电磁超声换能器中电磁场及洛伦兹力的快速求解方法

Ci0 M i0
⎡ ⎢
eλi
z
⎣
+ e−λi z
V1 U1
⎤ ⎥ ⎦
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⋅
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
∞ i =1
eai
z
J0
ai r
e − e −ai z1
− ai z2
J1 ai r0
⎪⎫
ai
J
2 0
ai h
⎬ ⎪⎭
(12)
∑ ( ) ∑ ( )( ( ) ) ( ) FSz
=
jωμ0 r0σ 1 Dpm h2
⎧⎪ ∞ ⎨ ⎪⎩ i=1
J1
ai r
Ci0 M i0
⎡⎢eλi z ⎣
+ e−λi z
V1 U1
⎤ ⎥ ⎦
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⋅
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
∞ i =1
eai z
J1
ai r
e − e −ai z1
− ai z2
J1 air0
⎪⎫
ai
J
2 0
ai h
⎬ ⎪⎭
(13)
∑ ( ) ∑ ( ) FDr
=
jωσ1
第 32 卷 第 3 期 2015 年 6 月
应用力学学报 CHINESE JOURNAL OF APPLIED MECHANICS
文章编号：1000- 4939(2015) 03-0390-06
电磁超声换能器中电磁场及 洛伦兹力的快速求解方法
Vol.32 No.3 Jun. 2015
李一力 李勇 刘相彪 闫贝 陈振茂
∞
eai z
h2
i =1
e − e J −ai z1
− ai z2 1
ai
J
2 0
ai h
ai r0
⋅
( ⎡⎣−J1 ai r ) r + (J0 ai r ) z⎤⎦
(1)
式中：μ0 是真空磁导率；J0 和 J1 分别为 0 阶和 1 阶
第一类贝塞尔函数；特征值 ai 是方程 J1(aih)=0 的正 根。r 和 z 为单位矢量。采用式(1)可快速求解在区
析中，初级场磁矢量 A0、次级场磁矢量 AⅡ1、动态
磁场磁矢量 A1 均退化为标量。于是，在区域|z|≤z0
内，根据 ETREE 解析法 A0 可写为
∞
∑ ( ) ( ) A0 r, z = J1 ai r eaizCi0
(2)
i =1
其中
( ( )) Ci0
μ = D e−ai z0 0 sc
χ air1, air2
图 1 EMAT 二维轴对称模型 Fig. 1 2D axi-symmetric model of EMAT
2.1 静态磁场解析表达式
圆柱形永磁体的解析建模可通过库伦方法和 安培电流方法来实现[9]。库伦方法是将永磁体等效 为在磁体两极表面分布的磁荷，而安培电流方法是 将永磁体等效为于磁体圆周面分布的周向面电流。 为了便于静态磁场解析表达式的推导，本文采用安 培电流方法对永磁体进行建模，将永磁体等效为圆 柱形中空薄线圈(外径为 r0)，线圈厚度忽略不计， 该线圈表面电流密度即为 Dpm=NpmIpm/(z2−z1)。其中 Npm和 Ipm分别表示线圈匝数和线圈通入的恒定电流
⎡⎣ai3
h2
J
2 0
ai h
⎤⎦
(3)
这里
( ) ∫ ( ) χ
ai r1, air2
=
xJ ai r2
ai r1
1
x dx
∑ ( ) ( ) =
⎡ ⎢⎣
ai
r1
J
0
ai r1
∞
− 2 J2k +1
k =0
ai r1
⎤ ⎥⎦
−
( ) ∑ ( ) ⎡
⎢⎣air2 J0
ai r2
∞
− 2 J2k +1
强度。
静态磁场无法在非铁磁性金属板内感生涡流，
因此该金属板不会对静态磁场分布造成扰动，故在
静态磁场解析表达式中无需考虑金属板参数(尺寸、
导电率等)。在区域|z|≤z1 内，基于 ETREE 解析法，
圆柱形永磁体激发的静态磁场磁通密度 Bpm 为
( ) ∑ ( ( ) ) ( ) Bpm
r, z
= μ0r0 Dpm
∞
= J1
i =1
ai r
Ci0 M i0
⎡ ⎢e
λi
z
⎣
+
e−λi z
V1 U1
⎤ ⎥ ⎦
(5)
其中
⎧ ⎪Mi0 ⎪ ⎨
=
( λi
+
ai
2ai (λi + ai ) ) ( 2 − ⎡⎣e−λid λi
−
ai
)⎤⎦2
(6)
( ) ⎪⎪⎩UV11
=
e −2 λi d λi
λi − ai + ai
, λi =
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
∞ i =1
J1
ai r
Ci0 M i0
⎡ ⎢
eλi
z
⎣
+
e−λi z
V1 U1
⎤ ⎥
⎫⎪ ⎬
⋅
⎧⎪ ⎨
⎦⎪⎭ ⎪⎩
∞ i =1
ai J0
ai r
Ci0 M i0
⎛ ⎜
eλi
z
⎝
+
e−λi z
V1 U1
⎞⎫⎪ ⎟⎬ ⎠⎪⎭
1引言
超声检测技术是无损检测技术的一个重要分 支，被广泛应用于石油、交通运输、核电等领域的 结构完整性评估中。常规超声检测要求检测探头与 被测试件表面通过耦合剂(如水、油等)直接接触， 检测易受接触面条件限制，且不利于在高温、辐射 等条件下实施检测，效率低。近年来，电磁超声检 测技术的出现为超声检测提供了一种新的技术思 路，其原理主要是利用电磁感应原理在金属结构中 激发超声波，依靠超声波的反射、折射、衍射特性 对结构缺陷实施检测。电磁超声检测的具体实施手 段为：在被测金属试件表面附近放置高频电流激励 下的螺旋线圈，该线圈激发出磁场并在被测试件中
eλi
z
⎝
+
e−λi z
V1 U1
⎞ ⎟ ⎠
J0
ai r
⎤ z⎥ ⎦
(7)
2.3 涡流密度解析表达式
由于动态磁场作用，非铁磁性金属板中存在涡 流 分 布 ( 密 度 为 Dφ) ， 基 于 式 (5) 并 考 虑 关 系 式
(8) 其中 j 为复数的虚部符号。
2.4 洛伦兹力解析表达式
由于静态磁场和动态磁场的共同作用，非铁 磁性金属板内分布的涡流承受洛伦兹力。在区域 −d≤|z|≤0 内任意一点的洛伦兹力解析表达式可由 洛伦兹力定义式推导得出，即
域|z|≤z1 内任意位置处永磁体所激发的静态磁场磁 通密度。值得注意的是：鉴于安培电流方法的等效
法则，在设定 Npm 和 Ipm 时，应满足 Dpm=Mpm。其 中 Mpm 为永磁体的磁化强度。
2.2 动态磁场解析表达式
动态磁场是由螺旋线圈激发磁场(即初级场)和
涡流激发磁场(即次级场)叠加而成。由于螺旋线圈
式中：Bpm_r、Bcond_r、Bpm_z、Bcond_z 分别为静、动态 磁场的 r 分量和 z 分量。结合式(1)、式(7)、式(8)， 可推得 FS 和 FD 的显示形式为
∑ ( ) ∑ ( )( ( ) ) ( ) FSr
=
jωμ0 r0σ 1 Dpm h2
⎧⎪ ∞ ⎨ ⎪⎩ i=1
J1
ai r
基金项目：国家自然科学基金(51477127；E070104)
收稿日期：2014-05-14
第一作者简介：李一力，男，1991 年生，西安交通大学航天航空学院，研究生；研究方向——电磁无损检测。
通讯作者：李勇，E-mail: yong.li@
修回日期：2014-08-18
(西安交通大学 机械结构强度与振动国家重点试验室 核能结构安全检测与完整性评价研究中心 710049 西安)
摘要：电磁超声换能器(EMAT)中电磁场及洛伦兹力的计算多采用有限元仿真，其运算量大且计算 时间长；且已提出的 EMAT 解析模型未考虑换能器的关键部件，即永磁体；也没有推导其激发的 三维非均匀静态磁场解析表达式，导致洛伦兹力的计算结果精度低。对此，本文基于 ETREE(Extended Truncated Region Eigenfunction Expansion)解析法对 EMAT 进行数学建模，模型 中引入了永磁体及其所激发的三维非均匀静态磁场，推导了 EMAT 的电磁场及洛伦兹力理论表达 式。通过与有限元仿真的对比发现，采用本文提出的 EMAT 解析模型计算得到的电磁场及洛伦兹 力与有限元仿真结果吻合很好，且解析求解计算耗时极少，从而验证了此方法的准确性和高效性。 关键词：电磁超声换能器；电磁场；洛伦兹力；解析模型；有限元仿真 中图分类号：TG115.28 文献标识码：A DOI：10.11776/cjam.32.03.B056
第3期
李一力，等：电磁超声换能器中电磁场及洛伦兹力的快速求解方法
391
极小，获取充分收敛的仿真结果需要大量有限元网 格，因此仿真运算量大、耗时长。近年来，国内外 研究者也提出了 EMAT 解析模型[4-5]，但为了简化， 解析模型中设置静态磁场为单向均匀场，没有考虑 永磁体及其所激发的三维非均匀静态磁场，与实际 EMAT 结构不符，不能精准计算 EMAT 的电磁场及 洛伦兹力。鉴于此，本文基于 Extended Truncated Region Eigenfunction Expansion(简称为 ETREE)解 析法[6-8]，提出了 EMAT 高效解析模型。该模型中 不仅引入螺旋线圈，还考虑了永磁体及其激发的三 维非均匀静态磁场，使模型更符合实际 EMAT 结构， 可快速且精确地求解 EMAT 的电磁场及洛伦兹力。