湖北省鄂东南省级示范高中2016-2017学年高一下学期期中联考数学(理)试题 Word版含答案
2017年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考
高一数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.()sin300cos390tan 135
++-=
31331
2.已知21,,ln x
a b x c x e ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，其中e 是自然对数的底数，则当x e =时，,,a b c 的大小关
系是
A.a b c <<
B.a c b <<
C. c b a <<
D. c a b << 3.已知等差数列{}n a 中，14754
a a a π
++=
，那么()35cos a a += 33-2
2
D.22-
4.已知()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=
+= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值为 A.
16 B. 2213 C. 322 D.13
18
5.若函数()y f x =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将整个函数图象向右平移2
π
个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1sin 2y x =的图象，则()
y f x =的解析式为 A. 1sin 2122y x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭ B. 1sin 2122y x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭ C. 11sin 1224y x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭ D.11
sin 1222y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
6.函数()1x
f x a b =+-（其中01a <<，且01b <<）的图象一定不经过 A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 7.设函数()sin 23266f x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，则
A.()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪
⎝⎭
单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B. ()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C. ()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪
⎝⎭
单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D. ()y f x =在0,
2π⎛⎫
⎪
⎝⎭
单调递减，其图象关于直线2x π=对称 8.设θ是第四象限角，则点()()()
sin sin ,cos sin P θθ在
A. 第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D.第四象限
9.已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝⎭
，且12AB AC AB AC ⋅=-则ABC ∆为 A. 三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C. 等腰非等边三角形
D.等边三角形
10.已知()f x 是奇函数，且对于任意x R ∈满足()()2f x f x -=，当01x <≤时，
()ln 2f x x =+，则函数()y f x =在(]2,4-上的零点的个数为
A. 7
B.8
C. 9
D.10
11.已知,,a b c 分别为ABC ∆的内角A,B,C 的对边，且2
2
2
334a b c ab +-=，则ABC ∆ A. 可能是锐角三角形 B.一定不是锐角三角形 C. 一定为钝角三角形 D.不可能是钝角三角形 12.函数()2sin cos ,0,1sin cos 2x x f x x x x π⎛⎤
=
∈ ⎥++⎝⎦
的最大值为M,最小值为N,
则M-N=
A. 1
2
1 C. 1
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知12,e e 为单位向量且夹角为3
π
，设122,a e e b e =+=，则a 在b 方向上的投影为 .
14.已知数列{}n a 满足()12211,0,1n n n a a a a a n ++===-≥，则2017a = .
15.函数()25261,1
,1
a ax x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围
为 .
16.正项数列{}n a 中，1a 和4a 是方程2
10160x x -+=的两个根，若数列{}2log n a 的前5项
和为5S ，且[]5,1,S n n n Z ∈+∈，则n = .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知向量()()4,5cos ,3,4tan ,0,,.2a b a b πααα⎛⎫
==-∈⊥ ⎪⎝
⎭
（1）求a b -； （2）求()3cos sin 2πααπ⎛⎫
+-- ⎪⎝⎭
.
18.（本题满分12分）已知函数
())
2cos sin 0,3f x x x x x R πωωωω⎛
⎫=⋅->∈ ⎪⎝
⎭，
且函数()y f x =的图象的一个对称中心到它的对称轴的最近距离为
4
π
（1）求ω的值及()f x 的对称轴方程；
（2）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()4
0,sin ,5
f A B a ===，求b 的值.
19.（本题满分12分）已知函数(
)
2
2log 22y ax x =-+的定义域为Q. （1）若0a >，且[]
2,3Q Q =，求实数a 的取值范围；
（2）若[]2,3Q ⊆，求实数a 的取值范围.
20.（本题满分12分）
在等差数列{}n a 中，151617945,36,n a a a a S ++==-为其前n 项和. （1）求n S 的最小值，并求出相应n 的值； （2）求{}
n a 的前项和n T .
21.（本题满分12分）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”，规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花，其余地方种草，若
,AB a DAB θ=∠=，种草的面积为1S ，种花的面积为2S ，比值
1
2
S S 称为“规划和谐度”. （1）试用,a θ表示12,S S ；
（2）若a 为定值，BC 足够长，当θ为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值为多少？
22.（本题满分12分）
已知定义域为[]0,e 的函数()f x ，同时满足：①对于任意的[]0,x e ∈，总有()0f x ≥；②
()f e e =；③若12120,0,x x x x e ≥≥+≤，则恒有()()()1212f x x f x f x +≥+.
（1）求()0f 的值；
（2）证明：不等式()f x e ≤对任意[]0,x e ∈恒成立； （3）若对于任意[]0,x e ∈，总有()()()2
24424410f x e a f x e ea --+-+≥，求实数a 的
取值范围.。
2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高二(下)期中数学试卷(理科)
2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，共60分）1．（5分）命题“∃x0＞0，使得（x0+1）＞1”的否定是（）A．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 B．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1C．∃x0≤0，总有（x0+1）≤1 D．∃x0＞0，使得（x0+1）≤12．（5分）为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=（）A．26 B．24 C．20 D．133．（5分）为了解重庆某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了5户家庭，得到统计数据表，根据表中可得回归直线方程=x+，其中=0.5，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（）A．15万元B．14万元C．11万元D．10万元4．（5分）某地区教学考试的成绩X～N（100，100），成绩X位于区间（110，120]的概率是（）参考数据P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．A．0.6826 B．0.9544 C．0.2718 D．0.13595．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在球O表面上，在球O内任取一点M，则点M在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的概率是（）A．B．C． D．6．（5分）某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K2的观测者k=6.023，根据这一数据查阅如表：得到的正确结论是（）A．有97.5%以上的把握认为“市民收入增减与旅游愿望无关”B．有97.5%以上的把握认为“市民收入增减与旅游愿望有关”C．在犯错误的概率不超过0.25%的前提下，认为“市民收入增减与旅游愿望无关”D．在犯错误的概率不超过0.25%的前提下，认为“市民收入增减与旅游愿望有关”7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞48．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C的对角线相交于点M，则BM与平面ABC所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）高二（7）班参加冬令营的6位同学排成一排照相，甲乙必须相邻且甲、乙、丙必须从左到右的排法种数为（）A．120 B．60 C．36 D．7210．（5分）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（1）x+3，则（）A．f（0）＜f（4）B．f（0）=f（4）C．f（0）＞f（4）D．无法确定11．（5分）已知（1﹣x）10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a10（1+x）10，则a9=（）A．﹣20 B．20 C．﹣10 D．1012．（5分）已知点P是双曲线﹣=1的右支上一点，F1、F2分别为双曲线的F2的内心，若=+λ成立，则λ的值左、右焦点，I为△PF为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，共20分）13．（5分）已知P（A）=，P（AB）=，则P（B|A）=．14．（5分）如图某综艺节目现场设有A，B，C，D四个观众席，现有由5不同颜色的马甲可供现场观众选择，同一观众席上的马甲的颜色相同，相邻观众席上的马甲的颜色不相同，则不同的安排方法种数为．15．（5分）某大厦有一部电梯，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在第10层下电梯的概率为，用ξ表示5位乘客在第10层下电梯的人数，则随机变量ξ的期望E（ξ）=．16．（5分）以下几个命题中真命题的序号为．①在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；②相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强；③用秦九昭算法求多项式f（x）=208+9x2+6x4+x6在x=﹣4时，v2的值为22；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于4的直线有且只有两条．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A是函数y=lg（6+5x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）如图是从成都某中学参加高三体育考试的学生中抽出的40名学生体育成绩（均为整数）的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70，80）内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：（1）求成绩在区间[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；（2）从成绩在[80，100]内的学生中选出三人，记在90分以上（含90分）的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．（1）求f（x）的解析式；（2）求过点A（2，2）的切线方程．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，BC=2，PA=，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥ED；（2）求二面角E﹣PD﹣A的大小．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），短轴长2，两焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B点，点D为椭圆C上一点，四边形AOBD为矩形，求直线l的方程．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）（1）a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤2x2恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证；lnn＞++1+…+（n∈N+）且n≥2．2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，共60分）1．（5分）（2017春•湖北期中）命题“∃x0＞0，使得（x0+1）＞1”的否定是（）A．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 B．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1C．∃x0≤0，总有（x0+1）≤1 D．∃x0＞0，使得（x0+1）≤1【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0＞0，使得（x0+1）＞1”的否定是∀x＞0，总有（x+1）e x≤1．故选：A2．（5分）（2017春•湖北期中）为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=（）A．26 B．24 C．20 D．13【解答】解：由分层抽样得=，解得n=13，故选：D．3．（5分）（2017春•湖北期中）为了解重庆某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了5户家庭，得到统计数据表，根据表中可得回归直线方程=x+，其中=0.5，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（）A．15万元B．14万元C．11万元D．10万元【解答】解：=10，=8．∴=8﹣0.5×10=3．所以回归方程为：=0.5x+3，当x=16时，=0.5×16+3=11．故选C．4．（5分）（2017春•湖北期中）某地区教学考试的成绩X～N（100，100），成绩X位于区间（110，120]的概率是（）参考数据P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．A．0.6826 B．0.9544 C．0.2718 D．0.1359【解答】解：∵考试的成绩X～N（100，100），∴曲线关于x=100对称，根据3σ原则知P（110＜x＜120）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359，故选D．5．（5分）（2017春•湖北期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在球O 表面上，在球O内任取一点M，则点M在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的概率是（）A．B．C． D．【解答】解：设正方体的棱长为a，则外接球的半径为a，∴在球O内任取一点M，则点M在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的概率是=，故选：D．6．（5分）（2017春•湖北期中）某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K2的观测者k=6.023，根据这一数据查阅如表：得到的正确结论是（）A．有97.5%以上的把握认为“市民收入增减与旅游愿望无关”B．有97.5%以上的把握认为“市民收入增减与旅游愿望有关”C．在犯错误的概率不超过0.25%的前提下，认为“市民收入增减与旅游愿望无关”D．在犯错误的概率不超过0.25%的前提下，认为“市民收入增减与旅游愿望有关”【解答】解：∵K2=6.023，6.023＞5.024，∴市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系这一断言犯错误的概率不超过0.025，故选D．7．（5分）（2016•河南模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 0第一圈2 2 是第二圈3 7 是第三圈4 18 是第四圈5 41 是第五圈6 88 否故退出循环的条件应为k＞5？故答案选C．8．（5分）（2017春•湖北期中）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C的对角线相交于点M，则BM与平面ABC所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取AC的中点O，连接OM，则BO⊥平面AA1C1C，所以∠MBO为BM与平面ABC所成角．设正方形的边长为2a，则OM=a，BO=a，∴tan∠MBO=∴∠MBO=30°故选A．9．（5分）（2017春•湖北期中）高二（7）班参加冬令营的6位同学排成一排照相，甲乙必须相邻且甲、乙、丙必须从左到右的排法种数为（）A．120 B．60 C．36 D．72【解答】解：根据题意，假设剩余的3人是A、B、C，先将甲、乙、丙从左到右排好，排好后，除去甲乙之间的空位有3个空位，在3个空位中任选一个，安排A，有C31=3种情况，排好后，除去甲乙之间的空位有4个空位，在4个空位中任选一个，安排B，有C41=4种情况，排好后，除去甲乙之间的空位有5个空位，在5个空位中任选一个，安排C，有C51=5种情况，则一共有3×4×5=60种安排方法；故选：B．10．（5分）（2017春•湖北期中）若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（1）x+3，则（）A．f（0）＜f（4）B．f（0）=f（4）C．f（0）＞f（4）D．无法确定【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，得f′（1）=2+2f′（1），即f′（1）=﹣2，f（x）=x2﹣4x+3，则函数的对称轴为x=2，则f（0）=f（4），故选：B11．（5分）（2017春•湖北期中）已知（1﹣x）10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a10（1+x）10，则a9=（）A．﹣20 B．20 C．﹣10 D．10【解答】解：∵（1﹣x）10=（x﹣1）10=[（1+x）﹣2]10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a（1+x）10，10a9是展开式的第10项的系数，所以a9=（﹣2）1C109=﹣20．故选：A12．（5分）（2017春•湖北期中）已知点P是双曲线﹣=1的右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若=+λ成立，则λ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，设△PF1F2的内切圆的半径为r，则=|PF 1|•r，=|PF2|，=|F1F2|•r，∵=+λ∴|PF1|﹣|PF2|=﹣λ|F1F2|，∵P为双曲线右支上一点，∴2a=λ×2c，由双曲线的方程可知，a=6，b=8，故c=10，∴λ==．故选C．二、填空题（本题共4小题，共20分）13．（5分）（2017春•湖北期中）已知P（A）=，P（AB）=，则P（B|A）=．【解答】解：∵P（A）=，P（AB）=，∴P（B|A）===，故答案为．14．（5分）（2017春•湖北期中）如图某综艺节目现场设有A，B，C，D四个观众席，现有由5不同颜色的马甲可供现场观众选择，同一观众席上的马甲的颜色相同，相邻观众席上的马甲的颜色不相同，则不同的安排方法种数为260．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、对于A区域，可以在5种颜色中选1种，即有5种情况，②、对于B区域，需要在剩下的4种颜色种任选1种，即有4种情况，③、对于C、D区域，若D区域与B区域同色，C区域可以在剩下的4种颜色种任选1种，即有4种情况，若D区域与B区域不同色，则D区域需要在除A、B的颜色外的3种颜色种任选1种，即有3种情况，C区域可以在除B、D的颜色外的3种颜色种任选1种，即有3种情况，则C、D区域有4+3×3=13种情况；则不同的安排方法种数5×4×13=260种；故答案为：260．15．（5分）（2017春•湖北期中）某大厦有一部电梯，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在第10层下电梯的概率为，用ξ表示5位乘客在第10层下电梯的人数，则随机变量ξ的期望E（ξ）=．【解答】解：由题意知，ξ的可能取值是0，1，2，3，4，5，因为每位乘客在第10层下电梯的概率为，有一个人下电梯相当于发生一次试验，∴本题是一个独立重复试验，服从二项分布，即ξ～B（5，），∴随机变量ξ的期望E（ξ）=5×=．故答案为：．故答案为：．16．（5分）（2017春•湖北期中）以下几个命题中真命题的序号为②③④．①在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m⊥β；②相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强；③用秦九昭算法求多项式f（x）=208+9x2+6x4+x6在x=﹣4时，v2的值为22；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于4的直线有且只有两条．【解答】对于①，因为m并不属于α，根据线面垂直的关系定理，不能得到m ⊥β，即错误．对于②，根据线性相关系数r的意义可知，当r的绝对值越接近于1时，两个随机变量线性相关性越强，故正确；对于③，∵f（x）=208+9x2+6x4+x6=（（（（（x）x+6）x）x+9）x）x+208，当x=﹣4时，v0=1，v1=1×（﹣4）=﹣4，v2=﹣4×（﹣4）+6=22，故正确；对于④，过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作直线l与抛物线相交于A、B两点，当直线l的斜率不存在时，横坐标之和等于2，不合题意；当直线l的斜率为0时，只有一个交点，不合题意；∴设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l为y=k（x﹣1），代入抛物线y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0；∵A、B两点的横坐标之和等于5，=4，解得k2=2，∴这样的直线有且仅有两条．故正确；故答案为：②③④三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（2017春•湖北期中）已知集合A是函数y=lg（6+5x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）由条件得：A={x|﹣1＜x＜6}，B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}，若A∩B=φ，则必须满足，所以，a的取值范围的取值范围为：a≥5；（2）易得：¬p：x≥6或x≤﹣1，∵¬p是q的充分不必要条件，∴{x|x≥6或x≤﹣1}是B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集，则，∴a的取值范围的取值范围为：0＜a≤2．18．（12分）（2017春•湖北期中）如图是从成都某中学参加高三体育考试的学生中抽出的40名学生体育成绩（均为整数）的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70，80）内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：（1）求成绩在区间[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；（2）从成绩在[80，100]内的学生中选出三人，记在90分以上（含90分）的人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）根据各组的频率和等于1知，成绩在[70，80）内的频率为：f4=1﹣（0.01×2+0.015+0.020+0.005）×10=0.4，对应的小矩形的高为=0.04，补全频率分布直方图如图所示；依题意，60分及以上的分数在第三、四、五、六段，故其频率和为（0.02+0.04+0.01+0.005）×10=0.75，∴估计学生成绩的及格率是75%；（2）成绩在[80，100]内的人数为（0.01+0.005）×10×40=6，且在[80，90）和[90，100）内的人数分别为4人和2人；∴X的可能取值为0、1、2，计算P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：数学期望为E（X）=0×+1×+2×=1．19．（12分）（2017春•湖北期中）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．（1）求f（x）的解析式；（2）求过点A（2，2）的切线方程．【解答】解：（1）函数f（x）=ax3+bx2+cx的导数为f'（x）=3ax2+2bx+c，依题意，又f'（0）=﹣3即c=﹣3∴a=1，b=0，∴f（x）=x3﹣3x；（2）设切点为（x0，x03﹣3x0），∵f'（x）=3x2﹣3∴切线的斜率为f'（x0）=3x02﹣3，∴切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），又切线过点A（2，2），∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0），∴2x03﹣6x02+8=0，即为2（x0+1）（x0﹣2）2=0，解得x0=﹣1或2，可得过点A（2，2）的切线斜率为0或9，即有过点A（2，2）的切线方程为y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），即为y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0．20．（12分）（2017春•湖北期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，BC=2，PA=，E为BC的中点．（1）证明：PE⊥ED；（2）求二面角E﹣PD﹣A的大小．【解答】（1）证明：如图，在△ABC中，∵AB=1，BC=2，AB⊥AC，∴cosB=，B=60°，又E为BC的中点，∴△ABE为正三角形，则AE=1，在△AED中，∵AE=1，AD=2，∠EAD=60°，∴，∴AE2+ED2=AD2，则AE⊥ED．又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥ED，∵PA∩AE=A，∴ED⊥平面PAE，则PE⊥ED；（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，过E作EG⊥AD，垂足为G，则EG⊥平面PAD，∴EG⊥PD，过G作GH⊥PD，垂足为H，连接EH，∴PD⊥平面EGH，则PD⊥EH．则∠EHG为二面角E﹣PD﹣A的平面角．在Rt△AED中，由AE=1，AD=2，ED=，可得EG=，∴GD=，由△PAD∽△GHD，可得，即GH==．∴tan，即∠EHG=60°．∴二面角E﹣PD﹣A的大小为60°．21．（12分）（2017春•湖北期中）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），短轴长2，两焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B点，点D为椭圆C上一点，四边形AOBD为矩形，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得：2b=2，4a=8，解得b=1，a=2．∴椭圆C的方程为+y2=1．（2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2+8km+4m2﹣4=0，△＞0．∴x1x2=，x1+x2=．∵OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，化为：k2x1x2+km （x1+x2）+m2=0．∴k2×+km×+m2=0．化为：m2=4k2．设线段AB的中点G（x0，y0），则x0==，y0=+m=．∴D，代入椭圆方程可得：+4×=4，化为：16k2m2+4m2=1+8k2+16k4，把m2=4k2代入上述方程可得：3m4+2m2﹣1=0．解得m=，解得k=．∴直线l的方程为y=x．22．（12分）（2017春•湖北期中）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）（1）a=3时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤2x2恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证；lnn＞++1+…+（n∈N+）且n≥2．【解答】（1）解：a=3时，f（x）=lnx+x2﹣3x，（x＞0），f′（x）=+2x﹣3=，△=32﹣8=1＞0，由f′（x）=0，解得x1=，x2=1，当x∈（0，）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）上单调递减；（2）解：f（x）≤2x2，化为：lnx﹣x2﹣ax≤0，∴a≥﹣x，令g（x）=，g′（x）=，令h（x）=1﹣lnx﹣x2，可知：函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．而h（1）=0=g′（1）．∴x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．∴函数g（x）在x=1时取得极大值即最大值，g（1）=﹣1．∴实数a的取值范围是a≥﹣1；（3）证明：令t（x）=lnx﹣，则t′（x）=＞0，∴t（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＞1时，t（x）＞t（1），即lnx﹣＞0，∴lnx＞，令x=1+，则ln（1+）＞，故ln（1+1）＞，ln（1+）＞，…，ln（1+）＞．累加得：ln（n+1）＞，取n=n﹣1，得lnn＞（n≥2）．参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；lcb001；豫汝王世崇；danbo7801；maths；铭灏2016；zlzhan；陈高数；742048；双曲线；sxs123；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年5月10日。
2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高一下学期期中数学试卷(理科)
2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题： (共12题；共24分)1．（2分）sin300°+cos390°+tan （﹣135°）=（ ）A ．√3 ﹣1B ．1C ．√3D ．√3 +12．（2分）已知a= (1e)x，b=x 2，c=lnx ，其中e 为自然对数的底数，则当x=e 时，a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b3．（2分）已知等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7= 54π ，那么cos （a 3+a 5）=（ ）A ．√32B ．﹣ √32C ．√22D ．﹣ √224．（2分）已知tan （α+β）= 25 ，tan （ β+π4 ）= 14，则tan （ α−π4 ）的值为（ ） A ．16B ．2213C ．322D ．13185．（2分）若函数y=f （x ）的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将整个图象沿x 轴向右平移 π2 个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y= 12sinx 的图象，则y=f（x ）的解析式为（ ）A ．y= 12 sin （2x+ π2 ）+1B ．y= 12 sin （2x ﹣ π2 ）+1C ．y= 12 sin （ 12x+ π4 ）+1D ．y= 12 sin （ 12x ﹣ π4 ）+16．（2分）函数f （x ）=a x +b ﹣1（其中0＜a ＜1且0＜b ＜1）的图象一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2分）设函数f （x ）=sin （2x+ π6 ）+ √3 cos （2x+ π6 ），则（ ） A ．y=f （x ）在（0， π2 ）单调递增，其图象关于直线x= π4 对称 B ．y=f （x ）在（0， π2 ）单调递增，其图象关于直线x= π2 对称 C ．y=f （x ）在（0， π2 ）单调递减，其图象关于直线x=π4对称D ．y=f （x ）在（0， π2 ）单调递减，其图象关于直线x= π2 对称8．（2分）设θ是第四象限角，则点P （sin （sinθ），cos （sinθ））在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．（2分）已知非零向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣ 12 ，则△ABC 为（ ） A ．等腰非等边三角形 B ．等边三角形 C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形10．（2分）已知f （x ）是奇函数，且对于任意x ∈R 满足f （2﹣x ）=f （x ），当0＜x≤1时，f （x ）=lnx+2，则函数y=f （x ）在（﹣2，4]上的零点个数是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1011．（2分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且3a 2+3b 2﹣c 2=4ab ，则△ABC（ ）A ．可能为锐角三角形B ．一定不是锐角三角形C ．一定为钝角三角形D ．不可能为钝角三角形12．（2分）函数f （x ）= 2sinx·cosx 1+sinx+cosx，x ∈（0， π2 ]的最大值M ，最小值为N ，则M ﹣N=（ ） A ．√2−12B ．√2 ﹣1C ．2 √2D ．√2 +1二、填空题： (共4题；共8分)13．（2分）已知 e 1⃗⃗⃗⃗ ， e 2⃗⃗⃗⃗ 为单位向量且夹角为 π3 ，设 a ⃗ = e 1⃗⃗⃗⃗ + e 2⃗⃗⃗⃗ ， b ⃗ = e 2⃗⃗⃗⃗ ， a⃗ 在 b ⃗ 方向上的投影为 ．14．（2分）已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=0，a n+2=a n+1﹣a n （n≥1），则a 2017= ．15．（2分）函数f （x ）= {ax 2−6x +a 2+1(x <1)x 5−2a (x ≥1) 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是 ．16．（2分）在正项等差数列{a n }中a 1和a 4是方程x 2﹣10x+16=0的两个根，若数列{log 2a n }的前5项和为S 5且S 5∈[n ，n+1]，n ∈Z ，则n= ．三、解答题 (共6题；共65分)17．（10分）已知向量 a ⃗ =（4，5cosα）， b ⃗ =（3，﹣4tanα），α∈（0， π2 ）， a ⃗ ⊥ b ⃗ ． （1）（5分）求| a⃗ ﹣ b ⃗ |； （2）（5分）求cos （ 3π2+α）﹣sin （α﹣π）．18．（10分）已知函数f （x ）=cosωx•sin （ωx ﹣ π3 ）+ √3 cos 2ωx ﹣ √34（ω＞0，x ∈R ），且函数y=f（x）图象的一个对称中心到它对称轴的最近距离为π4．（1）（5分）求ω的值及f（x）的对称轴方程；（2）（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=0，sinB= 45，a= √3，求b的值．19．（10分）已知函数y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）（5分）若a＞0且[2，3]∩Q=∅，求实数a的取值范围；（2）（5分）若[2，3]⊆Q，求实数a的取值范围．20．（10分）在等差数列{a n}中，a15+a16+a17=﹣45，a9=﹣36，S n为其前n项和．（1）（5分）求S n的最小值，并求出相应的n值；（2）（5分）求T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．21．（10分）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，若AB=a，∠DAB=θ，种草的面积为S1，种花的面积为S2，比值S1S2称为“规划和谐度”．（1）（5分）试用a，θ表示S1，S2；（2）（5分）若a为定值，BC足够长，当θ为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少？22．（15分）已知定义域为[0，e]的函数f（x）同时满足：①对于任意的x∈[0，e]，总有f（x）≥0；②f（e）=e；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤e，则恒有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．（1）（5分）求f（0）的值；（2）（5分）证明：不等式f（x）≤e对任意x∈[0，e]恒成立；（3）（5分）若对于任意x∈[0，e]，总有4f2（x）﹣4（2e﹣a）f（x）+4e2﹣4ea+1≥0，求实数a 的取值范围．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：sin300°+cos390°+tan （﹣135°）=sin （﹣60°）+cos30°+tan （180°﹣135°）=﹣sin60°+cos30°+tan45°=﹣ √32 + √32 +1=1，故选：B ．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．2．【答案】B【解析】【解答】解：x=e 时，a= (1e )x=e ﹣e ，b=x 2=e 2，c=lnx=lne=1，故a ＜c ＜b ， 故选：B ．【分析】求出a ，b ，c 的值，比较大小即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：∵等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7= 56π ，∴a 1+a 4+a 7=3a 4= 54π ，∴a 4=512π ，∴a 3+a 5=2a 4= 56π ， ∴cos （a 3+a 5）=cos 5π6 =﹣cos π6 =﹣ √32．故选：B ．【分析】利用等差数列通项公式求出a 3+a 5=2a 4= 56π ，由此利用诱导公式能求出cos （a 3+a 5）的值．4．【答案】C【解析】【解答】解：∵tan （α+β）= 25 ，tan （ β+π4 ）= 14，∴tan （ α−π4 ）=tan[（α+β）﹣（ β+π4 ）]= tan(α+β)−tan(β−π4)1+tan(α+β)tan(β−π4 = 25−141+25×14= 322 ． 故选：C ．【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可化简求值得解．5．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得，把函数y= 12sinx 的图象沿y 轴向上平移1个单位， 可得函数y= 12sinx+1的图象；再将整个图象沿x轴向左平移π2个单位，可得函数y=12sin（x+ π2）+1的图象；再把横坐标变为原来的12倍，可得函数y= 12sin（2x+ π2）+1=f（x）的图象，故选：A．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式．6．【答案】C【解析】【解答】解：由0＜a＜1可得函数y=a x的图象单调递减，且过第一、二象限，∵0＜b＜1，∴﹣1＜b﹣1＜0，∴0＜1﹣b＜1，y=a x的图象向下平移1﹣b个单位即可得到y=a x+b﹣1的图象，∴y=a x+b的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限，故选：C．【分析】由0＜a＜1可得函数y=a x的图象单调递减，且过第一、二象限，再利用图象的平移，可得结论．7．【答案】D【解析】【解答】解：函数f（x）=sin（2x+ π6）+ √3cos（2x+π6），化简可得：f（x）=sin（2x+ π6+ π3）=cos2x．根据余弦函数的图象和性质，2kπ≤2x≤2kπ+π，可得：kπ≤x≤kπ+π2∴递减区间为[kπ，kπ+π2]，k∈Z．∵对称轴方程2x=kπ，k∈Z．∴函数的对称轴方程为x= π2k，k∈Z．故选D【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增减区间上，解不等式得函数的单调区间；根据对称轴方程求解对称即可．8．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，令t=sinθ，若θ是第四象限角，则﹣1＜sinθ＜0，即﹣1＜t＜0，t为第四象限的角，则sint＜0，cost＞0，则点P 的横坐标小于0，纵坐标大于0，故P 在第二象限； 故选：B ．【分析】根据题意，令t=sinθ，由θ所在的象限分析可得﹣1＜sinθ＜0，分析可得t 为第四象限的角，由三角函数的符号可得sint ＜0，cost ＞0，即可得P 的横纵坐标的符号，即可得答案．9．【答案】A【解析】【解答】解： AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别是 AC⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向的单位向量， 向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在∠BAC 的平分线上，由（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0知，AB=AC ， 由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =﹣ 12 ，可得∠CAB=120°，∴△ABC 为等腰非等边三角形， 故选A ．【分析】利用单位向量的定义及向量的数量积为0两向量垂直，得到等腰三角形；利用向量的数量积求出三角形的夹角，得到非等边三角形．10．【答案】C【解析】【解答】解：由函数f （x ）是奇函数且满足f （2﹣x ）=f （x ）知，f （x ）是周期为4的周期函数，且关于直线x=1+2k （k ∈R ）成轴对称，关于点（2k ，0）（k ∈Z ）成中心对称．当0＜x≤1时，令f （x ）=lnx+2=0，得x= 1e 2 ，由此得y=f （x ）在（﹣2，4]上的零点分别为﹣2+1e 2 ，﹣ 1e 2 ，0， 1e 2 ，2﹣ 1e 2 ，2，2+ 1e 2 ，﹣ 1e 2+4，4共9个零点． 故选C ．【分析】由函数f （x ）是奇函数且满足f （2﹣x ）=f （x ）知，f （x ）是周期为4的周期函数，且关于直线x=1+2k （k ∈R ）成轴对称，关于点（2k ，0）（k ∈Z ）成中心对称，再求出函数的零点，即可得出结论．11．【答案】B【解析】【解答】解：当3a 2+3b 2﹣c 2=4ab ，即a 2+b 2﹣c 2=﹣2a 2﹣2b 2+4ab=﹣2（a ﹣b ）2，∴cosC= a 2+b 2−c 22ab ≤ −2(a−b)22ab≤0，∵C ∈（0，π）， ∴C 不可能为锐角．故选：B．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入得到cosC的范围，确定出C的范围，即可得到结果．12．【答案】B【解析】【解答】解：令t=sinx+cosx= √2（√22sinx+ √22cosx）= √2sin（x+ π4），x∈（0，π2]，可得x+ π4∈（π4，3π4]，当x+ π4= π2即x= π4时，t取得最大值√2，当x+ π4= 3π4即x= π2时，t取得最小值1，则t∈[1，√2]．又t2=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，可得2sinxcosx=t2﹣1，函数y=g（t）= t 2−11+t=t﹣1，由g（t）在t∈[1，√2]递增，可得g（t）的最小值为1﹣1=0，最大值为√2﹣1．即有M﹣N= √2﹣1﹣0= √2﹣1．故选：B．【分析】令t=sinx+cosx，运用两角和的正弦公式，化为一个角的正弦形式，结合条件和正弦函数的图象和性质，可得t的范围，再由两边平方，可得t的函数式，化简后运用一次函数的单调性，即可得到所求最值之差．13．【答案】32【解析】【解答】解：a⃗·b⃗=(e1+e2)·e2⃗⃗⃗⃗= e1·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e2⃗⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗⃗ 2= 12+1= 32，且|b⃗|=1；∴a⃗在b⃗方向上的投影为：|a |cos<a ,b⃗>=|a |·a⃗⃗ ·b⃗⃗|a⃗⃗ ||b⃗⃗ |= a⃗⃗·b⃗⃗|b⃗⃗ |=32．故答案为：32．【分析】可知e1⃗⃗⃗⃗ =e2⃗⃗⃗⃗ =1，且<e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ >=π3，这样即可求出a⃗·b⃗及b⃗的值，从而得出a⃗在b⃗方向上投影的值．14．【答案】1【解析】【解答】解：∵a1=1，a2=0，a n+2=a n+1﹣a n（n≥1），∴a3=a2﹣a1=﹣1，a4=a3﹣a2=﹣1，a5=a4﹣a3=0，a6=a5﹣a4=1，a7=a6﹣a5=1，a8=a7﹣a6=0，a9=a8﹣a7=﹣1，a10=a9﹣a8=﹣1，…，∴a n+6=a n．则a2017=a6×336+1=a1=1．故答案为：1．【分析】利用递推公式可得数列的周期性，即可得出．15．【答案】（52，3]【解析】【解答】解：∵函数f（x）= {ax2−6x+a2+1(x<1)x5−2a(x≥1)是R上的单调递减函数，∴a⃗·b⃗=(e1+e2)·e1·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e2⃗⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗⃗ 212+1|b⃗|=1|a⃗|cos<a⃗，b⃗>=|a⃗|·a⃗⃗·b⃗⃗|a⃗⃗||b⃗⃗ |=a⃗⃗·b⃗⃗|b⃗⃗ |=32<e1⃗⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗⃗ >=π352{ax2−6x+a2+x5−2a(x≥{a>03a≥15−2a<02a2−5≥1，求得52＜a≤3，故答案为：（52，3]．【分析】利用函数的单调性的性质，二次函数、幂函数的性质，求得实数a的取值范围．16．【答案】11【解析】【解答】解：∵在正项等差数列{a n}中a1和a4是方程x2﹣10x+16=0的两个根，∴a1＜a4，解方程得：a1=2，a4=8，d= 8−24−1=2，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n，∴log2a n=log2（2n）=1+log2n，数列{log2a n}的前5项和为S5且S5∈[n，n+1]，n∈Z，∴S5=5+log21+log22+log23+log24+log25=8+log215∈[11，12]，∴n=11．故答案为：11．【分析】推导出a n=2n，从而log2a n=log2（2n）=1+log2n，进而S5=5+log21+log22+log23+log24+log25=8+log215，由此能求出结果．17．【答案】（1）解：由题意，a⃗⊥b⃗．∴a⃗• b⃗=0，即12﹣20sinα=0，可得sinα= 35．∵α∈（0，π2）∴cosα= 45，tanα= 43．∴向量a⃗=（4，4），b⃗=（3，﹣3），那么：a⃗﹣b⃗=（1，7）则| a⃗﹣b⃗|= √1+49=5√2（2）解：由cos（3π2+α）﹣sin（α﹣π）=sinα+sinα=2sinα由（1）可得sinα= 35．∴cos（3π2+α）﹣sin（α﹣π）=2sinα= 65．【解析】【分析】（1）根据a⃗⊥b⃗．可得a⃗• b⃗=0，求解出sinα，可得向量a⃗，b⃗的坐标．即可求| a⃗﹣b⃗|；（2）利用诱导公式化简后，将α代入计算即可．18．【答案】（1）解：函数f（x）=cosωx•sin（ωx﹣π3）+ √3cos2ωx﹣√34（ω＞0，x∈R），化简可得：f（x）= 12sinωxcosωx﹣√32cos2ωx+ √3cos2ωx﹣√34（ω＞0，x∈R），= 14sin2ωx+ √32cos2ωx﹣√34= 14sin2ωx+ √34cos2ωx= 12sin（2ωx +π3）∵函数y=f（x）图象的一个对称中心到它对称轴的最近距离为π4．∴T=4× π4 =π，∴2π2ω=π ， 故得ω=1．∴f （x ）= 12sin （2x +π3 ）， 对称轴方程：2x +π3 = π2+k π ，得：x= 12k π+π12，k ∈Z ． ∴f （x ）的对称轴方程为：x= 12k π+π12，k ∈Z ． （2）解：∵f （A ）=0，即sin （2A +π3 ）=0，∴2A +π3 =kπ，∵0＜A ＜π，∴A= π3 ，∵sinB= 45，a= √3 ， 由正弦定理， a sinA =b sinB ，可得： √332=b 45 ，解得：b= 25 ． 故得b 的值为： 25． 【解析】【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，对称中心到它对称轴的最近距离为 π4 ，可得周期T ，从而求出ω．结合三角函数的图象和性质，可得f （x ）的对称轴方程；（2）根据f （A ）=0，求解出A 角的大小，sinB= 45，a= √3 ，根据正弦定理可得b 的值．19．【答案】（1）解：由题意，a ＞0，Q ⊆（﹣∞，2）∪（3，+∞），∴{4a −4+2≥09a −6+4≥0，∴a≥ 23 ； （2）解：由已知Q={x|ax 2﹣2x+2＞0}，若P ⊆Q ，则说明不等式ax 2﹣2x+2＞0在x ∈[2，3]上恒成立， 即不等式a ＞ 2x −2x2 在x ∈[2，3]上恒成立， 令u= 2x −2x2 ，则只需a ＞u max 即可．又u= 2x −2x 2 =﹣2（ 1x ﹣ 12 ）2+ 12 ． 当x ∈[2，3]时， 1x ∈[ 13 ， 12 ]，从而x=2时，u max = 12， ∴a ＞ 12， 所以实数a 的取值范围是a ＞ 12． 【解析】【分析】（1）由题意，a ＞0，Q ⊆（﹣∞，2）∪（3，+∞），即可求实数a 的取值范围；（2）P ⊆Q ，则说明不等式ax 2﹣2x+2＞0在x ∈[2，3]上恒成立，分离参数后转化为函数最值问题即可解决．20．【答案】（1）解：等差数列{a n }中，a 15+a 16+a 17=﹣45，a 9=﹣36，∴3a 1+45d=﹣45，a 1+8d=﹣36，解得a 1=﹣60，d=3．∴a n =﹣60+3（n ﹣1）=3n ﹣63．S n = n(−60+3n−63)2 = 3n 2−123n 2． 令a n =3n ﹣63≤0．解得n≤21．∴n=20或21时S n 取得最小值= 3×212−123×212=﹣630． （2）解：n≤21时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a n ）=﹣S n ．n≥22时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a 21）+a 22+…+a n =﹣2S 21+S n = 3n 2−123n 2﹣2×（﹣630）= 3n 2−123n 2+1260． 【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式与求和公式即可得出．（2）n≤21时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a n ）=﹣S n ．n≥22时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=﹣（a 1+a 2+…+a 21）+a 22+…+a n =﹣2S 21+S n ．21．【答案】（1）解：∵BD=atanθ，∴△ABD 的面积为 12a 2tan θ （ ∈(0，π2) ） 设正方形BEFG 的边长为t ，则由 FG AB =DG DB 得 t a =atanθ−t atan θ，∵t= atanθ1+tan θ ， ∴S 2= a 2tan 2θ(1+tan θ)2 ，∴S 1= 12a 2tan θθ ﹣S 2= 12a 2tan θθ ﹣ a 2tan 2θ(1+tan θ)2 ， （2）解：由（1） S 1S 2 = (1+tanθ)22tan θ ﹣1， ∵tanθ∈（0，+∞），∴S 1S 2 = (1+tanθ)22tan θ ﹣1= 12 （tanθ+ 1tan θ ≥1， 当且仅当tanθ=1时取等号，此时θ= π4 ．∴当θ= π4 时，“规划和谐度”有最小值，最小值是1．【解析】【分析】（1）求出△ABD 的面积为，设正方形BEFG 的边长为t ，利用三角形的相似求出S 2，然后求出S 1；（2）由（1） S 1S 2 = (1+tanθ)22tan θ ﹣1，通过tanθ∈（0，+∞），通过基本不等式推出，当θ= π4 时，“规划和谐度”有最小值，最小值是1．22．【答案】（1）解：令x 1=0，x 2=0，得f （0）≤0，又对于任意的x ∈[0，e]，总有f （x ）≥0，∴f （0）=0，（2）解：证明：设0≤x 1≤x 2≤e ，则x 2﹣x 1∈（0，e]∴f （x 2）﹣f （x 1）=f （（x 2﹣x 1）+x 1）﹣f （x 1）≥f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣f （x 1）=f （x 2﹣x 1）≥0， ∴f （x 2）≥f （x 1），∴f （x ）在[0，e]上是单调递增的，∴f （x ）≤f （e ）=e ，（3）解：∵f （x ）在[0，e]上是增函数，∴f （x ）∈[0，e]，∵4f 2（x ）﹣4（2e ﹣a ）f （x ）+4e 2﹣4ea+1≥0，∴4f 2（x ）﹣8ef （x ）+4e 2+1≥4a[e ﹣f （x ）]，当f （x ）≠e 时，a≤ 4f 2(x)−8ef(x)+4e 2+14[e−f(x)]， 令y= 4f 2(x)−8ef(x)+4e 2+14[e−f(x)] = 4[e−f(x)]2+14[e−f(x)] =e ﹣f （x ）+ 14[e−f(x)] ≥e ，当且f （x ）=e ﹣ 12 时取等号，∴a≤e ，当f （x ）=e 时，4f 2（x ）﹣4（2e ﹣a ）f （x ）+4e 2﹣4ea+1=4e 2﹣4（2e ﹣a ）e+4e 2﹣4ea+1=1≥0恒成立，综上所述a≤e．【解析】【分析】（1）令x1=0，x2=0代入即可得到答案，（2）用定义确定函数f（x）在[0，e]上是单调递增的，求出函数的最值即可，（3）先根据函数f（x）的单调性确定函数f（x）的取值范围，再分离参数的方法将a表示出来用基本不等式求出a的范围．。
2016-2017学年湖北省高一下学期期中考试数学(理)试题(解析版)7
高一下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{|33}A x x =-<<， (){|lg 1}B x y x ==+，则集合A B ⋂为（ ） A. [)0,3 B. [)1,3- C. ()1,3- D. (]3,1-- 【答案】C【解析】解：由题意可知： {}1B x x =- ，则{|13}A B x x ⋂=-<< ，即A B ⋂为()1,3- . 本题选择C 选项.2．在等差数列{}n a 中， 7116a a =， 4145,a a +=则该数列公差d 等于（ )A.14 B. 13或12- C. - 14 D. 14或- 14 【答案】D【解析】解：由等差数列的性质可知： 4147115a a a a +=+= ，据此可得： 7117115{6a a a a +== ，解得： 7112{3a a == 或7113{2a a == ，等差数列的公差： 731734a a d -==-- 或731734a a d -==- . 本题选择D 选项.3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若c=2，,B=120°，则a 等于（ ）A.B. 1C. D. 3【答案】B【解析】解：由余弦定理有： 2222cos b a c ac B =+- ， 结合题意可得： ()()2230,130a a a a +-=-+= ， 解得： 1a = (3a =-舍去).本题选择B 选项.4．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且2580a a +=，则32S S ：的值为（ ） A. -3 B. 5 C. -8 D. -11 【答案】A【解析】解：由题意可知： 332280,80,2a a q q q +=∴+==- ，则： 223111211131S a a q a q q q S a a q q++++===-++ .本题选择A 选项.5．已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b == ，则｜2a b - ｜的值为（ ） A. 21B. ．．【答案】B【解析】解：由题意可知： 25cos605a b ⋅=⨯⨯=，则：2a b -===本题选择B 选项.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=﹣11，a 4+a 6=﹣6，则a3等于（ ） A. 16 B. 37 C. -7 D. 9 【答案】C【解析】解：由等差数列的性质可知：()51465531263,2,31751a aa a a a d a a d -+==-⇒=-∴===+-⨯=-- .本题选择C 选项.7．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且a:b:c=3:5:7试判断该三角形的形状( )A 钝角三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 等边三角形 【答案】A【解析】解：不妨设△ABC 的三边长度为3,5,7a b c === ，由大角对大边可得最大角的余弦值为： 22292549cos 02235a b c C ab +-+-==<⨯⨯ ，即∠C 为钝角，△ABC 是钝角三角形.本题选择A 选项.8．已知平面向量,a b 满足3,2,a b a == 与b 的夹角为60,若()a mb a -⊥ ,则实数m 的值为（ ）1 B ． 32C ． 2D ． 3【答案】D【解析】解：由题意可知： 32cos603a b ⋅=⨯⨯=，且：()20,0,9303a mb a a ma b m m -⋅=-⋅=-=⇒=.本题选择D 选项. 点睛：(1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b ＝0.(3)数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.9．在△ABC中，A＝60︒，b＝1sin C的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可知：222111604,222S bcsinA c sin caa b ccosCabsinC==⨯⨯⨯====+-====本题选择C选项.10．如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE AB ACλμ=+，则λμ+的值为（）A.12B.12- C. 1 D. 1-【答案】A【解析】试题分析：()1122AE AD DE AC AB AB AB AC=+=-+=-+，所以1,12λμ=-=，12λμ+=．故选A．【考点】平面向量的线性运算．11．已知数列{}n a中，()*111,21,n n na a a n N S+==+∈为其前n项和，5S的值为（）A. 63B. 61C. 62D. 57【答案】D【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n na a a++=++=，据此可得：数列{}1na+是首项为2，公比为2的等比数列，则：1122,21n nn na a-+=⨯⇒=-，分组求和有： ()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，设4(log 7)a f =，12(log 3)b f =，0.6(0.2)c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】B 【解析】试题分析：由题设函数)(x f 在),0[+∞上单调减,又因3log 3log 221-=,且3log 7log 7log 224<=,故3log 7log 12.0226.0<<<,则)3(log )7(log )2.0(226.0f f f >>,即b a c >>．应选B ．【考点】函数的基本性质和指数对数函数的图象与性质．【易错点晴】本题考查的是基本初等函数的图象和性质及数形结合的数学思想的综合运用问题,解答时运用指数函数对数函数的有关知识比较出3lo g 7lo g 12.0226.0<<<,再借助函数的奇偶性,将问题进一步等价转化,即先比较出3log ,7log ,2.0226.0的大小关系,进而借助函数的单调性可得)3(log )7(log )2.0(226.0f f f >>,从而得到)3(log )7(log )2.0(246.0f f f >>,即b a c >>．二、填空题13．函数()()212log 23f x x x =--的单调递增区间是____．【答案】--1∞（，） 【解析】解：函数有意义，则： 2230x x --> ，解得： {31}x x x <-或 ， 结合二次函数的性质和复合函数单调性同增异减可知： 函数的单调递增区间为： (),1-∞- .点睛：复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．14．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需 ______日相逢. 【答案】9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭ ，故： 111871222n n n c a b n =+=+ ，满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，由等差数列前n 项和公式可得： 11111871218712222222502n n ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ，解得： 9n = .即二马相逢，需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．15．在ABC ∆中， 111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠====== ，则·DE DF的值为_______ 【答案】【解析】试题分析：如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()3,1,0,2,1,02D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3131,1,112244DE DF ⎛⎫⎛⎫⋅=---=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【考点】向量运算．16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x ≥时, ()22f x x x =+, 若()()22f a f a ->,则实数a 的取值范围是_______．【答案】(-2,1)【解析】解：由函数在0x ≥ 时的解析式可得，当0x < 时， ()22f x x x =-+ ， 由函数的解析式可知，奇函数()f x 在定义域R 上单调递增，由函数的单调性可得： 22a a -> ，求解不等式可得实数a 的取值范围是：()2,1- .点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)，若f (x )为奇函数，则()()f x f x -=-．三、解答题17．已知关于x 的不等式()()21120m x m x -+-+>（1）若m=0,求该不等式的解集（2）若该不等式的解集是R ，求m 的取值范围。
2016-2017年湖北省鄂东南省级示范高中联考高一(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|2x﹣5＞0}，B={x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B=（）A．（1，）B．[1，）C．（，3）D．（，3] 2．（5分）sin300°+cos390°+tan（﹣135°）=（）A．﹣1B．1C．D．+13．（5分）已知等差数列{a n}中，a1+a3+a9=20，则4a5﹣a7=（）A．20B．30C．40D．504．（5分）已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD中点，连BE，则•=（）A．﹣2B．﹣1C．1D．25．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点位于区间（m﹣1，m）（m∈Z）内，则+log3m=（）A．1B．2C．3D．46．（5分）给定△ABC的三个条件：A=60°，b=4，a=2，则这样的三角形解的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无数个7．（5分）下列有关于f（x）=ln（1+|x|）﹣的性质的描述，正确的是（）A．奇函数，在R上单调递增B．奇函数，在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减8．（5分）已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数y=是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，则下列说法中正确的是（）A．ef（1）＜f（2）B．e3f（﹣1）＞f（2）C．e2f（﹣1）＜f（1）D．ef（﹣2）＜f（﹣1）10．（5分）f（x）=sin（ωx+φ）（ω＜0）向右平移个单位之后图象与g（x）=cos2x 的图象重合，则φ=（）A．πB．C．π+2kπ（k∈Z）D．+2kπ（k∈Z）11．（5分）a，b，c是非直角△ABC中角A、B、C的对边，且sin2A+sin2B﹣sin2C=absinAsinBsin2C，则△ABC的面积为（）A．B．1C．2D．412．（5分）已知f（x）是奇函数，且对于任意x∈R满足f（2﹣x）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=lnx+2，则函数y=f（x）在（﹣2，4]上的零点个数是（）A．7B．8C．9D．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知任意幂函数经过定点A（m，n），则函数f（x）=log a（x﹣m）+n经过定点．14．（5分）已知，为单位向量且夹角为，设=+，=，在方向上的投影为．15．（5分）函数f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）计算cos24°+cos144°+cos264°=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A={y|y=，x∈R}，B={x|y=lg（1﹣2x）}（1）求出集合A，集合B；（2）求（∁U B）∩A．18．（12分）化简计算：（1）已知tanθ=2，求值：；（2）ln（+x）+ln（﹣x）+lg22+（1+lg2）•lg5﹣2sin30°．19．（12分）公元前三世纪，被誉为“几何之父”著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出“余弦定理”，古往今来有许许多多的证明方法，请在△ABC中，请写出余弦定理的其中一个公式，并且利用向量知识加以证明．20．（12分）已知=（sinx，），=（cosx，）（x∈R），且函数f（x）=•．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=0，sinB=，a=，求b的值．21．（12分）如图欲在直角区域ABC内的空地上植造一块“绿地Rt△ABD”，D在BC边上．其中AB=1，设BD=x（x＞0）且BC足够长，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，种草的面积为S1，种花的面积为S2，比值称为“完美度”．（1）用x表示出S2；（2）求完美度f（x）=的最小值且此时x的值．22．（12分）已知函数f（x）=sinx（x≥﹣3π），将f（x）的零点从小到大排列，得到一个数列{a n}（n∈N*）（1）直接写出{a n}的通项公式；（2）求{|a n|}的前n项和S n；（3）设b n=+4，证明：++++…+＜2．2016-2017学年湖北省鄂东南省级示范高中联考高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|2x﹣5＞0}，B={x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B=（）A．（1，）B．[1，）C．（，3）D．（，3]【解答】解：根据题意，2x﹣5＞0⇒x＞，则集合A={x|2x﹣5＞0}=（，+∞），x2﹣4x+3≤0⇒1≤x≤3，则B═{x|x2﹣4x+3≤0}=[1，3]，故则A∩B=（，3]；故选：D．2．（5分）sin300°+cos390°+tan（﹣135°）=（）A．﹣1B．1C．D．+1【解答】解：sin300°+cos390°+tan（﹣135°）=sin（﹣60°）+cos30°+tan（180°﹣135°）=﹣sin60°+cos30°+tan45°=﹣++1=1，故选：B．3．（5分）已知等差数列{a n}中，a1+a3+a9=20，则4a5﹣a7=（）A．20B．30C．40D．50【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a3+a9=20，∴a1+a1+2d+a1+8d=3a1+10d=20，4a5﹣a7=4（a1+4d）﹣（a1+6d）=3a1+10d=20．故选：A．4．（5分）已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD中点，连BE，则•=（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：如图，=；∴==0﹣1=﹣1．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点位于区间（m﹣1，m）（m∈Z）内，则+log3m=（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴f（x）=lnx+2x﹣6的存在零点x0∈（2，3）．∵f（x）=lnx+2x﹣6在定义域（0，+∞）上单调递增，∴f（x）=lnx+2x﹣6的存在唯一的零点x0∈（2，3）．则整数m=3．∴+log3m=3+1=4故选：D．6．（5分）给定△ABC的三个条件：A=60°，b=4，a=2，则这样的三角形解的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【解答】解：∵在△ABC中，a=2，b=4，A=60°，∴由正弦定理得：sinB===＞1，则此三角形无解．7．（5分）下列有关于f（x）=ln（1+|x|）﹣的性质的描述，正确的是（）A．奇函数，在R上单调递增B．奇函数，在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数的偶函数，x＞0，f′（x）=+＞0，在（0，+∞）上单调递增，∴函数在（﹣∞，0）上单调递减，故选：C．8．（5分）已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（）A．B．C．D．=，a1=，∴﹣=1．【解答】解：∵a n+1∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴=2+2016=2018．则a2017=．故选：C．9．（5分）已知函数y=是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，则下列说法中正确的是（）A．ef（1）＜f（2）B．e3f（﹣1）＞f（2）C．e2f（﹣1）＜f（1）D．ef（﹣2）＜f（﹣1）【解答】解：由题意函数y=是偶函数且在[0，+∞）上单调递增，∴＞，∴ef（1）＜f（2），10．（5分）f（x）=sin（ωx+φ）（ω＜0）向右平移个单位之后图象与g（x）=cos2x 的图象重合，则φ=（）A．πB．C．π+2kπ（k∈Z）D．+2kπ（k∈Z）【解答】解：由题意，f（x）=sin（ωx+φ）（ω＜0）向右平移个单位之后，g （x）=sin[ω（x﹣）+φ]=cos2x，∴ω=﹣2，+φ=2kπ+，∴φ=2kπ+（k∈Z），故选：D．11．（5分）a，b，c是非直角△ABC中角A、B、C的对边，且sin2A+sin2B﹣sin2C=absinAsinBsin2C，则△ABC的面积为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：∵sin2A+sin2B﹣sin2C=absinAsinBsin2C，∴由正弦定理可得：a2+b2﹣c2=2a2b2sinCcosC，∴2abcosC=absinC•4abcosC，∵cosC≠0，∴S=absinC==．△ABC故选：A．12．（5分）已知f（x）是奇函数，且对于任意x∈R满足f（2﹣x）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=lnx+2，则函数y=f（x）在（﹣2，4]上的零点个数是（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：由函数f（x）是奇函数且满足f（2﹣x）=f（x）知，f（x）是周期为4的周期函数，且关于直线x=1+2k（k∈R）成轴对称，关于点（2k，0）（k∈Z）成中心对称．当0＜x≤1时，令f（x）=lnx+2=0，得x=，由此得y=f（x）在（﹣2，4]上的零点分别为﹣2+，﹣，0，，2﹣，2，2+，﹣+4，4共9个零点．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知任意幂函数经过定点A（m，n），则函数f（x）=log a（x﹣m）+n经过定点（2，1）．【解答】解：任意幂函数经过A（m，n）即点A（1，1），即m=n=1，函数f（x）=log a（x﹣m）+n，即f（x）=log a（x﹣1）+1则f（m+1）=n，故函数过（2，1），故答案为：（2，1）．14．（5分）已知，为单位向量且夹角为，设=+，=，在方向上的投影为．【解答】解：===，且；∴在方向上的投影为：=．故答案为：．15．（5分）函数f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣] ．【解答】解：∵函数f（x）=是R上的单调递减函数，∴，求得a≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]．16．（5分）计算cos24°+cos144°+cos264°=0．【解答】解：cos24°+cos144°+cos264°=cos24°+cos（180°﹣36°）+cos（270°﹣6°）=cos24°﹣cos36°﹣sin6°=﹣2sin（）sin（）﹣sin6°=﹣2×sin30°•sin（﹣6）﹣sin6°=0故答案为0．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A={y|y=，x∈R}，B={x|y=lg（1﹣2x）}（1）求出集合A，集合B；（2）求（∁U B）∩A．【解答】解：（1）集合A={y|y=，x∈R}，∵e x＞0，∴﹣e x＜0，∴4﹣e x＜4，∴A=（﹣∞，2）∵B={x|y=lg（1﹣2x）}，∴1﹣2x＞0，解得x＜，故B=（﹣∞，），（2）由B=（﹣∞，），∴∁U B=[，+∞），∴（∁U B）∩A=[，e）．18．（12分）化简计算：（1）已知tanθ=2，求值：；（2）ln（+x）+ln（﹣x）+lg22+（1+lg2）•lg5﹣2sin30°．【解答】解：（1）由==．∵tanθ=2，∴=．（2）ln（+x）+ln（﹣x）+lg22+（1+lg2）•lg5﹣2sin30°．=ln[（+x）（﹣x）]+lg2•lg2+lg2•lg5+lg5﹣1=ln1+lg2（lg2+lg5）+lg5﹣1=0+lg2+lg5﹣1=019．（12分）公元前三世纪，被誉为“几何之父”著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出“余弦定理”，古往今来有许许多多的证明方法，请在△ABC中，请写出余弦定理的其中一个公式，并且利用向量知识加以证明．【解答】解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，证明：如图，a2=2=（﹣）•（﹣）=2﹣2+2=2﹣2||•||•c osA+2=b2﹣2bccosA+c2．即a2=b2+c2﹣2bccosA．20．（12分）已知=（sinx，），=（cosx，）（x∈R），且函数f（x）=•．（1）求f（x）的对称轴方程；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=0，sinB=，a=，求b的值．【解答】解：（1）f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin（2x+），令2x+=kπ+，可得x=kπ+，即f（x）的对称轴方程为x=kπ+，k∈Z；（2）f（A）=sin（2A+）=0，∴A=，∵sinB=，a=，∴，∴b=．21．（12分）如图欲在直角区域ABC内的空地上植造一块“绿地Rt△ABD”，D在BC边上．其中AB=1，设BD=x（x＞0）且BC足够长，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，种草的面积为S1，种花的面积为S2，比值称为“完美度”．（1）用x表示出S2；（2）求完美度f（x）=的最小值且此时x的值．【解答】解：（1）设正方形BEFG的边长为t，则由得，∴t=，…（4分）∴S2=；…（6分）（2）S1=﹣S2，=﹣1=（x+≥1，…（10分）当且仅当x=1时取等号，此时完美度f（x）=的最小值是1．…（12分）22．（12分）已知函数f（x）=sinx（x≥﹣3π），将f（x）的零点从小到大排列，得到一个数列{a n}（n∈N*）（1）直接写出{a n}的通项公式；（2）求{|a n|}的前n项和S n；（3）设b n=+4，证明：++++…+＜2．【解答】解：（1）令f（x）=sinx=0解得x=kπ，取k∈N，且k≥﹣3，则a n=nπ﹣4π，n∈N*．（2）由（1）知数列的{a n}的首项为﹣3π，公差为π，{|a n|}的前n项和S n；当n≤4时，S n=﹣=﹣=，当n＞4时，数列{|a n|}的前n项和S n=﹣a1﹣a2﹣a3﹣a4+a5+…+a n=a1+a2+a3+a4+a5+…+a n﹣2（a1+a2+a3+a4）=﹣12π=+12π∴S n=，（3）b n=+4=n﹣4+4=n，∴b1b2b3…b n=1×2×3×…×n，∴++++…+，=++++…+，＜1++++…+，=1+1﹣+﹣+﹣+…+﹣=2﹣＜2。
湖北省部分重点中学2016-2017学年高一下学期期中联考
参考答案BACCC ABABB DA13. ()()()1,11.21n n n n -=⎧⎪⎨≥⎪-⎩14.91 16.①②③④⑤ 17． （1）//,cos cos m n a A c C ∴=.由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =,化简，得()sin 2sin 2.,0,,2222A C A C A C A C ππ=∈∴=+= 或.从而A C =（舍）或,2A CB ππ+=∴=.在Rt ABC ∆ （2）3sin ,cos cos 3sin m n b B a C c A b B =∴+=， 由正弦定理得，2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而()()2sin 3sin ,,sin sin A C BA B C A C B π+=++=∴+= .从而35A,从而,A B B >为锐角,()cos cos cos cos cos sin sin 3B C A B A B AB =∴=-+=-+18．（111n n n a S S ++=- 整理，得()131n n nS n S +=+，111=，是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1），得1=3n n S n-，1=3n n S n -∴ （*n N ∈）．01113233n n T n -∴=⨯+⨯++⨯ ，① 12313233n n T n =⨯+⨯++⨯ ，②由①-②，得()()01n-1123131233++33=322n nn nn n T n n ----=+-⨯-⨯=, ()21314n nn T -+∴=. 19．（1）设外接圆半径为R ，由5430OA OB OC ++= 得：435OB OC OA +=-两边平方得：2221624925R OB OC R R ++= ，即：0OB OC = ，则cos 0BOC ∠=.（2）CO AB BO CA = ，()()CO OB OA BO OA OC ∴-=-即：OC OB OC OA OB OA OB OC -+=-+可得：2222cos 2cos 2cos 2cos 2R A R B R C R A -+=-+2cos 2cos 2cos 2A C B ∴=+，即：()()222212sin 22sin 2sin A B C ∴-=-+2222sin sin sin A B C ∴=+2222a b c ∴=+，20． （1）()2AB AD DB AD ED AD AD AE m n =+=+=+-=-；()2AC AE EC AE DE AE AE AD m n =+=+=+-=-+.（2）15AD AE m n ==,222223,33,m n m n m n m n ∴-=+-=+=18cos AB AC AB AC BAC==∠ .21． （1因为C πA +B +=，()sin sin C A +B =3πA = .（2）因为C πA +B +=，3πA =又C ∆AB（31=，)210c b -+=,方案二：选择①③，可确定C ∆AB ，因为45B = ，C 75= ,.（选择②③不能确定三角形） 22．（Ⅰ）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ． 因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令1,2,3n =分别得114a b =，112220a b a b +=，11223368a b a b a b ++=，又12a = 所以1122332,21648a b a b a b ==⎧⎪=⎨⎪=⎩即22(2)(2)163440(22)(2)48d q d d d q +=⎧⇒--=⎨+=⎩，得11236d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或2222d q =⎧⎨=⎩，经检验2,2d q ==符合题意，2,63d q =-=不合题意，舍去． 所以2,2n n n a n b ==． （Ⅱ）由2n a n =设nb =∵0n b >，且11n nb b +=>，∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增．假设存在这样的实数λn *∈N 都成立，则 ① 当4442,n m n m m N =+=+∈和时，sin=02n π ② 当41,n m m N =+∈时,sin=12n π, min 1()n b b λ<== ③ 当43,n m m N =+∈时,sin=12n π-λ是非零整数，可知存在1λ=（-1不满足题意，舍）满足条件．（Ⅲ）易知d=0，成立． 当d＞时，3911382014201c cd c d =+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯，*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)05300c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩Q ，05353d ∴<-<，531,2,1953d ∴-=，，052,51,34d ∴=，，所以公差d 的所有可能取值之和为137． (16)分。
湖北省部分重点中学2016-2017学年高一下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年湖北省部分重点中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=2，则a12=（）A．10 B．14 C．15 D．302．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定3．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．4．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且=，=，连接AC、MN交于P点，若=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．5．古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为（）A．7 B．8 C．9 D．106．公差不为0的等差数列{a n}的部分项，，，…构成等比数列{}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k5为（）A．86 B．88 C．90 D．927．如图，在等腰直角△ABO中，设=，=，||=||=1，C为AB上靠近A点的三等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任一点，=，则•（﹣）=（）A．B．﹣ C．﹣ D．8．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=90°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R），则•的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣19．设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15＞0，S16＜0则中最大的项为（）A．B．C．D．10．已知△AOB中，∠AOB=120°，||=3，||=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则•的值为（）A．B．C．D．11．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，=3，E n（n∈N+）为边AC，=（4a n+3），其中实数列{a n}中a n＞0，a1=1，上的点，满足=a n+1则{a n}的通项公式为（）A．3•2n﹣1﹣2 B．2n﹣1 C．4n﹣2 D．2•4n﹣1﹣112．已知数列{a n }满足：a n +1＞2a n ﹣a n ﹣1（n ＞1．n ∈N *），给出下述命题： ①若数列{a n }满足：a 2＞a 1，则a n ＞a n ﹣1（n ＞1，n ∈N *）成立； ②存在常数c ，使得a n ＞c （n ∈N *）成立；③若p +q ＞m +n （其中p ，q ，m ，n ∈N *），则a p +a q ＞a m +a n ； ④存在常数d ，使得a n ＞a 1+（n ﹣1）d （n ∈N *）都成立 上述命题正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=﹣1，a n +1=S n •S n +1，则数列{a n }的通项公式a n = ．14．如图，在△ABC 中，已知∠BAC=，||=2，||=3，点D 为边BC 上一点，满足+2=3，点E 是AD 上一点，满足=2，则||= ．15．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ= ．16．点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上△ABC 的三个顶点，∠B 、∠C 分别是边AC 、AB 的对角，以下命题正确的是 （把你认为正确的序号全部写上）．①动点P 满足=++，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；③动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；④动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中；⑤动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．三、解答题（本题共70分）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量=（a，c），=（cosC，cosA）．（1）若∥，a=c，求角A；（2）若•=3bsinB，cosA=，求cosC的值．=S n（n∈N*）．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a n+1（1）证明：数列{}是等比数列；（2）求数列{S n}的前n项和T n．19．如图，已知O为△ABC的外心，角A、B、C的对边分别为a、b、c．（1）若5+4+3=，求cos∠BOC的值；（2）若•=•，求的值．20．如图，D、E分别是△ABC的三等分点，设=，=，∠BAC=．（1）用，分别表示，；（2）若•=15，||=3，求△ABC的面积．21．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，1+=．（1）求A的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，求函数y=2sin2B﹣2cosBcosC的取值范围；（3）现在给出下列三个条件：①a=1；②2c﹣（+1）b=0；③B=45°，试从中再选择两个条件，以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．22．已知数列{a n}为等差数列，a1=2，{a n}的前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）是否存在非零整数λ，使不等式sin＜对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（3）各项均为正整数的无穷等差数列{c n}，满足c39=a1007，且存在正整数k，使c1，c39，c k成等比数列，若数列{c n}的公差为d，求d的所有可能取值之和．2016-2017学年湖北省部分重点中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=2，则a12=（）A．10 B．14 C．15 D．30【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7+a9=16，a4=2，∴2a1+14d=16，a1+3d=2．解得a1=﹣，d=．则a12═﹣+11×=14．故选：B．2．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定【考点】HR：余弦定理．【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形．【解答】解：设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A3．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．【考点】8E：数列的求和．【分析】由a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，可求得a n，从而可知，利用等比数列的求和公式即可求得答案．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，①=3n+1﹣1，②∴a1+a2+a3+…+a n+1=3n+1﹣3n=2×3n，②﹣①得：a n+1∴a n=2×3n﹣1．当n=1时，a1=31﹣1=2，符合上式，∴a n=2×3n﹣1．∴=4×9n﹣1，∴=4，=9，∴{}是以4为首项，9为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==（9n﹣1）．故选B．4．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且=，=，连接AC、MN交于P点，若=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．【解答】解：∵=，=，连∴=λ=λ（+）=λ（+）=λ+λ，∵三点M，N，P共线．∴λ+λ=1，∴λ=，故选：C5．古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺，先由等比数列前n项和公式求出a1=，再由等比数列前n项和公式列出不等式，能求出要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为多少天．【解答】解：设该女子所需的天数至少为n天，第一天织布a1尺，则由题意知：=5，解得a1=，，解得2n≥311，由29=512，28=256，∴要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为9天．故选：C．6．公差不为0的等差数列{a n}的部分项，，，…构成等比数列{}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k5为（）A．86 B．88 C．90 D．92【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得：，即=a1（a1+5d），解得d=3a1．再利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}的部分项，，，…构成等比数列{}，且k1=1，k2=2，k3=6，∴，即=a1（a1+5d），∴d=3a1．∴等比数列{}为a1，4a1，16a1，64a1，256a1．∴256a1=a1+（k5﹣1）×3a1，则k5=86．故选：A．7．如图，在等腰直角△ABO中，设=，=，||=||=1，C为AB上靠近A点的三等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任一点，=，则•（﹣）=（）A．B．﹣ C．﹣ D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】P在线段AB的垂直平分线上，通过向量的加减运算，向量的数量积的运算即可得到结果．【解答】解：∵等腰直角△ABO中，设=，=，||=||=1，C为AB上靠近A点的三等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任一点，=，设AB中点为D，则=+，=+．∵⊥，∴•=•（﹣）=0，∴•（﹣）=•（﹣）=（+）•=+=•+0=（+）•（﹣）=﹣+=﹣+0=﹣，故选：B．8．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=90°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足=λ+（1﹣λ）（λ∈R），则•的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣1【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的加减运算可得•=（﹣）•（﹣）=2﹣•（+）+•．再由MN是圆O的一条直径，三点共线的斜率表示，可得C在AB线段上，那么C在AB中点时，运用三角形AOB为等腰直角三角形，求得AB，可得OC的最小值，即可得到所求最小值．【解答】解由题意可得•=（﹣）•（﹣）=2﹣•（+）+•．由于MN是一条直径，可得+=，•=﹣1×1=﹣1，要求•的最小值，问题就是求2的最小值，由=λ+（1﹣λ）（λ∈R），可得C在AB线段上，那么C在AB中点时，由三角形AOB为等腰直角三角形，可得AB=，||=最小，此时•的最小值为﹣0﹣1=﹣，故选：A．9．设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15＞0，S16＜0则中最大的项为（）A．B．C．D．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的求和公式即等差数列的性质可得a8＞0，a9＜0，d＜0，即a n递减，前8项中S n递增，即当S n最大且a n取最小正值时，有最大值，从而可得答案．【解答】解：∵等差数列前n项和S n=•n2+（a1﹣）n，由S15=15a8＞0，S16=16×＜0可得：a8＞0，a9＜0，d＜0；故Sn最大值为S8．又d＜0，a n递减，前8项中S n递增，故S n最大且a n取最小正值时，有最大值，即最大．故选：C．10．已知△AOB中，∠AOB=120°，||=3，||=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则•的值为（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，建立如图所示坐标系，利用坐标求解．【解答】解：由题意建立如图所示坐标系．A（3，0），B（﹣1，），设D（x，y），由，可得（x﹣3，y）=λ（﹣4，），即，得D（3﹣4λ，）．由，得﹣4（3﹣4λ）+3λ=0，即．∴D（），则E（），∴，则=．故选：B．11．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，=3，E n（n∈N+）为边AC上的点，满足=a n，=（4a n+3），其中实数列{a n}中a n＞0，a1=1，+1则{a n}的通项公式为（）A．3•2n﹣1﹣2 B．2n﹣1 C．4n﹣2 D．2•4n﹣1﹣1【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用=3，得到=+，设m=，利用=a n+1=（4a n+3），可得a n+1+1=4（a n+1），所以{a n+1}是以2为首项，4为公比的等比数列，问题得以解决【解答】解∵=3，∴=+，设m=，∵=a n+1=（4a n+3），∴m=a n+1，m=﹣（4a n+3）∴a n+1=﹣（4a n+3），∴a n+1+1=4（a n+1），∵a1+1=2，∴{a n+1}是以2为首项，4为公比的等比数列，∴a n+1=2•4n﹣1，∴a n=2•4n﹣1﹣1．故选：D12．已知数列{a n}满足：a n+1＞2a n﹣a n﹣1（n＞1．n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立；②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立上述命题正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】8H：数列递推式．【分析】由a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），得a n+1﹣a n＞a n﹣a n﹣1（n＞1，n∈N*）或a n﹣1﹣a n＞a n﹣a n+1（n＞1，n∈N*）．然后结合函数的单调性逐一核对四个命题得答案．【解答】解：∵a n+1＞2a n﹣a n﹣1（n＞1．n∈N*），∴a n+1﹣a n＞a n﹣a n﹣1（n＞1，n∈N*）或a n﹣1﹣a n＞a n﹣a n+1（n＞1，n∈N*）．∴数列函数{a n}为增函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大，或数列函数{a n}为减函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐减小．对于①，若a2＞a1，则数列函数{a n}为增函数，∴a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立，命题正确；对于②，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于③，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于④，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误．故选：A．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n•S n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】8H：数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得数列{}是以﹣1为首项，以﹣1为公差的等差数列，求其通项公式后，利用a n=S n﹣S n﹣1求得数列{a n}的通项公式．【解答】解：由a n+1=S n•S n+1，得：S n+1﹣S n=S n•S n+1，即，∴数列{}是以﹣1为首项，以﹣1为公差的等差数列，则，∴．∴当n≥2时，．n=1时上式不成立，∴．故答案为：．14．如图，在△ABC中，已知∠BAC=，||=2，||=3，点D为边BC上一点，满足+2=3，点E是AD上一点，满足=2，则||=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，计算即可得出||．【解答】解：如图，延长AB到F，使AF=2AB，连接CF，取CF中点O，连接AO，则+2=2=3，∴，=（），∵=2，∴=（）=；∵∠BAC=，∴=2×3×cos60°=3，∴==﹣+，∴=（﹣+）2=+﹣=，∴||==．故答案为：．15．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=﹣1．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】在△ABD中，由正弦定理解出BD，在△BCD中，由正弦定理解出sin∠BCD，则cosθ=sin（π﹣∠BCD）=sin∠BCD．【解答】解：∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，在△ABD中，由正弦定理得，即，∴BD=25（）．在△BCD中，由正弦定理得，即，∴sin∠BCD=．∴cosθ=sin（π﹣∠BCD）=sin∠BCD=．故答案为：．16．点O是平面上一定点，A、B、C是平面上△ABC的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是①②③④⑤（把你认为正确的序号全部写上）．①动点P 满足=++，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中．【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】根据三角的重心垂心外心的内心的有关性质和向量的几何意义分别判断即可．【解答】解：对于①，∵动点P 满足=++，∴=+，则点P 是△ABC 的重心，故①正确；对于②，∵动点P 满足=+λ（+）（λ＞0），∴=λ（+）（λ＞0），又+在∠BAC 的平分线上，∴与∠BAC 的平分线所在向量共线，∴△ABC 的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足=+λ（+）（λ＞0），∴=λ（+），（λ＞0），过点A作AD⊥BC，垂足为D，则||sinB=||sinC=AD，=（+），向量+与BC边的中线共线，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；对于④，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），∴=λ（+）（λ＞0），∴•=λ（+）•=λ（||﹣||）=0，∴⊥，∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确；对于⑤，动点P满足=+λ（+）（λ＞0），设=，则=λ（+），由④知（+）•=0，∴•=0，∴⊥，∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．故答案为：①②③④⑤．三、解答题（本题共70分）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量=（a，c），=（cosC，cosA）．（1）若∥，a=c，求角A；（2）若•=3bsinB，cosA=，求cosC的值．【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）若∥，可得acosA=ccosC，可求B，利用a=c，求角A；（2）若•=3bsinB，由正弦定理可得sinB=，由cosA=，即可求cosC的值．【解答】解：（1）∵∥，∴acosA=ccosC，∴sinAcosA=sinCcosC，∴sin2A=sin2C，∴2A=2C或2A+2C=π，∴A=C（舍去）或A+C=，∴B=，Rt△ABC中，tanA=，A=；（2）∵•=3bsinB，∴acosC+ccosA=3bsinB，由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=3sin2B，∴sin（A+C）=3sin2B，∴sinB=，∵cosA=，∴sinA=，∵sinA＞sinB，∴a＞b，∴cosB=，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣×+=．=S n（n∈N*）．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a n+1（1）证明：数列{}是等比数列；（2）求数列{S n }的前n 项和T n ．【考点】8E ：数列的求和；8D ：等比关系的确定．【分析】（1）由已知数列递推式可得，即，结合，可得数列{}是等比数列；（2）由（1）可得S n ，然后利用错位相减法求得数列{S n }的前n 项和T n ．【解答】（1）证明：由a n +1=S n ，得，整理得：nS n +1=3（n +1）S n ，∴，又，∴数列{}是以1为首项，以3为公比的等比数列；（2）解：由（1），得，即．∴，，两式作差可得： =．∴．19．如图，已知O 为△ABC 的外心，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若5+4+3=，求cos ∠BOC 的值；（2）若•=•，求的值．【考点】HR ：余弦定理；9R ：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据5+4+3=，采用两边平方，构造出，即可cos ∠BOC；（2）利用向量的加减运用，消去和．根据正弦定理求解．【解答】解：（1）∵5+4+3=，即4+3=﹣5，两边平方，可得：4R2+9R2+24=25R2得24•=0即||•||cos∠BOC=0，∴cos∠BOC=0．（2）∵•=•，∴•（）=•（），即可得：﹣R2cos2A+R2cos2B=﹣R2cos2C+R2cos2A∴2cos2A=cos2C+cos2B，即2（1﹣2sin2A）=2﹣（2sin2B+2sin2C），2sin2A=﹣sin2B+sin2C，可得2a2=﹣b2+c2，那么：=2．20．如图，D、E分别是△ABC的三等分点，设=，=，∠BAC=．（1）用，分别表示，；（2）若•=15，||=3，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）利用向量的线性运算，即可用，分别表示，；（2）若•=15，||=3，求出||||==18，即可求△ABC的面积．【解答】解：（1）=+=2﹣，=+=﹣+2；（2）•==15，||=3|﹣|=3，∴|﹣|=，∴=33，∴=（2﹣）•（﹣+2）=9，∴||||==18，==．∴S△ABC21．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，1+=．（1）求A的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，求函数y=2sin2B﹣2cosBcosC的取值范围；（3）现在给出下列三个条件：①a=1；②2c﹣（+1）b=0；③B=45°，试从中再选择两个条件，以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据切化弦、两角和的正弦公式和诱导公式化简已知的式子，由特殊角的三角函数值求出A；（2）由（1）和内角和定理表示出C，代入解析式利用二倍角公式，两角和与差和公式化简，根据锐角三角形列出不等式组求出B的范围，由正弦函数的性质求出函数的值域；（3）方案一：选择①②，由条件和余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求解即可；方案二：选择①③，由内角和定理和正弦定理分别求出C、c，入三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）由题意得，1+=，由正弦定理得，1+==，∴cosA=，∴A=；（2）因为A+B+C=π，A=，所以B+C=，则y=2sin2B﹣2cosBcosC=1﹣cos2B﹣2sinBcos（﹣B）=﹣sin（2B+）又△ABC 为锐角三角形，则＜B ＜，∴＜2B +＜，所以sin （2B +）∈（﹣，1）， 所以y ∈（，2）；（3）方案一：选择①②，可确定△A BC ，因为A=60°，a=1，2c ﹣（+1）b=0，由余弦定理得：，整理得：b 2=，b=，c=，所以S △ABC ==方案二：选择①③，可确定△A BC ， 因为 A=60°，B=45°，则C=75°，由正弦定理b==，所以S △ABC ==．22．已知数列{a n }为等差数列，a 1=2，{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +2+4对任意的n ∈N*恒成立． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）是否存在非零整数λ，使不等式sin＜对一切n ∈N *都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（3）各项均为正整数的无穷等差数列{c n }，满足c 39=a 1007，且存在正整数k ，使c 1，c 39，c k 成等比数列，若数列{c n }的公差为d ，求d 的所有可能取值之和． 【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式；8K ：数列与不等式的综合． 【分析】（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，在a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +2+4中分别令n=1，2，3，得到关于d 与q的方程组，求解方程组可得或，检验d=q=2符合题意，从而求得a n=2n，；（2）由a n=2n，得sin，设，把原不等式转化为，且，可得数列{b n}单调递增，假设存在这样的实数λ，使得不等式对一切n∈N*都成立，分①n=4m+4和n=4m+2，m∈N，②n=4m+1，m∈N，③n=4m+3，m∈N 时求解非0整数λ的值；（3）由题意可知，d=0时成立；当d＞0时，结合，得[2014+（k﹣39）d]=20142，即k===∈N*．再由d＞0且c1＞0求出λ的所有可能取值得答案．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=（n﹣1）•2n+2+4，令n=1，2，3，分别得a1b1=4，a1b1+a2b2=20，a1b1+a2b2+a3b3=68，又a1=2，∴，即，解得或．经检验d=q=2符合题意，不合题意，舍去．∴a n=2n，；（2）由a n=2n，得sin，设，则不等式sin ＜等价于，∵b n ＞0，且，∴b n +1＞b n ，数列{b n }单调递增，假设存在这样的实数λ，使得不等式对一切n ∈N *都成立，则①当n=4m +4和n=4m +2，m ∈N 时，sin ，不等式恒成立；②当n=4m +1，m ∈N 时，sin ，λ＜；③当n=4m +3，m ∈N 时，sin ，．综上，λ∈（），由λ是非0整数，可知存在λ=1（﹣1不满足题意，舍）满足条件；（3）由题意可知，d=0时成立；当d ＞0时，c 39=c 1+38d=2014，得c 1=2014﹣38d ． c k =c 39+（k ﹣39）d=2014+（k ﹣39）d ，由，得[2014+（k ﹣39）d ]=20142，得k===∈N *．又∵，0＜53﹣d ＜53．∴53﹣d=1，2，19，53， 则d=0，52，51，34，∴公差d 的所有可能取值之和为137．2017年5月26日。
湖北省重点高中联考2016-2017学年高一(下)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年湖北省重点高中联考高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．2017是等差数列4，7，10，13，…的第几项（ ）A ．669B ．670C ．671D ．6722．已知数列{a n }满足a n +1=，若a 1=，则a 2017=（ ）A ．B ．2C ．﹣1D ．1 3．不等式f （x ）=ax 2﹣x ﹣c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜1}，则函数y=f （﹣x ）的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．在△ABC 中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（ ） A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设，，则P 与Q 的大小关系是（ ）A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P=QD ．无法确定7．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所在的对边，且a=4，b +c=5，tanB +tanC +=tanB•tanC ，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．3C ．D ．8．公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为（ ）A．B．﹣ C．3 D．﹣39．满足不等式（x﹣y）（x+2y﹣2）＞0的点（x，y）所在的区域应为（）A．B．C．D．10．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既可减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则t的取值范围是（）A．[1，3]B．[3，5]C．[5，7]D．[7，9]11．已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，则的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．1212．设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣3 D．﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，在高出地面30m的小山顶C上建造一座电视塔，今在距离B点60m 的地面上取一点A，在此点测得CD所张的角为45°（即∠CAD=45°），则电视塔CD的高度是．14．等差数列{a n}的前3项和为20，最后3项和为130，所有项的和为200，则项数n为．15．不等式（x2﹣4）（x﹣6）2≤0的解集是．16．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{a n}是等积数列且a1=2，公积为10，那么这个数列前21项和S21的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．18．（12分）已知函数f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+c．（1）当c=19时，解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，c的值．19．（12分）已知等比数列{a n}中，a1=64，公比q≠1，a2，a3，a4又分别是某个等差数列的第7项，第3项，第1项．（1）求a n；（2）设b n=log2a n，求数列{|b n|}的前n项和T n．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=5，c=，且4sin2﹣cos2C=（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．21．（12分）在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a，b，c，其中c=10，且．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP 的面积．22．（12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．2016-2017学年湖北省重点高中联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．2017是等差数列4，7，10，13，…的第几项（）A．669 B．670 C．671 D．672【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由题意求出等差数列的首项和公差，得到通项公式，把2017代入通项公式求解．【解答】解：由题意，等差数列的首项为4，公差为3，则a n=4+3（n﹣1）=3n+1，由2017=3n+1，得n=672．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．=，若a1=，则a2017=（）2．已知数列{a n}满足a n+1A．B．2 C．﹣1 D．1【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=2，a n+1=1﹣（n∈N*），可得a n+3=a n，利用周期性即可得出．【解答】解：由，且，得a2=2，a3=﹣1，，…=a n，数列的周期为3．∴a n+3=a1=．a2017=a672×3+1故选：A．【点评】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象；74：一元二次不等式的解法．【分析】由题意可得a＜0，且，求出a和c的值，即可求得函数y=f（﹣x）的解析式，从而得到函数y=f（﹣x）的图象．【解答】解：由不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，可得a＜0，且解得a=﹣1，c=﹣2，故f（x）=﹣x2﹣x+2，故f（﹣x）=﹣x2 +x+2=﹣（x+1）（x﹣2）．故函数y=f（﹣x）的图象为C，故选：C【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的图象，属于基础题．4．已知等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式建立方程即可．【解答】解：由题意知S4=240，a2+a4=180，即a1+a3=240﹣180=60，则（a1+a3）q=a2+a4，即60q=180，解得q=3，则a1+q2a1=10a1=60，解得a1=6，故选：C．【点评】本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．5．在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【考点】HP：正弦定理．【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，发现B的值有两种情况，即得到此三角形有两解．【解答】解：由正弦定理得：=，即sinB==，则B=arcsin或π﹣arcsin，即此三角形解的情况是两解．故选B【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比q≠1，设，，则P与Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P=Q D．无法确定【考点】8G：等比数列的性质．【分析】由等比数列的通项公式知=，再由均值不等式知=．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，公比q≠1，∴=，故选A．【点评】本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比数列的通项公式和均值不等式的合理运用．7．已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所在的对边，且a=4，b+c=5，tanB+tanC+=tanB•tanC，则△ABC的面积为（）A．B．3 C．D．【考点】HT：三角形中的几何计算；GR：两角和与差的正切函数．【分析】由条件可得tan（B+C）==﹣，可得B+C=，A=．由余弦定理求得b值，即得c值，代入面积公式进行运算．【解答】解：由题意可得tanB+tanC=（﹣1+tanB•tanC），∴tan（B+C）==﹣，∴B+C=，∴A=．由余弦定理可得16=b2+（5﹣b）2﹣2b（5﹣b）cos，∴b=，c=，或b=，c=．则△ABC的面积为bcsinA=×××=，故答案为．【点评】本题考查两角和的正切公式，余弦定理，已知三角函数的值求角的大小，求出角A的大小是解题的关键．8．公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等比数列的性质可得，，利用a1，d，表示已知项可求a1，d，代入q=可求【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d由等比数列的性质可得，∴∵d≠0整理可得，∴∴q===3故选C【点评】本题主要考查等比数列的性质、等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题9．满足不等式（x﹣y）（x+2y﹣2）＞0的点（x，y）所在的区域应为（）A．B．C．D．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由图形中所给的数据求出两个边界所对应的方程，由图形的位置及二元一次不等式与区域的关系判断出正确选项．【解答】解：由不等式（x﹣y）（x+2y﹣2）＞0即：或，它们对应的区域是两条相交直线x﹣y=0，x+2y﹣2=0为边界的角形部分，故可排除C、D．对于A、B，取特殊点（1，0）代入不等式（x﹣y）（x+2y﹣2）＞0，不满足，故排除A．考察四个选项知B选项符合要求故选B．【点评】本题考查二元一次不等式与区域，解题的关键是确定边界对应的直线方程，以及边界是虚线还是实线，区域与直线的相对位置，熟练掌握区域与直线的位置关系与相应不等式的对应关系是解本题的知识保证．本题考查了数形结合的思想，推理判断的能力．10．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既可减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则t的取值范围是（）A．[1，3]B．[3，5]C．[5，7]D．[7，9]【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】求出征收耕地占用税后每年损失耕地，乘以每亩耕地的价值后再乘以t%得征地占用税，由征地占用税大于等于9000求解t的范围．【解答】解：由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为（20﹣t）万亩，则税收收入为（20﹣t）×24000×t%．由题意（20﹣t）×24000×t%≥9000，整理得t2﹣8t+15≤0，解得3≤t≤5．∴当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9000万元．∴t的范围是[3，5]．故选：B【点评】本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．11．已知实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，则的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】7F：基本不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数m、n满足2m+n=2，其中mn＞0，∴===，当且仅当，2m+n=2，即n=2m=2时取等号．∴的最小值是4．故选A．【点评】熟练掌握变形利用基本不等式的性质的方法是解题的关键．12．设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A．﹣2B．﹣C．﹣3 D．﹣【考点】7F：基本不等式．【分析】首先分析由式子a2+2b2=6，可以考虑设成包含三角函数的参数方程，然后代入a+b化简求值，再根据三角函数的最值问题求解即可得到答案．【解答】解：因为a，b∈R，a2+2b2=6故可设．θ⊊R．则：a+b=，再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．故选C．【点评】此题主要考查参数方程求最值的思想．对于此类题目如果应用基本不等式行不通的时候，可以考虑参数方程的方法，有一定的技巧性，属于中档题目．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，在高出地面30m的小山顶C上建造一座电视塔，今在距离B点60m 的地面上取一点A，在此点测得CD所张的角为45°（即∠CAD=45°），则电视塔CD的高度是150m．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】易求tan∠BAC==，利用和角的正切公式可求tan∠BAD，在Rt△ABD 中可求BD，从而可得答案．【解答】解：在△ABC中，tan∠BAC==，∴tan∠BAD===3，又，∴BD=3AB=180，∴CD=180﹣30=150（m），故答案为：150m．【点评】该题考查两角和与差的三角函数在实际问题中的应用，属基础题．14．等差数列{a n}的前3项和为20，最后3项和为130，所有项的和为200，则项数n为8．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由已知可得：a1+a2+a3=20，a n﹣2+a n﹣1+a n=130，3（a1+a n）=20+130，解得a1+a n．再利用求和公式即可得出．【解答】解：由已知可得：a1+a2+a3=20，a n﹣2+a n﹣1+a n=130，∴3（a1+a n）=20+130，解得a1+a n=50．∴S n==25n=200，解得n=8．故答案为：8．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．不等式（x2﹣4）（x﹣6）2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤2或者x=6} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】对不等式等价变形为（x+2）（x﹣2）（x﹣6）2≤0，然后解之．【解答】解：原不等式变形为（x+2）（x﹣2）≤0或者x=6，所以﹣2≤x≤2或者x=6；所以原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤2或者x=6}；【点评】本题考查了高次不等式的解法，能够分解为一次因式积的形式的多项式，根据各项的符号解不等式即可．16．定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列{a n}是等积数列且a1=2，公积为10，那么这个数列前21项和S21的值为72．【考点】8E：数列的求和．【分析】由等积数列的定义，可得a1=2，a2=5，a3=2，a4=5，…，即为周期为2的数列，即可得到数列前21项和．【解答】解：数列{a n}是等积数列且a1=2，公积为10，可得a2=5，a3=2，a4=5，…，则前21项和S21=2+5+2+5+…+2=7×10+2=72．故答案为：72．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的求和，注意运用周期性，考查运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）（2017春•湖北期中）和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．【考点】8G：等比数列的性质；8F：等差数列的性质．【分析】设等差数列的首项为a，公差为d，利用等差数列的第1项，第4项，第25项成等比数列，和为114，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设等差数列的首项为a，公差为d，则它的第1，4，25项分别为a，a+3d，a+24d，∵它们成等比数列，∴（a+3d）2=a（a+24d）∴a2+6ad+9d2=a2+24ad∴9d2=18ad，∵等比数列的公比不为1∴d≠0∴9d=18a (1)由根据题意有：a+（a+3d）+（a+24d）=114，即3a+27d=114 (2)由（1）（2）可以解得，a=2，d=4∴这三个数就是2，14，98．【点评】本题考查等比数列的性质和应用，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（12分）（2014秋•鄂伦春自治旗校级期末）已知函数f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+c．（1）当c=19时，解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，c的值．【考点】74：一元二次不等式的解法；3W：二次函数的性质．【分析】（1）c=19时，f（1）=﹣3+6a﹣a2+19=﹣a2+6a+16＞0，化为a2﹣6a﹣16＜0，解得即可；（2）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出．【解答】解：（1）c=19时，f（1）=﹣3+6a﹣a2+19=﹣a2+6a+16＞0，化为a2﹣6a﹣16＜0，解得﹣2＜a＜8．∴不等式的解集为（﹣2，8）．（2）由已知有﹣1，3是关于x的方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣c=0的两个根，则，解得【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）（2017春•湖北期中）已知等比数列{a n}中，a1=64，公比q≠1，a2，a3，a4又分别是某个等差数列的第7项，第3项，第1项．（1）求a n；（2）设b n=log2a n，求数列{|b n|}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，可得公比的方程，求得q，进而得到a n；（2）求得b n=log227﹣n=7﹣n，设数列{b n}的前n项和S n，运用等差数列的求和公式可得S n，讨论当1≤n≤7时，前n项和T n=S n；当n≥8时，a n＜0，则前n项和T n=﹣（S n﹣S7）+S7=2S7﹣S n，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）等比数列{a n}中，a1=64，公比q≠1，a2，a3，a4又分别是某个等差数列的第7项，第3项，第1项，可得a2﹣a3=4d，a3﹣a4=2d，（d为某个等差数列的公差），即有a2﹣a3=2（a3﹣a4），即a2﹣3a3+2a4=0，即为a1q﹣3a1q2+2a1q3=0，即有1﹣3q+2q2=0，解得q=（1舍去），则a n=a1q n﹣1=64•（）n﹣1=27﹣n；（2）b n=log2a n=log227﹣n=7﹣n，设数列{b n}的前n项和S n，S n=（6+7﹣n）n=n（13﹣n），当1≤n≤7时，前n项和T n=S n=n（13﹣n）；当n≥8时，a n＜0，则前n项和T n=﹣（S n﹣S7）+S7=2S7﹣S n=2××7×6﹣n （13﹣n）=（n2﹣13n+84），则前n项和T n=．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意数列中的项的符号，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）（2017春•湖北期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=5，c=，且4sin2﹣cos2C=（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得4cos2C﹣4cosC+1=0，可求，结合范围0＜C＜π，即可得解C的值．（2）由余弦定理可得7=（a+b）2﹣3ab，结合条件a+b=5，可求ab的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵A+B+C=180°，由，得，∴，整理得：4cos2C﹣4cosC+1=0，解得：，由于：0＜C＜π，可得：C=．（2）∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即：7=a2+b2﹣ab，∴7=（a+b）2﹣3ab，∵由条件a+b=5，∴可得：7=25﹣3ab，解得：ab=6，∴．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．21．（12分）（2012•虹口区校级模拟）在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a，b，c，其中c=10，且．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP 的面积．【考点】HP：正弦定理；N8：圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）由题设条件．利用正弦定理可得．，整理得讨论知，A=B或者A+B=．又，所以A+B=．由此可以得出，△ABC是直角三角形；（2）将四边形ABCP的面积表示成两个三角形S△ABC 与S△PAC的和，S△ABC易求，S△PAC需求出线段PA的长度与sin∠PAC的值，利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）证明：根据正弦定理得，．整理为：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以A=B，或者A+B=．由于，故△ABC是直角三角形．（2）由（1）可得：a=6，b=8．在Rt△ABC中，sin∠CAB==，cos∠CAB=sin∠PAC=sin（60°﹣∠CAB）=sin60°cos∠CAB﹣cos60°sin∠CAB=．连接PB，在Rt△APB中，AP=AB•cos∠PAB=5．所以四边形ABCP的面积S四边形△ABCP=S△ABC+S△PAC==．【点评】本题第一问考查正弦定理与分类讨论的思想，第二问是探究型题，需分部来求四边形的面积，化整为零，先求局部再求整体，方法较好．22．（12分）（2015•中山二模）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【考点】5D：函数模型的选择与应用；34：函数的值域；7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（I）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，则y=45x+180（x﹣2）+180•2a=225x+360a﹣360．由已知ax=360，得，所以．（II）因为x＞0，所以，所以，当且仅当时，等号成立．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．。
湖北省高一下学期期中联考数学试题 Word版含解析
数学
本试卷共 4 页，22 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
4
28
令 kπ π π ，解得 k 1 Z ，不合题意；
பைடு நூலகம்2 84
4
令 kπ π π ，解得 k 0 Z ，符合题意； 2 88
故 C 正确，D 错误；
故选：C.
5. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一
个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为 ，大正方形的面积为 S1 ，小正方形的
0
，则 cos
A
0 ，由
A0, π
，则 A
为锐角，
但△ABC 不一定为锐角三角形，故 D 错误； 故选：C
2. 已知 A3, 2 ， B 1, 5 ， C 1, 2 ，则 cos BAC （）
A. 2 5 25
B. － 2 5 25
C. 5 25
D. － 5 25
【答案】B
【解析】
【分析】确定
AB
B. 4 3 5
C. 4 3 3 5
D. 4 3 3 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得 3 sin C sin A sin Asin C ，得到 2
cos A 2
3 ，求得 A π ，再由 tan B 3 ，求得 sin B, cos B 的值，由 sin C sin( A B) 求得 sin C 的
湖北省鄂东南省级示范高中联考2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)
湖北省鄂东南省级示范高中联考高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题1、命题“∃x＞0，使得（x0+1）＞1”的否定是（）A、∀x＞0，总有（x+1）e x≤1B、∀x≤0，总有（x+1）e x≤1C、∃x≤0，总有（x0+1）≤1D、∃x＞0，使得（x0+1）≤12、为了解城市居民的健康状况，某调查机构从一社区的120名年轻人，80名中年人，60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取了3名，则n=（）A、26B、24C、20D、133、为了解重庆某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了5户家庭，得到统计数据表，根据表中可得回归直线方程= x+ ，其中=0.5，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（）A、15万元B、14万元C、11万元D、10万元4、某地区教学考试的成绩X～N（100，100），成绩X位于区间（110，120]的概率是（）参考数据P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．A、0.6826B、0.9544C、0.2718D、0.13595、已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在球O表面上，在球O内任取一点M，则点M在正方体ABCD ﹣A1B1C1D1内的概率是（）A、B、C、D、6、某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K2的观测者k=6.023，根据这一数据查阅如表：得到的正确结论是（）A、有97.5%以上的把握认为“市民收入增减与旅游愿望无关”B、有97.5%以上的把握认为“市民收入增减与旅游愿望有关”C、在犯错误的概率不超过0.25%的前提下，认为“市民收入增减与旅游愿望无关”D、在犯错误的概率不超过0.25%的前提下，认为“市民收入增减与旅游愿望有关”7、执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）A、k＞7B、k＞6C、k＞5D、k＞48、在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C的对角线相交于点M，则BM与平面ABC所成角的大小是（）A、30°B、45°C、60°D、90°9、高二（7）班参加冬令营的6位同学排成一排照相，甲乙必须相邻且甲、乙、丙必须从左到右的排法种数为（）A、120B、60C、36D、7210、若函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2f′（1）x+3，则（）A、f（0）＜f（4）B、f（0）=f（4）C、f（0）＞f（4）D、无法确定11、已知（1﹣x）10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a10（1+x）10，则a9=（）A、﹣20B、20C、﹣10D、1012、已知点P是双曲线﹣=1的右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若= +λ成立，则λ的值为（）A、B、C、D、二、填空题13、已知P（A）= ，P（AB）= ，则P（B|A）=________．14、如图某综艺节目现场设有A，B，C，D四个观众席，现有由5不同颜色的马甲可供现场观众选择，同一观众席上的马甲的颜色相同，相邻观众席上的马甲的颜色不相同，则不同的安排方法种数为________．15、某大厦有一部电梯，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在第10层下电梯的概率为，用ξ表示5位乘客在第10层下电梯的人数，则随机变量ξ的期望E（ξ）=________．16、以下几个命题中真命题的序号为________．①在空间中，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果α⊥β，α∩β=n，m⊥n，那么m ⊥β；②相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强；③用秦九昭算法求多项式f（x）=208+9x2+6x4+x6在x=﹣4时，v2的值为22；④过抛物线y2=4x的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，则使它们的横坐标之和等于4的直线有且只有两条．三、解答题17、已知集合A是函数y=lg（6+5x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集．p：x∈A，q：x∈B．(1)若A∩B=∅，求a的取值范围；(2)若￢p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18、如图是从成都某中学参加高三体育考试的学生中抽出的40名学生体育成绩（均为整数）的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70，80）内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：(1)求成绩在区间[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；(2)从成绩在[80，100]内的学生中选出三人，记在90分以上（含90分）的人数为X，求X的分布列及数学期望．19、已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．(1)求f（x）的解析式；(2)求过点A（2，2）的切线方程．20、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，BC=2，PA=，E为BC的中点．(1)证明：PE⊥ED；(2)求二面角E﹣PD﹣A的大小．21、已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0），短轴长2，两焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C 于M，N两点，且△F2MN的周长为8．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C相交于A，B点，点D为椭圆C上一点，四边形AOBD为矩形，求直线l的方程．22、已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）(1)a=3时，求函数f（x）的单调区间；(2)若f（x）≤2x2恒成立，求实数a的取值范围；(3)求证；lnn＞+ +1 +…+ （n∈N+）且n≥2．答案解析部分一、<b >选择题</b>1、【答案】A【考点】命题的否定＞0，使得（x0+1）＞1”的否【解析】【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x定是∀x＞0，总有（x+1）e x≤1．故选：A【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．2、【答案】D【考点】分层抽样方法【解析】【解答】解：由分层抽样得= ，解得n=13，故选：D．【分析】根据分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．3、【答案】C【考点】线性回归方程【解析】【解答】解：=10，=8．∴=8﹣0.5×10=3．所以回归方程为：=0.5x+3，当x=16时，=0.5×16+3=11．故选C．【分析】计算样本中心，代入回归方程解出，得出回归方程，利用回归方程进行预测．4、【答案】D【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：∵考试的成绩X～N（100，100），∴曲线关于x=100对称，根据3σ原则知P（110＜x＜120）= （0.9544﹣0.6826）=0.1359，故选D．【分析】根据考试的成绩X～N（100，100），得到曲线关于x=100对称，根据3σ原则知P（110＜x＜120）= （0.9544﹣0.6826）=0.1359，得到结果．5、【答案】D【考点】几何概型【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，则外接球的半径为a，∴在球O内任取一点M，则点M在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的概率是= ，故选：D．【分析】设正方体的棱长为a，则外接球的半径为a，以面积为测度，即可求出在球O内任取一点M，则点M在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的概率．6、【答案】D【考点】独立性检验的应用【解析】【解答】解：∵K2=6.023，6.023＞5.024，∴市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系这一断言犯错误的概率不超过0.025，故选D．【分析】根据所给的这组数据的观测值，把观测值同临界值进行比较，6.023＞5.024，得到市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系这一断言犯错误的概率不超过0.025．7、【答案】C【考点】程序框图【解析】【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 0第一圈2 2 是第二圈3 7 是第三圈4 18 是第四圈5 41 是第五圈6 88 否故退出循环的条件应为k＞5？故答案选C．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．8、【答案】A【考点】直线与平面所成的角【解析】【解答】解：取AC的中点O，连接OM，则BO⊥平面AA1C1C，所以∠MBO为BM与平面ABC所成角．设正方形的边长为2a，则OM=a，BO= a，∴tan∠MBO=∴∠MBO=30°故选A．【分析】先确定BM与平面ABC所成角，再在直角三角形中求解即可．9、【答案】B【考点】排列、组合的实际应用【解析】【解答】解：根据题意，假设剩余的3人是A、B、C，先将甲、乙、丙从左到右排好，排好后，除去甲乙之间的空位有3个空位，在3个空位中任选一个，安排A，有C31=3种情况，排好后，除去甲乙之间的空位有4个空位，在4个空位中任选一个，安排B，有C41=4种情况，排好后，除去甲乙之间的空位有5个空位，在5个空位中任选一个，安排C，有C51=5种情况，则一共有3×4×5=60种安排方法；故选：B．【分析】根据题意，假设剩余的3人是A、B、C，先将甲、乙、丙排好，分析空位的数目，依次分析A、B、C的安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案．10、【答案】B【考点】导数的运算【解析】【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，得f′（1）=2+2f′（1），即f′（1）=﹣2，f（x）=x2﹣4x+3，则函数的对称轴为x=2，则f（0）=f（4），故选：B【分析】求函数的导数，令x=1，求出函数的解析式，结合二次函数的对称性进行求解判断即可．11、【答案】A【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】解：∵（1﹣x）10=（x﹣1）10=[（1+x）﹣2]10=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a10（1+x）10，a9是展开式的第10项的系数，所以a9=（﹣2）1C109=﹣20．故选：A【分析】由（1﹣x）10=（x﹣1）10=[（1+x）﹣2]10，按二项式展开式，求出a9的值即可．12、【答案】C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：依题意，设△PF1F2的内切圆的半径为r，则= |PF1|•r，= |PF2|，= |F1F2|•r，∵= +λ∴|PF1|﹣|PF2|=﹣λ|F1F2|，∵P为双曲线右支上一点，∴2a=λ×2c，由双曲线的方程可知，a=6，b=8，故c=10，∴λ= = ．故选C．【分析】先由= +λ 得|PF1=|PF2|+λ|F1F2|=|PF2|+λ•2c，再由P是右支上的点，得到|PF1|=|PF2|+2a，由此能够求出λ的值．二、<b >填空题</b>13、【答案】【考点】条件概率与独立事件【解析】【解答】解：∵P（A）= ，P（AB）= ，∴P（B|A）= = = ，故答案为．【分析】直接利用条件概率公式，即可得出结论．14、【答案】260【考点】排列、组合的实际应用【解析】【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、对于A区域，可以在5种颜色中选1种，即有5种情况，②、对于B区域，需要在剩下的4种颜色种任选1种，即有4种情况，③、对于C、D区域，若D区域与B区域同色，C区域可以在剩下的4种颜色种任选1种，即有4种情况，若D区域与B区域不同色，则D区域需要在除A、B的颜色外的3种颜色种任选1种，即有3种情况，C区域可以在除B、D的颜色外的3种颜色种任选1种，即有3种情况，则C、D区域有4+3×3=13种情况；则不同的安排方法种数5×4×13=260种；故答案为：260．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、先分析A区域，可以在5种颜色中选1种，②、对于B区域，需要在剩下的4种颜色种任选1种，③、对于C、D区域，分“D区域与B区域同色”和“D区域与B区域不同色”两种情况讨论即可，由分步计数原理计算可得答案．15、【答案】【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：由题意知，ξ的可能取值是0，1，2，3，4，5，因为每位乘客在第10层下电梯的概率为，有一个人下电梯相当于发生一次试验，∴本题是一个独立重复试验，服从二项分布，即ξ～B（5，），∴随机变量ξ的期望E（ξ）=5× = ．故答案为：．故答案为：．【分析】ξ的可能取值是0，1，2，3，4，5，且ξ～B（5，），由此能求出随机变量ξ的期望E（ξ）．16、【答案】②③④【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】对于①，因为m并不属于α，根据线面垂直的关系定理，不能得到m⊥β，即错误．对于②，根据线性相关系数r的意义可知，当r的绝对值越接近于1时，两个随机变量线性相关性越强，故正确；对于③，∵f（x）=208+9x2+6x4+x6=（（（（（x）x+6）x）x+9）x）x+208，当x=﹣4时，v0=1，v1=1×（﹣4）=﹣4，v2=﹣4×（﹣4）+6=22，故正确；对于④，过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作直线l与抛物线相交于A、B两点，当直线l的斜率不存在时，横坐标之和等于2，不合题意；当直线l的斜率为0时，只有一个交点，不合题意；∴设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l为y=k（x﹣1），代入抛物线y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0；∵A、B两点的横坐标之和等于5，=4，解得k2=2，∴这样的直线有且仅有两条．故正确；故答案为：②③④【分析】①，m并不属于α，根据线面垂直的关系定理，不能得到m⊥β；②，利用线性相关系数的性质取判断．③，先将多项式改写成如下形式：f（x）=（（（（（x）x+6）x）x+9）x）x+208，将x=﹣4代入并依次计算v0，v1，v2的值，即可得到答案．④，讨论直线l的斜率不存在和斜率为0时都不符合题意，设l为y=k（x﹣1）与抛物线方程联立消去y，得出A、B两点的横坐标之和，求得k的值，判定命题正确三、<b >解答题</b>17、【答案】（1）解：由条件得：A={x|﹣1＜x＜6}，B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}，若A∩B=φ，则必须满足，所以，a的取值范围的取值范围为：a≥5（2）解：易得：¬p：x≥6或x≤﹣1，∵¬p是q的充分不必要条件，∴{x|x≥6或x≤﹣1}是B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集，则，∴a的取值范围的取值范围为：0＜a≤2【考点】交集及其运算，必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【分析】（1）分别求函数y=lg（6+5x﹣x2）的定义域和不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集化简集合A，由A∩B=∅得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a的取值范围；（2）求出¬p对应的x的取值范围，由¬p是q的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a的范围．18、【答案】（1）解：根据各组的频率和等于1知，成绩在[70，80）内的频率为：f4=1﹣（0.01×2+0.015+0.020+0.005）×10=0.4，对应的小矩形的高为=0.04，补全频率分布直方图如图所示；依题意，60分及以上的分数在第三、四、五、六段，故其频率和为（0.02+0.04+0.01+0.005）×10=0.75，∴估计学生成绩的及格率是75%（2）解：成绩在[80，100]内的人数为（0.01+0.005）×10×40=6，且在[80，90）和[90，100）内的人数分别为4人和2人；∴X的可能取值为0、1、2，计算P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，∴X的分布列为：数学期望为E（X）=0× +1× +2× =1．【考点】频率分布直方图，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）根据各组的频率和为1求出成绩在[70，80）内的频率，计算对应小矩形的高，补全频率分布直方图，再计算60分及以上分数的频率和即可；（2）计算成绩在[80，90）和[90，100）内的人数，得X的可能取值，求出对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望．19、【答案】（1）解：函数f（x）=ax3+bx2+cx的导数为f'（x）=3ax2+2bx+c，依题意，又f'（0）=﹣3即c=﹣3∴a=1，b=0，∴f（x）=x3﹣3x（2）解：设切点为（x0，x03﹣3x0），∵f'（x）=3x2﹣3∴切线的斜率为f'（x0）=3x02﹣3，∴切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），又切线过点A（2，2），∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0），∴2x03﹣6x02+8=0，即为2（x0+1）（x0﹣2）2=0，解得x0=﹣1或2，可得过点A（2，2）的切线斜率为0或9，即有过点A（2，2）的切线方程为y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），即为y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0【考点】导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1）由函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3，求导，可得±1是f′（x）=0的两根，且f′（0）=﹣3，解方程组即可求得，a，b，c的值，从而求得f（x）的解析式；（2）设切点，求切线方程，得到2=﹣2x03+6x02﹣6，解方程可得x0，运用点斜式方程，进而得到所求切线的方程．20、【答案】（1）证明：如图，在△ABC中，∵AB=1，BC=2，AB⊥AC，∴cosB= ，B=60°，又E为BC的中点，∴△ABE为正三角形，则AE=1，在△AED中，∵AE=1，AD=2，∠EAD=60°，∴，∴AE2+ED2=AD2，则AE⊥ED．又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥ED，∵PA∩AE=A，∴ED⊥平面PAE，则PE⊥ED；（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，过E作EG⊥AD，垂足为G，则EG⊥平面PAD，∴EG⊥PD，过G作GH⊥PD，垂足为H，连接EH，∴PD⊥平面EGH，则PD⊥EH．则∠EHG为二面角E﹣PD﹣A的平面角．在Rt△AED中，由AE=1，AD=2，ED= ，可得EG= ，∴GD= ，由△PAD∽△GHD，可得，即GH= = ．∴tan ，即∠EHG=60°．∴二面角E﹣PD﹣A的大小为60°【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1）在△ABC中，由题意可得△ABE为正三角形，则AE=1，在△AED中，求解三角形可得AE⊥ED．然后利用线面垂直的判定可得ED⊥平面PAE，从而得到PE⊥ED；（2）由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面ABCD，然后找出二面角E﹣PD﹣A的平面角．求解三角形可得二面角E﹣PD﹣A的大小．21、【答案】（1）解：由题意可得：2b=2，4a=8，解得b=1，a=2．∴椭圆C的方程为+y2=1（2）解：由题意可设直线l的方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2+8km+4m2﹣4=0，△＞0．∴x1x2= ，x1+x2= ．∵OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，化为：k2x1x2+km（x1+x2）+m2=0．∴k2× +km× +m2=0．化为：m2=4k2．设线段AB的中点G（x0，y0），则x0= = ，y0= +m= ．∴D ，代入椭圆方程可得：+4× =4，化为：16k2m2+4m2=1+8k2+16k4，把m2=4k2代入上述方程可得：3m4+2m2﹣1=0．解得m= ，解得k= ．∴直线l的方程为y= x【考点】椭圆的简单性质，椭圆的应用【解析】【分析】（1）由题意可得：2b=2，4a=8，解得b，a．可得椭圆C的方程．（2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2+8km+4m2﹣4=0，△＞0．由OA⊥OB，可得=x1x2+y1y2=0，即k2x1x2+km（x1+x2）+m2=0．利用根与系数的关系化为：m2=4k2．设线段AB的中点G（x0，y0），则x0= ，y0．可得D坐标代入椭圆方程解出即可得出．22、【答案】（1）解：a=3时，f（x）=lnx+x2﹣3x，（x＞0），f′（x）= +2x﹣3= ，△=32﹣8=1＞0，由f′（x）=0，解得x1= ，x2=1，当x∈（0，）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（）时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）上单调递减（2）解：f（x）≤2x2，化为：lnx﹣x2﹣ax≤0，∴a≥ ﹣x，令g（x）= ，g′（x）= ，令h（x）=1﹣lnx﹣x2，可知：函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．而h（1）=0=g′（1）．∴x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．∴函数g（x）在x=1时取得极大值即最大值，g（1）=﹣1．∴实数a的取值范围是a≥﹣1（3）证明：令t（x）=lnx﹣，则t′（x）= ＞0，∴t（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＞1时，t（x）＞t（1），即lnx﹣＞0，∴lnx＞，令x=1+ ，则ln（1+ ）＞，故ln（1+1）＞，ln（1+ ）＞，…，ln（1+ ）＞．累加得：ln（n+1）＞，取n=n﹣1，得lnn＞（n≥2）【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）把a=3代入函数解析式，求导后求得导函数零点，由导函数零点对定义域分段，求出各区间段内导函数的符号，从而求得原函数的单调区间；（2）把f（x）≤2x2化为：lnx﹣x2﹣ax≤0，得到a≥ ﹣x，令g（x）= ，利用导数求其最大值可得实数a的取值范围；（3）令t（x）=lnx﹣，由导数可得t（x）在（0，+∞）上单调递增，得到x＞1时，lnx＞，令x=1+ ，可得ln（1+）＞，累加可得ln（n+1）＞，取n=n﹣1得答案．。
湖北省部分重点中学2016-2017学年高一下学期期中联考物理试题
湖北省部分重点中学2016—2017学年度下学期期中联考高一物理试卷一、选择题二、实验题 13. AD （5分）14. （1）ACD ；（3分）（建议：不选C 也给分） （2）Ts s 235-；（3分） （3）23524))((81s s m M T mgs -+=（3分） 三、计算题15．（10分）【解析】(1) 设弹簧伸长时ΔL ，球受力如图所示，水平方向上有：20()N F sin k Lcos m L cos L θθωθ+∆=+∆ 2分 竖直方向上有：0N F cos k Lsin mg θθ-∆-= 2分解得ω=2分 (2) 2tan cos mg m r θωθ= 2分23r L =2分16. （12分）【解析】研究A 和B 所组成的双星系统： 对A ： A B r Tm d m m G 2020)2(π= （2分） 对B ：B B B r Tm d m m G220)2(π= （2分） 又：d r r B A =+ （1分）可得：T =对天体A ：02A Am mGmg R = （2分） 对天体B ：2B B Bm mGmg R = （2分）则：T =（3分）17. （12分）解析：匀加速的末速度：110/pv m s kmg ma==+ 1分加速时间：112v t s a== 1分 加速位移：211102v L m a== 1分 满功率运行最大速度：60/m pv m s kmg== 1分 减速时间：312mv t s a== 1分 减速位移233602mv L m a== 1分 满功率运行位移2131630L L L L m =--= 1分 满功率运行时间)(2121222v v m kmgL Pt m -=- 得256.3t s = 2分 总时间321t t t t ++= 1分 解得70.3t s = 2分18. （14分）解析：（1）在B 点，有：2Bv mg m R= 1分根据动能定理得：22011222B mgR mv mv -=- 1分则：0v = 2分（2）在A 点，有：2A v F mg m R-= 1分得：6BFmg = 2分（3）若圆轨道不光滑，F 0=7mg ，则在B 点满足：2B B v F mg m R +=； 1分在A 点，有：2A A v F mg m R-= 1分其中F A -F B =7mg ； 1分 根据机械能守恒定律得： 2mgR+12mv B 2+W f =12mv A 2 1分 解得12f W mgR =1分当9F mg =时，同理可得'B v 2分。