2018-2019学年河南省南阳市邓州市八年级(下)期末数学试卷(解析版)

2018-2019学年河南省南阳市邓州市八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．1．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠﹣1C．x＜1D．x＞12．（3分）下列变形正确的是（）A．＝B．＝C．＝﹣D．＝13．（3分）将直线y＝﹣2x﹣3怎样平移可以得到直线y＝﹣2x（）A．向上平移2个单位B．向上平移3个单位C．向下平移2个单位D．向下平移3个单位4．（3分）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°5．（3分）如果反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值是（）A．2B．﹣2C．﹣3D．36．（3分）八年级一班要在赵研、钱进、孙兰、李丁四名同学中挑选一名同学去参加数学竞赛，四名同学在5次数学测试中成绩的平均数x及方差S2如下表所示：甲乙丙丁85939386 S233 3.5 3.7如果选出一名成绩较好且状态稳定的同学去参赛，那么应选（）A．赵研B．钱进C．孙兰D．李丁7．（3分）如图，y1，y2分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知纯电动汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.54元，设纯电动汽车每千米所需费用为x元，可列方程为（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为20，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．89．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的横坐标分别为1，2，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A．1B．C．2D．10．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A．（2，10）B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：3﹣1×（）﹣2+30＝．12．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为．13．（3分）如图，点P是正比例函数y＝x与反比例函数y＝又在第一象限内的交点，PA ⊥OP交x轴于点A，则△POA的面积为．14．（3分）如图，正方形ABCD的面积等于25cm2，正方形DEFG的面积等于9cm2，则阴影部分的面积S＝cm2．15．（3分）如图，一张矩形纸片的长AD＝12，宽AB＝2，点E在边AD上，点F在边BC 上，将四边形ABFE沿直线EF翻折后，点B落在边AD的三等分点G处，则EG的长为．三、解答题（本大题共计75分）16．（8分）先化简再求值：，其中a满足与2和3构成△ABC的三边，且a为整数．17．（9分）西安市某中学九年级组织了一次数学计算比赛（禁用计算器），每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，数学教研组将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整．（2）填表：平均数（分）中位数（分）众数（分）一班85二班8475（3）请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析：①从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩；②从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．18．（9分）如图在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF（1）四边形AFCD是什么特殊的四边形？请说明理由（2）填空：①若AB＝AC则四边形AFCD是形；②当△ABC满足条件时，四边形AFCD是正方形．19．（9分）为迎接省“义务教育均衡发展验收”，某广告公司承担了制作宣传牌任务，安排甲、乙两名工人制作由于乙工人采用了新式工具，其工作效率比甲工人提高了20%，同样制作30个宣传牌，乙工人比甲工人节省了一天时间（1）求甲、乙两名工人每天各制作多少个宣传牌？（2）现在需要这两名工人合作完成44个宣传牌制作任务，应如何分配，才能让两名工人同时完成任务？20．（9分）如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，n），B（m，2）（1）求反比例函数关系式及m的值；（2）若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16，求点M的坐标；（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式在＜﹣2x﹣4的解集21．（10分）为了响应“足球进学校”的号召，某学校准备到体育用品批发市场购买A型号与B型号两种足球，其中A型号足球的批发价是每个200元，B型号足球的批发价是每个250元，该校需购买A，B两种型号足球共100个．（1）若该校购买A，B两种型号足球共用了22000元，则分别购买两种型号足球多少个？（2）若该校计划购进A型号足球的数量不多于B型号足球数量的9倍，请求出最省钱的购买方案，并说明理由．22．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）探索发现：如图1，当点E在菱形ABCD内部时，连接CE，BP与CE的数量关系是，CE与AD的位置关系是．（2）归纳证明：证明2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝5，BE＝13，请直接写出线段DP的长．23．（11分）已知矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8），点Q为线段AC上一点，其坐标为（5，n）．（1）求直线AC的表达式；（2）如图，若点P为坐标轴上一动点，动点P沿折线AO→OC的路径以每秒1个单位长度的速度运动，到达C处停止，求△OPQ的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式；（3）若点P为坐标平面内任意一点，是否存在这样的点P，使以O，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2018-2019学年河南省南阳市邓州市八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．1．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠﹣1C．x＜1D．x＞1【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣1≠0，解得x≠1．故选：A．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．2．（3分）下列变形正确的是（）A．＝B．＝C．＝﹣D．＝1【分析】依据分式的基本性质进行判断，即可得到结论．【解答】解：A.，故本选项错误；B.，故本选项错误；C.＝﹣，故本选项正确；D.≠1，故本选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．3．（3分）将直线y＝﹣2x﹣3怎样平移可以得到直线y＝﹣2x（）A．向上平移2个单位B．向上平移3个单位C．向下平移2个单位D．向下平移3个单位【分析】根据上加下减，左加右减的平移原则，即可得出答案．【解答】解：根据上加下减的平移原则，直线y＝﹣2x可以看作是由直线y＝﹣2x﹣3向上平移3个单位得到的；故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，属于基础题，关键是掌握上加下减，左加右减的平移原则．4．（3分）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．5．（3分）如果反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值是（）A．2B．﹣2C．﹣3D．3【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（﹣1，﹣2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．【解答】解：根据题意，得﹣2＝，即2＝k﹣1，解得，k＝3．故选：D．【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．6．（3分）八年级一班要在赵研、钱进、孙兰、李丁四名同学中挑选一名同学去参加数学竞赛，四名同学在5次数学测试中成绩的平均数x及方差S2如下表所示：甲乙丙丁85939386 S233 3.5 3.7如果选出一名成绩较好且状态稳定的同学去参赛，那么应选（）A．赵研B．钱进C．孙兰D．李丁【分析】根据平均数和方差的意义解答．【解答】解：从平均数看，成绩最好的是钱进、孙兰同学，从方差看，钱进方差小，发挥最稳定，所以如果选出一名成绩较好且状态稳定的同学去参赛，那么应选钱进，故选：B．【点评】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．7．（3分）如图，y1，y2分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知纯电动汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.54元，设纯电动汽车每千米所需费用为x元，可列方程为（）A．B．C．D．【分析】设纯电动汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.54）元，根据路程＝总费用÷每千米所需费用结合路程相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设纯电动汽车每千米所需费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（x+0.54）元，根据题意得：＝．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及函数的图象，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8．（3分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为20，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．8【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴BC+CD＝20÷2＝10，根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．∴BC＝6，CD＝4，∴AB＝CD＝4，故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的一组邻边的和等于周长的一半，平行四边形的一组邻边的比和它的高的比成反比．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的横坐标分别为1，2，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A．1B．C．2D．【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为1，2，可得出纵坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y＝的图象上且横坐标分别为1，2，∴A，B纵坐标分别为2，1，∴AE＝1，BE＝1，∴AB＝，S＝BC•AE＝×1＝，菱形ABCD故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．10．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A．（2，10）B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′＝2，所以，D′（﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′（2，10），综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：3﹣1×（）﹣2+30＝4．【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：3﹣1×（）﹣2+30＝×9+1＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了负整数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．12．（3分）PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣6．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，故答案为：2.5×10﹣6．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．（3分）如图，点P 是正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝又在第一象限内的交点，PA ⊥OP 交x 轴于点A ，则△POA 的面积为 4 ．【分析】P 在y ＝x 上可知△POA 为等腰直角三角形，过P 作PC ⊥OA 于点C ，则可知S △POC ＝S △PCA ＝k ＝2，进而可求得△POA 的面积为4．【解答】解：过P 作PC ⊥OA 于点C ，∵P 点在y ＝x 上，∴∠POA ＝45°，∴△POA 为等腰直角三角形，则S △POC ＝S △PCA ＝k ＝2，∴S △POA ＝S △POC +S △PCA ＝4，故答案为4．【点评】本题考查了反比例函数y ＝（k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y ＝（k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k |．也考查了等腰直角三角形的性质．14．（3分）如图，正方形ABCD 的面积等于25cm 2，正方形DEFG 的面积等于9cm 2，则阴影部分的面积S＝cm2．【分析】直接利用二次根式的性质结合三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD的面积等于25cm2，正方形DEFG的面积等于9cm2，∴正方形ABCD的边长为5cm，正方形DEFG的边长为3cm，∴阴影部分的面积S＝25+9﹣×3×（5+3）﹣×5×5＝（cm2）．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出线段长是解题关键．15．（3分）如图，一张矩形纸片的长AD＝12，宽AB＝2，点E在边AD上，点F在边BC 上，将四边形ABFE沿直线EF翻折后，点B落在边AD的三等分点G处，则EG的长为或．【分析】如图，作GH⊥BC于H．则四边形ABHG是矩形．G是AD的三等分点，推出AG＝4或8，证明EG＝FG＝FB，设EG＝FG＝FB＝x，分两种情形构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，作GH⊥BC于H．则四边形ABHG是矩形．∵G是AD的三等分点，∴AG＝4或8，由翻折可知：FG＝FB，∠EFB＝∠EFG，设FG＝FB＝x．∵AD∥BC，∴∠FEG＝∠EFB＝∠GFE，∴EG＝FG＝x，在Rt△FGH中，∵FG2＝GH2+FH2，∴x2＝22+（4﹣x）2或x2＝22+（8﹣x）2解得：x＝或，故答案为或．【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共计75分）16．（8分）先化简再求值：，其中a满足与2和3构成△ABC的三边，且a为整数．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据三角形的三边关系判断出a 的取值范围，选取合适的a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝•+＝+＝＝，∵a与2、3构成△ABC的三边，∴3﹣2＜a＜3+2，即1＜a＜5，∵a为整数，∴a＝2、3、4，当a＝2时，分母2﹣a＝0，舍去；当a＝3时，分母a﹣3＝0，舍去；故a的值只能为4．∴当a＝4时，原式＝＝1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在选取a的值时要保证分式有意义．17．（9分）西安市某中学九年级组织了一次数学计算比赛（禁用计算器），每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，数学教研组将九年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整．（2）填表：平均数（分）中位数（分）众数（分）一班82.68585二班8475100（3）请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析：①从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩；②从B级以上（包括B级）的人数方面来比较一班和二班的成绩．【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得一班C等级的学生数，从而可以解答本题；（2）根据表格中的数据可以求得一班的平均数和中位数，以及二班的众数；（3）根据表格中的数据，可以从两方面比较一班和二班成绩的情况．【解答】解：（1）一班C等级的学生有：25﹣6﹣12﹣5＝2，补全的条形统计图如右图所示；（2）一班的平均数是：＝82.8，中位数是85，二班的众数是100，故答案为：82.8、85、100；（3）①从平均数、众数方面来比较，二班成绩更好；②从B级以上（包括B级）的人数方面来比较，一班成绩更好．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．18．（9分）如图在△ABC中，AD为BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF（1）四边形AFCD是什么特殊的四边形？请说明理由（2）填空：①若AB＝AC则四边形AFCD是矩形；②当△ABC满足AB＝AC，∠BAC＝90°条件时，四边形AFCD是正方形．【分析】（1）由“AAS”可证△AEF≌△DEB，可得AF＝BD＝CD，由平行四边形的判定可得四边形AFCD是平行四边形；（2）①由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可证平行四边形AFCD是矩形；②由等腰直角三角形的性质可得AD＝CD＝BD，AD⊥BC，可证平行四边形AFCD是正方形．【解答】解：（1）四边形AFCD是平行四边形理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，且AE＝DE，∠AEF＝∠DEB∴△AEF≌△DEB（AAS）∴AF＝BD，∵AD是BC边上的中线∴CD＝BD∴AF＝CD，且AF∥BC∴四边形AFCD是平行四边形（2）①∵AB＝AC，AD是BC边上的中线∴AD⊥BC，且四边形AFCD是平行四边形∴四边形AFCD是矩形故答案为：矩②当△ABC满足AB＝AC，∠BAC＝90°条件时，四边形AFCD是正方形．理由为：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC∵四边形AFCD是平行四边形，AD⊥BC∴四边形AFCD是矩形，且AD＝CD∴四边形AFCD是正方形故答案为：AB＝AC，∠BAC＝90°【点评】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．19．（9分）为迎接省“义务教育均衡发展验收”，某广告公司承担了制作宣传牌任务，安排甲、乙两名工人制作由于乙工人采用了新式工具，其工作效率比甲工人提高了20%，同样制作30个宣传牌，乙工人比甲工人节省了一天时间（1）求甲、乙两名工人每天各制作多少个宣传牌？（2）现在需要这两名工人合作完成44个宣传牌制作任务，应如何分配，才能让两名工人同时完成任务？【分析】（1）设甲工人每天完成x个宣传牌，则乙工人每天完成1.2x个宣传牌，根据完成30个宣传牌工作，乙工人比甲工人节省了一天时间列出方程解答即可；（2）根据（1）中求得的数据，设甲完成a个宣传牌，则乙完成（44﹣a）个宣传牌，根据所用时间相等列出方程解答即可．【解答】解：（1）设甲工人每天完成x个宣传牌，由题意得：﹣1＝解得：x＝5，经检验x＝5是原分式方程的解，则（1+20%）x＝6，答：甲工人每天完成5个宣传牌，乙工人每天完成6个宣传牌；（2）设甲完成a个宣传牌，则乙完成（44﹣a）个宣传牌，由题意得：＝，解得：a＝20，44﹣a＝24，答：甲完成20个宣传牌，乙完成24个宣传牌，才能让两名工人同时完成任务．【点评】此题考查了分式方程的实际运用、一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键20．（9分）如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，n），B（m，2）（1）求反比例函数关系式及m的值；（2）若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16，求点M的坐标；（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式在＜﹣2x﹣4的解集【分析】（1）把A（1，n），B（m，2）代入y＝﹣2x﹣2即可求得m、n的值，从而得到A（1，﹣6），然后利用待定系数法即可即可求得反比例函数的表达式；（2）设M（m，0），因为△MAB的面积为16，直线AB交x轴于（﹣2，0），可得|m+2|×8＝16，解方程即可；（3）根据图象，结合A、B的坐标即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x﹣4的图象过点A（1，n），B（m，2）∴n＝﹣2﹣4，2＝﹣2m﹣4∴n＝﹣6，m＝﹣3，∴A（1，﹣6）把A（1，﹣6）代入y＝得，k＝﹣6，∴反比例函数关系式为y＝﹣；（2）设直线AB与x轴交于N点，则N（﹣2，0），设M（m，0），m＞0，∵S△MAB ＝S△BMN+S△AMN，△MAB的面积为16，∴|m+2|×（2+6）＝16，解得m＝2或﹣6（不合题意舍去），∴M（2，0）；（3）由图象可知：不等式在＜﹣2x﹣4的解集是x＜﹣3或0＜x＜1．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．21．（10分）为了响应“足球进学校”的号召，某学校准备到体育用品批发市场购买A型号与B型号两种足球，其中A型号足球的批发价是每个200元，B型号足球的批发价是每个250元，该校需购买A，B两种型号足球共100个．（1）若该校购买A，B两种型号足球共用了22000元，则分别购买两种型号足球多少个？（2）若该校计划购进A型号足球的数量不多于B型号足球数量的9倍，请求出最省钱的购买方案，并说明理由．【分析】（1）设购买A型号足球x个，B型号足球y个，根据总价＝单价×数量结合22000元购买A，B两种型号足球共100个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A型号足球m个，总费用为w元，则购买B型号足球（100﹣m）个，根据总价＝单价×数量可得出w关于m的函数关系式，由购进A型号足球的数量不多于B型号足球数量的9倍可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设购买A型号足球x个，B型号足球y个，依题意，得：，解得：．答：该校A型号足球60个，B型号足球40个．（2）设购买A型号足球m个，总费用为w元，则购买B型号足球（100﹣m）个，依题意，得：w＝200m+250（100﹣m）＝﹣50m+25000．∵购进A型号足球的数量不多于B型号足球数量的9倍，∴m≤9（100﹣m），∴m≤90．∵﹣50＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝90时，w取得最小值，∴最省钱的购买方案为：购买A型号足球90个、B型号足球10个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．22．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）探索发现：如图1，当点E在菱形ABCD内部时，连接CE，BP与CE的数量关系是BP＝CE，CE与AD的位置关系是CE⊥AD．（2）归纳证明：证明2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝5，BE＝13，请直接写出线段DP的长．【分析】（1）由菱形ABCD和∠ABC＝60°可证△ABC与△ACD是等边三角形，由等边△APE可得AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°，减去公共角∠PAC得∠BAP＝∠CAE，根据SAS可证得△BAP≌△CAE，故有BP＝CE，∠ABP＝∠ACE．由菱形对角线平分一组对角可证∠ABP＝30°，故∠ACE＝30°即CE平分∠ACD，由AC＝CD等腰三角形三线合一可得CE⊥AD．（2）证明过程同（1）．（3）由AB＝5即△ABC为等边三角形可求得BD的长．连接CE，由（2）可求∠BCE ＝90°，故在Rt△BCE中，由勾股定理可求CE的长．又由（2）可得BP＝CE，由DP ＝BP﹣BD即求得DP的长．【解答】解：（1）∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°∴△ABC、△ACD是等边三角形∴AB＝AC，AC＝CD，∠BAC＝∠ACD＝60°∵△APE是等边三角形∴AP＝AE，∠PAE＝60°∴∠BAC﹣∠PAC＝∠PAE﹣∠PAC即∠BAP＝∠CAE在△BAP与△CAE中∴△BAP≌△CAE（SAS）∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE∵BD平分∠ABC∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°∴CE平分∠ACD∴CE⊥AD故答案为：BP＝CE；CE⊥AD．（2）BP＝CE，CE⊥AD仍成立，证明如下：∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°∴△ABC、△ACD是等边三角形∴AB＝AC，AC＝CD，∠BAC＝∠ACD＝60°∵△APE是等边三角形∴AP＝AE，∠PAE＝60°∴∠BAC+∠PAC＝∠PAE+∠PAC即∠BAP＝∠CAE在△BAP与△CAE中∴△BAP≌△CAE（SAS）∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE∵BD平分∠ABC∴∠ACE＝∠ABP＝∠ABC＝30°∴CE平分∠ACD∴CE⊥AD（3）连接CE，设AC与BD相交于点O∵AB＝5∴BC＝AC＝AB＝5∴AO＝AC＝∴BO＝∴BD＝2BO＝5∵∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，BE＝13∴CE＝＝12由（2）可知，BP＝CE＝12∴DP＝BP﹣BD＝12﹣5【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．第（2）题的证明过程可由（1）适当转化而得，第（3）题则可直接运用（2）的结论解决问题．23．（11分）已知矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（10，8），点Q为线段AC上一点，其坐标为（5，n）．（1）求直线AC的表达式；（2）如图，若点P为坐标轴上一动点，动点P沿折线AO→OC的路径以每秒1个单位长度的速度运动，到达C处停止，求△OPQ的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式；（3）若点P为坐标平面内任意一点，是否存在这样的点P，使以O，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由矩形的性质可得出点C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点Q的坐标，分点P在OA和点P在OC 上两种情况，利用三角形的面积公式可找出S与t之间的函数关系式；（3）分OC为对角线、OQ为对角线以及CQ为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）即可求出点P的坐标．【解答】解：（1）由题意，可知：点C的坐标为（0，8）．设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（10，0），C（0，8）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+8．（2）∵点Q（5，n）为线段AC上一点，∴n＝﹣×5+8＝4，∴点Q的坐标为（5，4）．当点P在OA上，即0≤t＜10时，OP＝10﹣t，S＝×4•OP＝﹣2t+20；当点P在OC上，即10＜t≤18时，OP＝t﹣10，S＝×5•OP＝t﹣25．∴△OPQ的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式为S＝．（3）设点P的坐标为（a，c），分三种情况考虑（如图2）：①当OC为对角线时，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），∴，解得：，∴点P1的坐标为（﹣5，4）；②当OQ为对角线时，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），∴，解得：，∴点P2的坐标为（5，﹣4）；③当CQ为对角线时，∵O（0，0），C（0，8），Q（5，4），∴，解得：，∴点P3的坐标为（5，12）．。