平面接地导体边界
电像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
静电场的边值问题
1静电场的边值问题1．镜象法的理论依据是（）。
基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（）。
2．根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。
以便以简单的形式表达边界条件。
将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（）3．将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。
原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。
4．（）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。
在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。
5．用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（）。
A．镜像电荷是否对称 B．电位所满足的方程是否未改变C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C∇⨯=，其中的J（）。
6.微分形式的安培环路定律表达式为H JA．是自由电流密度B．是束缚电流密度C ．是自由电流和束缚电流密度D ．若在真空中则是自由电流密度；在介质中则为束缚电流密度7.在边界形状完全相同的两个区域内的静电场，满足相同的边界条件，则两个区域中的场分布（ ）。
A ．一定相同B ．一定不相同C ．不能断定相同或不相同8.两相交并接地导体平板夹角为α，则两板之间区域的静电场（ ）。
A ．总可用镜象法求出。
B ．不能用镜象法求出。
C ．当/n απ= 且n 为正整数时，可以用镜象法求出。
D ．当2/n απ= 且n 为正整数时，可以用镜象法求出。
9.将一无穷大导体平板折成如图的90°角，一点电荷Q 位于图中（1, π/6）点10. 两个平行于 XOY 面的极大的金属平板，两平板间的距离为 d ，电位差为。
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
保护导体、保护接地导体、保护联结导体、接地导体截面积要求总结
保护导体
保护接地导体
保护联结导体
接地导体
包含了保护联结导体、保护接地导体、接地导体
一般，保护导体就是特指保护接地导体
接到总接地端子的保护联结导体
辅助联结用的保护联结导体
定义
为了安全目的，如电击防护中设置的导体
用于保护接地的保护导体
用于保护等电位联结的导体
用于保护等电位联结的导体
在系统、装置或设备的给定点与接地网之间提供导电通路或部分导电通路的导体
联结外露可导电部分和装置外可导电部分的保护联结导体，其电导不应小于相应保护导体截面积的1/2的导体所具有的电导
满足公式S≥（I/k）√t的要求。
S——保护导体的截面积（mm2）；
I——通过保护电器的预期故障电流或短路电流[交流方均根值（A）]；
t——保护电器自动切断电流的动作时间（s）；
k——系数
3
钢不小于50mm2。
1）有机械损伤防护时，铜导体不应小于2.5mm2，铝导体不应小于16mm2；
2）无机械损伤防护时，铜导体不应小于4mm2，铝导体不应小于16mm2；
埋入土壤的裸接地导体，应满足表54.1。
5
当两个或更多个回路公用一个保护导体时，其截面积应符合下列规定：
1）应根据回路中最严重的预期故障电流或短路电流和动作时间确定截面积，并应符合公式S≥（I/k）√t的要求；
2）对应于回路中的最大相导体截面积时，应按GB/T16895.3-2017表54.2的规定确定。
铝导体不应作为接地导体
6
永久性连接的用电设备的保护导体预期电流超过10mA时，保护导体的截面积应按下列条件之一确定：
1）铜导体不应小于10mm2或铝导体不应小于16mm2；
单相接地的边界条件
单相接地的边界条件单相接地的边界条件是指在电力系统中，其中一个导线接地，而其他导线未接地的情况。
这种接地方式常见于低压电力系统，如家庭用电。
本文将就单相接地的边界条件进行详细介绍。
单相接地的边界条件下，电力系统中只有一个相位导线与地相连，而其他两个相位导线不与地相连。
这样的接地方式常见于低压电力系统，因为低压电力系统的运行安全要求相对较低，而采用单相接地可以降低系统的成本和复杂性。
在单相接地的边界条件下，当接地故障发生时，接地故障电流只能通过接地导线流回地面，而无法形成闭环回到电源。
这就导致了故障电流无法及时被检测到和切除，可能会对电力系统和设备造成损坏。
为了解决单相接地边界条件下的问题，通常采用以下几种方式：1. 接地电阻：在单相接地的电力系统中，可以在接地导线与地面的连接处加入接地电阻。
接地电阻的作用是限制故障电流的大小，使其不超过系统能够承受的范围。
同时，接地电阻也可以帮助减小故障电流的波动，保护电力系统和设备。
2. 故障指示器：为了及时检测和切除接地故障电流，可以在电力系统中设置故障指示器。
故障指示器可以通过检测故障电流的大小和方向来判断是否发生接地故障，并及时切除故障电流。
这样可以有效保护电力系统和设备，减小故障对系统的影响。
3. 接地保护装置：在单相接地的电力系统中，可以使用接地保护装置来提供对接地故障的保护。
接地保护装置可以通过检测故障电流和电压的变化来判断是否发生接地故障，并及时切除故障电流。
这样可以保护电力系统和设备免受接地故障的影响。
4. 绝缘监测装置：为了提高电力系统的绝缘性能，在单相接地的边界条件下，可以使用绝缘监测装置来监测系统的绝缘状况。
绝缘监测装置可以通过检测绝缘电阻和泄漏电流的变化来判断系统的绝缘性能是否正常。
这样可以及时发现并修复绝缘故障，保证系统的安全运行。
单相接地的边界条件在低压电力系统中较为常见，但也存在一定的安全隐患。
为了保护电力系统和设备的安全运行，我们可以采取一系列的措施，如接地电阻、故障指示器、接地保护装置和绝缘监测装置等。
第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理
r
O
d
P(r, ) R q
处理方法：电位叠加原理：
1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q' 的感应电荷， 镜像电荷可采用前面的方法确定q a q, d。 a2 2、为了满足电荷守恒原理。断开接地d线，将电d量为-q'的电荷加 到导体球面上，使这些电荷均匀分布在球面上，使导体球为等势 体，且表面总电荷为零。
l′
2 x2 (z h)2
均匀带电直线的电位分布
z 0，R R z0 0
l ln R C l ln R0
2
2 R
显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。
11
第3 章
例3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点
像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。
7
第3 章
解：用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响， 则z>0空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 1 (
q
q
)
4π0 r 4π0 r 4π0 x2 y2 (z h)
x2 y2 (z h)2
l
2π
r r er
以r 0 为参考点，则电位
r r0
Edr
l 2π
ln
r0 r
l 2π
ln
1 r
C
1）长直线电荷与接地的长直圆柱导体平行，求圆柱外电位分布
在圆柱与线电荷之间，在圆柱内离轴线的距离b 处，平行放置一
根镜像线电荷 ， 代替圆柱导体上的感应电荷.
1.8 静电场的唯一性定理
ρ ∇ U = − →泊 方 , 松 程 ε0
2
静电场 ＋边界条件 的边值 2 问题 or ∇ U 0 →拉 拉 方 ＝ 普 斯 程
物理系：杨友昌 编
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
唯一性定理
• 对于静电场，给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒 对于静电场，给定一组边界条件， 定电场分布？——回答：否！ 电场分布？ 回答： 回答 • 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来 电场的分布唯一 • 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至 关重要 • 理论证明在电动力学中给出，p67 给出普物方式的论证 理论证明在电动力学中给出， • 论证分三步：引理 论证分三步：引理——叠加原理 叠加原理——证明 叠加原理 证明
§8 静电场边值问题的唯一性定理
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
编
一. 典型的静电问题
–给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的 以及各导体的形状、相对位置（ 以及各导体的形状、相对位置（统 称边界条件），求空间电场分布， ），求空间电场分布 称边界条件），求空间电场分布， 即在一定边界条件下求解 泛 定 方 程
Q Q ' r' Q ' + = 0⇒ = ⇒r'Q= −rQ' r r' r Q
2
R b R ' － 有b = ⇒Q = ± Q= ± Q 取 ？ a a a cos θ的系数 三角形
相似
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
第9讲 镜像法
由 d a2 d
(h b)(h b) a2
b h2 a2
b
a l
h
b
a
l
h
两平行导体圆柱的等效电荷
通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这 种方法又称为电轴法。
第9讲 镜像法
五、无限大介质分界平面的镜像
1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像
问题：求解空间中的电位分布（上半空间 及下半空间）。
1、点电荷位于接地导体球面外
镜像电荷的确定
(a2 d 2)q '2 (a2 d '2)q2 2a(dq '2 d 'q2) cos 0
(a2 d 2 )q '2 (a2 d '2 )q2 0
2a(dq
'2
d
'
q
2
)
0
q
'
a d
q
d
'
a2 d
q ' q
或
(舍去）
d ' d
l
l
a
a
hh
图1 两平行导体圆柱
荷密度大，而相背一侧电荷密度较小。
分析方法：将导体表面上的电荷用线密
度分别为 l 、且相距为2b 的两根无限长
带电细线来等效替代。
b
a l
h
b
a
l
h
图2 两平行导体圆柱的等效电荷
第9讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
2、两平行导体圆柱面的镜像 利用线电荷与接地导体圆柱面的
q
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用 等效电荷产生的电位替代。
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(x, y, z) q ( 1 1 ) 4 R R '
q(
1
1
)(z 0)
4 x2 y2 (z h)2 x2 y2 (z h)2
讨论：无限大导体分解面上感应电荷总量
s
Dn
En
n
z
z0
qh
2 (x2 y2 h2 )3/ 2
18 第三章 静电场边值的解法
qin
s sds
内导体带电，电荷量为Q，外导体球壳接地。求介
质中的场强。
设尝试解：
E1r
A1
r r3
E2 r
A2
r r3
E1t E2t
D1n D2n
S
D dS
S1
1E1 dS
S2
2 E2
dS
Q
A
Q
2π1 2
14
第三章 静电场边值的解法
3.2 镜像法
镜像法基本思路：在所研究的场域外的某些适当 位置，用一些虚拟电荷等效替代导体分界面上 的感应电荷或媒质分界面上的极化电荷的影响。
第三章 静电场边值问题的解法
什么是静电场的边值问题
一个已知有界区域中的（静）电场的源
E
E 0
及有界区域边界上电场的边界条件，求解电场的问题
可以分为两步求解： 先求解电位，再求电场强度E 求解电位就是求解 满足给定边界（边值）条件下
2 的解。
电位的定解问题又称为电位的边值问题。
1 第三章 静电场边值的解法
z
q
h
x
导体
16 第三章 静电场边值的解法
等效问题
要求：与原问题边界条件相同 原电荷：q: z = h
镜像电荷(等效电荷):-q：z=-h
取消导体边界面，z >0空间媒 质充满整个空间。
q
z
v R
h
v R'
h q
P(x, y, z) x
17 第三章 静电场边值的解法
由等效问题，可以求出在z>0空间内的电位分布为：
◇ 静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定边 界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。
◇ 常用的方法
解析法 数值法
直接法 间接法
有限差分法（FD） 有限元方法（FEM） 矩量法（MoM）
2 第三章 静电场边值的解法
本章内容
3.1 唯一性定理 3.2 镜象法 3.3 分离变量法 3.4 点电荷密度的 函 数表示 3.5* 格林函数法 3.6* 有限差分法
代回前一式得
(2 ) dV () d S
V
S
10
第三章 静电场边值的解法
证明：第二定理
令式第一定理中的 和交换位置，得
V [ ( )]d V s() d S
将上式与第一定理相减，求得
[2 2)]d V ( ) d S
V
s
得证
11 第三章 静电场边值的解法
证明（反证法）：
二、唯一性定理
唯一性定理内容：在场域V的边界面S上给定电位
或者 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域
n
V内的解唯一。
说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不
n
存在唯一解。
7 第三章 静电场边值的解法
唯一性定理的意义：
1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件；
2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据， 为结果正确性提供了判据。
qh
2 (x2 y2 h2 )3/ 2 dxdy
0
2 0
2
qh (r2 h2 )3/2
rdrd
qh
q
(r2 h2 )/2 0
即：镜像电荷电量与感应电荷电量相等。
19 第三章 静电场边值的解法
2、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像
如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。
要满足在导体平面上电位为零，则 必须引入3个镜像电荷。如图所示。
3 第三章 静电场边值的解法
第三章 作 业
4.2, 4.6 , 4.9, 4.13, 4.22
4 第三章 静电场边值的解法
3.1 唯一性定理
一、边值问题
❖存在边界面的电磁问题。
❖根据给定边界条件对边值问题分类：
➢ 第一类边值问题－狄里赫利(Dirichlet)问题：
已知电位函数整个边界面上的 f 分布值。 S
S
S
所以
φ s φ s φ s 0
φ
2
dV
0
V
C
（2）在边界S上，对于第二类边值问题 f
n n
所以
0 n
φ
2
dV
0
V
C
（3）对于第三类边值问题，在一部分边界上有 φ 0
另一部分边界上有
n n
所以
φ
2
dV
0
C
V
13 第三章 静电场边值的解法
【例2.1.1 】两个同心导体球壳之间充满两种介质。
(x, y, z) q q q q 4 0r1 4 0r2 4 0r3 4 0r4
镜像法理论依据：唯一性定理。 等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处， 故称为镜像电荷。 镜像电荷位置选择原则：
1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。
2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。
15 第三章 静电场边值的解法
一、平面接地导体边界
1、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像
原问题： 无限大接地导体平面（z=0）, 点电荷q：z = h 求：空间中电位分布。
V
s
令：
[2 ()2 ]d V () d S
V
格林第二定理
[2 2)]d V ( ) d S
V
s
9 第三章 静电场边值的解法
证明：第一定理
令，A ,
代入式高斯公式后求得
V () dV s() nˆ d S () dS
又有
() ( ) 2
设满足泊松方程的解有两个： ， 即有： 2 / 2 / 令： *
则有： 2* 2 2 2 0
利用格林第一定理：
[2 2 ]dV 2 dV nˆ d S
V
V
S n
12 第三章 静电场边值的解法
（1）在边界S上，对于第一类边值问题 f , f
3、唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊 松方程）的理论依据。
当直接求解场方程有困难而采用其它方法求解时，如果能 够找到一个函数，使它满足边值条件，并可证明它也满足 场方程的话，则根据唯一性定理可以确信它即是所要求的 解。
8 第三章 静电场边值的解法
补充：标量格林定理
格林第一定理
[2 ( )]d V ( )d S
➢ 第二类边值问题－纽曼（ Neumann ）问题：
已知函数在整个边界面上的法向导数 n S f 。
5 第三章 静电场边值的解法
第三类边值问题（混合边值问题）：
➢已知一部分边界面上的函数值，和另一部 分边界面上函数的法向导数。
S1 f1
n S2 f2
S S1 S2
6 第三章 静电场边值的解法