2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．设命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q） B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．65．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18π C．36π D．144π6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．27．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣D．﹣8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m的最小值是（）A．B．C．πD．10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=2x﹣1，则f（log220）等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．已知单位圆有一条长为的弦AB，动点P在圆内，则使得≥2的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若二项式（x﹣）6的展开式中常数项为20，则a=．14．正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的中点，则异面直线AF、CE 所成角的余弦值为．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的端点P（0，b）、Q（0，﹣b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA、PB的斜率之积等于﹣，则P到直线QM的距离为．16．在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC，设h是边AB上的高，则h的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}中，a1=2，a2=4，设S n为数列{a n}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．18．在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：=25，=5.36，=0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．已知抛物线x2=2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B 两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．21．已知函数f（x）=，a∈R．（1）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若a=0，x1＜x＜x2＜2，证明：＞．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，且点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅱ）设m、n∈T，证明： |m+n|＜|mn+3|．2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}【考点】补集及其运算．【分析】化简集合A，求出∁U A．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}={x∈N|1＜x＜4}={2，3}，所以∁U A={1，4}．故选：B．2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，由整理出实部和虚部，由纯虚数的定义列出方程组，求出a的值．【解答】解：由题意得，===，因为复数为纯虚数，所以，解得a=﹣1，故选A．3．设命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q） B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p、q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3，是真命题，例如取x0=4；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，是假命题，取x=4时，x2=2x．则下列命题为真的是p∧（￢q）．故选：A．4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．6【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式和等差中项，列出方程组，由此能求出{a n}的公比．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，∴，解得a1=﹣1，q=2．∴{a n}的公比等于2．故选：C．5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18π C．36π D．144π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O1．则球心O满足OO1⊥侧面ABB1A1．设OO1=x，则x2+=（2﹣x）2+，解得x．可得该多面体外接球的半径r．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O1．则球心O满足OO1⊥侧面ABB1A1．设OO1=x，则x2+=（2﹣x）2+，解得x=1．∴该多面体外接球的半径r==3．表面积为4π×32=36π．故选：C．6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据中位线定理，求得C点坐标，由•=0，利用向量数量积的坐标运算，利用双曲线的性质，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：，（a＞0，b＞0），由AB为双曲线的通径，则A（c，），B（c，﹣），F1（﹣c，0），由OC为△F1F2B中位线，则丨OC丨=，则C（0，﹣），则=（﹣c，﹣），=（﹣2c，），由AC⊥BF1，则•=0，则2c2﹣=0整理得：3b4=4a2c2，由b2=c2﹣a2，3c4﹣10a2c2+3a4=0，椭圆的离心率e=，则3e4﹣10e2+3=0，解得：e2=3或e2=，由e＞1，则e=，故选B．7．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y|y﹣x|是否小于或等于2 是否继续循环循环前20/第一圈20 8|8﹣20|=12＞2 是第二圈8 2|2﹣8|=6＞2 是第三圈2﹣1|﹣1﹣2|=3＞2 是第四圈﹣1﹣|﹣﹣（﹣1）|=＜2 否故输出y的值为﹣．故选：D．8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．【解答】解：x，y满足|x|≤y≤1，表示的可行域如图：x2+y2+2x=（x+1）2+y2﹣1它的几何意义是可行域内的点到（﹣1，0）的距离的平方减去1．显然D（﹣1，0）到直线x+y=0的距离最小，最小值为：=，所求表达式的最小值为：，故选：D．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m的最小值是（）A．B．C．πD．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由最值以及特殊点求A、B，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式；利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得y轴右侧第一条对称轴为x==，故=﹣，∴ω=2．∵x=时函数取得最小值，故有2•+φ=，∴φ=．再根据B﹣A=﹣3，且Asin（2•+）+B=+B=0，∴A=2，B=﹣1，即f（x）=2sin（2x+）﹣1．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到y=g（x）=2sin（2x+2m+）﹣1的图象，根据得到的函数g（x）图象关于点（，﹣1）对称，可得2•+2m+=kπ，k ∈Z，∴m=﹣，则m的最小值是，故选：A．10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=2x﹣1，则f（log220）等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（x+1）=f（x﹣1）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1）∴函数f（x）为周期为2的周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1∴f（﹣log2）=﹣，故f（log220）=．故选：D．11．已知单位圆有一条长为的弦AB，动点P在圆内，则使得≥2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出使得≥2的区域的面积，以面积为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，取A（1，0），B（0，1），设P（x，y），则（x﹣1，y）•（﹣1，1）≥2，∴x﹣y+1≤0，相应的面积为﹣=，∴所求概率为，故选A．12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】函数的值．【分析】由题意函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，由此能求出x1+x2+…+x n的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，结合图象知：x1、x2、…x n满足==…==，∴函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，除去点（2，0），故有x1+x2+…+x n=x1+x2+x3+x4=8．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若二项式（x﹣）6的展开式中常数项为20，则a=﹣1．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．==（﹣a）r x6﹣2r，令6﹣2r=0，解得【解答】解：通项公式T r+1r=3．∴（﹣a）3=20，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．14．正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．【解答】解：如图，连接CF，取BF的中点M，连接CM，EM，则ME∥AF，故∠CEM即为所求的异面直线角．设这个正四面体的棱长为2，在△ABD中，AF==CE=CF，EM=，CM=．∴cos∠CEM==．故答案为．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的端点P（0，b）、Q（0，﹣b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA、PB的斜率之积等于﹣，则P到直线QM的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用直线的斜率公式，求得k PA•k PB==﹣，由A在椭圆上，则=﹣，即可求得=，求得a=2b，利用三角形的面积相等，即•丨PQ丨•丨OM丨=•丨PQ丨•d，即可求得d的值．【解答】解：根据题意可得P（0，b）、Q（0，﹣b），设A（x，y），B（﹣x，﹣y），由直线PA、PB的斜率之积为﹣，则k PA•k PB=•==﹣，由A在椭圆上可得+=1，则=﹣∴=，即a=2b，△PMQ的面积S=•丨PQ丨•丨OM丨=×2b×a=2b2，设P到直线MQ的距离d，则S=•丨PQ丨•d=וd=•d=2b2，解得：d=，∴P到直线QM的距离，故答案为：．16．在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC，设h是边AB上的高，则h的最大值为．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosC，进而求得C．根据余弦定理求得a和b的不等式关系，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用a和b的不等式关系求得三角形面积的最大值，进而得解．【解答】解：∵acosB+bcosA=2cosC，且c=1，∴由题意及正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，∵sinC≠0，∴cosC=，可解得：sinC=，可得：cosC==，∴ab=a2+b2﹣1≥2ab﹣1，即ab≤1，等号当a=b时成立，∴可得：S△ABC=absinC≤．又∵h是边AB上的高，S△ABC=ch=h≤．∴解得：h≤，则h的最大值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}中，a1=2，a2=4，设S n为数列{a n}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1），S n+2+S n=2（S n+1+1），相减可得：a n+2+a n=2a n+1．（*）又n=2时，S3+S1=2（S2+1），即2a1+a2+a3=2（a1+a2+1），a1=2，a2=4，解得a3=6．∴n=1时（*）也满足．∴数列{a n}是等差数列，公差为2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）b n===，∴{b n}的前n项和T n=+…+，=++…++，可得：=+…+﹣=﹣，∴T n=﹣．18．在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥平面ACF．（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，4，），=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，4，），=（﹣2，2，0），=1﹣4+3=0，=2﹣2=0，∴BE⊥AF，BE⊥AC，又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．解：（Ⅱ）=（﹣2，1，0），=（﹣1，3，），设平面BCF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，﹣），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值为．19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：=25，=5.36，=0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程；频率分布折线图、密度曲线．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意=5，=1.072，=10，∴==0.064，=﹣=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，X的分布列为E（X）=1×+2×+3×=．20．已知抛物线x2=2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B 两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）判断直线l 的斜率存在，设方程为：y=kx +，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），动点C （x ，y ）联立直线与抛物线的方程组，利用韦达定理可得x 1x 2═﹣p 2．求出OA ；OB 方程；然后求解轨迹方程．（Ⅱ）设直线m 的方程为：y=kx +m ，由，得△=4p 2k 2+8pm ，利用直线m 与抛物线相切，得P （pk ，﹣m ），求出Q （），通过=0，说明以线段PQ 为直径的圆过点F ．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：直线l 的斜率存在，设方程为：y=kx +， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），动点C （x ，y ），由，可得x 2﹣2pkx ﹣p 2=0．可得x 1x 2═﹣p 2．OA ：y==；OB ：x=x 2；由可得y=，即点C 的轨迹方程为y=﹣．（Ⅱ）证明：设直线m 的方程为：y=kx +m ，由可得x 2﹣2pkx ﹣2pm=0可得△=4p 2k 2+8pm ，因为直线m 与抛物线相切，∴△=0，可得pk 2+2m=0，可得P （pk ，﹣m ），又由，可得Q （），=（pk ，﹣m ﹣）（）=﹣（p +2m ）+pm +=0，可得FP ⊥FQ ，∴以线段PQ 为直径的圆过点F ．21．已知函数f（x）=，a∈R．（1）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若a=0，x1＜x＜x2＜2，证明：＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）若a≠0，求导数，分类讨论，即可求函数f（x）的单调递增区间；（2）a=0，f（x）=，x1＜x＜x2＜2，证明：＞，只要证明g（x）=在（x1，2）上单调递减．【解答】（1）解：∵f（x）=，∴f′（x）=，x∈（，1）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为（，1）；②a＜0，＞1，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为∈（﹣∞，1）和（，+∞）；（2）a=0，f（x）=，x1＜x＜x2＜2，证明：＞，只要证明g（x）=在（x1，2）上单调递减．g′（x）=，设h（x）=，∴h′（x）=＜0，∴h（x）在（x1，2）上是减函数，∴h（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（x1，2）上单调递减．∵x1＜x＜x2＜2，∴＞．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，且点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）由题意P（），从而点P到直线l的距离d==，由此能求出点P到直线l的距离的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，∴，∴ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得x+y﹣1=0．∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣1=0．（Ⅱ）∵点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点，∴P（），点P到直线l的距离d==，∴点P到直线l的距离的最大值d max=，点P到直线l的距离的最小值d min==．【选修4-5：不等式选讲】23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅱ）设m、n∈T，证明： |m+n|＜|mn+3|．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为3，可得3＞a2，由此求得实数a的取值的集合T；（2）由（1）可得m2＜3，n2＜3，再整理，即可证明结论．【解答】（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，∴3＞a2，∴﹣＜a＜，∴T={a|﹣＜a＜}；（2）证明：由（1）可得m2＜3，n2＜3，∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0，∴3（m+n）2＜（mn+3）2，∴|m+n|＜|mn+3|．2017年4月5日。
【安徽省安庆】2017届高三模拟考试二模(理科)数学年试题
安徽省安庆市2017届高三模拟考试二模（理科）数学试卷答 案1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．B 7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．C 13．1-14.16 151617．（1）由112(1)n n n S S S +-+=+,得12,1n n a a n +=+>． 因为12a =,24a =,所以122a a -=,所以数列{}n a 为首项为2,公差为2的等差数列,所以2n a n =,*n ∈N ． （2）因为42n n a n nb ==, 所以121212444n n n n T b b b =+++=+++, 2311124444n n n T +=+++, 所以:2311111(1)111111144(1)1444444434414n n n n n n n n n n n T T +++--=++++-=-=---,所以143494n n nn T +--=.18.（1）取AD 的中点N ,连接,NB NE ,依题意易知NE AD ⊥,平面ADE ⊥平面ABCD NE ⇒⊥平面ABCD NE AC ⇒⊥．又π4ANB NAC AC BN ∠=∠=⇒⊥,所以AC ⊥平面BNE ,所以AC BE ⊥. 在Rt AEF △和Rt ABE △中,1tan tan 2AEB AFE BE AF ∠=∠=⇒⊥．因为AF AC A =,,AF AC ⊂平面ACF ,所以BE ⊥平面ACF ．（2）分别以直线,NA NE 为x 轴和z 轴,N 点为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,依题意有：(1,1,0)B ,(1,2,0)C -,F ,设平面BCF 的一个法向量1(,,)n x y z =,由1n BC ⊥,得2y x=, 由1n BF ⊥,得30x y -+=,令1x =-,可得1(1,n =--. 又平面ABC 的一个法向量2(0,0,1)n =,所以225cos ,4n n <>==.所以二面角A BC F --的余弦值为注：用其他方法同样酌情给分. 19．（1）计算可得：5x =, 1.072y =,521()10i i x x =-=∑,所以0.640.06410b ==, 1.0720.06450.752a y bx =-=-⨯=, 所以从3月份至6月份y 关于x 的回归方程为0.060.75y x =+．将2016年的12月份12x =代入回归方程得：0.060.750.06120.75 1.47y x =+=⨯+=, 所以预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米. （2）根据题意,X 的可能取值为1,2,331241(1)55P X C ===, 334312327(3)55C P X C ⨯===, 27(2)1(1)(X 3)55P X P X P ==-=-==, 所以的分布列为因此,的数学期望12727136()12355555555E X =⨯+⨯+⨯=． 20．（1）依题意可得,直线的斜率存在,故设其方程为：2py kx =+,设点1122(,),(,)A x y B x y ,动点(,)C x y , 由2222122202x py p y kx x pkx p x x p⎧=⎪⎨=+⇒--=⇒=-⎪⎩, 111:2y xOA y x x x p==,2:OB x x =, 由122x y x p x x⎧=⎪⎨⎪=⎩,得1222x p y x p ==-,即点C 的轨迹方程为2p y =-.（2）设直线m 的方程为：y kx m =+由2222222048x py y kx m x pkx pm p k pm ⎧=⎪⎨=+⇒--=⇒∆=+⎪⎩∵m 与抛物线C 相切,∴2020(,)pk m P pk m ∆=⇒+=⇒-又由2(,)222y kx m p p m p y Q k =+⎧⎪+⎨=-⇒--⎪⎩l k22(,)(,)(2)02222p p m p p FP FQ pk m p p m pm k +=----=-+++=FP FQ ⇒⊥,∴以PQ 为直径的圆过点F .21.（1）由已知,21(1)()(12)1'()e e xxa a x x ax a x a a f x ---+-+-=-=-(0)a ≠,则①当0a >时,由于11a a -<,当1(,1)a x a-∈时,'()0f x >,故函数()f x 的单调递增区间为1(,1)a a -； ②当0a <时,由于11a a->,当1(,1)(,)a x a -∈-∞+∞时,'()0f x >；故函数()f x 的单调递增区间为1(,1)(,)a a--∞+∞和.（2）0a =,则()ex xf x =,122x x x <<<,欲证121121()()()()f x f x f x f x x x x x -->--,即证11()()()f x f x g x x x -=-在1(,2)x 上单调递减,∵1111122111()'()()[()()]e e '()()()x x x x x x x x f x x x f x f x e g x x x x x ---+---==--, 令1111()()e e e x x x x x x h x x x -=--+, 则2111(2)2()(2)'()0e e x xx x x x x x x h x -++--==<∴()h x 在1(,2)x 上为减函数,1()()h x h x <而1()0h x =∴()0h x <,则g'()0x <, ∴11()()()f x f x g x x x -=-在1(,2)x 上单调递减,又122x x x <<<,∴121121()()()()fx f x f x f x x x x x -->--.22.（1）由sin())4πρθρθθ+=+=将cos ,sinx y ρθρθ==代入即可得到直线的直角坐标方程是40x y +-=.（2）P 到直线l 的距离π42sin()d θ-+== l∴min max d d ==23.（1）由绝对值不等式的性质知,|1||2||(1)(2)|3x x x x -++≥--+=因为2()f x a >恒成立,所以23a <,即a <所以(T =.（2）2222|)(|3|)3()(3)m n mn m n mn +-+=+-+222236369m mn n m n mn =++---22(3)(3)m n =---因为,m n T ∈,所以23m <,23n <,故22(3)(3)0m n ---<．所以22|)(|3|)m n mn +<+．。
【安徽省安庆】2017学年高考二模数学年(理科)试题答案
（Ⅰ）将直线 l 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求点 P 到直线 l 的距离的最大值与最小值．
【选修 4-5：不等式选讲】
23．已知 f ( x) | x- 1| +| x 2 | ． （1）若不等式 f ( x ) a 2 对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值的集合 T ；
（Ⅱ）设 m、 n T ，证明： 3|m n| |mn 3|．
请考生在第 22、 23 题中任选一题作答【选修 4-4：坐标系与参数方程】
22．在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若
直线 l 的极坐标方程是 sin( π) 2 2 ，且点 P 是曲线 C ： x 3cos （ 为参数）上的一个动点．
4
y sin
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）
17 ．已知数列 { an } 中， a1 2 ， a2 4 ，设 Sn 为数列 { an } 的前 n 项和，对于任意的 n 1 ， n N * ，
-2-/ 4
Sn 1 Sn - 1 2( Sn 1) ．
（1）求数列 { an} 的通项公式；
（2）设 bn
2．设 i 是虚数单位，复数 a i 为纯虚数，则实数 a 的值为（
）
1i
A． 1
B．1
C． 2
D． 2
3．设命题 p ： x 0 (0,
) ， x0 1 3 ；命题 q ： x (2, ) ， x 2 2x ，则下列命题为真的是（
）
x0
A ． p (￢ q )
B． (￢ p) q
C． p q
D． (￢ p) q
P ， M 与直线 m 交于点 Q，求证：以线段 PQ 为直
安徽省安庆市2017届高考二模试卷(理)含答案
安徽省安庆市2017届高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2} B．{1，4} C．{2，4} D．{1，3，4}2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．设命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q 4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．65．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18πC．36πD．144π6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y 轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．27．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣D．﹣8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣19．已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m 的最小值是（）A．B．C．πD．10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=2x ﹣1，则f（log220）等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．已知单位圆有一条长为的弦AB，动点P在圆内，则使得≥2的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n 满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若二项式（x﹣）6的展开式中常数项为20，则a=．14．正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的端点P（0，b）、Q（0，﹣b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若P A、PB的斜率之积等于﹣，则P 到直线QM的距离为．16．在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且c=1，a cos B+b cos A=2cos C，设h是边AB上的高，则h的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}中，a1=2，a2=4，设S n为数列{a n}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．18．在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：=25，=5.36，=0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．已知抛物线x2=2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．21．已知函数f（x）=，a∈R．（1）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若a=0，x1＜x＜x2＜2，证明：＞．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，且点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅱ）设m、n∈T，证明：|m+n|＜|mn+3|．参考答案一、选择题1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．B 7．D 8．D 9．A 10．D 11．A 12．C二、填空题13．﹣114．15．16．三、解答题17．解：（1）对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1），S n+2+S n=2（S n+1+1），相减可得：a n+2+a n=2a n+1．（*）又n=2时，S3+S1=2（S2+1），即2a1+a2+a3=2（a1+a2+1），a1=2，a2=4，解得a3=6．∴n=1时（*）也满足．∴数列{a n}是等差数列，公差为2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）b n===，∴{b n}的前n项和T n=+…+，=++…++，可得：=+…+﹣=﹣，∴T n=﹣．18．证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，4，），=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，4，），=（﹣2，2，0），=1﹣4+3=0，=2﹣2=0，∴BE⊥AF，BE⊥AC，又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．解：（Ⅱ）=（﹣2，1，0），=（﹣1，3，），设平面BCF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，﹣），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值为．19．解：（Ⅰ）由题意=5，=1.072，=10，∴==0.064，=﹣=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，X的分布列为E（X）=1×+2×+3×=．20．解：（Ⅰ）由题意可得：直线l的斜率存在，设方程为：y=kx+，设A（x1，y1），B（x2，y2），动点C（x，y），由，可得x2﹣2pkx﹣p2=0．可得x1x2═﹣p2．OA：y==；OB：x=x2；由可得y=，即点C的轨迹方程为y=﹣．（Ⅱ）证明：设直线m的方程为：y=kx+m，由可得x2﹣2pkx﹣2pm=0可得△=4p2k2+8pm，因为直线m与抛物线相切，∴△=0，可得pk2+2m=0，可得P（pk，﹣m），又由，可得Q（），=（pk，﹣m﹣）（）=﹣（p+2m）+pm+=0，可得FP⊥FQ，∴以线段PQ为直径的圆过点F．21．（1）解：∵f（x）=，∴f′（x）=，x∈（，1）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为（，1）；②a＜0，＞1，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为∈（﹣∞，1）和（，+∞）；（2）a=0，f（x）=，x1＜x＜x2＜2，证明：＞，只要证明g（x）=在（x1，2）上单调递减．g′（x）=，设h（x）=，∴h′（x）=＜0，∴h（x）在（x1，2）上是减函数，∴h（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（x1，2）上单调递减．∵x1＜x＜x2＜2，∴＞．22．解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，∴，∴ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得x+y﹣1=0．∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣1=0．（Ⅱ）∵点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点，∴P（），点P到直线l的距离d==，∴点P到直线l的距离的最大值d max=，点P到直线l的距离的最小值d min==．23．（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，∴3＞a2，∴﹣＜a＜，∴T={a|﹣＜a＜}；（2）证明：由（1）可得m2＜3，n2＜3，∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0，∴3（m+n）2＜（mn+3）2，∴|m+n|＜|mn+3|．。
2017年安徽省示范高中高考数学二模试卷(理科)(解析版)
） D． （1，2）
B． （﹣∞，1）
C． （0，1）
【解答】解：∵A＝{x|x ＜2x}＝（0，2） ，B＝{x|x﹣1＜0}＝（﹣∞，1） ， ∴A∩B＝（0，1） ， 故选：C． 2． （5 分）命题“∃x0∈（1，+∞） ，x0 +2x0+2≤0”的否定形式是（ A． B． C． D． 【解答】解：命题“∃x0∈（1，+∞） ，x0 +2x0+2≤0”的否定形式是： “∀x∈（1，+∞） ，x +2x+2＞0” ． 故选：A． 3． （5 分）已知角 α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，cos215°） ，则 α ＝（ ） B．225° C．235° D．245°
11． （5 分）△ABC 内一点 O 满足 A． 12． （5 分）曲线 B．
，直线 AO 交 BC 于点 D，则（ C． D．
的一条切线 l 与 y＝x，y 轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△
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OAB 外接圆面积的最小值为（ A． B．
） C． D．
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13． （5 分）已知{an}是等比数列，a3＝1，a7＝9，则 a5＝ 14． （5 分）计算： （ ﹣x）dx＝ ． ． ．
15． （5 分）已知 y＝f（x+1）+2 是定义域为 R 的奇函数，则 f（e）+f（2﹣e）＝ 16． （5 分）在△ABC 中， 则 AD＝ ．
，过 B 点作 BD⊥AB 交 AC 于点 D．若 AB＝CD＝1，
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． （10 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边长是 a，b，c 公差为 1 的等差数列，且 a+b ＝2ccosA． （Ⅰ）求证：C＝2A； （Ⅱ）求 a，b，c． 18． （12 分）已知等差数列{an}的公差 d≠0，其前 n 项和为 Sn，若 S9＝99，且 a4，a7，a12 成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 19． （12 分）已知 （Ⅰ）求 f（x）的最小正周期和最大值； （Ⅱ）若 m（m∈R）的零点个数． ，画出函数 y＝g（x）的图象，讨论 y＝g（x）﹣ ，证明： ． ．
2017年安庆市二模数学理科试卷含答案
2017年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题参考答案及评分标准（理科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAACCBDBADAC1.【解析】{}23A =，，则U C A {}14=，，选B. 2．【解析】()()()()()()i 1i 11ii 1i 1i 1i 2a a a a +-++-+==++-为纯虚数，所以1a =-. 选A. 3.【解析】命题p 为真，命题q 为假，则)(q p ⌝∧，选A.4.【解析】设公比为q ，由已知2322=-a q a ， 53421210a a a +=得0652=+-q q 解得2=q 或3=q ，但3=q 不符合. 选C.5. 【解析】这个多面体是半个长方体，长方体长宽高分别为4，4，2. 外接球的直径为长方体对角线长6244222=++，外接球表面积为ππ3642=R .选C.6．【解析】由题意可知AB F 1∆为等边三角形，故AB AF =1，由双曲线定义有a AB AF 2211=-，而a b AB 22=，得222a b =，所以3=e . 选B.另解：不妨设双曲线方程为12222=-by a x 00a b >>（，），由已知，取A 点坐标为2b c a （，），取B 点坐标为2b c a -（，），则C 点坐标为202b a-（，），由1BF AC ⊥，01=⋅BF AC ，可得031032224=+-a a c c ，解得32=e ，所以3=e . 选B.7.【解析】20=x ,8=y ，12=-x y 不满足；8=x ，2=y ，6=-x y 不满足；2=x ，1-=y ，3=-x y 不满足；1-=x ，25-=y ，23=-x y 满足；故输出25-=y . 选D.8.【解析】作出不等式组 1x y ≤≤表示的平面区域，如图.()2222211x y x x y ++=++-因为()221x y ++表示平面区域内的点()x y ，到点()10-，距离的平方，由图可知，()221x y ++的最小值为22122⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以222x y x ++的最小值为11122-=-. 选B.9. 【解析】由图象可知，图象在y 轴右侧的第一条对称轴是124212x πππ-+==，所以7212122T ππππω==-=，所以2ω=. 又712x π=时，函数有最大值，所以7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，所以23k πϕπ=+，k Z ∈. 因为2πϕ<，所以3πϕ=. 由3sin 2043，，A B A B ππ-+=-⎧⎪⎨⎛⎫⨯++= ⎪⎪⎝⎭⎩得2A =，1B =-. 所以()2sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位后，得到图象所对应的函数是()2sin 2213g x x m π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. 由()y g x =图象关于点16，π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，得2263m k πππ⨯++=，k Z ∈，所以23k m ππ=-，k Z ∈. 故m 的最小值是236m πππ=-=.选A.另解：数形结合易得，函数)(x f y =图象的一个对称中心为），（1-3π. 10.【解析】由(1)(1)f x f x +=-可知函数()f x 是周期为2的周期函数，所以22(log 20)(4log 20)f f =-+. 又()f x 是奇函数，所以22(4log 20)(4log 20)f f -+=--.因为2log 20(45)∈，，所以24log 20-(10)∈-，，从而24log 202161(4log 20)211205f --=-=-=-，所以21(log 20)5f =. 选D.11.【解析】建立直角坐标系如图，则(11)AB =，，设P 点坐标为x y （，），则(1)AP x y =+，，21≥++=⋅y x AB AP ，故01>-+y x ，则使得2≥⋅AB AP 的概率==圆阴影S S P ππ42-. 选A. 12.【解析】函数)(x f 的图像关于点(20)，对称，结合图像可知，n x x x 、、、 21满足=-2)(11x x f ==- 2)(22x x f ()122n n f x x =-，即为函数)(x f 与函数121-=x y 的图像恰有5个交点，且这5个交点关于(20)，对称，除去点(20)，，故有12348x x x x +++=.选C.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上) 13.答案：1-.【解析】常数项为33364)(xa x C T -=，即20-336=a C ，解得1-=a .14. 答案：61. 【解析】取BF 中点G ，连CG ，EG ，不妨设正四面体棱长为2，易求3=CE ,23=EG ，213=CG ，由余弦定理6132324133432cos 222=⨯⨯-+=⋅-+=∠CE EG CG CE EG GEC ，异面直线AF 、CE 所成角的余弦值为61. 15.答案：552 【解析】不妨设椭圆),0(b P ，),(00y x A ，则B 点坐标为),(00y x --，则000014y b y b x x ---⨯=--，即2202014y b x -=-，由于1220220=+b y a x ，则222220a b x b y -=-，故4122-=-ab ，则21=a b ，不妨取M )0,(a ，直线QM 方程为0=--ab ay bx ，则P 到直线QM的距离为 2.5bd ===16.答案：23. 【解析】根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，及1c =，cos cos 2cos a B b A C +=， 可得sin cos sin cos 2sin cos sin()2sin cos A B B A C C A B C C +=⇒+=. 又A B C π+=-，所以sin()sin 0A B C +=≠，所以1cos 2C =，所以3C π=.11sin 22ABC S c h ab C ∆=⋅=，所以sin ab C h c ==. 根据余弦定理，2222cos c a b ab C =+-，及1c =，3C π=，得221a b ab +-=.又222a b ab +≥，2212a b ab ab +=+≥，所以1ab ≤，所以h =，当且仅当a b =时取等号. 故h . 另解：数形结合，3C π=，点C 的轨迹是以AB 为弦的弧.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本题满分12分）【解析】（Ⅰ）由()1121n n n S S S +-+=+，得21+=+n n a a ，1n >. ……………3分因为21=a ，42=a ，所以212=-a a ，所以数列{}n a 为首项为2，公差为2的等差数列，所以n a n 2=，*N n ∈. ………5分（Ⅱ）因为n a n nn b n 42==， 所以12212444n n n nT b b b =+++=+++， ………7分 那么231112144444n n n n nT +-=++++， 所以211111111411444444414n n n n n n n n T T ++⎛⎫-=+++-=-- ⎪⎝⎭-1111344nn n +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以143494n n nn T +--=⋅. …………12分18．（本题满分12分）【解析】（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接NB 、NE ，依题意易知AD NE ⊥.平面⊥ADE 平面ABCD NE ⇒⊥平面ABCD NE AC ⇒⊥. ……………3分 又4π=∠=∠NAC ANB BN AC ⊥⇒，所以AC ⊥平面BNE ，所以AC BE ⊥. 在Rt AEF ∆和Rt ABE ∆中，21tan tan =∠=∠AFE AEB AF BE ⊥⇒. …………5分 因为AFAC A =，AF 、AC ⊂平面ACF ，所以BE ⊥平面ACF . ……6分（Ⅱ）分别以直线NE NA 、为x 轴和z 轴，N 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.依题意有：(110)B ，，、(120)C -，，、(043)F ，，. ………………………………8分设平面BCF 的一个法向量1()n x y z =，，，由BC n ⊥1，得x y 2=，由BF n ⊥1，得033=++-z y x . 令1-=x ，可得153(12)3n =--，，. ……………………10分 又平面ABC 的一个法向量2(001)n =，，，所以1253103cos 42303n n 〈〉==，.所以二面角F BC A --的余弦值为410. …………12分 注：用其他方法同样酌情给分.【解析】（Ⅰ）计算可得：5=x ，0721.=y ，10251=-∑=i ix x)(，所以064010640..ˆ==b，7520506400721...ˆˆ=⨯-=-=x b y a . 所以从3月至6月y 关于x 的回归方程为750060..+=∧x y . …………5分 将2016年的12月份x =12代入回归方程得：750060..+=∧x y 75012060..+⨯=471.=，所以预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米.…………6分（Ⅱ）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.()31241155P X C ===， ()334312327355C P X C ⨯===， ()()271255P X P X -=-==3)()()27211255P X P X P X ==-=-== …………9分 所以X 的分布列为因此，X 的数学期望()12355555555E X =⨯+⨯+⨯=. ………12分【解析】（I ）依题意可得，直线l 的斜率k 存在，故设其方程为：2pkx y +=，设点),),(2211y x B y x A （、，动点),(y x C ,由⎪⎩⎪⎨⎧+==222p kx y py x 0222=--⇒p pkx x 221p x x -=⋅⇒ ……3分x pxx x y y OA 2:111==，2:x x OB = 由⎪⎩⎪⎨⎧==,212x x xp x y 得2221p x p x y -==，即点C 的轨迹方程为2p y -=. …………6分（II ）设直线m 的方程为：m kx y +=由⎩⎨⎧+=∆⇒=--⇒+==pm k p pm pkx x mkx y pyx 8402222222 m 与抛物线C 相切，0202=+⇒=∆∴m pk ，),(m pk P -⇒又由⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2p y m kx y )2,22(p k m p Q -+- …………9分 02)2(2),22()2,(2=+++-=-+-⋅--=⋅p pm m p p p k m p p m pk FQ FPFQ FP ⊥⇒ ∴以PQ 为直径的圆过点F . …………12分【解析】（Ⅰ）由已知，xea x a ax x f 1)21()('2-+-+-=xe a a x x a )1(1----=）（（0≠a ），……………1分 则（1）当0>a 时，由于11<-a a ，当)11(，aa x -∈时，0)('>x f .故函数)(x f 的单增区间为)11(，aa -； …………3分 （2）当0<a 时，由于11>-a a ，当),1()1,(+∞--∞∈a a x 时，0)('>x f ；故函数)(x f 的单增区间为)1,(-∞和),1(+∞-a a . …………5分（Ⅱ）0=a ，则x exx f =)(，1x ＜x ＜2x ＜2欲证11)()(x x x f x f -->1212)()(x x x f x f --.，即证11)()()(x x x f x f x g --=在（)2,1x 上单调递减，…………7分∵21112111)()(1)()]()([))(()(1x x e x e x x x e x x x x f x f x x x f x g x x x -+---=----'='令111)(1)(x x x ex e x x x e x x h +---=， 则0)2)((2)2()(1112<--=++-='xx ex x x e x x x x x h ∴)(x h 在（)2,1x 减函数， …………10分)(x h ＜)(1x h 而)(1x h =0∴0)(<x h ，则0)(<'x g ， ∴11)()()(x x x f x f x g --=在（)2,1x 上单调递减，又1x ＜x ＜2x ＜2 ∴11)()(x x x f x f -->1212)()(x x x f x f --. …………12分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22. （本题满分10分）【解析】(Ⅰ)由 22)4sin(=+πθρ22)cos 22sin 22=+⇒θθρ（。
高三数学二模试题 理(扫描版)(2021年整理)
安徽省安庆市2017届高三数学二模试题理（扫描版）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省安庆市2017届高三数学二模试题理（扫描版））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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安徽省安庆市2017届高三数学二模试题理（扫描版)2017年安庆市高三模拟考试(二模） 数学试题参考答案及评分标准（理科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案BA A C CB D B A D A C1.【解析】{}23A =，，则U C A {}14=，,选B 。
2．【解析】()()()()()()i 1i 11ii 1i 1i 1i 2a a a a +-++-+==++-为纯虚数,所以1a =-。
选A 。
3。
【解析】命题p 为真,命题q 为假，则)(q p ⌝∧,选A 。
4.【解析】设公比为q ，由已知2322=-a q a ， 53421210a a a +=得0652=+-q q 解得2=q 或3=q ,但3=q 不符合。
选C 。
5. 【解析】这个多面体是半个长方体，长方体长宽高分别为4,4,2。
外接球的直径为长方体对角线长6244222=++，外接球表面积为ππ3642=R .选C 。
6．【解析】由题意可知AB F 1∆为等边三角形，故AB AF =1,由双曲线定义有a AB AF 2211=-，而ab AB 22=，得222a b =，所以3=e 。
安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．设命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q） B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．65．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18π C．36π D．144π6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．27．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣D．﹣8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m的最小值是（）A．B．C．πD．10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=2x﹣1，则f（log220）等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．已知单位圆有一条长为的弦AB，动点P在圆内，则使得≥2的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若二项式（x﹣）6的展开式中常数项为20，则a=．14．正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的中点，则异面直线AF、CE 所成角的余弦值为．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的端点P（0，b）、Q（0，﹣b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA、PB的斜率之积等于﹣，则P到直线QM的距离为．16．在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC，设h是边AB上的高，则h的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}中，a1=2，a2=4，设S n为数列{a n}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．18．在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：=25，=5.36，=0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．已知抛物线x2=2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B 两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．21．已知函数f（x）=，a∈R．（1）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若a=0，x1＜x＜x2＜2，证明：＞．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，且点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅱ）设m、n∈T，证明： |m+n|＜|mn+3|．2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2}B．{1，4}C．{2，4}D．{1，3，4}【考点】补集及其运算．【分析】化简集合A，求出∁U A．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}={x∈N|1＜x＜4}={2，3}，所以∁U A={1，4}．故选：B．2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，由整理出实部和虚部，由纯虚数的定义列出方程组，求出a的值．【解答】解：由题意得，===，因为复数为纯虚数，所以，解得a=﹣1，故选A．3．设命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q） B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p、q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3，是真命题，例如取x0=4；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，是假命题，取x=4时，x2=2x．则下列命题为真的是p∧（￢q）．故选：A．4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．6【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式和等差中项，列出方程组，由此能求出{a n}的公比．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，∴，解得a1=﹣1，q=2．∴{a n}的公比等于2．故选：C．5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18π C．36π D．144π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O1．则球心O满足OO1⊥侧面ABB1A1．设OO1=x，则x2+=（2﹣x）2+，解得x．可得该多面体外接球的半径r．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O1．则球心O满足OO1⊥侧面ABB1A1．设OO1=x，则x2+=（2﹣x）2+，解得x=1．∴该多面体外接球的半径r==3．表面积为4π×32=36π．故选：C．6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据中位线定理，求得C点坐标，由•=0，利用向量数量积的坐标运算，利用双曲线的性质，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：，（a＞0，b＞0），由AB为双曲线的通径，则A（c，），B（c，﹣），F1（﹣c，0），由OC为△F1F2B中位线，则丨OC丨=，则C（0，﹣），则=（﹣c，﹣），=（﹣2c，），由AC⊥BF1，则•=0，则2c2﹣=0整理得：3b4=4a2c2，由b2=c2﹣a2，3c4﹣10a2c2+3a4=0，椭圆的离心率e=，则3e4﹣10e2+3=0，解得：e2=3或e2=，由e＞1，则e=，故选B．7．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y|y﹣x|是否小于或等于2 是否继续循环循环前20/第一圈20 8|8﹣20|=12＞2 是第二圈8 2|2﹣8|=6＞2 是第三圈2﹣1|﹣1﹣2|=3＞2 是第四圈﹣1﹣|﹣﹣（﹣1）|=＜2 否故输出y的值为﹣．故选：D．8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．【解答】解：x，y满足|x|≤y≤1，表示的可行域如图：x2+y2+2x=（x+1）2+y2﹣1它的几何意义是可行域内的点到（﹣1，0）的距离的平方减去1．显然D（﹣1，0）到直线x+y=0的距离最小，最小值为：=，所求表达式的最小值为：，故选：D．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m的最小值是（）A．B．C．πD．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由最值以及特殊点求A、B，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式；利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得y轴右侧第一条对称轴为x==，故=﹣，∴ω=2．∵x=时函数取得最小值，故有2•+φ=，∴φ=．再根据B﹣A=﹣3，且Asin（2•+）+B=+B=0，∴A=2，B=﹣1，即f（x）=2sin（2x+）﹣1．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到y=g（x）=2sin（2x+2m+）﹣1的图象，根据得到的函数g（x）图象关于点（，﹣1）对称，可得2•+2m+=kπ，k ∈Z，∴m=﹣，则m的最小值是，故选：A．10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=2x﹣1，则f（log220）等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（x+1）=f（x﹣1）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1）∴函数f（x）为周期为2的周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1∴f（﹣log2）=﹣，故f（log220）=．故选：D．11．已知单位圆有一条长为的弦AB，动点P在圆内，则使得≥2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出使得≥2的区域的面积，以面积为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，取A（1，0），B（0，1），设P（x，y），则（x﹣1，y）•（﹣1，1）≥2，∴x﹣y+1≤0，相应的面积为﹣=，∴所求概率为，故选A．12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】函数的值．【分析】由题意函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，由此能求出x1+x2+…+x n的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，结合图象知：x1、x2、…x n满足==…==，∴函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，除去点（2，0），故有x1+x2+…+x n=x1+x2+x3+x4=8．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若二项式（x﹣）6的展开式中常数项为20，则a=﹣1．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．==（﹣a）r x6﹣2r，令6﹣2r=0，解得【解答】解：通项公式T r+1r=3．∴（﹣a）3=20，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．14．正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．【解答】解：如图，连接CF，取BF的中点M，连接CM，EM，则ME∥AF，故∠CEM即为所求的异面直线角．设这个正四面体的棱长为2，在△ABD中，AF==CE=CF，EM=，CM=．∴cos∠CEM==．故答案为．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的端点P（0，b）、Q（0，﹣b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA、PB的斜率之积等于﹣，则P到直线QM的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用直线的斜率公式，求得k PA•k PB==﹣，由A在椭圆上，则=﹣，即可求得=，求得a=2b，利用三角形的面积相等，即•丨PQ丨•丨OM丨=•丨PQ丨•d，即可求得d的值．【解答】解：根据题意可得P（0，b）、Q（0，﹣b），设A（x，y），B（﹣x，﹣y），由直线PA、PB的斜率之积为﹣，则k PA•k PB=•==﹣，由A在椭圆上可得+=1，则=﹣∴=，即a=2b，△PMQ的面积S=•丨PQ丨•丨OM丨=×2b×a=2b2，设P到直线MQ的距离d，则S=•丨PQ丨•d=וd=•d=2b2，解得：d=，∴P到直线QM的距离，故答案为：．16．在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC，设h是边AB上的高，则h的最大值为．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosC，进而求得C．根据余弦定理求得a和b的不等式关系，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用a和b的不等式关系求得三角形面积的最大值，进而得解．【解答】解：∵acosB+bcosA=2cosC，且c=1，∴由题意及正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，∵sinC≠0，∴cosC=，可解得：sinC=，可得：cosC==，∴ab=a2+b2﹣1≥2ab﹣1，即ab≤1，等号当a=b时成立，∴可得：S△ABC=absinC≤．又∵h是边AB上的高，S△ABC=ch=h≤．∴解得：h≤，则h的最大值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}中，a1=2，a2=4，设S n为数列{a n}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）对于任意的n＞1，n∈N*，S n+1+S n﹣1=2（S n+1），S n+2+S n=2（S n+1+1），相减可得：a n+2+a n=2a n+1．（*）又n=2时，S3+S1=2（S2+1），即2a1+a2+a3=2（a1+a2+1），a1=2，a2=4，解得a3=6．∴n=1时（*）也满足．∴数列{a n}是等差数列，公差为2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（2）b n===，∴{b n}的前n项和T n=+…+，=++…++，可得：=+…+﹣=﹣，∴T n=﹣．18．在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥平面ACF．（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，4，），=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，4，），=（﹣2，2，0），=1﹣4+3=0，=2﹣2=0，∴BE⊥AF，BE⊥AC，又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．解：（Ⅱ）=（﹣2，1，0），=（﹣1，3，），设平面BCF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，﹣），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值为．19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：=25，=5.36，=0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程；频率分布折线图、密度曲线．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意=5，=1.072，=10，∴==0.064，=﹣=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，X的分布列为E（X）=1×+2×+3×=．20．已知抛物线x2=2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B 两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）判断直线l 的斜率存在，设方程为：y=kx +，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），动点C （x ，y ）联立直线与抛物线的方程组，利用韦达定理可得x 1x 2═﹣p 2．求出OA ；OB 方程；然后求解轨迹方程．（Ⅱ）设直线m 的方程为：y=kx +m ，由，得△=4p 2k 2+8pm ，利用直线m 与抛物线相切，得P （pk ，﹣m ），求出Q （），通过=0，说明以线段PQ 为直径的圆过点F ．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：直线l 的斜率存在，设方程为：y=kx +， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），动点C （x ，y ），由，可得x 2﹣2pkx ﹣p 2=0．可得x 1x 2═﹣p 2．OA ：y==；OB ：x=x 2；由可得y=，即点C 的轨迹方程为y=﹣．（Ⅱ）证明：设直线m 的方程为：y=kx +m ，由可得x 2﹣2pkx ﹣2pm=0可得△=4p 2k 2+8pm ，因为直线m 与抛物线相切，∴△=0，可得pk 2+2m=0，可得P （pk ，﹣m ），又由，可得Q （），=（pk ，﹣m ﹣）（）=﹣（p +2m ）+pm +=0，可得FP ⊥FQ ，∴以线段PQ 为直径的圆过点F ．21．已知函数f（x）=，a∈R．（1）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若a=0，x1＜x＜x2＜2，证明：＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）若a≠0，求导数，分类讨论，即可求函数f（x）的单调递增区间；（2）a=0，f（x）=，x1＜x＜x2＜2，证明：＞，只要证明g（x）=在（x1，2）上单调递减．【解答】（1）解：∵f（x）=，∴f′（x）=，x∈（，1）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为（，1）；②a＜0，＞1，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为∈（﹣∞，1）和（，+∞）；（2）a=0，f（x）=，x1＜x＜x2＜2，证明：＞，只要证明g（x）=在（x1，2）上单调递减．g′（x）=，设h（x）=，∴h′（x）=＜0，∴h（x）在（x1，2）上是减函数，∴h（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（x1，2）上单调递减．∵x1＜x＜x2＜2，∴＞．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，且点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）由题意P（），从而点P到直线l的距离d==，由此能求出点P到直线l的距离的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，∴，∴ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得x+y﹣1=0．∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣1=0．（Ⅱ）∵点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点，∴P（），点P到直线l的距离d==，∴点P到直线l的距离的最大值d max=，点P到直线l的距离的最小值d min==．【选修4-5：不等式选讲】23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅱ）设m、n∈T，证明： |m+n|＜|mn+3|．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为3，可得3＞a2，由此求得实数a的取值的集合T；（2）由（1）可得m2＜3，n2＜3，再整理，即可证明结论．【解答】（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，∴3＞a2，∴﹣＜a＜，∴T={a|﹣＜a＜}；（2）证明：由（1）可得m2＜3，n2＜3，∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0，∴3（m+n）2＜（mn+3）2，∴|m+n|＜|mn+3|．2017年4月5日。
安徽省安庆市高考数学二诊试卷(理科)
安徽省安庆市高考数学二诊试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·鞍山期中) 已知i为虚数单位，则的共轭复数的实部与虚部的乘积等于（）A . ﹣B .C . iD . ﹣ i2. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二下·陆川期末) 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示,则有（）A .B .C .D .4. （2分）已知a1=13,,则当an+1=1时，n的最小值是（）A . 9B . 10C . 11D . 125. （2分）设，则（）A . c<b<aB . c<a<bC . a<b<cD . b<c<a6. （2分）如图，若程序框图输出的S是254，则判断框①处应为A . n≤5B . n≤6C . n≤7D . n≤87. （2分） (2018高一下·重庆期末) 已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一上·宜昌期中) 关于x的方程3x=a2+2a在（﹣∞，1]上有解，则实数a的取值范围是（）A . [﹣2，﹣1）∪（0，1]B . [﹣3，﹣2）∪[0，1]C . [﹣3，﹣2）∪（0，1]D . [﹣2，﹣1）∪[0，1]10. （2分）将1枚硬币抛2次，恰好出现1次正面的概率是（）A .B .C .D . 011. （2分） (2018高一下·攀枝花期末) 设实数满足约束条件，则的最小值是（）A .B .C .D .12. （2分）如图，点从点出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系分别记为，定义函数对于函数，下列结论正确的个数是（）①.②函数的图象关于直线对称.③函数值域为.④函数增区间为.A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·商州期中) 已知，是夹角为的两个单位向量， = ﹣，=k + ，若 =0，则实数k的值________．14. （1分） (2016高二上·福州期中) 下列命题中正确的有________．①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC中，若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC为直角三角形；③若A，B为锐角三角形的两个内角，则tanAtanB＞1；④若Sn为数列{an}的前n项和，则此数列的通项an=Sn﹣Sn﹣1（n＞1）．15. （1分）(2017·河南模拟) 已知函数fn（x）=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn ，且fn（﹣1）=（﹣1）nn，n∈N* ，设函数g（n）= ，若bn=g（2n+4），n∈N* ，则数列{bn}的前n（n≥2）项和Sn等于________．16. （1分） (2019高二上·唐山月考) 已知椭圆：，是轴正半轴上一动点，若以为圆心任意长为半径的圆与椭圆至多有两个交点，则的取值范围是________.三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2019高一下·大庆月考) 在中，角的对边分别是，.（1）求的值；（2）求及的面积.18. （10分）(2017·重庆模拟) 某高中学校为了了解在校学生的身体健康状况，从全校学生中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如图：根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为为优良（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．19. （10分）(2016·南平模拟) 如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，点E、F分别在CD、AB 上，且EF⊥CD，BE⊥BC，BC=1，CE=2．现将矩形ADEF沿EF折起，使平面ADEF与平面EFBC垂直（如图2）．（1）求证：CD∥面ABF；（2）当AF的长为何值时，二面角A﹣BC﹣F的大小为30°．20. （10分） (2016高二上·浦城期中) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：• 为定值．21. （10分）(2019·鞍山模拟) 已知函数．（1）当时，求在，（1）处的切线方程；（2）当，时，恒成立，求的取值范围．22. （5分） (2017高二下·赤峰期末) 已知直线为参数），圆 (为参数)，（Ⅰ）当时，求与的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点作的垂线，垂足为 ,为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.23. （5分）设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|（I）若不等式f（x）≤a的解集为（﹣∞， ]．求a的值；（II）若∃x∈R．使f（x）＜m2﹣4m，求m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、。
最新安徽省示范高中高考数学二模试卷(理科)(解析版)
精品文档2017 年安徽省示范高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合 A={x|x2＜2x}，B={x|x﹣1＜0}，则 A∩B=（ ）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（0，1） D．（1，2）2．命题“∃ x0∈（1，+∞），x02+2x0+2≤0”的否定形式是（ ）A．B．C．D．3．已知角 α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，cos215°），则 α=（ ） A．215° B．225° C．235° D．245°4．已知是夹角为 60°的两个单位向量，则“实数 k=4”是“”的（ ） A．充分不必要条件 C．必要不充分条件B．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数的最小正周期是 π，则其图象向右平移 个单位后的单调递减区间是（ ）A．B．C．D．6．已知，则（ ）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2） C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2） 7．设函数 f（x）在（m，n）上的导函数为 g（x），x∈（m，n），g（x）若的导 函数小于零恒成立，则称函数 f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当 a≤2 时，，在 x∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数 f（x）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ）精品文档精品文档A．既有极大值，也有极小值 B．有极大值，没有极小值C．没有极大值，有极小值 D．既无极大值，也没有极小值8．=（ ）A．B．﹣1C．D．9．设函数 f（x）是二次函数，若 f（x）ex 的一个极值点为 x=﹣1，则下列图象 不可能为 f（x）图象的是（ ）A．B．C．D．10．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的 概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．书的第 6 卷 19 题，“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．”如果竹由下往上均匀 变细（各节容量可视为等差数列），则中间剩下的两节容量是多少升（ ）A．B．C．D．11．△ABC 内一点 O 满足，直线 AO 交 BC 于点 D，则（ ）A．B．C．D．12．曲线的一条切线 l 与 y=x，y 轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△OAB 外接圆面积的最小值为（ ）A．B．C．D．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）精品文档精品文档13．已知{an}是等比数列，a3=1，a7=9，则 a5= ．14．计算： （﹣x）dx= ．15．已知 y=f（x+1）+2 是定义域为 R 的奇函数，则 f（e）+f（2﹣e）= ．16．在△ABC 中，，过 B 点作 BD⊥AB 交 AC 于点 D．若 AB=CD=1，则 AD= ．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边长是 a，b，c 公差为 1 的等差数列，且 a+b=2ccosA． （Ⅰ）求证：C=2A； （Ⅱ）求 a，b，c． 18．已知等差数列{an}的公差 d≠0，其前 n 项和为 Sn，若 S9=99，且 a4，a7，a12 成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若，证明：．19．已知．（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若，画出函数 y=g（x）的图象，讨论 y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数．精品文档精品文档20．已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S3，S9，S6 成等差数列． （Ⅰ）求证：a2，a8，a5 成等差数列； （Ⅱ）若等差数列{bn}满足 b1=a2=1，b3=a5，求数列{an3bn}的前 n 项和 Tn． 21．已知函数 f（x）=ex+ax+b（a，b∈R）在 x=ln2 处的切线方程为 y=x﹣2ln2． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 k 为差数，当 x＞0 时，（k﹣x）f'（x）＜x+1 恒成立，求 k 的最大值（其 中 f'（x）为 f（x）的导函数）．22．已知函数 f（x）=2ln（x+1）+﹣（m+1）x 有且只有一个极值．（Ⅰ）求实数 m 的取值范围； （Ⅱ）若 f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证：x1+x2＞2．精品文档精品文档2017 年安徽省示范高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合 A={x|x2＜2x}，B={x|x﹣1＜0}，则 A∩B=（ ） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（0，1） D．（1，2） 【考点】交集及其运算． 【分析】分别求解一元二次不等式及一元一次不等式化简集合 A、B，再由交集 运算得答案． 【解答】解：∵A={x|x2＜2x}=（0，2），B={x|x﹣1＜0}=（﹣∞，1）， ∴A∩B=（0，1）， 故选：C．2．命题“∃ x0∈（1，+∞），x02+2x0+2≤0”的否定形式是（ ）A．B．C．D．【考点】命题的否定． 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出它的否定命题即可． 【解答】解：命题“∃ x0∈（1，+∞），x02+2x0+2≤0”的否定形式是： “∀ x∈（1，+∞），x2+2x+2＞0”． 故选：A．3．已知角 α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，cos215°），则 α=（ ） A．215°B．225°C．235°D．245° 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】利用诱导公式，任意角的三角函数的定义，求得 α 的值．精品文档精品文档【解答】解：∵角 α（0°≤α＜360°）终边上一点的坐标为（sin215°，cos215°）， 由三角函数定义得 cosα=sin215°=cos235°，sinα=cos215°=sin235°，∴α=235°， 故选：C．4．已知是夹角为 60°的两个单位向量，则“实数 k=4”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设出向量的坐标，求出”的充要条件，判断即可．【解答】解：设 =（1，0），则 =（ ， ），若”，则（2 ﹣k ）• =0，故[2（1，0）﹣k（ ， ）]•（1，0）=2﹣ =0，解得：k=4，故实数 k=4”是“”的充要条件，故选：B．5．函数 单位后的单调递减区间是（ A．的最小正周期是 π，则其图象向右平移 个 ）B．C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】根据最小正周期是 π，可知 ω=2，求得图象向右平移 个单位后解析式，再结合三角函数的性质求单调递减区间．精品文档精品文档【解答】解：由函数的最小正周期是 π，即，解得：ω=2，图象向右平移 个单位，经过平移后得到函数解析式为，由（k∈Z），解得单调递减区间为．故选：B．6．已知，则（ ）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2） C．f（3）＞f（2）＞f （e） D．f（e）＞f（3）＞f（2） 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而 求出函数的最大值，计算 f（e），f（3），f（2）的值，比较即可． 【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），∵，∴x∈（0，e），f'（x）＞0；x∈（e，+∞），f'（x）＜0，故 x=e 时，f（x）max=f（e），而，f（e）＞f（3）＞f（2）， 故选：D．7．设函数 f（x）在（m，n）上的导函数为 g（x），x∈（m，n），g（x）若的导 函数小于零恒成立，则称函数 f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当 a≤2 时，，在 x∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数 f（x）在（﹣1，精品文档精品文档2）上结论正确的是（ ） A．既有极大值，也有极小值 B．有极大值，没有极小值 C．没有极大值，有极小值 D．既无极大值，也没有极小值 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】根据函数恒成立，得出 m 的值，利用函数单调性得出结果．【解答】解：，由已知得 g′（x）=x﹣a＜0，当 x∈（﹣1，2）时恒成立， 故 a≥2，又已知 a≤2，故 a=2， 此时由 f′（x）=0，得：x1=2﹣ ，x2=2+ ∉（﹣1，2）， 当 x∈（﹣1，2﹣ ）时，f′（x）＞0；当 x∈（2﹣ ，2）时，f′（x）＜0， 所以函数 f（x）在（﹣1，2）有极大值，没有极小值， 故选：B．8．=（ ）A． B．﹣1 C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用“切化弦”的思想与辅助角公式结合化简即可．【解答】解：故选：B．9．设函数 f（x）是二次函数，若 f（x）ex 的一个极值点为 x=﹣1，则下列图象 不可能为 f（x）图象的是（ ）A．B．C．精品文档精品文档D．【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】先求出函数 f（x）ex 的导函数，利用 x=﹣1 为函数 f（x）ex 的一个极值 点可得 a，b，c 之间的关系，再代入函数 f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证， 看哪个答案不成立即可． 【解答】解：由 y=f（x）ex=ex（ax2+bx+c）⇒ y′=f′（x）ex+exf（x）=ex[ax2+（b+2a） x+b+c]， 由 x=﹣1 为函数 f（x）ex 的一个极值点可得，﹣1 是方程 ax2+（b+2a）x+b+c=0 的一个根， 所以有 a﹣（b+2a）+b+c=0⇒ c=a． 法一：所以函数 f（x）=ax2+bx+a，对称轴为 x=﹣ ，且 f（﹣1）=2a﹣b，f（0） =a． 对于 A，由图得 a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾， 对于 B，由图得 a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾， 对于 C，由图得 a＜0，f（0）＜0，x=﹣ ＞0⇒ b＞0⇒ f（﹣1）＜0，不矛盾， 对于 D，由图得 a＞0，f（0）＞0，x=﹣ ＜﹣1⇒ b＞2a⇒ f（﹣1）＜0 与原图 中 f（﹣1）＞0 矛盾，D 不对． 法二：所以函数 f（x）=ax2+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为 1，对照四 个选项发现，D 不成立． 故选：D．10．《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，在人类历史上第一次提出负数的 概念，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面．书的第 6 卷 19 题，“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．”如果竹由下往上均匀 变细（各节容量可视为等差数列），则中间剩下的两节容量是多少升（ ）精品文档精品文档A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设九节竹自上而下分别为 a1，a2，…，a9，由题意可得，求出首项和公差，则答案可求． 【解答】解：由题意，设九节竹自上而下分别为 a1，a2，…，a9，则，解得，∴．故选：B．11．△ABC 内一点 O 满足，直线 AO 交 BC 于点 D，则（ ）A．B．C．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由已知得=，则D． = ，从而得到= ，由此能求出 2 +3 = ．【解答】解：∵△ABC 内一点 O 满足= ，直线 AO 交 BC 于点 D，∴=，令=，则=，∴B，C，E 三点共线，A，O，E 三点共线，∴D，E 重合．∴= ，∴2 +3 =2 ﹣2 +3 ﹣3 =﹣ ﹣5 = ．故选：A．12．曲线的一条切线 l 与 y=x，y 轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△OAB 外接圆面积的最小值为（ ）精品文档精品文档A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设直线 l 与曲线的切点坐标为（x0，y0），求出函数的导数，可得切线的 斜率和方程，联立直线 y=x 求得 A 的坐标，与 y 轴的交点 B 的坐标，运用两点距离公式和基本不等式可得 AB 的最小值，再由正弦定理可得外接圆的半径，进而得到所求面积的最小值．【解答】解：设直线 l 与曲线的切点坐标为（x0，y0），函数的导数为．则直线 l 方程为，即，可求直线 l 与 y=x 的交点为 A（2x0，2x0），与 y 轴的交点为，在△OAB 中，当且仅当 x02=2 时取等号． 由正弦定理可得△OAB 得外接圆半径为 则△OAB 外接圆面积 故选 C．，， ，二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．已知{an}是等比数列，a3=1，a7=9，则 a5= 3 ． 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】由已知结合等比数列的性质求解． 【解答】解：∵a3=1，a7=9， ∴由等比数列的性质可得：，又＞0，∴a5=3．精品文档精品文档故答案为：3．14．计算： （﹣x）dx=【考点】定积分．【分析】先利用定积分的几何意义计算． dx，即求被积函数 y=与直线 x=0，x=1 所围成的图形的面积即可，再求出 （﹣x）dx，问题得以解决．【解答】解：由定积分的几何意义知dx 是由 y=与直线 x=0，x=1 所围成的图形的面积，即是以（1，0）为圆心，以 1 为半径的圆的面积的 ，故dx= ，（﹣x）dx=﹣=，∴（﹣x）dx= ．故答案为： ．15．已知 y=f（x+1）+2 是定义域为 R 的奇函数，则 f（e）+f（2﹣e）= ﹣4 ． 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】y=f（x+1）+2 的图象关于原点（0，0）对称，则 y=f（x）图象关于（1， ﹣2）对称，即可求出 f（e）+f（2﹣e）． 【解答】解：y=f（x+1）+2 的图象关于原点（0，0）对称， 则 y=f（x）是由 y=f（x+1）+2 的图象向右平移 1 个单位、向下平移 2 个单位得 到，图象关于（1，﹣2）对称，f（e）+f（2﹣e）=﹣4． 故答案为﹣4．16．在△ABC 中，则 AD=．精品文档，过 B 点作 BD⊥AB 交 AC 于点 D．若 AB=CD=1，精品文档【考点】正弦定理． 【分析】设 AD=x，由题意求出∠CBD、sin∠BDC，由正弦定理求出 BC，在△ABC 中由余弦定理列出方程，化简后求出 x 的值，可得答案． 【解答】解：设 AD=x，且 BD⊥AB，AB=CD=1，在△BCD 中，，则，且 sin∠BDC=sin（π﹣∠ADB）=sin∠ADB= = ，由正弦定理得，，所以 BC===，在△ABC 中，由余弦定理得， AC2=AB2+BC2﹣2•AB•BCcos∠ABC则，化简得，，解得 x= ，即 AD= ， 故答案为： ．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边长是 a，b，c 公差为 1 的等差数列，且 a+b=2ccosA． （Ⅰ）求证：C=2A； （Ⅱ）求 a，b，c． 【考点】正弦定理；余弦定理．精品文档精品文档【分析】（Ⅰ）由 a+b=2ccosA．利用正弦定理可证 C=2A． （Ⅱ）由 a，b，c 公差为 1 的等差数列，得 a=b﹣1，c=b+1，由余弦定理得 a2=b2+c2 ﹣2bccosA，利用正弦定理可求 a，b，c 的值． 【解答】（Ⅰ）证明：由已知 a+b=2ccosA 及正弦定理得 sinA+sinB=2sinCcosA…①， 又 sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC…② 把②代入①得：sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA， 整理得：sinA=sin（C﹣A） 又∵0＜A＜π，0＜C﹣A＜π， ∴A=C﹣A 故 C=2A． （Ⅱ）由已知得 a=b﹣1，c=b+1，由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA， 整理得：b+4=2（b+1）cosA① 由（Ⅰ）知 C=2A，得 sinC=sin2A=2sinAcosA，由正弦定理得 c=2acosA 即 cosA= =②由①②整理得：b=5， ∴a=4，b=5，c=6．18．已知等差数列{an}的公差 d≠0，其前 n 项和为 Sn，若 S9=99，且 a4，a7，a12 成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若，证明：．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和． 【分析】（Ⅰ）由 S9=99，求出 a5=11，由 a4，a7，a12 成等比数列，求出 d=2，由 此能求出数列{an}的通项公式．（Ⅱ）求出=n（n+2），从而 ==，由此利用裂项求和法能证明．【解答】解：（Ⅰ）因为等差数列{an}的公差 d≠0，其前 n 项和为 Sn，S9=99，精品文档精品文档∴a5=11，…由 a4，a7，a12 成等比数列，得，即（11+2d）2=（11﹣d）（11+7d），∵d≠0，∴d=2，… ∴a1=11﹣4×2=3， 故 an=2n+1 …证明：（Ⅱ）=n（n+2）， ==，…∴= [（1﹣ ）+（= [1+故．…）+（ ]=）+…+（）+（ ，）]…19．已知．（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若，画出函数 y=g（x）的图象，讨论 y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象． 【分析】（Ⅰ）根据 f（x）=2 ，利用向量数量积的运算法则求解 f（x）并化精品文档精品文档简，即可求得 f（x）的最小正周期和最大值（Ⅱ），利用“5 点画法”画出函数 y=g（x）的图象．【解答】解：（Ⅰ）（f x）=2 =2sinxcosx+2sin2x=sin2x﹣cos2x+1=∴f（x）的最小正周期 T=π；函数 f（x）的最大值为：；（Ⅱ），利用“5 点画法”，函数 y=g（x）在区间上列表为 x﹣π00﹣1 012112描点作图那么：y=g（x）﹣m（m∈R）的零点个数，即为函数 y=g（x）与直线 y=m 的交 点个数，由图可知，当时，无零点；当时，有 1 个零点；当或当 m=2 时，有 3 个零点．时，有 2 个零点；精品文档精品文档20．已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S3，S9，S6 成等差数列． （Ⅰ）求证：a2，a8，a5 成等差数列； （Ⅱ）若等差数列{bn}满足 b1=a2=1，b3=a5，求数列{an3bn}的前 n 项和 Tn． 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为 q．当 q=1 时，显然 S3+S6≠2S9，与已知 S3，S9，S6 成等差数列矛盾，可得 q≠1．由 S3+S6=2S9，利用求和公式化为：1+q3=2q6， 即可证明 a2，a8，a5 成等差数列．（ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 1+q3=2q6 ， 解 得 q3= ﹣．可得===．b1=a2=1，b3=a5=﹣ ，可得 bn=﹣ + ，=，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】（Ⅰ）证明：设等比数列{an}的公比为 q． 当 q=1 时，显然 S3+S6≠2S9，与已知 S3，S9，S6 成等差数列矛盾，∴q≠1．由 S3+S6=2S9，可得+=2，化为：1+q3=2q6，∴a2+a5===2a8．∴a2，a8，a5 成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）1+q3=2q6，解得 q3=1（舍去），q3=﹣ ．∴===．b1=a2=1，b3=a5=﹣ ，数列{bn}的公差 d= （b3﹣b1）=﹣ ．∴bn=﹣ + ，故=Tn=+， +…+，①精品文档精品文档=+…+①﹣②得：= ﹣ 2+=﹣=+解得 Tn=﹣ +．+2﹣ ，② ﹣ ﹣21．已知函数 f（x）=ex+ax+b（a，b∈R）在 x=ln2 处的切线方程为 y=x﹣2ln2．（Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间；（Ⅱ）若 k 为差数，当 x＞0 时，（k﹣x）f'（x）＜x+1 恒成立，求 k 的最大值（其 中 f'（x）为 f（x）的导函数）． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由 f'（ln2）=1 求导 a 值，再由 f（ln2）= ﹣ln2 求得 b 值，代入原函数的导函数，再由导函数的符号与原函数单调性间的 关系确定原函数的单调区间；（Ⅱ）把当 x＞0 时，（k﹣x）f'（x）＜x+1 恒成立，转化为在 x＞0 时恒成立．令，利用导数求其最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ex+a，由已知得 f'（ln2）=1，故 eln2+a=1，解得 a=﹣1．又 f（ln2）=﹣ln2，得 eln2﹣ln2+b=﹣ln2，解得 b=﹣2，∴f（x）=ex﹣x﹣2，则 f'（x）=ex﹣1，精品文档精品文档当 x＜0 时，f'（x）＜0；当 x＞0 时，f'（x）＞0， ∴f（x）的单调区间递增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）； （Ⅱ）由已知（k﹣x）f'（x）＜x+1，及 f'（x）=ex﹣1，整理得在 x＞0 时恒成立．令，，当 x＞0 时，ex＞0，ex﹣1＞0； 由（Ⅰ）知 f（x）=ex﹣x﹣2 在（0，+∞）上为增函数， 又 f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣4＞0，∴存在 x0∈（1，2）使得，此时当 x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当 x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0∴．故整数 k 的最大值为 2．22．已知函数 f（x）=2ln（x+1）+﹣（m+1）x 有且只有一个极值．（Ⅰ）求实数 m 的取值范围； （Ⅱ）若 f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证：x1+x2＞2． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论 m 的范围，根据函数有且只有一个极 值，求出 m 的范围即可； （Ⅱ）不妨设﹣1＜x1＜1＜x2，令 g（x）=f（2﹣x）﹣f（x）（﹣1＜x＜1），根据 函数的单调性证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）定义域为（﹣1，+∞），精品文档精品文档…即求 f'（x）=0 在区间（﹣1，+∞）上只有一个解，（1）当 m≠0 时，由 f'（x）=0 得 x=1 或，则，m＜0…（2）当 m=0 时，．得 x=1 符合题意，综上：当 m≤0 时，f（x）有且只有一个极值…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：m≤0，x=1 时 f（x）有且只有一个极大值．又 f（x1）=f（x2）（x1≠x2），不妨设﹣1＜x1＜1＜x2令 g（x）=f（2﹣x）﹣f（x）（﹣1＜x＜1）则 g （ x ） =2ln （ 3 ﹣ x ） ﹣ 2ln （ x+1 ） +2x ﹣ 2 （ m+1 ）所以 g（x）在（﹣1，1）上为减函数，故 g（x）＞g（1）=0… 即当﹣1＜x＜1 时，f（2﹣x）＞f（x）． 所以 f（2﹣x1）＞f（x1）=f（x2），即 f（2﹣x1）＞f（x2） 由（Ⅰ）知，f（x）在（1，+∞）上为减函数，且 2﹣x1＞1，x2＞1， 所以 2﹣x1＜x2，故 x1+x2＞2．…精品文档精品文档2017年3月3日精品文档。
安徽省安庆市2017届高三高考数学二模试卷(理科)
2017年安庆市高三模拟考试(二模) 数学试题(理科) 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N| x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2} B．{1，4} C．{2，4} D．{3，4}2．设i是虚数单位，复数1a ii++为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．设命题p：∃x0∈（0，+∞），013xx+>；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．65．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18πC．36πD．144π6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．22D．237．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．134-D．52-8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．12B．12-C．22D．212-9．已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）+ B（A＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m （m ＞0）个单位后，得到的图象关于点（6π，﹣1）对称，则m 的最小值是（ ） A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π10．定义在R 上的奇函数f （x ）满足：f （x +1）=f （x ﹣1），且当﹣1＜x ＜0时，f （x ）=2x ﹣1，则()2log 20f 等于（ ） A ．14B ．14-C ．15-D ．1511的弦AB ，动点P 在圆内，则使得2AP AB ⋅≥u u u r u u u r的概率为（ ）A ．24ππ- B ．2ππ- C ．324ππ- D ．2π 12．已知函数()[]()32sin 2,1,322,(,1)(3,)x x f x x x x π⎧∈⎪=⎨--+∈-∞+∞⎪⎩U ，若存在x 1、x 2、…x n 满足()()()121212222n n f x f x f x x x x ====---L ，则12n x x x ++⋯+ 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中常数项为20，则a = ．14．正四面体ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、BD 的中点，则异面直线AF 、CE 所成角的余弦值为 ．15．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）短轴的端点P （0，b ）、Q （0，﹣b ），长轴的一个端点为M ，AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若P A 、PB 的斜率之积等于14- ，则P 到直线QM 的距离为 ． 16．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且c =1，cos cos 2cos a B b A C +=，设h 是边AB 上的高，则h 的最大值为 ． 三、解答题（共6小题，满分70分）17．（本小题满分12分）已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=4，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n ＞1， n ∈N *，S n +1+S n ﹣1=2(S n +1)．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设2nn a nb =，求{b n }的前n 项和T n ．18．（本小题满分12分）在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形，∠BAD =∠ADC=2π，平面ADE ⊥平面ABCD ，EF =2DC =4AB =4，△ADE 是边长为2的正三角形． （Ⅰ）证明：BE ⊥平面ACF ； （Ⅱ）求二面角A ﹣BC ﹣F 的余弦值．19．（本小题满分12分）据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：5125ii x==∑ ，515.36i i y ==∑，51()()i i i x x y y =--∑=0.64回归方程^^^x a y b =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()^()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，^^y x a b =- ．20．（本小题满分12分）已知抛物线x 2=2py （p ＞0），F 为其焦点，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，过点B 作x 轴的垂线，交直线OA 于点C ，如图所示． （Ⅰ）求点C 的轨迹M 的方程；（Ⅱ）直线m 是抛物线的不与x 轴重合的切线，切点为P ，M 与直线m 交于点Q ，求证：以线段PQ 为直径的圆过点F ．21．（本小题满分12分）已知函数()2xax x a f x e ++=，a ∈R ． （1）若a ≠0，求函数f （x ）的单调递增区间； （2）若a =0，122x x x <<< ，证明：()()()()121121f x f x f x f x x x x x -->-- ．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l 的极坐标方程是sin()4πρθ+=，且点P 是曲线C ：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数）上的一个动点． （Ⅰ）将直线l 的方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 的距离的最大值与最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知()12||f x xx =++﹣． （1）若不等式()2f x a ＞ 对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值的集合T ；（Ⅱ）设m 、n ∈T 3n mn ++＜．2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁U A等于（）A．{1，2} B．{1，4} C．{2，4} D．{1，3，4}【考点】补集及其运算．【分析】化简集合A，求出∁U A．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}={x∈N|1＜x＜4}={2，3}，所以∁U A={1，4}．故选：B．2．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，由整理出实部和虚部，由纯虚数的定义列出方程组，求出a 的值．【解答】解：由题意得，===，因为复数为纯虚数，所以，解得a=﹣1，故选A．3．设命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，则下列命题为真的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∨q【考点】复合命题的真假．【分析】先判断命题p、q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∃x0∈（0，+∞），x0+＞3，是真命题，例如取x0=4；命题q：∀x∈（2，+∞），x2＞2x，是假命题，取x=4时，x2=2x．则下列命题为真的是p∧（￢q）．故选：A．4．等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{a n}的公比等于（）A．3 B．2或3 C．2 D．6【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式和等差中项，列出方程组，由此能求出{a n}的公比．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3﹣3a2=2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，∴，解得a1=﹣1，q=2．∴{a n}的公比等于2．故选：C．5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．9πB．18πC．36πD．144π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O1．则球心O满足OO1⊥侧面ABB1A1．设OO1=x，则x2+=（2﹣x）2+，解得x．可得该多面体外接球的半径r．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2，4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形，对角线相交于点O1．则球心O满足OO1⊥侧面ABB1A1．设OO1=x，则x2+=（2﹣x）2+，解得x=1．∴该多面体外接球的半径r==3．表面积为4π×32=36π．故选：C．6．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC ⊥BF1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据中位线定理，求得C点坐标，由•=0，利用向量数量积的坐标运算，利用双曲线的性质，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：，（a＞0，b＞0），由AB为双曲线的通径，则A（c，），B（c，﹣），F1（﹣c，0），由OC为△F1F2B中位线，则丨OC丨=，则C（0，﹣），则=（﹣c，﹣），=（﹣2c，），由AC⊥BF1，则•=0，则2c2﹣=0整理得：3b4=4a2c2，由b2=c2﹣a2，3c4﹣10a2c2+3a4=0，椭圆的离心率e=，则3e4﹣10e2+3=0，解得：e2=3或e2=，由e＞1，则e=，故选B．7．执行如图所示的程序框图，若输入x=20，则输出的y的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y|y﹣x|是否小于或等于2 是否继续循环循环前20/第一圈20 8|8﹣20|=12＞2 是第二圈8 2|2﹣8|=6＞2 是第三圈2﹣1|﹣1﹣2|=3＞2 是第四圈﹣1﹣|﹣﹣（﹣1）|=＜2 否故输出y的值为﹣．故选：D．8．若实数x、y满足|x|≤y≤1，则x2+y2+2x的最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．【解答】解：x，y满足|x|≤y≤1，表示的可行域如图：x2+y2+2x=（x+1）2+y2﹣1它的几何意义是可行域内的点到（﹣1，0）的距离的平方减去1．显然D（﹣1，0）到直线x+y=0的距离最小，最小值为：=，所求表达式的最小值为：，故选：D．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于点（，﹣1）对称，则m的最小值是（）A．B．C．πD．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由最值以及特殊点求A、B，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式；利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得y轴右侧第一条对称轴为x==，故=﹣，∴ω=2．∵x=时函数取得最小值，故有2•+φ=，∴φ=．再根据B﹣A=﹣3，且Asin（2•+）+B=+B=0，∴A=2，B=﹣1，即f（x）=2sin（2x+）﹣1．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到y=g（x）=2sin（2x+2m+）﹣1的图象，根据得到的函数g（x）图象关于点（，﹣1）对称，可得2•+2m+=kπ，k∈Z，∴m=﹣，则m的最小值是，故选：A．10．定义在R上的奇函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），且当﹣1＜x＜0时，f（x）=2x﹣1，则f（log220）等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f（x+1）=f（x﹣1）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1）∴函数f（x）为周期为2的周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x﹣1∴f（﹣log2）=﹣，故f（log220）=．故选：D．11．已知单位圆有一条长为的弦AB，动点P在圆内，则使得≥2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出使得≥2的区域的面积，以面积为测度，即可求出概率．【解答】解：由题意，取A（1，0），B（0，1），设P（x，y），则（x﹣1，y）•（﹣1，1）≥2，∴x﹣y+1≤0，相应的面积为﹣=，∴所求概率为，故选A．12．已知函数f（x）=，若存在x1、x2、…x n满足==…==，则x1+x2+…+x n的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】函数的值．【分析】由题意函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，由此能求出x1+x2+…+x n的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，结合图象知：x1、x2、…x n满足==…==，∴函数f（x）与y=的图象恰有个交点，且这个交点关于（2，0）对称，除去点（2，0），故有x1+x2+…+x n=x1+x2+x3+x4=8．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若二项式（x﹣）6的展开式中常数项为20，则a=﹣1．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：通项公式T r+1==（﹣a）r x6﹣2r，令6﹣2r=0，解得r=3．∴（﹣a）3=20，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．14．正四面体ABCD中，E、F分别为边AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算．【解答】解：如图，连接CF，取BF的中点M，连接CM，EM，则ME∥AF，故∠CEM即为所求的异面直线角．设这个正四面体的棱长为2，在△ABD中，AF==CE=CF，EM=，CM=．∴cos∠CEM==．故答案为．15．已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的端点P（0，b）、Q（0，﹣b），长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若P A、PB的斜率之积等于﹣，则P到直线QM的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用直线的斜率公式，求得k P A•k PB==﹣，由A在椭圆上，则=﹣，即可求得=，求得a=2b，利用三角形的面积相等，即•丨PQ丨•丨OM丨=•丨PQ丨•d，即可求得d的值．【解答】解：根据题意可得P（0，b）、Q（0，﹣b），设A（x，y），B（﹣x，﹣y），由直线P A、PB的斜率之积为﹣，则k P A•k PB=•==﹣，由A在椭圆上可得+=1，则=﹣∴=，即a=2b，△PMQ的面积S=•丨PQ丨•丨OM丨=×2b×a=2b2，设P到直线MQ的距离d，则S=•丨PQ丨•d=וd=•d=2b2，解得：d=，∴P到直线QM的距离，故答案为：．16．在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC，设h是边AB 上的高，则h的最大值为．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosC，进而求得C．根据余弦定理求得a和b的不等式关系，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用a和b的不等式关系求得三角形面积的最大值，进而得解．【解答】解：∵acosB+bcosA=2cosC，且c=1，∴由题意及正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，∵sinC≠0，∴cosC=，可解得：sinC=，可得：cosC==，∴ab=a2+b2﹣1≥2ab﹣1，即ab≤1，等号当a=b时成立，∴可得：S△ABC=absinC≤．又∵h是边AB上的高，S△ABC=ch=h≤．∴解得：h≤，则h的最大值为．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n }中，a 1=2，a 2=4，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n ＞1，n ∈N *，S n +1+S n ﹣1=2（S n +1）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =，求{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出． （2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）对于任意的n ＞1，n ∈N *，S n +1+S n ﹣1=2（S n +1），S n +2+S n =2（S n +1+1）， 相减可得：a n +2+a n =2a n +1．（*）又n =2时，S 3+S 1=2（S 2+1），即2a 1+a 2+a 3=2（a 1+a 2+1），a 1=2，a 2=4，解得a 3=6． ∴n =1时（*）也满足．∴数列{a n }是等差数列，公差为2， ∴a n =2+2（n ﹣1）=2n ． （2）b n ===，∴{b n }的前n 项和T n =+…+，=++…++，可得： =+…+﹣=﹣，∴143494n n nn T +--=⋅18．在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形，∠BAD =∠ADC =，平面ADE ⊥平面ABCD ，EF =2DC =4AB =4，△ADE 是边长为2的正三角形． （Ⅰ）证明：BE ⊥平面ACF ； （Ⅱ）求二面角A ﹣BC ﹣F 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BE⊥平面ACF．（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点O，以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，1，0），E（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，2，0），F（0，4，），=（﹣1，﹣1，），=（﹣1，4，），=（﹣2，2，0），=1﹣4+3=0，=2﹣2=0，∴BE⊥AF，BE⊥AC，又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．解：（Ⅱ）=（﹣2，1，0），=（﹣1，3，），设平面BCF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，2，﹣），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角A﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值为．19．据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（Ⅰ）地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y（万元/平方米）与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：=25，=5.36，=0.64回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程；频率分布折线图、密度曲线．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可预测第12月份该市新建住宅销售均价；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意月份x 3 4 5 6 7均价y0.95 0.98 1.11 1.12 1.20=5，=1.072，=10，∴==0.064，=﹣=0.752，∴从3月到6月，y关于x的回归方程为y=0.06x+0.75，x=12时，y=1.47．即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米；（Ⅱ）X的取值为1，2，3，P（X=1）==，P（X=3）==，P（X=2）=1﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，X的分布列为X 1 2 3PE（X）=1×+2×+3×=．20．已知抛物线x2=2py（p＞0），F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．（Ⅰ）求点C的轨迹M的方程；（Ⅱ）直线m是抛物线的不与x轴重合的切线，切点为P，M与直线m交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）判断直线l的斜率存在，设方程为：y=kx+，设A（x1，y1），B（x2，y2），动点C（x，y）联立直线与抛物线的方程组，利用韦达定理可得x1x2═﹣p2．求出OA；OB方程；然后求解轨迹方程．（Ⅱ）设直线m的方程为：y=kx+m，由，得△=4p2k2+8pm，利用直线m与抛物线相切，得P（pk，﹣m），求出Q（），通过=0，说明以线段PQ为直径的圆过点F．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：直线l的斜率存在，设方程为：y=kx+，设A（x1，y1），B（x2，y2），动点C（x，y），由，可得x2﹣2pkx﹣p2=0．可得x1x2═﹣p2．OA：y==；OB：x=x2；由可得y=，即点C的轨迹方程为y=﹣．（Ⅱ）证明：设直线m的方程为：y=kx+m，由可得x2﹣2pkx﹣2pm=0可得△=4p2k2+8pm，因为直线m与抛物线相切，∴△=0，可得pk2+2m=0，可得P（pk，﹣m），又由，可得Q（），=（pk，﹣m﹣）（）=﹣（p+2m）+pm+=0，可得FP⊥FQ，∴以线段PQ为直径的圆过点F．21．已知函数f（x）=，a∈R．（1）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若a=0，x1＜x＜x2＜2，证明：＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）若a≠0，求导数，分类讨论，即可求函数f（x）的单调递增区间；（2）a=0，f（x）=，x1＜x＜x2＜2，证明：＞，只要证明g（x）=在（x1，2）上单调递减．【解答】（1）解：∵f（x）=，∴f′（x）=，x∈（，1）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为（，1）；②a＜0，＞1，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）时，f′（x）＞0，故函数的单调增区间为∈（﹣∞，1）和（，+∞）；（2）a=0，f（x）=，x1＜x＜x2＜2，证明：＞，只要证明g（x）=在（x1，2）上单调递减．g′（x）=，设h（x）=，∴h′（x）=＜0，∴h（x）在（x1，2）上是减函数，∴h（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（x1，2）上单调递减．∵x1＜x＜x2＜2，∴＞．请考生在第22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，且点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）由题意P（），从而点P到直线l的距离d==，由此能求出点P到直线l的距离的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程是ρsin（θ+）=2，∴，∴ρsinθ+ρcosθ=4，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得x+y﹣1=0．∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣1=0．（Ⅱ）∵点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点，∴P（），点P到直线l的距离d==，∴点P到直线l的距离的最大值d max=，点P到直线l的距离的最小值d min==．【选修4-5：不等式选讲】23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅱ）设m、n∈T，证明：|m+n|＜|mn+3|．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为3，可得3＞a2，由此求得实数a的取值的集合T；（2）由（1）可得m2＜3，n2＜3，再整理，即可证明结论．【解答】（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，∴3＞a2，∴﹣＜a＜，∴T={a|﹣＜a＜}；（2）证明：由（1）可得m2＜3，n2＜3，∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0，∴3（m+n）2＜（mn+3）2，∴|m+n|＜|mn+3|．2017年4月5日。