高一数学必修1：3.2.1《几类不同增长的函数模型》课件
结论 投资1~6天，应选择第一种投资方案；
投资7天，应选择第一或二种投资方案； 投资8~10天，应选择第二种投资方案； 投资11天（含11天）以上，应选择第三 种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目
例3.探究函数
y 2 x , y x 2 , y log 2 x
的增长情况并分析差异
1.列表：
2.作图： 18
16
14
12
fx = x2
10
gx = 2x
8
6
h(x)=log2x
4
2
几何画板演示
-5
O
5
10
15
20
-2
-4
结论1：
一般地，对于指数函数y=ax (a>1)和 幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以发 现：
投资方案选择原则： 投入资金相同，回报量多者为优
(1) 比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量
哪个方案在某段时间内的总回报量最 多，我们就在那段时间选择该方案。
我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模 型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提 供依据。
解：设第x天所得回报为y元，则
y
o
5
10
t
问题提出
1. 函数来源于实际又服务于实际，客观 世界的变化规律，常需要不同的数学模 型来描述，这涉及到函数的应用问题.
2. 所谓“模型”，通俗的解释就是一种 固定的模式或类型,在现代社会中，我们 经常用函数模型来解决实际问题.那么， 面对一个实际问题，我们怎样选择一个恰 当的模型来刻画它呢？
logax可能会小xn，但由于logax的增长慢
于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0 时，就会有logax<xn.
综上所述：
(1)、在区间(0,+∞)上，y=ax (a>1)，y=logax (a>1) 和y=xn (n>0)都是增函数。 (2)、随着x的增大， y=ax (a>1)的增长速度越来越 快，会远远大于y=xn (n>0)的增长速度。
三？
累积回报表
天数
方案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二
10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8
思考1:设第x天所得的回报为y元，那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么？
思考2:上述三个函数分别是什么类型的函数？其单调性如何？
思考3:这三个方案前11天所得的回报如下表,分析这些数据，你如何根据投资天数选择投 资方案？
天次
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
方案一 当天回 报 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 …
在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽 管在x的一定范围内，ax会小xn，但由 于ax的增长快于xn的增长，因此总存在 一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
结论2：
一般地，对于指数函数y=logax (a>1) 和幂函数y=xn (n>0)，通过探索可以 发现：
在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增 大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴 平行一样。尽管在x的一定范围内，
累计回 报 0.4 1.2 2.8 6.0 12.4 25.2 50.8 102.0 204.4 409.2 818.8 …
思考4:分析上述三个函数的图象，你对指数函数模型与线性函数模型的增长速度有何看 法？你对“指数爆炸”的含义有何理解？
y（元）
o
x（天）
思考5:到第30天，三个方案所得的回报分别是多少元？
思考3:一般地，指数函数y=ax (a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢 情况是如何变化的？
思考4:对任意给定的a>1和n>0，在区间 (0,+∞)上,logax是否恒大于xn? logax是否 恒小于xn?
思考5:随着x的增大,logax增长速度的快慢 程度如何变化? xn增长速度的快慢程度如何 变化？
方案一：每天回报40元； y=40 (x∈N*)
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x∈N*)
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。
y=0.4×2x-1 (x∈N*)
x/天
方案一
y/元 增长量/元
方案二
y/元 增长量/元
方案三
y/元
增长量/元
y log 7 x 1 0.25 成立。
x
x
令f(x)= log7x+1-0.25x， x∈ [10,1000].利用计 算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减 的，因此
f(x)<f(10) ≈-0.3167<0,
即 log7x+1<0.25x
所以，当x∈ [10,1000]，
log 7 x 1 0.25 x
思考7:当x∈[10，1000]时，如何判断
y log7 x 1 0.25 是否成立？
x
x
思考8:综上分析，模型 y log 7 x 符合公
司要求.如果某人的销售利润是343万元，则
所获奖金为多少？
理论迁移
例 某工厂今年1月，2月，3月生产某种产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估 计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份数x的关系.模拟函数可以选用 y=ax2+bx+c或y=a·bx+c.已知4月份该产品的产量为1.37万件，试选用一个适当的模拟函数.
102.4
51.2
…… … … …
…
…
30 40
0
300 10 214748364.8 107374182.4
画 图
图112-1
从每天的回报量来看： 第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；
有人认为投资1~4 天选择方案一； 5~8天选择方案二； 9天以后选择方案
1 40 0 10
0.4
2 40 0 20 10
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
y
y=2x y=x2
y=log2x
1
o 12 4
x
思考6:上述不等式表明，这三个函数模型增长的快慢情况如何？
探究（二）：一般幂、指、对函数模型的差异
思考1:对任意给定的a>1和n>0，在区间
? ? (0,+∞)上ax是否恒大于xn ax是否恒小于xn
思考2:当a>1，n>0时，在区间(0,+∞)上, ax与xn的大小关系应如何阐述？
其中哪个模型能符合公司的要求?
y 0.25x, y log7 x 1, y 1.002x.
思考1:根据问题要求，奖金数y应满足哪几个不等式？ 思考2:销售人员获得奖励，其销售利润x(单位: 万元)的取值范围大致如何？ 思考3:确定三个奖励模型中哪个能符合公司的要求，其本质是解决一个什么数学问题？ 思考4:对于模型y=0.25x，符合要求吗？为什么？
标，准备制定一个激励销售部门的奖励方 案：在销售利润达到10万元时，按销售利 润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着 销售利润x (单位：万元)的增加而增加， 但资金数不超过5万元，同时奖金不超过 利润的25%。现有三个奖励模型： y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中 哪个模型能符合公司的要求呢？
指数函数 指数爆炸
问题提出
1.指数函数y=ax (a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=x n (n>0)在区 间（0，+∞）上的单调性如何？
2.利用这三类函数模型解决实际问题， 其增长速度是有差异的，我们怎样认识 这种差异呢？
探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异
对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x
知识探究（二）：有条件函数模型的选择 问题: 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案: 在
销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位: 万元)随销售利润x(单位: 万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励 模型:
11.56 …
y=log x -2.322 -0.737 0 0.485 0.848 1.138 1.379 1.585 1.766
2
…
思考2:对于函数模型y=2x和y=x2，观察下列自变量与函数值对应表：
x 0123 4 56 7 8 y=2x 1 2 4 8 16 32 64 128 256 y=x2 0 1 4 9 16 25 36 49 64
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2014年高中数学(入门答疑+思维启+状元随笔)3.2.1几类不同增长的函数模型同步课堂讲义课件 新人教A版必修1
指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝ logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速 度的比较 1．在区间(0，＋∞)上，函数 y＝ax(a>1)，y＝ 增函数 ，但 logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是___________ 增长速度 不同，且不在同一个“档次”上． ____________ 2．在区间(0，＋∞)上随着 x 的增大，y＝ax(a>1) 越来越快 ，会超过并远远大于 y＝ 增长速度_____________ xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度 越来越慢 ． 则会_____________ n< a x log x < x a 3．存在一个 x0，使得当 x>x0 时，有____________.
2．某企业生产一种机器的固定成本 (即固定投入) 为 0.5 万元， 但每生产 100 台时， 又需可变成本 (即 另增加投入)0.25 万元，市场对此商品的年需求量 为 500 台，销售收入(单位：万元)函数为： 1 2 R(x)＝5x－ x (0≤x≤5)，其中 x 是产品生产的数 2 量(单位：百台) (1)把利润表示为产量的函数． (2)年产量为多少时，企业所获得的利润最大？
(1)由题意知： g(x)＝ f(x)－ f(x－ 1) 1 1 ＝ · x(x＋ 1)(35－2x)－ (x－ 1)x[35－2(x－1)] 150 150 1 ＝ x[(x＋ 1)(35－2x)－ (x－1)(37－ 2x)] 150 1 1 ＝ x(72－ 6x)＝ x(12－x)． 150 25 1 ∴g(x)＝ x(12－ x)(x∈ N 且 x≤12)． 25
x 1 2 (2)g(x)＝ (12－x)＝－ (x － 12x＋36－36) 25 25 1 1 36 2 2 ＝－ [(x－ 6) －36]＝－ (x－ 6) ＋ ， 25 25 25 36 ∴当 x＝ 6 时，g(x)有最大值 . 25 36 即第六个月需求量最大，为 万件． 25
3-2-1 几类不同增长的函数模型
所以有关系式 y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7. 结论为：由此法计算 4 月份的产量为 1.3 万双，比实际产 量少 700 双，而且由二次函数性质可知，产量自 4 月份开始 将每月下降(图象开口向下，对称轴为 x＝3.5)，不合实际．
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
假如你是厂长，就月份 x，产量为 y 给出四种函数模型：y＝ ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝ax ＋b，y＝abx＋c，你将利用哪 一种模型去估算以后几个月的产量？ [分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确
1 2
定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．
5 26 32 10 4.322
10 101
15 226
20 401
25 626
30 901
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 5.322 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
(3)设模拟函数为 y＝a x＋b 时， 将 A，B 两点的坐标代入函数式，得
a＋b＝1， 2a＋b＝1.2. a＝0.2 2＋1， 解得 b＝0.8－0.2 2.
所以有关系式为 y＝0.48 x＋0.52. 结论为：当把 x＝3 和 4 代入关系式，分别得到 y＝1.35 和 y＝1.48，与实际产量差距较大．
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
【红对勾】高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教版必修1
x n a 的增长 x a 会小于x ，但由于 快于 的增长 ，因此总存 x n a > x 在一个x ，当x>x 时，就会有 .
x n 0 0
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在 区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于 xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，
函数增长模型差异的应用
【例2】
某学校为了实现60万元的生源利润目
标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利 润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单 位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但 奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现 有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪 个模型符合该校的要求？
1.585 2
2.322 2.585 2.807
3.170 3.322
试问： (1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋 势？ (2)各函数增长速度的快慢有什么不同？
解：(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大 (2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其 中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝ x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7的增长速度不变； 增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
课堂篇02
合作探究
函数模型的增长差异
【例1】
研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝
x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
【解析】
【解】
画出草图进行比较．
分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象
x n 0 0
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在 区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于 xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，
函数增长模型差异的应用
【例2】
某学校为了实现60万元的生源利润目
标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利 润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单 位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但 奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现 有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪 个模型符合该校的要求？
1.585 2
2.322 2.585 2.807
3.170 3.322
试问： (1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋 势？ (2)各函数增长速度的快慢有什么不同？
解：(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大 (2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其 中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝ x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7的增长速度不变； 增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
课堂篇02
合作探究
函数模型的增长差异
【例1】
研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝
x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
【解析】
【解】
画出草图进行比较．
分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象
几类不同增长的函数模型 课件 高一上学期数学人教A 版(2019)必修第一册
由函数图象得
A(1, 0)，B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
解得k lg 2, b lg 2
f ( x ) (lg 2) x lg 2
练习
(课本P139页练习第4题)
4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是（ ）
大超过y=kx(k>0)的增长速度.
指数函数不像一次函数按同一速度增
长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
探究2 选取适当的对数函数与
一次函数，探索它们在区间(0
，+∞)上的增长差异，你能描述
一下对数函数的增长特点吗？
不妨以函数y=lgx和= x为例.
列出上述两个函数自变量与函数值的对应值表，并
大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直
至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百
分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
:探究不同函数增长的差异
引例2.假如你有一笔资金用于投资，现有三种方
案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只
兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，
兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大
利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75
亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载
畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳
1
函数y=lgx与y= 10 x在 6
A(1, 0)，B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
解得k lg 2, b lg 2
f ( x ) (lg 2) x lg 2
练习
(课本P139页练习第4题)
4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是（ ）
大超过y=kx(k>0)的增长速度.
指数函数不像一次函数按同一速度增
长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
探究2 选取适当的对数函数与
一次函数，探索它们在区间(0
，+∞)上的增长差异，你能描述
一下对数函数的增长特点吗？
不妨以函数y=lgx和= x为例.
列出上述两个函数自变量与函数值的对应值表，并
大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直
至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百
分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
:探究不同函数增长的差异
引例2.假如你有一笔资金用于投资，现有三种方
案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只
兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，
兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大
利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75
亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载
畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳
1
函数y=lgx与y= 10 x在 6
3.2.1几类不同增长的函数模型
结论：投资8天以下，应选择第一种投资方案； 结论：投资8天以下，应选择第一种投资方案； 投资8 10天 应选择第二种投资方案； 投资8－10天，应选择第二种投资方案； 投资10天以上，应选择第三种投资方案。 投资10天以上，应选择第三种投资方案。 10天以上
某公司为了实现1000万元利润的目标， 万元利润的目标， 例2 某公司为了实现 万元利润的目标 准备制定一个激励销售部门的奖励方案： 准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在 销售利润达到10万元时 万元时， 销售利润达到 万元时，按销售利润进行奖 且奖金y（单位：万元）随销售利润x 励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 单位：万元）的增加而增加， （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数 不超过5万元 同时奖金不超过利润的25%。 万元， 不超过 万元，同时奖金不超过利润的 。 现有三个奖励模型： 现有三个奖励模型： y y＝0.25X， = log 7 x + 1, y = 1.002 x ,其中哪个 ＝ ， 其中哪个 模型能符合公司的要求？ 模型能符合公司的要求？
方案二 y/元 增加量 元 10 20 30 40 50 60 70 80 … 300 10 10 10 10 10 10
方案三 增加量 y/元 元 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 …
51.2 10 … … 10 214748364.8 107374182.4
…
…
4.95 5.04
…
4.44 4.442
…
…
…
4.55 1000 的图象: 我们来看函数 y = log x + 1 − 0.25 x 的图象 问题:当 奖金是否不超过利润的25%呢? 问题 当 x ∈ [10 ,1000 ] 7 ,奖金是否不超过利润的 时 奖金是否不超过利润的 呢 y 10 o 综上所述:模型 y = log7 x + 1 综上所述 模型 x
3.2.1几类不同增长的函数模型课件人教新课标1
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.451.2…… … … ……
…
种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投
资方案；投资11天（含11天）以上，应选择
第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励门的嘉奖方案：在销售利润到达10万 元时，按销售利润进行嘉奖，且资金y(单位：万元) 随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资 金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 现有三个嘉奖模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
O
R
圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2*π*R (一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=π*R2 (二次函数)
回顾： 某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两 个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x 。
第一次 第二次 第三次 第四次
第x次 2x个
几种不同增长的函数模型课件
,
5
2.5 = = ·
4 .
5
∴
4
2
= ,
4
1
= ,
2
5
1
2
∴y1= 4 ,x∈[0,+∞).
P2:y2=bx+c 过点(0,0),(4,1),
= 0,
1
1
∴
∴y2= 4x,x∈[0,+∞).
= ,
4
总利润
(2)设用 x 万元投资甲商品,则投资乙商品为(10-x)万元,总利润
P1:y1=axn,P2:y 2=bx+c 如图所示.
(1)求函数 y1,y2 的解析式;
(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利
润.
【审题策略】函数图象
y1 与 y2 的解析式
y=y1+y2
最大利润
【规范展示】解:(1)P1:y 1=axn 过点(1,1.25),(4,2.5),
为 y 万元.
1
2
5
1
根据题意得 y= + (10-x)
1
4
1
5
)2+
4
5 2
4
2
=- (
=-
-
4
+
+
65
16
5
10
4
4
(0≤x≤10),
当且仅当 = ,
25
2
即 x= =6.25 时,
4
65
ymax= ,投资乙商品为 10-6.25=3.75(万元).
16
所以用 6.25 万元投资甲商品,3.75 万元投资乙商品,才能获得最
5
2.5 = = ·
4 .
5
∴
4
2
= ,
4
1
= ,
2
5
1
2
∴y1= 4 ,x∈[0,+∞).
P2:y2=bx+c 过点(0,0),(4,1),
= 0,
1
1
∴
∴y2= 4x,x∈[0,+∞).
= ,
4
总利润
(2)设用 x 万元投资甲商品,则投资乙商品为(10-x)万元,总利润
P1:y1=axn,P2:y 2=bx+c 如图所示.
(1)求函数 y1,y2 的解析式;
(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利
润.
【审题策略】函数图象
y1 与 y2 的解析式
y=y1+y2
最大利润
【规范展示】解:(1)P1:y 1=axn 过点(1,1.25),(4,2.5),
为 y 万元.
1
2
5
1
根据题意得 y= + (10-x)
1
4
1
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)2+
4
5 2
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=- (
=-
-
4
+
+
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5
10
4
4
(0≤x≤10),
当且仅当 = ,
25
2
即 x= =6.25 时,
4
65
ymax= ,投资乙商品为 10-6.25=3.75(万元).
16
所以用 6.25 万元投资甲商品,3.75 万元投资乙商品,才能获得最
3-2-1 几类不同增长的函数模型
第 9页
第三章
3.2 3.2.1
高考调研
思考题 1 求是：
新课标A版 ·数学 ·必修1
小明在教练指导下进行跑步训练，训练的计划要
(1)起跑后匀加速， 10 秒后达到每秒 5 米的速度， 然后匀速跑 2 分钟； (2)开始匀减速，到 5 分钟时减到每秒 4 米的速度，再保持匀 速跑 4 分钟． 请按上面的要求，解决下面问题． (1)画出小明跑步的速度与时间的图像； (2)写出小明跑步训练时，速度关于时间的函数．
Hale Waihona Puke 第14页第三章3.2 3.2.1
高考调研
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思考题 2
有甲、乙两种商品，经营销售这两种产品所能获
得的利润依次是 P 和 Q(万元)，它们与投入资金 x(万元)的关系有 x 3 经验方程式：P＝ ，Q＝ x.今有 3 万元资金投入经营甲、乙两 5 5 种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应 为多少？能获得的最大利润是多少？
高考调研
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解析
设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则第一
1 次过滤后杂质剩余量为2%(1－3)， 1 1 第二次过滤后杂质剩余量为2%(1－ )(1－ ) 3 3 12 ＝2%(1－3) ， 第x次过滤后杂质剩余量为
第19页
第三章
3.2 3.2.1
高考调研
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高考调研
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化简得 y＝1.6x＋800，(其中 250≤x≤400)， ∵此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的 k＝1.6>0， ∴y 是一个单调增函数，再由 250≤x≤400 知当 x＝400 时， y 取得最大值，此时 y＝1.6×400＋800＝1 440(元)． 所以买进 400 份赢利最大，获利 1 440 元．
必修1课件3.2.1-1几类不同增长的函数模型(一)
1.请同学谈谈你对几类不同增长的函数模型（一次函数、指 数函数、对数函数）差异的认识。
常数函数 一次函数 指数函数 对数函数
没有增长
增长量为零
直线增长
增长量相同
指数爆炸
增长量迅速增加
对数增长
增长量减少
2. 几类增长函数建模的步骤
具 体 问 题 列 不 解 画出图像（形） 同 析 列出表格（数） 增 式 长 确 定 模 型
80
120 160 200 240 280 320
20
30 40 50 60 70 80
30
60 100 150 210 280 360
0.8
1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2
1.2
2.8 6 12.4 25.2 50.8 102
9
10 11 12
40
40 40 40
360
400 440 480
90
100 110 120
450
550 660 780
102.4
204.8 409.6 819.2
204.4
409.2 818.8 1638
列表法比较三种方案的累计回报
1~7天， 投资__________ 应选择第一种投资方案； 8~10天， 投资___________应选择第二种投资方案； 投资____________________应选择第三种投资方案。 11天（含11天）以上， 累计回报表
200
400
600
800 1000
x
创新设计 为了实现1000万元利润的目标，在销售利润 达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增 加而增加,要求如下： 10万～ 50万，奖金不超过2万
高一数学人必修一课件几类不同增长的函数模型
幂函数的应用
物理学：描述物体运动的 速度、加速度等
生物学：描述种群增长、 细胞分裂等
经济学：描述价格、需求、 供给等
工程学：描述信号处理、 控制系统等
06
对数函数模型
对数函数的定义
对数函数是一种 基本函数，定义 为y=loga(x)，其 中a是底数，x是 自变量
对数函数的性 质包括单调性、 奇偶性、周期 性等
指数函数的应用
生物学：人口 增长、细菌繁 殖等
经济学：通货 膨胀、利率计 算等
物理学：放射 性衰变、热传 导等
计算机科学： 数据加密、搜 索引擎排名等
01
02
03
04
05
幂函数模型
幂函数的定义
幂函数是一种基本的函数模型， 其形式为y=x^a，其中a为常数
幂函数的定义域为所有实数， 值域为所有非负实数
一次函数的图像
直线：一次函数的图像是 一条直线
斜率：表示直线的倾斜程 度，等于函数中的系数k
截距：表示直线在y轴上的 位置，等于函数中的常数
b
正比例函数：当b=0时， 一次函数变为正比例函数， 图像变为通过原点的直线
一次函数的性质
01
线性关系：一次函数是线性函数， 其图像是一条直线
03
单调性：一次函数的图像具有单调 性，要么递增，要么递减
05
截距：一次函数的截距是固定的， 表示图像在y轴上的位置
正比例关系：一次函数中，自变量 和因变量成正比例关系
02
斜率：一次函数的斜率是固定的， 表示图像的倾斜程度
04
顶点：一次函数的顶点是固定的， 表示图像的最高点或最低点
06
一次函数的应用
描述直线运动： 如物体在直线 上的运动速度、 位移等