第三章 刚体力学4
相应地天文南北极绕地理南北极描出圆圈，称为“极移”现象. 相应地天文南北极绕地理南北极描出圆圈，称为“极移”现象.
I1 地球： ≈ 300 Ω ≈ 2π / 天 ⇒ T ≈ 300天 I 3 − I1 实际观测值： 实际观测值：T ≈ 425 ~ 440天
差别原因：1、地球是非刚体; 2、地球引力不过地心; 3、太阳、月球引力不可忽略.
ɺ ɺ 常量（进动） + ω 2 = ϕ 2 sin 2 θ = ω 02 ⇒ ϕ = 常量（进动） ω y
2 x
ɺ ω z = ϕ cos θ + ψɺ ⇒ ψɺ =
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常量（自转） 常量（自转）
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第三章 刚体力学
再由(1）、(2）式： 再由(1）、(2） (1）、(2
ω x = ctg ( nt + ε ) tan ψ = ωy π ⇒ψ = − ( nt + ε )
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第三章 刚体力学
结论： 结论： 1.
J 2T 2T ωJ = ω ⋅ = 常量）， （常量）， OO′ = δ = J J Jω ω ω J ω = J ⋅ ω = Iωω = 2 ⇒ ρ = = ρ 2T Jω ⋅ω
为常矢量, 本体极迹和空间极迹缩为一点,刚体动平衡 刚体动平衡. ω 为常矢量 本体极迹和空间极迹缩为一点 刚体动平衡
t 的改变
进动. 进动.（z 轴绕 ζ
轴转） 轴转）
3. θ 为章动，在 θ 1 ( x = x1 )与 θ 2 ( x = x2 )之间来回摆动. 之间来回摆动. 为章动，
ω
很大时， 很小. 赝规则进动. 很大时，ɺ 很小.称 赝规则进动. θ
4. 地球: 进动周期: 25800年.章动周期: 19年. 地球: 进动周期: 25800年 章动周期: 19年
而: K = sin θ sin ψ i + sin θ cos ψ j + cos θ k
∴ M = mgl ( sin θ cos ψ i − sin θ sin ψ j ) ɺ ɺ ɺ 1. I 1 = I 2 , M z = 0 ⇒ I 3 ωz = 0 ⇒ ω z = ϕ cosθ +ψ = s
2
讨论: 讨论 1.
2.
I1 − I3 ɺ ⇒ ψ = −n = Ω I1
轴方向（ 在 z 轴方向（地球对称轴
ɺ ψ
地球的自转速率 地球的自转速率: 速率
ɺ 轴方向（ ϕ 在 ζ 轴方向（ J
ω z = Ω ≈ ϕɺ cos θ ;
方向） 方向. 方向）. 规则进动 方向.
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地理地轴方向） 地理地轴方向）.
取惯量主轴为动坐标系. 取惯量主轴为动坐标系 定 为惯量主轴交点(中心 点O为惯量主轴交点 中心 为惯量主轴交点 中心)
第三章 刚体力学
+ I 2 y + I 3 z2 = 1 有：I1 x
2 2
π
o′
J守恒
为转动瞬轴方向, OP 为转动瞬轴方向, 的切面. π为P 点（极）的切面. 可证明： 可证明： J ⊥ 不变平面，且 OO' = δ 常量. 不变平面， 常量. 为转动瞬轴. P点速度为零，OP 为转动瞬轴. 点速度为零， OP = ρ 在和椭球相连的刚体上画出本体极面， 在和椭球相连的刚体上画出本体极面 本体极面， 在平面上画出空间极面 在平面上画出空间极面.
1. 炮弹的旋进 空气阻力矩使炮 弹 进动 而不是“翻筋斗”. 炮弹的旋进: 进动.而不是 翻筋斗” 而不是“
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结束
2. 回转力矩： 回转力矩：
J ≈ I 3ωk
第三章 刚体力学
dJ dJ dk = M ,⇒ ≈ I 3ω dt dt dt
dk ɺ 是常模矢量）， 而： = ϕ × k , k 是常模矢量）， dt ∧ M = l × F sin(l ,F ) = 1 ɺ ∴ I 3 ω ⋅ ϕ = lF . 即: F = I 3 ω ϕ ɺ l
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第三章 刚体力学
ζ J
J
z
x
η
ξ
I 1 > I 3 情况
y
I 1 < I 3 情况
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本体极锥在空间极锥外 本体极锥在空间极锥外无滑动滚动 在空间极锥
静系， 静系，因
J
恒矢量， = 恒矢量，故取
J
方向为
方向. ζ 方向.质心为原点
第三章 刚体力学
的固定坐标系. 固定坐标系
2 2 ⇒ J x + J y = I1ω 0 2 2
说明: 说明:
J 在 xoy 平面的（投影）画出一个圆，即从动系看， 平面的（投影）画出一个圆，即从动系看， J 绕对称 z 轴以角速度 n 旋转. 旋转.
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( 2 ）非对称刚体 I 1 ≠ I 2 ≠ I 3 , 一般情况：用潘索几何法分析. 一般情况：用潘索几何法分析.
结束
第三章 刚体力学 3.
ɺ ɺ ω = ϕ +ψ
瞬轴方向, 轴的角速率为: 瞬轴方向, 绕 z 轴的角速率为:
ɺ n = −ψ
天文地轴方向 地轴方向） （地球自转轴 天文地轴方向） 在静系看， 轴进动， 4. 在静系看，z 轴 绕 ζ 轴进动，角速率为
ϕɺ .
J x = I 1 ω x = I 1 ω 0 cos ( nt + ε ) J y = I 2 ω y = I 1 ω 0 sin ( nt + ε ) J = z I 3 ω z = J cos θ ( 常量 )
I 3）
− xyz 系）
ϕ
o 静系： − ξηζ 系. 静系：
力矩 (动系 动系): 动系
K // ζ
k
z
− mgk
i
j 0
k −1
o
ξ
M = lk × (− mgK ) = mgl 0
θ
G
Kx K y Kz
k
η
= mgl ( K y i − K x j ) , M z = 0
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结束
第三章 刚体力学
即：角速度在对称轴上 的投影守恒
ω x + n 2ω x = 0 ω x = ω 0 cos( nt + ε ) ɺɺ ⇒ 2 ɺɺ ω y + n ω y = 0 ω y = ω 0 sin( nt + ε )
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第三章 刚体力学
说明： 说明：
平面上的投影在运动过程中大小不变, 1. ω 在xoy 平面上的投影在运动过程中大小不变,始终为
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第三章 刚体力学
泊松情况（回转仪，陀螺） 二. 拉格朗日 — 泊松情况（回转仪，陀螺） 特征：刚体的惯量椭球是旋转椭球（ 特征： 刚体的惯量椭球是旋转椭球（ I 1 = I 2 ≠ 且重心在转轴上 即对称轴为转轴） 转轴上（ 且重心在转轴上（即对称轴为转轴） 动系：固定在刚体的主轴坐标系（ o 动系：固定在刚体的主轴坐标系（
常量 1 2 2 2 能量守恒: 2. 能量守恒: ( I 1 ω x + I 2 ω y + I 3 ω z ) + mgl cos θ = E 2 3.
p
对 ζ 轴的力矩为零: 轴的力矩为零:
JK = J ⋅ K =α
常量
1、2、3 + 欧勒运动学方程可解出： 、 、 欧勒运动学方程可解出：
ɺቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ + ϕ 2 sin2 θ ) + I 3 s 2 = 2( E − mgl cosθ ) I 1 (θ ɺ ϕ sin 2 θ + I 3 ⋅ s ⋅ cos θ = α I1 ɺ ϕɺ cos θ + ψɺ = s
第三章 刚体力学
§3.9 重刚体绕固定点转动 目前只有三种情况可解. 目前只有三种情况可解 重刚体：除约束反力外，刚体仅受重力作用 重刚体：除约束反力外，刚体仅受重力作用. 欧勒—潘索情况 一. 欧勒 潘索情况 （刚体的自由转动）无外力矩的定点转动 刚体的自由转动） 特征: 特征 如回转仪，地球自转，分子转动. 1.固定点为重心 固定点为重心. 1.固定点为重心. M = 0. 如回转仪，地球自转，分子转动. 2. 角动量守恒 J = 恒矢量 （即进动轴方向始终不变） 角动量守恒. 即进动轴方向始终不变）
2 J 2 = J ⋅ J = I 1 ω 2 + I 2 ω 2 + I 2 ω 2 = c1 ( 常量 ) 2 3 x y z
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但 ω 不一定不变，如果转轴为惯量主轴侧保持动平衡. 不一定不变，如果转轴为惯量主轴侧保持动平衡
第三章 刚体力学
3. 能量守恒
1 1 1 2 2 2 E = T = ω ⋅ J = (I1ωx + I 2ωy + I 3ωz ) = c2 2 2 2
另一个方程（第一积分）的求解，视情况而定。 另一个方程（第一积分）的求解，视情况而定。 （1）对称刚体 ）
地球自转问题（忽略太阳、月球对地球的引力） 地球自转问题（忽略太阳、月球对地球的引力）
动系， 1 = I 2 ≠ I 3 ⇒ ω z = Ω 常量 动系， I
对称轴必是惯量主轴 ，取为 z 轴，则与 是惯量主轴（ 是惯量主轴（因 I1 = I2 ）.
▲地球转轴的旋进：非球效应，进动周期 25800 年，岁差 地球转轴的旋进：非球效应， （地球绕太阳一周：恒星年，春夏秋冬一轮回：太阳年） 地球绕太阳一周：恒星年，春夏秋冬一轮回：太阳年） 20分33秒（即 地轴进动角 50.2角秒 / 年） 分 秒 地轴进动角: 角秒
I1 地球： ≈ 300 Ω ≈ 2π / 天 ⇒ T ≈ 300天 I 3 − I1 实际观测值： 实际观测值：T ≈ 425 ~ 440天
差别原因：1、地球是非刚体; 2、地球引力不过地心; 3、太阳、月球引力不可忽略.
ɺ ɺ 常量（进动） + ω 2 = ϕ 2 sin 2 θ = ω 02 ⇒ ϕ = 常量（进动） ω y
2 x
ɺ ω z = ϕ cos θ + ψɺ ⇒ ψɺ =
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常量（自转） 常量（自转）
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第三章 刚体力学
再由(1）、(2）式： 再由(1）、(2） (1）、(2
ω x = ctg ( nt + ε ) tan ψ = ωy π ⇒ψ = − ( nt + ε )
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第三章 刚体力学
结论： 结论： 1.
J 2T 2T ωJ = ω ⋅ = 常量）， （常量）， OO′ = δ = J J Jω ω ω J ω = J ⋅ ω = Iωω = 2 ⇒ ρ = = ρ 2T Jω ⋅ω
为常矢量, 本体极迹和空间极迹缩为一点,刚体动平衡 刚体动平衡. ω 为常矢量 本体极迹和空间极迹缩为一点 刚体动平衡
t 的改变
进动. 进动.（z 轴绕 ζ
轴转） 轴转）
3. θ 为章动，在 θ 1 ( x = x1 )与 θ 2 ( x = x2 )之间来回摆动. 之间来回摆动. 为章动，
ω
很大时， 很小. 赝规则进动. 很大时，ɺ 很小.称 赝规则进动. θ
4. 地球: 进动周期: 25800年.章动周期: 19年. 地球: 进动周期: 25800年 章动周期: 19年
而: K = sin θ sin ψ i + sin θ cos ψ j + cos θ k
∴ M = mgl ( sin θ cos ψ i − sin θ sin ψ j ) ɺ ɺ ɺ 1. I 1 = I 2 , M z = 0 ⇒ I 3 ωz = 0 ⇒ ω z = ϕ cosθ +ψ = s
2
讨论: 讨论 1.
2.
I1 − I3 ɺ ⇒ ψ = −n = Ω I1
轴方向（ 在 z 轴方向（地球对称轴
ɺ ψ
地球的自转速率 地球的自转速率: 速率
ɺ 轴方向（ ϕ 在 ζ 轴方向（ J
ω z = Ω ≈ ϕɺ cos θ ;
方向） 方向. 方向）. 规则进动 方向.
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地理地轴方向） 地理地轴方向）.
取惯量主轴为动坐标系. 取惯量主轴为动坐标系 定 为惯量主轴交点(中心 点O为惯量主轴交点 中心 为惯量主轴交点 中心)
第三章 刚体力学
+ I 2 y + I 3 z2 = 1 有：I1 x
2 2
π
o′
J守恒
为转动瞬轴方向, OP 为转动瞬轴方向, 的切面. π为P 点（极）的切面. 可证明： 可证明： J ⊥ 不变平面，且 OO' = δ 常量. 不变平面， 常量. 为转动瞬轴. P点速度为零，OP 为转动瞬轴. 点速度为零， OP = ρ 在和椭球相连的刚体上画出本体极面， 在和椭球相连的刚体上画出本体极面 本体极面， 在平面上画出空间极面 在平面上画出空间极面.
1. 炮弹的旋进 空气阻力矩使炮 弹 进动 而不是“翻筋斗”. 炮弹的旋进: 进动.而不是 翻筋斗” 而不是“
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2. 回转力矩： 回转力矩：
J ≈ I 3ωk
第三章 刚体力学
dJ dJ dk = M ,⇒ ≈ I 3ω dt dt dt
dk ɺ 是常模矢量）， 而： = ϕ × k , k 是常模矢量）， dt ∧ M = l × F sin(l ,F ) = 1 ɺ ∴ I 3 ω ⋅ ϕ = lF . 即: F = I 3 ω ϕ ɺ l
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第三章 刚体力学
ζ J
J
z
x
η
ξ
I 1 > I 3 情况
y
I 1 < I 3 情况
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本体极锥在空间极锥外 本体极锥在空间极锥外无滑动滚动 在空间极锥
静系， 静系，因
J
恒矢量， = 恒矢量，故取
J
方向为
方向. ζ 方向.质心为原点
第三章 刚体力学
的固定坐标系. 固定坐标系
2 2 ⇒ J x + J y = I1ω 0 2 2
说明: 说明:
J 在 xoy 平面的（投影）画出一个圆，即从动系看， 平面的（投影）画出一个圆，即从动系看， J 绕对称 z 轴以角速度 n 旋转. 旋转.
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( 2 ）非对称刚体 I 1 ≠ I 2 ≠ I 3 , 一般情况：用潘索几何法分析. 一般情况：用潘索几何法分析.
结束
第三章 刚体力学 3.
ɺ ɺ ω = ϕ +ψ
瞬轴方向, 轴的角速率为: 瞬轴方向, 绕 z 轴的角速率为:
ɺ n = −ψ
天文地轴方向 地轴方向） （地球自转轴 天文地轴方向） 在静系看， 轴进动， 4. 在静系看，z 轴 绕 ζ 轴进动，角速率为
ϕɺ .
J x = I 1 ω x = I 1 ω 0 cos ( nt + ε ) J y = I 2 ω y = I 1 ω 0 sin ( nt + ε ) J = z I 3 ω z = J cos θ ( 常量 )
I 3）
− xyz 系）
ϕ
o 静系： − ξηζ 系. 静系：
力矩 (动系 动系): 动系
K // ζ
k
z
− mgk
i
j 0
k −1
o
ξ
M = lk × (− mgK ) = mgl 0
θ
G
Kx K y Kz
k
η
= mgl ( K y i − K x j ) , M z = 0
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第三章 刚体力学
即：角速度在对称轴上 的投影守恒
ω x + n 2ω x = 0 ω x = ω 0 cos( nt + ε ) ɺɺ ⇒ 2 ɺɺ ω y + n ω y = 0 ω y = ω 0 sin( nt + ε )
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第三章 刚体力学
说明： 说明：
平面上的投影在运动过程中大小不变, 1. ω 在xoy 平面上的投影在运动过程中大小不变,始终为
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第三章 刚体力学
泊松情况（回转仪，陀螺） 二. 拉格朗日 — 泊松情况（回转仪，陀螺） 特征：刚体的惯量椭球是旋转椭球（ 特征： 刚体的惯量椭球是旋转椭球（ I 1 = I 2 ≠ 且重心在转轴上 即对称轴为转轴） 转轴上（ 且重心在转轴上（即对称轴为转轴） 动系：固定在刚体的主轴坐标系（ o 动系：固定在刚体的主轴坐标系（
常量 1 2 2 2 能量守恒: 2. 能量守恒: ( I 1 ω x + I 2 ω y + I 3 ω z ) + mgl cos θ = E 2 3.
p
对 ζ 轴的力矩为零: 轴的力矩为零:
JK = J ⋅ K =α
常量
1、2、3 + 欧勒运动学方程可解出： 、 、 欧勒运动学方程可解出：
ɺቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ + ϕ 2 sin2 θ ) + I 3 s 2 = 2( E − mgl cosθ ) I 1 (θ ɺ ϕ sin 2 θ + I 3 ⋅ s ⋅ cos θ = α I1 ɺ ϕɺ cos θ + ψɺ = s
第三章 刚体力学
§3.9 重刚体绕固定点转动 目前只有三种情况可解. 目前只有三种情况可解 重刚体：除约束反力外，刚体仅受重力作用 重刚体：除约束反力外，刚体仅受重力作用. 欧勒—潘索情况 一. 欧勒 潘索情况 （刚体的自由转动）无外力矩的定点转动 刚体的自由转动） 特征: 特征 如回转仪，地球自转，分子转动. 1.固定点为重心 固定点为重心. 1.固定点为重心. M = 0. 如回转仪，地球自转，分子转动. 2. 角动量守恒 J = 恒矢量 （即进动轴方向始终不变） 角动量守恒. 即进动轴方向始终不变）
2 J 2 = J ⋅ J = I 1 ω 2 + I 2 ω 2 + I 2 ω 2 = c1 ( 常量 ) 2 3 x y z
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但 ω 不一定不变，如果转轴为惯量主轴侧保持动平衡. 不一定不变，如果转轴为惯量主轴侧保持动平衡
第三章 刚体力学
3. 能量守恒
1 1 1 2 2 2 E = T = ω ⋅ J = (I1ωx + I 2ωy + I 3ωz ) = c2 2 2 2
另一个方程（第一积分）的求解，视情况而定。 另一个方程（第一积分）的求解，视情况而定。 （1）对称刚体 ）
地球自转问题（忽略太阳、月球对地球的引力） 地球自转问题（忽略太阳、月球对地球的引力）
动系， 1 = I 2 ≠ I 3 ⇒ ω z = Ω 常量 动系， I
对称轴必是惯量主轴 ，取为 z 轴，则与 是惯量主轴（ 是惯量主轴（因 I1 = I2 ）.
▲地球转轴的旋进：非球效应，进动周期 25800 年，岁差 地球转轴的旋进：非球效应， （地球绕太阳一周：恒星年，春夏秋冬一轮回：太阳年） 地球绕太阳一周：恒星年，春夏秋冬一轮回：太阳年） 20分33秒（即 地轴进动角 50.2角秒 / 年） 分 秒 地轴进动角: 角秒
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第3章 刚体力学
说明 ( 1)
M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系． (3) 转动中 M J 与平动中 F ma 地位相同．
第三章 刚体力学
如果刚体所受合力为零，同时 合力矩为零， 好，现在我们可以问一个问题： Fi 0 , Mi 0 则刚体会做什么样的运动？
R
2
dm m R
R
r
dr
一质量为m、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心O并与 盘面垂直的轴的转动惯量。 解：设盘质量面密度为 ,在盘上取半径为r,宽为dr的圆环
m π R2
R 2 0
dm 2 π rdr
3
J r dm
R
0
1 2 π R mR 2πσr dr 2 2
v v0 at 2 x x0 v0t 1 at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
ω ω0 βt θ θ 0 ω 0 t 12 β t 2 ω 2 ω 02 2 β ( θ θ 0 )
第三章 刚体力学
z
重要
刚体定轴转动的特点 O
第三章 刚体力学
5. 角速度正负的判断
0
0
逆时钟转动
顺时钟转动
第三章 刚体力学 （2）角量和线量的关系
z
s r
v r
an r 2
O
at r
dv d(r ) at r dt dt
（3）角量与线量的公式比较
x
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
平 动 刚体：外力作用下形状和大小都不发生变化的物体。 转 动 二、刚体的运动形式 ［实例］
理论力学第三章刚体力学课件
理论力学
电子科技大学物理电子学院 付传技
Email:fcj@
1
第三章 刚体力学
刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
17
我们分别用Ox1x2x3(或Oxyz)和Ox1x2 x3(或Oxyz) 来标志空间坐标系和本体坐标系，它们的单位矢量
分别为e和e（ ＝1, 2,3或x, y, z）。
本体系相对于空间系的取向可以用其单位矢量e1， e2，e3在空间系中的9个方向余弦来描写：
cos(e , e ) e e a （＝1, 2,3）
或a a (行行正交)a a (列列正交)
这些关系通常叫做正交条件。满足正交条件 的矩阵叫正交矩阵，相应的变换称为正交变换。
22
根据Kronec ker 符号 对指标的交换的对称性
可知，9个正交条件实际上只有6个独立（3个对角 ，3个非对角），所以独立的方向余弦数目为
9－6＝3
23
2）Aˆ的行列式为1.即 det Aˆ 1ˆ 证：对正交条件两端取行列式，并注意到 det AˆT det Aˆ，得 det Aˆ 1ˆ 因为不转动（恒等变换）为连续转动的一种 特例，它所对应的变换矩阵为单位阵，所以 只能取正号。
8
4）定点转动
定点转动的独立变量有三个，其中两个 确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。
9
Euler定理
定点运动刚体的任何位移都可以通过 绕过该定点某轴的一次转动来实现。
10
5）一般运动(Chasles定理)
电子科技大学物理电子学院 付传技
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1
第三章 刚体力学
刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
17
我们分别用Ox1x2x3(或Oxyz)和Ox1x2 x3(或Oxyz) 来标志空间坐标系和本体坐标系，它们的单位矢量
分别为e和e（ ＝1, 2,3或x, y, z）。
本体系相对于空间系的取向可以用其单位矢量e1， e2，e3在空间系中的9个方向余弦来描写：
cos(e , e ) e e a （＝1, 2,3）
或a a (行行正交)a a (列列正交)
这些关系通常叫做正交条件。满足正交条件 的矩阵叫正交矩阵，相应的变换称为正交变换。
22
根据Kronec ker 符号 对指标的交换的对称性
可知，9个正交条件实际上只有6个独立（3个对角 ，3个非对角），所以独立的方向余弦数目为
9－6＝3
23
2）Aˆ的行列式为1.即 det Aˆ 1ˆ 证：对正交条件两端取行列式，并注意到 det AˆT det Aˆ，得 det Aˆ 1ˆ 因为不转动（恒等变换）为连续转动的一种 特例，它所对应的变换矩阵为单位阵，所以 只能取正号。
8
4）定点转动
定点转动的独立变量有三个，其中两个 确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。
9
Euler定理
定点运动刚体的任何位移都可以通过 绕过该定点某轴的一次转动来实现。
10
5）一般运动(Chasles定理)
第3章刚体力学
23
例8 ： 一质点的质量为m，位矢为：r =acost i+bsint j (式中a、b、 均为常量); 求质点的角动量及它所受的力矩。
dr 解： a sin ti b cos tj dt L r ( m ) 2 2 mab cos tk mab sin tk
mg
14
例6： 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑 轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为 l/3。今使棒从静
止开始由水平位置绕o轴转动，求棒转过角 时的角加速度和
角速度。 解 细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力矩为
M o mg l cos
6
A
o C
1 l 2 1 2 2 I o ml m( ) ml 12 6 9
I V r dm
2
式中r为刚体上的质元dm到转轴的距离。 线状刚体： 面状刚体： 体状刚体：
dm dl dm dS dm dV
Io
o
d
Ic
C
2 (3)平行Biblioteka 定理： Io=Ic+MdM
Ic 通过刚体质心的轴的转动惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
动力学规律可以推广应用到刚体。
2
二 . 刚体定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时，刚体上所以质点都作圆周运动且角 速度相同，所以用角量描述最为方便。
d , dt
线量与角量的关系：
d dt
r a r a r 2 n
o
r
P
x
刚体作匀速、匀变速定轴转动时，各角参量之间的关系 与质点作匀速、匀变速圆周运动时所满足的关系一样。
例8 ： 一质点的质量为m，位矢为：r =acost i+bsint j (式中a、b、 均为常量); 求质点的角动量及它所受的力矩。
dr 解： a sin ti b cos tj dt L r ( m ) 2 2 mab cos tk mab sin tk
mg
14
例6： 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑 轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为 l/3。今使棒从静
止开始由水平位置绕o轴转动，求棒转过角 时的角加速度和
角速度。 解 细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力矩为
M o mg l cos
6
A
o C
1 l 2 1 2 2 I o ml m( ) ml 12 6 9
I V r dm
2
式中r为刚体上的质元dm到转轴的距离。 线状刚体： 面状刚体： 体状刚体：
dm dl dm dS dm dV
Io
o
d
Ic
C
2 (3)平行Biblioteka 定理： Io=Ic+MdM
Ic 通过刚体质心的轴的转动惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
动力学规律可以推广应用到刚体。
2
二 . 刚体定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时，刚体上所以质点都作圆周运动且角 速度相同，所以用角量描述最为方便。
d , dt
线量与角量的关系：
d dt
r a r a r 2 n
o
r
P
x
刚体作匀速、匀变速定轴转动时，各角参量之间的关系 与质点作匀速、匀变速圆周运动时所满足的关系一样。
刚体ppt
A轮受到的冲？量矩多大？
以A为对象：由定义：该时间内A受到的冲量矩为
t
M Adt
0
M A
——A受到的力矩，即B的啮合器给
予A的力矩
t
由角冲量定理： M Adt LA,t LA,0 J1 J11
0
前已得出 J11 J22 代入即可
J1 J2
又由内力矩之合为0
t
t
M Adt MBdt
Li
Liz
Ri
iri mi
vi
i
i
转动惯量
J mi Ri2
Lz J 相比
i
P mv
J ~m
o
10
Lz J
M dLz M J
dt
定轴转动问题中的转动定理
P mv
F dP F ma dt
y Jy z Jz
下面求几个简单问题中的转动惯量
J mi Ri2 i
例： z z
mi :刚体上第i 个质点的质量 Ri:第i个质点到转轴的垂直距离
9
2、转动惯量
质量元mi对o点的角动量
Li
ri
Pi
ri
mivi
Li rimivi sin 90
投影到z方向： Liz (rimivi ) scions(9i0 i )
vi Ri mi (ri sini ) (Ri ) mi Ri2
刚体的总角动量取z分量
z
Lz Liz mi Ri2
1、当 a=b=L/2
m 1 (b3 a3 )
m, L
L3
2、当a=0,b=L
J 1 mL2 12
m, L
J 1 mL2
3
13
例1：
理论力学第三章刚体力学
d dt
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
第03章(刚体力学)习题答案
轮子的角速度由w ＝0 增大到w ＝10 rad/s，求摩擦力矩 Mr． [5.0 N·m]
解：摩擦力矩与外力矩均为恒力矩，所以刚体作匀角加速转动。其角加速度为：
b = w - w0 = 10 - 0 = 1rad / s2
Dt
10
合外力矩为： M合 = Jb = 15 ´1 = 15(N × m) = M - M r Þ M r = 5.0(N × m)
所以机械能也不守恒。
3-3 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度w按图示方向转动.若如图
所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力
F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度w 如何变化？
w
答：左边力的力矩比右边的大，所以刚体会被加速，其角加速
F
F
度增大。 3-4 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是什么？ 答：刚体所受的合外力矩为零。
解：此过程角动量守恒
Jw0
=
1 3
Jw
Þ
w
=
3w0
3-10 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M＝2.00 kg，半径为 R＝0.100 m，
一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m＝5.00
kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 J＝ 1 MR 2 ，其初角速 2
w 0
R M
度w0 ＝10.0 rad/s，方向垂直纸面向里．求：
(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到w＝0 时，物体上升的高度；
m
习题 310 图
(3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．
[ 81.7 rad/s2 ，垂直纸面向外； 6.12×10-2 m； w = 10.0 rad/s，垂直纸面向外]
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
刚体力学基础第三章
二、转动惯量J
对分立的质点系： J miri2
i
对刚体： 质量是连续分布
J r2dm
r 2dl 线分布，为线密度
J r 2ds 面分布，为面密度 r 2 dV 体分布，为体密度
z
dm
r
讨论
J r2dm
（1）转动惯量的物理意义：J表示刚体转动时惯性的大小
（2）转动惯量J的大小决定于
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
§3 刚体定轴转动定律
一、 力矩
使物体转动，必须给定一 个作用力，另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关，因此在研究物体转动中引
入力矩这一物理量。 （1）若刚体所受力 F在转动平面内
z
Od r
F
F
P
力臂：rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
m
2(2
m
1
+
m
2
m 1+m 2
+
m
2
)g
T1
a m1 m1g T2 a m2 m2g
§4 力矩的功 动能定理
一、力矩的功
刚体在合外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时
d，A则力F矩 d对r刚体F作d了r功co。s F cos(900 )ds
F sin rd
Md
z
O d
dr
F
r P
元功：力矩对质点(或刚体)所作的 元功等于力矩和角位移的乘积
盘）。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，
绳与滑轮之间无相对滑动，试求系统的加速度及绳中的
张力FT1和FT2。 受力分析 FT1
刚体力学基础
0
0t
1 t2
2
2
2 01 刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度
线速度大小与 角速度大小的关系
v r
at
dv dt
r
z
a an r
at ve t
an
v2 r
2r a
ret
r 2en
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体 刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。
二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。
O
F ri
Fii
i
i
ie
mi
Fie sini Fii sin i miait miri
以 ri 乘上式两边
Fieri sin i Fiiri sin i miri2
rad s1
62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t
0
0 62.8 31.4
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )