隐函数和参数方程求导
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隐函数与参数式函数的求导法则
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升t分后其高度为h ,仰角为 ,
则 tan h
500 两边对 t 求导
h
500
sec2 d 1 d h
d t 500 d t
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m时,tan 1 ,sec2 2 ,
y uv ln u v vuv1 u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
§4.3 隐函数与参数式函数的求导法则
一、隐函数求导法则 二、由参数方程确定的函数的求导法则 三、极坐标式求导 四、相关变化率问题
一、隐函数求导法则
若由方程 函数为隐函数 .
可确定y是x的函数 , 则称此
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
F(x, y) 0
y f (x) 隐函数的显化
y
3 2
3
3 4
法线斜率为
故切线方程为 y即3 3 3 (x 2)
2
4
法线方程为 即
处的
解:解法1 应用隐函数的求导方法，得
（4.15）
于是 上式两边再对x求导，得
解法2 由(4.15)两边再对x求导，得
联合（4.15）解得
例5. 求
的导数 .
解:解法1 两边取对数 , 化为隐式
隐函数与参数方程求导法则
值得注意的是，有些二元方程 确定的隐函数 并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
由于二元方程 确定的隐函数 ，有
.
应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：
解已知弹头关于时间 的弹道曲线的参数方程是
其中 是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有
设在时刻 弹头的运动方向与地面的夹角为 ，有
或
， .
解得 .在点 的切线斜率 .从而，切线方程是
或
.
因为点 在双曲线上，所以 .于是，所求得切线方程是
.
当 时，有 .过双曲线 上点 的切线方程是 ，也满足（1）式.
例4证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于 .
证明在抛物线上任取一点 ，即 .求抛物线在点 的切线斜率 .由隐函数求导法则，有
定义设有两个非空数集A与B.若 ，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个 ，则称此对应关系 （或写为y= （x))是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。
由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y= （x)（ ， ）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此， ，有
F[x，f(x)]=0 (或F[x，f(x)] 0）.
与 ，且
于是，二元方程F(x，y)=x +y -a =0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。
与 。
这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间 的上半圆周与下半圆周，如图5.5
由此可见，所谓隐函数就是对应关系 不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系 “明显”的函数，例如，
隐函数及参数方程求导
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
dy dt dt dx
dy dt
1 dx
(t ) . (t )
即
dy dt dx dx
dt
dt
12
例6 已知椭圆的参数方程为 处的切线方程.
x
y
a cos , bsin .
求椭圆在
3π 4
解
当
3π 4
时，椭圆上的相应点M
0的坐标是：(
a 2
ln
u( x)
v( x)u(x) ]
u( x)
方法2：利用复合函数求导法
变形为 f ( x) ev( x)lnu( x) ,然后用复合函数
求导法求导.
10
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x
y
(t) (t)
确定
y
与
x
间的函数关系，
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x y
2t , t2,
x 2 y dy 0， dy 9x ，k dy 3 .
8 9 dx
dx 16 y
dx x2
4
于是切线方程为 y 3 3 3 ( x 2)，
2
4
即 3x 4 y 8 3 0.
6
二、对数求导法
观察函数
y
x ( x 1) ( x 2)2( x 3)3
,
y
xsin x求导的方法？
上式两边对x求导得：
y 1 1 2 3 , y 2x x 1 x 2 x 3
y
(x
x( x 1) 2)2( x 3)3
1 ( 2x
1 x1
x
D3_4 隐函数、参数方程的求导
则当
t , t 均可导， 且
t 0 时， 有：
(t ) 0
d y d y d t d y 1 t d t ; d x d t d x d t d x t d t dt
时， 有
F x, y x 0, x I 成立, 则称 F x, y 0 确定了区间 I
y 若从方程 F x, y 0 中能求解出函数： y x 或 x x y
则称该隐函数可以被显化。
3 例如： 方程 x y 3 1 0 就确定了一个显函数 y x 1 ;
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向？
解: 先求速度大小:
dx dy 速度的水平分量为： v1 , 垂直分量为： v2 gt , dt dt
故抛射体速度大小
dx dy v dt dt
再求速度方向 设 为切线倾角， 则
2
2
v v2 gt
dy
d y sin x d cos x y 0
y cos x sin x y
sin x y sin x
dx
y cos x sin x y dy 由此得： sin x y sin x dx
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说明:
1) 对幂指函数
y u
v
可用对数求导法求导 :
ln y v ln u
1 u v y v ln u y u uv v y u v ln u u
注意:
dy dv v 1 du v u ln u vu dx dx dx
t , t 均可导， 且
t 0 时， 有：
(t ) 0
d y d y d t d y 1 t d t ; d x d t d x d t d x t d t dt
时， 有
F x, y x 0, x I 成立, 则称 F x, y 0 确定了区间 I
y 若从方程 F x, y 0 中能求解出函数： y x 或 x x y
则称该隐函数可以被显化。
3 例如： 方程 x y 3 1 0 就确定了一个显函数 y x 1 ;
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向？
解: 先求速度大小:
dx dy 速度的水平分量为： v1 , 垂直分量为： v2 gt , dt dt
故抛射体速度大小
dx dy v dt dt
再求速度方向 设 为切线倾角， 则
2
2
v v2 gt
dy
d y sin x d cos x y 0
y cos x sin x y
sin x y sin x
dx
y cos x sin x y dy 由此得： sin x y sin x dx
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说明:
1) 对幂指函数
y u
v
可用对数求导法求导 :
ln y v ln u
1 u v y v ln u y u uv v y u v ln u u
注意:
dy dv v 1 du v u ln u vu dx dx dx
隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x (t ), y (t ),
t [ , ]为参数 .
若x (t )与y (t )都可导，且 (t ) 0. 又x (t )存在
反函数 t 1 ( x)，则y为x的复合函数 y ( 1 ( x)) ，即
y (t )，t 1 ( x).
Yunnan University
7
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
由复合函数与反函数的 求导法则，有
dy dy dy dt (t ) dt 1 (t ) ( ( x)) . dx dt dx (t ) dx dt
这即是参数方程所表示 函数的求导法，从而导 函数的
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 一、隐函数求导法
设二元方程 F ( x, y) 0
确定了唯一的单值可导函数y f ( x)，求 dy . dx
例如: F ( x, y) x 2 y 2 R2 0可确定隐函数
y R 2 x 2，x [ R, R]，y [0, R]; 和 y R 2 x 2，x [ R, R]，y [ R,0].
4
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x2 y2 例3. 求 垂 直 于 直 线 l : 2 x 4 y 3 0并 与 双 曲 线 1 2 7 相切的直线方程。
解： 设双曲线上一点 ( x, y)的切线斜率为 k，则由隐函数求
导法，有
2x 2 y 7x y 0， 即 k y . 2 7 2y
即
y y( x) x x . y ( x) y
方 法I : 对 于 由 方 程 F ( x, y) 0确 定 的 隐 函 数 ， 只 需 用 应复 合 函 数 的 求 导 法 ， 对 恒 等 式方 或程 两 端 关 于 x求 导 数 ， 即 可 得 隐 函 数的导数（注意 y是x的 函 数 ） .
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
高等数学 导数与微分 (3.4.1)--隐函数与参数方程求导法
ﾢ(t) ﾢ(t)
.
例2
已
知
星
形
线
的
参
数
方
Байду номын сангаас
x 程为y
= =
a a
cos3 sin 3
t t
(a
0)
, 试证 : 其上任一点处的切线被坐
标 轴曲所线截的得的斜线率段是的y长对度为x 的定导值 数. , 而非 y 对 t 的导数 .
3.4.3 极坐标方程表示的函数的导数
设曲线的极坐标方程为 r = r(), 化为参数方
Chap3 ― 4
隐函数与参数方程求导 法
3.4.1 隐函数的导数
原则 方程 F(x, y) = 0 两端对 x 求导 , 视 y 为隐函 数 y(x), 再解出 y'(x).
例 1 设 y = f (x) 是由方程 xy +ln y = 1 所确定的
隐函数
(1y)' g'(1).
求
= -1
yf2 '(x);
程 x = r()cos, y = r()sin, 极角为的点处切
线斜率
dy dx
=
rﾢ( ) sin rﾢ( ) cos
+ r( ) cos - r( ) sin
.
例 3 求曲线 r = asin2 (a 为常数 ) 在 = /4 处的切线和法线方程 .
切线x + y = 2a,法线x - y = 0
+ xy
(2)
若
g(x)
=
f
(gln'(1x) )=e-f (ex2),� � �e求+
1 2
� �
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得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
16
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h h 则 tan 500 两边对 t 求导 500 d 1 dh 2 sec 2 1 tan 2 sec d t 500 d t dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 17 d t 2 500
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
10
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) d t dx d t d x 2 dx dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
18
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率
19
思考与练习
1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. x r cos 解: 化为参数方程 y r sin d y dy sin cos d dx dx cos sin d 当 时对应点 M ( 0 , ) , 2 2
2 dy 斜率 k dx 2 2 ∴ 切线方程为 y x 2
20
2. 设 y (sin x)
tan x
x x
ln x
3
y2 提示: 分别用对数微分法求 y1 , y2 .
答案:
y1
2 x , 求 y . 2 (2 x)
y y1 y2
两边对 x 求导
1 y cos x ln x sin x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
6
说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u u v ln u v vu v 1 u y
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)
21
3. 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
e y y x y 0
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y y 3 3 y3 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
5
例4. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
第四节 隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
1
一、隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程)
y
① ②
再求导, 得
e y y 2 (e y x) y 2 y 0
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 1 y (0) e 1 再代入 ② 得 y(0) 2 e
22
作业
P111 1(1) , (4) ; 4 (2) , (4); 8 (2) ,(4) ; 2; 3 (3) , (4) ; 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 9 (2) ;
9
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数 则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
t d y d y dx dt (t 1)(1 cos y ) dx dt
15
三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
之间也有联系 称为相关变化率
23
备用题
1. 设
解: 方法1 求其反函数的导数 .
方法2 等式两边同时对 y 求导
24
2. 设
,求
方程组两边同时对 t 求导, 得 解：
dy dx
t 0
25
y x (t ) (t ) (t ) (t ) x y 3 3 (t ) x
11
注意 : 已知
?
x f (t ) d2 y 例5. 设 . , 且 f (t ) 0 , 求 2 y t f (t ) f (t ) dx
落地时刻 抛射最远距离
o
v2 t g 2v t g2
x
14
x t 2 2 t 例7. 设由方程 2 (0 1) t y sin y 1
确定函数 y y (x) , 求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
练习: P112 题8(1)
d2 y 1 f (t ) d x2
解:
dy 1 ; dx t
d y 2 dx
2
1 t
2
1 3 t t
12
例6. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 垂直分量为
dy dy y的导数 , dx dx
x 0
.
解: 方程两边对x求导,
dy x y dy y x e e 0 dx dx
dy e x y , 解得 y dx x e
dy dx
x0
由原方程知 x 0, y 0,
1.
4
ex y xey
x0 y0
例3. 求椭圆
按幂函数求导公式
7
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
8
( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者 以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
tan 500 提示: x
对 t 求导
500
d 500 dx sec 2 dt x dt
2
x
d dx . 已知 100m min , x 500 m , 求 dt dt
2
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
3
例2 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
v1 (v2 gt )
2
2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角, 则
dy dy d t dx dx dt
y
o
x
13
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量
速度的方向
垂直分量
y
在刚发射 (即 t =Fra bibliotek0 )时, 倾角为 v2 arctan v1 达到最高点的时刻 t v2 , 高度 g