为()01，，∴向上平移2个单位，再向左平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为()33-，，∴所得抛物线的解析式为()21332y x =-++．故答案为()21332y x =-++．【点睛】本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图像的平移以及平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．14. 已知二次函数 22y x x m =-++部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m --=的解为______.【答案】123,1x x ==-【解析】【分析】首先把（3，0）代入二次函数y=-x 2+2x+m 可得m 的值，然后再解220x x m --=可得解.【详解】解：根据图象可知，二次函数y=-x 2+2x+m 的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=-x 2+2x+m ，代入，得-32+2×3+m=0，解得m=3，的把m=-3代入一元二次方程220x x m --=，得2230x x --=，解得x 1=3，x 2=-1；【点睛】本题考查关于二次函数与一元二次方程，利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答．15.我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高土素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步（每一步为五尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？______．【答案】14.5尺【解析】【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设这个秋千的绳索AC x =，得到222(4)10x x =-+，求出x 的值即可．【详解】解：设这个秋千的绳索AC x =，则AD AC x ==，5,1BE FD CE ===Q ，154AB AC CE BE x x \=+-=+-=-，∵10BD =，222AD AB BD =+Q ，\222(4)10x x =-+，14.5x \=，这个秋千的绳索有14.5尺．故答案为：14.5尺16.如图，点A 的坐标是()20-，，点B 的坐标是()06，，C 为OB 的中点，将ABC V 绕点B 逆时针旋转90°后得到A B C ¢¢¢V ．若反比例函数k y x=的图像恰好经过A B ¢的中点D ，则k =_______．【答案】15【解析】【分析】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征、坐标与图形的变化旋转等知识点，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．如图：作A H y ¢^轴于H,证明()AAS AOB BHA ¢V V ≌，推出OA BH OB A H ¢==，，求出点()64A ¢，、()35D ，坐标，最后代入即可解答．【详解】解：作A H y ¢^轴于H ．∵90AOB A HB ABA ¢¢Ð=Ð=Ð=°，∴9090ABO A BH ABO BAO ¢Ð+Ð=°Ð+Ð=°，，∴BAO A BH ¢Ð=Ð，∵BA BA ¢=，∴()AAS AOB BHA ¢V V ≌，∴OA BH OB A H ¢==，，∵点A 的坐标是()20-，，点B 的坐标是()06，，∴26OA OB ==，，∴26BH OA A H OB ¢====，，∴4OH =，∴()64A ¢，，∵BD A D ¢=，∴()35D ，，∵反比例函数k y x=的图像经过点D ，∴15k =．故答案为：15．三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）17. 112sin 4513-ö°+-÷ø．【答案】4-【解析】【分析】根据二次根式的运算法则，实数的运算法则，化简绝对值的方法，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式213=---13=--4=-【点睛】本题考查带特殊角的三角函数值的实数运算，化简二次根式，去绝对值，负整数指数幂公式等知识，掌握相关公式和运算法则是解题的关键．18.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）这个反比例函数的解析式是 （0R >）．（2）若使用时电阻12R =W ，则电流I 是 （3）如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A ，那么用电器的可变电阻至少是多少？【答案】（1）36I R= （2）3A （3）用电器的可变电阻至少是3.6W【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）把12R =W 代入（1）所求解析式中求解即可；（3）先求出当10I =A 时， 3.6R =W ，再由I 随R 的增大而减小，可知要使电流不能超过10A ，则电阻要不低于3.6W ．【小问1详解】解：设反比例函数式K I R=，∵把()9,4代入反比例函数式K I R =，∴9436K =´=，∴36I R=．故答案为：36I R=．【小问2详解】解：当12R =W ，36312I ==，故答案为：3A ；【小问3详解】解：当10I £A 时，则3610R£，∴ 3.6R ³，∴用电器的可变电阻至少是3.6W ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．19.如图，测绘飞机在同一高度沿直线BC 由B 向C 飞行，且飞行路线经过观测目标A 的正上方．在第一观测点B 处测得目标A 的俯角为60°，航行1000米后在第二观测点C 处测得目标A 的俯角为75°．（1）求A Ð的度数；（2）求第二观测点C 与目标A 之间的距离．【答案】（1）45°（2）【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；（2）过点C 作CD AB ^于点D ，再利用解直角三角形，即可求得CD 、AC 的长即可【小问1详解】解：60B Ð=°Q ，75ACB Ð=°，180180607545A B ACB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°；【小问2详解】解：如图：过点C 作CD AB ^于点D ，60B Ð=°Q ，1000BC =米\在Rt BCD V中，sin 601000CD BC =×°==米)， \Rt ACD △中，sin 45CD AC ===°(米)，故第二观测点C 与目标A之间的距离为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．20.如图，直线y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图像交于点A ．点B ，与x 轴相交于点C ，其中点A 的坐标为(24)-，，点B 的纵坐标为2．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）直接写出当一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围．（3）求AOB V 的面积．【答案】（1）6y x =+，8y x=-在（2）42x -<<-（3）6【解析】【分析】（1）将已知点坐标代入m y x =得8y x=-，进一步求得(4,2)B -．待定系数法求解一次函数解析式6y x =+．（2）图象法求解，一次函数图象位于双曲线上方时对应的自变量取值42x -<<-；（3）求解(0,6),(6,0)D C -，运用组合图形求面积方法，6AOB OCD ODA OCB S S S S =--=V V V V ．【小问1详解】解：m y x=的图像经过(24)-，，∴248m xy ==-´=-．∴8y x=-．2y =时，82x -=，得4x =-．∴(4,2)B -．设一次函数解析式为(0)y kx b k =+¹，则4224k b k b -+=ìí-+=î，解得16k b =ìí=î∴解析式为6y x =+．【小问2详解】解：如图，由(2,4),(4,2)A B --，得一次函数的值大于反比例函数的值时，42x -<<-【小问3详解】解：如图，直线AB 交y 轴于点D ，0x =时，66y x =+=；0y =时，60x +=，得6x =-，∴(0,6),(6,0)D C -∴6OD =，6OC =．∴11166626218666222AOB OCD ODA OCB S S S S =--=´´-´´-´´=--=V V V V ．【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，函数与方程的联系，直角坐标系内求三角形面积；理解函数与方程的联系是解题的关键．21.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件获利40元，调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．若设每件衬衫降价x 元，商场平均每天赢利y 元．（1）写出y 与x 之间的函数关系式，并化成一般式；（2）若商场平均每天赢利要达到1200元，且让顾客得到实惠，则每件衬衫应降价多少元？【答案】（1）2260800y x x =-++（2）20元【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设每件衬衫降价x 元，则商场平均每天可销售10(20)5x +件，根据总利润=每件的利润´销售数量列式即可；（2）当1200y =时，即可得出关于x 一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；【小问1详解】解：设每件衬衫降价x 元，则商场平均每天可销售10(20)5x +件，依题意，得：210(40)(20)2608005y x x x x =-+=-++；的【小问2详解】解：当1200y =时，22608001200x x -++=，整理，得：2302000x x -+=，解得：110x =，220x =，Q 让顾客得到实惠，20x \=．答：每件衬衫应降价20元；22. 如图，在ABC V 中，90B Ð=°，12cm AB =，24cm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm /s 的速度移动，如果P 、Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，设运动时间为t ．（1）AP =______，BP =______，BQ =______；（2）t 为何值时PBQ V 的面积为232cm ？（3）t 为何值时PBQ V 的面积最大？【答案】（1）2cm t ，()122cm t -，4cm t（2）当2t =秒或4秒时，PBQ V 的面积是232cm ；（3）当t 为3时PBQ V 的面积最大，最大面积是236cm 【解析】【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．（1）由题意可直接利用t 表示出AP ，BP 和BQ ；（2）由三角形的面积公式可求出242241PBQ t S t BP BQ =´´=-+V ，结合题意即得出关于t 的方程，解出t 即可；（3）由（2）可知2424PBQ t t S -+=V ，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答．【小问1详解】根据题意得：2cm AP t =，4cm BQ t =，∴()122cm BP AB AP t =-=-，【小问2详解】21(122)442432122PBQ S BP BQ t t t t ==´-´=+´´-=V ，解得：2t =或4，∵126s 2=，246s 4=，∴06t ££，∴2t =或4都符合题意，∴即当2t =秒或4秒时，PBQ V 的面积是232cm ；【小问3详解】由（2）可知()224244336PBQ S t t t =-+=--+V ，∵40-<，06t ££，∴当t 为3时PBQ V 的面积最大，最大面积是236cm ．23.投影仪，又称投影机，是一种可以将图像或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆AD 与地面FC 垂直，且AD 的长为12cm ，脚杆CD 的长为50cm ，AD 距墙面EF 的水平距离为240cm ，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角120EAD Ð=°，脚杆CD 与地面的夹角42DCB Ð=°，求光源投屏最高点与地面间的距离EF ．（参考数据：sin 420.67°»，cos 420.74°»，tan 420.90°» 1.73»，结果精确到0.1cm ）【答案】光源投屏最高点与地面间的距离EF 约为183.9cm ．【解析】【分析】过点A 作AG EF ^，垂足为G ，过点D 作DH EF ^，垂足为H ，则AB GF =，240cm AG BF ==，90GAB Ð=°，先在Rt DBC △中，利用锐角三角函数的定义求出DB 的长，从而求出GF AB ，的长，再在Rt EAG △中，利用锐角三角函数的定义求出EG 的长，从而根据EF EG GF =+，进行计算即可解答．【详解】解：过点A 作AG EF ^，垂足为G ，过点D 作DH EF ^，垂足为H ，则AB GF =，240cm AG BF ==，90GAB Ð=°，在Rt DBC △中，4250cm DCB CD Ð=°=，，∴()sin 42500.6733.5cm DB CD =×°»´=，∵12cm AD =，∴()45.5cm GF AB AD DB ==+=，∵120EAD Ð=°，∴30EAG EAD GAB Ð=Ð-Ð=°，Rt EAG △中，)tan 30240cm EG AG =×°==，∴()45.5183.9cm EF EG GF =+=+»，在∴光源投屏最高点与地面间的距离EF 约为183.9cm ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O ，守门员位于点A ，OA 的延长线与球门线交于点B ，且点A ，B 均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s 与离地高度h 的鹰眼数据如表：s /m0912151821…h /m 0 4.2 4.85 4.8 4.2…（1）根据表中数据预测足球落地时，s =______m ；（2）求h 关于s 的函数解析式；（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m 时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，24m s =，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．【答案】（1）30 （2）212453h s s =-+ （3）守门员不能成功防守，理由见解析．【解析】【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入()12,4.8可求出参数，由此可解答；（3）把24s =代入二次函数解析式求出h ，再与最大防守高度比较即可．【小问1详解】解：由表格可知，9s =时和21s =时，h 相等，12s =时，18s =时，h 相等，抛物线关于15s =对称，Q 当0s =时，0h =，30\=s 时，0h =；【小问2详解】由（1）知，抛物线关于15s =对称，设2(s 15)5h a =-+，把()12,4.8代入上述解析式，2(1215)5 4.8\-+=a ，解得145a =-，22112(15)5.45453h s s s \=--+=-+【小问3详解】当24m s =，∴2211(15)595 1.85 3.2 2.64545h s =--+=-´+=-+=>，∴守门员不能成功防守．25.我们知道，一次函数1y x =+的图像可以由正比例函数y x =的图像向左平移1个单位得到；爱动脑的小明认为：函数21y x =+也可以由反比例函数2y x =通过平移得到，小明通过研究发现，事实确实如此，并指出了平移规律，即只要把2y x=（双曲线）的图像向左平移1个单位（如图1虚线所示），同时函数21y x =+的图像上下都无限逼近直线=1x -！如图2，已知反比例数C ：1k y x =与正比例函数L ：2y k x =的图像相交于点2(1)A ，和点B ．（1）写出点B 的坐标，并求1k 和2k 的值；（2）将函数1k y x=的图像C 与直线L 同时向右平移()0n n >个单位长度，得到的图像分别记为C ¢和L ¢，已知图像L ¢经过点2(3)M ，；则① n 的值为 ；②写出平移后的图像C ¢对应的函数关系式为 ；③ 利用图像，直接写出不等式2242x x >--的解集为 ；【答案】（1）(12)B --，，12k =，22k = （2）①2；②22y x =-；③1x <或23x <<【解析】【分析】（1）将2(1)A ，分别代入1k y x =、2y k x =及可求解；（2）①将2(3)M ，代入()2y x n =-即可求解；②直接写出平移后C ¢表达式即可；③当2242x x =--时，解得：1231x x ==，，再结合图象即可求解；【小问1详解】解：将2(1)A ，代入1k y x =得121k =，解得：12k =；∴2y x=．将2(1)A ，代入2y k x =得22k =；∴2y x =．由题意得22y x y xì=ïíï=î，解得：12x y =ìí=î或12x y =-ìí=-î，∴(12)B --，．【小问2详解】①将2(3)M ，代入()2y x n =-得()223n =-，解得：2n =；故答案为：2．②平移后的图像C ¢对应的函数关系式为22y x =-，故答案为：22y x =-．③如图，当2242x x =--时，解得：1231x x ==，，结合图像，2242x x >--的解集为1x <或23x <<．故答案为：1x <或23x <<．【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．26. 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点()0,3C ，设抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC 、CD 、DA ，试判断ACD V 的形状，并说明理由；（3）若点Q 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P ，使以A 、B 、Q 、P 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）该抛物线的解析式为223y x x =--+．（2）ACD V 为直角三角形．理由见解析．（3）存在，()14P -,，()5,12P --，()3,12P -均可满足条件．【解析】【分析】（1）将A 、B 、C 三点坐标分别代入抛物线2y ax bx c =++中即可求出a 、b 、c 的值，从而得出抛物线的解析式；（2）根据()1中求出的抛物线解析式223y x x =--+得出D 的坐标，通过两点间距离公式可求出AD 、CD 、AC 的值，计算发现222AC CD AD +=，根据勾股定理逆定理可得，ACD V 为直角三角形；（3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为AB 、PQ 时；两条对角线为AQ 、BP 时；两条对角线为AP 、BQ 时，即可得出符合条件的P 的坐标．【小问1详解】解：将()30A -,，()10B ,，()0,3C 代入抛物线2y ax bx c =++中，得()()23301103a b c a b c c ì×-+×-+=ï×+×+=íï=î，可解得23b c ï=-íï=î，\抛物线的解析式为223y x x =--+．【小问2详解】ACD V 应为直角三角形．理由如下：由（1）得：抛物线的解析式为()222314y x x x =--+=-++，且D 是抛物线的顶点，()1,4D \-又()30A -,，()0,3C ，\AD ==，CD ==AC ==222AC CD AD \+=．∴ACD V 为直角三角形．【小问3详解】存在，()14P -,，()5,12P --，()3,12P -均可满足条件．Q 要使以A 、B 、Q 、P 为顶点的四边形为平行四边形，且平行四边形中对角线互相平分，\对角线的中点坐标为固定值．Q Q 在抛物线对称轴上，P 在抛物线上，\可设()1,Q q -，()2,23P p p p --+则可分为以下三种情况进行讨论：①两条对角线为AB 、PQ 时，有()231122230022p q p p -+-+ì=ïïí+--++ï=ïî解得4q í=-î，即此时()1,4Q --，()14P -,；②两条对角线为AQ 、BP 时，有()()()231122023022p p p q ì-+-+=ïïí+--++ï=ïî解得512p q =-ìí=-î，即此时()1,12Q --，()5,12P --；③两条对角线为AP 、BQ 时，有()()()231122023022p p p q ì-++-=ïïí+--++ï=ïî解得312p q =ìí=-î，即此时()1,12Q --，()3,12P -．故满足条件的P 点有3个，分别为()14P -,，()5,12P --，()3,12P -．【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点坐标为固定值，易错点是第（3）题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的P 点未写全．。
山东省济南市市中区2024-2025学年九年级上学期数学期中试题
山东省济南市市中区2024-2025学年九年级上学期数学期中试题一、单选题1．2024年巴黎奥运会，中国体育健儿勇夺91枚奖牌，如图是本届奥运会的领奖台，其左视图是（）A ．B ．C ．D ．2．已知点()13,A y -，()21,B y -和()32,C y 都在反比例函数()0ky k x=>的图象上，则1y ，2y 和3y 的大小关系是（）A ．312y y y <<B ．213y y y <<C ．123y y y <<D ．321y y y <<3．如图1是某班级的花架，图2是其侧面示意图，已知AB CD EF ∥∥，36cm AC =，35BD DF =，则AE 的长为（）A ．48cmB ．60cmC ．96cmD ．120cm4．10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．235．函数y kx k =-和()210k y k x+=-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为8cm ，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（）A ．()4cmB ．()16cmC ．(12cm-D ．(24cm-7．如图，直线y x =-与双曲线()0ky k x=≠交于A ，B 两点，已知OA =表达式为（）A ．3y x=B ．3y x=-C ．9y x=D ．9y x=-二、填空题8．如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离AB 的长为3.5m ，则表高为（）（参考数据：冬至时，0.5≈表高影长；夏至时，3≈表高影长）A ．2.1mB ．2.4mC ．56m .D ．5.8m三、单选题9．如图，点光源O 射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片AB 投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像CD ．已知3cm AB =，胶片与屏幕的距离EF 为定值，设点光源到胶片的距离OE 长为x （单位：cm ），CD 长为y （单位：cm ），y 随x 的变化而变化，且当60x =时，43y =，则y 与x 的函数关系可表示为（）A ．4360y x =B ．233y x =+C ．24003y x=+D ．2580y x=10．已知反比例函数()22a y a x-=≠，点()11,M x y 和()22,N x y 是反比例函数图象上的两点．若对于12x a =，256x ≤≤，都有12y y >，则a 的取值范围是（）A ．502a -<<或522a <<B ．532a -<<且2a ≠，0a ≠C ．532a -<<-或02a <<D ．5522a -<<且2a ≠，0a ≠四、填空题11．若()304n m m =≠，则n mm+=．12．近年来，济南环境保护效果显著，越来越多的候鸟选择来济过冬．为了解候鸟的情况，生物学家采用“捕获—标记—再捕获”的方法估计候鸟的数量．先随机捕捉40只候鸟，戴上标记卡并放回，经过一段时间后，重复进行5次捕捉．记录数据如下表，由此估计该区域约有只候鸟．累计捕捉数量（只）100200350420480带有标记卡数量（只）132444526013．坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC ），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼DE 的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC 保持水平，点A 、B 、D 在同一直线上，90AFE DEF ∠=∠=︒，测得0.15m AB =，0.2m BC =， 1.7m AF =，37.5m EF =，则超然楼的高度DE =m ．14．如图，点P ，Q ，R 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ．若OE ED DC ==，2320S S +=，则k =．15．如图，在ABCD 中，4AB =，6AD =，45A ∠=︒，点E 为边AD 上的一个动点，连接EC 并延长至点F ，使得12CF CE =，以EB ，EF 为邻边构造BEFG ，连接CG ，则CG 的最小值为．五、解答题16．如图，一次函数4y kx =+的图象与反比例函数()0my x x=<的图象交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，()1,3B -，连接OA ，OB ．(1)求k 和m 的值；(2)求AOB V 的面积．17．图1是小亮沿广场道路AB 散步的示意图，线段CD 表示直立在广场上的灯柱，点C 表示照明灯的位置，已知小亮身高1.5m ，6m CD =．(1)如图2，小亮站在E 处时与灯柱的距离9m ED =，则此时小亮的影长AE =m ；(2)如图3，小亮继续行至G 处时，发现其影长KG 恰为身高的一半，求此时小亮与灯柱的距离．18．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标分别是()2,6A ，()6,2B ，()10,0C ．(1)以原点O 为位似中心画111A B C △，使它与ABC V 位似．若1112A B AB =在第一象限内画出111A B C △；(2)在（1）的条件下，求点1A的坐标．19．如图1，直角尺是机械行业中检验工件垂直度的常用工具．如图2，在矩形ABCD中，直角尺的顶点G在CD上滑动，当点E落在BD上时，另外两个顶点恰好与A，B重合．若==，求BD的长．BE AE22420．2024年8月8日是中国第16个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表．一分钟跳绳成绩统计表成绩等级一分钟跳绳次数频数x≥nA160x≤<75B120160x≤<69C80120x<36D80请根据以上信息，完成下列问题．(1)随机抽取的学生人数为人，统计表中的n=，统计图中B等级对应扇形的圆心角为度；(2)该校共有800人参加比赛，请你估计该校成绩达到B等级及以上的有多少人?(3)该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率．21．如图1，在平面直角坐标系中，直线y x b =+与双曲线()10ky k x=≠交于()4,1A m +，(),3B m -．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)根据图象，直接写出关于x 的不等式kx b x+<的解集；(3)如图2，将直线y x b =+向上平移a 个单位长度得到直线l ，直线l 与反比例函数()2130y x x=-<的图象交于C ，D 两点，与双曲线1k y x =在第一象限内交于点E ，连接BD ，EA ，若四边形ABDE 是平行四边形，求a 的值．22．2024年9月，济南港—寿光港集装箱业务的首船作业，标志着小清河复航业务再结硕果．集装箱搬运车是为了更高效地对集装箱进行搬运和叠放，当液压撑杆与吊臂垂直且吊臂完全伸展开时，集装箱搬运车的抓手可以达到最大高度．如图1是抓手达到最大高度时的示意图，四边形ABCD 为矩形，5m AB =，0.9m BC =，AE BF ⊥，延长FB DC ，交于点H ， 1.2m CH =．(1)求此时液压撑杆AE 的长；(2)已知吊臂BF 最长为9.5m ，抓手0.5m FG =，某批集装箱的长宽高如图2所示，使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放几层?请通过计算说明．23．小光根据学习函数的经验，探究函数11y x =-的图象与性质．(1)刻画图象①列表：下表是x ，y 的几组对应值，其中a =，b =；x …4-2-1-0122334544332234 (11)x -…15-13-12-1-2-a4-4321b13…②描点：如图所示；③连线：请用平滑的曲线顺次连接．(2)认识性质观察图象，完成下列问题：①当1x >时，y 随x 的增大而；②函数11y x =-的图象的对称中心是．（填写点的坐标）(3)类比探究①小光发现，函数11y x =-的图象可以由反比例函数1y x =的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程；②函数43y x =-的图象经平移可以得到函数42=+y x 的图象，请说明平移过程．24．（1）在ABC V 和DEC 中，AB AC =，DE DC =，90BAC EDC ∠==︒．①如图1，当CE 与AC 重合时，BEAD=；②如图2，DEC 绕点C 逆时针旋转一定角度，连接AD ，BE ，BEAD的值是否改变？请说明理由；（2）如图3，正方形ABCD 的边长为2，E 为边AB 上一动点，以CE 为斜边在正方形ABCD 内部作等腰直角CFE △，90CFE ∠=︒，连接AF ，BF ，当AFE ABF ∠=∠时，求BE 的长．25．某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数8y x=的图象，他们在平面直角坐标系内选定点133,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点P 作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下：【动手操作】操作1：如图1，过点P 作x 轴的平行线l ，将直线l 上方的反比例函数图象沿直线l 翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X 图象”．操作2：如图2，过点P 作y 轴的平行线m ，将直线m 左侧的反比例函数图象沿直线m 翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y 图象”．操作3：如图3，过点P 作直线n ：152y x =-+，将第一象限内反比例函数的图象在直线n 下方的部分沿直线n 翻折得到新图象，与直线n 下方的图象组成的封闭图象是“Z 图象”．试卷第11页，共11页【解决问题】(1)如图1，求“X 图象”与x 轴的交点C 的坐标；(2)过x 轴上一点(),0Q t 作y 轴的平行线，与“Y 图象”交于点M ，N ．若3MN QN =，求t 的值；(3)如图3，反比例函数()80y x x =>的图象与直线n 交于点E ，F ，已知点G 和点H 是“Z 图象”上的两个动点，当以点E ，G ，F ，H 为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G 和点H 的坐标．。