常用的放缩公式(考试时需给出证明过程)
[高考数学]高考导数解答题中常见的放缩大法
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[高考数学]高考导数解答题中常见的放缩大法----27ca19c7-6ea5-11ec-9bda-7cb59b590d7d(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法我相信很多读者在做高考的导数解时都有这样的理解。
他们会先求复函数的导数，然后求导数函数的导数，然后求导数，如果你了解最常见的标度，比如PEP教科书中常用的结论，那么就没有了⑴sinx?x,x?(0,?)，变形即为原点连线斜率小于1.⑵前任？十、1.⑶十、ln（x？1）⑷lnx？十、前，x？0.简单地将这些不等式变形如下：sinx?1，其几何意义为y?sinx,x?(0,?)上的的点与x1?11?lnx?x?1,ex?x?1,ex?ex,lnx??那么很多问题将迎刃而解。
xex例析：（2021年广州一模）设f(x)?ax?lnx?1,若对任意的x?0,f(x)?x?e2x恒成立，求a的取值范围。
伸缩法：用e？十、1可用：xlnx?1xex?(lnx?1)e2x?lnx?(lnx?1)2x?lnx?1?(lnx?1)e?????2xxxx2x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（减少到一个度的函数）LNX？十、1，lnx？x、在哪？1.十、X（简化为双素数函数）LNX？1.1.1.1.十、十、1lnx？十、0 x？1.2.十、2.十、lnx？十、11?x?1?，lnx?x??0?x?1?，xx（放缩成二次函数）lnx?x2?x，ln?1?x??x?12x??1?x?0?，21ln?1?x??x?x2?x?0?将LNX函数还原成反比？1.2.十、1.2.十、1.1，lnx？？十、1.lnx？？0 x？1.x?1x?1xln?1?x??X2X，ln？1.十、十、0磅？1.十、十、0 1? x1？x1？十、第二组：指数放缩（减少到一个度的函数）例如？十、1，前任？x、前任？前任，11x，x?0e?????x?0?，1.Xx111（放大二次函数）ex？1.十、x2？十、0前？1.十、x2？x3226（放缩成类反比例函数）ex?第三组：指对放缩前任？lnx？？十、1.十、1.二第四组：三角函数放缩111sinx？十、坦克斯？十、0辛克斯？十、x2,1？x2？Coxx？1.sin2x。
放缩技巧与放缩法 讲义--高考数学压轴题微专题-解析版
放缩技巧与放缩法放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一.在高考命题的热点一一数列不等式的证明一一中有广泛的应用,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考量.常用的放缩法有增项,减项、利用分式的性质、利用不等式的基本性质,利用已知不等式(如均值不等式,柯西不等式、排序不等式等)、利用函数的性质、利用三角函数的有界性进行放缩等,适当放缩是解决不等式问题的重点也是难点所在.虽然各版教材关于不等式放缩的技巧要求并不高,但高考中和全国数学联赛中经常把对这种方法的考查作为命题的热点,特别是在压轴题中,数列不等式的证明是常考题型.放缩法主要有直接放缩、裂项放缩,并项放缩,加强放缩等几种类型.(1)直接放缩:为了证明不等式A<B,可找一个(或多个)中间量C作比较,若能确定A<C与C<B同时成立,则A<B显然正确(实质就是运用不等式基本性质中的传递性).所谓“放”即把A放大到C,再把C 放大到B;反之,由B缩小经过C而变到A,则称为“缩”,统称为放缩法,放缩法是一种技巧性较强的不等变形,关键是放,缩适当,跨度合理,放不能过头,缩不能不及.(2)裂项放缩:在证明数列不等式中涉及数列求和时,经常出现这类技巧.放缩法常用的结论如下：①1k=2k+k>2k+1+k=2(k+1-k);1 k =2k+k<1k+k-1=2(k-k-1)k∈N*,k>1②1k2<1k(k-1)=1k-1-1k;1k2>1k(k+1)=1k-1k+1;③1k2<1k2-1=1(k-1)(k+1)=121k-1-1k+14绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(3)并项放缩:有些不等式问题,直接放缩无法办到,如果对原不等式中的项进行适当重组,可使原问题出现“柳暗花明又一村”的境地,并项放缩是局部调整法最为简单的一种.G・波利亚也说过“局部提示整体”,局部调整,分段逼近是导致不等式证明,特别是数列不等式证明得以解决的重要分析.(4)加强放缩:有些数列不等式问题若直接证明命题比证明其某个加强命题更困难.这时,我们不妨“欲擒故纵",先通过证明原命题的某个“更强的命题”,从而“顺手牵羊”地解决原命题,这种证明方法称为加强命题法,这是证明数列不等式问题的一种有效方法.总之,有关不等式的证明,在对问题作细致观察的基础上,展开丰富的联想,开启创造性思维的大门,将待处理的问题变化(转化)为目标模式或规范问题,从而使原问题得到解决,是化归思想的体现,运用放缩法证明不等式,其实质是化归思想的运用.典型例题1设a,b,c均为非负实数,求证：a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2(a+b+c)【分析】运用基本不等式证明不等式有时会出现“放缩过头”的状况,使证明陷入僵局,如用a2+b2≥2ab,则有a2+b2≥2ab,同理b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,于是有ab+bc+ca≥a+b+c,而实际上,a+b2≥ab,b+c2≥bc,c+a2≥ca,可得a+b+c≥ab+bc+ca,两者矛盾,说明上述用a2+b2≥2ab来缩小a2+b2有点过头,所以用放缩法变形应当把握好放缩的尺度,注意“适度".【证明】由a2+b2≥2ab,得2a2+b2≥(a+b)2{,即a2+b22≥a+b2,也即a2+b2≥22(a+b).同理可得b2+c2≥22(b+c),c2+a2≥22(c+a).∴a2+b2+b2+c2+c2+a2≥22(a+b)+22(b+c)+22(c+a)=2(a+b+c).2若n是正整数,求证:112+122+132+⋯+1n2<2.【分析】本不等式左边项数很多,不能直接通分,要通过适当放缩才能得出证明.可利用1k2<1k(k-1)=1 k-1-1k进行放大再裂项实施.【证明】∵1 k2<1k(k-1)=1k-1-1k,k=2,3,4,⋯,n.∴1 12+122+132+⋯+1n2<11+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n-1)n=1+1-12+1 2-1 3+⋯+1n-1-1n=2-1n<2 3已知:a,b,c,d都是正数.求证:1<ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b<2【分析】与上例类似,本题不能直接通分,只有采用放缩法,即分母放大分数值缩小,且用ab<a+mb+m(0<a<b,m>0)放大,方可获证.【证明】ba+b+c +cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b>ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d =a+b+c+da+b+c+d=1又由ab<a+mb+m(0<a<b,m>0)可得ba+b+c <b+da+b+c+d,cb+c+d<c+aa+b+c+d,dc+d+a<d+ba+b+c+d,ad+a+b <a+ca+b+c+d,∴b a +b +c +c b +c +d +d c +d +a +a d +a +b <b +d a +b +c +d +c +a a +b +c +d+d +b a +b +c +d +a +c a +b +c +d =2(a +b +c +d )a +b +c +d =2.综上,1<b a +b +c +c b +c +d +d c +d +a +a d +a +b <2得证.4已知:数列a n 满足S n =n 2a n n ∈N * ,S n 是a n 的前$n $项的和,a 2=1.(1)求S n ;(2)证明:32≤1+12a n +1 n <2.【分析】第(1)问,通过累成法求通项a n ，再求前n 项和S n ;第(2)问,通过二项展开式直接放缩.注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及.【解析】(1)当n ≥2时,有\S n =n 2a n,①S n +1=n +12a n +1,② ②-①得(n -1)a n +1=na n ,即a n +1a n =n n -1.∴a n =a n a n -1⋅a n -1a n -2⋅⋯⋅a 3a 2⋅a 2=n -1n -2⋅n -2n -3⋯⋅21⋅1=n -1,又a 1=12a 1,得a 1=0,故S n =n 2a n =n (n -1)2(2)【证明】1+12a n +1 n =1+12n n =C 0a +C 1n ⋅12n +C 2n ⋅12n 2+⋯+C r n ⋅12n r +⋯+C n n ⋅12nn .因此,1+12n n ≥C 0n +C 1n ⋅12n =32(当n =1时取等号).另一方面,易证2n +12n <2n -k 2n -(k +1)(k =0,1,⋯,n -1),则1+12n n =2n +12n n <2n 2n -1⋅2n -12n -2⋯⋯⋅n +1n=2因此,有32≤1+12a n +1n <2,当n =1时,32=1+12⋅1,左边等号成立.5已知：各项均为正数的数列a n 的前$n $项和为S n ,且a 2n +a n =2S n .(1)求证:S n <a 2n +a 2n +14;(2)求证:S n 2<S 1+S 2+⋯+S n <S n +1-12.【分析】第(1)问,运用基本不等式放缩;第(2)问,放缩后构造成等差数列求和.【证明】(1)在条件中,又由条件a 2n +a n =2S n ,有a 2n +1+a n +1=2S n +1,将这两式相喊,∵a n +1=S n +1-S n ,有a n +1+a n a n +1-a n -1 =0.∵a n >0,∴a n +1+a n >0,故a n +1-a n =1.∴a n =1+(n -1)⋅1=n ,S n =n (n +1)2,∴S n =n (n +1)2<12⋅n 2+(n +1)22=a 2n +a 2n +14.(2)∵n <n (n +1)<n +1,∴n 2<n (n +1)2<n +12.∴S 1+S 2+⋯+S n =1⋅22+2⋅32+⋯+n (n +1)2<22+32+⋯+n +12=n 2+3n 22=S n +1-12S 1+S 2+⋯+S n >12+22+⋯+n 2=n (n +1)22=S n26已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=1+n 2na n (n =1,2,3⋯).求证:a n +1>a n ≥3-n +12n -1.【分析】运用累加法结合放缩法证明.【证明】∵a n +1=1+n 2na n ,∴a n +1与a n 同号,又∵a 1=1>0,∴a n >0即a n +1-a n =n 2n a n >0,即a n +1>a n ,∴数列a n 为递增数列.∴a n ≥a 1=1,即a n +1-a n =n 2n a n 运用累加法得:a n -a 1≥12+222+⋯+n -12n -1令S n =12+222+⋯+n -12n -1,∴12S n =122+223+⋯+n -12n 错位相㖪得:12S n =12+122+123+⋯+12n -1-n -12n ∴S n =2-n +12n -1,由a n -a 1≥S n =2-n +12n -1得a n ≥3-n +12n -1故得a n +1>a n ≥3-n +12n -1.7已知f (x )=-12x 2+x +1,x n +1=f x n ,n ∈N *,且1<x 1<2.(1)当n ≥2时,求证:1<x n <32;(2)试确定一个正整数N (N ≥2),使得当n >N 时,都有x n -2 <132.【分析】第(1)问，探究数列的单调性得到一个不等式模型依次放缩，逐步通向结论;第(2)问,将通项依等比递缩的形式进行放缩持续靠近目标.【解析】(1)证明∵x n +1=-12x 2n +x n +1=-12x n -1 2+32,∴x n +1<32,从而x n <32.又当1<x 1<2时,有x 2=-12x 1-1 2+32,故x 2是x 1∈(1,2)上的递㖅函数.∴x 2=-12x 1-1 2+32∈1,32 .同理可得x 3=-12x 2-1 2+32易知x 3是x 2∈1,32 上的递减函数,且x 3∈32-18,32 ⊊1,32 .由此依次迭代可得x n ∈1,32n ∈N *,n ≥2 .(2)因为x x +1-2 =-x 2n 2+x n +1-2 =-x 2n -22+x n -2 =x n -22 ⋅x n +2-2 <x n -22 ⋅32+2-2 <12x n -2 ∴x n -2 <12 x n -1-2<122 xn -2-2<⋯<124 xn -4-2|当n =0时,有x 6-4-2 =x 2-2 <12,由此可得,当取N =6时,能使得当n >N 时,都有x n -2 <132.强化训练1求证:1+12+13+14+⋯+12n -1+12n >1+n 2n ≥2,n ∈Z + .【解析】证明:先将原数列各项分别“组合”,得左=1+12+13+14 +15+16+17+18 +19+110+⋯+116+⋯+12n -1+1+12n -1+2 +⋯+12n >1+12+14+14 +18+18+18+18 +⋯+116+116+⋯+116+⋯+12n +12n +⋯+12n=1+12+12+⋯+12n 个=1+n 2.2已知数列a n 满足a 1=12且a n +1=a n -a 2n n ∈N * .(1)求证:1≤a n a n +1≤2n ∈N * ;(2)设数列a 2n 的前n 项和为S n .求证:12(n +1)≤S n n ≤12(n +1).【解析】证明:(1)由题意得a n +1-a n =-a 2n ≤0,即a n +1≤a n ,a n ≤12.由a n =1-a n -1 a n -1得a n =1-a n -1 1-a n -2 ⋯1-a 1 a n >0,由0<a n ≤12,得a n a n +1=a n a n -a 2n =11-a n ∈1,2 .即1≤a n a n +1≤2.(2)由题意得a 2n =a n -a n ,故S n =a 2n +a 2n +⋯+a 2n =a n -a 2 +a 2-a 3 +⋯+a n -a n +1 =a n -a n +1,由a 2n =a n -a n +1,得1a n +1-1a n =a n a n +1,又由1 知,1≤a n a n +1≤2,∴1≤1a n +1-1a n ≤2.即1≤1a 2-1a 1≤2,1≤1a 3-1a 2≤2,1≤1a 4-1a 3≤2,⋯,1≤1a n +1-1a n≤2,以上各式相加得n ≤12-1a n +1-1a 1≤2n .∴n +2≤1a n ≤2n +1 ,即12n +1 ≤a n +1≤1n +2,∴12-1n +2≤a 1-a n +1≤12-12n +1,即n 2n +2 ≤S n ≤n 2n +1 ,∴12n +2 ≤S n n ≤12n +1.3设数列a n 满足a n +1=a 2n -na n +1,n ∈N *.(1)当a 1=2时,求a 2,a 3,a 4,并由此猜测出a n 的一个通项公式(不需要证明);(2)当a 1≥3时,用数学归纳法证明a n ≥n +2;(3)当a 1=3时,求证:11+a 1+11+a 2+⋯+11+a n <12.【解析】(1)令n =1,a n =12 n +1<12.令n =2,则a 3=a 2=a 22-a 2+1=4-2+1=3;令n =3,则a 4=a 23-3a 3+1=16-12+1=5;猜测a n =n +1.(2)(1)当n =1时,a 1≥3=1+2,不等式成立;(2)假设当n =k 时结论成立,即a k ≥k +2,则a k +1=a 2k -ka k +1=a k a k -k +1≥k +2 k +2-k +1=2k +2 +1>k +3=k +1 +2.即n =k +1时,结论也成立,由(1)(2)可知,a n ≥n +2.(3)证明:由2 知,a n +1=a n a n -n +1≥2a n +1,即a n +1+1≥2a n +1 ,于是11+a n +1≤12⋅11+a n∴11+a n ≤12⋅11+a n -1≤12 2⋅11+a n -2≤⋯≤12 n -1⋅11+a 1=12 n +1故11+a 1+11+a 2+⋯+11+a n ≤12 2+12 3+⋯+12n +1=12 n 1-12 n1-12=12-12 n +1<12.。
常见方程放缩公式
常见方程放缩公式在数学中，方程的放缩是一种常见的运算方法，它可以通过改变方程的系数或变量的取值范围来简化方程或得到更多的解。
以下是一些常见的方程放缩公式：一次方程对于一次方程 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知的常数，可以进行下列放缩：1. 求解 x 的值：x = -b/a。
通过将方程中的 a 和 b 带入这个公式，可以得到方程的解。
2. 改变系数：如果方程的系数 a 和 b 都乘以相同的非零常数 k，得到新的方程 kax + kb = 0。
这样做不改变方程的解，但可以简化计算过程。
二次方程对于二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b 和 c 是已知的常数，可以进行下列放缩：1. 求解 x 的值：使用二次方程公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)计算方程的实根。
2. 改变系数：如果方程的系数 a、b 和 c 都乘以相同的非零常数 k，得到新的方程 kax^2 + kbx + kc = 0。
这样做不改变方程的解，但可以简化计算过程。
指数方程对于指数方程 a^x = b，其中 a 和 b 是已知的常数，可以进行下列放缩：1. 求解 x 的值：使用对数运算，x = log(base a)b。
通过将方程的底数 a 和结果 b 带入这个公式，可以得到方程的解。
2. 改变底数和结果：如果方程的底数 a 和结果 b 都乘以相同的非零常数 k，得到新的方程 (ka)^x = kb。
这样做不改变方程的解，但可以简化计算过程。
对数方程对于对数方程 log(base a)x = b，其中 a 和 b 是已知的常数，可以进行下列放缩：1. 求解 x 的值：使用指数运算，x = a^b。
通过将方程的底数 a 和结果 b 带入这个公式，可以得到方程的解。
2. 改变底数和结果：如果方程的底数 a 和结果 b 都乘以相同的非零常数 k，得到新的方程 log(base ka)x = kb。
放缩法简介
放缩法的定义所谓放缩法，要证明不等式A<B成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B，这种证法便称为放缩法。
放缩法是不等式的证明里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换法，函数法，数学归纳法等。
放缩法的主要理论依据（1）不等式的传递性；（2）等量加不等量为不等量；（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。
放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法。
放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项。
（2）在分式中放大或缩小分子或分母。
（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。
（4）应用函数的单调性进行放缩。
（5）根据题目条件进行放缩。
（6）构造等比数列进行放缩。
（7）构造裂项条件进行放缩。
（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。
使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度。
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。
所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。
总结放缩法是一种有意识地对相关的数或者式子的取值进行放大或缩小的方法。
如果能够灵活掌握运用这种方法,对比较大小、不等式的证明等部分数学试题的解题能起到拔云见雾的效果,尤其针对竞赛问题,是一种解决问题的很好方法,所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的"度",否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。
放缩法相关例题[例1] 证明：1/2-1/(n+1)<1/2^2+1/3^2+......+1/n^2<(n-1)/n (n=2,3,4...)解:∵1/2^2+1/3^2+......1/n^2>1/2*3+1/3*4+......+1/n*(n+1)=1/2-1/ 3+1/3-1/4+......+1/n-1/(n+1)=1/2-1/(n+1)即左侧1/2^2+1/3^2+......1/n^2<1/1*2+1/2*3+......+1/(n-1)*n=1-1/2+1/2-1 /3+......1/(n-1)-1/n=1-1/n 即右侧∴1/2-1/(n-1)<1/2^2+1/3^2+......+1/n^2<(n-1)/n。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k .例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}na 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k a b +>.例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .例6.已知nn n a 24-=,nnn a a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n xn,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩 例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ .例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n nn ααααααα 例10.求证:nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++证明2n a e <.例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明三、分式放缩例19. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n 也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、分类放缩 例21.求证:212131211nn >-++++例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列}{n b 满足)()(*3N n nn f b n ∈=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于任意正整数n 都有A T n <？并证明你的结论。
数列放缩篇(所有类型)
数列放缩篇(所有类型)1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+ \cdots +a_{n}。
A。
(1-q) <a_{1}/A < 1.q < 1.这就是无穷等比放缩的模板。
其中，a_{1}表示数列的首项，q表示公比，A表示一个确定的常数。
三步一分放缩证明标准模板如下：第一步：求出qa_{1}/(1-q) = A \Rightarrow q = 1 - a_{1}/A第二步：验证a_{2} < a_{1}q。
a_{3} < a_{1}q^{2}。
\cdots。
a_{n} < a_{1}q^{n-1}是否成立第三步：证明a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+ \cdots +a_{n} < a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots+a_{1}q^{n-1} = a_{1}(1-q^{n})/(1-q) < A其中，第二步是验证步骤，第三步是过程步骤。
如果第一步和第二步验证通过，那么第三步的过程就是显然成立的。
数学归纳法是一个常用的证明方法，其标准三步曲如下：第一步：验证n=1时命题成立；第二步：假设n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立；第三步：由第一步和第二步得出结论，证明命题对所有正整数n成立。
数学归纳法通常用于递推式、矛盾式和求和式的证明。
无穷等比放缩法和数学归纳法都是数学证明中常用的方法，熟练掌握它们可以帮助我们更好地解决数学问题。
1) 当$a_1=2$时，求$a_n$的一个通项公式。
解：由题意可知，$a_{n+1}=a_n+2^n$，因此$a_n=a_{n-1}+2^{n-1}=a_{n-2}+2^{n-2}+2^{n-1}=\cdots=a_1+2^0+2^1+\cdots+2^{n-2}=2^{n-1}+1$，即$a_n=2^{n-1}+1$。
2) 当$a_1\geq 3$时，证明对所有的$a_1\geq 1$，有(i)$a_n\geq n+2$；(ii)$\frac{1}{1+a_1}+\frac{1}{1+a_2}+\cdots+\frac{1}{1+a_n}\l eq 1$。
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结
数列放缩法1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nnnn∈>⋅>++++- .例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a nn a n x f xx x x 给定求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。
例7 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈）例8 已知不等式21111[log ],,2232n n N n n *+++>∈>。
2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。
设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+<n n b ba n再如：设函数()x f x e x =-。
（Ⅰ）求函数()f x 最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n N*∈，有1().1nn k k en e =<-∑ 例9 设n n na )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a3. 部分放缩例10 设++=a n a 21111,23aa a n++≥,求证：.2<n a例11 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++na a a ii . 4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(8)32(++<n n n.例13 设数列}{n a 满足).,2,1(1,211 =+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15 数列{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n x a x x N n ∈． （I ） 证明：对2≥n 总有a x n≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x6 . 换元放缩例16 求证).2,(1211≥∈-+<<*n N n n n n例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4)1(22->a n a n.7 转化为加强命题放缩例18 设10<<a ，定义a a a a a nn +=+=+1,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,212211nx x x x n n n +==+证明.10012001<x例20 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－ （1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1∙a 2∙……a n <2∙n ！8. 分项讨论例21 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a .9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，求证：np p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +-,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<-++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a -<<;（3）判断n a 与1()n a n N *+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，12n =，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n na x xx ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+．例25 已知函数f(x)=x 2-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（x n ,f(x n )）处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）(n ∈N *). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1； （Ⅱ）求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件，并说明理由；（Ⅲ）若x 1=2，求证：.31211111121-≤++++++n n x x x例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
数学所有不等式放缩技巧及证明方法第一篇：数学所有不等式放缩技巧及证明方法高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩例1.(1)求例2.(1)求证:1+(2)求证:/ 7 ∑4kk=1n22-1的值;(2)求证:∑k=1n15<3k2.11171++Λ+>-(n≥2)22262(2n-1)35(2n-1)111111+++Λ+2<-4163624n4n(3)求证: 11⋅31⋅3⋅51⋅3⋅5⋅Λ⋅(2n-1)+++Λ+<2n+1-1 22⋅42⋅4⋅62⋅4⋅6⋅Λ⋅2n(4)求证：2(n+1-1)<1+1+1+Λ+1<2(2n+1-1)23n例3.求证:例4.(2008年全国一卷)设函数6n1115≤1+++Λ+2<(n+1)(2n+1)49n3a-bf(x)=x-xlnx.数列{a}满足0<a1<1.an+1=f(an).设b∈(a1，1)，整数k≥1.证na1lnb明:ak+1>b.mmmmm+1m+1n,m∈N,x>-1,S=1+2+3+Λ+nn<(m+1)S<(n+ 1)-1.例5.已知,求证: +mn例6.已知n例7.已知x1=1,xna=4-2nn32nT+T+T+Λ+T<,Tn=,求证:1.23n2a1+a2+Λ+an111⎧n(n=2k-1,k∈Z)++Λ+>2(n+1-1)(n∈N*)=⎨,求证:4x⋅x4x⋅x4xxn-1(n=2k,k∈Z)⎩23452n2n+1ln2ln3ln4ln3n5n+6二、函数放缩例8.求证：+++Λ+n<3n-(n∈N*).23436ln2αln3αlnnα2n2-n-1(n≥2)例9.求证:(1)α≥2,α+α+Λ+α<2(n+1)23n 例10.求证:例11.求证:(1+2n-3(1+1⨯2)⋅(1+2⨯3)⋅Λ⋅[1+n(n+1)]>e例12.求证:/ 7 11111++Λ+<ln(n+1)<1++Λ+23n+12n111111)(1+)⋅Λ⋅(1+)<e 和(1+)(1+)⋅Λ⋅(1+2n)<e.2!3!n!9813例14.已知a1=1,an+1=(1+例16.(2008年福州市质检)已知函数三、分式放缩例19.姐妹不等式:(1+1)(1+)(1+)Λ(1+11an)a+.n2n证明n+n2<e2.f(x)=xlnx.若a>0,b>0,证明:f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).13151)>2n+1和(1-1)(1-1)(1-1)Λ(1+1)<1也可以表示成为2n-12462n2n+112n+1 1⋅3⋅5⋅Λ⋅(2n-1)2⋅4⋅6Λ⋅2n<>2n+1和2⋅4⋅6⋅Λ⋅2n1⋅3⋅5⋅Λ⋅(2n-1) 例20.证明:(1+1)(1+)(1+)Λ(1+四、分类放缩例21.求证:1+例23.(2007年泉州市高三质检)已知函数1，0].若数列{bn}满足bn=14171)>33n+1.3n-2111n++Λ+n>232-12f(x)=x2+bx+c(b≥1,c∈R)，若f(x)的定义域为[－1，0]，值域也为[－f(n)*(n∈N)，记数列{bn}的前n项和为Tn，问是否存在正常数A，使得对于任意正3n整数n都有Tn<A？并证明你的结论。