图形变化类规律性问题

2014年全国中考数学试题专题：图形变化类规律性问题一、选择题1. （2014年广西崇左3分）如图，在平面直角坐标系中，A （1，1），B （﹣1，1），C （﹣1，﹣2），D （1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A ﹣B ﹣C ﹣D ﹣A…的规律绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是【 】A ．（﹣1，0）B ．（1，﹣2）C ．（1，1）D ．（﹣1，﹣1）2．（2014年湖北鄂州3分）如图，四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC ⊥BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的是【 】①四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；②四边形A 3B 3C 3D 3是矩形；③四边形A 7B 7C 7D 7周长为a b 8+； ④四边形A n B n C n D n 面积为n a b 2⋅．A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④3．（2014年湖北荆门3分）如图，在第1个△A 1BC 中，∠B=30°，A 1B=CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2=A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3=A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，则第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是【 】A.n1752⎛⎫⋅︒⎪⎝⎭B.n11652-⎛⎫⋅︒⎪⎝⎭C.n11752-⎛⎫⋅︒⎪⎝⎭D.n1852⎛⎫⋅︒⎪⎝⎭5．（2014年湖北十堰3分）根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的【】A．B．C．D．6．（2014年湖北武汉3分）观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是【】A．31 B．46 C．51 D．667．（2014年湖南株洲3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n 步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是【】A. （66，34）B. （67，33）C. （100，33）D. （99，34）8．（2014年江苏苏州3分）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（2，5，底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为【】A．（203，103）B．（163，453）C．（203，453）D．（163，43）9. （2014年山东威海3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4…，则依此规律，点A2014的纵坐标为【】A. 0B.20133332⎛⎫-⨯ ⎪⎪⎝⎭C. ()201423 D.20132332⎛⎫⨯ ⎪⎪⎝⎭10．（2014年山东潍坊3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD 先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为【】A．(—2012,2) B．（一2012，一2） C. (—2013,—2) D. (—2013,2)12. （2014年四川攀枝花3分）如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是【】A ．点FB ．点EC ．点AD ．点C13. （2014年四川宜宾3分）如图，将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是【 】A ．nB ．n 1-C ．n 114-⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1n 414. （2014年重庆市A4分）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为【 】（1） （2） （3） （4）A. 20B. 27C. 35D.4015. （2014年重庆市B4分）下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，……，依此规律，第五个图形中三角形的个数是【 】第三个图形第二个图形第一个图形A 、22B 、24C 、26D 、28二、填空题1. （2014年福建龙岩3分）如图，∠AOB=60°，O1，O2，O3…是∠AOB平分线上的点，其中OO1=2，若O1，O2，O3…分别以为圆心作圆，使得⊙O1，⊙O2，⊙O3…均与∠AOB的两边相切，且相邻两圆相外切，则⊙O2014的面积是▲ （结果保留π）2．（2014年福建莆田4分）如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线3y x3上，则A2014的坐标是▲ ．3．（2014年甘肃天水4分）如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（▲ ）．5．（2014年广东深圳3分）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有▲ ．7．（2014年广西贵港3分）已知点A1（a1，a2），A2（a2，a3），A3（a3，a4）…，A n（a n，a n+1）（n为正整数）都在一次函数y=x+3的图象上．若a1=2，则a2014= ▲ ．89．（2014年贵州遵义4分）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是▲ ．10．（2014年黑龙江龙东地区3分）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止．则AP2014= ▲ ．.11．（2014年黑龙江牡丹江3分）如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为▲ ．．12．（2014年黑龙江牡丹江农垦3分）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是▲ ．14．（2014年湖北江汉油田、潜江、天门、仙桃3分）将相同的矩形卡片，按如图方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为2，宽为1，依此类推，摆放2014个时，实线部分长为▲ ．A B C O,A B C C,A B C C,⋅⋅⋅按如图所示的方式放置．点A1，A2，15．（2014年湖北孝感3分）正方形11122213332=+和x轴上，则点B6的坐标是▲ ．A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y x117．（2014年湖南娄底3分）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n（n为正整数）个图案由▲ 个▲组成．18．（2014年湖南邵阳3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动▲ 次后该点到原点的距离不小于41．19．（2014年江苏淮安3分）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为▲ ．…20. （2014年江苏盐城3分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n的值为▲ ．（用含n的代数式表示，n为正整数）21. （2014年辽宁鞍山3分）如图，在平面直角坐标系中有一个等边△OBA，其A点坐标为（1，0）.将△OBA 绕顶点A 顺时针旋转120°，得到△AO1B1；将得到的△AO1B1，绕顶点B1顺时针旋转120°，得到△B1A1O2；然后再将得到的△B1A1O2，绕顶点O2顺时针旋转120°，得到△O2B2A2…按照此规律，继续旋转下去，则A2 014点的坐标为▲ ．22. （2014年辽宁本溪3分）如图，已知∠AOB=90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB 上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依次作法，则∠AA n A n+1等于▲ 度．（用含n的代数式表示，n为正整数）23. （2014年辽宁丹东3分）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴和y轴上，OA=1，OB=3，连接AB，过AB中点C1分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是点A1、B1，连接A1B1，再过A1B1中点C2作x轴和y轴的垂线，照此规律依次作下去，则点C n的坐标为▲ ．25. （2014年辽宁锦州3分）如图，点B1在反比例函数2yx（x＞0）的图象上，过点B1分别作x轴和y轴的垂线，垂足为C1和A，点C1的坐标为（1，0）取x轴上一点C2（32，0），过点C2分别作x轴的垂线交反比例函数图象于点B2，过B2作线段B1C1的垂线交B1C1于点A1，依次在x轴上取点C3（2，0），C4（52，0）…按此规律作矩形，则第n（n≥2，n为整数）个矩形）A n﹣1C n﹣1C n B n的面积为▲．．26. （2014年辽宁盘锦3分）如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=OB=a，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，CD的延长线交x轴于点E，再以CE为边作第二个正方形ECGF，…，依此方法作下去，则第n个正方形的边长是▲．27. （2014年辽宁营口3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：3y x3=，直线l2：y3x=，在直线l1上取一点B，使OB=1，以点B为对称中心，作点O的对称点B1，过点B1作B1A1∥l2，交x轴于点A1，作B1C1∥x轴，交直线l2于点C1，得到四边形OA1B1C1；再以点B1为对称中心，作O点的对称点B2，过点B2作B2A2∥l2，交x轴于点A2，作B2C2∥x轴，交直线l2于点C2，得到四边形OA2B2C2；…；按此规律作下去，则四边形OA n B n C n的面积是▲．28. （2014年内蒙古赤峰3分）平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是▲ ．29. （2014年山东德州4分）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（▲ ，▲ ）．30．（2014年山东莱芜4分）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC 沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为▲ ．32．（2014年山东泰安4分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（53，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为▲ ．34. （2014年四川达州3分）《庄子．天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图．由图易得：23n 11112222+++⋅⋅⋅+= ▲ ． 35. （2014年四川德阳3分）如图，直线a ∥b ，△ABC 是等边三角形，点A 在直线a 上，边BC 在直线b 上，把△ABC 沿BC 方向平移BC 的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 ▲ ．36. （2014年四川绵阳4分）将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，S 1+S 2+S 3+…+S 2014= ▲ ．37. （2014年四川内江5分）如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是 ▲ ．38. （2014年四川遂宁4分）已知：如图，在△ABC 中，点A 1，B 1，C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点，A 2，B 2，C 2分别是B 1C 1，A 1C 1，A 1B 1的中点，依此类推…．若△ABC 的周长为1，则△A n B n C n 的周长为 ▲ ．39. （2014年四川资阳3分）如图，以O （0，0）、A （2，0）为顶点作正△OAP 1，以点P 1和线段P 1A 的中点B 为顶点作正△P 1BP 2，再以点P 2和线段P 2B 的中点C 为顶点作△P 2CP 3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P 6的坐标是 ▲ ．40. （2014年北京市4分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x y)，，我们把点P (y 1x 1)'-++，叫做点P 的伴随点，已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A ，….若点2A 的坐标为（3，1），则点3A 的坐标为 ▲ ，点2014A 的坐标为 ▲ ；若点2A 的坐标为（a ，b ），对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为 ▲ . 41. （2014年河北省3分）如图，点O,A 在数轴上表示的数分别是0，0.1， 将线段OA 分成100等份，其分点由左向右依次为M 1，M 2……M 99； 将线段OM 1分成100等份，其分点由左向右依次为N 1，N 2……N 99； 将线段ON 1分成100等份，其分点由左向右依次为P 1，P 2……P 99. 则点P 37所表示的数用科学计数法表示为 ▲ ．三、解答题2．（2014年江苏连云港10分）在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达雪描实验.如图，表盘是△ABC ，其中AB=AC ，∠BAC=120°，在点A 处有一束红外光线AP ，从AB 开始，绕点A 逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC 后立即以相同的旋转速度返回A 、B ，到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现，光线从AB 处开始旋转计时，旋转1秒， 时光线AP 交BC 于点M ，BM 的长为（20320-）cm. （1）求AB 的长；（2）从AB 处旋转开始计时，若旋转6秒，此时AP 与BC 边交点在什么位置？若旋转2014秒，此时AP 与BC 边交点在什么位置？并说明理由.6. （2014年山东青岛10分）数学问题：计算23n 1111m m m m+++⋅⋅⋅+（其中m ，n 都是正整数，且m ≥2，n ≥1）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算23n 11112222+++⋅⋅⋅+． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为21122+； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； …第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为23n11112222+++⋅⋅⋅+，最后空白部分的面积是n12． 根据第n 次分割图可得等式：23n n 11111122222+++⋅⋅⋅+=-．探究二：计算23n11113333+++⋅⋅⋅+． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为22233+； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…； …第n 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23n22223333+++⋅⋅⋅+，最后空白部分的面积是n 13． 根据第n 次分割图可得等式：23n n22221133333+++⋅⋅⋅+=-， 两边同除以2，得23n n1111113333223+++⋅⋅⋅+=-⨯．探究三：计算23n11114444+++⋅⋅⋅+． （仿照上述方法，只画出第n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算23n 1111m m m m+++⋅⋅⋅+． （只需画出第n 次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空） 根据第n 次分割图可得等式： ▲ ，所以，23n 1111m m m m+++⋅⋅⋅+= ▲ ． 拓广应用：计算23n 23n 515151515555----+++⋅⋅⋅+． 8. （2014年四川遂宁10分）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin 2A 1+sin 2B 1= ▲ ；sin 2A 2+sin 2B 2= ▲ ；sin 2A 3+sin 2B 3= ▲ ． （1）观察上述等式，猜想：在Rt △ABC 中，∠C=90°，都有sin 2A+sin 2B= ▲ ．（2）如图④，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=513，求sinB ．。