平面直角坐标系中的图形面积解题技巧.doc
专题10 坐标系中的面积与规律探究问题 专项提升(精讲
专题10 坐标系中的面积与规律探究问题专项提升（精讲）高频考点1. 平面直角坐标系的面积：知坐标，求面积解题技巧：已知组成不规则图形端点的坐标，求面积问题，常用方法：“割补法”。
原则是通过割补，不规则图形或则边长不好表示的图形成容易根据点的坐标求解出边长的图形，然后在求解图形面积。
①不规则多边形：过不规则图形的顶点作坐标轴的垂线与平行线，将不规则图形“补形”成一个大的矩形；然后用大的矩形面积减去多余部分图形（多位直角三角形）面积。
②三角形：三角形用“补形法”也可以进行，但相对比较麻烦，三角形常用方法为“切割法”。
过三角形的顶点作坐标轴的垂线，将三角形切割成易于根据点的坐标求解边长的规则图形。
例1．（2022•汇川区期末）如图，点A、B的坐标分别为（﹣5，6）、（3，2），则三角形ABO的面积为（）A．12 B．14 C．16 D．18【分析】作AC⊥x轴、BD⊥x轴，根据A、B坐标得出AC、BD及CD的长，根据S△AOB＝S梯形ABDC ﹣S△AOC﹣S△BOD可得答案．【解答】解：如图，作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，∵A（﹣5，6）、B（3，2），∴AC＝6、OC＝5，BD＝2、OD＝3，则CD＝OC+OD＝8，∴S△AOB＝S梯形ABDC﹣S△AOC﹣S△BOD=12⨯（2+6）×8-12⨯5×6-12⨯2×3＝32﹣15﹣3＝14，故选：B．变式1．（2022•市中区二模）平面直角坐标系中，P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做P （x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．若点B在第一象限且满足「B」＝4，则满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】由勾股值的定义可得方程x+y＝4（x＞0，y＞0），变形得y＝﹣x+4，求出此函数与坐标轴的交点坐标即可求面积．【解答】解：设点P坐标为（x，y），由点B在第一象限且满足「B」＝4，∴x+y＝4（x＞0，y＞0）．即y＝﹣x+4，∵y＝﹣x+4与x轴交点为（4，0），与y轴交点为（0，4），∴满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为1442⨯⨯=8．故选：D．变式2．（2022春•嘉祥县期末）若△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），C （1，3），则△ABC的面积为（）A．7.5 B．10 C．15 D．20【分析】构造平面直角坐标系，标出点A、B、C在坐标系中的位置，过点C向AB作垂线，垂足为D，根据S△ABC=12⨯AB×CD，即可得到答案．【解答】解：过点C向AB作垂线，垂足为D，如下图所示：则AB＝2﹣（﹣3）＝5，CD＝3+1＝4，S△ABC=12⨯AB×CD=12⨯5×4＝10，故选：B．高频考点2. 平面直角坐标系的面积：知面积，求坐标（方程思想）解题技巧：我们可以利用方程的思想，设未知点的坐标为未知数，然后再根据点的坐标，确定线段的长度，进而根据图形面积列方程，求解出未知数即可。
初中直角坐标面积问题教案
初中直角坐标面积问题教案【教学目标】1. 理解平面直角坐标系中图形的面积概念。
2. 学会使用分割法、填减法等方法求解平面直角坐标系中不规则图形的面积。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【教学内容】1. 平面直角坐标系的基本概念。
2. 图形的面积概念及求解方法。
3. 分割法、填减法在求解面积问题中的应用。
【教学过程】一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾平面直角坐标系的基本概念，包括坐标轴、象限等。
2. 提问：同学们，你们知道图形的面积是什么意思吗？面积如何计算呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解图形的面积概念，引导学生理解面积的意义。
2. 介绍分割法、填减法两种求解面积的方法。
3. 举例讲解如何使用分割法、填减法求解平面直角坐标系中的不规则图形面积。
三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 选几位同学上台演示解题过程，并讲解解题思路。
四、巩固提高（15分钟）1. 引导学生总结本节课所学的知识点，巩固记忆。
2. 提问：同学们，你们能运用分割法、填减法解决实际问题吗？请大家举例说明。
五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学的知识点，强调重点。
2. 提醒学生在日常生活中注意观察和运用平面直角坐标系中的面积问题。
【教学反思】本节课通过讲解平面直角坐标系中的面积问题，使学生掌握了图形的面积概念以及求解方法。
在教学过程中，注重引导学生主动思考、积极参与，提高了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，通过课堂练习和巩固提高环节，使学生能够将所学知识点运用到实际问题中。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生对平面直角坐标系中的面积问题有了更深入的理解。
在今后的教学中，要继续加强对学生思维能力的培养，鼓励学生主动探索、勇于创新。
此外，要注意调整教学节奏，保证课堂信息的充足和学生的积极参与。
通过不断改进教学方法，提高学生的数学素养，为后续学习打下坚实基础。
北师大版八年级数学上册类比归纳专题平面直角坐标系中图形面积的求法测试卷
北师大版八年级数学测试卷（考试题）类比归纳专题：平面直角坐标系中图形面积的求法——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一有一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形直接求面积1．如图，平面直角坐标系中△ABC的面积是()A．2 B．4 C．8 D．62．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则△ABC的面积为________．◆类型二利用补形法或分割法求图形的面积【方法10】3．如图，四边形ABCD的面积为()A．16.5 B．21 C．17 D．184．(2016－2017·安陆市期中)如图所示，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；(2)求出此三角形的面积．◆类型三与图形面积相关的点的存在性问题6．如图，平面直角坐标系中，ABCD 为长方形，其中点A，C的坐标分别为(－4，2)，(1，－4)，且AD∥x轴交y轴于M点，AB∥y轴交x轴于N点．(1)求B，D两点的坐标和长方形ABCD 的面积；(2)一动点P从A点出发，以12个单位/秒的速度沿AB向B点运动，是否存在某一时刻t，使△AMP的面积等于长方形ABCD面积的13？若存在，求出t 的值，并求此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，四边形OABC 各个顶点的坐标分别是O (0，0)，A (2，0)，B (4，2)，C (2，3)，过点C 与x 轴平行的直线EF 与过点B 与y 轴平行的直线EH 交于点E .(1)求四边形OABC 的面积；(2)在线段EH 上是否存在点P ，使四边形OAPC 的面积为7？若不存在，说明理由；若存在，求点P 的坐标．参考答案与解析 1．B 2.7.53．B 解析：由图可知，四边形ABCD 的面积为1个长方形加3个三角形的面积，即S四边形ABCD ＝3×4＋12×1×3＋12×1×3＋12×3×4＝21.4．11 解析：过点B 作BD ⊥x 轴于D ，则S四边形ABCO＝S梯形OCBD＋S三角形ABD＝12×(4＋2)×3＋12×1×4＝9＋2＝11.5．解：(1)A (3，3)，B (－2，－2)，C (4，－3)；(2)如图，分别过点A ，B ，C 作坐标轴的平行线，交点分别为D ，E ，F .S 三角形ABC ＝S 正方形DECF －S 三角形BEC －S 三角形ADB －S 三角形AFC ＝6×6－12×6×1－12×5×5－12×6×1＝352.6．解：(1)∵点A ，C 的坐标分别为(－4，2)，(1，－4)，而四边形ABCD 为长方形，AB ∥y 轴，AD ∥x 轴，∴点B 的坐标为(－4，－4)，点D 的坐标为(1，2)，∴S 长方形ABCD ＝(1＋4)×(2＋4)＝30；(2)存在．∵AM ＝4，AP ＝12t ，∴S △AMP＝12×4×12t ＝t .∵S △AMP ＝13S 长方形ABCD，∴t ＝30×13＝10，∴AP ＝12×10＝5.∵AN ＝2，∴P点坐标为(－4，－3)．7．解：(1)由题意，得OF ＝EH ＝3，OH ＝EF ＝4，CF ＝OA ＝2，BH ＝2，则CE ＝AH ＝2，BE ＝1.∴S 四边形ABCO ＝S 长方形OHEF －S三角形ABH－S三角形CBE－S三角形OCF＝4×3－12×2×2－12×2×1－12×3×2＝6；(2)不存在．理由如下：若点P 在EH 上，设PH ＝x ，则PE ＝3－x ，S 四边形OAPC ＝S 长方形OHEF －S 三角形APH －S 三角形CPE －S 三角形OCF ＝4×3－12×2×x －12×2×(3－x )－12×3×2＝6.此时四边形OAPC 的面积为一定值6，不为7，故不存在．附赠材料：怎样提高答题效率 直觉答题法相信自己的第一感觉厦门英才学校彭超老师说,“经验表明,从做题的过程来看,同学们要相信自己的第一感觉,不要轻易改动第一次做出的选择,第一感觉的正确率在80%以上。
七下数学《平面直角坐标系》——【面积问题】
七下数学《平面直角坐标系》——【面积问题】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，,A B 坐标分别是(0,),(,)A a B b a ，且,a b 满足()23|5|0a b -+-=，现同时将点,A B 分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点,A B 的对应点,C D ，连接,,AC BD AB ．（1）求点,C D 的坐标及四边形ACDB 的面积ACDB S ； （2）在y 轴上是否存在一点M ，连接,MC MD ，使13MCD ACDB S S ∆=？若存在这样的点，求出点M 的坐标，若不存在，试说明理由．2．如图10，在平面直角坐标系中，点A B ，的坐标分别为(),0A a ，(),0Bb ，且a b 、满足2(1)0a ++=.现同时将点A B ，分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A B ，的对应点C D ，，连接AC BD ，得ACBD ．（1）直接写出点C D ，的坐标和四边形ABDC 的面积；（2）若在坐标轴上存在点M ，使MAC S S =△四边形ABDC ，求出点M 的坐标；（3）若点P 在直线BD 上运动，连接PC PO ，.请画出图形，写出CPO DCP BOP ∠∠∠、、的数量关系并证明．3．如图，在长方形ABCD 中，AB =8cm ，BC =6cm ，点E 是CD 边上的一点，且DE =2cm ，动点P 从A 点出发，以2c m/s 的速度沿A →B →C →E 运动，最终到达点E ．设点P 运动的时间为t 秒．（1）请以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，1cm 为单位长度，建立一个平面直角坐标系，并用t 表示出点P 在不同线段上的坐标．（2）在（1）相同条件得到的结论下，是否存在P 点使△APE 的面积等于20cm 2时，若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．4．在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，0），C （−1，2），且|32a b +=0， （1）求a 、b 的值；（2）在y 轴上是否存在一点M ，使△COM 的面积为△ABC 面积的13，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，长方形OABC 的边OA 在数轴上，O 为原点，长方形OABC 的面积为12，OC 边长为3（1）数轴上点A 表示的数为______．（2）将长方形OABC 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O A B C ''''，移动后的长方形O A B C ''''与原长方形OABC 重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S△设点A 的移动距离AA x '=．当4S =时，x =______．△当S 恰好等于原长方形OABC 面积的一半时，求数轴上点A '表示的数为多少．6．如图，在平面直角坐标系中，已知A （0，a ），B （b ，0），其中a ，b 满足|a ﹣2|+（b ﹣3）2＝0． （1）a ＝ ，b ＝ ；（2）如果在第二象限内有一点M （m ，1），请用含m 的式子表示四边形ABOM 的面积； （3）在（2）条件下，当m ＝﹣32时，在坐标轴的负半轴上求点N （的坐标），使得△ABN 的面积与四边形ABOM 的面积相等．（直接写出答案）7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别是()0,0O ，()0,12A ，()10,8B -，()14,0C -，求四边形OABC 的面积．8．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB△x轴于B，AC△y轴于C，A（4m，3m），且四边形ABOC的面积为48．（1）如图△，求A点的坐标；（2）如图△，点D从O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，同时点E从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线BA运动，DE交线段AC于F，设运动的时间为t，当S△AEF＜S△CDF时，求t的取值范围．9．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2,0),点B在x轴负半轴上，C在y轴正半轴上，△ACB=90°，△ABC=30°.(1)求点B坐标；(2)如图2，点P从B出发，沿线段BC运动,点P运动速度为每秒2个单位长度,设运动时间为t秒，用含t的式子表示三角形△OBP的面积S.10．在平面直角坐标系内，点()0,5A ，点()29,32M x x --在第三象限，（1）求x 的取值范围；（2）点M 到y 轴的距离是到x 轴的2倍，请求出M 点坐标；（3）在（2）的基础上，若y 轴上存在一点P 使得AMP 的面积为10，请求出P 点坐标．11．已知坐标平面内的三个点A(1，3)，B(3，1)，O(0，0)． （1）求三角形AOB 的面积；（2）点P 是x 轴上的一个动点，当三角形AOP 的面积与三角形AOB 的面积相等时，求点P 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，已知(,0)A a ，(,0)B b ，其中a ，b 满足|1|0a +=．（1）填空：a =______，b =______．（2）如果在第三象限内有一点(2,)M m -，请用含m 的式子表示ABM 的面积．的坐标．13．如图所示，在平面直角坐标系中点()30A -,，()5,0B ，()3,4C ，()2,3D -．（1）求四边形ABCD 的面积（2）点P 为y 轴上一点，且ABP △的面积等于四边形ABCD 的面积的一半，求点P 的坐标．14．如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，4），且满足(a+5)2，过C 作CB△x 轴于B ．（1）a = ，b = ，三角形ABC 的面积= ；（2）若过B 作BD //AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分△CAB ，△ODB ，如图2，求△AED 的度数；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0）是x 轴正半轴上一点，C 是第四象限一点，CB △y 轴，交y 轴负半轴于B （0，b ），且（a ﹣3）2+|b +4|＝0，S 四边形AOBC ＝16．（1）求C 点坐标；（2）如图2，设D 为线段OB 上一动点，当AD △AC 时，△ODA 的角平分线与△CAE 的角平分线的反向延长线交于点P ，求△APD 的度数．（3）如图3，当D 点在线段OB 上运动时，作DM △AD 交BC 于M 点，△BMD 、△DAO 的平分线交于N 点，则D 点在运动过程中，△N 的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A （a ，0），B （b ，0），C （﹣1，2），且221(24)0a b a b ++++-=． （1）求a ，b 的值；（2）y 轴上是否存在一点M ，使△COM 的面积是△ABC 的面积的一半，求点M 的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(,0)A a ，(,)B b b ，(0,)C b ，且满足2(8)0a +=，P 点从A 点出发沿x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．（1）直接写出点A 的坐标 ，点B 的坐标 ，AO 和BC 位置关系是 ； （2）在P 、Q 的运动过程中，连接PB ，QB ，使S △PAB ＝4S △QBC ，求出点P 的坐标；（3）在P 、Q 的运动过程中，当△CBQ ＝30°时，请探究△OPQ 和△PQB 的数量关系，并说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b ，0)，C(b ，c)三点，其中a ，b ，c 满足关系式|a －2|＋(b －3)2＝0，(c －4)2≤0．（1）求a ，b ，c 的值；（2）如果在第二象限内有一点P(m ，12)，请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．19．已知点()30A -,，点()0,3C ，且点B 的坐标为()1,4-，计算ABC 的面积．20．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 、C 三点的坐标分别为(0，1)(2，0)(2，1.5)， (1)求三角形ABC 的面积．(2)如果在第二象限内有一点P (a )，试用含a 的式子表示四边形ABOP 的面积．(3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使得四边形ABOP 的面积与三角形ABC 的面积相等？若存在，请求出点P 的坐标？若不存在，请说明理由．。
中考复习题面积问题(解析版)
专题04 面积问题求解平面直角坐标系中由动点生成的图形的面积问题，是初中数学一种重要的题型，它主要结合函数图形的相关知识点，在平面直角坐标中的框架中构建图形求面积，求图形面积常常转化为三角形、特殊的四边形，求面积常用的方法有以下几种：方法1：直接法，求出三角形底边和底边上的高，进而求出其面积；方法2：补形法，将三角形面积转化为若干个特殊的四边形和三角形的和或差；方法3：分割法，选择一种恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算的面积的三角形。
一、填空题1．在平面直角坐标系中，，，若的面积为，且点在坐标轴上，则符合条件的点的坐标为__________．【答案】或或或【解析】解：①如图所示，若点C在x轴上，且在点A的左侧时，∵∴OB=3∴S△ABC=AC·OB=6 解得：AC=4∵，∴此时点C的坐标为：；②如图所示，若点C在x轴上，且在点A的右侧时，同理可得：AC=4 ∴此时点C的坐标为：；图①图②③如图所示，若点C在y轴上，且在点B的下方时，∵∴AO=2 ∴S△ABC=BC·AO=6 解得：BC=6∵∴此时点C的坐标为：；④如图所示，若点C在y轴上，且在点B的上方时，同理可得：BC=6 ∴此时点C的坐标为：. 故答案为：或或或.图③图④【点拨】此题考查的是平面直角坐标系中已知面积求点的坐标，根据C点的位置分类讨论是解决此题的关键.2．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，则的面积是________.【答案】9.【解析】如图，.【点拨】利用网格特点，将所求的的面积转化为规则图形面积的差即可.本题考查了坐标系中三角形面积的计算，属于常考题型，掌握求解的方法是关键.二、解答题3．如图，在平面直角坐标系中，、．求的面积．【答案】【解析】如图，过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D．根据面积公式求得S△BOD、S梯形ACDB、S△AOC的值，然后由图形可以求得S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD．解：过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点C、D．∵A（3，4），B（5，1），∴OC=3，AC=4，OD=5，BD=1.∴S△AOC=×OC•AC=×3×4=6，S△BOD=OD•BD=×5×1=，S梯形ACDB=( BD+AC)•CD=×(1+4)×2=5，∴S△AOB= S△AOC +S梯形ACDB- S△BOD =6+5-=.【点拨】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质．通常采用“割补法”解答此类题目．4．在平面直角坐标系中描出点A（﹣2，0）、B（3，1）、C（2，3），将各点用线段依次连接起来，并解答如下问题：（1）在平面直角坐标系中画出△ A′B′C′，使它与△ ABC 关于x 轴对称，并直接写出△ A′B′C′三个顶点的坐标；（2）求△ABC的面积．【答案】(1)作图见解析；A'（-2，0）、B'（3，-1）C'（2，-3）；（2）5.5【解析】（1）在坐标系内画出△ABC，再作出各点关于x轴的对称点，顺次连接各点即可；（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．【详解】（1）如图所示，由图可知A'（-2，0）、B'（3，-1）C'（2，-3）；2）由图可知，S△ABC=5×3-×5×1-×3×4-×2×1，=15--6-1=5.5．【点拨】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）B（2，0）C（4，3），（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，并求△ABC的面积（2）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。
先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。
很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。
这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。
位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。
再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。
分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。
我们不妨试试下面的方法。
分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。
易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。
平面直角坐标系——面积专题 学案
课题： 平面直角坐标系——面积专题【学习目标】1、复习平面直角坐标系中的坐标平移的相关知识2、在平面直角坐标系中如何求图形的面积【重 点】巧妙利用点的坐标求图形的面积【难 点】巧妙利用点的坐标求图形的面积【学习过程】一复习导入：1、平面直角坐标系中点左右平移，点的坐标如何变化？2、平面直角坐标系中点上下平移，点的坐标如何变化？二.例题研究：探究题1．如图，△ABC 在直角坐标系中，（1）请写出ABC ∆各点的坐标；（2）若把△ABC 向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到'''A B C ∆，在图中画出三角形ABC 变化后的位置，写出A ′、B ′、C ′的坐标；（3）求出△ABC 的面积．【分析】解：观察平面直角坐标系得：（1）A （-2，-2），B （3，1），C （0，2）；（2）△A′B′C′如图所示，A′（-3，0）、B′（2，3），C′（-1，4）；（3）△ABC 的面积=5×4-12×2×4-12×5×3-12×1×3， =20-4-7.5-1.5，=20-13，=7．三、训练提升2．在平面直角坐标系中，ABC V 经过平移得到三角形A B C '''V ，位置如图所示： （1）分别写出点A 、A '的坐标：A ______________，A '_____________；（2）若点(),M m n 是ABC V 内部一点，则平移后对应点M '的坐标为_____________；（3）求ABC V 的面积．四、课堂小结在平面直角坐标系中利用点的坐标求图形的面积五.课后作业3．在如图所示的平面直角坐标系中．（1）描出(00)A ，，(36)B ，，(148)C ，，(160)D ，．并连接AB BC CD ，，． （2）求出四边形ABCD 的面积．学案答案:三、训练提升： 2．（1）()1,0A ；()'4,4A -；（2）()'5,4M m n -+；（3）7 解：（1）()1,0A ；()'4,4A - （2）()'5,4M m n -+（3）111442441237222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△ 3．(1)四边形ABCD 如图所示．（2）94。
人教版七年级数学下册《平面直角坐标系中面积的计算问题》教学设计
人教版七年级第二册第七章《平面直角坐标系中面积的计算问题》教学设计一、教学内容：平面直角坐标系中面积的计算问题。
二、设计理念：课堂中应该充分发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识。
七年级学生的思维比较活跃，具有了一定的自主探究、分析问题和解决问题的能力，应培养学生的逻辑分析能力和准确语言表达能力，让学生通过操作、探究、讨论、总结得到平面直角坐标系中面积的计算方法。
教学中，教师是教学情景的设计着，是学生学习的引导者和促进者，应培养学生自主学习和探究学习的能力，培养学生良好的学习习惯和品质，培养学生的积极性、主动性、独立性和创造性。
三、教学目标：1.进一步认识平面直角坐标系,了解点、图形与坐标的对应关系，能求出给定坐标的点构成的图形的面积；2.通过对数学图形规律探究的过程中培养学生的数学思维；四、学情分析：本节课是一节复习课，在此之前，学生已经学习了平面直角坐标系的有关概念，了解了点的坐标意义以及学习了坐标的平移与应用，并且会计算三角形、正方形、长方形等简单图形的面积，本节课通过教师的引导，学生独立思考，将前面所学习的这些知识综合起来，逐步展开知识点，由简到难，让学生学会利用平面直角坐标系求解图形面积，进一步让学生体会数形结合、转化数学思想。
五、重、难点：学习重点：建立平面直角坐标系求解图形面积以及根据图形面积求点的坐标；学习难点：运用割补法求解平面直角坐标系中图形面积；六、教学课时：1课时七、教学准备：多媒体，PPT ，学案，三角板；八、教学过程：1.知识回顾：（1）平面直角坐标系中坐标点与线段之间的关系：①A （1x ,y ）,B(2x ,y ) 纵坐标相等的两个点所形成的线段长度为： ②A （x ,1y ）,B( x ,2y ) 横坐标相等的两个点所形成的线段长度为： 例1：1.若A(3,2)，B(-1,2)，则线段AB=2.若A(-2,-3)，B(-2,-1),则线段AB=【设计意图：回顾平面直角坐标系中面积的计算问题中相关知识，结合坐标图形让学生更加直观明白平面直角坐标系中点坐标与线段长度之间联系】（2）平面直角坐标系中坐标点到坐标轴距离：①点A （x,y ）到X 轴距离表示为：②点A （x,y ）到Y 轴距离表示为：例2：若A(-3,2)，则到X 轴的距离为： 到Y 轴的距离为：【设计意图：通过复习点到坐标轴的距离，进而为后面点到直线距离的理解铺垫，同时也让学生明白平面直角坐标中三角形的高是什么，高为多少】（3）思考：平面直角坐标系内的点与图形面积之间有何联系？【设计意图：进一步认识平面直角坐标系中坐标点、线段、图形面积之间对应关系，为在具体问题中应该如何规范解题提供依据】2.课堂探究：例3：在平面直角坐标系中，原点O(0,0),已知点A(0,3),B(4,0)，求三角形OAB的面积；【设计意图：通过例题，引导学生利用数形结合思想解决此类问题，让学生感受求解三角形面积需要找到三角形的“底”和“高”对应线段，应用“底×高÷2”直接计算面积，同时规范学生作答，板书时紧扣思考3中平面直角坐标系内的点与图形面积联系】变式1：在平面直角坐标系中，已知点A(0,3),B(4,0)，C(-2,0),求三角形CAB的面积；【设计意图：通过变式，让学生经历求平面直角直角坐标系中有关三角形面积问题，对此类问题的解决方案有一个系统的方法】练习1：在平面直角坐标系中，已知点A(3,4),B(4,0)，C(-2,4),求三角形CAB的面积；【设计意图：由图形的差异，让学生明白三角形的底不一定在“下面”，引导学生去找钝角三角形的高，使学生更加熟练的掌握由点到线段再到三角形面积的求解过程】例4：已知A(-3,3),B(2,-2),C(6,1)，求△ABC面积？思考1：此时△ABC的面积可以采用“底×高÷2”吗？为什么？思考2：那如何计算△ABC的面积？【设计意图：让学生明白平面直角坐标系内的三角形不是所有面积都可以用“底×高÷2”，让学生明白为什么此类三角形不能用直接法，进而让学生学会判断哪类图形不可以直接法求三角形面积，同时引出间接法“割补法”，将三角形问题转化为四边形问题进行解决。
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解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积
——代几结合，突破面积及点的存在性问题
◆类型一直接利用面积公式求图形的面积
1．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的面积是( )
A．2 B．4 C．8 D．6
第1题图第2题图2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则三角形ABC的面积为________．
◆类型二利用分割法求图形的面积
3．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．
4．观察下图，图中每个小正方形的边长均为1，回答以下问题：【方法14】
(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；
(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？
(3)求多边形ABCDEF的面积．
◆类型三利用补形法求图形的面积
5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．【方法14】
(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；
(2)求出此三角形的面积．
◆类型四与图形面积相关的点的存在性问题
6．(2017·定州市期中)如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.
(1)求点B的坐标；
(2)求三角形ABC的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，
请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B 2.152
3．11 解析：过点B 作BD ⊥x 轴于D.∵A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，∴OC ＝2，BD ＝
4，OD ＝3，OA ＝4，∴AD ＝OA －OD ＝1，则S 四边形ABCO ＝S 梯形OCBD ＋S 三角形ABD ＝12
×(4＋2)×3＋12
×1×4＝9＋2＝11. 4．解：(1)A(－2，0)，B(0，－3)，C(3，－3)，D(4，0)，E(3，3)，F(0，3)．
(2)线段BC 平行于x 轴(或线段BC 垂直于y 轴)，线段CE 垂直于x 轴(或线段CE 平行于y 轴)．
(3)S 多边形ABCDEF ＝S 三角形ABF ＋S 长方形BCEF ＋S 三角形CDE ＝12×(3＋3)×2＋3×(3＋3)＋12
×(3＋3)×1＝6＋18＋3＝27.
5．解：(1)A(3，3)，B(－2，－2)，C(4，－3)．
(2)如图，分别过点A ，B ，C 作坐标轴的平行线，交点分别为D ，E ，F.S 三角形ABC ＝S 正方形
DECF －S 三角形BEC －S 三角形ADB －S 三角形AFC ＝6×6－12×6×1－12×5×5－12×6×1＝352
.
6．解：(1)点B 在点A 的右边时，－1＋3＝2，点B 在点A 的左边时，－1－3＝－4，所以点B 的坐标为(2，0)或(－4，0)．
(2)S 三角形ABC ＝12
×3×4＝6. (3)存在这样的点P.设点P 到x 轴的距离为h ，则12×3h ＝10，解得h ＝203
.点P 在y 轴正半轴时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203，点P 在y 轴负半轴时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－203，综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，203或⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－203.。