第七章 应力状态与应变状态分析

四、为什么要进行应力状态分析？
1、材料力学的强度理论一般是基于主应力的。对于处于一般 受力状态下的微体，要对单元体不同方位微面上的应力变形进 行分析，以确定主应力的方位和大小。 2、可以加深对应力是一个张量的理解，不同方位微面上的应 力值对应于应力张量的坐标变换。 3、应力状态分析是学习弹性体力学的基础。
斜弯曲、拉(压)弯曲组合
My Iz
dM dQ Q q dx dx
惯性矩，平行轴定理
d2w M 挠曲线方程-积分法求解 2 dx
弯曲变形
位移叠加法
载荷叠加、逐段钢化
dw dx
静不定梁的计算 静定基
wmax w , max 合理刚度设计 梁的刚度条件 L L
• 应力的点的概念; • 应力的面的概念; • 应力状态的概念.
FN M z
FQ
横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明： 同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的 点的概念。
x'y'
x'
xy
x'y'
yx
x'
x
微元平衡分析结果表明：即使同一点
不同方向面上的应力也是各不相同的，此
x y
0 45
x y 2 2 max （ ） xy tg21 x y 0 1 00 2 2 xy min
破坏分析
低碳钢 : s 240MPa; s 200MPa
灰口铸铁 : Lb 98~280MPa
对上述方程消去参数（2），得：
x
y O
y
x
xyx

x y x y 2 2 xy 2 2 n

由德国工程师：Otto Mohr引入）
2
2
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
x y
2
sin 2 xy cos 2
n D( ,
2 0
OE OC EC
x
x y
2 x y 2 x y 2 x y 2
R cos[ 180o ( 2 2 0 )] R cos( 2 2 0 )
即应力的面的概念。
应 力
指明
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合，称之 为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。
二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为 这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。 三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 三、单元体： 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质——a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
y
y
z
z
xy
x
x
四、普遍状态下的应力表示
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):
过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分
量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相
离。
证明 : 单元体平衡
y
y
M
z
0
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
3
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x y 2 m ax x y 2 ±（ ） xy 2 2 m in
0 极值正应力就是主应力 ！
0

2 xy
y
x
y O x
xy
1 max ; 2 max
1在剪应力相对的象限内，
且偏向于x 及y较大的一侧。 y
y
主 单元体
七、主单元体、主平面、主应力：
y
y x
主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。 主平面(Principal Plane)： x
z
z
剪应力为零的截面。
主应力(Principal Stress ）：
2 1
主平面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
材料的基本变形回顾 轴 向 拉 伸 压 缩 轴 的 扭 转 变 形 梁 的 弯 曲 变 形
连续性假设、各向同性假设、均匀性假设 平面假设
基本假设 圣维南原理 单向受力假设 轴力 内力 扭矩 弯矩、剪力 拉压 弯曲
N A
应力
T IP
My I z , QSz I z b
第七章 应力和应变分析
§7–1 应力状态的概念 §7–2 平面应力状态分析——解析法 §7–3 平面应力状态分析——图解法 §7–4 §7–5 §7–8 三向应力状态研究——应力圆法 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律） 复杂应力状态下的变形比能
§7–１ 应力状态的概念 一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P M 低碳钢 铸铁拉伸 铸铁压缩 P
以 AC 为半径画莫尔圆 2、算出心标 0C = -40，半径
R AC AD2 DC 2 50
20 E
C B(y ,yx)
A(x ,xy)

R(cos 2 cos 2 0 sin 2 sin 2 0 )
x y
2
cos 2 xy sin 2
y

y
n
三、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， )
强度
max
max
E
E G 2 1
应力应 变关系
G FN l l EA
T d dx GI P
变形
d 2w M x 2 dx EI
d T dx GI P
刚度

max
wmax , L L
始单元体
xy
xy
x y 0 Mn xy WP
求极值应力
yx
y O
x y 2 2 1 x y （ ） xy 2 2 2
2 xy
x
1 ; 2 0; 3
tg2 0
2 xy

x
xy
面的法线
x n D( , C O 2 O x
应力圆的半径
A(x ,xy)
两面夹角 且转向一致。
两半径夹角2 ；

B(y ,yx)
四、在应力圆上标出极值应力

max
21 O C B(y ,yx) 20
x A(x ,xy)
1 OC R半径 3
低碳钢
yb 640~960MPa; b 198 ~300MPa
铸铁
§7–3
平面应力状态分析——图解法 一、应力圆（ Stress Circle）
y x
y O x
xy

x y x y cos2 xy sin2 2 2 x y sin2 cos2 xy 2
y

y x n D( , C O 2 O
n
二、应力圆的画法 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x，xy)和 B(y，yx) x

x
xy
A(x ,xy)
AB与 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画 圆——应力圆；
x y
2
（
x y
2
2 2 ） xy
3 2
1

min
max max min R半径 2 min
x y 2 2 （ ） xy 2
例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体
30 80
单位：MPa
80 30
x 80 , y 0 , 30 1、取 x , y的中点C为圆心
z
z
xy
x
x
xy yx
六、原始单元体（已知单元体）：
[例1] P 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 A P
x
A
x yx
y
B z P M
x
zx
C
x
B
xz
x
C
xy
三、基本变形的应力状态
1、单向拉伸和压缩 2、扭转
3、纯弯曲
4、横力弯曲
平面应力状态
与Z轴相关的应力为零
O

x
y
y
x
yx
图2

F 0
n
n
S x S cos2 xy S cos sin
y Ssin 2 yx Ssin cos 0
O

y x
y
考虑剪应力互等和三角变换，得：
xy
x
图1
x y x y cos2 xy sin 2 2 2
铸铁
P P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
根据微元 的局部平衡：
y'
x
x'
x'y'
x'
x
拉中有剪
x
y'
yx
x'
xy xy
x'y'
yx
x'
剪中有拉
重要结论
不仅横截面上存在应力，斜截面上也存 在应力；不仅要研究横截面上的应力，而 且也要研究斜截面上的应力。
2、应力的三个重要概念
max
处理方法：变形协调方程、物理 超静定问题
方程与平衡方程相结合，求全部
未知力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
梁的弯曲回顾
剪力-弯矩 计算简图：梁的类型，支座形式
剪力、弯矩的正负符号，剪力弯矩方程
弯曲内力
剪力图-弯矩图
剪力-弯矩与载荷集度的关系 对称弯曲正应力
弯曲应力
对称弯曲切应力
梁的强度条件
梁的非对称弯曲
FS S z ; I z b 合理强度设计
2
x
xy 1
d 令: d
0
1
x y tg21 2 xy
O
x
x y 2 2 max ± （ ）x y 2 min
0 1
4 , 即极值剪应力面与主平面成450
[例2] 分析受扭构件的破坏规律。
yx
C M C
解：确定危险点并画其原
y
1 4
z
2 3
x
y
FQy
1
1
x
Mz Wz
1 4
z
Mx Wp
Mz
1
3
Mz Wz
x
2 3
Mx
Mx 4 Wp
x
4
4
3
Mx Wp
y x
y
一、任意斜截面上的应力 规定： 截面外法线同向为正；
xy
x
图1
绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：

B(y ,yx)
以上由单元体公式 下面寻求： 由应力圆
应力圆（原变换）
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2 2 0 )] R sin( 2 2 0 ) ( R cos 2 0 ) sin 2 ( R cos 2 0 ) cos 2
同理：
O

x
y
y
x
yx
图2

x y sin 2 xy cos2 2
n
O

二、极值应力
d 令: x y sin2 0 2 xy cos2 0 0 d 0
由此得两个驻点：
01、（ 01 ）和两个极值： tg20 x y 2
x
zx
B
xz
x
x
A
x
§7–2 平面应力状态分析——解析法 平面应力状态一般形式
y
y
等价
y x
y
xy
z
x
x
xy
x
O
示例一：
l/2
FP
S平面
l/2
5 4
3 2 1
x
FP 2
S平面
FP l Mz 4
5 4 3 2
1
2 2
1
1
2
x
2
3
3
3


l
示例二
S
FP a
S平面