线性代数第一章行列式自测题答案

《线性代数》单元自测题答案

第一章 行列式

一、填空题：

1． 1,2==j i ；2． 44312312a a a a ；3．正；4．2。5．2000。 二、计算下列各题：

1．计算6

312

311211

523

4231----=

D 。

解 2

1705

5501

1704

2312231

41

31

2------+--r r r r r r D 2175551

00217555117)1(13111---+------⨯=+r r 301

75

5)

1(13

1-=---⨯=+。

2. 设4

32163021

111

8751=

D ，求44434241A A A A +++的值。 解 将D 按第4行展开： 444342414321A A A A D +++=。 将D 的第4行元素分别换为1，1，1，1，则

44434241A A A A +++01

11163021

111

8751==

. 解法二 0444342414424432342224121=+++=+++A A A A A a A a A a A a 。

3. 计算4

44

3332

22

5432543254325432=

D 。 解 3

3

3

32222

1

111

43215431543154311111

54325

4

32

⨯⨯⨯→→→→c c c c D （由范德蒙行列式） 5760453534151413120=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯=）（）（）（）（）（）（.

4. 计算a

b b a a b a b a D n 00000000000

00000

=

解 将行列式按第1列展开：

1

11110

0000

0000

)1(00

000000

00)1(-+-+-⨯+-⨯=n n n n b a b b a

b b a b a a b a

a D

n n n n n n b a b b a a 1111)1()1(+-+--+=⨯-⨯+⨯=。

5．计算1

1

1

1

1211112

11

112

---=

λλλn D 。 解

1

113

12131

123111321

-+--+--+-++++n n n n c c c D n n λλλλλλ

3

300003

011

1

3

1

1312----+---λλλλ

n r r r r r r n 1)3(]3[--⋅-+=n n λλ.

6.设齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=+++=+++=+++0

)12(02)12(02)1(321

3213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值。

解 因为方程组有非零解，所以其系数行列式为零，即

1

2111)1(11

01210

1121

22121

21

123

321

32++-⨯=++-++++k k k

k

k k c c k k

k

k k

0)2(22=-=-=k k k k ，从而得0=k 或2=k .