上海市南洋模范中学2020-2021学年第一学期高一期末数学试题
上海南洋模范中学(天钥桥路区)2020年高一数学理期末试卷含解析
上海南洋模范中学(天钥桥路区)2020年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面四边形ABCD中，,则AB的取值范围是：A. B.C. D. (0,+∞)参考答案：A由题意得AC>AB，AC>2，因为，所以因此，选A.2. 已知函数，且满足，则的值( )A.一定大于零B.一定小于零C.一定等于零D. 都有可能参考答案：B略3. 已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，2a n2=a n+12+a n﹣12（n≥2），则a6等于（）A．16 B．8 C．2 D．4参考答案：D【考点】数列递推式．【分析】由题设知a n+12﹣a n2=a n2﹣a n﹣12，且数列{a n2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，故a n2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此能求出a6．【解答】解：∵正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，2a n2=a n+12+a n﹣12（n≥2），∴a n+12﹣a n2=a n2﹣a n﹣12，∴数列{a n2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，∴a n2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴=16，∴a6=4，故选D．4. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面参考答案：B5. 如果函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，那么函数f（x2﹣1）的定义域是（）A．[0，2] B．[﹣1，1] C．[﹣2，2] D．[﹣，]参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，可得﹣1≤x2﹣1≤1，解出即可得出．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，由﹣1≤x2﹣1≤1，解得．∴函数f（x2﹣1）的定义域是．故选：D．6. 若函数A BC D参考答案：B7. 已知函数的图像恒过点则函数的图像恒过点（）....参考答案：8. 已知a，b为非零实数，且a < b，则下列命题成立的是（A） a2 < b2 （B）a2b < ab2 （C）（D）>参考答案：C9. 若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定参考答案：B10. 如图为一个几何体的三视图，三视图中的两个不同的正方形的边长分别为1和2，则该几何体的体积为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三视图可得该几何体是一个大正方体挖去一个小正方体所得的组合体，分别求出它们的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中三视图可得该几何体是一个大正方体挖去一个小正方体所得的组合体，大正方体的棱长为2，故体积为：8；小正方体的棱长为1，故体积为：1；故组合体的体积V=8﹣1=7，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不重合的三个平面把空间分成n部分，则n的可能值为．参考答案：4，6，7或8【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目．【解答】解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分；若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分；故n等于4，6，7或8．故答案为4，6，7或8．【点评】本题考查平面的基本性质及推论，要讨论三个平面不同的位置关系．考查学生的空间想象能力．12. 若数列{a n}满足a n+1=则a20的值是参考答案：略13. 函数R) 的最小值是 ____参考答案：解析：令，则．当时，，得；当时，，得．又可取到.14. 在中，，则= ．参考答案：15. 已知三点(2，－3)，(4，3)及(5，)在同一条直线上，则k的值是▲ .参考答案：16. 设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=____________。
2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.设集合A={x|0<x<2}，B={x||x|≤1}，则集合A⋂B=()A. (0,1)B. (0,1]C. (1,2)D. [1,2)2.已知，b=，c=20.4，则a、b、c的大小关系是()A. a>b>cB. a<b<cC. a>c>bD. a<c<b3.一个命题的逆命题为真命题，则以下命题一定为真命题的是()A. 原命题B. 逆命题C. 否命题D. 逆否命题4.已知函数f(x)=x2−2x+3，当0≤x≤m时，该函数有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是()A. [1,+∞)B. [0,2]C. (−∞,2]D. [1,2]二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知偶函数f(x)在x>0时的解析式为f(x)=x3+x2，则x<0时，f(x)的解析式为______ ．6.已知函数f(x)={x 2+ax+1 x≥1ax2+x+1 x<1，则“−2≤a≤0”是“f(x)在R上单调递增”的______ 条件．(填充分不必要、必要不充分或充要)7.若集合M={x||x|≤2}，N={x|x2−3x≤0}，则M∩N=______．8.计算lg5+lg0.2=______ ．9.集合{1,2,3}的真子集共有______个．10.若集合P={(x,y)|y=x2+2x}，Q={(x,y)|y=k，k∈R}，若集合P∩Q有且仅有两个子集，则实数k的取值范围是______ ．11.若幂函数f(x)=x a(a为常数)的图象过点(13,9)则f(5)的值为______．12.函数的反函数是．13.已知函数f(x)=log2x+x−2，函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)，n∈N∗，则n=______ ．14.(本小题满分16分)已知奇函数的定义域为，当时，．(1)求函数在上的值域；(2)若，y =的最小值为，求实数的值．15. 已知函数f(x)=xax+b (a,b 为常数，且a ≠0)满足f(2)=1，方程f(x)=x 有唯一解，则f(f(1))=______．16. 对于在区间[a,b]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对于任意x ∈[a,b]，均有|f(x)−g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是接近的．若函数y =x 2−3x +2与函数y =2x −3在区间[a,b]上非常接近，则该区间可以是______ .(写出一个符合条件的区间即可) 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知关于x 的不等式ax 2+bx −10<0的解集为{x|−2<x <5}． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)若关于x 的不等式ax 2+2x +b <0的解集为A ，关于x 的不等式2ax +bm >0的解集为B ，且A ∩B =⌀，求m 的取值范围．18. 已知函数f(x)=(14)x −(12)x +1． (Ⅰ)求满足f(x)=3的实数x 的值； (Ⅱ)求x ∈[−2,3]时函数f(x)的值域．19. 如图，已知扇形AOP 的半径为1，圆心角大小为π3，等腰梯形ABCD 是扇形AOP 的内接梯形，顶点C ，D 分别在OP ，OA 上．顶点B 在弧AP 上，设∠AOB =θ． (1)求出用θ表示等腰梯形ABCD 的面积S 的函数关系式；(2)是否存在面积为√36的等腰梯形ABCD ，若存在，求出此时梯形的高，若不存在，请说明理由．20.已知定义在R上的函数f(x)=x2+2alog2(x2+2)+a2−3(a为常数)．(1)求f(x)的奇偶性；(2)已知f(x)在R上有且只有一个零点，求实数a的值．21.(1)设a=lg6，b=lg20，用a，b表示log23；(2)已知常数a>0，函数f(x)=2x2x+ax 的图象经过点P(p,65)，Q(q,−15).若2p+q=36pq，求a的值参考答案及解析1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算及绝对值不等式的解法，求出B，由交集的定义即可求解．解：由已知有B={x||x|⩽1}={x|−1≤x≤1}，又A={x|0<x<2}，所以A∩B=(0,1]．故选B．2.答案：A解析：，因为：，所以：a>b 又因为：所以：c<b即：a>b>c，故选A。
2023-2024学年上海市南洋中学高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市南洋中学高一上册期末数学试题一、填空题1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = ___________【正确答案】{1,2}【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，所以{1,2}A B = .故答案为.{1,2}2．已知扇形的弧长为π，其圆心角为60 ，则该扇形的面积是____________．【正确答案】3π2【分析】计算出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】扇形圆心角的弧度数为π3，故该扇形的半径为π3π3r ==，因此，该扇形的面积为13ππ322S =⨯⨯=.故答案为.3π23．不等式23(1)23122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【正确答案】(3,2)-【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性求解不等式作答.【详解】函数2x y =在R 上单调递增，则22233(1)233(1)212()22233(1)2xx x x x x x x x -------<<--⇔--⇔<，即260x x +-<，解得32x -<<，所以原不等式的解集为(3,2)-.故(3,2)-4．已知角a 的终边与单位圆的交点的横坐标为12，则sin α=____________．【正确答案】或2【分析】利用任意角的三角函数的定义及同角三角函数的平方关系即可求解.【详解】由三角函数的定义知，1cos 02α=>，所以α是第一象限角或第四象限角.由22sin cos 1αα+=得22213sin 1cos 124αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，如果α是第一象限角，那么sin 0α>.于是sin 2α==.如果α是第四象限角，那么sin 0α<.于是sin 2α==.故5．函数2()lg(4)f x x x =-的严格减区间是_________.【正确答案】[)2,4先由函数解析式，求出定义域，再由对数型复合函数单调性的判定方法，即可求出减区间.【详解】由2()lg(4)f x x x =-可得240x x ->，解得04x <<，即2()lg(4)f x x x =-的定义域为()0,4，令24t x x =-，则24t x x =-是开口向下，对称轴为2x =的二次函数，所以24t x x =-在(]0,2上单调递增，在[)2,4上单调递减，又lg y t =是增函数，所以函数2()lg(4)f x x x =-的严格减区间是[)2,4.故[)2,46．设()af x x =（a 为常数），则“函数()y f x =的图象经过点()1,1-”是“函数()y f x =为偶函数”的____________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要””、“既不充分也不必要”）【正确答案】充要【分析】利用偶函数的性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若函数()y f x =的图象经过点()1,1-，即()()111af -=-=，对任意的0x >，则()()()()1aaa a f x x x x f x -=-=-⋅==，对任意的0x <，则()()()()()1a a aa f x x x x f x ==--=-=-，此时函数()y f x =为偶函数，所以，“函数()y f x =的图象经过点()1,1-”⇒“函数()y f x =为偶函数”；若函数()y f x =为偶函数，又因为()11f =，则()()111f f -==，所以，“函数()y f x =的图象经过点()1,1-”⇐“函数()y f x =为偶函数”.所以，“函数()y f x =的图象经过点()1,1-”是“函数()y f x =为偶函数”的充要条件.故充要.7．若1x >时，对数函数()23log m y x -=的值总大于0，则实数m 的取值范围是____________．【正确答案】()()2,,2+∞⋃-∞-【分析】根据对数函数定义，对23m -的取值范围进行分类讨论即可得出结果.【详解】由对数函数定义可知230m ->，且231m -≠；当2031m -<<时，函数()23log m y x -=在()0,∞+上为单调递减，若1x >，则()()22330l l 1og og m m x --=<，不合题意；当231m ->时，函数()23log m y x -=在()0,∞+为单调递增，若1x >，则()()22330l l 1og og m m x --=>，满足题意，此时24m >，解得m>2或2m <-；即实数m 的取值范围是()()2,,2+∞⋃-∞-8．已知函数()()f x x ∈R ，若函数(+2)f x 过点12-（，），那么函数|()|y f x =一定经过点____________【正确答案】()3,2【分析】本道题将点坐标代入()2f x +,得到()32f =,即可.【详解】将()1,2-代入()2f x +中,得到()122f +=-得到()32f =-,所以()32f =,故()y f x =一定经过点()3,2.本道题考查了抽象函数过定点问题,关键在于把点坐标代入抽象函数解析式中,难度中等.9．已知函数()34x f x x =--在区间[1,2]上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：(1.6000)0.200f ≈，(1.5875)0.133f ≈，(1.5750)0.067f ≈，(1.5625)0.003f ≈，(1.5562)0.029f ≈-，(1.5500)0.060f ≈-，据此可得该零点的近似值为________．（精确到0.01）【正确答案】1.56【分析】利用零点存在定理即可得解.【详解】因为(1.5625)0.003f ≈，(1.5562)0.029f ≈-，即(1.5625)(1.5562)0f f ⋅<，所以由零点存在定理可知()f x 的零点在()1.55621.5625，之间，近似值为1.56.故答案为.1.5610．设x ∈R ，方程3211x x x -+=-的解是____________．【正确答案】12x =-或1x ≥【分析】分类讨论求解绝对值不等式即可.【详解】当12x <-时，3211x x x -++=-+，解得0x =，舍去.当102x -≤<时，3211x x x ---=-+，解得12x =-，符合.当01x ≤<时，3211x x x --=-+，解得1x =，舍去.当1x ≥时，3211x x x --=-，解得1x ≥.综上：12x =-或1x ≥.11．若()()8,728,7x a x f x a x x -⎧≤⎪=⎨-->⎪⎩在(),∞∞-上是严格增函数，则实数a 的取值范围是____________．【正确答案】30,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据题意，由函数()f x 在(),∞∞-上是严格增函数，列出不等式，即可得到结果.【详解】因为函数()f x 在(),∞∞-上是严格增函数，则()870120278a a a a -⎧<<⎪->⎨⎪≤-⨯-⎩，解得304a <≤所以实数a 的取值范围是30,4⎛⎤⎝⎦故答案为:30,4⎛⎤⎥⎝⎦12．如果函数()y f x =和()y g x =的图象上分别存在点M 和N 关于x 轴对称，则称函数()y f x =和()y g x =具有C 关系．若函数()f x =()1g x x =--不具有C 关系，则实数a 的取值范围是____________．【正确答案】(,∞-【分析】()y g x =关于x 轴对称的函数与()y f x =没有交点，转化为方程()()g x f x -=无解，分离参量解决.【详解】若函数()f x =()1g x x =--不具有C 关系，所以()1g x x =--关于x 轴对称的函数与()f x =即方程1x =+无解.令)0t t ≥，所以21x t =+所以1x =+变为()2200t at t -+=>即方程()20t a t t+=>无解所以函数()20y t t t=+>与y a =没有交点画图为：所以a <实数a 的取值范围是(,∞-.故(,∞-二、单选题13．下列不等式中，解集为{}11x x -<<的是（）A ．210x -≤B ．10x -≤C ．()()111x x ≤+-D ．101x x -≤+【正确答案】C【分析】对于ABD ，举反例排除即可；对于C ，利用分式不等式的解法求解即可.【详解】对于A ，令1x =，则21110x -=-=，满足210x -≤，所以其解集不为{}11x x -<<，故A 错误；对于B ，令1x =，则1110x -=-=，满足10x -≤，所以其解集不为{}11x x -<<，故B 错误；对于D ，令1x =，则1110111x x --==++，满足101x x -≤+，所以其解集不为{}11x x -<<，故D 错误；对于C ，由()()1011x x ≤+-得()()()()110110x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≠⎪⎩，即()()110x x +-<，解得11x -<<，故其解集为{}11x x -<<，故C 正确.故选：C.14．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）A ．证明所有实数的平方都不是正数B ．证明平方是正数的实数有无限多个C ．至少找到一个实数，其平方是正数D ．至少找到一个实数，其平方不是正数【正确答案】D全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项.【详解】命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数.故选：D15．若函数||y x a =--与1ay x =+在区间[1,2]上都是严格减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(,0)-∞B ．(1,0)(0,1]-⋃C ．(0,1)D ．(0,1]【正确答案】D【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数a 的取值范围.【详解】函数||y x a =--的图像关于x a =对称，所以当x a >，y 随x 的增大而减小，当x a <，y 随x 的增大而增大.要使函数||y x a =--在区间[1,2]上都是严格减函数，只需1a ≤；要使1ay x =+在区间[1,2]上都是严格减函数，只需0a >；故a 的范围为01a <≤.故选：D16．中国传统文化中很多内容体现了数学中的“对称美”，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义图象能够将圆O （O 为坐标原点）的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个；②函数())lnf x x =可以是某个圆O 的“太极函数”；③函数()23f x x =可以同时是无数个圆O 的“太极函数”；④函数()y f x =是“太极函数”的充要条件为()y f x =的图象是中心对称图形．其中正确结论的序号是（）A ．①②B ．①②④C ．①③D ．①④【正确答案】A【分析】根据“太极函数”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，所以对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个，①正确.x x >≥，所以())lnf x x =的定义域为R ，())lnlnxxf x x-==)()lnx f x =-=-，所以()f x 是定义在R 上的奇函数，图象关于原点对称，())ln xxf x x ===所以())lnf xx =在R 上递减，画出大致图象如下图所示，由图可知，())lnf x x=是太极函数，②正确.③，函数()23f x x ==，()f x 的定义域为R ，()()f x f x -===，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，所以函数()23f x x ==不是某个圆的太极函数.④，()1y f x x ==是奇函数，图象关于原点对称，但()1y f x x==不是太极函数，如图所示，所以④错误.所以正确的为①②.故选：A三、解答题17．已知函数2x y a =+的值域为()1,+∞，(1)求实数a 的值；(2)求函数24y x x a =-+，[],4(4)x t t ∈<的最小值．【正确答案】(1)1a =(2)当2t ≤时，min 3y =-.当24t <<时，2min 41y t t =-+.【分析】（1）根据指数函数的值域求解即可.（2）分类讨论求解最小值即可.【详解】（1）因为函数2x y a =+的值域为()1,+∞，所以2x y a a =+>，即1a =.（2）()224123y x x x =-+=--，当2t ≤时，min 3y =-.当24t <<时，2min 41y t t =-+.18．已知定义域为R 的函数()y f x =，当0x <时，()3e 2xf x x =+-．(1)若函数()y f x =是偶函数，求()2f ；(2)()y f x =是否可能是奇函数？若可能，求()y f x =的表达式；若不可能，请说明理由．【正确答案】(1)2110e -(2)见解析.【分析】（1）根据偶函数满足的关系式可得()()22f f =-代入求解.（2）奇函数()00f =，求出0x =时的解析式，当0x >时，根据()()f x f x =--代入求解析式.【详解】（1）因为函数()y f x =是偶函数所以()()()3221222e 210e f f -=-=-+-=-（2）可能为奇函数因为()y f x =是奇函数，所以()()00f f -=-，即()00f =当0x >时，根据奇函数的表达式得()()()33e 2e 2x x f x f x x x --⎡⎤=--=--+-=-+⎣⎦综上：()33e 2,00,0e 2,0x x x x f x x x x -⎧+-<⎪==⎨⎪-+>⎩19．已知函数121()log 1ax f x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数.（1）求a 的值；（2）若(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）－1；（2）[1,)+∞．【分析】（1）函数图象关于原点对称，则其为奇函数，根据奇函数定义可求得a ；（2）求得12()()log (1)g x f x x =+-的最大值即可得．【详解】∵函数()f x 图象关于原点对称，∴它是奇函数，∴2211112222211111()()log log log ()log 011111ax ax ax ax a x f x f x x x x x x +-+---+=+=⋅==-------，222111a x x-=-，222a x x =在函数定义域内恒成立，∴21a =，1a =±，1a =时，111ax x -=--不合题意，1a =-时，121()log 1x f x x +=-，定义域是(,1)(1,)-∞-+∞ ，符合题意．∴1a =-．（2）由（1）121()log 1xf x x +=-111122221()log (1)log log (1)log (1)1x f x x x x m x ++-=+-=+<-恒成立，而在(1,)+∞上，12()log (1)g x x =+是减函数，12(1)log (11)1g =+=-，∴()1g x <，∴m 1≥．即m 的取值范围是[1,)+∞．本题考查对数函数的性质，考查函数的奇偶性，解题时由奇函数定义求得参数a ，由对数函数的单调性求得函数的最值（需稍改变函数定义域）从而求得m 的取值范围．20．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数0.880log ()y x a =++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）【正确答案】（1）20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（2）14分钟.（1）根据题意，分别求得(0,16]x ∈和(16,40]x ∈上的解析式，即可求解；（2）当(0,16]x ∈和(16,40]x ∈时，令()68f x <，求得不等式的解集，即可求解.【详解】（1）当(0,16]x ∈时，设函数2()(12)84(0)f x b x b =-+<，因为2(16)(1612)8480f b =-+=，所以14b =-，所以21()12)844f x x =--+，当(16,40]x ∈时，0.8()log ()80f x x a =++，由0.8(16)log (16)8080f a =++=，解得15a =-，所以0.8()log (15)80f x x =-+，综上，函数的解析式为20.81(12)84,(0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩.（2）当(0,16]x ∈时，令21()(12)84684f x x =--+<，即2(12)64x ->，解得4x <或20x >（舍去），所以[0,4]x ∈，当(16,40]x ∈时，令0.8()log (15)8068f x x =-+<，得12150.829.6x -≥+≈，所以[30,40]x ∈，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014-+-=分钟.21．设k ∈R ，函数()y f x =的表达式为()243f x x x =-+，函数()y g x =的表达式为()1g x kx =+，()()y f x g x =-有四个零点，设为()12341234,,,x x x x x x x x <<<.(1)求实数k 的取值范围；(2)求22221234x x x x k+++的取值范围．【正确答案】(1)1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，做出图像，结合图像即可得到k 的取值范围；（2）根据题意，利用韦达定理，求得2214x x +，2223x x +和k 的关系，将目标式转化为关于k 的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】（1）根据题意，令2430x x -+=，解得1x =或3x =，不妨设()()()1,03,0,0,,1A B C 做图如下：又直线BC 的斜率为13-，数形结合可知，要满足题意，1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；（2）由题意可知，14,x x 为方程2431x x kx -+=+，即()2420x k x -++=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2480k ∆=+->，则41414,2x x k x x +=+=，故()()2422244111244x x x x x x k +=+-=+-；23,x x 为方程2431x x kx -+-=+，即()2440x k x +-+=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()24160k ∆=-->，则23234,4x x k x x +=-=，故()()2222232323248x x x x x x k +=+-=--；则22221234x x x x k +++22201012,,03k k k k k +⎛⎫⎛⎫==+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1012,,03f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由对勾函数单调性可知()f x 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又118233f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()f x ∈182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，即22221234x x x x k +++的取值范围为182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。
2022-2023学年上海市徐汇区南洋模范中学数学高一上期末预测试题含解析
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，∵ABC-A1B1C1为棱柱，
∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，
∵DE⊂平面B1DE，且A1C1⊄平面B1DE，∴A1C1∥平面B1DE；
（2）在ABC-A1B1C1的直棱柱中，
∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，
（3） 或 .
【解析】（1）根据 的解析式，结合 ，即可求得 ；
（2）根据对数的真数大于零，求解一元二次不等式，即可求得结果；
（3）根据对数函数的单调性，结合函数定义域，即可求得不等式解集.
【小问1详解】
由题可知 ，又因为 ，即 ，
所以 .
【小问2详解】
由 知， ，
若使 有意义，只须 ，
解得 或 ，
A.y＝2x＋4B.y＝ x－3
C.x－2y－1＝0D.3x＋y＋1＝0
3．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（）
A.向左平行移动 个单位长度B.向右平行移动 个单位长度
C.向左平行移动 个单位长度D.向右平行移动 个单位长度
4．某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2020年全年投人资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长12%，则该政府全年投入的资金翻一番（2020年的两倍）的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg2≈0.30）（）
∴ ，
∵函数 是定义在 上的奇函数，
∴ ，
∴ ，即
由题意得 ，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了分段函数求值，考查了奇函数的性质，属于基础题.
14、
上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题人教新课标A版
上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1. 已知函数的图象如图所示，则该函数的值域为________.2. 已知集合，，则________.（结果用区间表示）3. 已知函数，则它的反函数________________.4. 已知函数，满足，且当时，，则________.5. 已知是奇函数，满足，且在区间内是严格增函数，则不等式的解集是________.（结果用区间表示）6. 已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是________.7. 函数，的最小值是________.8. 设方程的解为，的解为，则________.二、解答题若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是________.三、填空题对于实数、，定义，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根、、，则的取值范围为________.四、单选题下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是()A.与B.与C.与D.与函数f(x)=的零点所在的一个区间是A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)已知，则“”是“”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件设函数若，，则关于的方程的解的个数为()A.1B.2C.3D.4五、解答题已知实数，判断函数的奇偶性，并说明理由.已知命题：幂函数的图象过原点；命题：函数在区间上不是单调函数. 若命题和命题只有一个为真命题，求实数的取值范围.已知函数.（1）判断函数的单调性，并证明；（2）用函数观点解不等式：. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在实数，满足，那么称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点.（1）判断函数是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的“平均值函数”，且是函数的一个均值点，求所有满足条件的有序数对.参考答案与试题解析上海市2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、填空题1.【答案】[加加){1,3,4)【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】由图象可得函数值，得值域．【解答】由图象可知函数值有1，3,4，即值域为{1,3,4}故答案为：{1,3,4}2.【答案】I≤加)(1,4)【考点】分式不等式的解法【解析】先求出集合A,B，再根据交集的定义即可求出．【解答】∵A={x||x−1|<3}={x|−2<x<4}B={x|x−1x−5<0}={x|1<x<5}A∩B={x|1<x≤4}=(1,4)故答案为:(1,4)3.【答案】[加加]√x+13【考点】反函数函数的值域及其求法函数奇偶性的性质【解析】由y=x3−1求得后交换xy的位置可得反函数，同时注意求原函数的值域，即反函数的定义域．【解答】由y=x3−1知y∈Rx3=y+1，所以x=√y+13所以f−1(x)=√x+13x∈R故答案为：√x+134.【答案】2【考点】函数的概念及其构成要素伪代码判断两个函数是否为同一函数【解析】根据函数的周期性直接求解．【解答】由函数y=f(x)，满足f(x)=f(x+2)即f(x)=f(x−2)得f(92)=f(52)=f(12)=4×12=2故答案为：2.5.【答案】[加加](−1,0)∪(0,1)【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质函数奇偶性的性质【解析】由奇函数性质得f(−1)=0，在(−∞,0)上函数也是递增的，从而可求得不等式的解．【解答】由题意f(−1)=0，且f(x)在(−∞,0)上函数是递增的，f(x)x<0⇒{f(x)<0x>0或{f(x)>0x<0，所以0<x<1或−1<x<0故答案为：(−1,0)∪(0,1)6.【答案】−5【考点】函数的对称性【解析】根据偶函数及绝对值函数性质直接求解即可．【解答】由已知y=|x−n|+2是定义在[4m,m2−5)上的偶函数，故4m+m2−5=0，即m=1，或m=−5，且函数图象关于！轴对称，又4m<m2−5，故m=−5因为y=|x−n|+2关于直线x=n对称，故n=0m+n=−5故答案为：−57.【答案】2【考点】与二次函数相关的复合函数问题【解析】令t=log3x，可得y=t(1+t)=(t+12)2−14，即可求出最小值．【解答】∵y=log3x⋅log33x=log3x⋅(1+log3x)令t=log3x．x∈[3,9]，t∈[1,2]则y=t(1+t)=(t+12)2−14当t=1时，y加加=2故答案为：2.8.【答案】【答2.【考点】进位制三角函数值的符号集合的确定性、互异性、无序性【解析】由反函数对称性质即可求解．【解答】由x+log2x=2的解为x1，得log2x1=−x1+2同理x+24=2的解为x2，得2x=−x2+2又函数y=log2x与函数y=2x互为反函数，图象关于直线y=x对称，且y=−x+2与y=x互相垂直，且交点为(1,1)则函数y=log2x与函数y=−x+2的交点A(x1,y1)，函数y=2x与函数y=−x+2的交点B(x2,y2)，关于直线y=x对称，即A(x1,y1)与B(x2,y2)关于点(1,1)对称，即x1+x2=2故答案为：2．二、解答题【答案】(3,4]【考点】根的存在性及根的个数判断区间与无穷的概念函数的零点与方程根的关系【解析】方程(x−2)(x2−4x+m)=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是2，即三角形的一边是2，另两边是方程x2−4x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2−4x+m=0的两个根设是x x和x3，一定是两个正数，且一定有|x1−x3|<2<x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定”的范围．【解答】解：：方程(x−2)(x2−4x+m)=0有三根，x1=2x2−4x+m=0有根，方程x2−4x+m=0的Δ=16−4m>0，得m≤4又：原方程有三根，且为三角形的三边和长．有x2+x3>x1=2|x2−x3|<x1=2，而x2+x3=4>2已成立；当|x2−x3|<2时，两边平方得：(x2+x3)2−4x2x3<4即：16−4m<4．解得m>33≤m≤4故答案为：(3,4]三、填空题【答案】【3加加(5−√34,1)【考点】根的存在性及根的个数判断 函数的零点与方程根的关系一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】化简得出函数y =f (x )的解析式，不妨设x 1<x 2<x 3，作出函数y =f (x )的图象，可知当0<m <14时，直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个交点，由对称性可求得x 2+x 3的值，由f (x 1)=(0,14)可解得x 1的取值范围，进而可求得 x 1+x 2+x 3的取值范围． 【解答】当2x −1≤x −1时，即当x ≤0时，f (x )=(2x −1)2−(2x −1)(x −1)=2x 2−x 当2x −1>x −1时，即当x >0时，f (x )=(x −1)2−(2x −1)(x −1)=x −x 2 f (x )={2x 2−x,x ≤0x −x 2,,,,,，作出函数y =f (x )的图象如下图所示：设x 1<x 2<x 3，可知点(x 2,m )与点(x 3,m )关于直线x =12对称，则x 1+x 3=1当x >0时，f (x )=x −x 2=−(x −12)2+14≤14由图象可知，当0∴m <14时，直线y =m 与函数y =f (x )的图象有三个交点，由f (x 1)=2x 12−x 1∈(0,14)，可得0<2x 12−x 1∴14∵x 1<0，解得1−√34<x 1<0，所以，5−√34<x 1+x 2+x 3<1因此，x 1+x 2+x 3的取值范围为(5−√34,1)故答案为：(5−√34,1)四、单选题 【答案】 D【考点】对数函数的图象与性质判断两个函数是否为同一函数【解析】判断函数的定义域与对应法则，两者均相同的为同一函数． 【解答】A ．两函数定义域都是R ，但对应法则不相同，一个是y =x ，一个是y =|x|，不是同一函数；B ．前一函数定义域是[1,+∞), 后一函数定义域是(−∞,−1]∪[1,+∞)，不是同一函数；C ．前一函数定义域是R ，后一函数定义域是(0,+∞)，不是同一函数；D ．两函数定义域相同，后一函数，计算x =1时，y =1x =2时，y =1，对应法则相同，值域也相同，是同一函数． 故选：D ． 【答案】 B【考点】函数零点的判定定理 【解析】试题分析：因为函数f (x )=223x 在其定义域内是递增的，那么根据f (−1)=12−3=−52<0,f (0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(−1,0)，选B ． 【解答】此题暂无解答 【答案】 D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 充分条件、必要条件、充要条件 运用诱导公式化简求值【解析】分别对充分性和必要性进行判断，对于不能推出的情况举一个反例就可以． 【解答】4a >43⇔a >b充分性：取a =0,b =−1，但是04≤(−1)4，即不能推出a 4>b 4，所以充分性不满足； 必要性：取a =−1,b =0，符合a 4>b 4，但是4−1<4∘，即不能推出4a >4”，必要性不满足．综上：“4a >4y ”是a 4>b 4”的既非充分又非必要条件 故选：D 【答案】 C【考点】 函数的求值 求函数的值运用诱导公式化简求值【解析】由题意求得b 、c 的值，可得函数f (x )的解析式．再分类讨论解方程，从而得到关于》的方程f (x )=x 的解的个数． 【解答】解：由f (−4)=f (0)得16−4b +c =c ，① 由f (−2)=−2得4−2b +c =−2，③ 由①②得b =4c =2所以f (x )={x 2+4x +2(x ≤0),2(x >0),当x ≤0时，由f (x )=x 得方程x 2+4x +2=x ，解得x 1=−1x 2=−2 当x >0时，由f (x )=x 得x =2 故方程共有3个解． 故选：C 五、解答题【答案】【答a =1时，f (x )为奇函数；a ≠1时，f (x )为非奇非偶函数．【考点】函数奇偶性的性质 函数奇偶性的判断 函数单调性的判断与证明【解析】根据定义域讨论a =1和a ≠1时利用定义判断． 【解答】由题可得24−a ≠0当a =1时，x ≠0，即f (x )的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称， f (−x )=2−x +12−x −1=1+2x1−2x =−f (x )f (x )为奇函数，当a ≠1时，f (x )的定义域不关于原点对称，则f (x )为非奇非偶函数． 【答案】加加加)0,1]][4,+∞)【考点】命题的真假判断与应用 奇偶性与单调性的综合 复合命题及其真假判断【解析】通过两个命题求出α的范围，然后通过当？真4假时，当Р假♀真时即可求解 【解答】若？为真命题，则a −1>0，解得a >1 若♀为真命题，则{a >0√a <2，解得0<a <4因为命题？和命题4只有一个为真命题，所以a ∈(0,1]∪[4,+∞) 【答案】（1）增函数，证明见解析； （2）(2,+∞)）． 【考点】函数单调性的判断与证明 奇偶性与单调性的综合 函数单调性的性质【解析】（1）任取对、x 2∈(0,+x )且x 1>x 2，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数f (x )在(0,+x )上的单调性；（2）由已知条件可得出f (x )>f (2)，结合（1）中的结论可解原不等式． 【解答】（1）任取x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1>x 2，即x 1>x 2>0f (x 1)−f (x 2)=(x 12−2x 1−3)−(x 22−2x 1−3)=(x 12−x 22)+(2x 2−2x 1) =(x 1−x 2)(x 1+x 2)+2(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(x 1+x 2+2x 1x 2)因为x 1>x 2>0，则x 1−x 2>0,x 1+x 2+2x 1x 2>0f (x 1)−f (x 2)>0所以函数f (x )=x 2−2x −3在区间(0,+∞)上是严格增函数；（2）由（1）可知函数f (x )=x 2−2x −3在区间(0,+∞)上是严格增函数，且f (2)=0因此由f (x )>0=f (2)可得x >2因此，不等式f (x )>0的解集为(2,+∞) 【答案】（1）y =16−4x+1−x (0≤x ≥a )；（2）当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元 ；当a <1时，促销费用投入ａ万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a 万元． 【考点】函数模型的选择与应用根据实际问题选择函数类型 概率的应用【解析】（1）根据产品的利润三销售额一产品的成本建立函数关系； （2）利用导数可求出该函数的最值． 【解答】（1）由题意知，y =(4+20p)p −x −(10+2p )将p =3−2x+1代入化简得：y =16−4x+1−x (0≤x ≥a ) （2）y ′=−1−−4(x+1)2=−(x+1)2+4(x+1)2=−x 2+2x−3(x+1)2=−(x+3)(x−1)(x+1)2(i)当a ≥1时，①当x ∈(0,1)时，y >0，所以函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增，②当x ∈(1,a )时，y <0，所以函数y =16−4x+1−x 在(1,a )上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；(ii)当a <1时，因为函数y =16−4x+1−x 在(0,1)上单调递增， 所以在[0,a ]上单调递增，故当x =a 时，函数有最大值，即促销费用投入ａ万元时，厂家的利润最大综上，当a ≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为16−41+1−1=13万元； 当a <1时，促销费用投入ａ万元，厂家的利润最大，为16−4a+1−a 万元．【答案】（1）是，理由见解析； （2）(1,+∞)； （3）(4,2)【考点】奇偶性与单调性的综合函数解析式的求解及常用方法 函数恒成立问题【解析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到f (x 0)=0，求出x 0，即可判断出结果；（2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在0<x 0<1，使m ⋅(2x −1)=4x 3，利用换元法，结合指数函数的性质 ，即可求出结果；（3）先由题意，得到f (1)=k (t −2)+1，推出t =3−4k ，结合题中条件，即可得出结果．【解答】（1）由“平均值函数”的定义， 存在0∈(−1,1)，满足f (0)=0=f (1)−f (−1)1−(−1)因此f (x )=x 4是区间[−1,1]上的“平均值函数”．（2）若函数g (x )=m ⋅2x −1是区间[0,1]上的“平均值函数”， 则存在x ∈(0,1)，满足m ⋅2x −1=g (1)−g (0)1−0=m即关于》的方程m ⋅24−1=m 在区间(0,1)内有解．参变分离，将方程转化为m =12x −1,x ∈(0,1)函数y =12x −1,x ∈(0,1)的值域为(1,+∞) 因此m ∈(1,+∞)（3）若函数ℎ(x )=kx 2+x −4(k ≥1,k ∈N )是区间[−2,1],t ∈Nt ∈N)上的“平均 值函数”，且1是函数ℎ(x )的一个均值点， 则ℎ(1)=ℎ(t )−ℎ(−2)t−(−2) 即k −3=k+t 2+t−4−(4k−6)t+2=k (t −2)+1得到k =43−t ，其中k ≥1,k ∈N,t,t ∈N 满足条件的解为{k =4t =2即所有满足条件的有序数对(k,t )为(4,2)。
2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年上海市南洋模范中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知12120a a b b ≠，陈述句P ：关于x 的一次不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集；陈述句Q ：“1122a b a b =”；则P 是Q 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A【分析】本题首先可根据12120a a b b ≠得出10a ≠、20a ≠、10b ≠以及20b ≠，然后判断“不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集”能否证明“1122a b a b =”以及“1122a b a b =”能否证明“不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集”，即可得出结果. 【详解】因为12120a a b b ≠，所以10a ≠，20a ≠，10b ≠，20b ≠， 若不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集，则1a 与2a 同号且1212b b a a -=-， 故不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集可以证得1122a b a b =，P 是Q 的充分条件，因为1122a b a b =无法说明1a 与2a 同号， 所以1122a b a b =无法证得不等式110a x b +>与220a x b +>有相同的解集，P 不是Q 的必要条件,综上所述，P 是Q 的充分非必要条件， 故选：A.【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，给出命题若P 则Q ，如果P 可证明Q ，则说明P 是Q 的充分条件，如果Q 可证明P ，则说明P 是Q 的必要条件，考查推理能力，是中档题.2．设lg 2,lg3a b ==，则12log 25的值是（ ） A ．1aa b-+ B ．1aa b-- C ．222aa b-+D ．222aa b-+ 【答案】D【分析】根据对数的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由对数的运算公式，可得()1221lg 2lg 252lg 522log 25lg122lg 2lg 32lg 2lg 32a a b--====+++. 故选：D.3．若a ，b 为非零实数，则以下不等式：①222a b ab +≥；②222()42a b a b ++≤；③2a b ab a b+≥+；④ 2b aa b +≥.其中恒成立的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】①②由基本不等式可得到结果，③④举反例可得结论不成立. 【详解】解：对于①，由重要不等式222a b ab +≥可知①正确；对于②，()2222224a b a b ++=()()222222244a b a b ab ab +++++=≥22()42a b a b ++⎛⎫== ⎪⎝⎭，故②正确；对于③，当1a b ==-时，不等式的左边为12a b +=-，右边为12ab a b =-+，可知③不正确；对于④，令1,1a b ==-可知④不正确． 故恒成立的个数为2个. 故选：C.4．已知()()()()22221234()4444f x x x c xx c x x c x x c =-+-+-+-+，集合{}{}127()0,,,M x f x x x x Z ===⋯⊆，且1234c c c c ≤≤≤，则41c c -不可能的值是（ ） A ．4 B ．9 C ．16 D ．64【答案】A【分析】先设,i i x y 是方程204i x x c -+=()1,2,3,4i =的根，4,i i i i i x y x y c +=⋅=，再依题意分析根均为整数，列举根的所有情况，确定44c =和1c 的可能情况，得到41c c -的最小取值和其他可能的情况，即得结果.【详解】设,i i x y 是方程204i x x c -+=()1,2,3,4i =的根，则由根和系数的关系知4,i i i i i x y x y c +=⋅=，又{}{}127()0,,,M x f x x x x Z ===⋯⊆，说明方程204i x x c -+=()1,2,3,4i =有一个方程是两个相等的根，其他三个方程是两个不同的根，由于根均为整数且和为4，则方程的根有以下这些情况：…，()()()()()()()()()6,105,9,4,8,3,7,2,6,1,5,0,4,1,3,2,2------，乘积分别为…，-60，-45，-32，-21，-12，-5，0，3，4.因为1234c c c c ≤≤≤，故44c =，123,,c c c 来自于4前面的任意可能三个不同的数字，1c 最小，故当15c =时41c c -最小，等于9，故不可能取4，能取9；当112c =-或160c =-时41c c -可以取16，64. 故选：A.【点睛】本题解题关键是能依据题意分析方程204i x x c -+=()1,2,3,4i =的根的可能情况，既是整数又满足和为4，判断44c =，再根据1c 的可能情况，确定41c c -的可能结果，以突破难点.二、填空题5．集合{}2020M x R x =∈≤，有下列四个式子：①M π∈；②{}M π⊂；③M π⊂；④{}M π∈，其中正确的是_____（填序号） 【答案】①②【分析】利用元素与集合、集合与集合之间的关系符号表示即可求解. 【详解】由{}2020M x R x =∈≤，①M π∈，正确； ②{}M π⊂，正确；故答案为：①②60)a>化为有理数指数幂的形式为_________.【答案】12a-【分析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解.121111333222111aaa a a-====⎛⎫⎛⎫⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答案为：12a-7．陈述句“1x>或1y>”的否定形式是________.【答案】1x≤且1y≤.【分析】含有“或”联结词的否定是“且”.【详解】解：1x>或1y>的否定是：1x≤且1y≤.故答案为：1x≤且1y≤.8．若01,0a s<<<，则s a_____1（填符号“>，≥，<，≤，”）.【答案】>【分析】利用指数函数的单调性即可求解.【详解】xy a=，01a<<，则函数为减函数，由0s<，则01sa a>=.所以1sa>.故答案为：>9．已知集合{}2{,},2,2A x yB x x==，且A B=，则集合A=_____.【答案】1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】根据A B=，分类讨论，结合集合中元素的互异性，即可求解. 【详解】由题意，集合{}2{,},2,2A x yB x x==，且A B=，若2x x=，可得0x=，此时集合B不满足集合中元素的互异性，（舍去）；若22x x=，可得12x=或0x=（舍去），当12x =时，可得2121,22x x ==，即1,12A B ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭.故答案为：1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.10．已知集合{}210P x x =-≤≤，非空．．集合{}11S x m x m =-≤≤+，若x P ∈是x S ∈的必要条件，则实数m 的取值范围为______．【答案】[]0,3【分析】由x P ∈是x S ∈的必要条件，得S P ⊆，进一步转化为两集合端点值间的关系求解即可.【详解】∵{}210P x x =-≤≤，非空集合{}11S x m x m =-≤≤+， 若x P ∈是x S ∈的必要条件，则S P ⊆，∴111?2110m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得03m ≤≤， ∴m 的取值范围是[]0,3， 故答案为：[]0,3.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．11．关于x 的不等式|2|6x a a -+<的解集是(1,3)-，则实数a =_____. 【答案】2【分析】先根据绝对值不等式的解法得出不等式的解集为(3,3)a -与已知解集比较可得31a -=-，即可求解.【详解】由|2|6x a a -+<可得626a x a a -<-<-， 解得：33a x -<< ，因为不等式|2|6x a a -+<的解集是(1,3)-， 所以31a -=-，解得：2a = 故答案为：212．直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为_____．【答案】3-【分析】设直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，因为L a b c =++，c =两次运用均值不等式即可求解．【详解】设直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，面积为s ，周长L ＝2，由于a b L +=≥a ＝b 时取等号）≤．∴(2222L 1113S ab ?L 322224⎡⎤--⎢⎥=≤===-⎢⎥⎣⎦故答案为3-【点睛】本题考查了利用均值不等式解决最值问题，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键，属于基础题. 13．若实数a ，b ，m 满足227a b m ==，且112a b+=，则m 的值为______.【答案】【分析】227a b m ==，可以根据指对互化，求出271log ,log 2a mb m ∴==再代入到112a b+=中，我们就能得到一个关于m 的方程，这样就能求出m 的值. 【详解】由条件可知：2270a b m ==>，271log ,log 2a mb m ∴==， 2712log 22log 7log 982log log m m m m m+=+==，所以298m =，即m =故答案为：14．已知正数x ，y 满足49x y xy +=且224x y m m +<-有解，则实数m 的取值范围是______.【答案】(,1)(25,)-∞-⋃+∞【分析】不等式224x y m m +<-有解，即()2min 24x y m m +<-，巧用均值不等式求最值即可. 【详解】由已知得：491y x+=，4949()()131325x y x y x y y x y x +=++=++≥=，当且仅当15,10x y ==时取等号； 由题意：()2min 24x y m m +<-，即22425m m ->， 解得：1m <-或25m >， 故答案为：(,1)(25,)-∞-⋃+∞.【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.15．等式()2(3)0ax x b +-≤对(,0)x ∈-∞恒成立，其中,a b Z ∈，则a b +=______. 【答案】10或4【分析】对b 分类讨论，当0b ≤时，由()2(3)0ax x b +-≤得到30ax +<，由一次函数的图象可知不存在；当0b >时，由()2(3)0ax x b +-≤，利用数形结合的思想得出,a b 的整数解.【详解】当0b ≤时，由()2(3)0ax x b +-≤得到30ax +<在(,0)x ∈-∞恒成立， 则a 不存在；当0b >时，由()2(3)0ax x b +-≤， 可得()3f x ax =+，()2g x x b =-，又()g x 的大致图象可知：3a b a>⎧⎪⎨=⎪⎩，再由,a b Z ∈，得到19a b =⎧⎨=⎩或31a b =⎧⎨=⎩， 所以a b +=10或4. 故答案为：10或4.【点睛】关键点点睛：本题考查了不等式恒成立求参数值，解题的关键是利用数形结合求出满足的关系式03a b a>⎧⎪⎨=⎪⎩ 分类讨论的思想.16．已知实数a b c >>，且满足：2221,3a b c a b c ++=++=，则s b c =+的取值范围是______.【答案】2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得1+=-b c a ，()2223b c bc a +-=-，从而可得21bc a a =--，将,b c 看为一元二次方程的根，利用0∆>求出a 的范围，再利用反证法求出1a >，即可求解.【详解】由已知可得1+=-b c a ，()2223b c bc a +-=-， 即21bc a a =--，因此，以,b c 为根的方程为()22110x a x a a +-+--=，()()221410a a a ∴∆=---->，解得513a -<<， 故23b c +>-， 同理可得513b -<<，513c -<<， 下面精确a 的下限，假设1a ≤，由a b c >>，由1b a -<<<，1c a -<<<， 所以21a ≤，21b <，21c <， 因此2223a b c ++<，矛盾，故1a >， 所以10b c a +=-< 综上，203b c -<+<， 故答案为：2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了不等式的性质、一元二次不等式的解法，解题的关键是求出a 的取值范围，考查了转化能力、运算能力.三、解答题17．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}210B x x ax a =-+-=，{}222(1)50C x x m x m =+++-=.（1）若A B A ⋃=，求实数a 的值； （2）若AC C =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2a =或3；（2）(,3]-∞-.【分析】（1）先求解出方程2320x x -+=的根，则集合A 可知，再求解出210x ax a -+-=的根，则可确定出集合B ，根据A B A ⋃=得到B A ⊆，从而可求解出1a -的可取值，则a 的值可求； （2）根据AC C =得到C A ⊆，分别考虑当C 为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出a 的取值.【详解】（1）由2320x x -+=得1x =或2，所以{1,2}A =， 由210x ax a -+-=得1x =或1a -，所以1,1B a B ∈-∈， 因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以11a -=或2，所以2a =或3； （2）因为AC C =，所以C A ⊆，当C =∅的时，()224(1)450m m ∆=+--<，解得3m <-，当{}1C =时，()2224(1)45012(1)50m m m m ⎧∆=+--=⎪⎨+++-=⎪⎩，无解，当{}2C =时，()()()2224145044150m m m m ⎧∆=+--=⎪⎨+++-=⎪⎩，解得3m =-，当{}1,2C =时，2122(1)125m m +=-+⎧⎨⋅=-⎩，无解， 综上，实数m 的取值范围是(,3]-∞-.【点睛】结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系： （1）若A B A ⋃=，则有B A ⊆； （2）若AB A =，则有A B ⊆.18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴，为迎接2020年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p （万件）与促销费用x （万元）满足231p x =-+（其中010x ≤≤），已知生产该产品还需投入成本(102)p +万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为204p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，假定厂家的生产能力能满足市场的销售需求，（1）将该产品的利润y （万元）表示为促销费用x （万元）的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值. 【答案】（1）416(010)1y x x x =--≤≤+；（2）促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，为13万元.【分析】（1）根据题意利润为204(102)y p x p p ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭， 然后再将231p x =-+代入即可.（2）由（1）得到41711x x y ⎛⎫=-++⎪+⎝⎭，再利用基本不等式求解.【详解】（1）由题意得204(102)y p x p p ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭， 把231p x =-+代入得416(010)1y x x x =--≤≤+；（2）417117131y x x ⎛⎫=-++≤-=⎪+⎝⎭， 当且仅当411x x =++，即1x =时取等号， 所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，为13万元.19．（1）设集合{}31,P n n k k N ==+∈，集合{}32,Q n n m m N ==-∈， 求证：集合P 是Q 的真子集；（2）已知0,0,0a b c >>>，当函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为6时， 求证：22222212a b c a b c c b a+++++≥. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）任取n P ∈，得到313(1)2n k k Q =+=+-∈，再根据2,2Q P -∈-∉，即可求解；（2）由绝对值的三角不等式，得到6a b c ++=，再接基本不等式，即可作出证明.【详解】（1）先证P Q ⊆，任取n P ∈，存在1m k N =+∈，使得313(1)232n k k m Q =+=+-=-∈，所以P Q ⊆，又由2,2Q P -∈-∉，所以集合P 是Q 的真子集.（2）因为()|||||()()|6f x x a x b c x a b x c a b c =++-+≥++-+=++=， 由222222222a b c a b c ab ac bc c b a c b a+++++≥++ 2()12ab ac ab bc ac bc a b c cb c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++≥++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2a b c ===时取等号， 所以22222212a b c a b c c b a+++++≥.20．（1）关于x 的不等式()2216(4)10a x a x ----≥的解集为φ，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式(3)12m x x -≥+； （3）设（1）中a 的整数值构成集合A ，（2）中不等式的解集是B ，若A B 中有且只有三个元素，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12,45⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）34,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【分析】（1）根据题意，分4a =，4a =-和4a ≠±三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；（2）化简不等式为(1)3202m x m x ---≥+，转化为(2)[(1)(32)]0x m x m +--+≥且2x ≠-，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.（3）由（1）得{2,1,0,1,2,3,4}A =--，根据A B 中有且只有三个元素，结合不等式的解集，分类讨论，得出不等式组，即可求解.【详解】（1）当4a =时，不等式可化为10-≥无解，满足题意；当4a =-时，不等式化为810x -≥，解得18x >，不符合题意，舍去； 当4a ≠±时，要使得不等式()2216(4)10a x a x ----≥的解集为φ，则满足()()22216044160a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-<⎪⎩，解得1245a -<<， 综上可得，实数a 的取值范围是12,45⎛⎤- ⎥⎝⎦. （2）由不等式(3)12m x x -≥+，可得(3)(1)321022m x m x m x x -----=≥++， 即(2)[(1)(32)]0x m x m +--+≥且2x ≠-，当1m =时，不等式等价于502x -≥+，解得2x <-； 当1m 时，由325(2)011m m m m +--=>--， 不等式32(2)01m x x m +⎛⎫+-≥ ⎪-⎝⎭且2x ≠-的解集为32(,2),1m x m +⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢-⎣⎭，当1m <时，32(2)01m x x m +⎛⎫+-≤ ⎪-⎝⎭且2x ≠-， 当01m <<时，解集为32,21m x m +⎡⎫∈-⎪⎢-⎣⎭， 当0m =时，解集为∅，当0m <时，解集为322,1m x m +⎛⎤∈- ⎥-⎝⎦， 综上，当1m =时，解集为(,2)x ∈-∞-，当1m 时，解集为32(,2),1m x m +⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢-⎣⎭， 当01m <<时，解集为32,21m x m +⎡⎫∈-⎪⎢-⎣⎭， 当0m =时，解集为∅， 当0m <时，解集为322,1m x m +⎛⎤∈- ⎥-⎝⎦. （3）由（1）得{2,1,0,1,2,3,4}A =--，当A B 中有且只有三个元素，显然01m ≤≤不可能，当1m 时，32(,2),1m B m +⎡⎫=-∞-⋃+∞⎪⎢-⎣⎭因为3253311m m m +=+>--，不合题意，舍去， 当0m <时，322,1m B m +⎛⎤=- ⎥-⎝⎦， 因为A B 中有且只有三个元素，所以，032121m m m <⎧⎪+⎨≤<⎪-⎩，解得342m -<≤-， 综上，实数m 的取值范围是34,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.21．已知数集{}()1212,,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥具有性质P ：对任意的i 、()1j i j n ≤≤≤，i j a a +，与j i a a -两数中至少有一个属于A ．（1）分别判断数集{}0,1,3,4与{}0,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由； （2）证明：10a =，且()122n n na a a a =+++；（3）当5n =时，若22a =，求集合A ．【答案】（1）集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明见解析. （3）{0,2,4,6,8}A =.【分析】（1）利用i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .即可判断出结论. （2）先由0n n a a A =-∈，得出10a =，令“,1j n i =>,由“i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ”可得n i a a -属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,1a 不符合不符合题意,2a 符合.同理可得:令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,倒序相加即可.（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,可得51i a a Ai -∈=51525354550a a a a a a a a a a ->->->->-=,则515533524a a a a a a a a a -=-=-= ,又34245a a a a a +>+=,可得34a a A +∉,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-.可得即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列是首项为0,公差为22a =等差数列.【详解】解：（1）在集合{}0,1,3,4中，设{}0,1,3,4A =①011,101A A +=∈-=∈,具有性质P②033,303A A +=∈-=∈,具有性质P③044,404A A +=∈-=∈,具有性质P④134,312A A +=∈-=∉,具有性质P⑤145,413A A +=∉-=∈,具有性质P⑥347,431A A +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,1,3,4具有性质P ；在集合{}0,2,3,6中，设{}0,2,3,6B =,①022,202B B +=∈-=∈,具有性质P②033,303B B +=∈-=∈,具有性质P③066,606B B +=∈-=∈,具有性质P④235,321B B +=∉-=∉,不具有性质P⑤267,624B B +=∉-=∉,具有性质P⑥368,633B B +=∉-=∈,具有性质P综上所述：集合{}0,2,3,6不具有性质P .故集合{}0,1,3,4具有性质P ,集合{}0,2,3,6不具有性质P .（2）证明:令,1j n i =>由于120n a a a ≤<<<，则n n n a a a +>，故2n a A ∉则0n n a a A =-∈，即10a =i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ,i j a a ∴+不属于A ,n i a a ∴-属于A .令1i n =-,那么1n n a a --是集合A 中某项,10a =不符合题意,2a 可以.如果是3a 或者4a ,那么可知31n n a a a --=那么231n n n a a a a a -->-=,只能是等于n a ,矛盾.所以令1i n =-可以得到21n n a a a -=+,同理,令2i n =-,3,....,2n -可以得到1n i n i a a a +-=+,∴倒序相加即可得到1232n n n a a a a a +++⋯+=即()122n n na a a a a =+++⋯+（3）当5n =时,取5j =,当2i ≥时,55i a a a +>,由A 具有性质P ,5i a a A -∈,又1i =时,51a a A -∈,51,2,3,4,5i a a Ai ∴-∈=123451234500a a a a a a a a a a =<<<<=<<<<,51525354550a a a a a a a a a a ∴->->->->-=,则515524a a a a a a -=-=,533a a a -=,从而可得245532a a a a a +==,故2432a a a +=,即433230a a a a a <-=-<,又3424534a a a a a a a A +>+=∴+∈/,则43a a A -∈,则有43221a a a a a -==-又54221a a a a a -==-544332212a a a a a a a a a ∴-=-=-=-=,即12345,,,,a a a a a 是首项为0,公差为22a =等差数列,{0,2,4,6,8}A ∴=【点睛】（1）本问采用举反例的方法证明A 不具有P 性质;（2）采用极端值是证明这类问题的要点,一个数集满足某个性质,则数集中的特殊的元素（比如最大值、最小值）也满足这个性质;本问的第二个要点是集合的元素具有互异性,由互异性及题中给的性质P ,可得出等式;（3）利用在（2）中得到的结论得出12345,,,,a a a a a 之间的关系，再结合A 中元素所具有的P 性质即可得到结论.。
2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）设 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是两个单位向量，它们的夹角是60°，则 (e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )•e 1⃗⃗⃗ =___ ．2.（填空题，4分）已知sinθ+cosθ= √33 ，则sin2θ=___ ．3.（填空题，4分）函数 y =sin (k 2x +π3) 的最小正周期不大于4，则实数k 的最小值为___ ． 4.（填空题，4分）已知函数 y =log 1a(1−ax ) 在[0，2]上单调递减，则实数a 的取值范围是___ ．5.（填空题，4分）在三角形ABC 中，有命题：在△ABC 中，有命题： ① AB ⃗⃗⃗⃗⃗ - AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ② AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ； ③ 若（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ - AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0，则三角形ABC 为等腰三角形； ④ 若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞0，则三角形ABC 为锐角三角形． 上述命题正确的是___ ．6.（填空题，4分）若 2√3sinx +2cosx =1 ，则 sin (5π6−x) =___ ．7.（填空题，5分）若函数f （x ）=tan 2x-atanx （|x|≤ π4 ）的最小值为-6，求实数a 的值为___ ． 8.（填空题，5分）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470-1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为___ cm 2．9.（填空题，5分）已知函数 f (x )=√3sinωx +cosωx(ω＞0) 在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为___ ．10.（填空题，5分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2+b 2=2021c 2，则2tanAtanBtanC (tanA+tanB )的值为___ ．11.（填空题，5分）已知函数 f (x )=2sin (ωx +φ)(|φ|＜π2) 的部分图象如图所示，若f （x 0）= 65 （- π9 ＜x 0＜ 7π18 ），则cos3x 0=___ ．12.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x 2+2x +2，x ≤0x +4x，x ＞0，若关于x 的不等式f （x ）≥|ax+1|在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___ ． 13.（单选题，5分）下列说法正确的是（ ） A.函数y=cosx 在第一、二象限都是减函数 B.第二象限角大于第一象限角 C.三角形的内角必是第一或第二象限角 D.若α是第二象限，则 α2 是第一或第三象限角14.（单选题，5分）已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π2 ）的最小正周期是π，若其图象向右平移 π3 个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f （x ）的图象（ ） A.关于点（ π12 ，0）对称 B.关于直线x= π12 对称 C.关于点（ 5π12，0）对称 D.关于直线x= 5π12 对称15.（单选题，5分）已知向量 a ， b ⃗ 为单位向量，且 a • b ⃗ =- 12 ，向量 c 与 a +b ⃗ 共线，则| a + c |的最小值为（ ） A.1 B. 12C. 34 D. √3216.（单选题，5分）若α∈[0，π]，β∈[- π4 ， π4 ]，λ∈R ，且（α- π2 ）3-cosα-2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos （ α2 +β）的值为（ ） A.0B. 12C. √32D. √2217.（问答题，14分）已知向量a，b⃗满足| a |=1，| b⃗ |=2，且a与b⃗不共线．（1）若向量a +k b⃗与k a +2 b⃗为方向相反的向量，求实数k的值；（2）若向量a与b⃗的夹角为60°，求2 a + b⃗与a - b⃗的夹角θ．18.（问答题，14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2+3c2-4√2bc=3a2．（1）求sinA；（2）若3csinA= √2 asinB，且c= √2，求△ABC的周长．19.（问答题，14分）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（1）当∠EFP= π4（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．20.（问答题，16分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，−π2＜φ＜0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，−√3)，若|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当x∈[0，π6]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．21.（问答题，18分）已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＜P•f（x）成立，则称函数f（x）是D 上的P级递减周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=P•f（x）成立，则称函数f（x）是D 上的P级周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）=x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a的取值范围；（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数P的取值范围；（3）是否存在非零实数k，使函数f(x)=(12)x•coskx是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论．2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）设e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是两个单位向量，它们的夹角是60°，则(e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )•e1⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1] 12【解析】：由向量的模的运算及平面向量数量积的运算即可求解结论．【解答】：解：∵ e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是两个单位向量，它们的夹角是60°，∴| e1⃗⃗⃗ |=| e2⃗⃗⃗ |=1，e1⃗⃗⃗ • e2⃗⃗⃗ =1× 1×12 = 12，∴ e1⃗⃗⃗ 2 - e1⃗⃗⃗ • e2⃗⃗⃗ =1- 12 = 12．故答案为：12．【点评】：本题考查了向量的模的运算及平面向量数量积的运算，属基础题．2.（填空题，4分）已知sinθ+cosθ= √33，则sin2θ=___ ．【正确答案】：[1]- 23【解析】：将已知等式两边平方，利用二倍角的正弦公式即可求解．【解答】：解：因为sinθ+cosθ= √33，两边平方，可得1+2sinθcosθ= 13，则sin2θ=2sinθcosθ=- 23．故答案为：- 23．【点评】：本题主要考查了二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．3.（填空题，4分）函数y=sin(k2x+π3)的最小正周期不大于4，则实数k的最小值为___ ．【正确答案】：[1]π【解析】：由题意利用正弦函数的周期性，求得实数k的最小值．【解答】：解：∵函数 y =sin (k 2x +π3) 的最小正周期不大于4， 2πk 2≤4，∴k≥π，则实数k 的最小值为π， 故答案为：π．【点评】：本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．4.（填空题，4分）已知函数 y =log 1a(1−ax ) 在[0，2]上单调递减，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0， 12 ）【解析】：由题意利用复合函数的单调性，一次函数、对数函数的性质，可得 1a＞1，由此求得a 的范围．【解答】：解：因为函数 y =log 1a(1−ax ) 在[0，2]上单调递减，所以，1-2a ＞0，且 1a ＞1， 所以，0＜a ＜ 12 ，所以，a 的取值范围为（0， 12 ）． 故答案为：（0， 12 ）．【点评】：本题主要考查复合函数的单调性，一次函数、对数函数的性质，属于中档题． 5.（填空题，4分）在三角形ABC 中，有命题：在△ABC 中，有命题： ① AB⃗⃗⃗⃗⃗ - AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ② AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ； ③ 若（ AB⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ - AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0，则三角形ABC 为等腰三角形； ④ 若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞0，则三角形ABC 为锐角三角形． 上述命题正确的是___ ． 【正确答案】：[1] ② ③【解析】：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，判断各个选项是否正确．【解答】：解：在三角形ABC 中，由于 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ - AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故 ① 不正确． 由于 AB⃗⃗⃗⃗⃗ + BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗ + CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，故 ② 正确．由于（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ - AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）= AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =0，故有AB=AC ，三角形ABC 为等腰三角形，故 ③ 正确．由于 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |•| AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ＞0，故A 为锐角，但B 和C 的范围不确定，故不能推出三角形ABC 为锐角三角形，故 ④ 不正确． 故答案为 ② ③ ．【点评】：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．6.（填空题，4分）若 2√3sinx +2cosx =1 ，则 sin (5π6−x) =___ ． 【正确答案】：[1] 14【解析】：结合辅助角公式及诱导公式进行化简即可求解．【解答】：解：因为 2√3sinx +2cosx =1 ， 所以4（√32sinx +12cosx ）=1，所以sin （x+ π6 ）= 14 ， 则 sin (5π6−x) =sin[π −(π6+x) ]=sin （x+ π6 ）= 14，故答案为： 14．【点评】：本题主要考查了辅助角公式及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题． 7.（填空题，5分）若函数f （x ）=tan 2x-atanx （|x|≤ π4）的最小值为-6，求实数a 的值为___ ． 【正确答案】：[1]±7【解析】：由角的范围可得tanx 的范围，由二次函数的知识分类讨论可得．【解答】：解：∵|x|≤ π4 ，∴m=tanx∈[-1，1]， ∴y=tan 2x-atanx=m 2-am ，m∈[-1，1]， 由二次函数知识可知：当 a2 ＜-1即a ＜-2时，函数y=m 2-am 在m∈[-1，1]上单调递增， 故当m=-1时，函数取最小值，即1+a=-6，解得a=-7符合题意； 当 a 2 ＞1即a ＞2时，函数y=m 2-am 在m∈[-1，1]上单调递减， 故当m=1时，函数取最小值，即1-a=-6，解得a=7符合题意；当-1≤ a2≤1即-2≤a≤2时，函数y=m2-am在m∈[-1，a2]上单调递减，在m∈[ a2，1]上单调递增，故当m= a2时，函数取最小值，即a 24 - a22=-6，解得a=±2 √6，均不符合题意综上可得a的值为：±7故答案为：±7【点评】：本题考查三角函数的最值，涉及正切函数的值域和二次函数的最值，涉及分类讨论的思想，属中档题．8.（填空题，5分）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470-1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为___ cm2．【正确答案】：[1]704【解析】：设∠AOB=θ，OA=OB=r，由题意可得：{24=rθ64=(r+16)θ，解得r，进而根据扇形的面积公式即可求解．【解答】：解：如图，设∠AOB=θ，OA=OB=r，由题意可得：{24=rθ64=(r+16)θ，解得：r= 485，所以，S扇面=S扇形OCD-S扇形OAB= 12 ×64×（485+16）- 12×24× 485=704cm2．故答案为：704．【点评】：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．9.（填空题，5分）已知函数 f (x )=√3sinωx +cosωx(ω＞0) 在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][ 116 ， 176 ）【解析】：先利用辅助角公式进行化简，然后结合x 的范围及正弦函数的性质，求出ω的取值范围．【解答】：解：f （x ）= √3sin ωx+cosωx=2sin （ωx+ π6 ）， 因为x∈[0，π]，所以ωx+ π6 ∈[ π6 ，ω π+π6 ]， 要使f （x ）在[0，π]上有两个零点， 则2π≤ω π+π6 ≤3π，解得 116 ≤ω＜ 176 ， 所以ω的取值范围为[ 116 ， 176 ）． 故答案为：[ 116 ， 176 ）．【点评】：本题主要考查了辅助角公式及正弦函数的性质，属于基础题．10.（填空题，5分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2+b 2=2021c 2，则2tanAtanBtanC (tanA+tanB )的值为___ ．【正确答案】：[1]2020【解析】：由已知结合余弦定理进行化简，然后结合同角基本关系及正弦定理进行化简可求．【解答】：解：由已知得a 2+b 2-c 2=2020c 2， 即2020c 2=2abcosC ， 所以cosC=1010c 2ab， 则 2tanAtanB tanC (tanA+tanB ) = 2sinAsinBcosAcosB sinC cosC•(sinA cosA +sinB cosB)= 2sinAsinBcosC sin 2C = 2abcosC c 2 = 2abc 2×1010c 2ab=2020． 故答案为：2020．【点评】：本题主要考查了余弦定理，同角基本关系及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．11.（填空题，5分）已知函数 f (x )=2sin (ωx +φ)(|φ|＜π2) 的部分图象如图所示，若f （x 0）= 65 （- π9 ＜x 0＜ 7π18 ），则cos3x 0=___ ．【正确答案】：[1] 3+4√310【解析】：先利用函数的图象确定函数f（x）的最小正周期，从而得到ω的值，利用最高点的坐标求出φ的值，从而得到sin(−3x0+π6)=35，然后利用角的变换，将所求解的角转化为π6−(−3x0+π6)，再利用同角三角函数关系以及两角差的余弦公式求解即可．【解答】：解：设f（x）的最小正周期为T，则有34T=7π18−(−π9)=π2，故T=2π3=2π|ω|，所以ω=±3，因为f(−π9)=2sin(−π9ω+φ)=2，所以−π9ω+φ=π2+2kπ，k∈Z，当ω=3时，则φ=5π6+2kπ，k∈Z，不符合题意；当ω=-3时，则φ=π6+2kπ，k∈Z，又|φ|＜π2，所以φ=π6，故f(x)=2sin(−3x+π6)，则f(x0)=2sin(−3x0+π6)=65，因为−π9＜x0＜7π18，所以−3x0+π6∈(−π，π2)，又因为sin(−3x0+π6)=35＞0，所以−3x0+π6∈(0，π2)，故cos(−3x0+π6)=√1−sin2(−3x0+π6)=45，所以cos3x0=cos[π6−(−3x0+π6)]=√32cos(−3x0+π6)+12sin(−3x0+π6)=3+4√310．故答案为：3+4√310．【点评】：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，同角三角函数关系的应用，两角和差公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12.（填空题，5分）已知函数f （x ）= {x 2+2x +2，x ≤0x +4x ，x ＞0 ，若关于x 的不等式f （x ）≥|ax+1|在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1][0， 1516 ]【解析】：运用参数分离和二次函数的性质和不等式的性质，讨论x=0，x ＞0，x ＜0时，不等式恒成立时，a 的取值范围，求并集可得所求范围．【解答】：解：当x ＞0时，f （x ）≥|ax+1|在R 上恒成立，即为|ax+1|≤x+ 4x，也即-x- 4x≤ax+1≤x+ 4x，可得-1- 1x - 4x 2 ≤a≤1- 1x + 4x 2 ，由y=1- 1x + 4x 2 =4（ 1x - 18 ）2+ 1516 ≥ 1516 ，可得a≤ 1516 ， 由y=-1- 1x- 4x2 =-4（ 1x+ 18）2- 1516＜- 1516，可得a≥- 1516， 则- 1516 ≤a≤ 1516 ；当x=0时，f （0）=2＞|a•0+1|恒成立； 当x ＜0时，-（x 2+2x+2）≤ax+1≤x 2+2x+2， 即x+ 1x +2≤a≤-x- 3x -2恒成立， 由y=-x- 3x-2≥2 √−x •3−x-2=2 √3 -2，当且仅当x=- √3 时，取得等号，可得a≤2 √3 -2；由y=x+ 1x +2≤-2+2=0，当且仅当x=-1取得等号，可得a≥0， 则0≤a≤2 √3 -2，综上可得，a 的取值范围是[0， 1516 ]． 故答案为：[0， 1516 ]．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，以及分段函数的运用，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．13.（单选题，5分）下列说法正确的是（ ） A.函数y=cosx 在第一、二象限都是减函数 B.第二象限角大于第一象限角 C.三角形的内角必是第一或第二象限角 D.若α是第二象限，则 α2 是第一或第三象限角【正确答案】：D【解析】：A中，判断三角函数的增减性问题时要注意三角函数在象限内是无限重复的，不是单调的，只有在区间内可判断函数的单调性；B中，象限角是无限重复的，第二象限角不一定大于第一象限角；C中，象限角不包括终边在坐标轴上，π2不是象限角；D中，根据象限角的定义，判断即可．【解答】：解：对于A，y=cosx在[2kπ，2kπ+π]，k∈Z上是减函数，是余弦函数在每个对应区间上单调递减，第一、二象限内的角不一定在一个区间内，所以选项A错误；对于B，第二象限角不一定大于第一象限角，如α= 3π4是第二象限角，β= 9π4是第一象限角，所以选项B错误；对于C，三角形内角的取值范围是（0，π），内角为π2时不是象限角，所以选项C错误；对于D，当α是第二象限时，2kπ+ π2≤α≤2kπ+π，k∈Z，则kπ+ π4≤ α2≤kπ+ π2，k∈Z；k为偶数时，α2是第一象限角，k为奇数时，α2为第三象限角；所以选项D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了三角函数的单调性与象限角的联系和区别问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．14.（单选题，5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期是π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A.关于点（π12，0）对称B.关于直线x= π12对称C.关于点（5π12，0）对称D.关于直线x= 5π12对称【正确答案】：D【解析】：由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移π3个单位后得到的函数 y=sin（2x- 2π3+φ）是奇函数，可得φ=- π3，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】：解：由题意可得2πω=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x- π3）+φ]=sin（2x- 2π3+φ）是奇函数，又|φ|＜π2，故φ=- π3，故函数f（x）=sin（2x- π3），故当x= 5π12时，函数f（x）=sin π2=1，故函数f（x）=sin（2x- π3）关于直线x= 5π12对称，故选：D．【点评】：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．15.（单选题，5分）已知向量a，b⃗为单位向量，且a• b⃗ =- 12，向量c与a+b⃗共线，则| a + c |的最小值为（）A.1B. 12C. 34D. √32【正确答案】：D【解析】：由向量c与a+b⃗共线，利用向量共线定理可得：存在实数λ使得c=λ(a+b⃗)．利用向量的数量积得性质可得|a+c|=|a+λ(a+b⃗)| = |(1+λ)a+λb⃗| =√(1+λ)2a2+λ2b⃗2+2λ(1+λ)a•b⃗把已知代入化简利用二次函数的单调性即可得出．【解答】：解：∵向量c与a+b⃗共线，∴存在实数λ使得c=λ(a+b⃗)．∴ |a+c|=|a+λ(a+b⃗)| = |(1+λ)a+λb⃗|= √(1+λ)2a2+λ2b⃗2+2λ(1+λ)a•b⃗= √(1+λ)2+λ2+2λ(1+λ)×(−12)= √λ2+λ+1 = √(λ+12)2+34≥√34=√32，当且仅当λ=−12时取等号．故选：D．【点评】：熟练掌握向量共线定理、数量积得性质、二次函数的单调性是解题的关键．16.（单选题，5分）若α∈[0，π]，β∈[- π4，π4]，λ∈R，且（α- π2）3-cosα-2λ=0，4β3+sinβcosβ+λ=0，则cos（α2+β）的值为（）A.0B. 12C. √32D. √22【正确答案】：D【解析】：由题意可得-2β和α- π2是方程 x3+sinx-2λ=0 的两个实数解．再由π2-α 和2β的范围都是[- π2，π2]，方程 x3+sinx-2λ=0在[- π2，π2]上只有一个解，可得π2-α=2β，所以α2+β= π4，由此求得cos（α2+β）的值．【解答】：解：∵4β3+sinβcosβ+λ=0，∴（-2β）3-2sinβcosβ-2λ=0，即（-2β）3+sin（-2β ）-2λ=0．再由（α- π2）3-cosα-2λ=0，可得（α- π2）3+sin（α- π2）-2λ=0．故-2β和α- π2是方程 x3+sinx-2λ=0 的两个实数解．再由α∈[0，π]，β∈[- π4，π4]，所以π2-α 和2β的范围都是[- π2，π2]，由于函数 x3+sinx 在[- π2，π2]上单调递增，故方程 x3+sinx-2λ=0在[- π2，π2]上只有一个解，所以，π2 -α=2β，所以α2+β= π4，所以cos（α2+β）= √22．故选：D．【点评】：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，式子的变形是解题的关键，属于中档题．17.（问答题，14分）已知向量 a ， b ⃗ 满足| a |=1，| b ⃗ |=2，且 a 与 b ⃗ 不共线． （1）若向量 a +k b ⃗ 与k a +2 b ⃗ 为方向相反的向量，求实数k 的值； （2）若向量 a 与 b ⃗ 的夹角为60°，求2 a + b ⃗ 与 a - b ⃗ 的夹角θ．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意即可得出，存在实数λ＜0，使得 a +kb ⃗ =kλa +2λb ⃗ ，然后根据平面向量基本定理得出 {kλ=1k =2λ，然后解出λ，从而得出k 的值；（2）根据题意即可得出 a •b ⃗ =1，a 2=1，b ⃗ 2=4 ，然后即可求出 |2a +b ⃗ |=2√3，|a−b ⃗ |=√3 ， (2a +b ⃗ )•(a −b ⃗ ) ，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cosθ的值，进而得出θ的值．【解答】：解：（1）∵向量 a +kb ⃗ 与 ka +2b ⃗ 的方向相反， ∴存在实数λ＜0，使 a +kb ⃗ =λ(ka +2b ⃗ ) ，且 a ，b⃗ 不共线， ∴ {kλ=1k =2λ，解得 λ=−√22 或 λ=√22 （舍去）， ∴ k =−√2 ；（2）∵ a •b ⃗ =1，a 2=1，b⃗ 2=4 ， ∴ |2a +b ⃗ |=√4a 2+4a •b ⃗ +b ⃗ 2 = √4+4+4=2√3 ， |a −b ⃗ |=√a 2−2a •b ⃗ +b ⃗ 2=√1−2+4 = √3 ， (2a +b ⃗ )•(a −b ⃗ )=2a 2−a •b ⃗ −b ⃗ 2=2−1−4=−3 ， ∴ cosθ=(2a⃗ +b ⃗ )•(a ⃗ −b ⃗ )|2a⃗ +b ⃗ ||a ⃗ −b ⃗ |=2√3×√3=−12 ，且θ∈[0，π]，∴ θ=2π3．【点评】：本题考查了共线向量基本定理，平面向量基本定理，向量数乘的几何意义，向量的数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．18.（问答题，14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b 2+3c 2-4 √2bc =3a 2 ． （1）求sinA ；（2）若3csinA= √2 asinB ，且c= √2 ，求△ABC 的周长．【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合余弦定理可求cosA，进而可求A；（2）由已知结合正弦定理进行化简可求b，然后结合余弦定理可求a，进而可求．【解答】：解：（1）因为3b2+3c2-4 √2bc=3a2，所以b2+c2-a2= 4√23bc，由余弦定理得cosA= b 2+c2−a22bc= 2√23，由A为三角形内角得sinA= 13；（2）因为3csinA= √2 asinB，由正弦定理得3sinCsinA= √2 sinAsinB，因为sinA＞0，所以3sinC= √2 sinB，即3c= √2 b，因为c= √2，所以b=3，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=9+2-2× 3×√2×2√23=3，故a= √3．所以△ABC的周长为√3+√2+3．【点评】：本题主要考查了余弦定理，正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．19.（问答题，14分）如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP= π4时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）当∠EFP= π4时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP= π4．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．（2）解法一：设∠EFD=θ (0＜θ＜π2)，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得PF=2sin(π−2θ)=2sin2θ，NP=NF−PF=3−2sin2θ，ME=3−2tanθ．四边形MNPE面积为S=1 2(NP+ME)MN = 12[(3−2sin2θ)+(3−2tanθ)]×2 = 6−2tanθ−2sin2θ，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．可得PE=PF，即√(3−BP)2+22=t−BP．BP=13−t22(3−t)，NP=3-T+ 13−t22(3−t)，四边形MNPE面积为S=12(NP+ME)MN =1 2[(3−t+13−t22(3−t))+(6−t)]×2 = 6−[32(t−3)+2t−3]，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：（1）当∠EFP= π4时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP= π4．所以∠FPE= π2．所以FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．…3分所以四边形MNPE的面积S=PN•MN=2m2．…5分（2）解法一：设∠EFD=θ (0＜θ＜π2)，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以PF=2sin(π−2θ)=2sin2θ，NP=NF−PF=3−2sin2θ，ME=3−2tanθ．…8分由 { 3−2sin2θ＞03−2tanθ＞00＜θ＜π2 得 {sin2θ＞23tanθ＞23， (∗)0＜θ＜π2.所以四边形MNPE 面积为 S =12(NP +ME )MN = 12[(3−2sin2θ)+(3−2tanθ)]×2 = 6−2tanθ−2sin2θ = 6−2tanθ−2(sin 2θ+cos 2θ)2sinθcosθ= 6−(tanθ+3tanθ) …12分≤6−2√tanθ3tanθ=6−2√3 ． 当且仅当 tanθ=3tanθ，即 tanθ=√3 ，θ=π3时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当 ∠EFD =π3时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大， 最大值为 6−2√3 m 2． …16分 解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6-t ．因为∠EFP=∠EFD=∠FEP ，所以PE=PF ，即 √(3−BP)2+22=t −BP ． 所以 BP =13−t 22(3−t )， NP =3−PF =3−PE =3−(t −BP )=3−t +13−t 22(3−t )． …8分由 { 3＜t ＜613−t 22(3−t )＞03−t +13−t 22(3−t )＞0 得 {3＜t ＜6t ＞√13， (∗)t 2−12t +31＜0. 所以四边形MNPE 面积为 S =12(NP +ME )MN = 12[(3−t +13−t 22(3−t ))+(6−t )]×2 =3t 2−30t+672(3−t )…12分= 6−[32(t −3)+2t−3] ≤6−2√3 ． 当且仅当 32(t −3)=2t−3，即 t =3+√43 =3+2√33时取“=”． …14分此时，（*）成立． 答：当点E 距B 点 3+2√33m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为 6−2√3 m 2． …16分．【点评】：本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、三角函数的单调性应与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（问答题，16分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，−π2＜φ＜0)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，−√3)，若|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当x∈[0，π6]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3，可得函数的周期，从而可求ω，进而可求函数f（x）的解析式；（2）利用正弦函数的单调增区间，可求函数f（x）的单调递增区间；（3）当x∈[0，π6]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，等价于m≥f(x)2+f(x)=1−22+f(x)，由此可求实数m的取值范围．【解答】：解：（1）角φ的终边经过点P(1，−√3)，∴ tanφ=−√3，…（2分）∵ −π2＜φ＜0，∴ φ=−π3．…（3分）由|f（x1）-f（x2）|=4时，|x1-x2|的最小值为π3，得T=2π3，即2πω=2π3，∴ω=3…..（5分）∴ f(x)=2sin(3x−π3)…（6分）（2）由−π2+2kπ≤3x−π3≤π2+2kπ，可得−π18+2kπ3≤x≤5π18+2kπ3，…（8分）∴函数f（x）的单调递增区间为[−π18+2kπ3，5π18+2kπ3]，k∈z…（9分）（3 ）当x∈[0，π6]时，−√3≤f(x)≤1，…（11分）于是，2+f（x）＞0，∴mf（x）+2m≥f（x）等价于m≥f(x)2+f(x)=1−22+f(x)…（12分）由−√3≤f(x)≤1，得f(x)2+f(x)的最大值为13…（13分）∴实数m的取值范围是m≥13．…（14分）【点评】：本题考查函数解析式的确定，考查三角函数的性质，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.（问答题，18分）已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＜P•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的P级递减周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=P•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的P级周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）=x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a的取值范围；（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求实数P的取值范围；（3）是否存在非零实数k，使函数f(x)=(12)x•coskx是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得f（x+1）＜2f（x），即a＞-x2+2x+1对x∈[2，+∞）恒成立，求得-x2+2x+1的最大值，可得结论．（2）由题意可得x∈[n，n+1）时，f（x）=P n•2x-n，n∈N*，P＞0且P n•2n-n≥P n-1•2n-（n-1），由此求得p的范围．（3）根据题意，cosk（x+T）=T•2T coskx对一切实数x恒成立，故T•2T=±1，分类讨论，得出结论．【解答】：解：（1）由题意，函数f（x）=x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数可知：f（x+1）＜2f（x），即（x+1）2+a＜2x2+2a对x∈[2，+∞）恒成立，也即a＞-x2+2x+1对x∈[2，+∞）恒成立，∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2在x∈[2，+∞）上单调递减，∴ (−x2+2x+1)max=−22+2•2+1=1，∴a＞1．（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）=Pf（x-1）=P•2x-1，当x∈[n，n+1）时，f（x）=Pf（x-1）=P2f（x-2）=…=P n f（x-n）=P n•2x-n，即x∈[n，n+1）时，f（x）=P n•2x-n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴P＞0且P n•2n-n≥P n-1•2n-（n-1），即P≥2．（3）由已知，应有f（x+T）=Tf（x）对一切实数x恒成立，即(12)x+T•cosk(x+T)=T•(12)x•coskx对一切实数x恒成立，也即cosk（x+T）=T•2T coskx对一切实数x恒成立，当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[-1，1]，cos（kx+kT）∈[-1，1]，故要使cosk（x+T）=T•2T coskx恒成立，只有T•2T=±1，① 当T•2T=1时，即2T=1T（*）时，由函数y=2x与y=1x的图象存在交点，故方程（*）有解；此时cos（kx+kT）=coskx恒成立，则kT=2mπ，m∈Z，k=2mπT，m∈Z；② 当T•2T=-1（**）时，类似① 中分析可得，方程（**）无解；综上，存在k=2mπT，m∈Z，符合题意，其中T满足T•2T=1．【点评】：本题主要考查新定义，函数的恒成立问题，函数的周期性，关键是等价转化，属于中档题．。
2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)
2020-2021上海市高一数学上期末试卷(及答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)4．下列函数中，值域是()0,+∞的是（ ） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>5．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞，6．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1ln||y x = B ．3y x = C ．||2x y =D ．cos y x =8．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．59．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．411．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则(1)g =（ ）A ．1-B ．3-C ．3D ．1二、填空题13．已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞，则实数m 的值为__________ 14．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．15．已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.16．已知函数()()1123121x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____.17．已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a的取值集合为______. 18．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.19．已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、，则()a b c +的取值范围为______；20．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域;(2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 23．已知函数sin ωφf x A x B (0A >，0>ω，2πϕ<)，在同一个周期内，当6x π=时，()f x 取得最大值2，当23x π=时，()f x 取得最小值2-. (1)求函数()f x 的解析式，并求()f x 在[0，π]上的单调递增区间.(2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解，求实数a 的取值范围.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？ 25．计算或化简：（1）112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6log 332log log 2log 36⋅-- 26．已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由已知得{}|21B x x =-<<，因为21,01,2A =--｛，，｝，所以{}1,0A B ⋂=-，故选A ．解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可． 【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1； 对于C ：2xy =-的值域为(),0-∞； 对于D ：0x >，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ． 【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．5．D解析：D试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.6．C解析：C 【解析】 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.解析：A 【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln||y x =，||2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln||y x =变形为1ln y x =，可看成1ln ,y t t x==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1(0)t x x=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数故选择A8．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。