第五章相似原理与量纲分析
第五章 量纲分析和相似原理
L112T 11M 0 1
v Fr gh
Fr v g h
1
1 2
1 2
1 2 1 2
( L / T )1 ( L / T 2 ) ( L)
L
1 1 1 2 2
T 11M 0 1
§5-1 量纲分析的意义和量纲和谐原理
• 一种流动的主要作用力一般只有一种
• 主要作用力满足相似，是容易实现的 • 实践证明这种简化是可行的 • 即相似准则概念的提出
§5-3 相似理论基础
• 重p v p
2
3
2
Fm mlm2vm2
主要作用力：重力
G gV
G gV gl 3
dim x L T M
a b
c
§5-1 量纲分析的意义和量纲和谐原理
• 按照基本量纲的指数a、b、c的值，可分为以下三类：
• 如果a≠0，b=0，c=0为几何学的量
• 长度L、面积L2、体积L3、高度L
dim x L T M
a b
c
• 如果a≠0，b≠0，c=0为运动学的量
• 时间T、速度LT-1、加速度LT-2
§5-3 相似理论基础
粘滞力相似准则（雷诺准则）
Fp
pl p v p
2
2
Fm 2 2 mlm vm
主要作用力：粘滞力
du u Fs A l 2 lu dy l
plp vp mlm vm 2 2 plp vp m2v2 m l m
3 3a b c 1 2c
b 2
1 c 2
Q k d p
a b
工程流体力学第五章 相似原理和量纲分析
Fe
dp A
KAdV V
K－体积模量 kK－体积模量比例尺
k k kK
K'
2
1
kF 1 2 2 k kl k
力的比例尺
也可写成:
' '2
2
2
K
柯西数 是惯性力与弹 性力的比值
2 2
推导过程
角速度比例尺:
' ' l ' k k l kl
注：确定了长度比例尺和速度比例尺，一切运动相似比例尺都可以推导出来。
注：*运动粘度比例尺的推导
d F A dy
F ma V a dy 1 则： A d dy m V A d dy A d 1
相似原理
如何去做模型？
第五章 相似原理和量纲分析
数学 分析 理论分析 数值计算 模型实验
解决流体 力学问题 的方法
实验研究
基础：相似原理 相似原理与模型试验研究方法不仅广泛应用于流体力 学，而且广泛应用于传热、燃烧过程机理等的研究中。
第一节 流动的力学相似
表 征 流 动 过 程 的 物 理 量
第五章 相似原理和量纲分析
xcli@
L/O/G/O
相似原理
相似原理 实物 模型
相似理论：
模型流场再现实物流场的准则——指导模型实验 实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中
本章内容
1 2 3 4 1 5 流动的力学相似 动力相似准则 流动相似条件 近似模型实验 Click to add title in here 量纲分析法 连续方程
第五章 相似原理和量纲分析
原型
l′ = kl l
特征长度
如：圆柱的直径d，管道的长度l，翼型的翼弦长b，管壁的绝对 粗糙度ε
一、几何相似
面积比例尺
A′ 2 kA = = kl A V′ kV = = kl3 V
体积比例尺
二、运动相似
模型与原型的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相 模型与原型的流场所有对应点上、
第五节 量纲分析法（瑞利法）
不可压缩黏性流体在粗糙管内定常流动时，沿管 不可压缩黏性流体在粗糙管内定常流动时，
道的压降Δ 与管道长度l 内径d 绝对粗糙度ε 道的压降Δp与管道长度l、内径d、绝对粗糙度ε、 平均流速v 流体密度ρ 有关。 平均流速v、流体密度ρ和动力黏度 有关。求导 出压强降的表达式。 出压强降的表达式。
第五节 量纲分析法（基本概念）
4 无量纲量 指该物理量的量纲为1 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际 表示， 是一个数，但与单纯的数不一样， 是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理 量组合而成的综合物理量，如相似准则数： 量组合而成的综合物理量，如相似准则数：
vl LT L [Re] = = 2 1 = 1 LT ν
在压力作用下相似的流动，其压力分布必须相似 在压力作用下相似的流动，
欧拉数，是总压力与 欧拉数， 惯性力的比值
p Eu = 2 ρv
或者： 或者：
p Eu = 2 ρv
第二节 动力相似准则
（４）非定常相似准则
保证模型与原型的流动随时间变化相似
l Sr = vt lf = v
斯特劳哈尔数，也称 斯特劳哈尔数， 谐时数； 谐时数；是当地惯性 力与迁移惯性力的比 值
第二节 动力相似准则
（５）弹性力相似准则（柯西准则） 弹性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相似准则（柯西准则）
第五章 相似原理与量纲分析
例：长度比为1/50的船舶模型，在水池中以1m/s的 速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。求（1） 原型中的波浪阻力；（2）原型中船舶航行速度； （3）原型中需要的功率？
第三节 流动相似条动，它们都应为相同 的微分方程组所描述。 2、单值条件（几何条件、边界条件、物性条件、初 始条件）相同或相似； 3、由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。
边界条件：包含几何、运动和动力三个方面的因素。 例如固体边界上的法线流速为零，自由液 面上的压强为大气压强等 。
流动相似的含义： 1、几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；
2、动力相似是决定两个液流运动相似的主导因素；
3、运动相似是几何相似和动力相似的表现； 4、凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似 和动力相似的流动。
例：有一直径为15cm的输油管，管长5m，管中要通 过的流量为0.18m3/s ，现用水来作模型试验，当模型 管径和原型一样，水温为10℃（原型中油的运动粘度 为 0.13cm2/s），问水的模型流量应为多少时才能达 到相似？若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm， 试求在5m长输油管两端的压差应为多少（用油柱高 表示）？
M F l kM k F kl k kl3kv2 M Fl
p Fp A k F kp k kv2 p Fp A k A
功率比例尺 动力粘度比例尺
kP
P F v k F kv k kl2 kv3 P Fv k k k k kl kv
例1：当通过油池底部的管道向外输油时，如果池内 油深太小，会形成大于油面的漩涡，并将空气吸入 输油管。为了防止这种现象，需通过模型实验确定 油面开始出现漩涡的最小油深hmin。已知输油管内 径d=250mm，qV=0.14m3/s，运动黏度ν=7.5x10-5m/s。 倘若选取的长度比例尺kl=1/5，为了保证流动相似， 模型输出管的内径、模型内液体的流量和运动黏度 应等于多少？在模型上测得h'min=60mm，油池的最 小深度hmin应等于多少？
第五章量纲分析和相似原理
Ρ ρ,ρ rho 电阻系数（小写）
∑ ζ,s sigma 总和（大写），表面密度；跨导（小写） Φ φ phi 磁通；角 Ψ ψ psi 角速；介质电通量（静电力线）；角 Ω ω omega 欧姆（大写）；角速（小写）；角
补充资料
A α 阿尔法 B β 贝塔 Γ γ 伽玛 Δ δ 德尔塔 Ε ε 伊普西隆 Ζ δ 泽塔 Μ κ 米欧 Νλ纽 Ξ μ 克西 Ο ν 欧米克隆 ∏π派 Ρξ柔 ∑ ζ 西格玛 Τη陶
对于不可压缩流体运动，则选取M、L、T三个基本量纲，其 他物理量量纲均为导出量纲。 速度 dimv=LT-1； 力 dimF=MLT-2； 加速度 dima=LT-2 动力粘度 dimκ=ML-1T-1
综合以上各量纲式，可得任一物理量q的量纲dimq都可用3
个基本量纲的指数乘积形式表示。
补充资料
1
2
n
据量纲和谐原理 [L]: 有: [T]: [M]: a = a1 1 ＋ a2 2 +……+an n b = b1 1 ＋ b2 2 +……+bn n c = c1 1 ＋ c2 2 +……+cn n
解出： 1 ， 2 ， 3 ， …….. n
（4）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的
2、量纲的分类：
（1）基本量纲（独立量纲） ——不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。 长度量纲： [L] 如： 质量量纲： [M] 时间量纲： [T] 温度量纲： [Θ] （2）导出量纲（非独立量纲）
如： 速度量纲： [ L T –1] ； 流量量纲： [ L3 T –1] 。
——可由基本量纲导出的量纲。
2
1 =1
第五章 量纲分析与相似原理ppt课件
或显解一个 参数，如：
f , , . . . ,
或求得一个因变量的表达式。
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p 与下 , ,v ,l, 列变量有关：管径 d ，管壁粗糙度 ，试求 p 的 表达式。
解 ： fdv ,,, l ,,, p 0
z 3 a 1 1
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
M : 1 z a L : 0 x y 3z a T : 2 y a
故 Fk D U D
1 a2 a1 aa
得 x 1 a , y 2 a , z 1 a
l 设 f4 R e ,
l v2 则 h d 2g
例2：已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压 强降落 p 随流量Q，流体密度 ，液体粘性系数 ，管 壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大小直径 D 1 , D 2 变化。 试用 定律求出的压强降落 p 表示的流量公式。 解：函数式为：
f D ,, v , ,, 0 0
（动力量）为基 从各独立影响因素中选取D（几何量），v（运动量）， 本量建立 项：
, , D v D v D v
1 0 a bc 1 1 1 2 a bc 2 2 2 3 a bc 3 3 3
f , Q , DD , ,2 , p 0 1
选取 , Q, D1 为基本变量， 则存在6-3=3个 数
1 Q D p 2 Q D 3 Q D D2
3 3 3 1 2 2 2 1
1
1
1 1
第五章 相似原理和量纲分析
kρklkv 1 k
klkv 1 k
• 的制约，不能全部任意选择。
• 当模型与原型用同一流体时，kρ= kμ= 1，故有
k
1 kl
三、压力相似准则
在压力作用下相似的流动，其压力场必相似。
kF
Fp Fp
pA pA
p p
A A
k pkl2
代入
kF k ρkl2kv2
v v kv 速度比例尺
图5-2 速度场相似
由于流场的几何相似是运动相似的前提条件, 因此甚易证明，模型与原型流场中流体微团经过 对应路程所需要的时间也必互成一定比例，即
时间比例尺
kt
t t
l l
v v
l v
l v
kl kv
由几何相似和运动相似还可导出用kl、kv表 示的有关运动学量的比例尺如下：
• 二流动的重力作用相似，其弗劳德数必定相等， 即 Fr′= Fr ；反之亦然。
• 重力相似准则，又称弗劳德准则。
• 重力作用相似的流场，有关物理量的比例尺要受
kv
kl k g
12
1
的制约，不能全部任意选择。
• 由于在重力场中
故有
g g kg 1 kv kl1 2
二、黏滞力相似准则
在黏滞力作用下相似的流动，其黏滞力分布必 须相似。
kF
F F
d vx d vx
d yA d yA
d vx d vx
1 d y
A A
dy
k kv
1 kl
kl2
k kv kl
流体力学第五章 相似原理和量纲分析
3
第五章 相似原理和量纲分析
流动的物理现象常受到各种因素的影响，对于简单的现象可以通过简化，建 立运动微分方程，求得精确解。
对于大量复杂的流动现象，理论分析本身就比较困难，由于流动边界条件的 复杂性，往往难以用数学形式准确表达和求解。
因此必须结合实验，才能使理论分析深入进行。 如果没有正确的理论指导，不知需要测定哪些物理量和应该如何整理实验数 据——虽然能获取大量数据，却无法找出影响现象本质的因素，使实验带有 盲目性。
kq
qV qV
l / t l
3
3
kl
3
V
k l kv
2
/t
kt
运动粘度比例尺
k
l / t l
2
2
kl
2
k l kv
/t
kt
角速度比例尺
k
v / l v/l
kv kl
过程装备与控制工程教研室
10
第五章 相似原理和量纲分析 三、动力相似
过程装备与控制工程教研室
16
第五章 相似原理和量纲分析
任何系统的机械运动都必须服从牛顿第二定律 F=ma
原型
F ma Va
模型
F ma V a
F F
m a ma
V a Va
kv kl
2
k F k kV ka k kl
——模型与原型流场的几何相似、运动相似和动力相似是两个流
场完全相似的重要特征和条件
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 相似理论与量纲分析5．1基本要求本章简单阐述和实验有关的一些理论性的基本知识。
其中，包括作为模型实验理论根 据的相似性原理，阐述原型和模型相互关系的模型律，以及有助于选择实验参数的量纲分析法。
5.1.1识记几何相似、运动相似、动力相似的定义，Re 、Fr 、Eu 等相似准则数的含义，量纲的定义。
5.1.2领会流动的力学相似概念，各个相似准数的物理意义，量纲分析法的应用。
5.1.3应用量纲分析法推导物理公式，利用模型律安排模型实验。
重点：相似原理，相似准则，量纲分析法。
难点：量纲分析法，模型律。
5．2基本知识点5．2．1相似的基本概念为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。
具体来说，两相似流动应满足几何相似、运动相似和动力相似。
原型流动用下标n 表示，模型流动用下标m 表示。
1. 几何相似两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。
即n nl m m L d C L d == n m θθ=相应有 222n nA l m m A L C C A L === 333n n V l m mV L C C V L ===2. 运动相似两流动的对应点上流体速度矢量成同一比例，即对应点上速度大小成同一比例，方向相同。
n nu m mu C u υυ== 相应有 t l l u t u C C C C C C ==或者 ， 2u u a t lC C C C C == 3. 动力相似两流动的对应部位上同名力矢成同一比例，即对应的受同名力同时作用在两流动上，且各同名力方向一致，大小成比例。
Im pn n In n Gn EnF m m Gm pm EmF F F F F F C F F F F F F υυ====== 4. 流动相似的含义几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；动力相似是决定二个流动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的表现；凡相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
5．2．2相似准则描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，利用该方程可得到模型流动和原型流动在满足动力相似时各比例系数之间的约束关系即相似准则。
常用的相似准数为: 1. 雷诺数ReRe uL uLρμν==，Re 数表征了惯性力与粘滞力作用的对比关系。
2. 弗汝德数Fr2u Fr gL=，Fr 数表征惯性力与重力作用的对比关系。
3. 欧拉数Eu2pEu u ρ∆=，Eu 数表征压力与惯性力作用的对比关系。
4. 斯特劳哈勒数St2L u tSt tu u L==，St 数是时变加速度与位变加速度的比值，标志流动的非定常性。
5．2．3模型律 1. 模型律的选择动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全相似。
但同时满足所有相似准数都相等，在实际上是很困难的，有时也v1.0 可编辑可修改是不必要的。
实际上我们往往只需要考虑主要动力相似，即只要起主导作用的相似准数相等即可。
要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来选择恰当的相似准数。
2. 模型试验模型试验步骤：①选定l C ；②求模型的几何边界；③选模型律；④实现相似，计算相应物理量。
5．2．4量纲分析法 1. 量纲分析 1） 量纲量纲是物理量的单位种类。
注意量纲与单位的区别！基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有三个基本量纲：长度量纲L 、时间量纲T 和质量量纲M 。
导出量纲由基本量纲组合表示。
任一物理量均可由基本量纲的指数乘积的形式来描述：[]q M L T αβγ⎡⎤=⋅⋅⎣⎦2） 无量纲量无量纲量指物理量的量纲为1，用00M L T 表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量。
无量纲量可由几个有量纲量通过乘除组合而成或由同类量的比值组成。
无量纲量的优点：①客观；②不受运动规模的影响；③可进行超越函数的运算。
3） 量纲和谐原理量纲和谐性原理又被称为量纲一致性原理，也叫量纲齐次性原理，指一个物理现象或一个物理过程用一个物理方程表示时，方程中各项的量纲应该是一致的。
推论：（1）凡正确反映客观规律的物理方程，都可表示成由无量纲项组成的无量纲方程。
（2）量纲和谐原理规定了一个物理过程与有关物理量之间的关系。
2.定理：对于某个物理现象，如果存在n 个变量互为函数，即12(,,,)0n F A A A = 。
而这些变量中含有m 个基本量，则可把这n 个变量成（n-m ）个无量纲数的函数关系12(,,,)0n f πππ= ，即可合并n 个物理量为（n-m ）个无量纲π数。
定理解题步骤如下：1） 确定关系式：确定所研究流动问题所包含的各个物理量及其关系式：121211(,,,)0,(,,,,,,)n i i i n F A A A A F A A A A A -+== 或 2） 确定基本量：从n 个物理量中选取m 个基本物理量作为基本量纲，一般3m =，如A 1，A 2，A 3；3） 确定无量纲变量π数的数目(n-m )，并写出其余物理量与基本物理量组成的π表达式：1231,2,...,,iiii i i i i A A A A i n m αβγπαβγ==-；为待定指数4） 确定无量纲π数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的指数,,αβγ，从而定出各无量纲π参数。
5） 写出描述物理现象的关系式：12(,,,)0n f πππ= 或者1211(,,,,,,)i i i n m f ππππππ-+-= 5．3典型例题例5－1 某水库以长度比尺100l C =做底孔放空模型实验，今在模型上测得放空时间为12小时，求原型上放空水库所需的时间。
【解】 取 n m Fr Fr =，即 22n mgl gl υυ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以n m mυ==10C υ===又 1001010l t C C C υ=== 所以 1012120h n t m t C t ==⨯=讨论：弗汝德数的适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明渠流动与隧洞流动等。
本题中水库内水的出流是重力出流，因此选择重力相似准则，即弗汝德数相等。
例5－2 已知某船体长122 m ， 航行速度15 m/s ，现用船模在水池中实验船模长3.05 m 。
求船模应以多大速度运动才能保证与原型相似。
若测得船模运动阻力为20 N ，实物船所受阻力等于多少。
【解】 取 n m Fr Fr =，即 22n mgl gl υυ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以15 2.37m/s m υυ=== 又 2222()()nmFFllρυρυ=所以 233612()122()20() 1.2810N () 3.05n n n m m m m l l F F F l l υυ===⨯=⨯ 例5－3 有一直径20cm d =的输油管道，输送运动粘滞系数为624010m /s ν-=⨯油的油，其流量10l/s Q =。
若在模型中采用直径为5cm 的圆管，求模型中用运动粘滞系数为621710m /s ν-=⨯水的水做试验时的流量。
【解】 选用雷诺数相似准则，即n n m mn md d υυνν＝又Qd υπ=24，∴ n n m m n n m m Q d Q d d d πνπν2244＝.l/s m m m n n n d Q Q d νν⨯⨯=⨯=⨯⨯10106-6-651710＝204010讨论：雷诺数的适用范围：主要是受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类流动相似要求雷诺数相等。
另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证动力相似的。
如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。
例5－4 一建筑物模型在风速为5 m/s 时，迎风面压强为50 N/m 2，，背风面压强为－30 N/m 2，若气温不变，风速增至15 m/s 时，建筑物迎风面和背风面的压强各为多少【解】采用Eu 相似准则，nmn nm m p p ρυρυ=22因为 n m ρρ=所以，迎风面压强2N/m m n n p p υυ++==⨯=222215504505背风面压强2()N/m m n n p p υυ--==⨯-=-222215302705讨论：一般，两流动的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗劳德数相等，欧拉数也相等。
只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证流动相似。
例5－5 假设流量Q 与管径D 、喉管直径d 、流体密度ρ、压强差P ∆及流体的动力粘滞系数μ有关，试用π定理分析文丘里管的流量表达式。
【解】 据题意拟定函数关系式：(),,,,,0F Q D d p ρμ∆=选择 D ，,ρμ为独立变量，则可建立3个无量纲π数：111222333123D d D P D Qαβγαβγαβγπρμπρμπρμ==∆=对1π： 1＝()()1113111L MLML T L βγα--=111111:31:0:0L M T αβγβγγ--=⎧⎪+=⎨⎪=⎩求解上述方程组可得：1111,0,0αβγ=-== 所以 1d Dπ= 同理可得 222PDρπμ∆=3DQ ρπμ=将各π数代入312(,)f πππ= 得22(.)DQ d Pf D D ρρμμ∆= 22(.)d P Q f D D D μρρμ∆=讨论：从本例题可以看出，利用π定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。
但是用量纲分析法所确定的物理方程中包含待定系数，这个系数要通过实验来确定。
而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。
因此，量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。
例5－6 试用量纲分析法证明风洞运行时所需功率为()23N L f L ρυρυμ=，式中N 为功率，ρ为流体密度，μ为动力粘性系数，L 为风洞的特征长度。
【解】 本题共5个变量，选3个基本量纲，则无量纲π数为2。
选定ρ、L 、υ 为基本量，则1111L αβγπμρυ=，显见 1Lρυπμ=2222N L αβγπρυ=[]2220002332M L T ML T ML L LT αγβ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧--=++-=+=321303201022222222γβαγγβαα所以 22323,()NN Lf L L ρυπμρυρυ==即23()LN L f ρυρυμ=5．4习题1. 当水温为20℃，平均速度为4.5 m/s ，直径为0.3 m 水平管线某段的压降为 kN/m 2。