离散数学等价关系与偏序关系共32页文档
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离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
返回第5、3节目录
五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
返回第5、3节目录
六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学中的关系
离散数学中的关系
离散数学中的关系指的是集合之间元素的联系或对应关系。
这种关系可以描述为有序对的集合，其中每个有序对都由一对元素组成。
在离散数学中常见的关系包括等价关系、偏序关系、全序关系等。
等价关系是一种自反、对称和传递的关系，即元素之间具有相等的性质。
例如，集合中两个元素的相等关系就是一种等价关系。
偏序关系是一种自反、反对称和传递的关系，即对元素之间存在一种偏序或排序关系。
例如，在集合中，可以通过元素之间的比较来确定它们的顺序关系。
全序关系是一种偏序关系，它不仅是自反、反对称和传递的，还具有完备性，即对于集合中任意两个元素，它们之间必定存在一种顺序关系。
离散数学中还有其他类型的关系，如函数关系、包含关系等。
函数关系是一种特殊的关系，它对于集合中的每个元素，都存在唯一的映射元素。
包含关系则描述了两个集合之间的包含或包含于关系。
通过对这些关系的研究和分析，可以帮助理解和解决离散数学中的问题。
同时，关系的性质和特征也为其他学科如计算机科学、逻辑学等提供了基础。
离散数学___等价关系与偏序关系
19
思考：
设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 问哪些是A的划分, 哪些不是 A 的划分？ 答案： π 1和π 2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分.
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同年龄关系 R是等价关系。
4
再如设集合A的情况同上所述 若令集合A={a , b , d , c , e , f } 同房间 同房间
其中a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 如果同住一个房间的大学生认为是相关的，那么 “同房间”关 系 R也是等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同房间的，所以满足自反性；
7
（1）a ,b,c都姓“张”，d,e,f 都姓“李” a b
√ √ √
c
√ √ √
d
e
f
a √ b √
c √ d e f
a b c
√ √ √ √ √ √ √
d e f
√
√
a 1 1 1 0 0 0
b c d e f 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
用刀分
{
思考：
设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下： π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} } 问哪些是A的划分, 哪些不是 A 的划分？ 答案： π 1和π 2 是A的划分, 其他都不是 A 的划分.
（2）当(a,b) ∈R时有(b,a) ∈R，所以满足对称性；
（3）当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时有(a,c) ∈R，所以R是可传递的。
由此可得同年龄关系 R是等价关系。
4
再如设集合A的情况同上所述 若令集合A={a , b , d , c , e , f } 同房间 同房间
其中a ,b, d同住一个房间，c, e ,f同住另一个房间。 如果同住一个房间的大学生认为是相关的，那么 “同房间”关 系 R也是等价关系。 （1）因为每一个大学生都和自已是同房间的，所以满足自反性；
7
（1）a ,b,c都姓“张”，d,e,f 都姓“李” a b
√ √ √
c
√ √ √
d
e
f
a √ b √
c √ d e f
a b c
√ √ √ √ √ √ √
d e f
√
√
a 1 1 1 0 0 0
b c d e f 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
用刀分
{
偏序关系
注：覆盖P的链数 P中任一反链的元素个数.
等价结论:有限偏序集中存在一个链覆盖和一个反链，它们 大小相等
Dilworth定理的归纳证明
证明. 按照P中元素个数（|P|=1, 2 …）进行归纳证明. 设a为P中的一个极大元素, P’ =P-{a} 设(P’,≼)有一个大小为k的反链{a1, a2, …, ak}，并有一个规模 为k的链覆盖{C1, C2, …, Ck}. 对任意Ci , P’中大小为k的任一反链均有唯一的元素属于Ci， 这些元素有一个最大元，记为xi. A={x1, x2, …, xk}必是反链。否则，不妨假设A中有两个元素 xi≼ xj. 根据xj的定义，P’中必有一个大小为k的反链Aj, xj是Aj 和Cj的公共元素，假设y是Aj和Ci的公共元素，则y≼ xi. 从而 y≼ xj.与Aj是反链矛盾.
x1 x2且x1 ≼ x2, 或者x1 = x2且y1 ≼ y2
易证R是AA上的偏序关系
给定有限字符集合，若在上有一个偏序关系，类似上述 办法，可以对任意正整数 k, 定义 k( 由 中字符构成的长度 为 k的串的集合 ) 上的偏序关系。加以适当的技术处理，则 容易定义 +(由 中字符构成的长度为任意正整数的串的集 合)上的偏序关系：字典关系
b
c a1 a2
….
….
ai ak
d
e
f
g
C
i 1
k
i
P(Ci互不相交）
Dilworth定理
链覆盖 是(P,≼)中一组互不相交的链, 它们一起包 含了P中的所有元素. Dilworth 定理 (1950) 在任意有限偏序集(P,≼)中, 覆盖P的最小链数等于 P中最长反链的长度（元素个数）.
等价关系和偏序关系
等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系是数学中常见的两种关系，它们在数学领域和其他学科中都具有重要的应用价值。
本文将从定义、性质和应用等方面，对等价关系和偏序关系进行详细介绍，并希望能够给读者提供一些指导意义。
首先，我们来介绍等价关系。
等价关系是指集合中的元素之间存在一种对等的关系，它可以将集合划分成若干个等价类。
在等价关系中，具有相同特征或性质的元素被划分到同一个等价类中，而具有不同特征或性质的元素则被划分到不同的等价类中。
换句话说，等价关系将集合中的元素划分为互不相交的子集，每个子集都代表一个等价类。
等价关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意元素 a，a 和 a 相关。
2. 对称性：如果 a 和 b 相关，则 b 和 a 相关。
3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。
等价关系在数学中有广泛的应用，例如在代数、几何和数论等领域。
在代数中，等价关系可以帮助我们定义等价类，进而对集合进行分类和研究。
在几何中，等价关系可以帮助我们研究和描述图形的对称性质。
在数论中，等价关系可以帮助我们解决一些重要的数学问题，如素数分布等。
接下来，我们来介绍偏序关系。
偏序关系是指集合中的元素之间存在一种偏序的关系，它可以将集合中的元素按照某种方式进行排序。
在偏序关系中，元素的排列顺序可能是不确定的，即两个元素之间可能不存在比较关系。
与等价关系不同，偏序关系不能将集合划分为互不相交的子集，而是通过排序来比较元素之间的关系。
偏序关系具有以下性质：1. 反自反性：对于任意元素 a，a 和 a 不相关。
2. 反对称性：如果 a 和 b 相关且 b 和 a 相关，则 a 和 b 是相同的元素。
3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。
偏序关系在数学中也有广泛的应用，特别是在集合论、拓扑学、优化理论和离散数学等领域。
在集合论中，偏序关系可以帮助我们定义集合的包含关系和子集关系。
集合论第三课 等价关系与偏序关系
• 定理2.16 设R1和R2是A上的等价关系， 则 R1R2是A上的等价关系。
• 例：设A={1, 2, 3, 4, 5}，A上的二元关系R 中，有多少个是等价关系？
• 因为等价类划分和等价关系是一一对应的， 所以A上的二元关系中等价关系的个数等于 A的划分个数。 • 西安交通大学1998考研
例： A是学生集合，是在A中按学院的划分， ’是在A中按专业的划分。和’确定A 上的等价关系R:同学院同学关系和R’:同专 业同学关系，显然R’R。
• 证明： • /*’细分 R’R ，基本法*/ • 对于任一<a, b>R’，存在'的某块S’，使a, bS’。因为’细分，所以必存在的块S， 使S’S。因此a, bS，从而<a, b>R。 • /* R’R ’细分 */ • 设S’是‘的一块，aS’则[a]R’ ={x|xR’a}=S’ （请展开证明）。由于R’R，若xR’a必有 xRa。因此{x|xR’a}{x|xRa}，即 [a]R’[a]R。 ’的一块包含在的一块中，所以’细分 。
• /*北京航空航天大学1996考研试题*/
2.7 次序关系
• 二 拟序关系 • 定义2.22（拟序关系） A上的二元关系 R是反自反的和传递的，称 R为A上的拟序关系。称(A, R)为拟序集，或记为 (A, <)。（不意味着小于）
• 定理2.24 A上的二元关系 R是拟序的，则R必为反对称 的。 证明：反证法
– 位置关系：若a b，则结点a在b之下； –Байду номын сангаас连线规则：若a与b之间不存在其他元素c，使a c，c b则在a与b之间用一线相连。
2.7 次序关系
• 例题： Rosen《离散数学及其应用（本科教学 版）》p225例13、例14、P226例18
离散数学-关系-4.1-2
E=ranR∪domS={1, 2, 3, 4}
① 把R看作A到E的关系，即相当于关系矩阵上在多出来 的列上加 0
② 把S 看作E到 D的关系，即相当于关系矩阵上加几行 0
③ 矩阵相乘
21
4.2.1 关系的基本运算
求关系的合成（续）
R: A→E, S: E→D A={1, 2}; E={1, 2, 3, 4}; D=ranS={1, 2, 3}; ������ ������ ������ ������ MR = ������ ������ ������ ������ ������ MS= ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
5
4.1.1 有序对与笛卡尔集
笛卡儿积的性质
(1) 若A= 或 B=，则 AB=. 即 A=B= (2) 若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn (3) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B) (4) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C) (5) 对于并或交运算满足分配律 A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA)
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ M R MS = = ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ 故：R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} 求： S∘R？
离散数学等价关系与偏序关系
6
等价类
设R是非空集合A上的等价关系， 则A上互相等价的元素构成了A的 若干个子集，称作等价类
定义 设R为非空集合A上的等价关系, x∈A，令
[x]R = { y | y∈A∧xRy } 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简 记为[x].
实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}
如果顶点 xi 连通到xk , 则 从 xi到 xk 有 边
1
例：给定集合X={a,b,c}，R和S是X中的关系，给
定
R {a,b, a, c, c, b}
S {a,b, b, c, c, a}
试求出t(R),t(S)，并画出关系图
解：t(R) R1 R2 R3 R
t(S) S1 S2 S3 S1 S2 S3
11
例题
例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：
π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
关系性质判别
定义
条件 关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
x(x∈A→<x x(x∈A→
,x>R)
<x,x>R)
xy(x,y∈A∧ <x,y>∈R→<y,x >∈R)
等价类
设R是非空集合A上的等价关系， 则A上互相等价的元素构成了A的 若干个子集，称作等价类
定义 设R为非空集合A上的等价关系, x∈A，令
[x]R = { y | y∈A∧xRy } 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简 记为[x].
实例 A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7} [2]=[5]=[8]={2,5,8} [3]=[6]={3,6}
如果顶点 xi 连通到xk , 则 从 xi到 xk 有 边
1
例：给定集合X={a,b,c}，R和S是X中的关系，给
定
R {a,b, a, c, c, b}
S {a,b, b, c, c, a}
试求出t(R),t(S)，并画出关系图
解：t(R) R1 R2 R3 R
t(S) S1 S2 S3 S1 S2 S3
11
例题
例1 设A＝{a, b, c, d}, 给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：
π1= { {a, b, c}, {d} }， π2= { {a, b}, {c}, {d} } π3= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} } π5= { ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }
关系性质判别
定义
条件 关系 矩阵
自反
反自反
对称
反对称
x(x∈A→<x x(x∈A→
,x>R)
<x,x>R)
xy(x,y∈A∧ <x,y>∈R→<y,x >∈R)
《离散数学》偏序关系教学精品PPT课件
在实数集R上定义二元关系S’， 对于任意的x，y∊R， (x，y) ∊S’当且仅当 x≥y。 可以证明 S’是R上的一个偏序关系。
集合A上的恒等关系 IA 是A上的偏序关系.
8/49
关于记号 ≺
对于一个偏序关系，往往用记号“≺”来表示。 若(a，b) ∊ ≺，记为a ≺ b，读做“ a小于等于b”。
上节课内容 等价关系
等价关系 等价类
定义 性质
商集、集合的划分 等价关系和划分的对应
1
7.6 偏序关系和格
7.6.1 偏序关系、偏序集 7.6.2 哈斯（Hasse）图 7.6.3 链、反链、全序集 7.6.4 极大元、极小元、最大元、最小元 7.6.5 上界、下界、最小上界、最大下界 7.6.6 格
等于”y。
例1 A={1, 2, 3, 4}
R={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4),
(1,2), (1,3), (1,4), (2,4)}
R是A上一个偏序关系。
4/49
例2 (p109)
设Z+={n∊Z│n>0}，即Z+是正整数的集合。 在Z+上定义一个二元关系R如下: 对于任意的x,y∊Z+，
(x,y)∊R当且仅当x|y。 证明(Z+，R)是偏序集
5/49
例2 (p109)证明(Z+，R)是偏序集
对于任意的x,y∊Z+，(x,y)∊R当且仅当x|y。
（1）对于任意的x∊Z+,显然有x|x,所以(x,x)∊R,即R是自 反的。
（2）对于任意的x,y∊Z+,若(x,y)∊R,且(y,x)∊R，则 x|y,即 存在n∊Z+,y=nx 且 y|x,即存在m∊Z+,x=my，所以 x=mnx，而n,m∊Z+，所以只有n=m=1，
集合A上的恒等关系 IA 是A上的偏序关系.
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关于记号 ≺
对于一个偏序关系，往往用记号“≺”来表示。 若(a，b) ∊ ≺，记为a ≺ b，读做“ a小于等于b”。
上节课内容 等价关系
等价关系 等价类
定义 性质
商集、集合的划分 等价关系和划分的对应
1
7.6 偏序关系和格
7.6.1 偏序关系、偏序集 7.6.2 哈斯（Hasse）图 7.6.3 链、反链、全序集 7.6.4 极大元、极小元、最大元、最小元 7.6.5 上界、下界、最小上界、最大下界 7.6.6 格
等于”y。
例1 A={1, 2, 3, 4}
R={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4),
(1,2), (1,3), (1,4), (2,4)}
R是A上一个偏序关系。
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例2 (p109)
设Z+={n∊Z│n>0}，即Z+是正整数的集合。 在Z+上定义一个二元关系R如下: 对于任意的x,y∊Z+，
(x,y)∊R当且仅当x|y。 证明(Z+，R)是偏序集
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例2 (p109)证明(Z+，R)是偏序集
对于任意的x,y∊Z+，(x,y)∊R当且仅当x|y。
（1）对于任意的x∊Z+,显然有x|x,所以(x,x)∊R,即R是自 反的。
（2）对于任意的x,y∊Z+,若(x,y)∊R,且(y,x)∊R，则 x|y,即 存在n∊Z+,y=nx 且 y|x,即存在m∊Z+,x=my，所以 x=mnx，而n,m∊Z+，所以只有n=m=1，
离散数学等价关系与偏序关系演示文稿
第7页，共28页。
实例
例6：设A＝{a, b, c, d}, 给定 1, 2, 3, 4, 5, 6如下 1={{a, b, c},{d}}， 2={{a, b},{c},{d}} 3={{a},{a, b, c, d}}， 4={{a, b},{c}}
5={,{a, b},{c, d}}， 6={{a,{a}},{b, c, d}}
2,3,6,12都是子集{24,36}的下界。 12是子集{24,36}的下确界。
第27页，共28页。
实例
例9：令A={2,3,6,12,24,36},A在整除关系“”下构成一个偏序集
(A,)。 A中有最大元素和最小元素吗？
A中没有最大元素也没有最小元素。 因为24与36不可比，2与3也不可比。 但是A中没有比24和36更大的元素，也没有比2与3更小
一对应的，并且互相确定。
第9页，共28页。
商集
等价关系R确定的划分是R的所有等价类之集
{[x]xX}
定义4 设R是X上的等价关系，由R所确定的X的划分 也就是R的所有等价类之集称为X对R的商集，并记X/R。 即：X/R={[x] xX，[x]是x的等价类}。
第10页，共28页。
实例
例7：令A={1, 2, …, 8}。
其次由于偏序关系是传递的，那么只要在前驱与后继 间联线即可。
最后由于反对称性，若x<y，xy，则点y画在x的上方， 这样就不必用矢线了，按上述方法画出的图称为(X,≤)的哈
斯图。
第20页，共28页。
哈斯(Hasse)图的特点
哈斯图就是利用偏序的自反、反对称、传
递性简化了的关系图。
特点： (1)每个结点没有环; (2)两个连通的结点之间的序关系通过结点位置