第三章 混合策略纳什均衡

合集下载

3-混合策略的纳什均衡

3-混合策略的纳什均衡

博弈论教学/混合策略的纳什均衡出自MyKnowledgeBase< 博弈论教学Bread crumbs: Main Page > 博弈论教学/混合策略的纳什均衡目录■1 复习■2 混合策略(Mixed strategy)■2.1 举例/Example■2.2 概念■2.3 纯策略和混合策略■2.4 混合策略的争议■3 混合策略的纳什均衡■3.1 基本概念■3.2 混合策略纳什均衡的存在性/纳什定理■3.3 学术争议与批评■4 混合策略纳什均衡举例■4.1 社会福利博弈Social Welfare Game■4.1.1 博弈分析(方法1:收益无差异)■4.1.2 博弈分析(方法2:图形分析法)■4.1.3 博弈分析(方法3:导数(Derivative)极值法)■4.2 普通例子■4.3 审计博弈(Tax Game)■4.4 激励的悖论[5]■4.5 求解纳什均衡的一般方法■5 多重纳什均衡■5.1 多重纳什均衡举例■5.1.1 夫妻之争■5.1.2 制式问题■5.1.3 市场机会博弈■5.2 多重纳什均衡分析■5.2.1 帕累托上策均衡(Pareto Dominated Equilibrium)■5.2.1.1 帕累托最优Pareto optimality■5.2.1.2 帕累托上策均衡(Pareto Dominated Equilibrium)■5.2.1.3 举例分析■5.2.2 风险上策均衡(Risk-dominant Equilibrium)■5.2.3 聚点均衡(Focal Points Equilibrium)■5.2.4 相关均衡■5.2.5 抗共谋均衡(coalition-proof Nash equilibrium)■6 纳什均衡的意义■7 作业■8 参考文献pure strategy)相对应。

混合策略:在博弈中,博弈方的策略空间为,则博弈方i以概率分布随机在其选策略中选择的“策略”,称为一个“混合策略”,其中,对都成立,且。

3 混合纳什均衡

3 混合纳什均衡

13
混合Nash均衡的解释(2)
纳什均衡要求每个参与人的混合战略是给定对方的混合战略下的最 优选择。因此在社会福利博弈中,* 0 . 2 , *=0.5是唯一的混合战略 纳什均衡。 从反面来说,如果政府认为流浪汉选择寻找工作的概率严格小于0.2, 那么政府的唯一最优选择是纯战略:不救济;
如果政府以1的概率选择不救济,流浪汉的最优选择是寻找工作,这 又将导致政府选择救济的战略,流浪汉则选择游荡。如此等等。
14
混合Nash均衡的解释(3)
流浪汉
政府
流浪汉
寻找工作的概率小于0.2
概率为1:不救济
寻找工作
政府 救济
15
猜谜游戏
求该猜谜游戏 的混合战略纳什 均衡
正面
1 -1, -1
5
社会福利博弈
寻找工作
2
流浪
3 -1,
救济
3, 1
0 0,
不救济
-1,
设:政府救济的概率:1/2 ;不救济的概率:1/2。
流浪汉:寻找工作的期望效用:1/2×2+1/2 ×1=1.5 流浪的期望效用: 1/2×3+1/2 ×0=1.5
因此,流浪汉的任何一种策略都是都是对政府混合战略的最优反应
6
社会福利博弈(2)
寻找工作
2 3, 1
流浪
3 -1, 0 0,
3r+(-1)(1-r)=4r-1
选择纯战略不救济的效用为:
-1r+0(1-r)=-r
如果一个混合战略(而不是纯战略) 是政府的最优选择,一定意味着政府 在救济与不救济之间是无差异的。
救济
不救济
-1,
4r-1=-r

第三讲_混合策略纳什均衡

第三讲_混合策略纳什均衡

混合策略
◆混合策略定义:在n人博弈的策略式表述 G S1, , Sn ; u1, , un Si Si1, , SiK ,那么,概率 中,假定参与人 i 有K个纯策略: 分布 pi pi1 , , piK 称为 i 的一个混合策略,这里
pik p(sik ) 是 i 选择 sik 的概率,对于所有
这个故事曾经被很多人当作博弈论的例 子来演绎,但实际上这个故事与博弈论无关。 博弈论会假定所有局中人都是理性的,不能假 定一些局中人聪明而另一些局中人却是傻子。 当田忌出下马时,齐威王最好的选择是出下马 而不是上马。孙膑的计谋中假定齐威王是傻子 ,当田忌出下、上、中马时,他仍然按上、中 、下马出,当然要输了。事实上,当田忌出下 马时,齐威王应出下马,但齐威王出下马时, 田忌不应出下马而是出中马,但此时齐威王又 应出中马而不是下马了,……。这样,博弈不 会有纯战略的均衡。

-2,3
2,2
假定老板选择混合战略(0.2,0.8) 工人选择“偷懒”期望支付为(-1)×0.2+3×0.8=2.2 工人选择“不偷懒”(期望)支付为2×0.2+2×0.8=2 工人应选择“偷懒” 老板选择“监督” “不偷懒’……

假定老板选择混合战略(0.5, 0.5) 工人选择“偷懒”期望支付 0.5 为 (-1)×0.5+3×0.5=1 工人选择“不偷懒”期望支 0.5 付为2×0.5+2×0.5=2 工人应选择“不偷懒” 老板选择“不监督” 工人选择“偷懒’……
由 VA =VB 可得 :q=0.8 博弈方2:
VB =3q (1 q)
博 弈 方 1
A B
VC =3 p (1 p)
VD =2 p 5(1 p)

混合策略纳什均衡

混合策略纳什均衡
(红 ) r 1 1/2 0 1/2 1 q (红)
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
r*=R(q)
反应对应曲线
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、反应对应法
例:扑克牌对色游戏(p77)
再看乙的最优反应,记为q*=R(r): 观察π乙(p甲, p乙)= 2q(2r-1)-(2r-1)
若r 1 / 2 2r 1 0, q越大越好 1, q* R( r ) [0,1], 若r 1 / 2 2r 1 0,无论q选什么都无影响 0, 若r 1 / 2 2r 1 0, q越小越好
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、反应对应法
例:扑克牌对色游戏(p77)
先看甲的最优反应,记为r*=R(q): 观察π甲(p甲, p乙)= 2r(1-2q)+(2q-1)
若q 1 / 2 1 2q 0, r越小越好 0, r* R( q) [0,1], 若q 1 / 2 1 2q 0,无论r选什么都无影响 1, 若q 1 / 2 1 2q 0, r越大越好
解:Max π甲(p甲, p乙) r Max π乙(p甲, p乙) q
f.o.c. 2r-1=0
r*=1/2
混合策略纳什均衡是甲在策略空间{红,黑}上以概率分布 p甲*= (1/2,1/2)进行选择,乙也在策略空间{红,黑}上以概率p乙*= (1/2,1/2)进行选择
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、支付最大化法
例:扑克牌对色游戏(p77)
无纯策略NE 给定混合策略p甲=(r,1-r); p乙=(q,1-q) π甲(p甲, p乙)=r[q(-1)+(1-q) 1]+ (1-r)[q1+(1-q)(-1)] = 2r(1-2q)+(2q-1) π乙(p甲, p乙)=q [r1+(1-r)(-1)]+ (1-q)[r(-1)+(1-r)1] =2q(2r-1)-(2r-1) f.o.c. 1-2q=0 q*=1/2

混合策略

混合策略

第一节 混合策略与期望支付
二、期望支付 (一)分析 1.概率 (偷,睡)的概率:pq (偷,不睡)的概率:p(1-q) (不偷,睡)的概率:(1-p)q (不偷,不睡)的概率:(1-p)(1-q)
第一节 混合策略与期望支付
二、期望支付 (一)分析 2.期望支付 U小偷=8pq+(-2)p(1-q)+0(1-p)q+0(1p)(1-q)=2p(5q-1) U守卫= (-2) pq+0p(1-q)+8(1p)q+0(1-p)(1-q)=2q(4-5p)
小偷与守卫博弈
无纳什均衡,如何分析?
第一节 混合策略与期望支付
一、混合策略 (二)混合策略 1.表述 参与人按照一定概率,随机从策略 组合中选择一种策略作为实际行动 随机行动的目的:使自己的行为不被 对手预测
混合策略
小偷的混合策略 以p的概率偷,(p,1-p) 守卫的混合策略 以q的概率睡(q,1-q)
第一节 混合策略与期望支付
一、混合策略 (二)混合策略 2.相对概念:纯策略 每个参与人的非随机性选择 纯粹行动计划,p=100%,1-p=0
第一节 混合策略与期望支付
一、混合策略 (二)混合策略 3.数学刻画 给定博弈G={S1,…,Sn;u1,…,un}以及参 与人i的纯策略Si= {si1,…,sik} 概率分布pi=(pi1,…,pik)为混合策略 其中:0≤ pik ≤1,∑ pik=1, pik=p( sik ) 混合策略组合p=(p1,…,pi,…pn)
两情若是久长时
足球 John 芭蕾 Candy 足球 芭蕾
2,1 0,0
-1,-1
1,2
研究方法:支付等价法

混合策略纳什均衡

混合策略纳什均衡

03 混合策略纳什均衡的证明 方法
反证法
总结词
通过假设不成立来证明均衡的存在。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法,它首先假设与结论相反的命题成立,然后通过逻辑推理和数学推导,得出矛盾的 结论,从而证明原命题的正确性。在证明混合策略纳什均衡的存在时,反证法可以用来证明当其他玩家采取了最 优策略时,某个玩家采取混合策略能够达到最优结果。
唯一性意味着在给定对手策略的情况下,每个参与者都只有一个最优反应,从而 避免了复杂的策略互动和不确定性。
存在性
混合策略纳什均衡的存在性是指在某 些博弈中,至少存在一个策略组合, 使得每个参与者在给定其他参与者策 略的情况下,采用混合策略是最优的 。
存在性通常通过数学证明和计算机搜 索等方法来证明,但并不是所有博弈 都有混合策略纳什均衡。
混合策略纳什均衡
目录
CONTENTS
• 混合策略纳什均衡的定义 • 混合策略纳什均衡的特性 • 混合策略纳什均衡的证明方法 • 混合策略纳什均衡的应用场景 • 混合策略纳什均衡的局限性 • 混合策略纳什均衡的发展前景
01 混合策略纳什均衡的定义
定义
混合策略纳什均衡是一种博弈论中的均衡概念,它描述了在 给定对手策略的情况下,参与者如何选择最优策略以最大化 自己的期望收益。
代数法是一种通过数学符号和公式进行推 理和证明的方法。在证明混合策略纳什均 衡的存在时,代数法可以用来推导和证明 纳什均衡的条件和性质,利用代数性质和 技巧来证明均衡的存在。
04 混合策略纳什均衡的应用 场景
经济学
竞争策略分析
混合策略纳什均衡在经济学中被用于分析竞 争策略,特别是在不完全竞争市场和寡头垄 断市场中。通过混合策略纳什均衡,可以研 究企业在不确定环境下的最优反应,以及企 业如何通过调整其策略来应对竞争对手的行 为。

混合的策略纳什均衡

混合的策略纳什均衡

流浪汉 寻找工作 流浪
救济 政府
不救济
2 3,
1 -1,
3 -1,
0 0,
虽这模型没有PNE,却有下述的MNE:参与人以一定的概率选择某种 策略,然后计算相应于不同概率的期望效用。
2020/6/17
9
设:政府救济的概率θ=1/2 ; 不救济的概率1-θ=1/2。 流浪汉寻找工作的期望效用: 1/2×2+1/2 ×1=1.5 流浪的期望效用: 1/2×3+1/2 ×0=1.5
✓ 每个参与人都想猜透对方的策略,而每个 参与人又不愿意让对方猜透自己的策略。
这种博弈的类型是什么?如何找到均衡?
2020/6/17
3
2. 混合策略、混合策略博弈和混合策略纳什均衡
• 策略:
– 参与人在给定信息集的情况下选择行动的规则,它规定参与人在 什么情况下选择什么行动,是参与人的“相机行动方案”。
E1(正面)=(-1)×r+1×(1-r)=1-2r 参与人1选取反面的期望效用为
E1(反面)=1×r+(-1)×(1-r)=2r-1
2020/6/17
15
参与人1的期望效用为 E1= E1(正面)×q + E1(反面)×(1- q ) =(1-2r)(2q-1)
类似地,得到参与人2的期望效用为
E2= E2(正面)×r + E2(反面)×(1- r ) =(1-2q)(2r-1)
参与人2
正面
反面
参与人1
正面 反面
-1, 1 1,-1
1,-1 -1, 1
由划线法可知,该博弈不存在纳什均衡。 所以采取纯策略不存在稳定的纳什均衡解。
2020/6/17
2

混合策略纳什均衡

混合策略纳什均衡
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、反应对应法
例:扑克牌对色游戏(p77)
先看甲的最优反应,记为r*=R(q): 观察π甲(p甲, p乙)= 2r(1-2q)+(2q-1)
若q 1 / 2 1 2q 0, r越小越好 0, r* R( q) [0,1], 若q 1 / 2 1 2q 0,无论r选什么都无影响 1, 若q 1 / 2 1 2q 0, r越大越好
纯策略(确定性)
q*=R(r)
(陈明德语) r 1 3/4
r*=R(q)
0 1/4 1 q (钟信德语)
博弈论 第三章 混合策略纳什均衡
第三节 寻找多重纳什均衡
二、反应对应法:情侣博弈
支付的帕累托优势:初步印象 π陈明=r(4q-1)+2(1-q),π钟信=q(4r-3)+(3-2r) r*=0, q*=0 纯策略(确定性)
第三节 寻找多重纳什均衡
例:情侣博弈
两个(多个)纯策略纳什均衡 问题:纳什均衡找完了吗?有无混合策略纳什均衡?
一、支付最大化法
给定混合策略p陈明=(r,1-r); p钟信=(q,1-q) Max π陈明(p陈明, p钟信)=r[3q+(1-q) ]+ (1-r)[0+2(1-q)] =r(4q-1)+2(1-q) r Max π钟信(p陈明, p钟信)=q (2r+0)+ (1-q)[r+3(1-r)] =q(4r-3)+(3-2二节 混合策略纳什均衡的求解方法
二、反应对应法
例:扑克牌对色游戏(p77) 无纯策略NE 给定混合策略p甲=(r,1-r); p乙=(q,1-q)
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
§ 第三章 混合策略纳什均衡
• • • • • • • 混合策略与期望支付 计算混合策略纳什均衡的三种方法 支付最大值法 支付等值法 反应函数法 多重纳什均衡及其甄别 混合博弈在现实经济中的运用案例
§剪刀、石头、布的游戏
• 每个同学跟后面一排对应的同学玩剪刀、石 头、布的游戏. • 玩二十次,将结果记下来 • 赢了十次以上同学举起手来 • 告诉我你有什么秘决 • 怎么样才能赢得多?
讨论
• 尽管混合策略不像纯策略那样直观,但它确实是 一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比赛、 垒球比赛、划拳就是这样的例子,在这一类博弈 中,参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不 被对方所预测。 • 经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收 检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等都 可以看成猜谜博弈。
• 答案是否定的。 • 事实上,局中人的选择仍然是很有讲究的, 策略选择的好坏对局中人的利益仍然有很大 的影响。 • 在这个零和博弈里,无论双方采用哪种策略 组合,结果都是一方输一方赢,而输的一方 又总是可以通过单独改变策略而反输为赢。 如果哪个局中人能找到对手方的规律或者偏 好,他就能猜测到对手的策略而采用针对性 策略从而保证赢。

1 0 1

4 1
如果一个混合策略是流浪汉的最优选择,那一定意味 着政府在救济与不救济之间是无差异的,即: v G 1, 4 1 v G 0 ,


0 .2
• 解二:支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择,那一定意 味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的, 即:
§扑克牌对色游戏
• 甲乙玩扑克牌对色游戏,每人都有红黑两张 扑克牌,约定如果出牌颜色一样,甲输乙赢, 如果出牌颜色不一样,则甲赢乙输。 • 找到这个博弈的纳什均衡。
乙 红 黑 1, -1 -1, 1


-1, 1 1, -1

§ 反应函数法
• 假设甲、乙均采用混和策略,随机地以p的概率出 红牌和以(1-p)的概率出黑牌,而乙则随机地以q的 概率出红牌和以(1-q)的概率出黑牌。
策略 得益 博弈方1 (0.8,0.2) 2.6 博弈方2 (0.8,0.2) 2.6
夫妻之争的混合策略纳什均衡
看看这个博弈有几个均衡?
丈夫 时装 时装 妻 子 2, 1 足球 0, 0
之二
• 假设采用混合策略是税务机关的最优选择 那么给定p ,纳税人选择逃税和不逃税的期 望收益相等: • -(a+F) p +0(1- p)= -a • 得p *=a/(a+F)
说明
• • • • • • 如果税收机关检查概率小于p*, 即p<a/(a+F),纳税人的最优选择是逃税; 如果税收机关检查的概率大于p*, 即p=a/(a+F),纳税人的最优选择是不逃税; 如果税收机关检查的概率等于p*, 即p=a/(a+F),纳税人的选择无差异。
混合战略纳什均衡
• p *=a/(a+F), q*=C/(a+F)即税收机关以a/ (a+F)的概率检查,纳税人以C/(a+F)的概率 选择逃税。 • 这个均衡的另一个可能的解释是,经济中有许多 个纳税人,其中有C/(a+F)的比例的纳税人选 择逃税,(1- C/(a+F))比例选择不逃税;税 收机关随机地检查a/(a+F)比例的纳税人的纳 税情况。 • 思考一下:在这个博弈中,检查成本C,罚款F和应纳 税款数额a对纳税人逃税的影响是怎么样的?为什 么会有这样的影响?
2 q (1 2 p ) ( 2 p 1)
乙 红q 红p 甲 黑1-p -1, 1 1, -1 黑1-q 1, -1 -1, 1
§ 反应函数
• A的目标是期望支付越大越好。我们之所以把A的 期望支付整理成不含p的一项和含p的一项这个样 子,是因为A只能选择p而不能q,因此,A能通过 选择p来影响第一项,而不能直接影响第二项。 (1-2q)>0即q<1/2时,A把p选择等于1最好;当 (1-2q)<0即q>1/2时,A把p选择等于0最好;当 (1-2q)=0即q=1/2时,A可以在[0,1]之间随便 选择一个p。这样我们可以得到A的反应函数是, 同样道理我们可以得到B的反应函数。 • 0, 如果q>1/2 1, 如果p>1/2 • p [0,1], 如果q=1/2 q [0,1], 如果p=1/2 • 1, 如果q<1/2 0, 如果p<1/2
纳什均衡的存在性
{ S 1 , S n ; u 1 , 中, un} i 1,),则该博弈 n
纳什定理:在一个由n个博弈方的博弈G
如果n是有限的,且 都是有限集(对 Si 至少存在一个纳什均衡,但可能包含混合策略。
• 证明过程省略,主要根据是布鲁威尔和角谷的不动点定理。
• 纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析 核心概念的根本原因之一。
• 解一:支付最大化
• 流浪汉的期望效用函数为:

L
2 1 0


0 .5
解二:支付等值法
• 政府选择救济策略
1
期望效用 v G 1,
• 政府选择不救济策略
0
期望效用
1 1
3

v G 0 ,
讨论
• 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率 选择纯策略。也就是说,一个参与人选择 不同策略的概率不是由他自己的支付决定 的,而是由他的对手的支付决定的。 • 正是由于这个原因,许多人认为混合策略 纳什均衡是一个难以令人满意的概念。 • 事实上,正是因为它在几个(或全部)策 略之间是无差异的,他的行为才难以预测, 混合策略纳什均衡才会存在。
v L 1, 1 3 v L 0 ,


0 .5
政府和流浪汉的博弈
• • • • • • 如果政府救济的概率小于0.5; 则流浪汉的最优选择是寻找工作; 如果政府救济的概率大于0.5; 则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。 如果政府救济的概率正好等于0.5; 流浪汉的选择无差异。
求解混合策略纳什均衡
1、假定政府采用混合策略:
G ,1
1 的概率选择不救济。
即政府以 的概率选择救济,
2、流浪汉的混合策略为:

LБайду номын сангаас
,1

的概率选择寻找工作,
即流浪汉以
1 的概率选择游闲。
解一:支付最大化 那么,政府的期望效用函数为:
§剪刀、石头、布的游戏
• 因此,秘决在于—— • 自己的策略选择不能预先被对手方知道或猜 测到,在该博弈的多次重复中,博弈方一定 要避免自己的选择具有规律性; • 观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好, 预先猜测对手策略,从而采用针对性策略赢 得这个博弈。
§ 第三章 混合策略纳什均衡
• 纯策略(pure strategies):如果一个策略规 定参与人在一个给定的信息情况下只选择一 种特定的行动。 • 混合策略(mixed strategies):如果一个策 略规定参与人在给定的信息情况下,以某种 概率分布随机地选择不同的行动。 • 在静态博弈里,纯策略等价于特定的行动, 混合策略是不同行动之间的随机选择。
EU
A
p 1 X 1 p 2 X 2 ... p n X n
政府和流浪汉的博弈
• 政府想帮助流浪汉,但前提是后者必须试图寻 找工作,否则,不予帮助;而流浪汉若知道政 府采用救济策略的话,他就不会寻找工作。他 们只有在得不到政府救济时才会寻找工作。他 们获得的支付如图所示:
流浪汉
寻找工作
• 在这个博弈中,检查成本C越高,纳税人逃税的概率 越大;罚款F越高,纳税人逃税的概率越小;应纳税 款越大,纳税人逃税的概率反而越小。 • 应纳税款越大,纳税人逃税的概率反而越小?这 跟我们的假设有关,假定一检查逃税行为就会被 发现;假定检查成本一定,而不是跟应交税额有 关,即应交税额越大,检查成本越高;不考虑纳 税人在应交税额高时贿赂税务人员的积极性越高 的情况。如果放开这些假设,其结果就有可能与 现实更贴近。纳税税款越高,纳税人逃税的概率 越高。
§ 期望支付
• 与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问 题,是局中人支付的不确定性(uncertainty).可用 期望支付(expected payoff)来描述——有个n可 能的取值X1,X2…,Xn ,并且这些取值发生的概率 分别为p1,p2,…,pn,那么我们可以将这个数量指 标的期望值定义为发生概率作为权重的所有可能 取值的加权平均,也就是
这样甲的期望支付是 2 p (1 2 q ) ( 2 q 1) 乙的期望支付是 U B ( p , q ) 1[ pq (1 p )( 1 q )] ( 1)[ p (1 q ) (1 p ) q ] U A ( p , q ) ( 1)[ pq (1 p )( 1 q )] 1[ p (1 q ) (1 p ) q ]
§剪刀、石头、布的游戏
• 我们知道—— • 如果博弈只进行一次,我们无法明确预测博 弈的结果,不管是哪个博弈方,也不管他们 的选择是哪个策略,都不能保证得到较好的 结果。根据我们上一章所学的方法,这个博 弈没有纳什均衡。 • 那么是不是意味着这样的博弈中,你可以随 意选择,结果都一样呢?
§剪刀、石头、布的游戏
A
2, 3
5, 2
B
3, 1
1, 5
对于博弈方1采用的混合策略,博弈方2的支付无差异
pA 3 pB 1 pA 2 pB 5
对于博弈方2采用的混合策略,博弈方1的支付无差异
相关文档
最新文档