数理统计·参数估计
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概率论与数理统计-参数估计_图文
或
于是得到
的置信水平为 的置信区间为
为已知
其中
于是得到
的置信水平为 的置信区间为
其中
例3 为比较 I ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱⅡ 两种型号步枪子弹的枪口
速度 ,随机地取 I 型子弹 10 发 ,得到枪口速度的平
均值 为
标准差
随
机地取 Ⅱ 型子弹 20 发 ,得到枪口速度的平均值为
标准差
假设两总
体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度
尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证 可靠度的条件下尽可能提高精度.
二、置信区间的求法
在求置信区间时，要查表求分位点.
定义 设
, 对随机变量X，称满足
的点 为X的概率分布的上 分位点.
若 X 为连续型随机变量 , 则有 所求置信区间为
X~N( )
样本均值是否是 的一个好的估计量？
样本方差是否是 的一个好的估计量？
这就需要讨论以下几个问题: (1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？ (2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？
(3) 如何求得合理的估计量？
常用的几条标准是：
1．无偏性 2．有效性 3．相合性
这里我们重点介绍前面两个标准 .
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参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估 计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
估计废品率
在参数估计问题
估计降雨量 中，假定总体分 布形式已知，未
… 知的仅仅是一个 … 或几个参数.
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
数理统计： 参数估计方法
23
引例
设总体 X 服从参数为 的指数分布， 未知，
X1 , X 2 , , X n 是来自X的样本, x1 , x2 , , xn 是
相应的样本值，求 的矩估计量和矩估计值.
解 因为 E( X ) 所以 用样本矩替换总体矩, 得 的矩估计量
ˆ
1 n
n i 1
Xi
X
(
x)
1
e
x
,
x0
0,
其他.
但参数 未知。已知参数的取值范围,记为 。
给出样本的一组观察值，如何推断总体的分布?
【思路】给出 的估计，则得到对总体分布的推断。
【方法】根据一定的原则，从 中找到一个值(点) 作为的 估计。
点估计
2
点估计定义
设总体 X 的分布函数 F ( x; ) 的形式为已知,
的估计量.
4
二、估计量的评选标准 1. 无偏性
定义 若 X1, X 2 ,, X n 为总体 X 的一个样本，
是包含在总体 X 的分布中的待估参数, 若估计量ˆ ˆ( X1 , X 2 ,, X n )的数学期望 E(ˆ) 存在, 且对于任意 有
E(ˆ) 则称ˆ 是 的无偏估计量,否则称为有偏的.
(2) lim S 2 2 a.s. (强大数定律) n
即样本方差是总体方差2的强相合估计， 也是相合估计.
12
C. 样本标准差
其观察值:
S
S2
1 n1
n i 1
Xi
X
2
;
s
1 n1
n i 1
( xi
引例
设总体 X 服从参数为 的指数分布， 未知，
X1 , X 2 , , X n 是来自X的样本, x1 , x2 , , xn 是
相应的样本值，求 的矩估计量和矩估计值.
解 因为 E( X ) 所以 用样本矩替换总体矩, 得 的矩估计量
ˆ
1 n
n i 1
Xi
X
(
x)
1
e
x
,
x0
0,
其他.
但参数 未知。已知参数的取值范围,记为 。
给出样本的一组观察值，如何推断总体的分布?
【思路】给出 的估计，则得到对总体分布的推断。
【方法】根据一定的原则，从 中找到一个值(点) 作为的 估计。
点估计
2
点估计定义
设总体 X 的分布函数 F ( x; ) 的形式为已知,
的估计量.
4
二、估计量的评选标准 1. 无偏性
定义 若 X1, X 2 ,, X n 为总体 X 的一个样本，
是包含在总体 X 的分布中的待估参数, 若估计量ˆ ˆ( X1 , X 2 ,, X n )的数学期望 E(ˆ) 存在, 且对于任意 有
E(ˆ) 则称ˆ 是 的无偏估计量,否则称为有偏的.
(2) lim S 2 2 a.s. (强大数定律) n
即样本方差是总体方差2的强相合估计， 也是相合估计.
12
C. 样本标准差
其观察值:
S
S2
1 n1
n i 1
Xi
X
2
;
s
1 n1
n i 1
( xi
数理统计中的参数估计与置信区间估计
数理统计中的参数估计与置信区间估计数理统计是概率论、数学统计和实证研究的基础，它研究的是通过观测和实验来获取数据，从而对总体的特征进行推断和估计的方法和理论。
在数理统计中，参数估计和置信区间估计是两个重要的概念和方法，用于对总体参数进行推断和估计。
一、参数估计参数估计是指通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
总体参数是指总体的某个特征或指标，如均值、方差等。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种方法。
1. 点估计点估计是指使用样本数据来估计总体参数的一个具体值，这个估计值被称为点估计量。
常用的点估计量有样本均值、样本方差等。
点估计的目标是使得估计值尽量接近真实的总体参数，即具有无偏性和有效性。
无偏性是指估计值的期望等于真实参数，有效性是指估计值的方差最小。
无偏性是一个重要的性质，它保证了估计值在大样本下趋近于真实值。
有效性则是在无偏估计的前提下，使估计值的方差最小，从而提高估计的准确性。
2. 区间估计区间估计是指通过样本数据得到总体参数的一个范围，这个范围被称为置信区间。
置信区间表示了总体参数的估计精度和可信程度。
在构造置信区间时，需要指定置信水平，常用的置信水平有95%和99%等。
置信水平为95%表示在大量重复抽样中，有95%的置信区间会包含真实的总体参数。
构造置信区间的方法有很多，如正态分布的置信区间、t分布的置信区间等。
不同的方法适用于不同的总体分布和样本信息。
在实际应用中，要根据具体的问题和数据的特点选择合适的置信区间方法。
二、数理统计中的应用参数估计和置信区间估计在数理统计中有广泛的应用，可以用于推断和估计各种领域的问题。
1. 总体均值的估计当我们要估计总体的均值时，可以使用点估计和区间估计的方法。
点估计是通过样本均值来估计总体均值，区间估计则是给出总体均值的一个范围。
2. 总体比例的估计当我们要估计总体的比例时，例如某种特征在总体中出现的比例，也可以使用点估计和区间估计的方法。
点估计是通过样本比例来估计总体比例，区间估计则是给出总体比例的一个范围。
概率论与数理统计教材第六章习题
X σ0 n
~ N(0,1)
对于置信水平1- ，总体均值的置信区间为 对于置信水平 -α，总体均值 的置信区间为
X
σ0
n
uα < < X +
2
σ0
n
uα
2
(2)设总体 ～ N(,σ 2 ), 未知 ，求的置信区间。 设总体X～ 未知σ， 的置信区间。 设总体 的置信区间
σ 0 ，则样本函数 t = X ~ t(n 1) 用 S 代替 S n
i =1
n1
n1
F
1
α ∑ Yj 2
2 j =1
n2
(
)
2
n2
10
2 2 及 （1）设两个总体 ～ N(1,σ1 ) 及Y～ N(2 ,σ 2 ), 未知 1 2， ）设两个总体X～ ～
2 σ1 的置信区间。 求 2 的置信区间。 σ2
选取样本函数 选取样本函数
2 2 S1 σ1 F = 2 2 ~ F(n1 1, n2 1) S2 σ2
∑x
i =1
n
i =1
i
n = 0.
1 p
得 p 的极大似然估计值为 p =
n
∑x
i =1
n
1 = x
i
12
1 θ 2. 设总体 服从拉普拉斯分布：f ( x;θ ) = e ,∞< x < +∞, 设总体X 服从拉普拉斯分布： 2θ 求参数 θ 其中 > 0. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,L, xn , 求参数θ
第六章 参数估计
(一)基本内容
一、参数估计的概念 1 定义：取样本的一个函数θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ), 如果以它的观测 定义：
概率论与数理统计-参数估计
第七章 参数估计
例：
引言
设总体 X 是服从参数为 的指数分布，其中参数
未 知 ，
0 ．X1 ,,
X
是总体
n
X
的一个样本，
我们的任务是根据样本，来估计 的取值，从
而估计总体的分布．
这 是 一 个 参 数 估 计 问 题．
第七章 参数估计
§1 点估计 §2 估计量的评选标准 §3 区间估计
第七章 参数估计 §1 点估计
2
令
A1
A2
, (
2
1)
.
第七章 参数估计
例6(续）
解此方程组，得
§1 点估计
ˆ
A1 2 A2 A12
,
ˆ
A2
A1 A12
.
ˆ X 2 ,
即
B2
ˆ X .
B2
其中 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 为样本的二阶中心矩．
第七章 参数估计（第二十二讲） 三、 极大似然法
§1 点估计
1
第七章 参数估计
例6(续）
EX 2 x 2 f
x dx x 2
x 1e x dx
0
§1 点估计
2 2 x ( e 2)1 x dx
2 0 2
2 2
1 2
1
2
因此有
EX
,
EX
2
1 .
⑵ 在不引起混淆的情况下，我们统称估计量
与估计值为未知参数 的估计．
第七章 参数估计
二、 矩估计法
§1 点估计
设X为连续型随机变量，其概率密度为
f ( x;1 ,, k ), X为离散型随机变量，其分布列为
研究生应用数理统计参数估计
为来自总体的样本，
n
试求：(1)的极大似然估计；
（2）P{X 2}的极大似然估计。
极大似然估计的优点： 利用了总体的分布函数所提供的信息； 不要求总体原点矩的存在（柯西分布） 极大似然估计的缺点： 求解似然方程困难
四、用顺序统计量估计参数
无论X服从何种分布，都可以样本中位数X作为总体均值 E(X)的估计量，以样本极差R作为总体标准差 DX的估计量。 这种估计比较粗超。
研究生应用数理统 计参数估计
一、参数估计的概念
定义：已知母体的分布，估计某个或几个未 知数字特征（参数）的问题，称为参数估 计。
二、参数估计的分类
分为点估计和区间估计；
点估计就是根据样本，估计参数为某个数 值；
区间估计就是根据样本，估计参数在一定 范围内，即一个区间；
总体分布类型已知的统计问题，称为参数 型统计问题；
定理 设X1, X 2, , X n是来自总体X ~ N (, 2 )的样本，X 是
样本中位数，则对任意x,有
lim
n
P
2n（2 X
）
x
1
2
x t2
e 2 dt
§2点估计的优良性
一、无偏性
定义1 设 ( X1, , X n )是参数的估计量。 若E ,则称是的无偏估计量；
若E ,则称(E )是估计量的偏差；
例2.1.1 设总体服从泊松分布P()，
试求的矩估计量.
解1 因为E(X)=,所以的矩估计量为X .
解2 因为D(X)=,所以的矩估计量也为
1 n
X
i
2
X .
例2.1.1 设总体服从泊松分布P()，
试求的矩估计量.
解1 因为E(X)=,所以的矩估计量为X .
应用数理统计——参数估计
这就是矩法估计的理论依据。
三、正态总体参数的区间估计 前面讨论了未知参数的点估计问题，它是用估计
量 θ 的值作为未知参数θ的估计。然而不管θ 是一 个怎样优良的估计量，它也只是一定程度的精确， 至于如何反映精确度，参数的点估计并没有回答。 由于θ 是一随机变量，需说明用θ 去估计θ的精度， 也就是要说明在一定概率意义下， 与θ的误差有 θ 多大。即确定具有特定概率意义的区间，使它以 相当大的概率包含未知参数的真值，以表明总体 参数真值所处的范围。
α
α
α
2
− uα
σ
n } = 1−α ) = 1−α
2
2
2
uα
2
σ
n
< µ < X + uα 2 < µ < x − uα 2
于是P{x − uα 2
σ
n
σ
n
例6：见教材82页例1。
(2)总体方差σ 2未知时，正态总体均值µ的区间估计
X −µ 因为若X服从N ( µ , σ )，则T = 服从t (n − 1) S n
2 2
小结：学习了
1、点估计法——矩法 2、评价估计量优劣的标准——无偏性、有效性 和一致性 3、正态总体的区间估计——均数和方差的区间估计 作业：教材98页第4题。 教材99页第10、13题。 教材100页第17、18题。
3、正态总体方差σ 的区间估计
2
因为若X服从N ( µ , σ 2 )，则χ 2 = 由附表4知P{χ12−α 2 < (n − 1) S 2
(n − 1) S 2
σ2
服从χ 2 (n − 1)
σ2
2 < χα 2 } = 1 − α
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§6 参数估计
数理统计
参数估计 数理推断问题
假设检验
点估计 区间估计
一、参数的点估计
定义1 设总体的分布函数已知但含未知参数 ,
X1, X2, , Xn 为来自总体的样本，相应的样本值 是 x1, x2, , xn .由样本构造一个统计量 (X1, X2, , Xn ),
用它的观测值 (x1, x2, , xn) 来估计未知参数 ,称 (X1, X2, , Xn ) 为 的点估计量,称 (x1, x2, , xn) 为
的点估计值.
1.数字特征法——用样本的数字特征估计 总体的数字特征
X1, X2, , X n 为来自总体 X 的一个样本，观测值
为 x1, x2, , xn ：
用样本均值 的点估计量,即
X
1 n
n i 1
Xi 作为总体均值 E(X )
从而
为 的点估计值.
X x
所以样本方差 S 2为总体方差 2的无偏估计.
[3]
E(B)
E[ 1 n
n i 1
(Xi
X )2]
2
)] E 1
(
X
2
)]
1 n 1
n i 1
E(Xi2)
2 n 1
E(n X
2
)
n n 1
E(X
2
)]
1 n 1
n i 1
{D( Xi
)
[E( Xi )]2}
2n n 1
E(X
2
)
n n 1
E(X
2
)]
n
{D(X ) [E(X )]2}
n
2
E(X )
x
x2
xf (x)dx dx
0
0 2
0
2
由数字特征法有
2
1 n
n i 1
Xi
因此 代入数据得
2 n
n i 1
Xi
2 10
10 i 1
xi
1 (2 4 5 8 3 6 5 6 10 1) 5
10 从而等车时间不超过5min的概率为
n
( Xi X )2 为总体
i 1
( Xi X )2 不是总体
方差 2 的无偏估计.
证明
[1]因为随机变量Xi (i 1, 2, , n)与总体X 同分
布，故
E(Xi ) ,i 1, 2, , n
E(X
)
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
Hale Waihona Puke n i 1E( Xi )
P(X 5)
5
f (x)dx
0
5 1 dx x 0 10 10
5 0
0.5.
2.估计量的评价标准
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估 计量可能不同,应该选用哪一个估计量？应该用 什么标准评价一个估计量的好坏？ 常用的标准有三个： （1）无偏性； （2）有效性； （3）一致性.
例1 在一批某种零件中,随机地取8个,测得它 们的重量(单位:g)为:
801,804,799,794,802,800,803,805.
试用数字特征法估计总体均值 和方差 2 .
解
x
1 8
8 i1
xi
1 (801 804 799 794 802 800 803 805) 801
8
2
1
s2
1 8 1
8 i 1
( xi
[(801 801)2
x)2
(804
801)2
(799
801)2
(794
801)2
7
(802 801)2 (800 801)2 (803 801)2 (805 801)2 ] 12
例2 已知乘客在某公交汽车站等车的时间 X (单位：min)服从 [0, ] 上的均匀分布,现随机抽测
1
n
n
所以样本均值 X 为总体X 均值 的无偏估计.
[2]E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
1 n 1
E[
n i 1
(Xi
X
)2 ]
1 n 1
E[
n i 1
(Xi2
2Xi
X
X
2
)]
1 n 1
n i 1
[E(Xi2)
n 1
n 1
n {D(X ) [E(X )]2} n {D( X ) [E( X )]2}
n 1
n 1
n {D(X ) [E(X )]2} n {D(X ) [E( X )]2}
n 1
n 1 n
n D(X ) n D(X )
n 1
n 1 n
D(X ) 2
(1)无偏性
设 是参数 的估计量,若 E( ) ,则称 是 的无偏估计量.
注:1.估计量 的值不一定就是 的真值 ,因为 它是一个随机变量,若 是 的无偏估计,则尽管
的值随样本值的不同而变化,但平均来说它会等于
的真值.
2.一般说来无偏估计量的函数并不是未知参数
相应函数的无偏估计量.例如，当 X ~ N (, 2 )时，
1
n 1
n
n i 1 n i 1
X xi
i
用样本方差
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 作为总体
方差 D( X ) 2的点估计量,即
从而
2
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
2
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
为 2的点估计值.
2E(X
i
X
)
E(X
2
)]
1[ n 1
n i 1
E(Xi2)
2
n i 1
E(Xi
X
)
nE( X
2
)]
nn1111[in1in1EE( X( Xi2i)2
) 2E( 2
n 1
n in1 i 1
Xi E(
X Xi
) nE( X)
n
X n
是μ的X 无偏估计量，但 不是X 2的无偏2估计量，事
实上：
E(X
2)
D( X
)
E ( X
2
)
2
n
2
2.
例3 证明样本均值
的无偏估计.样本方差 S 方差 2 的无偏估计.而
X1 n
2 n1i1 n 1 1n
B n i1
Xi 为总体 X 均值
了10位乘客的等车时间,数据如下:
2,4,5,8,3,6,5,6,10,1.
试用数字特征法估计 的值,并求乘客等车时间不
超过5min的概率.
解 设 X1, X2, 密度函数为
, Xn 是抽得的样本,由于X ~ U[0, ] ,
f
(x)
1
,
0 x
0, 其他
总体的均值为E(X )
数理统计
参数估计 数理推断问题
假设检验
点估计 区间估计
一、参数的点估计
定义1 设总体的分布函数已知但含未知参数 ,
X1, X2, , Xn 为来自总体的样本，相应的样本值 是 x1, x2, , xn .由样本构造一个统计量 (X1, X2, , Xn ),
用它的观测值 (x1, x2, , xn) 来估计未知参数 ,称 (X1, X2, , Xn ) 为 的点估计量,称 (x1, x2, , xn) 为
的点估计值.
1.数字特征法——用样本的数字特征估计 总体的数字特征
X1, X2, , X n 为来自总体 X 的一个样本，观测值
为 x1, x2, , xn ：
用样本均值 的点估计量,即
X
1 n
n i 1
Xi 作为总体均值 E(X )
从而
为 的点估计值.
X x
所以样本方差 S 2为总体方差 2的无偏估计.
[3]
E(B)
E[ 1 n
n i 1
(Xi
X )2]
2
)] E 1
(
X
2
)]
1 n 1
n i 1
E(Xi2)
2 n 1
E(n X
2
)
n n 1
E(X
2
)]
1 n 1
n i 1
{D( Xi
)
[E( Xi )]2}
2n n 1
E(X
2
)
n n 1
E(X
2
)]
n
{D(X ) [E(X )]2}
n
2
E(X )
x
x2
xf (x)dx dx
0
0 2
0
2
由数字特征法有
2
1 n
n i 1
Xi
因此 代入数据得
2 n
n i 1
Xi
2 10
10 i 1
xi
1 (2 4 5 8 3 6 5 6 10 1) 5
10 从而等车时间不超过5min的概率为
n
( Xi X )2 为总体
i 1
( Xi X )2 不是总体
方差 2 的无偏估计.
证明
[1]因为随机变量Xi (i 1, 2, , n)与总体X 同分
布，故
E(Xi ) ,i 1, 2, , n
E(X
)
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
Hale Waihona Puke n i 1E( Xi )
P(X 5)
5
f (x)dx
0
5 1 dx x 0 10 10
5 0
0.5.
2.估计量的评价标准
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估 计量可能不同,应该选用哪一个估计量？应该用 什么标准评价一个估计量的好坏？ 常用的标准有三个： （1）无偏性； （2）有效性； （3）一致性.
例1 在一批某种零件中,随机地取8个,测得它 们的重量(单位:g)为:
801,804,799,794,802,800,803,805.
试用数字特征法估计总体均值 和方差 2 .
解
x
1 8
8 i1
xi
1 (801 804 799 794 802 800 803 805) 801
8
2
1
s2
1 8 1
8 i 1
( xi
[(801 801)2
x)2
(804
801)2
(799
801)2
(794
801)2
7
(802 801)2 (800 801)2 (803 801)2 (805 801)2 ] 12
例2 已知乘客在某公交汽车站等车的时间 X (单位：min)服从 [0, ] 上的均匀分布,现随机抽测
1
n
n
所以样本均值 X 为总体X 均值 的无偏估计.
[2]E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
1 n 1
E[
n i 1
(Xi
X
)2 ]
1 n 1
E[
n i 1
(Xi2
2Xi
X
X
2
)]
1 n 1
n i 1
[E(Xi2)
n 1
n 1
n {D(X ) [E(X )]2} n {D( X ) [E( X )]2}
n 1
n 1
n {D(X ) [E(X )]2} n {D(X ) [E( X )]2}
n 1
n 1 n
n D(X ) n D(X )
n 1
n 1 n
D(X ) 2
(1)无偏性
设 是参数 的估计量,若 E( ) ,则称 是 的无偏估计量.
注:1.估计量 的值不一定就是 的真值 ,因为 它是一个随机变量,若 是 的无偏估计,则尽管
的值随样本值的不同而变化,但平均来说它会等于
的真值.
2.一般说来无偏估计量的函数并不是未知参数
相应函数的无偏估计量.例如，当 X ~ N (, 2 )时，
1
n 1
n
n i 1 n i 1
X xi
i
用样本方差
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 作为总体
方差 D( X ) 2的点估计量,即
从而
2
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
2
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
为 2的点估计值.
2E(X
i
X
)
E(X
2
)]
1[ n 1
n i 1
E(Xi2)
2
n i 1
E(Xi
X
)
nE( X
2
)]
nn1111[in1in1EE( X( Xi2i)2
) 2E( 2
n 1
n in1 i 1
Xi E(
X Xi
) nE( X)
n
X n
是μ的X 无偏估计量，但 不是X 2的无偏2估计量，事
实上：
E(X
2)
D( X
)
E ( X
2
)
2
n
2
2.
例3 证明样本均值
的无偏估计.样本方差 S 方差 2 的无偏估计.而
X1 n
2 n1i1 n 1 1n
B n i1
Xi 为总体 X 均值
了10位乘客的等车时间,数据如下:
2,4,5,8,3,6,5,6,10,1.
试用数字特征法估计 的值,并求乘客等车时间不
超过5min的概率.
解 设 X1, X2, 密度函数为
, Xn 是抽得的样本,由于X ~ U[0, ] ,
f
(x)
1
,
0 x
0, 其他
总体的均值为E(X )