n维向量,向量间的线性关系
n维向量组a1a2a3a4线性相关
n维向量组a1a2a3a4线性相关线性相关，指的是两个或多个变量之间存在着一定程度上的相关性。
只要任意两个变量间有任何线性关系，它们就被认为是线性相关的。
维向量组a1a2a3a4之间存在线性相关性，那么关于它们的内容有：1. 维向量组a1a2a3a4可以表示为m维空间里的n个线性方程，即a1、a2、a3、a4都可以表示为：$x_1c_1 + x_2c_2 + x_3c_3 + x_4c_4 = 0$ 。
2. a1a2a3a4之间的线性关系可以表示为：一个变量值的变化会改变其他变量的值，或者说某一变量的变化会引起其他变量的变化。
3. 根据a1a2a3a4的线性相关性，在满足一定约束条件时，可以求出4个变量之间的相对关系。
4. a1a2a3a4之间的线性相关性包括两个方面：一是它们本身存在线性关系，二是它们之间存在线性关系。
5. 维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以通过线性回归分析等方法来进行评估和确定。
6. 定量分析维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性，可以通过Kendall系数法，Spearman等秩相关系数等方法来测定。
7. 维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以用多元线性回归模型进行预测和分析，来验证其定量分析结果。
8. 利用维向量组a1a2a3a4之间的线性相关性可以分析多个指标之间的关系，从而实现建模和预测。
9. 如果维向量组a1a2a3a4之间的线性关系很强，那么可以用回归模型来表示，从而可以实现估算变量值，也可以给出变量的可信区间。
10. 利用维向量组a1a2a3a4之间的线性关系可以计算特征向量的投影，可以解决多维特征间相关性的研究问题，使特征维度减少，数据表达更加简洁。
第1节 n维向量及其线性相关性(全)
第四章向量及向量空间§1 n维向量及其线性相关性§2 向量组的秩§3 线性方程组解的结构§4 向量空间§1 n维向量及其线性相关性●n维向量●线性相关性定义1 n 个有次序的数所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数称为第i 个分量。
,,,12n a a a i a ◆分量全为实数的向量称为实向量◆分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量◆n 维向量写成一行的称为行向量◆n 维向量写成一列的称为列向量(),,,n a a a 1212 n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭◆实数域R 上全体n 维向量组成的集合称为n 维实向量空间记为R n说明：◎行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。
◎所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
◎通常情况下，列向量用黑色小写字母a ,b ,α,β等表示，行向量则用a ,b ,αT ,βT 表示。
◎行向量和列向量也分别称为行矩阵和列矩阵，并规定都按矩阵的运算规则进行运算。
◎若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为向量组。
11121314342122232431323334a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1234,,,αααα=123T T T βββ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组例如定义2 设a∈R n, k i∈R, (i=1, 2, …, m)，则向量ik1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组a, a2, …, a m在实数域R上的一个线性组合。
1k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义：若记b= k1a1 + k2a2 + … + k m a m, a2, …, a m线性表示。
则称向量b 可由向量组a1b 可由向量组a1, a2, …, a m线性表示方程组xa1 + x2a2 + … + x m a m = b有解1例：设()123100,,010001E e e e ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100203170001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123237e e e =++237b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么线性组合的系数e 1, e 2, e 3的线性组合一般地，对于任意的n 维向量b ，必有1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000010000100001n E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例零向量是任何一组向量的线性组合.例向量组a 1, a 2, …, a s 中的任一向量a j (1≤j ≤s )都是此向量组a 1,a 2, …, a s 的线性组合。
n维向量,线性相关性
分量全部为零的向量称为零向量，记为 o 。 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、 数乘等概念完全与矩阵相同.
设 (a1 , a2 ,, an )， (b1 , b2 ,, bn ),
则 (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )，
k (ka1 , ka2 ,, kan ) .
3
向量的线性运算满足以下八条运算律：
(1) +=+ (2) +(+)=(+)+ (3) +0= (4) +(-)= 0 (5) (k+l)=k+l (6) k(+)=k+k (7) (kl)=k(l) (8) 1=
练习：
7
一、线性组合、线性表示
定义3.3 给定 n 维向量 1 ,, s 和 , 若存在 s 个数
k1 ,, ks ，使 k11 ks s ，则称 是向量 组 1 ,, s 的一个线性组合，或称 能被向量组 1 ,, s 线性表示(线性表出)。
12
1 1 2 2 例1 设 1 0 , 2 2 , 3 1 , 5 , 1 1 0 4
能否由1 , 2 , 3 线性表示?
(3' ) 向量方程 x 有唯一解x - . 移项规则
例1 设 3(1 - ) 2( 2 ) 5( 3 ) ， 其中 1 (2,5,1) , 2 (10,1,5) , 3 (4,1,-1) , 求 .
解 31 - 3 2 2 2 5 3 5 ,
则上式可写成: B AK （K叫该线性表示的系数矩阵）
3-1,2n维向量及其运算向量组的线性相关性
0
1
定义2 设两个n维向量组
I
1, 2, 3,……,s
(II)
1, 2, 3, ……,t
如果(I)组中每一个向量i (i=1,2,…,s)都能由
向量组(II)线性表示，则称向量组(I)可以
由向量组(II)线性表示.
如果两个向量组可以相互线性表示，则称这
两个向量组等价.
例如，对于向量组
一. n维向量空间
1. n 维向量
定义：n 个有次序的数a1,a2 , ,an 所组成的有序数组
a1,a2 , ,an 称为一个n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i个数 ai 称为第 i 个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，
分量为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
注意 1. 若 1,2 ,
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 km 0时, 才有
k11 k22 kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
的和，记为
负向量：向量 a1, a2 , , an 称为向量 的负向量
向量减法： ( )
数乘向量：设k为实数，向量 ka1, ka2 , , kan 称为向量 a1,a2 , ,an
与数k的数量乘积。记为 k
满足运算律：
(1)
(5)1
(2)( ) ( ) (6)k(l ) (kl)
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1))
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
3.2 n维向量及其线性相关
证 设向量组 a1 , a2 ,, an中有某一部分组线性 相关.不妨设 a1 , a2 ,, a s ( s < m )线性相关,则存在 线性相关, 相关. s个不全为零的数 k1 , k2 ,, k s , 使得
于是得
k1a1 + k2a2 + + k s a s = θ
k1a1 + k2a2 + + k s a s + 0a s +1 + + 0am = θ
第i个数a i 称为第 i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量, 分量全为实数的向量称为实向量, 实向量 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为复数的向量称为复向量. 复向量
例如
(1,2,3,, n)
n维实向量 维实向量 n维复向量 维复向量
(1 + 2i ,2 + 3i ,, n + ( n + 1)i )
第2个分量 个分量 第1个分量 个分量
第n个分量 个分量
二,n维向量的表示方法
n 维向量写成一行,称为行向量,也就是行 维向量写成一行,称为行向量 行向量, 矩阵, 等表示, 矩阵,通常用 aT , bT ,αT , βT 等表示,如:
a T = ( a 1 , a 2 , , a n )
n 维向量写成一列,称为列向量,也就是列 维向量写成一列,称为列向量 列向量, 矩阵, 等表示, 矩阵,通常用 a,b,α, β 等表示,如: a1 a2 a= a n
不全为零, 因为k1,k2, ,k s , 0,,0不全为零, 线性相关. 故由定义知 a1 , a2 ,, am 线性相关.
定理 向量组 α 1 ,α 2 ,...,α m线性相关的充分必 要条件是: 要条件是:至少存在一个 α i (1 ≤ i ≤ m ) 可有其余 线性表出. 向量 α 1 ,α 2 ,...,α i 1 ,α i +1 ,...,α m 线性表出. 证明 充分性 中有一个向量( 设 a1 , a 2 , , a m 中有一个向量(比如 能由其余向量线性表示. 能由其余向量线性表示 即有
n 维向量及向量组的线性相关性
能线表却不唯一
不能线表
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 有唯一解
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 有无穷解
1 1 + 2 2 + ⋯ + = 无解
例:判断向量 能否由向量组 , , , 线性表出，
若能，求出一 组组合系数，其中
证 设有x1 , x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（
1 1 2） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x 3 ) 1 ( x1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0,
矩阵方程
研究向量之间的关系
线性组合
例：1 = (2, −4,1, −1) ,
2
若满足31 − 2 + 2 = 0, 求.
解： =
1
− (21
2
− 32 )= −2 +
1
= (6, −5, − , 1)
2
3
1
2
唯一线表
所组成的集合叫做向量组．
例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量
mn
a11 a12 a1 j a1n
a 21 a 22 a 2 j a 2 n
A
a m 1 a m 2 a mj a mn
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
亦即（ x1 x 3 ) 1 ( x1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0,
3.1 n维向量及其线性相关性
, an )T.
1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.
2. 当未说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
公共基础课部 线性代数 2014秋季
定义3.2 设 = (a1, a2,, an) Fn , = (b1, b2,, bn) Fn, F , F为数域 (1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,,n (2) 向量加法（ 与 之和 ） : + = (a1+b1, a2+b2,, an+bn) (3) 向量数乘（数量乘法，数 与 之乘积）: = (a1,a2,,an)
n 维实向量 n 维复向量
第n个分量
第1个分量
公共基础课部
线性代数
2014秋季
n 维向量写成一行, 称为行向量, 也就是行矩阵, 如
(a1 , a2 , , an );
n 维向量写成一列, 称为列向量, 也就是列矩阵, 如
a1 a β 2 (a1 , a2 , an
, αm (m 2) 线性相关,
, km , 使得
则存在一组不全为零的数 k , k ,
k1α k2α
不妨设 k 0, 则
kmαm 0,
k3 km k2 α α α3 αm , k1 k1 k1 可见向量 α1 是其余向量的线性组合.
公共基础课部 线性代数 2014秋季
, αm 构成 n m 矩阵:
A [α1 α 2
m 个 n 维行向量 β , β ,
T 1 T 2 T m
α m ];
, β 构成 m n 矩阵:
β1T T β2 B . T βm
n维向量的线性相关性
例如 对向量α=(1, 1, 0), β=(2, 1, 1), γ=(1, 0, 1),
β=α+γ, β是α, γ的线性组合.
在n维向量空间中，设
1,0,,0, 0,1,,0, , 0,0,,1,
1
2
则对任何一个n维向量
(a ,a ,,na )
12
n
都有 a11 a2 2 an n .
证 用反证法，利用性质2即得。
4．若向量组i=(ai1, ai2,…, ain), i=1, 2, …, m, 线
性相关， 则去掉最后r个分量(1≤r<n)后，所得 到的向量组： βi=(ai1, ai2,…, ain-r) , i=1, 2, …, m 也线性相关.
证 由 α1, α2, …, αm 线性相关，故存在着
a ,a ,,a i 1,2,,n
i
i1 i2
in
线性相关的充分必要条件为
a a a
11
21
n1
a a a
D
12
22
n2
0.
a a a
1n
2n
nn
向量组的线性相关与线性无关的性质
1．含有零向量的向量组必线性相关.
证 不失一般性，设所给的m个向量为
0, ,, .
1
2
m
从而存在不全为零的数1,0,…,0，使得
解 设 k k k 0,
11
22
33
即 系数行列式
k 1
2k 2
k 3
0
2k
1
k
2
3k 3
0
2k 1
k 2
k 3
0
1 2 1
不能用克莱
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例 设1 (1，2， 1，3)T ,2 (2, 4, 2, 6)T , 3 (2, 1,1, 3)T , 1 (4, 3, 0, 3)T , 2 (4, 3, 1, 3)T , 试问1与2能否由1,2 ,3 线性表出?若能,请写出其
的和，记为
,an bn T
3.1.2 n 维向量的运算
向量加法：向量 a1 b1,a2 b2 , 称为向量 a1,a2, ,an T b1,b2, ,bn T
的和，记为
,an bn T
负向量：向量
a1,a2,
称为向量 的负向量
,an T
向量减法：
2
,
3
,
线性表示.
4
又向量 (1, 0,1)T 不能由向量组1 (2, 3, 0)T , 2 (1, 2, 0)T 线性表示.事实上，若假设
k11 k22
则将推出矛盾：1 0.
由此可见,有的向量可由某一向量组线性表示， 而有的则不行.那么如何判断一个向量能否由某一个 向量组线性表示呢?
aj a1 j
a2 j
an a1n a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1
ai2
ain
T i
1 2 2 4
(1
,
2
,
3
,
2
)
2 1
4 2
1 1
3
1
3
6
3
3
1
r2 2r1
r3 r1 0 r4 3r1
0
0
2 0 0 0
2 5 3 9
4
5
3
9
r1
2 5
r2
1
5r2
r3
3 5
r2
9
r4 5 r2
1 0 0 0
2 0 0 0
0 1 0 0
2
1 0
,
0
例 设1 (1，2， 1，3)T ,2 (2, 4, 2, 6)T , 3 (2, 1,1, 3)T , 1 (4, 3, 0, 3)T , 2 (4, 3, 1, 3)T , 试问1与2能否由1,2 ,3 线性表出?若能,请写出其
表达式。
解： 因为
1 2 2 4
(1
,
2
,
3
,
1
)
2 1
4 2
1 1
3
0
3 6 3 3
1
r2 2r1
r3 r1 0 r4 3r1
0
2 0 0
2 5 3
4
5
r3
3 5
r2
r4 95r2
1 0
4
0
2 0 0
2 5 0
4
5 1
,
0
0
9
9
0
0
0
0
例 设1 (1，2， 1，3)T ,2 (2, 4, 2, 6)T , 3 (2, 1,1, 3)T , 1 (4, 3, 0, 3)T , 2 (4, 3, 1, 3)T , 试问1与2能否由1,2 ,3 线性表出?若能,请写出其
解: 设 k11+k22=, 对矩阵(α1T , α2T , β1T )施以初等
行变换:
1
(α1T
,
α2T
,
β1T
)
2 1
2 1 1
4 1 r2 2r1
3
r3 r1
0 r2 5r1
1 0
2 5 3
4 r2 1 2 4
5
r3 3r2
0 r4 9r2
1
1
3 0 0 0
5
故 1不能由向量组1,2 ,3线性表示.
例 设1 (1，2， 1，3)T ,2 (2, 4, 2, 6)T , 3 (2, 1,1, 3)T , 1 (4, 3, 0, 3)T , 2 (4, 3, 1, 3)T , 试问1与2能否由1,2 ,3 线性表出?若能,请写出其
表达式。
解： 因为
( )
a1 b1,a2 b2 , ,an bn T
注意：两个向量只有维数相同时，才能进行加 法和减法运算！
数乘向量：设 k 是一个数，向量 (ka1 , ka2 ,, kan )T
称为向量 a1,a2, ,an T 与数 k 的数量乘积。
记为 k
向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算。 显然，向量的加法与数乘去处是矩阵的加法与数乘 运算的特例。因此向量的两种运算满足以下去处规 律。
称为向量组1
,
，
2
, m的一个线性组合，而
k1，k2， , km称为这个线性组合的系数.
3.2.1 线性组合与线性表示
向量之间除了运算关系还存在着各种关系，其 中最主要的关系是向量组的线性相关与线性无关。
定义2
若向量 是向量组1,2 ,
的一个线性
m
组合,即
k11 k22 kmm ,
则称 可由向量组 1,2 , ,m 线性表示。
2
1
r
0
1
2
1
2 1 4 3 r42r1 0 1 2 1 0 0 0 0
2
3
0
1
0
1
2
1
0
0
0
0
R( A) R(B),因此，向量能由向量组1，2，3 线性表示。且表达式为 21 2 .
例 判断向量β1=(4,3,-1,11)与β2=(4,3,0,11)是否各 为向量组a1=(1, 2, -1, 5), a2=(2, -1, 1, 1)的线性组合. 若是, 写出表达式.
定义 3 给定向量组A :1 ,2 , ,m ,如果存在
不全为零的数k1 , k2 , , km使
k11 k22 kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
例如,向量组1 (1, 0,1)T ,2 (1, 2, 2)T , 3 (1, 2, 4)T 是线性相关的, 因为有不全为零的数 2,1, 1, 使21 2 3 0 .
am1 am2 amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 ,, m ,
构成一个m n矩阵
A (1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成
T 1
的向量组
1T
,
T 2
,
T m
表达式。
解： 因为
1
(1
,
2
,
3
,
1
)
2 1
3
2 4 2 6
2 1 1 3
4
3
0
3
r1
2 5
r2
1 5
r2
r3
3 5
r2
r4
9 5
r2
1 0 0 0
2 0 0 0
0 1 0 0
2
1 0
,
0
所以,
R(1,2 ,3 , 2 )
R(1
,2
,
3
)
2,
故
能由
2
向量组1
,
2
,
线性表示,表示式为
§3.2 向量间的线性关系
3.2.1 线性组合与线性表示 3.2.2 线性相关与线性无关
3.2.1 线性组合与线性表示
向量之间除了运算关系还存在着各种关系，其 中最主要的关系是向量组的线性相关与线性无关。
定义1 设1 ,2 , ,m为n维向量组，k1，k2， , km
是一组实数，则表达式
k11 k22 kmm
,
1
0 0
,
2
1 0
,
3
0 1
,
4
0
0
0
0
0
0
1
有
2 1 0 0 0
5
2
0
5
1
3
0
0
0
3 0 0 1 0
0
0
0
0
1
即 =21 52 33 04
所以，称
是
1
,
2
,
3
,
的一个线性组合,
4
或
可以
由
1
,
1
11
0
9
9
0
0
0
1 0 2
r1 2r2
0
1
1
0 0 0
0
0
0
秩(α1T , α2T , 1T ) 秩(α1T , α2T )=2.
因此b1可由a1,a2线性表示, 且 由上面的初等变换可知k1=2, k2=1使b1=2a1+a2.
3.2.2 线性相关与线性无关
1、线性相关的概念
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2n个分量
n维实向量 n维复向量
2 n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
关于向量的线性表示，有以下明显的事实：
若以向量1,2 , ,m , 为列的矩阵 A (1,2 , ,m , )