层次分析法的计算步骤(20210228092526)
层次分析法步骤解析—根法、和法、幂法
层次分析法(AHP)AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。
它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。
这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。
AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。
这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。
一、递阶层次结构的建立一般来说，可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。
（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。
（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。
典型的递阶层次结构如下：总目标m一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。
（2）整个结构不受层次限制。
（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。
（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。
二、构造比较判断矩阵设有m个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m个目标两两进行比较，把第i个目标（i=1,2,…,m）对第j个目标的相对重要性记为a ij，(j=1,2,…,m)，这样构造的m阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(a ij)m×m。
层次分析法的计算
5、层次总排序
这一过程是最高层次到最低层次逐层进 行的。若上一层次A包含m个元素 A1, A2, , Am, 其层次总排序权值分别为 a1, a2, , am ,下一层 次B包含n个元素 B1, B2, , Bn , 它们对于元素
Aj 的层次单排序权值分别为 b1 j , b2 j , , bnj （当 Bk 与 Aj 无关系时，bij 0 ）。此时B层次总 排序权值如表二给出。
max
3 i 1
( AW )i nWi
1.936 3 0.637
0.318 0.785 3 0.105 3 0.258
1.936 0.318 0.785 3.0385 1.911 0.315 0.774
判断矩阵的一致性指标CI为
CI max n 3.0385 3 0.0192,
A
0.1818 0.2559 0.1851
Байду номын сангаас
B
0.7272 0.0733 0.1562
C
0.0910 0.6708 0.6587
0.1818 0.7272 0.0910
0.1818 0.637 0.2559 0.105 0.1851 0.258 0.1818 0.7272 0.637 0.0733 0.105 0.1562 0.258 0.5112 0.091 0.637 0.6708 0.105 0.6587 0.258 0.2984
1.936
0.258
3 1/ 3 1 0.258 0.785
再求最大特征值的近似值
max
3 i 1
( AW )i nWi
层次分析法的计算步骤
层次分析法的计算步骤
一、定义层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是由梅尔·拉斯
菲尔德（M.L. Saaty）于1977年提出的一种多层结构和多维度的层次分
析方法。
它是一种评估决策者面临复杂决策的基于层次结构逻辑的决策分
析方法，可以很轻松地将复杂的主观问题转换为客观的量化问题，从而求
解复杂的决策问题。
二、层次分析法计算流程
（1）决策问题的分类和层次结构的确定
首先，根据决策者的要求，将决策问题确定为一个有层次结构（AHP）和深度（hierarchy）的问题，将决策问题的内容分为n个层次。
（2）建立层次分析矩阵
将决策问题中的n个层次按从上至下的顺序，建立起一个n×n的层
次分析矩阵，称之为层次分析矩阵。
（3）确定层次分析矩阵的元素
在层次分析矩阵中，每一对元素的值都由决策者给出，即根据决策者
的判断，确定每个元素在n个层次层次中的比较的优劣。
（4）计算层次分析矩阵的均值尺度指数
均值尺度指数是由每行元素进行加权求和结果和n相除而得到的。
它
表示每个元素在此行的平均相对权重。
（5）分析层次分析矩阵
一旦层次分析矩阵计算完毕。
层次分析法
e1
1 4.511
0.778
0.172
,
3 0.665
0.4 6 7 e2 Ae1 0.565, e2 3.014,
1.9 9 1
01.55 0.471 e2 0.184, e3 0.559, e3 3.018,
0.661 1.988
0.156 0.473 e3 0.185, e4 0.561,
（4）定义未知参数 在这种问题中，运用层次分析法建立表达式 来表达未曾定义过的量。典型的例子是价值 工程，产品的价值V被定义为
VF C
其中F,C分别为产品的功能系数与成本系数， 它们可以用层次分析来定义。下面是一个 经济学例子。
例5 弹性系数的确定 经济学中有名的Cobb-Douglas生产函 数是
e (1,2,,n )T ,则权系数可取: wi i ,i 1,2,, n
在具体计算中,当
ek 与ek 1
接近到一定程度时,就取 e ek
例1 评价影视作品的水平, 用以下三个变量作评价指标 :
x1 教育性，x2 艺术性，x3 娱乐性
设有一名专家赋值:
x2 1, x3 5, x3 3
w1, w2 ,, wn
这 n 个常数便是权系数， 层次分析法给出了确定它们 的量化方法，其过程如下：
1.成对比较
从x1, x2,, xn中任取xi , xj ,比较它们
对y贡献的大小,给xi xj 赋值如下：
xi
xj
1,当认为“xi与x
贡献程度相同”时
j
xi
xj
3,当认为“xi比x
的贡献略大”时
x1
的概率估值为0.134+0.219+0.026=0.379,
层次分析法(AHP法)计算过程
②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
目标层 准则层 方案层
工作选择
贡收 发 声 工 生 作活 环环
献入 展 誉 境 境
层次分析法的思维过程的归纳
将决策问题分为3个或多个层次： 最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析
要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、
政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节； 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、政 策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。
素相互比较的困难，以提高准确度。
判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标 度方法给出。
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层 不要超过9个因素。
判断矩阵元素aij的标度方法
标度 1 3 5 7 9
2，4，6，8 倒数
含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
• 层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。 其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来， 按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量 化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。
层次分析法
1层次分析法首先建立了层次结构模型后，其上下层之间元素的隶属关系就被确定了。
最后需要对每一个层级的所有指标进行两两对比，确定其相对的重要性。
而层次分析通常采用Saaty 标度法来给判断矩阵的元素赋值。
如表1-1所示：表1-1 1~9标度及其含义1.1层次分析法计算步骤依据表1-1我们可以得到要素层与各方案层的两两判断矩阵()ij n nA a ´=，其次通过下列步骤进行权重的计算以及一致性检验。
（1）我们利用方根法求评价因素的权重向量近似值，其计算公式如下：11,(1,2,...,)nni ij j w a i n =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏（2）对上述利用方根法求解的权重向量按照下列公式做归一化处理，得到最终的权重为：'1,(1,2,...,)ii nik w w i n w===∑（3）计算判断矩阵的最大特征值m ax λ。
()max 1=nii iAw nw λ=∑（4）一致性检验，由一致性指标：max 1nCI n λ-=-RICI CR =其中，一致性指标CI 越大，这就意味着矩阵的偏离一致性就越大。
反之一致性指标CI 越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。
并且当矩阵的阶数n 越大时，其最大特征值max λ也就会越大，这就可能会导致CI 变得更大，也就意味着矩阵的偏离一致性就越大。
反之，阶数n 越小，最大特征值max λ就会越小，其一致性指标CI 也就越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。
这样的模型并不具有科学性。
因此，矩阵的判断过程便釆用了随机一致性指标，即RI 。
RI 的大小与判断矩阵的阶数n 有关，具体数据如下表1-2所示：表1-2 RI 随机一致性指标若CR<0.1则说明一次性检验通过，则其对应的特征向量可作为权向量。
1.2指标权重的确定依据前面介绍的层次分析法，对所建立的指标体系中准则层和指标层权重进行计算。
1.2.1准则层指标权重确定收集专家对评价目标下的准则层指标的基础性的数据，汇总如下表1-3所示，该数据也就是准则层七个指标的判断矩阵。
（完整版）层次分析法的计算步骤
（完整版）层次分析法的计算步骤8.3.2 层次分析法的计算步骤⼀、建⽴层次结构模型运⽤AHP进⾏系统分析，⾸先要将所包含的因素分组，每⼀组作为⼀个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。
这些层次⼤体上可分为3类1、最⾼层：在这⼀层次中只有⼀个元素，⼀般是分析问题的预定⽬标或理想结果，因此⼜称⽬标层；2、中间层：这⼀层次包括了为实现⽬标所涉及的中间环节，它可由若⼲个层次组成，包括所需要考虑的准则，⼦准则，因此⼜称为准则层；3、最底层：表⽰为实现⽬标可供选择的各种措施、决策、⽅案等，因此⼜称为措施层或⽅案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这⾥要注意，层次之间的⽀配关系不⼀定是完全的，即可以有元素（⾮底层元素）并不⽀配下⼀层次的所有元素⽽只⽀配其中部分元素。
这种⾃上⽽下的⽀配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，⼀般可不受限制。
为了避免由于⽀配的元素过多⽽给两两⽐较判断带来困难，每层次中各元素所⽀配的元素⼀般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若⼲⼦层。
例如，⼤学毕业的选择问题，毕业⽣需要从收⼊、社会地位及发展机会⽅⾯考虑是否留校⼯作、读研究⽣、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1所⽰的层次结构模型。
图8.1再如，国家综合实⼒⽐较的层次结构模型如图6 .2：图6 .2图中，最⾼层表⽰解决问题的⽬的，即应⽤AHP所要达到的⽬标；中间层表⽰采⽤某种措施和政策来实现预定⽬标所涉及的中间环节，⼀般⼜分为策略层、约束层、准则层等；最低层表⽰解决问题的措施或政策（即⽅案）。
然后，⽤连线表明上⼀层因素与下⼀层的联系。
如果某个因素与下⼀层所有因素均有联系，那么称这个因素与下⼀层存在完全层次关系。
有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下⼀层次的部分因素有联系。
层次之间可以建⽴⼦层次。
⼦层次从属于主层次的某个因素。
层次分析法解题过程
根据组合权向量 进行方案…
根据问题的性质和目标， 将问题分解为不同的组成 因素，并根据因素间的相 互关联影响以及隶属关系 将因素按不同的层次聚集 组合，形成一个多层次的 分析结构模型。
对同一层次的各元素关于 上一层次中某一准则的重 要性进行两两比较，构造 两两比较判断矩阵。
通过判断矩阵计算被比较 元素的相对权重，并对判 断矩阵进行一致性检验。
层次分析法解题过程
目录
Contents
• 层次分析法简介 • 建立层次结构 • 构造判断矩阵 • 层次单排序 • 层次总排序 • 层次分析法应用案例
01
层次分析法简介
定义与特点
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种定性与定量相结合的多准则决策 分析方法，主要用于解决结构较为复杂、决策准则较多且不易量化的决策问题。
层次的分析结构模型。
根据专家意见或用户需求， 对同一层次中各因素的相对 重要性进行两两比较，并给 出判断值，形成判断矩阵。
通过一定的计算方法（如特 征根法、和积法等）计算出 判断矩阵的最大特征值对应 的特征向量，即为权向量。
为了确保判断矩阵的一致性，需要进 行一致性检验。通过计算一致性指标 CI和随机一致性指标RI，可以得出一 致性比率CR=CI/RI。如果CR小于0.1， 则认为判断矩阵的一致性可以接受；
定义与特点
所需定量数据信息较少
层次分析法在解决问题时，不需要大量的定量数据信息，只需要对决策因素进 行两两比较和排序即可。
强调决策者的判断和决策能力
层次分析法在解决问题时，需要决策者对决策因素进行两两比较和排序，因此 需要决策者具备一定的判断和决策能力。
应用领域
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层次分析法的计算步骤
Document serial number [NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108] 层次分析法的计算步骤
一、建立层次结构模型
运用AHP进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。
这些层次大体上可分为3类
1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定H标或理想结果，因此又称目标层；
2、中间层：这一层次包括了为实现L1标所涉及的中间环节，它可曲若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此乂称为准则层；
3、最底层：表示为实现口标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此乂称为措施层或方案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。
这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。
为了避免山于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。
例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图所示的层次结构模型。
图
再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：
图6 .2
图中，最高层表示解决问题的U的，即应用AHP所要达到的LI标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定U标所涉及的中间环节，一般乂分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。
然后，用连线表明上一层因素与下一层的联系。
如果某个因素与下一层所有因素均有联系，那么称这个因素与下一层存在完全层次关系。
有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下一层次的部分因素有联系。
层次之间可以建立子层次。
子层次从属于主层次的某个因素。
它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次，往往有结构模型表示。
二、构造判断矩阵
任何系统分析都以一定的信息为基础。
AHP的信息基础主要是人们对每一层次各因素的相对重要性给出的判断，这些判断用数值表示出来，写成矩阵形式就是。
判断矩阵是AHP工作的出发点，构造判断矩阵是AHP的关键一步。
当上、下层之间关系被确定之后，需确定与上层某元素（H标A或某个准则Z）相联系的下层各元素在上层元素Z之中所占的比重。
假定A层中因素Ak与下一层次中因素Bl, B2,…，Bn有联系，则我们构造的判断矩阵如表
所示。
表判断距阵
k A
1
B B2 • • •
n
B B b bl2 • • • b
1 11b2
2 • • •In
B b a i i a a a b
221bn2 • • •2n
B 11
1a i i
n
___________ nl nn _______ 表中，bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示，
b b
判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。
填写判断矩阵的方法是：向填写人(专家)反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少。
对重要性程度Saaty等人提岀用1-9尺度赋值，见下表
表重要性标度含义表
重要性标度含义
1 表示两个元素相比，具有同等重要性
3 表示两个兀素相比，前者比后者稍重要
5表示两个兀素相比，询者比后者明显重要
7 表示两个兀素相比，询者比后者强烈重要
9 表示两个兀素相比，前者比后者极端重要
2, 4, 6, 8 表示上述判断的中间值
若兀素7与兀素j的重要性之比为切，则兀素j
倒数与兀素j的重要性之比为bji -丄
设填写后的判断矩阵为B也)加则判断矩阵具有如下性质:
(1) b’j >0, (2)如斗,(3) % =1 / = 1,2.
根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写仇二1部分，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-l)/2个元素就可以了。
在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：
当上式对判断矩阵所有元素都成立时，则该判断矩阵为一致性矩阵。
采用1、9的比例标度的依据是：(1)心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上差别的分辨能力在5'9级之间，采用1'9的标度反映了大多数人的判断能力；(2) 大量的社会调查表明，1为的比例标度早已为人们所熟悉和采用；(3)科学考察和实践表明，1、9的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。
因此H前在层次分析法的应用中，大多数都釆用尺度。
当然，关于不同尺度的讨论一直存在着。
三、层次单排序
所谓是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。
它是本层次所有因素相对上一层而言的重要性进行排序的基础。
层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵B,计算满足
BW =^max W (8. 18) 的特征根与特征向量。
式中，血-为B的最大特征根；W为对应于血-的正规化特征向量；W 的分量叫即是相应因素单排序的权值。
为了检验矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI, CI的定义为
ci = Amax ~ n()
II— 1
显然，当判断矩阵具有完全一致性时，CI二0。
越大，CI越大，判断矩阵的一致性越差。
注意到矩阵B的n个特征值之和恰好等于① 所以CI相当于除九“x外其余n-1个
特征根的平均值。
为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要找出衡量矩阵B 的一致性 指标CI 的标准，Saaty 引入了随机一致性指标表。
表 广9矩阵的平均随机一致性指标
12RI 1阶、 2阶判断矩阵总是完全一致的。
当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI,与同阶平均随 机一致性的指标RI 之比鈴称为判断矩阵的随机一致性比率，记为CR 。
当CR 二寻〈时，判 断矩阵具有满意的一致性，否则就需对判断矩阵进行调整。
四、层次总排序
利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以计算针对上一层次而言本层次所有因素 重要性的权值，这就是。
层次总排序需要从上到下逐层顺序进行，设已算岀第k-l 层上n 个 元素相对于总目标的排序为
笫k 层®个元素对于第层上第j 个元素为准则的单排序向量
其中不受第j 个元素支配的元素权重取零，于是可得到® X"阶矩阵
其中中的第j 列为第k 层代个元素对于第£ _1层上第j 个元素为准则的单排序向 量。
记第k 层上各元素对总H 标的总排序为：
贝
mb
厶n kJ J
>=, 丿
即有
讷心12…,®
五、一致性检验
为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需要计算与单排序类似的检验量。
由高层向下，逐层进行检验。
设第k 层中某些因素对k-i 层第j 个元素单排序的一致性 指标为CI 岁,平均随机一致性指标为RI 岁,（k 层中与k-l 层的第j 个元素无关时，不必考 虑），那么第k 层的总排序的一致性比率为：
同样当CR ⑷W 时，我们认为的计•算结果具有满意的一致性。
(*・，(*•
丿 /I
J
/I
—
7。