群论在化学中的应用ppt课件
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第2部分第3章 空间群(2) 群论讲义PPT
[ 答案: 是 ]
[ 思考题: T 群的不可约表示是几维的? 为什么? ]
[ 答案: 都是一维的, 因为阿贝尔群各元素自成一类, 故不
可约表示数 r 和类数 c 都等于群元数 h ( r = c = h ),
又因为 j nj 2 = h ( j = 1 ---- r ), 则nj 皆为1. ] *
因此有 PT = C ( T )
10
B2 = A-1 B1 A = C4-1 C2 C4 = C2 ( 习题 )
B1 = B2 = C2 D3 ( B1 ) = D4 ( B2 ) = -1 D3 ( B2 ) = D4 ( B1 ) = -1
以上两计算结果表明群C2v 的3 和4 是相对于群C4v 的共轭表示
习题: 用新的点群操作表示法证明下列关系式
则称 1 和 2 为群 H 相对于群 G 的共轭表示 (2) 例1: 群C2v 的 3 和 4 是相对于群C4v 的共轭表示
H: C2v E C2 v’ v” D1 1 1 1 1 1
G: C4v E C2 2v 2d 2C4
D2 2 1 1 -1 -1
D3 3 1 -1 1 -1
D4 4 1 -1 -1 1
Ck = Ck1 Ck2 Ck3 = exp [- 2 i ( P1/N1 + P2/N2 + P3/N3 ) ] = exp [-2 i i (Pi /Ni)] (i = 1, 2, 3) [提问:多少个不可约表示?]
三维平移群 { | R n } 有 N1 N2 N3 个 (群元数) 不可约表示 *
二, 平移群不可约表示的性质
6
(1) 平移群 T = { | R n } 的不可约表示 Ck 为 exp ( i k • R n ),
浅议群论在化学中的应用
群论是一门研究群的数学理论，它主要用于研究群的结构、性质和表示。
在化学中，群论可以用来研究分子的对称性和构型，以及分子间相互作用的机制。
对称性是指分子的形状、大小和形成方式是否对称。
在群论的帮助下，我们可以确定分子的对称性，并使用相应的群来描述它。
例如，用群论分析可以帮助我们了解分子中原子位置的对称性，以及分子轨道中电子分布的对称性。
构型是指分子的形状和构造。
在群论的帮助下，我们可以确定分子的构型，并使用相应的群来描述它。
例如，我们可以使用群论来分析分子键角的对称性，以及分子中原子间距离的对称性。
分子间相互作用是指分子之间的相互作用机制，包括化学反应、化学结合和物理相互作用。
在群论的帮助下，我们可以研究分子间相互作用的对称性，并使用相应的群来描述它。
例如，我们可以使用群论来分析分子间的化学反应机制，以及分子间的化学结合机制。
《化学中的群论》课件
02
子群
一个群G的子集H也是群（称为“子 群”），如果H关于H上的群运算也 是群。
03
同态
如果存在一个映射f，使得对于G中的 任意两个元素a和b，都有 f(a*b)=f(a)*f(b)，则称f为同态映射， G和它的同态像之间存在一一对应关 系。
02
分子对称性与群论
对称操作与对称元素
对称操作
旋转、反演、镜面反射等。
可以使得电子云更好地重叠，反键轨道则会使得电子云分离，而非键轨
道则对分子稳定性没有明显影响。
03
分子轨道的填充规则
根据泡利不相容原理和洪特规则，电子优先填充能量较低的轨道，并且
优先占据空轨道。
群论在分子轨道理论中的应用
群论的基本概念
群论是研究对称性问题的数学工具，它可以用来描述分子中的电子云分布和分子整体的对 称性。
群论在分子轨道理论中的应用
群论可以用来描述分子轨道的对称性和分类，以及分析分子中的电子云分布和分子整体的 对称性。这有助于理解分子的性质和反应机理。
群论在化学反应中的应用
群论还可以用来描述化学反应中的对称性变化，以及预测反应产物的结构和性质。这有助 于设计新的化学反应和合成路线。
化学键的稳定性与群论
化学反应的预测与群论
01Biblioteka 0203化学反应的预测是计算 化学中的重要任务之一 ，通过理论计算可以预 测可能的反应途径和产
物。
群论在化学反应预测中 的应用主要体现在对反 应中间体的对称性和反
应路径的分析上。
通过群论的方法，可以 更好地理解反应机理， 预测可能的反应产物， 并为实验研究提供理论
支持。
晶体结构可以通过X射线晶体 学、中子散射和电子显微镜等 技术进行测定。
群论在化学中的应用ppt课件
E
C2 sxz syz
1 －1 －1 1 1 －1 1 － 1
1
11 1
2019/11/12
16
3-2 特征标表在判断轨道对称性中的应用
但前面3套数字还不能完全描述H2S分子的所有各种物 理量的对称性质。如硫原子的3dxy轨道的对称性，尚需下
面一套数字来表示。
对称操作
E
对于硫原子3dxy轨道的作用 1
1 11 1
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3-2 特征标表在判断轨道对称性中的应用
但并非与H2S分子有关的所有的物理量也都像H2S分 子本身一样，能被C2v点群的所有操作复原。如对于硫原 子的2py、2px、2pz轨道，在C2v点群的操作作用下，得到
如下结果：
对称操作
对于硫原子2py轨道的作用 对于硫原子2px轨道的作用 对于硫原子2pz轨道的作用
(3) cannot have a permanent dipole perpendicular to any axis of symmetry.
+
s
C2
+
F F Xe F
+ +
F
• 判据：若分子中有对称中心或有两个对称元素相交于一点, 则 分子不存在偶极矩。只有属于Cn和Cnv点群的分子才有偶极 矩。
Cn (C1 ) Dn
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5
2. Molecular chirality (分子手性)
A chiral molecule (手性分子) is a molecule that is distinguished from its mirror image in the same way that left and right hands are distinguishable
量子化学群论基础PPT培训课件
分子的振动与群论
总结词
群论在分子的振动分析中也有重要应用，通过群论可以描述分子的振动模式和频率，进而研究分子的 热力学和反应动力学性质。
详细描述
分子的振动是指分子内部运动模式的总称，包括伸缩振动、弯曲振动、摇摆振动等。群论可以描述分 子的振动模式和频率，将分子振动分类，进而研究分子的热力学和反应动力学性质。此外，群论还可 以用于研究分子的振动光谱和红外光谱等实验现象。
到表示的不可约性。
无限群的表示
03
无限群的表示可以通过函数来表示，通过傅里叶变换可以得到
函数的展开式和表示的不可约性。
03
量子化学中的群论应用
分子对称性与群论
总结词
分子对称性是群论在量子化学中应用的重要领域之一，通过群论可以描述分子的对称性质和对称操作，进而研究 分子的结构和性质。
详细描述
分子对称性是指分子在空间中的对称性质，包括对称面、对称轴、对称中心等。群论是研究对称性的数学工具， 通过群论可以描述分子的对称操作和对称元素，将分子对称性分类，进而研究分子的电子结构和化学键等性质。
分子光谱的解析
分子光谱的解析是群论在量子化学中应用的一个重要方面，通 过群论可以确定分子光谱的能级和光谱项，从而解析出分子的
结构和性质。
群表示理论
群表示的定义
01
群表示是将群元素与线性空间中的向量对应起来的一种方法，
通过群的表示可以研究群的性质和结构。
有限群的表示
02
有限群的表示可以通过矩阵来表示，通过计算矩阵的迹可以得
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目录
• 量子化学简介 • 群论基础 • 量子化学中的群论应用 • 分子光谱与群论 • 量子化学中的群论计算方法 • 总结与展望
群论第五章
12 1 (1 × 1 × 3 + 2 × 1 × 0 + 3 × - 1） 1 + 1 × 1 × 3 + 2 × 1 × 0 + 3 × - 1） 3 ) = 1 a 'A 2 = （ × （ × 12 1 ' a E = （6 + 0 + 0 + 6 + 0 + 0） 1 = 12 1 '' (3 + 3 - 3 - 3 ) = 0 a A1 = 12 1 '' a A2 = (3 − 3 - 3 + 3 ) = 0 12 1 '' a E = （6 − 6） 0 = 12
k
= 4Ν (σ1 + σ 2 + σ 3 )
归一化后：1( A1) = φ ' 再求E’的基：
φ2 ( E ' ) = Ν ∑ x j ( Rk ) Rk σ1
1 3
(σ1 + σ 2 + σ 3 )
= Ν(2⋅σ1 +(−1)⋅σ2 +(−1)⋅σ3 +0⋅σ1 +0⋅σ3 +0⋅σ2 +2⋅σ1 +(−1)⋅σ2 +(−1)⋅σ3 +0⋅σ1 +0⋅σ3 +0⋅σ2)
z = r cos φ
b、对p、d的下标x、y、z等怎么来的，就与其表示有关，即： sin 在r不变的情况下， θ cos φ 和 cos φ。必与y和z有位同的变换操 作，所以p下面加上x、y、z。 同样对d轨道下标： 3cos 2θ − 1 = 2 cos 2 θ − sin 2 θ
（x / r ) 2 = sin 2 θ cos 2 φ
k
= 4Ν (σ1 + σ 2 + σ 3 )
归一化后：1( A1) = φ ' 再求E’的基：
φ2 ( E ' ) = Ν ∑ x j ( Rk ) Rk σ1
1 3
(σ1 + σ 2 + σ 3 )
= Ν(2⋅σ1 +(−1)⋅σ2 +(−1)⋅σ3 +0⋅σ1 +0⋅σ3 +0⋅σ2 +2⋅σ1 +(−1)⋅σ2 +(−1)⋅σ3 +0⋅σ1 +0⋅σ3 +0⋅σ2)
z = r cos φ
b、对p、d的下标x、y、z等怎么来的，就与其表示有关，即： sin 在r不变的情况下， θ cos φ 和 cos φ。必与y和z有位同的变换操 作，所以p下面加上x、y、z。 同样对d轨道下标： 3cos 2θ − 1 = 2 cos 2 θ − sin 2 θ
（x / r ) 2 = sin 2 θ cos 2 φ
第三章 群论的应用(A)
O 原子的轨道 2s 2pz 2px 2py
H 原子的轨道 -1
(2) 2 (1sa +1sb )
—
-1
(2) 2 (1sa 1sb )
分子轨道 1a1,2a1,3a1
1b1 1b2, 2b2
分子的能级图概括于图3.1.2所示
图3.1.2 H2O 分子能级图概况
由图可见，有两个成键轨道(1a1和1b2)，两个实际上是非键轨道(2a1 和1b1)。这四个轨道均填满电子，其基态的电子组态为
+1sb
1sc
1sd
)
3.1.15
方程3.1.11+3.1.13=
1 2
(1sa
1sb
+1sc
1sd
)
3.1.16
方程3.1.11+3.1.14=
1 2
(1sa
1sb
1sc
+1sd
)
3.1.17
由方程3.1.11到3.1.14组合得到具有T2对称性的三者组合可以 有许多途径，这里选择的一种是由方程3.1.15到3.1.17分别和C 原子的2pz，2px和2py轨道有效的叠加的函数，如图3.1.7所示。
=4(1sa +1sb +1sc ) (3)1/2 (1sa +1sb +1sc ) (归一化之后)
3.1.5
PE' (1sa )=2(1sa ) 1(1sb +1sc )+2(1sa ) 1(1sb +1sc )
=4(1sa ) 2(1sb +1sc )
(6)1/2[2(1sa ) 1sb 1sc ] (归一化之后)
对于具有oh对称性的八面体羰基配合物mco6则为由于羰基配合物的结构和co伸缩振动谱带的数目间有着直接的联系当用群论方法对每个可能的结构计算出羰基配合物中co伸缩谱带的数目并和它们的光谱进行比较通常可以直接推断在配合物中co基团的排列
化学数学群论的课件chapter2b
Cn , Cnh , Cnv Dn , Dnh , Dnd
Cn轴(但不是S2n 的简单结果)
无C2副轴: 有n条C2副轴垂直于主轴:
判断下列分子所属点群：
环辛四烯
D2d点群
X
X X
X
X
X
X
X
X
(a)
X
(b)
(c)
(d)
C2h
X X X X
C2v
Y X
C4v
Cs
X
X
X Y X X
X
(e)
(f)
X
(g)
椅式环己烷
D4d群
S8
D5d群
交错型二茂铁
正多面体 正多面体指的是由同样的正多边形组成的，各
个顶点、棱都等价的多面体。
数学上已证明共存在五个正多面体，它们分别 为：正四面体、立方体、正八面体、正十二面体 和正二十面体。 正多面体的面(F)、顶点(V)、棱(E)满足Euler方程： F+V=E+2
Z
σd 。
Y X
从正四面体的每个顶点到对 面的正三角形中点有一条C3 穿过, 所以共有4条C3,可作出 8个C3对称操作。
Td 群:
沿着每一条C3去看,
看到的是这样:
沿着每一条C2去看,
金刚烷 (隐氢图)
看到的是这样:
Td 群
Li CH3
(LiCH3)4
隐氢图
Td 群
P4O6
P4O10
Oh 群 : 属于该群的分子，对称性与正八面体或正方体完全相
Cnh 群： 有一条n次旋转轴Cn 和一个与之垂直的对称
面σh。群的阶为2n。
C2h群: 反式二氯乙烯
C2h群: N2F2
Cn轴(但不是S2n 的简单结果)
无C2副轴: 有n条C2副轴垂直于主轴:
判断下列分子所属点群：
环辛四烯
D2d点群
X
X X
X
X
X
X
X
X
(a)
X
(b)
(c)
(d)
C2h
X X X X
C2v
Y X
C4v
Cs
X
X
X Y X X
X
(e)
(f)
X
(g)
椅式环己烷
D4d群
S8
D5d群
交错型二茂铁
正多面体 正多面体指的是由同样的正多边形组成的，各
个顶点、棱都等价的多面体。
数学上已证明共存在五个正多面体，它们分别 为：正四面体、立方体、正八面体、正十二面体 和正二十面体。 正多面体的面(F)、顶点(V)、棱(E)满足Euler方程： F+V=E+2
Z
σd 。
Y X
从正四面体的每个顶点到对 面的正三角形中点有一条C3 穿过, 所以共有4条C3,可作出 8个C3对称操作。
Td 群:
沿着每一条C3去看,
看到的是这样:
沿着每一条C2去看,
金刚烷 (隐氢图)
看到的是这样:
Td 群
Li CH3
(LiCH3)4
隐氢图
Td 群
P4O6
P4O10
Oh 群 : 属于该群的分子，对称性与正八面体或正方体完全相
Cnh 群： 有一条n次旋转轴Cn 和一个与之垂直的对称
面σh。群的阶为2n。
C2h群: 反式二氯乙烯
C2h群: N2F2
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1-2 群论在化学中的应用举例
应用举例 一. 分子的对称性与偶极矩 二. 分子的对称性与旋光性
三. ABn型分子s杂化轨道的组成
四 . AHn型分子的定性分子轨道能级图 n=2~6 五. 群论在振动光谱中的应用
1
第一 章 分子的对称性
一、分子的对称性和偶极矩
偶极矩的概念: q—正、负电荷重心电量；
(3) cannot have a permanent dipole perpendicular to any axis of symmetry.
➢ 判据：若分子中有对称中心或有两个对称元素相交于一点, 则分 子不存在偶极矩。只有属于Cn和Cnv点群的分子才有偶极矩。
3
Exercises: Which of the following molecules are polar?
4
第一章 分子的对称性
二、分子的对称性和旋光性 旋光性的判据: 凡是具有 ， 和 对称元素（第二类对称 元素）的分子，无旋光性。
具有旋光性对称类型的点群：
5
2. Molecular chirality (分子手性)
A chiral molecule (手性分子) is a molecule that is distinguished from its mirror image in the same way that left and right hands are distinguishable
一个体系的物理量在该体系所属的点群的对称操作作用 下发生变换，如果变换的性质可以用一套数字来表示，这种 表示就称作为特征标表示，其中的每个数字称作特征标。
如果这套数字还可以进一步约化（分解），就称为可约 表示；否则就称为不可约表示。
8
3-2 特征标表的结构和意义
点群的熊夫利符号
为归类的群元素（对称操作类性）。C3 前的2和sv前的3分别为该类操作的阶， 代表属于该类对称操作的数目。
Symmetry consideration: A molecule that has no axis of improper rotation (Sn) is chiral. Remember, Sn including S1 = s and S2 = i Conclusion: a molecule lack of Sn (including s, i ) are chiral.
px，py 构成 E 表示的一个基 或： px，py 像 E 那样变换 或： px，py 按照 E 变换
13
3-2 特征标表在判断轨道对称性中的应用
以H2S分子为例，分析特征标与分子轨道的对称性。 H2S分 子属于C2v点群，其特征标表表示如下。
用Mulliken记号，对称类型用大写字母表示（见表），而轨
对称操作
E C2 sxz syz
对于整个H2S分 1
6
Exercises: Which of the following molecule is chiral?
判断一个分子有无永久偶极矩和 有无旋光性的标准分别是什么？
(e) The skew form of H2O2
7
三. ABn型分子s杂化轨道的组成
3-1 特征标表
点群的性质集中体现在特征标表中，特征标表既代表体系的各种 性质在对称操作作用下的变换关系，也反映各对称操作相互间的 关系。这是群论的重要内容，在化学中有着重要应用。 特征标表的由来
C3v
E 3sv
2C3
变换的基
1
群的不可约表示
1 的Mulliken符号。 A1
1
群的不可约表示的特征标，它
Z X +Y , 具体说明右边列出的2表示的2基 Z2
向量的变换方式。
9
A. 群的不可约表示的Mulliken符号
a. 一维不可约表示 A或B 二维不可约表示 E （不是恒等操作!） 三维不可约表示 T （用于电子问题） 或 F（用于振动问题） 四维不可约表示 G 五维不可约表示 H
道用相同的字母的小写斜体表示（所以有A1对称性的轨道
被称为a1轨道）。就对称类型A和B而言，除恒等操作E以
外的其他对称操作的特征标指明一个轨道或一组轨道在相
应操作下的行为。即特征标为1时，轨道不变；为-1时，轨
道改变符号；为0时，轨道经历更复杂的变化。
14
3-2 特征标表在判断轨道对称性中的应用
例：如果把H2S分子作为一个整体，以C2v点群的每一个对 称操作作用在H2S分子上，都能使H2S分子复原（与原自身 无区别）。如果用数学的表述法则是，每一个对称操作对 于H2S分子的作用相当于乘以一个“1”，即：
11
B. 表示的基(变换的基) （代数函数或向量）
例：z 意味着：坐标 z 构成A1表示的一个基 或：z 像A1那样变换 或：z 按照A1变换
x，y，z：坐标及原子轨道px、py、pz 乘积或平方：d 轨道 Rx：绕 x 轴旋转的向量
12
B. 表示的基(变换的基)
波函数 作为不可约表示的基时:
一维不可约表示A或B：对应单重态 k 维不可约表示：对应 k 重简并态 例：C3v点群中 （x,y）意味着： px 和py 是一对简并轨道
单位：
r—正、负电荷重心的间距。 1D=3.336×10-30C·m
当正、负电荷中心重合时， =0，为非极性分子。
2
Symmetry consБайду номын сангаасderation: a molecule
(1) can not have a permanent dipole if it has an inversion center. (2) cannot have a permanent dipole perpendicular to any mirror plane.
b. 同为一维不可约表示时 对绕主轴 Cn 的旋转是对称的—— A 对绕主轴 Cn 的旋转是反称的—— B
10
A. 群的不可约表示的Mulliken符号
c. 一维不可约表示A或B 对垂直于主轴的 C2 (或v) 是 对称的——下标：1 对垂直于主轴的 C2 (或v) 是反对称 的——下标：2
A1: 全对称表示或恒等表示 对 i 是 对称的—— 下标：g (gerade) 对 i 是 反对称 的—— 下标：u (ungerade)
应用举例 一. 分子的对称性与偶极矩 二. 分子的对称性与旋光性
三. ABn型分子s杂化轨道的组成
四 . AHn型分子的定性分子轨道能级图 n=2~6 五. 群论在振动光谱中的应用
1
第一 章 分子的对称性
一、分子的对称性和偶极矩
偶极矩的概念: q—正、负电荷重心电量；
(3) cannot have a permanent dipole perpendicular to any axis of symmetry.
➢ 判据：若分子中有对称中心或有两个对称元素相交于一点, 则分 子不存在偶极矩。只有属于Cn和Cnv点群的分子才有偶极矩。
3
Exercises: Which of the following molecules are polar?
4
第一章 分子的对称性
二、分子的对称性和旋光性 旋光性的判据: 凡是具有 ， 和 对称元素（第二类对称 元素）的分子，无旋光性。
具有旋光性对称类型的点群：
5
2. Molecular chirality (分子手性)
A chiral molecule (手性分子) is a molecule that is distinguished from its mirror image in the same way that left and right hands are distinguishable
一个体系的物理量在该体系所属的点群的对称操作作用 下发生变换，如果变换的性质可以用一套数字来表示，这种 表示就称作为特征标表示，其中的每个数字称作特征标。
如果这套数字还可以进一步约化（分解），就称为可约 表示；否则就称为不可约表示。
8
3-2 特征标表的结构和意义
点群的熊夫利符号
为归类的群元素（对称操作类性）。C3 前的2和sv前的3分别为该类操作的阶， 代表属于该类对称操作的数目。
Symmetry consideration: A molecule that has no axis of improper rotation (Sn) is chiral. Remember, Sn including S1 = s and S2 = i Conclusion: a molecule lack of Sn (including s, i ) are chiral.
px，py 构成 E 表示的一个基 或： px，py 像 E 那样变换 或： px，py 按照 E 变换
13
3-2 特征标表在判断轨道对称性中的应用
以H2S分子为例，分析特征标与分子轨道的对称性。 H2S分 子属于C2v点群，其特征标表表示如下。
用Mulliken记号，对称类型用大写字母表示（见表），而轨
对称操作
E C2 sxz syz
对于整个H2S分 1
6
Exercises: Which of the following molecule is chiral?
判断一个分子有无永久偶极矩和 有无旋光性的标准分别是什么？
(e) The skew form of H2O2
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三. ABn型分子s杂化轨道的组成
3-1 特征标表
点群的性质集中体现在特征标表中，特征标表既代表体系的各种 性质在对称操作作用下的变换关系，也反映各对称操作相互间的 关系。这是群论的重要内容，在化学中有着重要应用。 特征标表的由来
C3v
E 3sv
2C3
变换的基
1
群的不可约表示
1 的Mulliken符号。 A1
1
群的不可约表示的特征标，它
Z X +Y , 具体说明右边列出的2表示的2基 Z2
向量的变换方式。
9
A. 群的不可约表示的Mulliken符号
a. 一维不可约表示 A或B 二维不可约表示 E （不是恒等操作!） 三维不可约表示 T （用于电子问题） 或 F（用于振动问题） 四维不可约表示 G 五维不可约表示 H
道用相同的字母的小写斜体表示（所以有A1对称性的轨道
被称为a1轨道）。就对称类型A和B而言，除恒等操作E以
外的其他对称操作的特征标指明一个轨道或一组轨道在相
应操作下的行为。即特征标为1时，轨道不变；为-1时，轨
道改变符号；为0时，轨道经历更复杂的变化。
14
3-2 特征标表在判断轨道对称性中的应用
例：如果把H2S分子作为一个整体，以C2v点群的每一个对 称操作作用在H2S分子上，都能使H2S分子复原（与原自身 无区别）。如果用数学的表述法则是，每一个对称操作对 于H2S分子的作用相当于乘以一个“1”，即：
11
B. 表示的基(变换的基) （代数函数或向量）
例：z 意味着：坐标 z 构成A1表示的一个基 或：z 像A1那样变换 或：z 按照A1变换
x，y，z：坐标及原子轨道px、py、pz 乘积或平方：d 轨道 Rx：绕 x 轴旋转的向量
12
B. 表示的基(变换的基)
波函数 作为不可约表示的基时:
一维不可约表示A或B：对应单重态 k 维不可约表示：对应 k 重简并态 例：C3v点群中 （x,y）意味着： px 和py 是一对简并轨道
单位：
r—正、负电荷重心的间距。 1D=3.336×10-30C·m
当正、负电荷中心重合时， =0，为非极性分子。
2
Symmetry consБайду номын сангаасderation: a molecule
(1) can not have a permanent dipole if it has an inversion center. (2) cannot have a permanent dipole perpendicular to any mirror plane.
b. 同为一维不可约表示时 对绕主轴 Cn 的旋转是对称的—— A 对绕主轴 Cn 的旋转是反称的—— B
10
A. 群的不可约表示的Mulliken符号
c. 一维不可约表示A或B 对垂直于主轴的 C2 (或v) 是 对称的——下标：1 对垂直于主轴的 C2 (或v) 是反对称 的——下标：2
A1: 全对称表示或恒等表示 对 i 是 对称的—— 下标：g (gerade) 对 i 是 反对称 的—— 下标：u (ungerade)