夹逼定理常用放缩
高数 夹逼准则与两个重要极限
对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{sin n}{n}$和$sum_{n=1}^{infty}(1 + frac{1}{n})^{n}$的级数，可以利 用两个重要极限的结论判断其收敛性。
综合应用夹逼准则和两个重要极限
在判断一些复杂级数的收敛性时，可以将夹逼准则和两个重要极限结合起来使用，通过巧妙的放缩和变换， 找到夹逼的级数或函数，从而判断原级数的收敛性。
解答
首先找到与原数列相关的不等式关系， 即∑(ξi1)^2Δxi≤∑f(ξi)Δxi≤∑(ξi)^2Δxi。然 后验证不等式两侧的数列极限是否存 在且相等。对于左侧数列和右侧数列， 当n趋向于无穷大时，其极限均为1/3 （可以通过定积分的几何意义或定积 分计算公式进行验证）。因此根据夹 逼准则，原数列的极限存在且为1/3， 即函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积 分为1/3。
利用(1+1/x)^x在x→∞时的极限为e，可以对一些涉及指数函数的 复杂表达式进行逼近处理。
在求解某些微分方程时，可以利用这两个重要极限简化方程形 式或求解过程。
在概率论与数理统计中，这两个重要极限也经常出现，例如在 求解某些概率分布或统计量的极限性质时。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02
利用第二个重要极限求解幂函数、指数函数相关问题，如求
(1+x)^(1/x)在x=0处的极限值。
结合洛必达法则等其他求极限方法，可以求解更复杂的极限问
03
题。
拓展：其他常见极限形式及求解方法
∞/∞型极限
通过分子分母同除以某个趋于 无穷的变量来转化为0/0型极 限求解。
1^∞型极限
考研数学：夹逼准则的推论
考研数学：夹逼准则的推论夹逼准则是高等数学里求极限的重要方法之一，适用于函数与数列极限的计算及反常积分的计算。
在考研数学中是要求考生重点掌握的一块内容，其考查方式多样，需要考生掌握关于夹逼准则的重点题型和基本的放缩技巧，同时也要会使用并证明夹逼准则的推论：无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，下面重点讲解该推论的证明及应用。
一、夹逼准则（函数）：如果（1）当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时，()()();g x f x h x ≤≤（2）0lim ()x x g x A →=，0lim ()x x h x A →=，则0lim ()x x f x →存在，且等于A 。
此准则必须对所求极限的函数进行适当放大和缩小，且经放大和缩小得到的函数的极限易求且相等。
夹逼准则的关键在于，找两个极限值相同的函数()g x 和()h x ，使得()()()g x f x h x ≤≤。
二、夹逼准则的推论：无穷小量⨯有界量=无穷小量即0lim ()0x x f x →=，且当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时，存在0M >，使得()g x M ≤，则0lim ()()0x x f x g x →=。
证明：由条件可得()()()f xg x M f x ≤即()()()()Mf x f xg x M f x -≤≤因为0lim ()0x x f x →=，故00lim ()lim ()0x x x x M f x M f x →→-==，由夹逼准则可得0lim ()()0x x f x g x →=例：求极限201lim sin x x x→分析：由于0x →时，2x 为无穷小量，1sinx 的极限虽然不存在，但1sin 1x ≤，因此为有界量，根据推论可得该极限为0。
解：由于20lim 0x x →=，且1sin 1x ≤，所以201lim sin 0x x x →=。
极限的夹逼定理及应用
极限的夹逼定理及应用在数学领域，极限是一个重要且基础的概念。
极限的夹逼定理是一种常见的极限求解方法，它在数学推导以及实际应用中扮演着关键的角色。
本文将介绍极限的夹逼定理的定义、原理以及其在数学和科学领域的应用。
一、极限的夹逼定理的定义和原理极限的夹逼定理，又称为夹逼准则或夹逼定理，是在求解极限问题时经常使用的方法之一。
它是基于一个基本观察：如果一个函数在某个点附近夹在两个趋于相同极限的函数之间，那么这个函数也将趋于相同的极限。
具体来说，设函数f(x)，g(x)，h(x)在点x=a的某个去心邻域内，满足以下条件：1. 对于所有的x，都有g(x)≤f(x)≤h(x)；2. lim[x→a]g(x)=lim[x→a]h(x)=L。
那么，当x趋近于a时，函数f(x)也将趋近于L，即lim[x→a]f(x)=L。
这个夹逼定理的原理直观而简洁。
通过将一个函数夹在两个已知极限相同的函数之间，我们可以确定该函数的极限值。
二、极限的夹逼定理的应用1. 极限的证明：极限的夹逼定理可以用于证明某个函数的极限存在或者不存在。
通过找到两个较为容易求解极限的函数，将待求解函数夹在两者之间，即可得到待求函数的极限值。
2. 应用于数列的极限求解：在数列的极限求解过程中，夹逼定理也起到了重要的作用。
通过将待求解的数列夹在两个已知数列之间，可以求得数列的极限。
3. 积分和导数的计算：夹逼定理在计算积分和导数时也有广泛的应用。
通过将待求解函数夹在两个已知函数之间，可以确定积分和导数的范围和结果。
4. 物理学中的应用：夹逼定理在物理学中也有许多应用。
例如，当我们研究一个系统的性质时，往往需要通过夹逼定理来确定其边界条件或者极限行为。
总结：极限的夹逼定理是数学中一种重要的计算方法，它可以用于证明极限的存在性、求解数列极限以及计算积分和导数等。
在实际应用中，夹逼定理在数学、物理学以及其他科学领域都有广泛的应用。
通过夹逼定理，我们可以更加准确地求解和分析各种问题，为我们的研究和实践提供有力的数学工具和理论支持。
夹逼法则在中学数学解题中的应用
若 a = 1, 3 sin2B + 7 sin2C − sin2A = sin A sin B sin C, 求
2
2
∆ABC 面积的最大值.
= (cos A cos B + sin A sin B) (sin A cos B + cos A sin B) = sin A cos A (sin2B +cos2B) + sin B cos B (sin2 A+cos2A)
√
bc sin A − 2bc cos A
√
√
5bc, 从而 sin√A − 2 cos A √ 5, 即
5
25
5 sin (A − φ) 5, 其中 cos φ = , sin φ = . 因此
5
5
sin (A − φ)
1, 又 sin (A − φ) √
1,√故 sin (A − φ) =√ 1, 即
= sin A cos A + sin B cos B
于是有 cos A + cos B = 2. 不妨设 cos A
cos B 1,
1,
则
sin
(
πsin B ) 2 −A
sin A, 由于 y =
π 2
−
B
A, 即
sin A
= cos A sin
sin
x
在
( 0,
π
π
2 A+B
2
B )
π 2
上且递sisn增in(,Bπ2故−π2B−) , 于是 A + B =
f (x) = ]
22 ;
按照这种做法继续下去
11 1
夹逼定理运用
夹逼定理运用夹逼定理（Squeeze theorem）是一种常用的极限求解方法，它可以用于证明一个函数在某一点的极限值。
其基本思想是，当一个函数在某一点附近夹在两个函数之间时，如果这两个函数的极限值相等，那么夹在中间的函数的极限值也必须等于它们的极限值。
具体来说，设函数f(x)、g(x)和h(x)在某一点x=a附近夹逼，即对于任意正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有：f(x) ≥g(x) ≥h(x) -ε则有：lim(x->a) f(x) = lim(x->a) g(x) = lim(x->a) h(x)这就是夹逼定理的基本结论。
夹逼定理的运用非常广泛，下面列举几个例子：1. 证明一个数列的极限存在：假设存在数列{a_n}，且对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|a_n -a_m| < ε。
那么根据夹逼定理，数列{a_n}的极限存在，且等于a。
2. 证明一个函数的极限存在：假设存在函数f(x)，且对于任意正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x) - L| < ε。
那么根据夹逼定理，函数f(x)在x=a处的极限存在，且等于L。
3. 证明一个函数的导数存在：假设存在函数f(x)，且对于任意正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x+h) - f(x)| < εh，其中h是一个足够小的正数。
那么根据夹逼定理，函数f(x)在x=a处的导数存在，且等于L。
夹逼定理的应用非常广泛，可以用于证明极限、函数的导数、函数的连续性等问题。
在使用夹逼定理时，需要注意夹逼定理的前提条件，即夹逼定理要求存在两个函数，它们在某一点的极限相等，且夹在中间的函数的极限也等于它们的极限。
夹逼定理word版
一、夹逼准则及第一个重要极限1、 准则I 如果数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足下列条件（1）n n n x y z ≤≤(1,2,....)n =（2）lim n n x a →∞=，lim n n z a →∞=则数列{}n y 的极限存在，且lim n n y a →∞= .证明 由lim n n x a →∞=⇒0ε∀>,1N ∃,当1n N >时，有 n x a ε-<⇒n a x ε-<又由lim n n z a →∞=⇒对上述ε，2N ∃，当2n N >时，有n z a ε-<⇒n z a ε+<取12{},N max N N =，则对上述0ε>，当n N >时，有 n n n x y z ≤≤， n a x ε-<， n z a ε+< 从而有n n n y z a x a εε≤≤<-+< 即 n y a ε-<,故 lim n n y a →∞=.上述极限存在准则可以推广到函数的极限情形，即:2、准则II 设函数()f x ，()g x ，()h x 满足(1) ()()()f x g x h x ≤≤ （ 当0,()U x x δ∈ (或x M >)时）；(2)0()lim ()x xx f x A→∞→=，0()lim ()x xx h x A→∞→=.则 0()lim ()x x x g x →∞→存在且等于 A .上述两个准则都称为夹逼准则. 举例 例1 求2n n→∞++++解因为2111n nn≤+++≤+又因为 lim1,lim 1n n→∞→∞==所以 由夹逼准则得21111n n →∞+++=+.3、第一个重要极限： 0sin lim 1x xx→=证明：在单位圆中， 有 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形 （如图1-35）而 sin x CB =，x AB =，tan x AD =. 所以111sin tan 222x x x <<， 即 sin tan x x x <<,从而得 sin cos 1xx x <<.因为函数sin xx 与cos x 都是偶函数，所以在区间(,0)2π-内，sin cos 1xx x<<也成立.135图-故对于一切满足不等式 02x π<<的x 都有sin cos 1xx x<< 由 0limcos 1x x →= 及夹逼准则可得0sin lim 1x xx→=.特点与用法：分出两个“0因子”： “sin x ”和“x ”，而与“0因子”无关的极限分开求. 举例例1 求 0tan lim x xx →解 00tan sin 1lim lim()cos x x x x x x x →→=⋅00sin 1lim lim 1cos x x x x x→→=⋅=.例2 求201cos lim x xx →-解 201cos lim x x x →-2202sin 2lim x x x →=20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭211122=⋅=.例3 求 1lim(1)tan 2x x x π→-解 设 1y x =-，即1x y =-，当1x →时，0y →，则1lim(1)tan2x x x π→-0(1)lim tan2y y y π→-=0lim cot2y yy π→=2lim coslim cos22sin sin222y y yyyyyy ππππππ→→=⋅=⋅2π=.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1、极限的保号性很重要:设A x f x x =→)(lim 0,(i)若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (ii)若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。
2、极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限与0x x →的极限。
要特别注意判定极限就是否存在在:(i)数列{}的充要条件收敛于a n x 就是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的就是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件就是其奇子列与偶子列都收敛于a ”(ii)A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则(v)两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理)(vi)柯西收敛准则(不需要掌握)。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件就是:εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o时，恒有、使得当二.解决极限的方法如下:1、等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2、洛必达(L’ho spital)法则(大题目有时候会有暗示要您使用这个方法)它的使用有严格的使用前提。
首先必须就是X 趋近,而不就是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然就是趋近于正无穷的,不可能就是负无穷。
其次,必须就是函数的导数要存在,假如告诉f(x)、g(x),没告诉就是否可导,不可直接用洛必达法则。
另外,必须就是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况:(i)“00”“∞∞”时候直接用 (ii)“∞•0”“∞-∞”,应为无穷大与无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
夹逼定理定义
夹逼定理定义夹逼定理是一种在数学分析中常用的方法，用于证明函数的极限存在或值的唯一性。
它是通过夹逼函数的方式来确定函数的性质，从而得出结论。
在本文中，我们将详细介绍夹逼定理的原理和应用。
夹逼定理的原理很简单，它基于一个基本观察：如果一个函数在某个点附近被两个其他函数夹在中间，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数也存在极限，并且极限值与这两个函数的极限值相等。
具体来说，设函数f(x)在点a附近有定义，且存在两个函数g(x)和h(x)，满足以下条件：1. 对于a附近的所有x，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)；2. lim(x→a) g(x) = lim(x→a) h(x) = L。
根据夹逼定理，我们可以得出结论lim(x→a) f(x) = L，即函数f(x)在点a处的极限存在，并且极限值为L。
夹逼定理的应用非常广泛。
它可以用于证明函数的极限存在，以及求解极限值。
在证明函数的极限存在时，我们可以通过构造夹逼函数来限定函数f(x)的取值范围，从而推导出极限的存在性。
而在求解极限值时，我们可以通过找到两个函数夹逼住目标函数，并且这两个函数的极限值相等，从而得出极限的值。
夹逼定理的应用还可以扩展到其他数学领域，如积分和微分等。
在积分中，夹逼定理可以用于证明定积分的存在性和求解定积分的值。
在微分中，夹逼定理可以用于证明导数的存在性和计算导数的值。
举个例子来说明夹逼定理的应用。
考虑函数f(x) = sin(x)/x，在x 趋于0时，我们希望求出f(x)的极限值。
首先，我们知道sin(x)是有界的，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
所以，我们可以构造两个函数g(x) = sin(x)/x 和 h(x) = 1/x，满足对于x≠0，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
接下来，我们分别计算g(x)和h(x)在x趋于0时的极限。
由于lim(x→0) sin(x)/x = 1，同时lim(x→0) 1/x = ∞，根据夹逼定理，我们可以得出lim(x→0) f(x) = 1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
夹逼定理常用放缩
夹逼定理是微积分中的重要定理之一，它常被用于求解极限、证明不等式等问题。
在实际应用中，我们经常需要对函数进行放缩，以便更好地利用夹逼定理求解或证明问题。
本文将介绍夹逼定理的基本概念和常用放缩技巧。
1. 夹逼定理的基本概念
夹逼定理（又称为挤压定理或夹挤定理）是一种通过比较函数与其他已知函数之间的关系来研究函数性质的方法。
它的核心思想是找到两个已知函数，一个上界函数和一个下界函数，使得待研究的函数始终被这两个函数夹在中间。
形式化地说，设有三个函数f(x)、g(x)和ℎ(x)满足以下条件：
g(x)≤f(x)≤ℎ(x),∀x∈I
其中I是一个区间。
如果当x趋于某个数a时，g(x)和ℎ(x)的极限都等于某个数L，那么f(x)的极限也等于L。
即：
lim x→a g(x)=lim
x→a
ℎ(x)=L⇒lim
x→a
f(x)=L
夹逼定理的直观理解是，如果一个函数在某个点附近被两个函数夹住，而这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个相同的值。
2. 夹逼定理的常用放缩技巧
夹逼定理常用于求解极限问题，下面介绍几种常见的放缩技巧。
2.1 利用已知函数和待求函数的关系
当我们需要求解一个复杂函数f(x)的极限时，可以通过找到一个已知函数g(x)和另一个已知函数ℎ(x)，使得g(x)≤f(x)≤ℎ(x)。
然后我们可以利用已知函数的性质来推导出待求函数的极限。
我们要求解以下极限：
lim x→0sinx x
我们可以利用已知的三角函数性质sinx<x<tanx来放缩：
cosx<sinx
x
<1
因为lim x→0cosx=1，所以根据夹逼定理可得：
lim x→0sinx x
=1 2.2 利用已知函数的极限
当我们已知一个函数的极限时，可以利用这个极限来放缩其他函数的极限。
我们要求解以下极限：
lim x→0xsin 1x
由于 −1≤sin 1x ≤1，所以我们有：
−x ≤xsin 1x
≤x 根据夹逼定理和 lim x→0x =0，可得：
lim x→0xsin 1x
=0 2.3 利用已知函数的导数
当我们已知一个函数的导数时，可以利用导数来放缩其他函数的极限。
我们要求解以下极限：
lim x→+∞e −x x n ,n >0
我们可以对 e −x 求导得到 −e −x 。
对于 n >0，有：
−e −x <e −x x n <e −x
根据夹逼定理和 lim x→+∞−e −x =0，可得：
lim x→+∞e −x x n =0
3. 总结
夹逼定理是微积分中常用的工具之一，它通过比较函数与其他已知函数之间的关系来研究函数性质。
在实际应用中，我们可以利用夹逼定理来求解极限、证明不等式等问题。
常用的夹逼定理放缩技巧包括利用已知函数和待求函数的关系、利用已知函数的极限以及利用已知函数的导数。
通过合理选择已知函数和多次应用夹逼定理，我们可以得到更精确的结果。
在使用夹逼定理时，需要注意选择合适的已知函数，并且要保证已知函数和待求函数在某个点附近有相同的性质。
还需要注意边界条件和特殊情况，以确保夹逼定理可以正确应用。
希望本文对你理解夹逼定理常用放缩有所帮助！。