第三章 混合策略纳什均衡
3-混合策略的纳什均衡

博弈论教学/混合策略的纳什均衡出自MyKnowledgeBase< 博弈论教学Bread crumbs: Main Page > 博弈论教学/混合策略的纳什均衡目录■1 复习■2 混合策略(Mixed strategy)■2.1 举例/Example■2.2 概念■2.3 纯策略和混合策略■2.4 混合策略的争议■3 混合策略的纳什均衡■3.1 基本概念■3.2 混合策略纳什均衡的存在性/纳什定理■3.3 学术争议与批评■4 混合策略纳什均衡举例■4.1 社会福利博弈Social Welfare Game■4.1.1 博弈分析(方法1:收益无差异)■4.1.2 博弈分析(方法2:图形分析法)■4.1.3 博弈分析(方法3:导数(Derivative)极值法)■4.2 普通例子■4.3 审计博弈(Tax Game)■4.4 激励的悖论[5]■4.5 求解纳什均衡的一般方法■5 多重纳什均衡■5.1 多重纳什均衡举例■5.1.1 夫妻之争■5.1.2 制式问题■5.1.3 市场机会博弈■5.2 多重纳什均衡分析■5.2.1 帕累托上策均衡(Pareto Dominated Equilibrium)■5.2.1.1 帕累托最优Pareto optimality■5.2.1.2 帕累托上策均衡(Pareto Dominated Equilibrium)■5.2.1.3 举例分析■5.2.2 风险上策均衡(Risk-dominant Equilibrium)■5.2.3 聚点均衡(Focal Points Equilibrium)■5.2.4 相关均衡■5.2.5 抗共谋均衡(coalition-proof Nash equilibrium)■6 纳什均衡的意义■7 作业■8 参考文献pure strategy)相对应。
混合策略:在博弈中,博弈方的策略空间为,则博弈方i以概率分布随机在其选策略中选择的“策略”,称为一个“混合策略”,其中,对都成立,且。
3 混合纳什均衡

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混合Nash均衡的解释(2)
纳什均衡要求每个参与人的混合战略是给定对方的混合战略下的最 优选择。因此在社会福利博弈中,* 0 . 2 , *=0.5是唯一的混合战略 纳什均衡。 从反面来说,如果政府认为流浪汉选择寻找工作的概率严格小于0.2, 那么政府的唯一最优选择是纯战略:不救济;
如果政府以1的概率选择不救济,流浪汉的最优选择是寻找工作,这 又将导致政府选择救济的战略,流浪汉则选择游荡。如此等等。
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混合Nash均衡的解释(3)
流浪汉
政府
流浪汉
寻找工作的概率小于0.2
概率为1:不救济
寻找工作
政府 救济
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猜谜游戏
求该猜谜游戏 的混合战略纳什 均衡
正面
1 -1, -1
5
社会福利博弈
寻找工作
2
流浪
3 -1,
救济
3, 1
0 0,
不救济
-1,
设:政府救济的概率:1/2 ;不救济的概率:1/2。
流浪汉:寻找工作的期望效用:1/2×2+1/2 ×1=1.5 流浪的期望效用: 1/2×3+1/2 ×0=1.5
因此,流浪汉的任何一种策略都是都是对政府混合战略的最优反应
6
社会福利博弈(2)
寻找工作
2 3, 1
流浪
3 -1, 0 0,
3r+(-1)(1-r)=4r-1
选择纯战略不救济的效用为:
-1r+0(1-r)=-r
如果一个混合战略(而不是纯战略) 是政府的最优选择,一定意味着政府 在救济与不救济之间是无差异的。
救济
不救济
-1,
4r-1=-r
第三讲_混合策略纳什均衡

混合策略
◆混合策略定义:在n人博弈的策略式表述 G S1, , Sn ; u1, , un Si Si1, , SiK ,那么,概率 中,假定参与人 i 有K个纯策略: 分布 pi pi1 , , piK 称为 i 的一个混合策略,这里
pik p(sik ) 是 i 选择 sik 的概率,对于所有
这个故事曾经被很多人当作博弈论的例 子来演绎,但实际上这个故事与博弈论无关。 博弈论会假定所有局中人都是理性的,不能假 定一些局中人聪明而另一些局中人却是傻子。 当田忌出下马时,齐威王最好的选择是出下马 而不是上马。孙膑的计谋中假定齐威王是傻子 ,当田忌出下、上、中马时,他仍然按上、中 、下马出,当然要输了。事实上,当田忌出下 马时,齐威王应出下马,但齐威王出下马时, 田忌不应出下马而是出中马,但此时齐威王又 应出中马而不是下马了,……。这样,博弈不 会有纯战略的均衡。
-2,3
2,2
假定老板选择混合战略(0.2,0.8) 工人选择“偷懒”期望支付为(-1)×0.2+3×0.8=2.2 工人选择“不偷懒”(期望)支付为2×0.2+2×0.8=2 工人应选择“偷懒” 老板选择“监督” “不偷懒’……
假定老板选择混合战略(0.5, 0.5) 工人选择“偷懒”期望支付 0.5 为 (-1)×0.5+3×0.5=1 工人选择“不偷懒”期望支 0.5 付为2×0.5+2×0.5=2 工人应选择“不偷懒” 老板选择“不监督” 工人选择“偷懒’……
由 VA =VB 可得 :q=0.8 博弈方2:
VB =3q (1 q)
博 弈 方 1
A B
VC =3 p (1 p)
VD =2 p 5(1 p)
混合策略纳什均衡

博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
r*=R(q)
反应对应曲线
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、反应对应法
例:扑克牌对色游戏(p77)
再看乙的最优反应,记为q*=R(r): 观察π乙(p甲, p乙)= 2q(2r-1)-(2r-1)
若r 1 / 2 2r 1 0, q越大越好 1, q* R( r ) [0,1], 若r 1 / 2 2r 1 0,无论q选什么都无影响 0, 若r 1 / 2 2r 1 0, q越小越好
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、反应对应法
例:扑克牌对色游戏(p77)
先看甲的最优反应,记为r*=R(q): 观察π甲(p甲, p乙)= 2r(1-2q)+(2q-1)
若q 1 / 2 1 2q 0, r越小越好 0, r* R( q) [0,1], 若q 1 / 2 1 2q 0,无论r选什么都无影响 1, 若q 1 / 2 1 2q 0, r越大越好
解:Max π甲(p甲, p乙) r Max π乙(p甲, p乙) q
f.o.c. 2r-1=0
r*=1/2
混合策略纳什均衡是甲在策略空间{红,黑}上以概率分布 p甲*= (1/2,1/2)进行选择,乙也在策略空间{红,黑}上以概率p乙*= (1/2,1/2)进行选择
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、支付最大化法
例:扑克牌对色游戏(p77)
无纯策略NE 给定混合策略p甲=(r,1-r); p乙=(q,1-q) π甲(p甲, p乙)=r[q(-1)+(1-q) 1]+ (1-r)[q1+(1-q)(-1)] = 2r(1-2q)+(2q-1) π乙(p甲, p乙)=q [r1+(1-r)(-1)]+ (1-q)[r(-1)+(1-r)1] =2q(2r-1)-(2r-1) f.o.c. 1-2q=0 q*=1/2
混合策略

第一节 混合策略与期望支付
二、期望支付 (一)分析 1.概率 (偷,睡)的概率:pq (偷,不睡)的概率:p(1-q) (不偷,睡)的概率:(1-p)q (不偷,不睡)的概率:(1-p)(1-q)
第一节 混合策略与期望支付
二、期望支付 (一)分析 2.期望支付 U小偷=8pq+(-2)p(1-q)+0(1-p)q+0(1p)(1-q)=2p(5q-1) U守卫= (-2) pq+0p(1-q)+8(1p)q+0(1-p)(1-q)=2q(4-5p)
小偷与守卫博弈
无纳什均衡,如何分析?
第一节 混合策略与期望支付
一、混合策略 (二)混合策略 1.表述 参与人按照一定概率,随机从策略 组合中选择一种策略作为实际行动 随机行动的目的:使自己的行为不被 对手预测
混合策略
小偷的混合策略 以p的概率偷,(p,1-p) 守卫的混合策略 以q的概率睡(q,1-q)
第一节 混合策略与期望支付
一、混合策略 (二)混合策略 2.相对概念:纯策略 每个参与人的非随机性选择 纯粹行动计划,p=100%,1-p=0
第一节 混合策略与期望支付
一、混合策略 (二)混合策略 3.数学刻画 给定博弈G={S1,…,Sn;u1,…,un}以及参 与人i的纯策略Si= {si1,…,sik} 概率分布pi=(pi1,…,pik)为混合策略 其中:0≤ pik ≤1,∑ pik=1, pik=p( sik ) 混合策略组合p=(p1,…,pi,…pn)
两情若是久长时
足球 John 芭蕾 Candy 足球 芭蕾
2,1 0,0
-1,-1
1,2
研究方法:支付等价法
混合策略纳什均衡

03 混合策略纳什均衡的证明 方法
反证法
总结词
通过假设不成立来证明均衡的存在。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法,它首先假设与结论相反的命题成立,然后通过逻辑推理和数学推导,得出矛盾的 结论,从而证明原命题的正确性。在证明混合策略纳什均衡的存在时,反证法可以用来证明当其他玩家采取了最 优策略时,某个玩家采取混合策略能够达到最优结果。
唯一性意味着在给定对手策略的情况下,每个参与者都只有一个最优反应,从而 避免了复杂的策略互动和不确定性。
存在性
混合策略纳什均衡的存在性是指在某 些博弈中,至少存在一个策略组合, 使得每个参与者在给定其他参与者策 略的情况下,采用混合策略是最优的 。
存在性通常通过数学证明和计算机搜 索等方法来证明,但并不是所有博弈 都有混合策略纳什均衡。
混合策略纳什均衡
目录
CONTENTS
• 混合策略纳什均衡的定义 • 混合策略纳什均衡的特性 • 混合策略纳什均衡的证明方法 • 混合策略纳什均衡的应用场景 • 混合策略纳什均衡的局限性 • 混合策略纳什均衡的发展前景
01 混合策略纳什均衡的定义
定义
混合策略纳什均衡是一种博弈论中的均衡概念,它描述了在 给定对手策略的情况下,参与者如何选择最优策略以最大化 自己的期望收益。
代数法是一种通过数学符号和公式进行推 理和证明的方法。在证明混合策略纳什均 衡的存在时,代数法可以用来推导和证明 纳什均衡的条件和性质,利用代数性质和 技巧来证明均衡的存在。
04 混合策略纳什均衡的应用 场景
经济学
竞争策略分析
混合策略纳什均衡在经济学中被用于分析竞 争策略,特别是在不完全竞争市场和寡头垄 断市场中。通过混合策略纳什均衡,可以研 究企业在不确定环境下的最优反应,以及企 业如何通过调整其策略来应对竞争对手的行 为。
混合的策略纳什均衡

流浪汉 寻找工作 流浪
救济 政府
不救济
2 3,
1 -1,
3 -1,
0 0,
虽这模型没有PNE,却有下述的MNE:参与人以一定的概率选择某种 策略,然后计算相应于不同概率的期望效用。
2020/6/17
9
设:政府救济的概率θ=1/2 ; 不救济的概率1-θ=1/2。 流浪汉寻找工作的期望效用: 1/2×2+1/2 ×1=1.5 流浪的期望效用: 1/2×3+1/2 ×0=1.5
✓ 每个参与人都想猜透对方的策略,而每个 参与人又不愿意让对方猜透自己的策略。
这种博弈的类型是什么?如何找到均衡?
2020/6/17
3
2. 混合策略、混合策略博弈和混合策略纳什均衡
• 策略:
– 参与人在给定信息集的情况下选择行动的规则,它规定参与人在 什么情况下选择什么行动,是参与人的“相机行动方案”。
E1(正面)=(-1)×r+1×(1-r)=1-2r 参与人1选取反面的期望效用为
E1(反面)=1×r+(-1)×(1-r)=2r-1
2020/6/17
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参与人1的期望效用为 E1= E1(正面)×q + E1(反面)×(1- q ) =(1-2r)(2q-1)
类似地,得到参与人2的期望效用为
E2= E2(正面)×r + E2(反面)×(1- r ) =(1-2q)(2r-1)
参与人2
正面
反面
参与人1
正面 反面
-1, 1 1,-1
1,-1 -1, 1
由划线法可知,该博弈不存在纳什均衡。 所以采取纯策略不存在稳定的纳什均衡解。
2020/6/17
2
混合策略纳什均衡

第二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、反应对应法
例:扑克牌对色游戏(p77)
先看甲的最优反应,记为r*=R(q): 观察π甲(p甲, p乙)= 2r(1-2q)+(2q-1)
若q 1 / 2 1 2q 0, r越小越好 0, r* R( q) [0,1], 若q 1 / 2 1 2q 0,无论r选什么都无影响 1, 若q 1 / 2 1 2q 0, r越大越好
纯策略(确定性)
q*=R(r)
(陈明德语) r 1 3/4
r*=R(q)
0 1/4 1 q (钟信德语)
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第三节 寻找多重纳什均衡
二、反应对应法:情侣博弈
支付的帕累托优势:初步印象 π陈明=r(4q-1)+2(1-q),π钟信=q(4r-3)+(3-2r) r*=0, q*=0 纯策略(确定性)
第三节 寻找多重纳什均衡
例:情侣博弈
两个(多个)纯策略纳什均衡 问题:纳什均衡找完了吗?有无混合策略纳什均衡?
一、支付最大化法
给定混合策略p陈明=(r,1-r); p钟信=(q,1-q) Max π陈明(p陈明, p钟信)=r[3q+(1-q) ]+ (1-r)[0+2(1-q)] =r(4q-1)+2(1-q) r Max π钟信(p陈明, p钟信)=q (2r+0)+ (1-q)[r+3(1-r)] =q(4r-3)+(3-2二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、反应对应法
例:扑克牌对色游戏(p77) 无纯策略NE 给定混合策略p甲=(r,1-r); p乙=(q,1-q)
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• • • • • • • 混合策略与期望支付 计算混合策略纳什均衡的三种方法 支付最大值法 支付等值法 反应函数法 多重纳什均衡及其甄别 混合博弈在现实经济中的运用案例
§剪刀、石头、布的游戏
• 每个同学跟后面一排对应的同学玩剪刀、石 头、布的游戏. • 玩二十次,将结果记下来 • 赢了十次以上同学举起手来 • 告诉我你有什么秘决 • 怎么样才能赢得多?
讨论
• 尽管混合策略不像纯策略那样直观,但它确实是 一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比赛、 垒球比赛、划拳就是这样的例子,在这一类博弈 中,参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不 被对方所预测。 • 经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收 检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等都 可以看成猜谜博弈。
• 答案是否定的。 • 事实上,局中人的选择仍然是很有讲究的, 策略选择的好坏对局中人的利益仍然有很大 的影响。 • 在这个零和博弈里,无论双方采用哪种策略 组合,结果都是一方输一方赢,而输的一方 又总是可以通过单独改变策略而反输为赢。 如果哪个局中人能找到对手方的规律或者偏 好,他就能猜测到对手的策略而采用针对性 策略从而保证赢。
1 0 1
4 1
如果一个混合策略是流浪汉的最优选择,那一定意味 着政府在救济与不救济之间是无差异的,即: v G 1, 4 1 v G 0 ,
0 .2
• 解二:支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择,那一定意 味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的, 即:
§扑克牌对色游戏
• 甲乙玩扑克牌对色游戏,每人都有红黑两张 扑克牌,约定如果出牌颜色一样,甲输乙赢, 如果出牌颜色不一样,则甲赢乙输。 • 找到这个博弈的纳什均衡。
乙 红 黑 1, -1 -1, 1
红
甲
-1, 1 1, -1
黑
§ 反应函数法
• 假设甲、乙均采用混和策略,随机地以p的概率出 红牌和以(1-p)的概率出黑牌,而乙则随机地以q的 概率出红牌和以(1-q)的概率出黑牌。
策略 得益 博弈方1 (0.8,0.2) 2.6 博弈方2 (0.8,0.2) 2.6
夫妻之争的混合策略纳什均衡
看看这个博弈有几个均衡?
丈夫 时装 时装 妻 子 2, 1 足球 0, 0
之二
• 假设采用混合策略是税务机关的最优选择 那么给定p ,纳税人选择逃税和不逃税的期 望收益相等: • -(a+F) p +0(1- p)= -a • 得p *=a/(a+F)
说明
• • • • • • 如果税收机关检查概率小于p*, 即p<a/(a+F),纳税人的最优选择是逃税; 如果税收机关检查的概率大于p*, 即p=a/(a+F),纳税人的最优选择是不逃税; 如果税收机关检查的概率等于p*, 即p=a/(a+F),纳税人的选择无差异。
混合战略纳什均衡
• p *=a/(a+F), q*=C/(a+F)即税收机关以a/ (a+F)的概率检查,纳税人以C/(a+F)的概率 选择逃税。 • 这个均衡的另一个可能的解释是,经济中有许多 个纳税人,其中有C/(a+F)的比例的纳税人选 择逃税,(1- C/(a+F))比例选择不逃税;税 收机关随机地检查a/(a+F)比例的纳税人的纳 税情况。 • 思考一下:在这个博弈中,检查成本C,罚款F和应纳 税款数额a对纳税人逃税的影响是怎么样的?为什 么会有这样的影响?
2 q (1 2 p ) ( 2 p 1)
乙 红q 红p 甲 黑1-p -1, 1 1, -1 黑1-q 1, -1 -1, 1
§ 反应函数
• A的目标是期望支付越大越好。我们之所以把A的 期望支付整理成不含p的一项和含p的一项这个样 子,是因为A只能选择p而不能q,因此,A能通过 选择p来影响第一项,而不能直接影响第二项。 (1-2q)>0即q<1/2时,A把p选择等于1最好;当 (1-2q)<0即q>1/2时,A把p选择等于0最好;当 (1-2q)=0即q=1/2时,A可以在[0,1]之间随便 选择一个p。这样我们可以得到A的反应函数是, 同样道理我们可以得到B的反应函数。 • 0, 如果q>1/2 1, 如果p>1/2 • p [0,1], 如果q=1/2 q [0,1], 如果p=1/2 • 1, 如果q<1/2 0, 如果p<1/2
纳什均衡的存在性
{ S 1 , S n ; u 1 , 中, un} i 1,),则该博弈 n
纳什定理:在一个由n个博弈方的博弈G
如果n是有限的,且 都是有限集(对 Si 至少存在一个纳什均衡,但可能包含混合策略。
• 证明过程省略,主要根据是布鲁威尔和角谷的不动点定理。
• 纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析 核心概念的根本原因之一。
• 解一:支付最大化
• 流浪汉的期望效用函数为:
L
2 1 0
0 .5
解二:支付等值法
• 政府选择救济策略
1
期望效用 v G 1,
• 政府选择不救济策略
0
期望效用
1 1
3
v G 0 ,
讨论
• 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率 选择纯策略。也就是说,一个参与人选择 不同策略的概率不是由他自己的支付决定 的,而是由他的对手的支付决定的。 • 正是由于这个原因,许多人认为混合策略 纳什均衡是一个难以令人满意的概念。 • 事实上,正是因为它在几个(或全部)策 略之间是无差异的,他的行为才难以预测, 混合策略纳什均衡才会存在。
v L 1, 1 3 v L 0 ,
0 .5
政府和流浪汉的博弈
• • • • • • 如果政府救济的概率小于0.5; 则流浪汉的最优选择是寻找工作; 如果政府救济的概率大于0.5; 则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。 如果政府救济的概率正好等于0.5; 流浪汉的选择无差异。
求解混合策略纳什均衡
1、假定政府采用混合策略:
G ,1
1 的概率选择不救济。
即政府以 的概率选择救济,
2、流浪汉的混合策略为:
LБайду номын сангаас
,1
的概率选择寻找工作,
即流浪汉以
1 的概率选择游闲。
解一:支付最大化 那么,政府的期望效用函数为:
§剪刀、石头、布的游戏
• 因此,秘决在于—— • 自己的策略选择不能预先被对手方知道或猜 测到,在该博弈的多次重复中,博弈方一定 要避免自己的选择具有规律性; • 观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好, 预先猜测对手策略,从而采用针对性策略赢 得这个博弈。
§ 第三章 混合策略纳什均衡
• 纯策略(pure strategies):如果一个策略规 定参与人在一个给定的信息情况下只选择一 种特定的行动。 • 混合策略(mixed strategies):如果一个策 略规定参与人在给定的信息情况下,以某种 概率分布随机地选择不同的行动。 • 在静态博弈里,纯策略等价于特定的行动, 混合策略是不同行动之间的随机选择。
EU
A
p 1 X 1 p 2 X 2 ... p n X n
政府和流浪汉的博弈
• 政府想帮助流浪汉,但前提是后者必须试图寻 找工作,否则,不予帮助;而流浪汉若知道政 府采用救济策略的话,他就不会寻找工作。他 们只有在得不到政府救济时才会寻找工作。他 们获得的支付如图所示:
流浪汉
寻找工作
• 在这个博弈中,检查成本C越高,纳税人逃税的概率 越大;罚款F越高,纳税人逃税的概率越小;应纳税 款越大,纳税人逃税的概率反而越小。 • 应纳税款越大,纳税人逃税的概率反而越小?这 跟我们的假设有关,假定一检查逃税行为就会被 发现;假定检查成本一定,而不是跟应交税额有 关,即应交税额越大,检查成本越高;不考虑纳 税人在应交税额高时贿赂税务人员的积极性越高 的情况。如果放开这些假设,其结果就有可能与 现实更贴近。纳税税款越高,纳税人逃税的概率 越高。
§ 期望支付
• 与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问 题,是局中人支付的不确定性(uncertainty).可用 期望支付(expected payoff)来描述——有个n可 能的取值X1,X2…,Xn ,并且这些取值发生的概率 分别为p1,p2,…,pn,那么我们可以将这个数量指 标的期望值定义为发生概率作为权重的所有可能 取值的加权平均,也就是
这样甲的期望支付是 2 p (1 2 q ) ( 2 q 1) 乙的期望支付是 U B ( p , q ) 1[ pq (1 p )( 1 q )] ( 1)[ p (1 q ) (1 p ) q ] U A ( p , q ) ( 1)[ pq (1 p )( 1 q )] 1[ p (1 q ) (1 p ) q ]
§剪刀、石头、布的游戏
• 我们知道—— • 如果博弈只进行一次,我们无法明确预测博 弈的结果,不管是哪个博弈方,也不管他们 的选择是哪个策略,都不能保证得到较好的 结果。根据我们上一章所学的方法,这个博 弈没有纳什均衡。 • 那么是不是意味着这样的博弈中,你可以随 意选择,结果都一样呢?
§剪刀、石头、布的游戏
A
2, 3
5, 2
B
3, 1
1, 5
对于博弈方1采用的混合策略,博弈方2的支付无差异
pA 3 pB 1 pA 2 pB 5
对于博弈方2采用的混合策略,博弈方1的支付无差异