数理统计 区间估计

区间估计

教程

一、复习，1：正态总体情况三大抽样分布结论

2：点估计两种基本方法

二、定义区间估计

总体()~,X F x θ，样本()1,...,n X X ，找出两个统计量1T 和2T ，使得总体的真实参数为θ的时候，区间[1T ,2T ]包含θ的概率为某个给定的水平1α-（置信水平）

例题1：已知总体()2

0~,X N a σ，20σ已知而a 未知，样本()1,...,n X X ，求a 的置信水

平95％的估计区间

解答：()((20~,~(0,1) 1.9695%n n X N a X a

N P X a σ⎛⎫→-→-≤= ⎪⎝⎭

95%95%

n n P X a P X a ⎛⎛

→-≤=→-≤-≤= ⎝⎝

95%

n n P X a X ⎛

→--≤-≤-+= ⎝

95%

n n P X a X ⎛

→-≤≤+= ⎝

这说明，未知参数a 落在随机区间

n n X X ⎡

-+⎢⎣的概率为95％，

n n X X ⎡-+⎢⎣的一个观察区间n n x x ⎡

-+⎢⎣

包含真实未

知参数a 的置信水平95％

模拟：假定包装机械包装白糖总量各种可能()

2

~1,0.05X N 斤，用matlab 模拟容量为

25的对应样本观察

sampleobservation=normrnd(1,0.05,1,25) %这里客观的未知a 是1，已知2

200.05σ=

sampleobservation =

0.978371759423589 0.916720781088095 1.00626661532374 1.01438382101793 0.942676432465927 1.05954577328215 1.05945821008261 0.998118336170334 1.01636461807043 1.00873195714105 0.990664571115928 1.03628952741467 0.970584172849291 1.10915929090986 0.993180205845670 1.00569656567604

1.05333841056796 1.00296407302618 0.995217579725817 0.958382526817499 1.01472054081963 0.933190907103110 1.03571622759095 1.08117810322231 0.965411214914886

求样本均值

>> junzhi=sum(sampleobservation)/25 junzhi=

1.0059

这样一来，我们可以得到未知参数a (实际上是1)的95％的置信区间

1.0059±，即[]0.9863,1.0255 三：枢轴量法求估计区间 置信区间越小越好为什么？ 例题：P343例题6.6.2

四、随机变量分位数

例题2：已知总体()2~,X N a σ，2σ和a 都未知，样本()1,...,n X X ，求a 的置信水平

95％的估计区间。

()(

(

20.975~,~(1)(1)95%n n X N a X a t n P X a t n σ⎛⎫→--→-≤-= ⎪⎝⎭

0.9750.9750.9750.9750.975(1)95%

(1)(1)95%(1)(1)95%

n n n n n P X a n P n X a n X P X n a X n ⎛⎫

→-≤-= ⎪⎝⎭

⎛⎫

→--≤-≤--= ⎪⎝⎭⎛⎫

→--≤≤-= ⎪⎝⎭

因此可以得到a 的之心概率为 0.95的随机估计区间

0.9750.975(1),(1)n n X n X n ⎡⎤

-+-⎢⎥⎣⎦

五、正态分布数学期望的置信区间

1、已知DX ，求EX 的置信区间

设样本（X 1，X 2，…，X n ）来自正态母体X ，已知方差2σ=DX ， EX 在置信水平1-α

下的置信区间为112

2

[n n X u

X u

αα-

-

-+.

这里p u 是标准正态分布下p 分位数，即满足()(0,1)p P N u p ≤= 我们可以由此在matlab 中编写脚本文件

function [ ]=zhengtaijunzhiqujian(expectation,stdvar,rongliang,shuiping)

%已知样本观察值，正态总体方差，置信水平

A=normrnd(expectation,stdvar,1,rongliang); alfa=1-shuiping; %置信水平1α- n=rongliang; %样本容量

Xmean=mean(A); %求样本均值

U=norminv(1-alfa/2,0,1); %标准正态分布下1-alfa/2分位数 Lowb=Xmean-U*(stdvar/n^0.5);Upb=Xmean+U*(stdvar/n^0.5); %置信上下限 disp(['置信区间: [',num2str(Lowb),',',num2str(Upb) ,']']) %显示计算结果 这个脚本文件在新建m 文件保存为zhengtaijunzhiqujian.m 以后我们可以对他作出验证，比如：产生服从正态分布()21,0.05N 的样本容量100的随机数以后求期望的置信水平0.90的均值置信区间 >> zhengtaijunzhiqujian(1,0.05,100,0.90) 置信区间: [0.99343,1.0099]

>> zhengtaijunzhiqujian(1,0.05,100,0.90) 置信区间: [0.99573,1.0122]

>> zhengtaijunzhiqujian(1,0.05,100,0.90) 置信区间: [0.98685,1.0033]

>> zhengtaijunzhiqujian(1,0.05,100,0.90) 置信区间: [0.99431,1.0108]

>> zhengtaijunzhiqujian(1,0.05,100,0.90) 置信区间: [0.98701,1.0035]

>> zhengtaijunzhiqujian(1,0.05,100,0.90) 置信区间: [0.98592,1.0024]

>> zhengtaijunzhiqujian(1,0.05,100,0.90) 置信区间: [0.99477,1.0112]

>> zhengtaijunzhiqujian(1,0.05,100,0.90) 置信区间: [0.98549,1.0019]

>> zhengtaijunzhiqujian(1,0.05,100,0.90) 置信区间: [0.98221,0.99866]

>> zhengtaijunzhiqujian(1,0.05,100,0.90) 置信区间: [0.99343,1.0099]

>> zhengtaijunzhiqujian(1,0.05,100,0.90) 置信区间: [0.98837,1.0048]

以上试验11次，有1次得到区间没有包含真实均值1，和置信水平0.90吻合

2、未知DX ，求EX 的置信区间

设样本（X 1，X 2，…，X n ）来自正态母体X ，已知方差2σ=DX ，

EX 在置信水平1-α

下的置信区间为1122(1),(1)n n X n X n αα--⎡⎤--⎢⎥⎣⎦

六、置信区间长度和置信概率关系（区间估计的精确度和可靠水平矛盾关系与解

决方法）