与向量、解析几何相结合的三角形问题

与向量、解析几何相结合的三角形问题

知识拓展

1.三角形中的三角函数关系

(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B

2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2

＝sin C

2

.

2.若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →

＝0.

3.在△ABC 中，若AB →·BC →

<0，则△ABC 为钝角三角形．

4. 在△ABC 中，若,,a b c 成等差数列，则60B ≤o

；若,,a b c 成等比数列，则60B ≤o

；若

,,A B C 成等差数列，则60B =o .

5.在锐角△ABC 中，090A <

o

，90A B +>o

，sin cos ,sin cos A B B A >>.

题型分析

(一) 三角与向量的交汇

现行高中数学教材中,向量是继函数之后的一条主线,贯穿整个高中数学教学,也在各种问题的解决中起着广泛的作用.而向量与三角知识的交汇,通常题目以三角函数为主体,但条件中涉及一些向量知识,如向量的坐标中包含三角表达式,然后给出向量之间的平行、垂直关系,或者用向量的数量积表示函数等等,这种情况在当前的试题中还很常见.

【例1】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分

别为,,,a b c 已知2

c b =

. （1）若2C B =，求cos B 的值；

（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ，求cos 4B π⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的值．

【答案】（1）cos B =

（2）

【分析】（1）由正弦定理得sin C B =

．利用二倍角公式化简得cos B =．（2）化

简向量得a c =．再根据余弦定理得3

cos 5

B =，最后根据同角三角函数关系以及两角和余弦公式得cos 4B π⎛⎫

+

⎪⎝

⎭

的值．

（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v

， 所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，

得222222b c a b a c +-=+-，得a c =．

从而2

22235cos 25

c c c a c b B ac +- ⎪+-⎝⎭==

=， 又0B π<<，所以24

sin 1cos 5

B B =-=

． 从而32422

cos cos cos sin sin 44455B B B πππ⎛⎫

+

=-=-= ⎪

⎝

⎭ 【点评】平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．

【小试牛刀】设向量,,a b c r r r 满足2a b ==r r ， 2a b ⋅=-r r ， ,c 60a c b --=︒r r

r r ，则c r 的

最大值等于 【答案】4

(二) 三角与数列的交汇

数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题,主要题型有两大类：一是在解三角形中,一些条件用数列语言给出,常见的如三角形三内角A ,B ,C 成等差数列；三边a ,b ,c 成等比数列等,二是数列通项种含有三角函数,我们可以借助三角函数的周期性求和.

【例2】已知ABC ∆的周长为6，且,,BC CA AB 成等比数列，则BA BC ⋅u u u v u u u v 的取值范围是

______．

【来源】【全国百强校】江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试数学试题 【答案】27952,

⎡⎫

-⎪⎢⎪⎣⎭

【点评】“c b a ,,成等比数列”是为了给出“ac b =2”这一条件,所以,解题的重点是如何

把BA BC ⋅u u u v u u u v

与这个条件联系起来.

【小试牛刀】△ABC 的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. (1)若c b a ，，成等差数列,证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； (2)若c b a ，，成等比数列,求B cos 的最小值. 【解析】(1)∵a ,b ,c 成等差数列 ∴a ＋c ＝2b

由正弦定理得sinA ＋sinC ＝2sinB ∵sinB ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin (A ＋C ) ∴sinA ＋sinC ＝2sin (A ＋C ) (2)∵a ,b ,c 成等比数列 ∴b 2

＝ac

由余弦定理得22222221

cos 2222

a c

b a

c ac a c B ac ac ac +-+-+=

==- ∵a 2

＋c 2

≥2ac (当且仅当a ＝c 时等号成立)

22

12a c ac

+∴≥(当且仅当a ＝c 时等号成立)

2211112222

a c ac +∴-≥-=(当且仅当a ＝c 时等号成立)

即1

cos 2

B ≥

所以cosB 的最小值为

12

. 【点评】边的等差关系,通常利用正弦定理转化,而边的等比关系,则利用余弦定理找边角关系.

(三)三角与三角函数的交汇

【例3】设函数()2sin cos 32

f x x x π⎛⎫

=+- ⎪

⎝

⎭ (Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；