立体几何教学中渗透数学思想方法的研究与实践
摘要数学思想方法是数学知识的精髓，是数学学习普遍适用的方法和数学学习的指导思想。
它把数学知识和培养能力有机地结合起来，它可以教会学生从数学的角度去分析问题、解决问题，是把知识转化为能力的桥梁，也是培养创新型人才的基础。
通过对中学数学思想方法相关文献资料的阅读、研究，本文首先界定了数学思想方法的内涵，数学思想方法与数学内容的关系，以及数学思想方法的教学意义；然后归纳概括出了高中数学教学中常见的几种数学思想方法：化归的思想方法、分类讨论的思想方法、函数与方程的思想方法和类比的思想方法，介绍了数学思想方法的学习过程以及渗透数学思想方法教学的教学原则。
接下来对高中数学必修二立体几何初步这一章教材进行了分析并重点分析了本章内容中所蕴含的数学思想方法。
在本文的第五章，对高一学生对数学思想方法的了解、理解程度进行了调查，结合调查所反映的结果、数学思想方法的自身特点和自己的教学经验，本文介绍了在立体几何教学中渗透化归思想的实践以及渗透化归和分类讨论思想的教学案例。
最后，阐述了通过本研究，本人对渗透数学思想方法教学的新的认识。
本文重点分析了在高中立体几何这一章蕴含的数学思想方法，并且通过实例说明在教学过程中如何渗透数学思想方法，希望对高中立体几何这一部分的教学有一定的作用。
关键字：数学思想方法立体几何渗透IIIAbstractMathematical thinking method is mathematics knowledge essence and mathematics study guiding ideology and the universal suitable method. It unifies mathematics knowledge and sharpens ability organically .It can make students analyze and solve problems.it is the bridge from mathematics knowledge to mathematics ability and it is the foundation of raising the innovation talented person.By means of reading and researching the literature of mathematical thinking method using in high school.At first, this paper defines the relevant concept of mathematical thinking method 、the relationship between mathematical thinking method and mathematics content,and the significance of teaching mathematical thinking method in the class;Then this paper generalizes some kinds of mathematical thinking method using in the solid geometry of high school,such as the idea of conversion 、classification of discussion ways of thinking the thinking methods of function and equation and classification of discussion way of thinking.The learning process and the teaching principle of the mathematical thinking method.Next this paper analyses the teaching materials of solid geometry and mathematical thinking method containing in the book of solid geometry in high school.Then this paper investigates understanding level of mathematical thinking method among fresh students of high middle school,Combined with the results reflects the investigation and the characteristics of mathematical thinking method and my own experience of teaching,This paper introduces the permeability reduction in solid geometry teaching practice and teaching cases.Finally, through this study, this paper expounds the new understanding to the teaching of mathematics thinking method.This paper focuses on a high school solid geometry of this chapter contains mathematical thinking,IIIand through examples how to penetrate a mathematical way of thinking in the teaching process,the role of this part of the high school solid geometry teaching.KEY WORDS: mathematics thinking method; Solid geometry; permeate.IV目录摘要 (I)Abstract (III)第一章绪论 (1)1.1研究背景 (1)1.2数学思想方法的研究现状 (2)1.3本文的研究内容、方法和创新点 (3)1.4本研究的理论基础 (3)1.4.1 认知主义数学学习理论 (3)1.4.2人本主义学习理论 (4)1.4.3建构主义数学学习理论 (4)第二章数学思想方法概述 (7)2.1数学思想方法的界定 (7)2.2 数学思想与数学方法的关系 (7)2.3数学思想方法与数学内容的关系 (8)2.4数学思想方法教学的意义 (8)第三章数学思想方法教学的理论研究 (11)3.1高中数学教学中常见的数学思想方法 (11)3.1.1化归的思想方法 (11)3.1.2分类讨论思想的思想方法 (12)3.1.3函数与方程的思想方法 (13)3.1.4类比的思想方法 (13)3.2 数学学习与数学思想方法 (14)3.3高中数学教学中数学思想方法的教学原则 (16)3.3.1合理重建性原则 (16)3.3.2循序渐进原则 (17)3.3.3螺旋上升原则 (17)3.3.4系统安排原则 (17)3.3.5学生参与原则 (18)第四章高中立体几何内容中蕴含的数学思想方法 (19)4.1立体几何初步教材分析 (19)4.2高中数学立体几何初步内容中所蕴含的数学思想方法 (20)4.2.1化归与转化的思想方法 (20)4.2.2分类讨论的思想方法 (27)4.2.3函数与方程的思想方法 (28)V4.2.4类比思想 (30)第五章高中数学立体几何教学中渗透数学思想方法的实验研究 (33)5.1对高一学生掌握数学思想方法的现状调查 (33)5.1.1调查的对象及内容 (33)5.1.2调查的量化结果 (33)5.1.3 调查结果所反映的问题 (33)5.2立体几何教学中渗透化归思想方法的实践 (34)5.2.1 创设情境，多次使学生感性认识化归的目的 (34)5.2.2适时引导学生总结化归的策略 (35)5.2.3通过进行专题讲座，引领学生自主提升 (35)5.3渗透化归思想方法和分类讨论思想的教学案例 (35)5.4实验结果的对比分析 (39)5.4.1实验对象及内容 (39)5.4.2实验结果的对比分析 (40)5.4.3实验结果反映的问题 (41)第六章对渗透数学思想方法教学的再认识 (43)6.1 研究结果概述 (43)6.2对数学思想方法教学的意义的再认识 (43)6.3对渗透数学思想方法教学的再认识 (44)不足与展望 (45)参考文献 (47)致谢.................................................... 错误！未定义书签。
附录(A).. (51)VI第一章绪论第一章绪论1.1研究背景2003年中华人民共和国教育部颁发的《普通高中数学课程标准（实验）》中指出：“……使学生理解数学概念、定理、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法，追寻数学发展的足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”，同时也明确指出高中数学基础知识是指：“数学中的概念、性质、公式、法则、公理、定理以及由它们所反映出来的数学思想方法。
”由此可见数学基础知识，已经不能理解为课标和教材所规定的显性的教学内容，而应该是显性的数学知识和隐性的数学思想方法的有机结合。
从实施素质教育的高度来看，高中数学的教学目的、任务，不仅是使学生掌握基础知识、基本技能，还要培养学生的良好的思维品质并且具备一定的数学素养。
那么，数学思想方法作为数学基础知识的核心内容，显得更为重要。
美国著名的数学家乔治·波利亚在他的著作《数学的发现》中指出:“完善的数学思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路[1]。
”上海师范大学学生黄轶凤在她研究生毕业论文中指出:在学习数学的过程中，基本的数学思想方法的应用频率最高，并且不易被遗忘，于是它被反复地应用，两者相辅相成[2]。
由此可见，对学习者来说，掌握基本的数学思想方法是非常重要的。
因此，在教学过程中，教师必须有意识地去渗透数学思想方法。
随着新课改的日益推进，教师必须要有新的教法与新的课改理念相匹配，但是，很多教师（尤其是一大部分老教师）仍然按照自己以往的思路来教学，只注重结论的记忆、应用，而不注意分析概念、定理、公式等的形成过程;不能有意识的、合理的引导学生利用数学思想方法去把问题归类、总结，而是大搞题海战术，这样学生在数学上花了很多时间和精力，可是效果却不一定理想；在教学过程中，教师不注意解释新的知识（尤其是数学概念、定理、公式等）的发生、发展和应用过程的，没能及时挖掘出蕴含在这些过程中的丰富的思维因素，更不能将蕴含在知识中数学思想方法化隐为显的概括。
浅谈高中数学教学的思想方法渗透
谈教学中数学思想方法渗透
谈教学中关于数学思想方法的渗透数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
数学思想和方法又蕴含于知识的教学之中,又相对于知识的教学。
单纯的知识教学只显见于学生的知识积累,而思想和方法的教学则默化于能力的提高过程中。
其次,通过数学思想方法的训练可以培养学生良好的思维品质,对问题的理解达到深刻、灵活、严密、独创等程度要求,使学生具有一定的数学素质,解决相应的数学问题。
因此数学教学中,只有有意识、多途径、多角度反复渗透,才能使学生掌握并形成科学素质。
教学中如何渗透思想方法,我谈一些个人的做法和体会。
一、暴露思维教程教学时要充分暴露问题的提出过程,知识的形成过程,规律的发现过程和思维的探索过程。
只有这样,才能有效地培养学生的思维能力。
如《解析几何》必修p77例2:我国发射的一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地球的中心f2为一个焦点的椭圆,近地点a距地面439千米,远地点b距地面2384千米,地球半径约为6371千米。
求卫星的轨道方程。
直接根据题意,建立方程组{求a,c。
这样未免有点太突然,为什么这两点叫近地点和远地点,学生必然要问,因此把思维过程要充分暴露出来。
设p(x,y)是椭圆上任意一点,则|pf2|====||当x=-a|pf2|max=a+c当x=a|pf2|min=a-c二、启发思考数学思维方法是思维的高层次活动,是反复使用、长期思索的结果。
老师再强调它的重要性,学生再重视也难以领悟其内容实质,应给学生创设情境,启发学生思维,才会使学生突破思维障碍,体会其数学思想方法的重要性。
在一题多解、比较解法的优劣的训练中能体验到数学思想方法的优越性,这样长期的训练,不断地潜移默化,才能渗透。
例如:在《立体几何》中,求直线到平面的距离逐步转化为求点到平面的距离,进而转化为点到直线的距离。
另外点到平面的距离也可利用等体积转化法,利用等价转化的思想使问题得到一般性解决的全过程,以启发思维,培养能力。
高中数学人教A版新旧教材比较研究及教学思考---以立体几何为例
高中数学人教A版新旧教材比较研究及教学思考---以"立体几何"为例摘要：随着推动课程改革的方针的实施，教材也在这种趋势下发生了改变。
因而《立体几何》之所以被新版教材在编辑过程中放在一个重要的位置是有原因的，其对数学逻辑能力、推理论证能力、语言组织能力、几何想象的能力以及空间方向感都是一个极佳的思维锻炼过程。
学生在选择解题方法的时候，有不同的见解，教师需要根据学生的个性选择数学教学方法。
比较研究以及教学思考至关重要。
对此，就数学人教版A版新旧教材比较研究及教学思考进行分析探究。
关键词：高中数学；新旧教材；比较研究；教学思考引言：教材是教师教书育人的工具，是学生学习过程的得力帮手。
新教材较旧教材活跃，在教材的编写上练习题以及习题都发生了更新，着重培养学生独立思考和培养数学逻辑能力。
在大量的题目中，图形结合考察学生的思维能力，学生需要思考大量内容。
通过对知识的应用能够改善会书本知识但不会运用的情况。
正是这样，学生不仅仅是装着知识会背不会用。
学生书写出来时要求学生对知识掌握扎实、有严谨的数学逻辑能力以及推理能力和语言组织能力。
学生在解决立体几何时的解决过程能够培养学生的综合素养发展。
一、新旧教材交替的意义在我国因国际形势的需要和由于招生人数增加，知识性人才日益增多，国家对专业型人才的需求增大。
国家的进步需要创新，因此国家需要创新型人才。
所以我国需要对基础教育进行改革，在心理上冲破传统教育的枷锁。
通过设立适应时代需求的基础课程注重培养学生能力来满足人才市场的需求。
而数学教育对学生未来发展至关重要。
在这场数学教育改革中新旧教材发生交替，《立体几何》也是变化课程之一。
以《立体几何》为例，《立体几何》丰富学生想象力，将空间与图形联系在一起。
其可以应用于日常生活中。
二、新旧教材的比较研究新版教材需要学生获得必要的基础知识和做题方法以及做题技巧，了解应用、背景、数学内涵和方法。
学生通过自主学习或者小组合作学习去探究数学的奥秘。
立体几何教学中数学思想的培养
职 业 教 育
立体 几 何 教 学 中数 学 思 想 的培 养
罗胜 祥
摘 要 ：本文结合具体例子 ，从转化思想、分类思想、割补思想三个方面论述 了 培养学生数学思想的方法。 关 键 词 ：立体 几何 ；数 学思 想 ；转 化 ；分 类 ；割补
数 学 教学 中有 两 条 线 ，一 条 是 明线 ，即 数 学 知 识 ；一条 是 暗 线 ，即数 学 思 想 。传 统 教 学 重 “ 明” 轻 “ 暗” ，即 只 重视 知识 的传 授 ，轻 视 数 学 思想 的 培养 。这 种教学 上 的弊端 ，致 使学 生 听得懂 做 不 出 ， 这在 立体 几何 教 学 中尤 为 明显 ，所 以在 立 体 几 何 教 学 中重 视 渗 透 数 学 思 想 ，是 突破 学 习 障 碍 的 关 键 ，
养学 生严谨 地 解 决 问题 的 能力 。分类 思想 的 实质 是 将复 杂 问题 简单 化 ，解 决 分 类 问题 的关 键 ，确 定 合 理 的分类 标准 。 例 ：三个 平 面将空 间分 成几 部分 ？
笔者认为立体几何教学中应着重注意渗透以下几种
数 学思想 。 一Biblioteka 、转化思想 ・
８ ６・
・
教学教法 ・
如何 提 高思想 政 治课程 复 习 的有 效性
“ 对 症下 药 ” 。
相应 的考 试改 革 力 度 也 在 不断 加 大 ，考 查 学 生 的方
法也越来越灵活 ，考试 的主要 目的是考查学生能否 运用 课 本知 识及 用 所 学 知 识 去 观 察 、分 析 、解 决 社 会上 出现各种各样 的热点问题 ，以及能否正确地执 行党和政府 的路线 、方针 、政策 ，来检验 学生的综 合 运用 知识 能 力 和 思想 觉 悟 水 平 。 因此 ，社 会 热点 问题就成了近年来考试 的主要 内容 ，这就要求教师
浅谈如何在教学中渗透数学思想方法
浅谈如何在教学中渗透数学思想方法发表时间：2013-03-14T10:32:34.593Z 来源：《少年智力开发报》2012-2013学年20期供稿作者：夏雪[导读] 在一个人的一生中，最有用的不仅是数学知识，更重要的是数学的思想和数学的意识。
贵州省普定县白岩中学夏雪问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。
不管是数学概念的建立，数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题在于数学思想方法的培养和建立。
在一个人的一生中，最有用的不仅是数学知识，更重要的是数学的思想和数学的意识。
因此，在数学教学中，不仅要重视知识形成过程，还要十分重视挖掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的数学思想方法。
一、在备课中,有意识地体现数学思想方法教师要进行数学思想方法的教学，首先要有意识地从教学目的的确定、教学过程的实施，教学效果的落实等各个方面来体现，使每节课的教学、教育目的获得和谐的统一。
通过对教材完整的分析和研究，理清和把握教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴。
然后建立各类概念、知识点或知识单元之间的界面关系，归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规律。
因而，在备课时就必须把数学思想方法的教学从钻研教材中加以挖掘。
例如,在备《二元一次方程组》这一章时，就要挖掘方程思想、建模思想、化“未知”为“己知”、化“二元”为“一元”的化归思想方法。
二、以教材知识为载体，在教学中渗透数学思想方法数学教材是按数学内容的逻辑体系与认识理论的教学体系相结合的办法来安排的。
受篇幅的限制，教材内容较多显示的是数学结论，对数学结论里面所隐含的数学思想方法以及数学思维活动的过程，并没有在教材里明显地体现。
然而，数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含数学思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法。
这就要求教师在教学中，深入挖掘隐含在教材里的数学思想方法，精心设计课堂教学过程，展示数学思维过程，这样才有助于学生了解其中数学思想方法的产生、应用和发展的过程；理解数学思想方法的特征，应用的条件，掌握数学思想方法的实质。
高中数学《立体几何》教案设计
高中数学《立体几何》教案设计1一、教学目标1. 学生能够理解立体几何的基本概念，如点、线、面、体等。
2. 掌握空间图形的性质及求解方法，例如空间中直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等。
3. 培养学生的空间想象能力，使其能够在脑海中构建出各种立体图形。
4. 提升学生的逻辑思维能力，学会运用逻辑推理解决立体几何问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点- 立体几何的基本概念和空间图形的性质。
- 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判断方法。
- 求解空间图形的表面积和体积。
2. 教学难点- 培养学生的空间想象能力。
- 运用逻辑推理解决复杂的立体几何问题。
三、教学方法1. 直观教学法：通过模型展示、多媒体课件等直观手段，帮助学生理解抽象的立体几何概念。
2. 探究式教学法：引导学生分组搭建常见的立体几何模型，自主探究空间图形的性质。
3. 案例教学法：结合生活实例，让学生体会立体几何在实际生活中的应用。
四、教学过程1. 导入（5 分钟）- 教师提问：“同学们，在我们的日常生活中，有很多物体都具有立体的形状。
大家能不能举一些例子呢？”学生们纷纷回答，如足球是球体、魔方是正方体等。
- 教师总结：“同学们说得非常好！这些物体都属于立体几何的研究范畴。
今天，我们就一起来学习立体几何。
”2. 背景介绍（5 分钟）- 教师讲解：“立体几何是数学的一个重要分支，它主要研究空间中的点、线、面、体等几何元素的性质和关系。
早在古代，人们就开始对立体几何进行研究了。
比如，古埃及人在建造金字塔的时候，就运用了立体几何的知识。
”3. 作者介绍（可省略）4. 课本讲解（30 分钟）- 课本原文内容：立体几何的基本概念包括点、线、面、体。
点是空间中的一个位置，没有大小；线是由无数个点组成的，有长度但没有宽度和厚度；面是由线组成的，有长度和宽度但没有厚度；体是由面组成的，有长度、宽度和厚度。
- 分析：- 知识点：让学生理解点、线、面、体的定义和相互关系。
论数学思想方法在教学中的渗透
【 关键词】 数学思想方法； 渗透； 思维品质； 思维能力
中图分类号 ：６ ３ Ｃ ３ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：００—９９ （０ ６ Ｏ ０４ —０ １０ ７ ５ ２ ０ ）１— ０ １ ２
合运算与逻辑运算之 间可 以建立起同构关系 ， ， 因此 数学思想方法是人们通过教学 活动对数学知识 渗透集合思想便可使数学与逻辑更趋于统一。 从而利
应用过程得以实现。这种渗透与知识的传授是不 同 化抽象为具体等等 。在教学中。 化归思想可在多方面
的， 不应期望在短期 内即能取得 明显效果 。这是 因 进行渗透。从微观看 ， 如在不定方程 中， 多元” 化“ 为 为， 从知识和思想方 法的关 系看 ， 数学思想方 法总是 “ 二元” 在解不等式 中， “ ； 化 分式” 整式” 化 “ 为“ ， 高 隐含在知识里 ， 体现在揭示 、 应用知识的过程中， 它不 次” 低次” 在运 算中 ， 为“ ； 把减法运算转化为加法运
知识和独立获取知识 的能力 ， 进一步完 善认 知结构 ， 形成完整、 严密的数学知识体系 。
２ 渗透数 学思想方法的途径 恩格斯 曾说过 ： 、
“ 世界不是一成不变 的事物的集合体 ， 而是过程 的集 。对于数学而 言 ， 知识 的发生 过程 ， 际上也 实 ３ 类比思想 所谓类 比的思想方法是 ： 、 将相似的 合体 ” 象概念 的形 成过 事物加以对 比， 辨析其异 同的思维方法 。教材中类 比 就是 思想方法 的发 生过程。因此 ， 思想渗透在很多方面 ， 如概念类 比， 公式 、 定理、 性质 程 、 结论的推导过程 、 方法的思考过程、 问题的发现过 记忆的类比， 、 推理 证明 的类 比， 习方 法、 学 过程的类 程 、 规律的被揭示过程等等都蕴藏着向学生渗透数学 比， 知识结构类 比等 。如复数 的运算法则可类 比多项 方法的极好机会 。数学 问题解决过程实质是命题 的 数学思想 式运算来加以记忆等 ； 类比是一种最富有创造性的一 不断变换和数学思想方法反复运用 的过程 ；
活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法
活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法
立体几何是数学的一大分支，可以涵盖各方面的概念，以及许多数学思想方法。
在解决立体几何问题时，运用的概念包括分类、证明、概念、规划、构造、确定等等。
以下是活跃于立体几何问题的几种数学思想方法：
1. 构造法：构造法是在立体几何问题中采用的非常有效的数学思想。
构造法
允许以特定的形式和结构来构造几何图形，可以帮助我们处理和理解立体几何里复杂的问题。
2. 命题证明法：在数学中，证明是一个十分重要的集合。
在立体几何问题中，利用蕴含关系进行命题证明是一种有效而又基础的方法。
有助于识别更复杂的立体表达式，从而更清楚地理解其内容。
3. 向量分析法：向量的分析是一种非常有利的思想方法，在立体几何问题中，它可以用于提取平面与立体几何图形的特征，从而更为清晰地判断立体几何中的平面位置，有助于解决几何形状间相互运动的状态等问题。
4. 理论结构法：结构理论是一种对象、数据和过程之间的关系的描述性方法。
在立体几何问题中，结构理论主要是用来研究特定几何形状的性质，比如形状的对称性、四边形的角度和根据特定关系来画出平行线的思路等。
以上是活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法。
有助于学习者更深入地理
解和掌握立体几何知识，有效地运用这些思想方法，可以推动学习者解决更复杂的立体几何问题。
重视公式推导过程，渗透数学思想方法——“点到直线的距离公式”的教学思考
㊀㊀㊀重视公式推导过程,渗透数学思想方法点到直线的距离公式 的教学思考◉佛山市禅城区教育发展中心教学研究室㊀曾庚平㊀㊀摘要:基本思想和基本活动经验要在过程性教育中才能获得,要让学生经历数学知识发生发展的过程,在知识建构的过程中渗透数学思想方法．点到直线的距离公式的教学要重视公式探究过程,通过问题串启发和引导学生用多种方法推导公式,渗透坐标法㊁数形结合㊁特殊与一般㊁向量的工具性作用等数学思想方法,提升学生的逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算等素养．关键词:数学思想方法;过程性教育;公式推导;问题串㊀㊀１问题提出点到直线的距离公式是一个内涵丰富㊁联系广泛的内容,是渗透解析几何重要思想 先用几何眼光观察与思考,再用坐标法解决 的载体,是体现平面向量应用价值的重要内容．«普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)»对点到直线的距离公式的要求是 探索并掌握平面上两点间的距离公式㊁点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离 [１],在平面向量中指出 通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 , 会用向量方法解决简单的平面几何问题㊁力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用 [１]．所以点到直线的距离公式的教学重点应该放在如何探究和推导距离公式,在这个过程中感悟坐标法研究平面几何问题的思想㊁数形结合思想㊁特殊与一般思想㊁向量的工具性作用,提升学生的逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算等素养．比较人教社实验版教材和２０１９年版新教材(A 版),对于推导点到直线的距离公式给出了完全不同的处理．实验版教材在给出 写垂线方程ң求垂足ң求点到直线的距离 的思路之后,并没有用这种方法推导公式,而是给出了这样的评价 上述方法虽然思路十分自然,但具体运算较繁,下面我们采用另一种方法 [２],接着就转向用等面积法推导公式了．新教材在距离公式的推导上花了很大的篇幅．首先并不避讳直接求垂足这种看似繁琐,实则自然的方法．其次充分发挥向量在解决几何中有关距离和角度问题的巨大威力,用投影向量推导公式．此外,教材中通过两个问题 能否直接求出x －x ０()２＋y －y ０()２,进而求出P Q 呢?请你试一试?, 比较上述两种方法, ,你还有其他推导方法吗? [３],给教师预留了极大的教学拓展空间．遗憾的是,多数老师受到原有教学习惯的影响,并且认为用向量法推导公式时难以说清楚直线的单位法向量的问题,所以在教学时仍然按照旧教材的处理方法,快速推导出公式,然后就投入大量例题和练习上,让学生丧失了一次绝佳的探究机会．图１２推导公式主要方法及评析如图１,过点P x ０,y ０()作垂线P Q ʅl ,垂足为Q x ,y (),则点P 到直线l 的距离就是P Q ．事实上,有多种方法可以求P Q ,这些方法蕴含着丰富的数学思想方法,可以促进学生在不同知识之间建立联系,优化认知结构,提升思维品质．方法１(求垂足):先联立方程组求出垂足Q 的坐标,再根据两点间的距离公式求P Q ．评析:这种方法是把点到直线距离的几何定义翻译成代数表示,体现了解析几何的基本思想．此法思路自然,方法大众,易于程序化操作,对代数运算的要求比较高．但是,较为复杂的代数运算不应该成为将这种通法一避了之的理由．因为,解析几何是用代数的方法解决几何问题,承载着培养学生数学运算能力的任务,应该在一堂一堂的课中,在知识建构和应用中让学生经历公式的推导,方程的建立,性质的探索,问题的解决等过程,逐步提高运算求解能力．３３２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀案例评析教育教学Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀方法２(整体代换):设垂足Q x ,y (),则A x ＋B y ＋C ＝０,B x －A y ＝B x ０－A y ０,{所以A (x －x ０)＋B (y －y ０)＝－(A x ０＋B y ０＋C )㊀①B (x －x ０)－A (y －y ０)＝０②{由①２＋②２得:A ２＋B ２()x －x ０()２＋y －y ０()２[]＝A x ０＋B y ０＋C ()２,所以P Q ＝x －x ０()２＋y －y ０()２＝A x ０＋B y ０＋CA ２＋B ２．评析:作为六大核心素养之一的数学运算,不仅仅要算得对,还要算得好,这里的好就体现在懂得分析运算对象,灵活运用运算法则,选择恰当的运算方法．方法２是对方法１的优化,是在明确了运算的最终目标是计算x －x ０()２＋y －y ０()２,分析了方法１中引起复杂运算的原因是求x ,y 的基础上,瞻前顾后 ,整体代换,设而不求,达到简化运算的目的．方法３(投影向量法):以向量为工具,借助投影向量推导距离公式[３]．评析:向量是沟通代数与几何的桥梁,是解决几何中距离问题㊁角度问题的有力工具．在第一章 空间向量与立体几何 中,学生已经经历了用投影向量解决点到直线距离和点到平面距离的过程,这为用投影向量研究平面几何中点到直线的距离提供了思维的固着点,方法３能让学生再次感受向量方法在解决平面几何问题中的重要作用．方法３的关键是确定与直线l 垂直的单位向量,这要求学生会用联系的观点看直线方程,调动平面向量知识分析代数式的几何意义．事实上,在习题２．２第１１题中:若直线A x ＋B y ＋C ＝０过点P (x ０,y ０),则这条直线的方程可写成A (x －x ０)＋B (y －y０)＝０,该方程的左边可以看成是向量(A ,B )与向量(x －x ０,y －y ０)的数量积,进一步联想到两个向量垂直．图２方法４(等面积法):如图２,若l与坐标轴不垂直,过P 作与坐标轴垂直的直线,与直线l 交于R ,S ,解得R －B y ０＋C A,y ０æèçöø÷,S x ０,－A x ０＋C Bæèçöø÷,所以P R ＝x ０＋B y ０＋C A ＝A x ０＋B y ０＋CA,P S ＝y ０＋A x ０＋C B ＝A x ０＋B y ０＋CB,所以R S ＝P R２＋P S２＝A ２＋B ２A BA x ０＋B y ０＋C ．由三角形面积公式得P Q R S ＝P RP S ,所以P Q ＝P R P SR S ＝A x ０＋B y ０＋C A ２＋B ２．若l 与坐标轴垂直时,即A ＝０或B ＝０,上述公式也成立．评析:解析几何研究的是几何问题,几何是思考的缘起和归宿,重视挖掘平面图形的特征,能达到简化运算的目的．构造直角三角形也正是上一节课求两点间距离公式所采用的方法之一,通过面积相等建立方程,将难以直接计算的P Q 转化为水平和竖直的线段P R ㊁P S 的计算,化繁为简,化难为易．方法５(化斜为直):在方法４中,P Q ＝P R s i n øP R Q ,设直线l 的倾斜角为ααʂπ２æèçöø÷,则s i n øP R Q ＝s i n α,因为t a n α＝－AB,所以s i n ２α＝t a n ２α１＋t a n ２α＝A２A ２＋B２．所以P Q ＝P R s i n øP R Q ＝A x ０＋B y ０＋CA A A ２＋B ２＝A x ０＋B y ０＋C A ２＋B２．评析:从特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的过程．对于复杂的问题,常常从特殊情形入手能得出猜想,获得解决问题的基本思路,再将一般情形转化为特殊情形．本题中当l 与坐标轴垂直是特殊而简单的情形,方法５将一般的 倾斜的 情形化为特殊的 水平的或者竖直的 情形,求出点到直线的距离公式,蕴含了特殊与一般㊁转化与化归的思想方法,也体现了坐标系在研究几何问题中的作用．此外,方法５还要调动三角函数的有关知识,有助于培养学生解决综合问题的能力．３公式推导的教学设计基于上述分析,给出点到直线的距离公式推导的教学设计,突出以问题串启发学生思考,引导学生探究,鼓励学生用多种方法解决问题,比较和总结不同方法的特点．其中问题３带有一定的开放性,教学中注意即时生成,不一定完全按照预设的顺序给出另外三种推导方法,要鼓励学生大胆尝试,勇敢表达,老师注意寻找其表达中合理的部分,因势利导,形成思路,自４３教育教学案例评析㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年４月上半月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀然而然生成知识,提升能力．引导语:与点㊁直线有关的距离问题是平面几何中关注的问题．上一节课我们已经学习了两点间的距离公式,本节课我们继续研究点到直线的距离问题．问题１:已知点P x ０,y ０()是直线l :A x ＋B y ＋C＝０外一点,如何定义点P 到直线l 的距离?如何求点P 到直线l 的距离设计意图:回顾点到直线距离的定义:过点P 作P Q ʅl ,垂足为Q ,P Q 就是点P 到直线l 的距离,所以求距离就是求P Q ,自然引出 求垂足 的方法．教师给时间让学生写出直线P Q 的方程,联立方程组求垂足Q 的坐标,利用两点间距离公式求出P Q ,推导点到直线的距离公式．问题２:上述方法中,我们根据点到直线距离的定义,将点到直线的距离转化为两点间的距离,思路自然但运算量大．反思求解过程,引起复杂运算的原因是是什么,你能否给出简化运算的方法?追问１:因为P Q ＝x －x ０()２＋y －y ０()２,能否直接求出x －x ０()２＋y －y ０()２,进而求出P Q ?追问２:如何将直线l 和P Q 的方程写成含有x －x ０,y －y ０的形式?追问３:结合两种推导方法,谈谈如何简化代数运算?设计意图:引导学生对求垂足的方法进行反思,分析引起复杂运算的原因是求直线和垂线的交点．不求交点,整体求出x －x ０()２＋y －y ０()２也可以求出P Q ．追问启发学生将直线P Q :B x －A y ＝Bx ０－A y ０写成B x －x ０()－A y －y ０()＝０,将直线l :A x ＋B y ＋C ＝０改写为A x －x ０()＋B y －y ０()＝－A x ０＋B y ０＋C (),再通过观察式子特点,进行整体代换,大大简化运算过程．问题３:回忆上一节课推导两点间距离公式的方法,能用这些方法探究点到直线的距离吗?问题４:向量是解决距离问题㊁角度问题的有力工具,如何用向量表示点到直线的距离?追问１:什么叫投影向量?它跟距离有什么关系?追问２:如何利用直线l 的方程,求出与l 垂直的单位向量n 习题２．２第１１题能给我们什么启示?问题５:由点向直线作的垂线段可以看成三角形的高,如何构造三角形求点到直线的距离?设计意图:让学生从上一节课的推导方法得到启发,思考能否用平面向量或者借助直角三角形探究公式．让学生自己想到平面向量的方法难度较大,所以要引导学生回顾平面向量的知识,将距离和投影向量联系起来,并结合教材习题,启发学生思考如何求与l 垂直的单位向量n ．构造直角三角形的方法对学生难度不大,这种方法也为 化斜为直 方法作铺垫．问题６:在问题５中, 水平 或者 竖直 的线段长度直接用坐标之差的绝对值就可以表示,能否借助这两种特殊情形来求 倾斜 的垂线段的长度呢?追问:还需要知道哪个量?如何求出?设计意图:在坐标系这一工具下,与坐标轴平行的线段长度能够快速求出,一般情况下的垂线段是倾斜 的,所以化一般为特殊,借助特殊情形来推导一般情形．其中的关键是借助几何图形,结合刻画倾斜程度的量倾斜角和斜率．问题７:谈谈你对后面三种推导方法的体会．设计意图:让学生对不同的方法进行比较,总结其中蕴含的数学思想方法．４结语新课标强调通过高中数学课程的学习,让学生获得 四基 ,如何帮助学生获得数学基本思想和基本活动经验是教师在进行教学设计中要认真考虑的．忽视概念抽象环节,跳过公式推导过程,试图以大量做题促进理解,以高强度技能训练代替思维训练是无法让学生感悟思想方法㊁积累活动经验的．基本思想和基本活动经验只有在过程性教育中才能获得,所以要重视让学生经历数学知识发生发展的过程,在知识建构的过程中渗透数学思想方法,让核心素养自然落地课堂．参考文献:[１]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[M ]．北京:人民教育出版社,２０２０:４３Ｇ４４,２６Ｇ２６．[２]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书:必修２[M ]．北京:人民教育出版社,２００７:１０６Ｇ１０７．[３]人民教育出版社,课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心．普通高中教科书(A 版):选择性必修第一册[M ]．北京:人民教育出版社,２０１９:７５Ｇ７６．５３２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀案例评析教育教学Copyright ©博看网. 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转化与化归思想在立体几何中的应用
龙源期刊网 转化与化归思想在立体几何中的应用作者：赵成激来源：《新教育时代·学生版》2019年第47期摘要：立体几何教学中转化与化归思想是解决问题的重要方法，通过转化与化归思想的应用将问题转化为学生熟悉的方式，以此更好地对问题进行解答。
本文先阐述转化与化归思想概述以及作用，接着分析转化与化归思想在立体几何中的应用，最后提出轉化与化归思想在立体几何中应用中应该注意的问题，以便更好地提升立体几何的学习效果。
关键词：转化化归思想立体几何立体几何知识学习经常会遇到学生感觉有困难的知识内容，这就需要对问题进行观察、分析，以此对问题进行解决，通过一定方法对问题进行转化，将原来的问题转化为新的问题，变成对于学生来说相对熟悉的问题，通过这种方式对问题进行分析、解决，以此达到对问题解决的目的，这种思想方法也就是化归和转化。
[1]一、转化与化归思想概述化归与转化思想实质就是揭示问题之间的联系，也就是实现转化。
除了较为简单的问题，几乎每个数学问题都需要进行相应的转化。
从这个层面上来说，化归与转化思想就是对问题进行一步步地转化。
数学中问题的转化就是将未知的问题向已知的问题进行转化，将新的知识向旧的知识进行转化，命题的转化，数形、空间平面的转化等，这些都是转化思想的应用。
[2]转化可以分为等价转化和非等价转化两个部分，等价转化条件具有一定的等价性，在不得已的情况下，在进行不等价转化时，要设置一些附加条件，以此保持具有等价性。
立体几何教学中转化、化归思想贯穿始终，这也是对立体几何进行学习的重要方法，具体来说有以下几个方面：将立体几何的相关问题转化为平面几何的问题，也就是将立体转化为平面，这是对立体几何知识进行解决的原则。
例如线面角、二面角等，在对这些空间角进行解决时，一般都要将其转化为平面的形式进行处理，最终以解决三角形的方式对问题进行解决。
在学习平行与垂直。