高中数学解题方法之分离变量法(含答案)
高考数学解决不等式恒成立问题常用5种方法！最后一种很重要！
开篇语：不等式恒成立问题在高中数学是一类重点题型，高考也是必考内容。
由于不等式问题题型众多，题目也比较灵活。
所以在学习过程中，同学们要学会总结各种解题方法！方法一：分离参数法解析：分离参数法适用的题型特征：当不等式的参数能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数的最值或范围可求时，则将参数式放在不等式的一边，分离后的变量式放在另一边，将变量式看成一个新的函数，问题即转化为求新函数的最值或范围，若a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max,若a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min方法二：变换主元法(也可称一次函数型)解析：学生通常习惯把x当成主元(未知数)，把另一个变量p看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐，如果把已知取值范围的变量当成主元，把要求取值范围的变量看成参数，则可简便解题。
适用于变换主元法的题型特征是：题目有两个变量，且已知取值范围的变量只有一次项，这时就可以将不等式转化为一次函数求解。
方法三：二次函数法解析：二次函数型在区间的恒成立问题：解决这类问题主要是分析 1，判断二次函数的开口方向2，二次函数的判别式是大于0还是小于03，判断二次函数的对称轴位置和区间两端值的大小，即判断函数在区间的单调性 方法四：判别式法解析：不等式一边是分式，且分式的分子和分母的最高次项都是二次项时，利用判别式法可以快速的解题，分离参数将会使解题变得复杂。
方法五：最值法解析：不等式两边是两个函数，且含有参数时，我们可以分出出参数，构造新函数，求函数的导数来求得新函数的最值。
总结：在解不等式恒成立的问题时，应根据不等式的特点，选择适合的方式快速准确的解题。
平时练习过程中，应注意观察，总结！。
高中数学解题方法系列：函数的值域与最值
①
y
k
b x2
型，可直接用不等式性质，
【及时反馈】
求
y
3 2 x2
的值域（答： (0,
3]） 2
②
y
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bx mx
n
型，先化简，再用均值不等式，
【及时反馈】
（2）求函数 y x 2 的值域（答：[0, 1] ）
x3
2
③ y x2 mx n 型，可用判别式法或均值不等式法， mx n
（3）、求函数 y x 2 2x 3 在如下区间中的的最值与值域。
ⅰ、 (4,2] ；ⅱ、 (1,2] ；ⅲ、 (3,5) ；ⅳ、 (,)
（4）、求函数 y sin x cos 2x 的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条
件的二次型函数的最值与值域的求解）
（5）、若
所示：
定义域
值域
原函数 y f (x)
A
C
反函数 y f 1 (x)
C
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
解： y x x 1 (x 1) x 1 1
令 x 1 t（运用换元法时，要特别要注意新元 t 的范围），易知 t 0(why ?) 所 以 x 1 t 2 ， 所 以 y t 2 t 1(t 0) ， 欲 求 原 函 数 的 值 域 ， 只 需 求 y t 2 t 1(t 0) 的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。
高中数学中的常微分方程知识点
高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。
高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。
二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。
（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。
（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。
3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。
（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。
（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。
（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。
高中数学：求函数值域的方法十三种(一)
2
2
26
又 ∵ 在 [m, n] 上 当
x
增大时
f (x)
也
增
大
所
以
f (x)max f (n) f (x)min f (m)
3n 3m
m 4, n 0
解得
评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m ，n 的取值范围，
避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。
(2) 求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1] 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为 x a ，
当 a
1 2
即a
1 时， 2
f ( x )max
f ( 2 ) 4a 5 ；
当 a 1 2
即 a1 2
时，
f ( x )max f ( 1 ) 2a 2
。
f ( x )max 42aa52,,aa2121 。
y
x2 x2 x
x 1
x2 x x2
11 x 1
1
(x
1 1)2
3
不妨令：
24
f (x) (x 1)2 3 , g(x) 24
1 ( f (x) 0) 从而 f (x)
f
(
x)
3,
4
注意：在本题中应排
除
f
(x)
0 ，因为
f
(x)
作为分母。所以
g(x) 0,
3 4
故
y
1,1
3
f (x)max f (x)min
f (1) f (n)
3n 3m
，无解
④若
，则
f f
( x) max ( x) min
高考数学中的解二元一次方程问题总结
高考数学中的解二元一次方程问题总结数学是高考中必考科目之一，而解二元一次方程是数学中的基础问题之一，经常出现在高考数学试题中。
面对这种问题，许多学生往往感到头疼，甚至不知道从何着手。
本文将从解题方法、技巧、注意事项等方面进行总结，希望能为广大考生提供一些帮助。
一、解法总结1.代入法代入法是二元一次方程中使用最广泛的一种解法。
它的基本思路是把一个方程中的一个变量表示成另一方程中相同的变量，然后代入另一个方程，进而得到另一个未知数的值。
比如：①x+y=5②x-y=1将②代入①得 x+(x-1)=5，从而得到x=3，再将x=3代入①中，得到y=2。
2.消元法消元法是解二元一次方程的另一种基本方法，它通过对方程中的某个变量进行消元，将两个方程中对应的未知数合并起来，从而得到另一个未知数。
比如：①3x-2y=7②2x+y=4将②乘以2，得到4x+2y=8，将其代入①中，得到7x=15，从而得到x=15/7，再代入②中解得y=-2/7。
3.分离变量法分离变量法是解二元一次方程的一种特殊方法，它可以通过对方程中的系数进行操作，将未知数合并在一起，从而得出未知数的值。
比如：①x-2y=10②3x-y=11将①乘以3并加上②，在去掉y的系数后，得到7x=41，从而得到x=41/7，再代入①中求得y=-8/7。
二、技巧总结1.转换系数当两个方程的系数比较复杂时，我们可以通过乘以某个数来使它们的系数更加简单。
比如：①2x+5y=13②3x+y=11将①乘以3，②乘以5，得到6x+15y=39和15x+5y=55，再代入消元法求解即可。
2.化简方程有时我们可以通过化简方程来简化解题步骤。
比如：①3x+y=5②x+2y=0将①乘以2，②乘以3，得到6x+2y=10和3x+6y=0，再代入消元法即可得出未知数的值。
三、注意事项总结1.注意方程的排列顺序。
通常情况下，我们会按x递增的顺序排列方程，但如果方程的顺序不同，我们在代入或消元时应该格外留意。
高中数学求值域的10种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1．求函数1y =的值域。
【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
【练习】1．求下列函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；○4()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。
【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。
∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。
∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。
例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。
说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。
例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。
利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。
高中数学解题常用方法：分离变量
分离变量一、填空题1. 已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为．2. 已知函数，若对区间上的任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是．3. 已知实数，满足条件若不等式恒成立，则实数的最大值是．4. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是．5. 若不等式对于一切成立，则的范围是．6. 已知是递增数列，且对任意都有恒成立，则实数的取值范围是．7. 若不等式对任意实数，都成立，则实数的取值范围是．8. 已知函数，若函数在上有极值，则实数的取值范围为．9. 若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是．10. 已知方程在上有解，则实数的取值范围为．11. 若曲线通过点（），则的取值范围是．12. 设函数．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为．13. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．14. 定义：若存在常数，使得对定义域内的任意两个，均有成立，则称函数在定义域上满足利普希茨条件．若函数满足利普希茨条件，则常数的最小值为．15. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是．16. 设，若函数存在整数零点，则的取值集合为．17. 三个同学对问题"关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围"提出各自的解题思路．甲说："只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值"．乙说："把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值"．丙说："把不等式两边看成关于的函数，作出函数图象"．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是．18. 已知为上的偶函数，当时，．若存在实数，对任意的，都有成立，则满足条件的最小的整数的值是．19. 关于的不等式在上恒成立，则实数范围为．20. 对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围为．二、解答题21. 若函数的值恒大于，求实数的取值范围．22. 已知集合，函数的定义域为．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．23. 已知点，是函数图象上的两个动点，轴，点在轴的右侧，点是线段的中点．(1)设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式；(2)若（1）中的满足对所有，恒成立，求实数的取值范围．24. 若，恒成立，求实数的取值范围．25. 已知函数，．(1)当时，求的最小值；(2)若，求的取值范围．26. 若关于的方程有解，求实数的取值范围．27. 已知函数，．(1)当时，求函数的值域；(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．28. 已知命题：函数的定义域为；：不等式对一切正实数均成立．若和都是假命题，求实数的取值范围．29. 已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对于任意恒成立，求实数的取值范围．30. 已知函数，其中，．若对任意恒有，试确定的取值范围．31. 已知函数．(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围．32. 若关于的方程有实数根，试确定实数的取值范围．33. 已知函数，(1)若，求的值；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围．34. 设，且，．(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性并用定义证明；(3)设方程在上有两个不同的解，求集合．35. 已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．36. 已知函数，，其中．(1)若曲线与在处的切线相互平行，求两平行直线间的距离；(2)若对任意恒成立，求实数的值；(3)当时，对于函数，记在图象上任意两点，连线的斜率为，若恒成立，求的取值范围．37. 已知函数．设，且．(1)试将函数表示成关于的函数，并写出的范围；(2)若恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程有四个不同的实数根，求的取值范围．38. 已知函数．(1)当时，求在最小值；(2)若在上单调递增，求的取值范围；(3)若存在单调递减区间，求的取值范围．39. 设函数，方程有唯一解，数列满足，且，数列满足．(1)求证：数列是等差数列；(2)数列满足，其前项和为，若存在，使成立，求的最小值；(3)若对任意，使不等式成立，求实数的最大值．40. 已知函数．(1)是否存在实数，使得函数在区间上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)当时，讨论函数的零点个数．答案第一部分1234567891011121314151617181920第二部分21 由题意对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，因为函数的最大值为，所以，即或．22 (1) 若，则，使．即．令，由上，易知．从而．(2) 若，则，都有，即．由（1）可知，此时．23 (1) 设，，，则，所以．(2) 由得，的对称轴为，因为，所以，所以在上的最大值为，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，因为当且仅当时成立，所以．24 原不等式，则有①因为由得．从而有在上最大值为．代入①得，，解得．故实数的取值范围为．25 (1) 当时，．当时，；当时，．所以的极小值为，又因为的定义域为，所以的最小值为．(2) ，即．因为，所以等价于．令，则．当时，；当时，．所以有极小值，且为最小值，为．故，所以的取值范围是．26 法一：因为当且仅当时，等号成立．所以，解得．法二：令，则方程变成．原方程有解即此方程有正根，又两根之积为，所以有解得．27 (1) ，因为，所以，故函数的值域为．(2) 由，得，令，因为，所以，所以对一切恒成立，①当时，；②当时，恒成立，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，综上，．28 当为真时，有，成立，所以，且，解得．所以为假时，．当为真时，对一切正实数均成立，即．又因为在上是减函数，所以，即，因此只需．所以为假时，有．综上，，都假时，有．29 (1) 或(2)30 对任意恒有，即对恒成立．即对恒成立．记，，则只需．而在上是减函数．所以，故．31 (1) 当时，，所以．由题意得，即，解得，所以函数的单调递增区间是．(2) 求导得，因为在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，易知，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为，所以的取值范围是．32 由，原方程可化为即其中．当时，有最小值；当时，有最大值．由此，因此，所求的取值范围是．33 (1) 当时，；当时，；由条件可知，即解得，．(2) 当时，即，，，，故的取值范围是．34 (1) ，且，，．，．(2) 在上单调递减，证明如下：设，．，，，，，，，在上单调递减．(3) 方程为，令，，则．方程在内有两个不同的解，．由图知时，方程有两个不同解，．35 (1) 求导函数可得，令，则或，，；令，则或，，；函数的单调递增区间是，单调递减区间是．(2) 由题意得，①若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，设，在上单调递减，，．②若函数在上的单调减函数，则在上恒成立，不可能．实数的取值范围．36 (1) ，，依题意得：，曲线在处的切线为，曲线在处的切线方程为．两直线间的距离为．(2) 令，则当时，注意到，所以，所以在单调递减，又，故时，，即，与题设矛盾．当时，，当，，当时，．所以在上是增函数，在上是减函数，所以．因为，又当时，，与不符．所以．(3) 当时，由（2）知，所以在上是减函数，不妨设，则，，所以．等价于，即，令，在上是减函数，因为，所以在时恒成立，所以．又时，，所以．又，所以的取值范围是．37 (1) 由，得．由，得．又所以(2) 因为对于任意的恒成立，所以对于任意的上恒成立．令，则．由解得；由，解得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以．由此，的取值范围是．(3) 方程有四个不同的解，等价于在上有两个不相等的实根，等价于函数在上有两个零点，于是解得．故的取值范围是．38 (1) ，定义域为．因为所以在上是增函数．．(2) 由题在上恒成立即因为，而当且仅当时取等号所以所以．(3) 解法1：因为因为存在单调递减区间，所以有正数解，即有正实数解．①当时，明显成立．②当时，开口向下的抛物线，总有的解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正根．因为，所以方程有两正根．当时，；，解得．综合①②③知：．解法2：存在，使得即存在，使得由⑵得：．39 (1) 因为，方程有唯一解，所以，即有唯一解，所以，解得，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以数列首项为，公差为的等差数列．(2) 由（1）得，所以．因为，所以，所以，所以因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是．(3) 因为，所以．令．因为，所以，所以所以是递增数列，所以，所以，所以的最大值是．40 (1) 因为在上单调递减，所以对任意的上恒成立，即对任意的上恒成立．而．当且仅当，即时，上式等号成立．于是故满足题意的实数的取值范围为．(2) 由，得．令，得．列表如下：极小值所以．（i）当时，，所以在定义域内无零点．（ii）当时，，所以在定义域内有唯一的零点．（iii）当时，．①因为，所以在增区间内有唯一的零点．②．设，则，所以在上单调递增，从而，即，于是在减区间内有唯一的零点．所以当时，在定义域内有两个零点．综上所述，当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点．。
基本不等式运用中几种常见的解题方法
基本不等式运用方法专题类型一：【函数法】1、则2y =的最小值为2、则2y =的最小值为3、xx y 22sin 2sin +=的最小值为类型二：【换元法】1、若14<<-x ，则22222-+-x x x 有最_____值______2、已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x -+22的最小值为3、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是4、若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4－23, 则2a +b +c 的最小值为类型三：【换双元法】1、若+∈R y x ,，且12=+y x ，yx -+-1111的最小值为2、若+∈R b a ,，且3=+b a ，则b a +++11的最大值是3、若+∈R y x ,，且1=+y x ，2121+++y x 的最大值为4、已知a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝1，则21+a ＋21+b 的范围是________类型四：【拆项凑项搭配法】1、当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是2、函数)711(log 21+++=x x y （x > －1）的最大值是3、（2010年四川）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是类型五：【等量替换构造基本型】 1、已知0,0>>y x ，且1=+y x ，则yx 94+的最小值为2、设x ，y 都是正数，且1x ＋2y ＝3，则2x ＋y 的最小值为3、已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是4、已知c b a ,,都是正数，且,12=++c b a 则cb a 111++的最小值是5、若x ，y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为6、若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是7、函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为_______8、已知函数)1,0(,1)2(log ≠>+-=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线1-=+ny mx 上，其中0>mn ，则nm 13+的最大值为9、若直线20(0,0)ax by a b -+=>>和函数log (2)2(0c y x c =++>且1)c ≠的图象恒过同一个定点，则的最小值为10、已知两个正变量m yx y x y x ≥+=+41,4,则使不等式满足恒成立的实数m 的取值范围是类型六：【分离变量法】1、若不等式()y x a xy x +≤+22对一切正数y x ,恒成立，则正数a 的最小值为2、若,,x y R +∈a 的最小值是3、若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为4、已知不等式()2418a b m m ++>-对任意正数,a b 都成立，则实数m 的取值范围是_____类型七：【放缩法】1、若正实数x ，y 满足26xy x y =++ ，则xy 的最小值是2、若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是_______ ．3、设0>>b a ，)(162b a b a -+的最小值是4、已知：a >b >0,求2223196bab b a b a -+-的最小值是类型八：【代入消元法】1、已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为2、设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，212x y z+-的最大值为第1节 基本不等式运用方法专题（课后作业）1、【函数法】若),0(,+∞∈y x ，且1=+y x ，xyxy 1+的最小值为 2、【换元法】已知两正数x,y 满足x+y =1,则z =11()()x y xy++的最小值为3、【换双元法】若正数a ，b 满足1a b +=，则11a ba b +++的最大值是 .3、【拆项凑项搭配法】 设2a > b > 0，则22224114b a b a -++的最小值是 4、【等量替换构造基本型】 若实数x,y 满足11122=+yx ，则222y x +的取值范围是 5、【等量替换构造基本型】已知函数)10(3)(1≠>-=+a a a x f x 且的反函数的图象恒过定点A ，点A 在直线01=++ny mx 上，若0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为 6、【等量替换构造基本型】若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则14a b+的最小值是7、【分离变量法】若不等式x +≤a (x+y ) 对一切正数x 、y 恒成立，则正数a 的最小值为8、【分离变量法】对一切实数x ，不等式x 2+a |x |+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是10、【放缩法】 已知x ＞y ＞0，求24()x y x y +-的最小值是基本不等式运用方法专题（参考答案）类型一：【函数法】1、则2y =的最小值为 223【方法】相关函数图象性质 2、则2y =的最小值为 223 3、xx y 22sin 2sin +=的最小值为 3类型二：【换元法】1、若14<<-x ，则22222-+-x x x 有最___大__值______1-2、已知0>>y x ，且1=xy ，则yx y x -+22的最小值为 22【解】一元化思想3、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是4、若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4－23, 则2a +b +c 的最小值为 23－2类型三：【换双元法】1、若+∈R y x ,，且12=+y x ，yx -+-1111的最小值为 23+【解】令x m -=1, y n -=1, 则22=+y m223)11)(2(21111111+≥++=+=-+-n m n m n m y x当且仅当ab ＝1，a (a －b )＝1时等号成立，如取a ,b ＝2满足条件。
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分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.定理2 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.定理3 方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。
2、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。
3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。
4、若方程42210x xa -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知3211132y x ax x =-++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ）.0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
再现性题组答案：1、解：原不等式4sin cos25x x a ⇔+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)⇔-，设f(x)=4sinx+cos2x 则22f(x)= 4sinx+cos2x =2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴2、解：23321x x x a --≥+-恒成立，即2242a x x ≤--在[1,4]x ∈-上恒成立,只需2min 2(42)a x x ≤--，解得3a ≤-3、解：2233251x x x a a --≥+--在[1,4]x ∈-上恒成立⇒ 222542a a x x -≤-- 在[1,4]x ∈-上恒成立⇒2325312a a a -≤-⇒≤≤4、解:令2xt = (t>0)，则21210221t at a t a t-+=⇒=+≥⇒≥5、解：2'10y x ax =-+≥在(0,)+∞上恒成立⇒1a x x≤+在(0,)+∞上恒成立2a ⇒≤ 6、解：由于函]43,4[4),4sin(2cos sin ππππ-∈--=->x x x x a ，显然函数有最大值2，2>∴a 。
示范性题组：例1. 已知函数()21,(0,1]f x x ax x =++∈,且()||3f x ≤恒成立,求a 的取值范围.【分析】法一(二次函数):问题转化为不等式组2213,(0,1]13x ax x x ax ⎧++≤⎪∈⎨++≥-⎪⎩恒成立 → 2()1f x x ax =++在(0,1]x ∈上的最大值与最小值 → 以对称轴与定义域端点进行比较分类,研究单调性.正确率较低.法二(分离变量):问题转化为2242x x a x x---≤≤在(0,1]x ∈上恒成立(除x 时注意符号), → 由定理1得22max min42x x a x x ⎡⎤⎡⎤---≤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.求相应函数最值,正确率较高.例2.已知函数.ln )(),0(221)(2x x g a x ax x f =≠+=若)()()(x g x f x h -=存在单调递增 区间，求a 的取值范围.【分析】问题转化为221'()0ax x h x x+-=≥在0x >上有解,即2210ax x +-≥在0x >上有解. 解：法一(二次函数):此题(0)10f =-<,分类是只需注意开后和轴,较为简捷.正确率不高,原因在于没有注意特殊点,将问题分为1解,2解,想得过于复杂. 法二(分离变量):问题转化为212xa x-≥在0x >上有(存在)解 → 由定理 1.2得2min12x a x -⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.求解相应范围上的最小值,正确率较高.例3.已知a 是实数，函数2()223.f x ax x a =+--如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围. 【分析】方法一(根的分布):这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大3类,小5类.学生能够部分得分,很难列出所有不等式组.方法二(分离变量):问题转化为22230ax x a +--=在[1,1]x ∈-上恒有解 → 分离变量得23221xa x -=-,222[1,(,)(,1]2222x ∈---有解 → 由定理1.3得只需求函数232()21xg x x -=-在222[1,(,)(,1]222x ∈--上的值域即可, 单独考虑.此法思维两较小,运算量较二次函数略大,得分率略有增加.通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到,分离变方法的优越性:思维量小,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处:个别时候,分离后产生的函数,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说,多数时候,应优先使用分离变量法。
例4、已知函数3()31f x x ax =+-的导函数为/()f x ，/()()3g x f x ax =--.（1）若/()60x g x ⋅+>对一切2x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若对满足01a ≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围. 解：（1）/22()33()333f x x a g x x a ax =+∴=+-- /()6g x x a ∴=-即2660x ax -+>对一切2x ≥恒成立⇒即66a x x <+对一切2x ≥恒成立 记6()6h x x x =+，则在2x ≥上()a h x <恒成立，/26()6h x x=-在2x ≥上恒大于0，∴6()6h x x x=+在2x ≥上单调递增，min ()(2)15h x h ∴== 15a ∴<（2）即2()333g x x a ax =+--对一切01a ≤≤恒成立若3x =，则2()333240g x x a ax =+--=<不满足 x φ∴∈若3x <，则2333x a x -<-对一切01a ≤≤恒成立23311033x x x -⇒>⇒<<- 若3x >，则2333x a x->-对一切01a ≤≤恒成立223303303x x x -⇒<⇒->- 11x ⇒-<< x φ∴∈综上所述：103x << 巩固性题组：1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
3、已知函数32()24f x x x x =++-,2()7g x x ax =+-.若对任意的[0,)x ∈+∞都有'()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.4、设函数321()(1)4243f x x a x ax a =-+++，其中常数a R ∈. （1）当1a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）若3x ≥时，'()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围。
5、在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B BB B f 且π恒成立，求实数m 的范围。
6、求使不等式3sin cos ,(,)44a x x x ππ>-∈恒成立的实数a 的范围。
7、设124()lg,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。
8、设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
分离变量法巩固训练题答案：1、解：根据题意得：21ax x+->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 2、解：令2xt =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t+-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。
()22211111124t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()()min 324f t f ∴==2313422a a a ∴-<⇒-<< 3、解：'()()f x g x ≥即223417x x x ax ++≥+-2248ax x x ∴≤++若0x =，则08≤恒成立， a R ∴∈若0x >，则824a x x≤++，824412x x ++≥=又，12a ∴≤ 综上所述：12a ∴≤ 4、解：（1）2()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a '=-++=--，又1a >，由()0f x '>得：(,2)(2,)x a ∈-∞+∞，由()0f x '<得22x a <<，因此()f x 的单调增区间有(,2)-∞与(2,)a +∞，()f x 的单调减区间有(2,2)a（2）3x ≥时，'()0f x >恒成立⇔3x ≥时，22(1)40x a x a -++>恒成立。