行列式的应用
行列式在高等数学中的应用
行列式在高等数学中的应用行列式是高等数学中的重要概念，它在许多数学问题的求解中起到了关键作用。
本文将从几个方面介绍行列式在高等数学中的应用。
一、线性方程组的解在线性代数中，我们经常需要求解线性方程组的解。
而行列式可以用来判断线性方程组是否有解以及计算解的个数。
具体来说，对于一个n元线性方程组，我们可以将其系数矩阵A的行列式记为|A|，方程组的常数向量记为b。
如果|A|≠0，那么方程组有唯一解；如果|A|=0且b≠0，那么方程组无解；如果|A|=0且b=0，那么方程组有无穷多解。
二、矩阵的逆在矩阵论中，行列式也被用来计算矩阵的逆。
对于一个n阶方阵A，如果它的行列式|A|≠0，那么A存在逆矩阵A^-1，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵在很多问题中有着重要的应用，如线性方程组的求解、矩阵的变换等。
三、向量的线性相关性行列式还可以用来判断向量的线性相关性。
对于n个n维向量组成的矩阵A，如果其行列式|A|≠0，那么这n个向量线性无关；如果|A|=0，那么这n个向量线性相关。
线性相关性的判断对于研究向量空间的性质以及解决相关问题都起到了重要的作用。
四、二次型的正定性在矩阵论中，二次型是一个重要的概念。
行列式可以被用来判断二次型的正定性。
对于一个n元二次型，我们可以将其用矩阵形式表示为Q(x)=x^TAX，其中x为n维列向量，A为n阶实对称矩阵。
如果A的所有顺序主子式都大于0，那么二次型Q(x)是正定的；如果A的所有顺序主子式都小于0，那么二次型Q(x)是负定的；如果A的顺序主子式正负交替，那么二次型Q(x)是不定的。
正定性的判断在优化问题、极值问题等方面有着重要的应用。
五、平面与立体几何行列式在平面与立体几何中也有着重要的应用。
例如，在平面几何中，我们可以用行列式计算两条直线的交点坐标；在立体几何中，我们可以用行列式计算线段、向量的长度，以及计算平面的面积和体积等。
行列式在高等数学中的应用非常广泛。
行列式的计算方法及应用
行列式的计算方法及应用行列式是线性代数中一个重要的概念，它是一个正方形矩阵的特殊的函数，用于描述线性方程组的解的唯一性、可解性以及一些几何性质。
本文将介绍行列式的计算方法及其应用。
一、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶的矩阵A=[[a,b],[c,d]]，其行列式的计算方法为：det(A) = ad - bc。
2.三阶行列式的计算方法对于一个三阶的矩阵A=[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]，其行列式的计算方法为：det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi。
3.一般的行列式计算方法对于一个n阶的矩阵A，其行列式的计算方法可以通过展开定理进行计算。
展开定理的思想是通过将行列式展开为更小规模的行列式的和来计算。
假设A为n阶矩阵，其元素为a[i][j]，行列式记为det(A)，则行列式的计算方法为：det(A) = a[1][1] * A[1][1] + (-1)^(1+2) * a[1][2] * A[1][2] + ... + (-1)^(1+n) * a[1][n] * A[1][n]其中，A[1][k]为将矩阵A的第1行和第k列删去后的(n-1)阶矩阵，det(A)为其中的行列式。
二、行列式的应用1.线性方程组的解的唯一性和可解性判断对于一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b 为常数向量。
若A的行列式不为0，则方程组有唯一解；若A的行列式为0，则方程组可能有无穷多个解或无解。
2.矩阵的可逆性判断一个矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是其行列式不为0。
可逆矩阵在数值计算和理论推导中有着重要的应用，例如求解线性方程组的解、求逆矩阵以及解线性变换等。
3.几何性质的判断行列式可以用来判断空间中向量的线性相关性和共面性。
对于一个n 维空间中的n个向量，若这些向量的行列式为0，则说明这些向量线性相关，存在一些向量可以由其他向量线性表示；若行列式不为0，则说明这些向量线性无关，对应n维空间中的一个n维平行体。
行列式展开与应用例题和知识点总结
行列式展开与应用例题和知识点总结一、行列式的定义行列式是一个数值，它是由一个 n 阶方阵的元素按照一定的规则计算得到的。
对于一个二阶方阵 A ＝ a b; c d，其行列式的值为 ad bc。
对于一个三阶方阵 A ＝ a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33，其行列式的值可以通过以下公式计算：｜A| ＝ a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) ＋ a13(a21a32a22a31)二、行列式的展开法则1、二阶行列式的展开对于二阶行列式｜a b; c d|，其展开式为 ad bc。
2、三阶行列式的展开三阶行列式可以按照某一行（或列）展开。
例如，按第一行展开：｜a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33| ＝ a11 × M11 a12 × M12 ＋a13 × M13其中，Mij 是元素 aij 的余子式，即去掉第 i 行和第 j 列后剩下的元素构成的二阶行列式的值，再乘以（－1)＾（i ＋ j)。
3、 n 阶行列式的展开n 阶行列式可以按照任意一行（或列）展开，其展开式是一个线性组合。
三、行列式的性质1、行列式与它的转置行列式相等。
2、互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
3、行列式中某行（列）的元素乘以同一数后，加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
四、行列式的应用例题例 1：计算行列式｜2 1; 3 4|解：根据二阶行列式的展开公式，该行列式的值为 2×4 1×3 ＝ 8 3 ＝ 5例 2：计算三阶行列式｜1 2 3; 4 5 6; 7 8 9|解：我们可以按第一行展开：｜1 2 3; 4 5 6; 7 8 9| ＝ 1×（5×9 6×8) 2×（4×9 6×7) ＋ 3×（4×85×7)＝ 1×（－3) 2×（－6) ＋ 3×（－1)＝－3 ＋ 12 3＝ 6例 3：已知行列式｜a b c; d e f; g h i| ＝ 4，求行列式｜2a 2b 2c; 3d 3e 3f; 4g 4h 4i|的值。
行列式实际应用案例
行列式实际应用案例行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
然而，除了在数学理论中的抽象运用外，行列式在现实生活中也有着许多实际应用案例。
在本文中，我们将介绍一些行列式在实际中的应用案例，以便更好地理解行列式的重要性和实用性。
首先，行列式在工程领域中有着重要的应用。
在工程设计中，经常需要求解多元线性方程组，而行列式可以用来判断线性方程组的解的情况。
通过计算行列式的值，可以确定方程组是否有唯一解、无解或者有无穷多解，这对于工程设计师来说是非常重要的信息。
比如，在建筑设计中，需要确定柱子和横梁的受力情况，就可以通过求解线性方程组来得到所需的信息。
其次，行列式在经济学中也有着重要的应用。
在经济学中，经常需要进行投资组合的优化，而行列式可以用来计算投资组合的收益和风险。
通过构建投资组合的收益-风险矩阵，可以得到一个n阶方阵，其行列式的值可以用来评估投资组合的风险和收益的关系，从而帮助投资者做出更加明智的投资决策。
此外，行列式在计算机图形学中也有着重要的应用。
在计算机图形学中，经常需要进行三维空间的变换和投影，而行列式可以用来表示和计算这些变换的矩阵。
通过计算变换矩阵的行列式，可以判断变换是否可逆，从而确定变换的性质和效果。
这对于计算机图形学的研究和应用具有重要的意义。
最后，行列式在生物学和化学中也有着一些应用。
在生物学和化学中，经常需要进行分子结构的分析和计算，而行列式可以用来表示和计算分子的结构和性质。
通过计算分子的行列式，可以得到分子的能量、稳定性和反应性等重要信息，这对于生物学和化学的研究具有重要的意义。
综上所述，行列式在实际生活中有着许多重要的应用案例，涉及到工程、经济、计算机图形学、生物学和化学等多个领域。
通过对这些应用案例的了解和掌握，我们可以更好地理解行列式的重要性和实用性，从而更好地应用行列式解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解行列式的实际应用，以及行列式在不同领域中的重要作用。
行列式的性质及应用知识点总结
行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下行列式的性质及应用方面的知识点。
一、行列式的定义首先，我们来了解一下行列式的定义。
对于一个 n 阶方阵 A ＝（aij ），其行列式记为｜A| 或 det(A) ，它的值是一个确定的数。
对于二阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 ； a 21 a 22 ｜＝ a 11 a 22 a 12 a 21 。
对于三阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 a 13 ； a 21 a 22 a 23 ； a31 a 32 a 33 ｜＝ a 11 a 22 a 33 ＋ a 12 a 23 a 31 ＋ a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 。
对于n 阶行列式，其定义相对复杂，但可以通过递归的方式来理解。
二、行列式的性质1、行列式转置值不变若将行列式 A 的行与列互换得到的行列式称为 A 的转置行列式，记为 A T ，则有｜A| ＝｜A T ｜。
2、两行（列）互换，行列式的值变号例如，交换行列式 A 中的第 i 行和第 j 行，行列式的值变为｜A| ；交换第 i 列和第 j 列，行列式的值也变为｜A| 。
3、某行（列）乘以 k，行列式的值乘以 k若行列式 A 的某一行（列）的元素都乘以同一个数 k ，则行列式的值等于原来的行列式的值乘以 k 。
4、若某行（列）是两组数之和，则行列式可拆成两个行列式之和例如，若 A 的第 i 行元素为 b i ＋ c i ，则｜A| ＝｜B| ＋｜C| ，其中 B 是将 A 的第 i 行换成 b i 得到的行列式，C 是将 A 的第 i 行换成 c i 得到的行列式。
5、某行（列）乘以 k 加到另一行（列），行列式的值不变例如，将行列式 A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行，行列式的值不变；将第 j 列乘以 k 加到第 i 列，行列式的值也不变。
行列式的计算方法及其应用
行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。
它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。
一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。
行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。
二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。
直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。
代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。
1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。
行列式应用案例
1.2 投入产出问题
模型准备：某地有一座煤矿、一个发电厂和一条铁路．经成本核算，每生产价值1元钱的煤需 消耗0.3元的电；为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费；每生产1元的电需消耗0.6元的煤 作燃料；为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电，还需要花费0.1元的运费；作为铁路局， 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤，辅助设备要消耗0.1元的电．现煤矿接到外地6万元煤的 订货，电厂有10万元电的外地需求，问煤矿和电厂各生产多少，才能满足需求？
应用线性代数
1.1 联合收入问题
模型准备：已知三家公司 具有图所示的股份关系，即 公司掌握 公司50%股份， 公司掌握 公 司30%的股份，而 公司70%的股份不受另外两家公司控制等．现设 和 公司各自的营业净收入分 别是120 000元、100 000元、80 000元，每家公司的联合收入是其净收入加上在其他公司的股份按 比例的提成收入，试确定各公司的联合收入及实际收入．
模型分析：于是 X 公司的联合收入为 x 309 390.86 元，实际收入为 0.7309 390.86 216 573.60 (元)； Y 公司的联合收入为 y 137 309.64 元，实际收入为 0.2137 309.64 27 461.93 (元)； Z公司的联合收入为 z 186 548.22 元，实际收入为 0.3186 548.22 55 964.47 (元)．
1.2 投入产出问题
模型求解：在 MATLAB 命令窗口输入以下命令： >>A=[1，-0.6，-0.5;-0.3，0.9，-0.1;-0.2，-0.1，1];b=[60000;100000;0]; >>x=inv（A）*b MATLAB 执行后得到如下结果： X=1.0e+005* 1.9966 1.8415 0.5835 可见，煤矿要生产1.996 6 105 元的煤，电厂要生产1.841 5 105 元的电恰好满足需求．
行列式的应用
2 x1 x2 5 x3 x4 8,
x1 3 x2 6 x4 9, 2 x2 x3 2 x4 5,
x1 4 x2 7 x3 6x4 0.
解
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
a2n
A12
A22
ann
A1n
A2n
An1 An2
A
A
Ann
A
E
A
A11 A21
A
A
A12
A22
A1n
A2n
An1 a11 a12
An2
a21
a22
Ann
an1
an2
a1n A
a2n
A
ann
A
E
A
定理2.7 矩阵 A可逆的充要条件是 A 0
对于齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21
x1
a22
x2
a2n xn 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
方程组(2)是方程组（1）的特例，将定理2.2应用到方程 组(2)得到
定理2.4 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式
D 0 ,则齐次线性方程组 (2)只有零解.
且 A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
从证明中可知:若A可逆,则有 A1 1 . A
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵. 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩 阵.
推论 若AB E或BA E ,则B A1.
例4 求下列矩阵的逆矩阵
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前言1 前言行列式是研究高等代数的一个重要工具。
行列式的理论应用，是研究现代科学技术的重要方法，在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。
文献[、[]对行列式的应用进行了部分介绍，文献]12[]3对行列式在几何上的应用又进行了较详细的讨论。
本文将继续具体讨论其在初等数学中的应用。
2 一类常见行列式在初等数学中的应用2.1 在因式分解中的应用将多项式表示成两个多项式()x f ()x f 1与()x f 2之差，再将视为两个因式之积即()x f i ()()()()()()()x g x g x g x g x f x f x f 432121−=−= 于是有()()()()()()()()()x g x g x g x g x g x g x g x g x f 24314321=−=再利用文献[]4中行列式的性质，可对某些多项式进行因式分解。
例1：分解()182773234−−−+=x x x x x f 解：()()()2397322+−−+=x x x x x f9923739232222212−−+⎯⎯→⎯−++=−x x x x x x x x r r r ()1123922−+−=x x x()()()23332+++−=x x x x ()()()()2133+++−=x x x x 又由于行列式n n n n n n na x a x a x a a x a a a a a x x x ++++=+−−−−−−−111010221100000100001故可以把一个次多项式写成一个n 阶行列式，然后再利用文献[中行列n ]4式的性质计算该行列式，使之成一些因式乘积。
例 2：分解()2411815245234+−−+=x x x x x f解：()2451511824100010001+−−−−−=x xxxx f15245118241000100012−+−−−−=x x xxx152451182410012−+−−−=x x x x15245224100152−+−−=x x x x x()15245224150155152−+−−−=x x x x x x x()52241051515+−−=x x x xx ()()()438315+++−=x x x x x()()()()43215++−−=x x x x2.2 在解分式方程中的应用将分式方程()()()()x g x g x f x f 2121=去分母，即 ()()()()x f x g x g x f 2121= ()()()0,22≠x g x f 移项得()()()()02121=−x f x g x g x f ()()()0,22≠x g x f 于是有原分式方程()()()()()()()()x g x g x f x f x f x g x g x f 21212121=−=再利用文献[]4中的行列式的性质，可对某些分式方程进行解答。
例3：解方程42424324322222−+−++=−+−++x x x x x x x x解：原方程可化为xxx x x x x x x x x x x x r r 4642432424324243222222212++++⎯⎯→⎯−+−−+−+++++2342432222++++=x x x x x11422++=x x x x()422−−+=x x x x ()0422=−=x x 解得2,0±=x 将其代入与中可得均不为0 4322−+−x x 422−+−x x 则原方程的解为2,0±=x 2.3 在分母有理化中的应用设()322310311c a c a a c f++=，则()Q Pc f=31。
其中 0232103211a ca c a a ca a P = 021102210a a ca a a ca a a a Q = 将的第2、3列分别乘以Q 3c 和32c 后都加到第1列上并提公因式易得 ()Q P c a c a a =++322310 显然不再含有Q 3c 和32c 。
例4：将3342231++分母有理化解：52442644322449312423212133333333+−=−−−++=×=P1112121241627312222312123=−−−++=×××=Q 所以115244422313333+−=++3 一类特殊行列式在初等数学中的应用文研究了形如[]5()111121122221111211−−−=nn n n n n a a a a a a a a a n D的一类阶实方阵行列式的几何意义，并在结论部分包含了如下一个结论：n ()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇔=⇔=⇔=⇔=−线性相关的三维空间中四点共面平面上三点共线一维数轴上两点重合121,,,4320n a a a A n n n n D （1）式实质蕴涵了在证明相关几何问题，向量线性相关等问题的应用价值，下面举例给出其在初等数学方面的相关应用。
()1()n D 3.1 在平面上三点共线问题中的应用定理 []51()1113323122211211a a a a a a D =，其几何意义是二维平面上以三点为顶点的三角形面积的2倍，亦即等于以矢量()(3,2,1,21=i a a A i i i )3121,A A A A 为邻边的平行四边形的面积。
根据的几何意义，由定理1直接可得： ()3D 推论1 平面上三点()()3,2,1,21=i a a A i i i 共线()03=⇔D 证明（略）例5：试推导直线的两点式方程推导证明：设l 是过已知点()()2211,,,y x B y x A 的直线，对于()l y x P ∈∀,，必有一类特殊行列式在初等数学中的应用三点共线P B A ..()011132211==⇔y x y x y x D 展开并整理，且当2121,y y x x ≠≠时，就有121121x x x x y y y y −−=−−这即直线的两点式方程。
3.2 在空间四点共面问题中的应用定理 []52()11114434241333231232221131211a a a a a a a a a a a a D =，其绝对值的几何意义是三维空间中以()(4,3,2,1,,321=i a a a A i i i I )四点为顶点的四面体体积的6倍，亦即等于以矢量 413121,,A A A A A A 为相邻棱的平行六面体的体积 根据的几何意义，由定理2直接可得()4D 推论2 空间四点()()4,3,2,1,,321=i a a a A i i i i 共面()04=⇔D 证明：（略）例6：试推导平面的三点式方程推导证明：设α是过已知点()()3,2,1,,=i z y x A i i i i 的平面，据推论2，对于()α∈∀z y x p ,,必有四点共面。
P A A A ,,,321()011114333222111==⇔zyxz y x z y x z y x D 对于展开并整理得()04=D ()014111131********2111z z y y x x z z y y x x z z y y x x z y x D −−−−−−−−−=⇔0131313121212111=−−−−−−−−−=z z y y x x z z y y x x z z y y x x 这即平面的三点式方程。
行列式在初等数学中的一些应用3.3 在三数成等差数列中的应用定理 3 若成等差数列，且公差c b a ,,0≠d ，则z y x ,,成等差数列()01113==⇔z cy bx aD 证明：对于()3D 展开，整理，并注意d b c a b =−=−，便有 ()()023=−+=y z x d D0≠d ∵ ()0203=−+⇔=∴y z x D z y x ,,⇔成等差数列 定理 4 若成等比数列，公比c b a ,,1≠q ，则z y x ,,成等比数列()01lg 1lg 1lg 3==⇔z cy bx aD ()01ln 1ln 1ln 3==′⇔z c y bx aD 证明：1≠=bca b ∵0lg lg lg lg ≠−=−∴b c a b或0ln ln ln ln ≠−=−b c a b 即由定理3知，命题成立。
事实上，下面定理中的各常用对数均替换为以为底的自然对数后，命题依然为真。
e 例 7：已知cbae e e 111,,成等比数列，求证cba b a c a c b +++,,成等差数列()0,,>c b a一类特殊行列式在初等数学中的应用证明：()1ln 1ln 1ln 3111cb a eb c a ea cb eD cb a +++=111111cba cb ca ba cb a +++= cb a bc a ac b abc +++=111101111=++++++=c c b a b b c a a a c b abccba b a c a c b +++∴,,成等差数列。
3.4 在求等差数列通项公式中的应用定理 5 若等差数列的第{}n a n j i ,,项分别为，则n j i c b a ,,()01113==n j i a n a j a i D证明：由{的通项公式}n a ()()d a n d d n a a n −+⋅=−+=111知，()()j i a j a i ,,,及在直线(n a n ,)()d a x d y −+⋅=1上，由推论1知：()03=D例 8：已知等差数列{的第8项为-206，第101项为73，问该数列是否含“0”项？}n a 解：由定理5，令()01173101120683=−=na nD展开整理得 n a n 3230+−=令，则0=n a 32763230==n 不是自然数故该数列不含“0”项。
3.5 在求等差数列前项公式中的应用n 定理 6 已知等差数列的第1项、第项，分别为。
前项之和为，则{}n a k k a a ,1n n s行列式在初等数学中的一些应用()12111311a ns na ka D nk−=012111121=−=n a s n a ka n k证明：由等差数列的通项公式{}n a ()d n a a n 11−+=得 (d a n d a n )−+⋅=1 ()2 由等差数列的前n 项和的公式{}n a ()211dn n n a s n −+=得(d a n d a ns n−+⋅=−112) ()3 比较，(两式可知，()2)3()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−112,,,,,1a n s n a k a n k 三点共线于()d a x d y −+⋅=1故由推论1知：()03=D 例 9 设等差数列中，{}n a 1150,70,221===n n s a a ，求。