矩阵论第二章-4

§4.数字矩阵的Jordan标准形一、数字矩阵的Jordan标准形二、数字方阵的有理标准形12一、数字矩阵的Jordan标准形一个n阶的正规矩阵 ，可以经过酉变换（相似变换）化成一个对角矩阵（标准形）,HHn nA AA A A ×=()12,,,.n diag λλλ⋯ 问题: 一般地n阶数字矩阵 相似于什么样的（最简）形式?n n A ×3例1 将32311()125A λλλλλλλ⎛⎞−+⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟+⎝⎠写成数字阵为系数的的多项式.解:10000111()1001010012000015A λλλλ−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++−+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦多项式矩阵与数字矩阵的关系：每一个m ×n 的多项式矩阵都可以化成一个数字矩阵为系数的多项式。

4一般地，设)()()ij m n A a λλ×=,)()ij i js a λ=,max deg ， 其中A 为m n数字阵,且这种表示法唯一. 此时称)A λ是次多项式矩阵,记作)deg[]A s λ=.则 ()1011s s s sA A A A Aλλλλ−−=++++⋯当s =时,)A λ是数阵. 当det A ≠时,称)A λ是正则多项式矩阵.当)A λ，)B λ中有一个是正则多项式时,)()()()()deg deg deg A B A B λλλλ=,即0A B ≠。

若)A O λ=,则不定义次数.51. 存在唯一的n 阶多项式矩阵)n nP λ×,及唯一的数字矩阵n n R ，使)()()B E A P R λλλ=−+引理 对任意的n 阶多项式矩阵)n n B λ×和数阵n n A , 2. 存在唯一的n 阶多项式矩阵)n n Q λ×及数字矩阵n nS 使)()()B Q E A S λλλ=−+证明:设=B m λ (m ≠0)，且011()m m m mB B B B B λλλλ−−=++++⋯其中m B B ⋯,,为阶数阵,且0≠B .(若=m ,则取)0P λ=,()==R B B λ即可.)6设)12121m m m m P P P P P λλλλ−−−−=++++⋯代入)()()B E A P Rλλλ=−+,比较系数, )()E A P λλ−+=)12121()m m m m E A P P P P λλλλ−−−−−++++⋯+1011mm m mB B B B λλλ−−=++++⋯11121()()()mm m m m P P AP P AP R AP λλλ−−−−=+−++−+−⋯令111,,,,m m P B P B AP R B AP −==+=+⋯即得要证的结论。

7即E A λ与E B λ等价.⇒设A 与B 相似,则存在可逆矩阵T 使−=T AT B .证明证明::11()E B E T AT T E A Tλλλ−−−=−=−定理1 设××n n n n A B 为数字阵, 则A 与B 相似⇔~−−E A E Bλλ.⇐ 略（用引理）8例2 设010,010011011A B ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠,问A 与B是否相似?解010011E A λλλλ−−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠01011E B λλλλ−⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠()()()()()31231,1,1AAAD D D λλλλλ==−=−()()()()()31231,1,1BBBD D D λλλλλ==−=−λ−与λ−有相同的秩及相同的行列式因子,因此λ−与λ−等价,故A 与B 相似.9解01−⎛⎞−=⎜⎟−⎝⎠E A λλλ,11−⎛⎞−=⎜⎟−−⎝⎠E B λλλE A λ的不变因子为λ−,λ−.B E λ的不变因子为1,(1)λ−.也可用初等变换直接证特征方阵等价.因此A 与B 不相似.事实上,A 是单位阵,与单位阵相似的方阵只有单位阵本身.例3 设0111,A B ⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠, 问A 与B 是否相似?10定理2 1. 若n 阶数字方阵n nA 的特征矩阵E Aλ的初等因子组只有一个首一的n 次多项式()na λ−，则A 与J相似或A 与 T J 相似,其中 11O a a J Oa ⎞⎛⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋱⋱112. 若数字矩阵n nA 的特征矩阵E Aλ的初等因子组为:)()1212,,,()sn n n s λλλλλλ−−−⋯ （s 个）2s n n n n+++=⋯，则A 与12s J JJ J ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋱相似或A 与 TJ相似,(称J 为A 的Jordan 标准形)12其中11iii ii i n nJ λλλ×⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋯⋯⋯⋮⋱⋱⋮是属于初等因子()−in i λλ的Jordan 块.E A E Jλλ⇒−−~A ⇒与 相似.J()na λ−()()rank E A rank E J nλλ−=−= 证明：1. 因为 与 有相同的初等因子组 ，E J λ−E A λ−13()11,,ssE J diag E J E J λλλ−=−−⋯ 2. 设sE E E⋯,,,分别是,,,sn n n ⋯阶单位方阵,因此， 与 有相同的秩及初等因子组，E J λ−E A λ−E A E J λλ⇒−−∼等价A ⇒与 相似.J的初等因子组为 E Jλ−()()1212,,,n n λλλλ−−⋯()sn s λλ−14注: 1. n 阶数字方阵在复数域上总可经适当的相似变换化成Jordan 标准形,该Jordan 标准形除了Jordan 块的次序外唯一确定. 2. 当1sn n n ====⋯,即=时,Jordan 标准形即为对角形.15例4 求101014A −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠的Jordan 标准形. 解:1114E A λλλλ+−⎛⎞⎜⎟−=−−⎜⎟⎜⎟+⎝⎠ (找初等因子组)显然1()1,D λ=2()1,D λ=23212()11(1)(3)014D λλλλλλ+−=−−=−++λ−的初等因子组为(1),(3),λλ−+对应的Jordan标准形为16100030013J ⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟−⎠⎝例5 初等因子组为,(1),(2)λλλ−+的5阶方阵的Jordan 标准形为01112J ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−λ−的初等因子组为(1),(3),λλ−+对应的Jordan标准形为17第二步:求每一初等因子对应的Jordan块;第三步:写出A 的Jordan标准形.第一步:先求E Aλ的初等因子; ⎧⎪⎨⎪⎩求 阶数字阵的Jordan标准形的步骤:n18定理3若n 阶数字方阵A 的特征方阵具有不变因子:()()()1211n d d d λλλ−====⋯()111n n n n n d a a aλλλλ−−=++++⋯二、数字方阵的有理标准形则A 矩阵与2110101nna a C a a −−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋯⋯⋯⋯⋯⋱⋱⋮⋱ 相似.称C为A 的有理标准形，也称C 为多项式11nn n na a aλλλ−++++⋯的相伴矩阵。

19121111nn a a E C a a λλλλλ−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−+⎝⎠⋱⋮⋱证:具有不变因子)()()1211n d d d λλλ−====⋯, )111nn nn nd a a aλλλλ−−=++++⋯. 因此λλ−−∼,与相似.20例6 设18621410A ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠.)()121d d λλ==,)3232d λλλλ=++,于是的有理标准形 101012C ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.E A λ的不变因子为：21例7 若数字矩阵A 的特征方阵的不变因子为： ()()()1231,d d d λλλ===4324()2468d λλλλλ=+−−+.0008100601040012C −⎞⎛⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠则数字矩阵A 的有理标准形为：。