湖南省长沙市2016年高考考前冲刺30天训练(一)数学(文)试卷 Word版含解析
2016届湖南省高考数学冲刺卷(理科)(1)(解析版)
湖南省2016年高考数学冲刺卷（理科）（1）（解析版）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，A={x|x＞3}，B={x|≥﹣1}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，3] B．[﹣1，3）C．[﹣1，+∞）D．（3，+∞）2．若复数z满足（1+i）z=（3+i）i，则|z|=（）A．B．C．D．3．若双曲线﹣=1的一条渐近线过点（2，3），则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．4．（2﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为（）A．﹣10 B．10 C．﹣15 D．155．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则f（）=（）A．B．C．D．6．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞1）=0.02，则P（﹣1≤ξ≤1）=（）A．0.04 B．0.64 C．0.86 D．0.967．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，若0≤x≤1时，f（x）=x，则f（﹣1）+f（﹣2017）=（）A．0 B．C．1 D．28．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．设x，y满足，且z=ax﹣2y的最小值是1，则实数a=（）A．﹣4 B．1 C．﹣4或1 D．﹣1或411．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数），设a ij（i，j∈N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42=8，若a ij=2010，则i，j的值的和为（）A．75 B．76 C．77 D．7812．已知函数f（x）=，a∈R，若对任意非零实数x1，存在非零实数x2（x1≠x2），使得f（x2）=f（x1），则实数k的最小值（）A．B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，均为单位向量，与夹角均为，则|﹣2|=．14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人．15．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB+bcosA=3a，则=．16．已知半圆C：x2+y2=1（y≥0），A，B分别为半圆C与x轴的左右交点，直线m过点B且与x轴垂直，T是圆弧上的一个三等分点，连接AF并延长至直线m于S，则四边形OBST的面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=1﹣a n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=4（n+1）a n，T n是数列{b n}的前n项和，n∈N*，求T n．18．如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD﹣B′C′D′，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点（Ⅰ）求证：平面BC′D∥面AB′D′；（Ⅱ）求面AB′D′与面ABD所成锐二面角的余弦值．19．某校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10数学平均名次物理平均名次1.32.312.39.725.731.036.722.350.340.067.758.049.039.052.060.740.063.334.342.7学生序号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20数学平均名次物理平均名次78.349.750.046.765.783.366.359.768.050.095.0101.390.776.787.786.0103.799.786.799.0学校规定：平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．（1）对名次优秀赋分2，对名次不优秀赋分1，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用ξ表示这2名学生两科名次赋分的和，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据这次抽查数据列出2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下的物理成绩和数学成绩有关？附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2＞k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820．已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，a∈R．（1）若函数f（x）在x=﹣1时取极值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．21．设F1、F2分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点D为椭圆E的左顶点，且|CD|=，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）对于正常数λ，如果存在过点M（x0，0）（﹣a＜x0＜a）的直线l与椭圆E交于A、B两点，使得S△AOB=λS△AOD（其中O为原点），则称点M为椭圆E的“λ分点”．试判断点M（1，0）是否为椭圆E 的“2分点”．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图所示，AB是圆O的直径，延长BA至C，使AC=BC，过C作圆O的切割线交圆O于M、N 两点，且AM=MN．（1）证明：∠AOM=∠ABN；（2）若MN=2，求AN的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016湖南模拟）已知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1、C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]24．2（ab+bc+ca）+3≤1（2）a2+b2+c2．2016年湖南省高考数学冲刺卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，A={x|x＞3}，B={x|≥﹣1}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，3] B．[﹣1，3）C．[﹣1，+∞）D．（3，+∞）【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|x＞3}，B={x|≥﹣1}，∴∁U A={x|x≤3}，则（∁U A）∩B={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集补集的定义是解决本题的关键．2．若复数z满足（1+i）z=（3+i）i，则|z|=（）A．B．C．D．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=（3+i）i，（1﹣i）（1+i）z=（3i﹣1）（1﹣i），∴2z=4i+2，∴z=1+2i．∴|z|=．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．若双曲线﹣=1的一条渐近线过点（2，3），则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C． D．【分析】求出双曲线的渐近线，建立a，b的关系，结合双曲线离心率的公式进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，∵双曲线﹣=1的一条渐近线过点（2，3），∴（2，3）在y=x上，即2×=3，即=，则双曲线的离心率e=====，故选：D【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点与渐近线的关系求出a，b的关系是解决本题的关键．4．（2﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为（）A．﹣10 B．10 C．﹣15 D．15【分析】（2﹣x）（1+x）5的展开式中x3的项由两种可能，化简计算．【解答】解：（2﹣x）（1+x）5的展开式中x3的项为2+（﹣x）=10x3；故（2﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为10；故选B．【点评】本题考查了二项展开式的特征项的系数问题；关键是熟练二项式定理，明确展开式的通项．5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则f（）=（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值，代入进行求解即可．【解答】解：由图象得A=2，T=﹣（）=π，则T==，得ω=，则f（x）=2sin（x+φ），由五点对应法得×+φ=，即φ=﹣=，则f（x）=2sin（x+），则f（）=2sin（×+）=2sin（+）=2cos=2×=，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．6．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞1）=0.02，则P（﹣1≤ξ≤1）=（）A．0.04 B．0.64 C．0.86 D．0.96【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），得到正态曲线关于x=0对称，根据P（ξ＞1）=0.02，得到对称区间上的概率，从而可求P（﹣1≤ξ≤1）．【解答】解：由随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而P（ξ＞1）=0.02，则P（ξ＜﹣1）=0.02，故P（﹣1≤ξ≤1）=1﹣P（ξ＞1）﹣P（ξ＜﹣1）=0.96，故选：D．【点评】本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，若0≤x≤1时，f（x）=x，则f（﹣1）+f（﹣2017）=（）A．0 B．C．1 D．2【分析】由函数的奇偶性和周期性得f（﹣1）=f（1）=1，f（﹣2017）=f（2017）=f（1）=1，由此能求出f（﹣1）+f（﹣2017）的值．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且最小正周期为2，0≤x≤1时，f（x）=x，∴f（﹣1）=f（1）=1，f（﹣2017）=f（2017）=f（1）=1，∴f（﹣1）+f（﹣2017）=1+1=2．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，n=2，满足进行循环的条件，第二次执行循环体后，S=，n=3，满足进行循环的条件，第三次执行循环体后，S=，n=4，满足进行循环的条件，第四次执行循环体后，S=，n=5，满足进行循环的条件，第五次执行循环体后，S=，n=6，不满足进行循环的条件，故输出的S值为，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】几何体为底面为长方形，长为2，宽为1，高为2的棱柱，切去一个棱台，上底面为直角三角形，直角边为1，，下底面为直角三角形，直角边为2，1，即可求出体积．【解答】解：几何体为底面为长方形，长为2，宽为1，高为2的棱柱，切去一个棱台，上底面为直角三角形，直角边为1，，下底面为直角三角形，直角边为2，1，故体积为1×2×2﹣=．故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．10．设x，y满足，且z=ax﹣2y的最小值是1，则实数a=（）A．﹣4 B．1 C．﹣4或1 D．﹣1或4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：不等式则对应的平面区域为角形区域，由，解得，故最小值应该在点（，）处取得，则a﹣2=1，解得a=﹣4，或a=1，当a=1时，不等式组为，此时目标函数为z=x﹣2y，即y=，此时直线经过A（1，0），满足条件z=1，当a=﹣4时，则不满足条件，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表（每行比上一行多一个数），设a ij（i，j∈N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42=8，若a ij=2010，则i，j的值的和为（）A．75 B．76 C．77 D．78【分析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，前31个偶数行内数的个数的和为992，前32个偶数行内数的个数的和为1056个，得到第1005个偶数2010在第32个数数行内，确定2010是第几行第几列的数字，得到结果．【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行中的数都是奇数，偶数行中的数都是偶数，2010=2×1005，∴2010为第1005个偶数，∵前31个偶数行内数的个数的和为992，前32个偶数行内数的个数的和为1056个，∴第1005个偶数2010在第32个数数行内，即i=64，又由1005﹣992=13得：j=13，∴i+j=64+13=77．故选C．【点评】本题考查简单的演绎推理，考查数列的特点，是一个综合题，这种题目是我们经常见到的问题，是一个比较新颖的题目，注意观察分析数字的排列规律．12．已知函数f（x）=，a∈R，若对任意非零实数x1，存在非零实数x2（x1≠x2），使得f（x2）=f（x1），则实数k的最小值（）A．B．C． D．【分析】利用函数的连续性，列出方程，通过方程有实数解，得到不等式求解k的范围即可．【解答】解：函数f（x）=，a∈R，则x=0时，f（x）=2k（1﹣a2）．对任意非零实数x1，存在非零实数x2（x1≠x2），使得f（x2）=f（x1），∴函数必须是连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等．（a﹣4）2=2k（1﹣a2），a∈R，所以k≠0，即（2k+1）a2﹣8a+16﹣2k=0有实数解．∴△=82﹣4（2k+1）（16﹣2k）≥0．整理得：2k2﹣15k≥0，解得k≥．或k＜0，当k＜0时，k没有最小值．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的连续性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，均为单位向量，与夹角均为，则|﹣2|=．【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：向量，均为单位向量，与夹角均为，则|﹣2|2=||2﹣4||||cos+|4|2=1﹣4×1×1×+4×1=3，∴|﹣2|=故答案为：【点评】本题考查向量的模长公式，涉及向量的数量积的运算，属基础题．14．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出25人．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出2500×=25人．故答案为：25．【点评】本题考查频率分布直方图与分层抽样的规则，解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率，再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数．15．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB+bcosA=3a，则=3．【分析】先利用正弦定理把a和b的表达式代入acosB+bcosA中，利用了两角和公式化简整理，求得acosB+bcosA=2RsinC，进而把2RsinC转化成边，即可得解．【解答】解：由正弦定理得：，∴左=acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（B+A）=2RsinC=c=右=3a，∴=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成了边角问题的互化，属于基本知识的考查．16．已知半圆C：x2+y2=1（y≥0），A，B分别为半圆C与x轴的左右交点，直线m过点B且与x轴垂直，T是圆弧上的一个三等分点，连接AF并延长至直线m于S，则四边形OBST的面积为或．【分析】由题意，∠SAB=60°或∠SAB=30°．再分类讨论，即可求出四边形OBST的面积．【解答】解：由题意，∠SAB=60°或∠SAB=30°．∠SAB=60°，直线AT的方程为y=（x+1），x=1，y=2，∴四边形OBST的面积为﹣=；∠SAB=30°，直线AT的方程为y=（x+1），x=1，y=，∴四边形OBST的面积为=．故答案为：或．【点评】本题考查四边形OBST的面积，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=1﹣a n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=4（n+1）a n，T n是数列{b n}的前n项和，n∈N*，求T n．【分析】（1）求数列{a n}的通项公式；（2）利用错位相减法进行求解．【解答】解：（1）∵S n=1﹣a n，∴S n+1=1﹣a n+1，两式相减得S n+1﹣S n=1﹣a n+1﹣（1﹣a n）=a n﹣a n+1，即a n+1=a n﹣a n+1，则2a n+1=a n，则=，当n=1时，a1=1﹣a1，解得a1=，即数列{a n}是以a1=为首项，公比q=的等比数列，则a n=（）n﹣1=；（2）b n=4（n+1）a n=4（n+1）；则T n=4[2×（）1+3×（）2+…+n×（）n﹣1+（n+1）（）n]，于是T n=4[2×（）2+3×（）3+…+n×（）n+（n+1）×（）n+1]，两式相减得T n=4[2×（）1+（）2+…+（）n﹣（n+1）×（）n+1]=4[1+﹣（n+1）×（）n+1]=4[]=∴T n=12﹣（n+3）（）n﹣2．【点评】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查数列求和，要求熟练掌握错位相减法．18．如图，所有棱长都为2的正三棱柱BCD﹣B′C′D′，四边形ABCD是菱形，其中E为BD的中点（Ⅰ）求证：平面BC′D∥面AB′D′；（Ⅱ）求面AB′D′与面ABD所成锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）取B′D′的中点为F，连AF，C′F，由已知得AFC′E为平行四边形，由此能证明平面BC′D ∥面AB′D′．（Ⅱ）连结EF，由已知得面AB′D′与面ABD所成锐二面角为∠EAF，由此能求出面AB′D′与面ABD所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图取B′D′的中点为F，连AF，C′F，∵正三棱柱BCD﹣B′C′D′，四边形ABCD是菱形，∴B′D′∥BD，C′F AE，∴AFC′E为平行四边形．∴AF∥C′E，又BD∩C′E=E，∴平面BC′D∥面AB′D′．（Ⅱ）解：连结EF，由已知得EF⊥平面ABD，∴面AB′D′与面ABD所成锐二面角为∠EAF，∵所有棱长都为2的正三棱柱BCD﹣B′C′D′，四边形ABCD是菱形，∴EF=2，AE==，AF==，∴cos∠EAF===，∴面AB′D′与面ABD所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线角、线面角、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．19．某校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10数学平均名次物理平均名次1.32.312.39.725.731.036.722.350.340.067.758.049.039.052.060.740.063.334.342.7学生序号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20数学平均名次物理平均名次78.349.750.046.765.783.366.359.768.050.095.0101.390.776.787.786.0103.799.786.799.0学校规定：平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．（1）对名次优秀赋分2，对名次不优秀赋分1，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用ξ表示这2名学生两科名次赋分的和，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据这次抽查数据列出2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下的物理成绩和数学成绩有关？附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2＞k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【分析】（1）ξ可能的取值为4，5，6，7，8．求出概率得到分布列，然后求解期望．（2）列出2×2列联表，求出K2的观测值，然后推出结果．【解答】解：（1）ξ可能的取值为4，5，6，7，8．又，，故ξ的分布列为ξ 4 5 6 7 8Pξ的数学期望．（2）根据这次抽查数据及学校的规定，可列出2×2列联表如下：数学优秀数学不优秀合计物理优秀 4 2 6物理不优秀 2 12 14合计 6 14 20假设物理成绩与数学成绩无关，根据列表中数据，得K2的观测值，因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩与数学成绩有关．【点评】本题考查离散性随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力．20．已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，a∈R．（1）若函数f（x）在x=﹣1时取极值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性．【分析】（1）求导f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=xe x（ax+2a+1）；令f′（﹣1）=﹣e﹣1（﹣a+2a+1）=0，从而解得；（2）由（1）知，f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=xe x（ax+2a+1）；分类讨论以确定导数的正负，从而确定函数的单调性．【解答】解：（1）f′（x）=（2ax+1）e x+（ax2+x﹣1）e x=xe x（ax+2a+1）；则f′（﹣1）=﹣e﹣1（﹣a+2a+1）=0，解得，a=﹣1；故a=﹣1时，f′（x）=﹣xe x（x+1）；经检验在x=﹣1处有极小值．（2）①当a=0时，f′（x）=xe x，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；②当2a+1=0，即a=﹣时，f′（x）=﹣x2e x≤0，故f（x）在R上是减函数；③当a＞0时，f′（x）=axe x（x+）；当x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，﹣），（0，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）在（﹣，0）上是减函数，在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上是增函数；④当﹣＜a＜0时，f′（x）=axe x（x+）；当x∈（0，﹣）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣∞，0），（﹣，+∞）时，f′（x）＜0；故f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上是减函数，在（0，﹣）上是增函数；⑤当a＜﹣时，f′（x）=axe x（x+）；当x∈（﹣，0）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣），（0，+∞）时，f′（x）＜0；故f（x）在（﹣，0）上是增函数，在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上是减函数．【点评】本题考查了导数的综合应用，同时重点考查了分类讨论的应用，属于中档题．21．设F1、F2分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点D为椭圆E的左顶点，且|CD|=，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）对于正常数λ，如果存在过点M（x0，0）（﹣a＜x0＜a）的直线l与椭圆E交于A、B两点，使得S△AOB=λS△AOD（其中O为原点），则称点M为椭圆E的“λ分点”．试判断点M（1，0）是否为椭圆E 的“2分点”．【分析】（1）利用已知条件，列出方程求解椭圆的几何量，即可得到结果．（2）如果点M为椭圆C的“2分点“，即有S△AOB=2S△AOD，设直线l的方程为x=my+x0，代入椭圆方程，运用韦达定理，计算即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意F1、F2分别为椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点D为椭圆E的左顶点，且|CD|=，椭圆的离心率为．可得：得a2=4，b2=1，椭圆E的方程为．（2）假设M是椭圆E的“2分点”，则存在过点M的直线l与椭圆E交于A、B两点，使得S△AOB=2S△AOD，显然直线l与y轴垂直，设l：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．由，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，所以，①．②因为S△AOB=2S△AOD，∴．由②知y1y2＜0，∴y2=﹣3y1，③将③代入①得，④将③代入②得，⑤将④代入⑤得，无解．所以点M（1，0）不是椭圆E的“2分点”．【点评】本题主要考查新定义的理解和运用，考查椭圆的方程和性质，同时考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图所示，AB是圆O的直径，延长BA至C，使AC=BC，过C作圆O的切割线交圆O于M、N 两点，且AM=MN．（1）证明：∠AOM=∠ABN；（2）若MN=2，求AN的长．【分析】（1）连接AN，说明AN⊥BN，BN∥OM，然后证明∠AOM=∠ABN．（2）根据切割线定理得，CM×CN=CA×CB=3OA2，求出BN，在Rt△ABN中，求解AN即可．【解答】解：（1）连接AN，∵AB是圆O的直径，∴AN⊥BN，∵AM=MN，∴OM⊥AN，∴BN∥OM，∴∠AOM=∠ABN．（2）∵，∴AC=AO，∵OM∥BN，∴，∴MN=2，∴CM=4，∴CN=6，根据切割线定理得，CM×CN=CA×CB=3OA2，∴，又，∴，在Rt△ABN中，AN2=AB2﹣BN2=32﹣18=14，∴．【点评】本题考查与圆有关的线段成比例问题，切割线定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016湖南模拟）已知圆C1的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（Ⅰ）将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆C1、C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2φ+cos2φ=1即可；对于曲线C2利用极坐标与直角坐标的互化公式即可化简；（Ⅱ）先求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差进行比较即可判断出两圆的位置关系；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，利用两点间的距离公式即可．【解答】解：（I）由得x2+y2=1即为圆C1的普通方程．又∵ρ=2cos（θ+）=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ．∴x2+y2﹣x+y=0，即．（II）圆心距，得两圆相交．由两圆的方程联立得，解得或即A（1，0），B，∴．【点评】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系判定方法及两点间的距离公式是解题的关键．[选修4-5：不等式选讲]24．2（ab+bc+ca）+3≤1（2）a2+b2+c2．【分析】利用条件，两边平方，利用基本不等式，即可证得结论．【解答】证明：（1）∵a+b+c=1，∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=1，∴2（ab+bc+ca）+3≤1（2）∵a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
湖南省长沙市长郡中学2016届高考数学模拟卷一文PDF无答案
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湖南省2016年高考数学冲刺卷(文科)(3) Word版含解析
2016年湖南省高考数学冲刺卷（文科）（3）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i2．集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，3，4} B．{1，2，3}C．{0，4}D．{0}3．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（）A．k≤3 B．k≤4 C．k≤5 D．k≤64．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若=3，则=（）A．2 B．C．D．l或25．有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny⇒x+y=π或x=y；p2：∀x∈R，sin2+cos2=1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosx﹣cosy；p4：∀x∈[0，]，=cosx．其中真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p46．若实数x，y满足不等式组，且z=y﹣2x的最小值等于﹣2，则实数m的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．27．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π8．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x=t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）A．B．C．D．10．在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy=1（x＞0）上任意一点，l是曲线C在点P 处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则下列结论正确的是（）A．△OAB的面积为定值2B．△OAB的面积有最小值为3C．△OAB的面积有最大值为4D．△OAB的面积的取值范围是[3，4]11．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点p在双曲线的右支上，且（O为坐标原点），若|，则该双曲线的离心率为（）A． +B．C． +D．12．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（，0）B．（，2] C．[，2）D．[，2]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函f（x）=，则f（f（））=．14．已知||=1，||=2，∠AOB=，=+，则•=．15．某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是．16．如图，在△ABC中，sin=，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=，则cosC=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）（1）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）•，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．（Ⅱ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API （记为w）的关系式为：S=若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．19．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，∠ABC=90°，且SA=AB，点M是SB的中点，AN⊥SC且交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）当AB=BC=1时，求三棱锥M﹣SAN的体积．20．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]（e为自然对数的底数）上有实数解，求实数m的取值范围；（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=3，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|﹣|x+3|（1）解不等式f（x）＞2；（2）若不等式f（x）≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒成立，求实数k的取值范围．2016年湖南省高考数学冲刺卷（文科）（3）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（）A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可．【解答】解：（z﹣i）（2﹣i）=5⇒z﹣i=⇒z=+i=+i=+i=2+2i．故选D．2．集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，3，4} B．{1，2，3}C．{0，4}D．{0}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）={0，4}．故选：C．3．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（）A．k≤3 B．k≤4 C．k≤5 D．k≤6【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0，k=1时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=1，k=2，当S=1，k=2时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=6，k=3，当S=6，k=9时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=21，k=4，当S=21，k=4时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=58，k=5，当S=58，k=5时，满足输出条件，故判断框中应填入的条件为k≤4，故选：B．4．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若=3，则=（）A．2 B．C．D．l或2【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，=3，∴=1+q2=3，∴q2=2，∴====．故选：B．5．有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=siny⇒x+y=π或x=y；p2：∀x∈R，sin2+cos2=1；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosx﹣cosy；p4：∀x∈[0，]，=cosx．其中真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p1，p4D．p2，p4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据三角函数的定义及周期性，可判断p1；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p2；根据两角差的余弦公式，可判断p3；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p4．【解答】解：p1：若sinx=siny⇒x+y=π+2kπ或x=y+2kπ，k∈Z，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：∀x∈R，sin2+cos2=1，故正确；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny，与cosx﹣cosy不一定相等，故错误；p4：∀x∈[0，]，==|cosx|=cosx，故正确．故选：D．6．若实数x，y满足不等式组，且z=y﹣2x的最小值等于﹣2，则实数m的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z=y﹣2x的最小值等于﹣2，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：由z=y﹣2x，得y=2x+z，作出不等式对应的可行域，平移直线y=2x+z，由平移可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最小值为﹣2，即y﹣2x=﹣2，由，解得，即A（1，0），点A也在直线x+y+m=0上，则m=﹣1，故选：A7．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C8．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．【解答】解：3cos2α=sin（﹣α），可得3cos2α=（cosα﹣sinα），3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，上式化为：sinα+cosα=，两边平方可得1+sin2α=．∴sin2α=．故选：D．9．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x=t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】直接利用图形的形状，结合图象，判断不满足的图形即可．【解答】解：由函数的图象可知，几何体具有对称性，选项A、B、D，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反．选项C，后面是直线增加，不满足题意；故选：C、10．在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy=1（x＞0）上任意一点，l是曲线C在点P 处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则下列结论正确的是（）A．△OAB的面积为定值2B．△OAB的面积有最小值为3C．△OAB的面积有最大值为4D．△OAB的面积的取值范围是[3，4]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设P（a，），求出曲线C在点P处的切线方程，再计算面积，即可得出结论．【解答】解：由题意，y=（x ＞0），则y ′=﹣设P （a ，），则曲线C 在点P 处的切线方程为y ﹣=﹣（x ﹣a ），x=0可得y=；y=0可得x=2a ，∴△OAB 的面积为=2，即定值2，故选：A ．11．已知 F 1，F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点，点p 在双曲线的右支上，且（O 为坐标原点），若|，则该双曲线的离心率为（ ）A ．+B ．C ．+ D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用，可得，设=x ，则=，利用勾股定理，求出x=c ，由双曲线的定义可得x ﹣x=2a ，代入即可得出结论．【解答】解：∵（O 为坐标原点），∴，∴，设=x ，则=，∴x 2+2x 2=4c 2，∴x=c ，由双曲线的定义可得x ﹣x=2a ，∴（﹣1）•c=2a ，∴e==+．故选：A ．12．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（，0）B．（，2] C．[，2）D．[，2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=f（x+4），推出函数的周期是4，根据函数f（x）是偶函数，得到函数f （x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论．【解答】解：由f（x）=f（x+4），得函数f（x）的周期为4，∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴若x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，则f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1=f（x），即f（x）=2x﹣1，x∈[0，2]，由f（x）﹣log a（x+2）=0得f（x）=log a（x+2），作出函数f（x）的图象如图：当a＞1时，在区间（﹣2，6）要使方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数根，则等价为函数f（x）与g（x）=log a（x+2）有3个不同的交点，则满足，即，即，解得＜a≤2，故a的取值范围是（，2]，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函f（x）=，则f（f（））=．【考点】分段函数的应用；函数的值；对数的运算性质．【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．14．已知||=1，||=2，∠AOB=，=+，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积运算，进行计算即可．【解答】解：因为||=1，||=2，∠AOB=，且=+，所以•=•（+）=+•=×12+×1×2×cos=．故答案为：．15．某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是0.7．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】至少有一听不合格的对立事件是两听都合格，由此利用对立事件的概率公式能求出检测出至少有一听不合格饮料的概率．【解答】解：∵至少有一听不合格的对立事件是两听都合格，∴检测出至少有一听不合格饮料的概率：p=1﹣=0.7．故答案为：0.7．16．如图，在△ABC 中，sin =，AB=2，点D 在线段AC 上，且AD=2DC ，BD=，则cosC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos ∠ABC 的值，设BC=a ，AC=3b ，由AD=2DC得到AD=2b ，DC=b ，在三角形ABC 中，利用余弦定理得到关于a 与b 的关系式，在三角形ABD 和三角形DBC 中，利用余弦定理分别表示出cos ∠ADB 和cos ∠BDC ，由于两角互补，得到cos ∠ADB 等于﹣cos ∠BDC ，两个关系式互为相反数，得到a 与b 的另一个关系式，求出a ．，b 即可得到结论．【解答】解：因为sin =，所以cos ∠ABC=1﹣2sin 2=1﹣2×（）2=1﹣2×=，在△ABC 中，设BC=a ，AC=3b ，由余弦定理可得：①在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得：，，因为cos ∠ADB=﹣cos ∠BDC ，所以有=，所以3b 2﹣a 2=﹣6 ②由①②可得a=3，b=1，即BC=3，AC=3．则cosC==，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=（n ∈N *）（1）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）•，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定．【分析】（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），可得=1+．变形为，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可知：b n，利用“错位相减法”即可得出T n，利用不等式（﹣1），通过对n分为偶数与奇数讨论即可．【解答】解：（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），可得=1+．∴，∴{}是首项为，公比为3的等比数列，∴，化为．（2）由（1）可知：=，T n=+…+．…++，两式相减得﹣==．∴．∴（﹣1）n•λ＜+=4﹣．若n为偶数，则，∴λ＜3．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．综上可得﹣2＜λ＜3．（Ⅱ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API （记为w）的关系式为：S=若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）根据平均数的计算公式即可估计该城市这30天空气质量指数API的平均值；（Ⅱ）根据分段函数的表达式，求出满足经济损失S大于200元且不超过600元对应的天数，根据古典概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API的平均值为 [25×2+75×4+125×5+175×9+225×4+275×3+325×3]=；（Ⅱ）由分段函数的表达式可知，若经济损失S大于200元且不超过600元，则得200＜4w﹣400≤600，即600＜4w≤1000，解得150＜w≤250，此时对应的天数为9+4=13，则对应的概率P=．19．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，∠ABC=90°，且SA=AB，点M是SB的中点，AN⊥SC且交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）当AB=BC=1时，求三棱锥M﹣SAN的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）依题意，可证得CB⊥平面SAB，从而可证CB⊥AM；由SA=AB，点M是SB的中点可证得AM⊥SB，而CB∩SB=B，从而AM⊥平面SCB⇒AM⊥SC，进一步可证SC⊥平面AMN，利用面面垂直的判断定理即可证得结论．（2）利用（1）的结果，通过数据关系，求出AM，MN，SN，然后求出棱锥的体积．【解答】解：（1）证明：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥CB∵ABC直角三角形，∴CB⊥AB，且SA∩AB=A，∴CB⊥平面SAB，∴CB⊥AM∵SA=AB，M为SB的中点，∴AM⊥SB，且CB∩SB=B，∴AM⊥平面SCB，∴AM⊥SC又∵SC⊥AN，且AN∩AM=A，∴SC⊥平面AMN．（2）由（1）可知∠AMN=∠SNM=∠SNA=90°，∵SA=AB=BC=1，∴AM=SM=MB=，SC=，MN==．SN==．SC⊥平面AMN，∴三棱锥M﹣SAN的体积：==．20．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得：，2b=2，易得双曲线标准方程；（Ⅱ））设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，代入即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，2b=2，又a2+b2=c2，解得a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1﹣4k2）x2﹣8mkx﹣4（m2+1）=0，有，，以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D（﹣2，0），∴k AD k BD=﹣1，即，∴y1y2+x1x2+2（x1+x2）+4=0，∴，∴3m2﹣16mk+20k2=0．解得m=2k或m=．当m=2k时，l的方程为y=k（x+2），直线过定点（﹣2，0），过双曲线的左顶点，与已知矛盾；当m=时，l的方程为y=k（x+），直线过定点（﹣，0），经检验符合已知条件．故直线l过定点，定点坐标为（﹣，0）．21．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]（e为自然对数的底数）上有实数解，求实数m的取值范围；（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导，根据函数单调性求得函数f（x）的最大值，由f（x）max≥m，即可求得m的取值范围；（2）求得g（x）的导函数g′（x），求得函数的单调性与最值，从而求得p的最小值．【解答】解：（1）∵，且当x≥0时，，∵在[0，e﹣1]上有f'（x）≥0，f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）在[0，e﹣1]上单调递增，得，因为关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]（e为自然对数的底数）上有实数解，∴f（x）max≥m，即m≤e2﹣2，所以实数m的取值范围是（﹣∞，e2﹣2]．（2）∵g（x）=f（x）﹣x2﹣1=2x﹣2ln（1+x），∴，∵，在（﹣1，0）上g'（x）＜0，在（0，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）min=g（0）=0，∵x的方程g（x）=p至少有一个解，∴p≥0，p最小值为0．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=3，求AD的长．【考点】圆內接多边形的性质与判定；圆周角定理．【分析】（1）证明FB=FC，即证∠FBC=∠FCB，利用AD平分∠EAC，四边形AFBC内接于圆，可证得；（2）先计算得∠ACD=90°，∠DAC=60°，∠D=30°，在Rt△ACB中，求AC的长，在Rt△ACD中，求AD的长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC=∠FBC；…2′∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC． (5)（2）解：∵AB是圆的直径，∴∠ACD=90°∵∠EAC=120°，∴∠DAC=60°，∴∠D=30°…7′在Rt△ACB中，∵BC=3，∠BAC=60°，∴AC=3又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=3，∴AD=6 …10′[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2，展开为，把代入即可得出；（2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，得到根与系数的关系，利用直线参数的意义即可得出．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2，展开为，ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，∴，∴==．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣1|﹣|x+3|（1）解不等式f（x）＞2；（2）若不等式f（x）≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒成立，求实数k的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，解不等式f（x）＞2即可；（2）由于不等式f（x）≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒成立，可得﹣2x﹣2≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒成立，分离参数求最小值即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣1|﹣|x+3|，∴x≤﹣3时，f（x）=﹣x+1+x+3=4＞2，∴x≤﹣3；﹣3＜x＜1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣3=﹣2x﹣2＞2，∴x＜﹣2，∴﹣3＜x＜﹣2；x≥1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣3=﹣4＞2，不成立．综上，不等式的解集为{x|x＜﹣2}；（2）x∈[﹣3，﹣1]时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣3=﹣2x﹣2，由于不等式f（x）≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒成立，∴﹣2x﹣2≤kx+1在x∈[﹣3，﹣1]上恒成立，∴k≤﹣2﹣∵g（x）=﹣2﹣在x∈[﹣3，﹣1]上为增函数，∴﹣1≤g（x）≤1∴k≤﹣1．2016年8月24日。
(完整版)2016湖南数学高考文科试卷及解答
选择题：本大题共12小题，每小题5分（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =(A ）{1，3｝ （B ）｛3,5} （C ）{5,7} （D ）｛1，7} （2）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数,则a=（A ）－3 （B)－2 （C ）2 （D ）3（3）为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(A ）13 （B ）12 (C ）23（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知a =2c =,2cos 3A =，则b=（A （B （C ）2 (D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的错误!,则该椭圆的离心率为（A ）错误! (B ）错误! （C)错误! （D ）错误!(6）若将函数y =2sin （2x +错误!）的图像向右平移错误!个周期后,所得图像对应的函数为（A ）y =2sin （2x +π4) （B ）y =2sin （2x +错误!） (C ）y =2sin(2x –错误!） （D ）y =2sin(2x –错误!）（7）如图,学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径。
若该几何体的体积是错误!,则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π (D ）28π （8）若a>b>0，0<c 〈1，则（A ）log a c 〈log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c 〈b c（D)c a 〉c b（9)函数y =2x 2–e |x |在［–2,2］的图像大致为n=n +1结束输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny 输入x,y,n开始(A ）（B)(C ） （D ）（10）平面α过正文体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ,n 所成角的正弦值为（A)32 （B)22 (C)33 （D)13（11）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1，则输出,x y 的值满足(A ）2y x = B ）3y x = （C)4y x = D ）5y x =（12)若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是(A ）[]1,1- （B)11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本卷包括必考题和选考题两部分。
湖南省长沙市2016届高三模拟(一)文数试题 Word版含答案
数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 为虚数单位，则复数3i -的虚部是（ ） A ．3 B ．i - C ．1 D ．-12.记集合{}{}|20,|sin ,A x x B y y x x R =+>==∈，则A B =（ ）A ．()2,-+∞B ．[]1,1-C ．[][)1,12,-+∞ D ．(]2,1-3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱4.已知向量()()cos ,sin ,sin ,cos a b αβαβ==，若//a b ，则,αβ的值可以是（ ） A ．,33ππαβ==- B ．2,33ππαβ==C ．7,310ππαβ==- D ．,36ππαβ==-5.已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ） A ．()111n n a -=-+ B ．2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 C ．2sin 2n n a π= D ．()cos 11n a n π=-+6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且()1,101,01x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩，则下列函数值为1的是（ ） A ．()2,5f B ．()()2.5ff C ．()()1.5f f D ．()2f7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是：（ ） 8.函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．28x y = C ．24y x = D ．24x y =10.非负实数x y 、满足()ln 10x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-211.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）12.已知函数()(),1xf x eg x x ==+，则关于()(),f x g x 的语句为假命题的是（ ）A ．()(),x R f x g x ∀∈>B ．()()1212,,x x R f x g x ∃∈<C ．()()000,x R f x g x ∃∈=D ．0x R ∃∈，使得()()()()00,x R f x g x f x g x ∀∈-≤- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在空间直角坐标系中，已知点()()1,0,1,1,1,2A B -，则线段AB 的长度为__________． 14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3352,15S a S ==，则2015a = _________． 15. ABC ∆的周长等于()2sin sin sin A B C ++，则其外接圆半径等于____________．16. M N 、分别为双曲线22143x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v 的最小值为___________．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ． （1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值． 18.（本小题满分12分）空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050为优；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天 的AQI 的茎叶图如右．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本中的空气质量不佳（100AQI >）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求这该两天的空气质量等级恰好不同的概率． 19.（本小题满分12分）如图，矩形BDEF 垂直于正方形,ABCD GC 垂直于平面ABCD ．且22AB DE CG ===． （1）求三棱锥A FGC -的体积； （2）求证：面GEF ⊥面AEF ． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的顶点到直线1:l y x =2．（1）求1C 的标准方程；（2）设平行于1l 的直线l 交1C 于A B 、两点，若以AB 为直径的圆恰过坐标原点，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数()2af x x x=+（a 为常数）． （1）若()f x 在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）判断是否存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，C D 、是以AB 为直径的半圆上两点，且AD CD =． （1）若//CD AB ，证明：直线AC 平分DAB ∠； （2）作DE AB ⊥交AC 于E ．证明：2CD AE AC =． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为[)24cos 30,0,2ρρθθπ-+=∈．（1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线 2C 的参数方程为cos 6sin6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设,,αβγ均为实数．（1）证明：()()cos cos sin ;sin cos cos αβαβαβαβ+≤++≤+． （2）若0αβγ++=，证明：cos cos cos 1αβγ++≥．参考答案一、选择题二、填空题14. 2016 15. 1 16. 4 三、解答题 17.【解析】（1）11sin sin 22POC ODC S S S OP OC POC OQ OC QOC ∆∆=+=∠+∠．．．．．．．．．3分2sin 2sin 0,33ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 2sin 0,33ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 故当且仅当32ππθ+=，即6πθ=时，S 最大，且最大值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分18．【解析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，．．．．． 2分故该样本中空气质量优良的频率为42105=，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 估计该月空气质量优良的频率25，从而估计该月空气质量优良的天数为230125⨯=．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）该样本中轻度污染共4天，分别记为1234,,,a a a a ； 中度污染1天，记为b ；重度污染1天，记为c ，从中随机抽取两天的所有可能结果表示为： 共15个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 其中空气质量等级恰好不同的结果有()()()()()()()()()11223344,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a b a c a b a c a b a c b c 共9个．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为93155=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.【解析】（1）因为面BDEF ⊥面ABCD ， 面BDEF面,ABCD BD FB BD =⊥，所以FB ABCD ⊥面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又因为CG ⊥面ABCD ，故//CG FB ，112PGC BGC S S BC GC ∆∆==⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 因数,AB FB AB BC ⊥⊥，所以AB 即三棱锥A FGC -的高， 因此三棱锥A FGC -的体积121233V =⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）如图，设EF 的中点为M ，连结AM GM AG 、、． 在RT ACG ∆中可求得3AG =；在直角梯形FBCG EDCG 、中可求得5FG EG ==在RT ABF RT ADE ∆∆、中可求得22AF AE ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 从而在等腰AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得6,3AM GM ==，此时在AMG ∆中有222=AM GM AG +，所以AM GM ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥， 所以AM GEF ⊥平面，因此面GEF ⊥面AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.【解析】（1）由直线1l 的方程知，直线1l 与两坐标轴的夹角均为45°， 故长轴端点到直线1l 的距离为22a ，短轴端点到直线1l 的距离为22b ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分求得2,1a b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以1C 的标准方程为2214x y +=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）依题设直线():0l y x t t =+≠，由2214y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2258440x tx t ++-=，判别式()226416510t t ∆=-⨯->解得t <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设()()1122,,,A x y B x y ，则1221285445t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故()()()221212121245t y y x t x t x x x x t t -=++=+++=， 设原点为O ，以AB 为直径的圆恰过坐标原点，故OA OB ⊥，所以0OA OB =，即221212444055t t x x y y --+=+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分解得：t =，满足t <0t ≠， 故所求直线l的方程为y x =y x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.【解析】（1）()32222a x af x x x x -'=-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为()f x 在()0,+∞上单调递增所以320x a -≥即32a x ≤在()0,+∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分而32y x =在()0,+∞上单调递增，故32x 的值域为()0,+∞，所以0a ≤，即a 的取值范围为(]0,+∞；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）不存在这样的直线l ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分证明：假设存在这样的直线l ，设两切点分别为()()()()1122,,,x f x x f x ，其中12x x ≠， 依题意有()()()()211221f x f x f x f x x x -''==-，由()()12f x f x ''=得：12221222a a x x x x -=-， 即()()()21211222122a x x x x x x x x -+-=，显然12120,0x x x x +≠-≠．．．．．．．．．．．．．．8分 故2212122x x a x x =-+；而()()()2221212111211222121112122a ax x f x f x x x a a af x x x x x x x x x x x x x +---'-=-+=+--+--0≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 即()()()()211221f x f x f x f x x x -''=≠-，故不存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【解析】（1）由题设//CD AB 可知，DCA BAC ∠=∠， 因为AD DC =，所以DAC DCA ∠=∠，从而DAC BAC ∠=∠，因此，AC 平分DAB ∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）连结BD ，由DE AB ⊥知，090ADE DAB ∠+∠=， 因为AB 为直径，所以090DBA DAB ∠+∠=， 从而ADE ABD ∠=∠，又因为ABD DCA ∠=∠， 所以ADE ACD ∠=∠， 因此ADEACD ∆∆，所以2AD AE AC =，而AD DC =，所以2CD AE AC =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.【解析】（1）将222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=得：()2221x y -+=．．．．．．．．4分（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线， 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或76πθ=，0ρ>，将6πθ=代入21:30C ρ-+=，解得：ρ=同理，将76πθ=代入1C 得：ρ=故12,C C 公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.【解析】（1）()cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβαβαβ+=-≤+≤+；()sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβαβαβ+=+≤+≤+．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）知，()()()coscos sin cos cos cos αβγαβγαβγ++≤++≤++，而0αβγ++=，故cos cos cos 1αβγ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
2016届湖南省高考冲刺卷数学(文)试题(三)
2016届湖南省高考冲刺卷数学（文）试题（三）数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()()25z i i --=，则z =（ ）A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i +2. 集合{}{}{}20,1,2,3,4,1,2,|540U A B x Z x x ===∈-+<，则()U C A B = （ ） A ．{}0,1,3,4 B ．{}1,2,3 C ．{}0,4 D ．{}03. 阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．3k ≤B ．4k ≤C ．5k ≤D ．5k < 4. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若423S S =，则64S S =（ ） A ．2 B ．73 C ．310D ．1或2 5. 有四个关于三角函数的命题：1:sin sin p x y x y π=⇒+=或x y =； 222:,sin cos 122x xp x R ∀∈+=； ()3:,,cos cos cos p x y R x y x y ∈-=-；4:0,cos 2p x x π⎡⎤∀∈=⎢⎥⎣⎦.其中真命题是（ ）A ．13,p pB ．23,p pC ．14,p pD ．24,p p6. 若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩,且2z y x =-的最小值等于2-,则实数m 的值等于（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2 7. 如图所示是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．16πC ．32πD ．64π 8. 若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则sin 2α的值为（ ） A ．118 B ．118- C ．1718 D ．1718- 9. 如图, 有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于x 轴的直线():0l x t t a =≤≤经过原点O 向右平行移动,l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (图中阴影部分), 若函数()y f t =的大致图象如图, 那么平面图形的形状不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10. 在直角坐标系xOy 中, 设P 是曲线():10C xy x =>上任意一点,l 是曲线C 在点P 处的切线, 且l 交坐标轴于,A B 两点, 则以下结论正确的是（ ）A ．OAB ∆的面积为定值2 B ．OAB ∆的面积有最小值为3C ．OAB ∆的面积有最大值为4D ．OAB ∆的面积的取值范围是[]3,411. 已知12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点, 点P 在双曲线右支上, 且()110(FP OF OP O += 为坐标原点),）A + B+12. 设函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 对任意x R ∈,都有()()4f x f x =+,且当[]2,0x ∈-时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 若在区间()2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有三个不同的实设根, 则a 的取值范围是（ ） A．) B ．)2 C ．)2 D ．2⎤⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数()3log ,02,0x x x f x >⎧=⎨≤⎩，则19f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．14. 已知2111,2,,324OA OB AOB OC OA OB π==∠==+,则OA OC =． 15. 某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 ． 16. 如图,在ABC ∆中,sin22ABC AB ∠==, 点D在线段AC 上, 且2,AD DC BD ==,则cos C = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中,()111,3nn n a a a n N a *+==∈+. （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列, 并求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()312n n nnn b a =-,数列{}n b 的前n 项和为nT ,若不等式()112nn n nT λ--<+对一切n N *∈恒成立, 求λ的取值范围.18. （本小题满分12分）某城市随机抽取一个月(30天) 的空气质量指数API 监测数据, 统计结果如下：（1）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API 的平均值；（2）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S (单位：元) 与空气质量指数API (记为w )的关系式为0,01004400,1003002000,300350w S w w w ≤<⎧⎪=-<≤⎨⎪<≤⎩,若在本月30天中随机抽取一天,试估计该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率.19. （本小题满分12分）如图, 在三棱锥S ABC -中,SA ⊥ 底面ABC 90ABC ∠= ,且SA AB =,点M 是SB 的中点, AN SC ⊥交SC 于点N .（1）求证：SC ⊥平面AMN ；（2）当1AB BC ==时, 求三棱锥M SAN -的体积.20. （本小题满分12分）已知双曲线C 的中心在坐标原点, 焦点在x 轴上, 离心率e =虚轴长为2. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ,求证：直线 l 过定点, 并求出定点的坐标. 21. （本小题满分12分）设函数()()()212ln 1f x x x =+-+.（1）若关于x 的不等式()0f x m -≥在[]0,1(e e -为自然对数的底数) 上有实数解, 求实数m 的取值范围；（2）设()()21g x f x x =--,若关于x 的方程()g x p =至少有一个解, 求p 的 最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线, 交BC 的延长线于点D ,延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ,连接,FB FC.（1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径,120,EAC BC ∠== , 求AD 的长. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12(1x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数), 曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,直线l 与曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P . （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()13f x x x =--+. （1）解不等式()2f x >；（2）若不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立, 求实数k 的取值范围；【名校导航】湖南省2016届高考冲刺卷数学（文）试题（三）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5.DCBBD 6-10.ACDCA 11-12.AB二、填空题（每小题5分，共20分）13. 14 14.14 15.710 16.79三、解答题17.解：（1）由数列{}n a 中, ()111,3nn n a a a n N a *+==∈+,可得1131311111,322n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫+==+∴+=+ ⎪⎝⎭,112n a ⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭是首项为32,公比为3的等比数列,111323,2231n n nn a a -∴+=⨯∴=-. （2）()10122111111,123...1222222n n n n n n b T n n ---==⨯+⨯+⨯++-+⨯,()123111111123...1222222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+⨯,两式相减得()01211111111222,...2,4,14222222222nn n n n n n n T n n n T λ---++=++++-⨯=-∴=-∴-<-, 若n 为偶数, 则124,32n λλ-<-∴<；若n 为奇数, 则124,2,22n λλλ--<-∴-<>-,λ∴的取值范围是()2,3-.18. 解：（1）该城市这30天空气质量指数API 的平均值为()2527541255175922542753325330175⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=.（2）设“在本月30天中随机抽取一天,该天经济损失S 大于200元且不超过600元” 为事件A(2)SC ⊥ 平面AMN ,SN ∴⊥平面AMN ,而1,SA AB BC AC SC ===∴==,又,AN SC AN ⊥∴=又AM ⊥ 平面,SBC AM MN ∴⊥而111,2336AMN S AMN AMN AM MN S V S SN ∆-∆=∴=∴==∴== 136M SMN S AMN V V --==. 20. 解：（1）设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>> ,由已知得22,c b a ==又222a b c +=,解得 2,1a b ==,所以双曲线的标准方程为 2214x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ,联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得()()222148410k x mkx m ---+=,有()()()2222122212264161410801441014m k k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=+-+>⎪⎪+=<⎨-⎪⎪-+⎪=>-⎩,()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-,以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -,1AD BD k k ∴=- ,即()()2221212121222212414161,240,4022141414m y y m k mk y y x x x x x x k k k-+-=-∴++++=∴+++=++--- ,22316200m mk k ∴-+=,解得2m k =或103km =.当2m k =时,l 的方程为()2y k x =+,直线过定点()2,0-,与已知矛盾；当103k m =时,l 的方程为103y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,直线过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,经检验符合已知条件, 所以直线l 过定点,定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 21. 解：（1）()()2'211f x x x =+-+ ,且当0x ≥时,()()121,'2111x f x x x x +≥=+-++ 在[]0,1e -上有()()()()2'0,12ln 1f x f x x x ≥=+-+在[]0,1e -上单调递增, 得()()2max 12f x f e e =-=-,因为关于x 的不等式()0f x m -≥在[]0,1e -(e 为自然对数的底数) 上有实数解, ()max f x m ∴≥,即22m e ≤-,所以实数m 的取值范围是(2,2e ⎤-∞-⎦.（2）()()()()21122ln 1,'211g x f x x x x g x x ⎛⎫=--=-+∴=-⎪+⎝⎭ ,()1'211g x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,在()1,0-上()'0g x <,在()()()min '0,00,g x g x g x >== 的方程()g x p =至少有一个解,0,p p ∴≥最小值为0.22. 解：（1）证明：AD 平分,EAC EAD DAC ∠∴∠=∠,因为四边形AFBC 内接于圆,DAC FBC ∴∠=∠, 又,,EAD FAB FCB FBC FCB FB FC ∠=∠=∠∴∠=∠∴= . （2）AB 是圆的直径,90,120,60,30ACD ACB EAC DAC BAC D ∴∠=∠=∠=∴∠=∠=∴∠= ,在Rt ACB ∆中,60,3BC BAC AC =∠=∴= , 又在Rt ACD ∆中,30,3,6D AC AD ∠==∴=. 23. 解：（1）利用极坐标公式, 把曲线C的极坐标方程4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为22sin 2cos ρρθρθ=+,所以曲线C 的普通方程是2222x y y x +=+,即()()22112x y -+-=.（2）直线和曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P ,把直线的参数方程12(1x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数) 代入曲线C 的普通方程是()()22112x y -+-=中, 得210t t --=,121212*********,1t t t t t t PA PB t t t t +=-⎧∴∴+=+===⎨=-⎩ .24. 解：（1）()13f x x x =--+ ,所以当3x ≤-时,()1342,3f x x x x =-+++=>∴≤-, 满足原不等式；当31x -<<时,()1322f x x x x =-+--=--, 原不等式即为222x -->,解得2,32x x <-∴-<<-满足原不等式；当1x ≥时,()1342,1f x x x x =---=-<∴≥ 不满足原不等式综上原不等式的解集为{}|2x x <-.（2）当[]3,1x ∈--时,()1322f x x x x =-+--=--, 由于原不等式()1f x kx ≤+在[]3,1x ∈--上恒成立,221x kx ∴--≤+, 在[]3,1x ∈--上恒成立,[]()323,1k x x ∴≤--∈--, 设()32g x x=--,易知()g x 在[]3,1x ∈--上为增函数,()[]()113,1,1g x x k ∴-≤≤∈--∴≤-.。
湖南省长沙市长郡中学2016届高三高考模拟卷(一)数学(文)试题 Word版含答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合2{|160}A x x =-<，{5,0,1}B =-，则（ ） A ．A B φ= B ．B A ⊆ C ．{0,1}A B = D ．A B ⊆2.如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z =（ ） A ．1255i + B ．2155i + C ．2155i -- D ．1255i --3.在等差数列{}n a 中，78a =，前7项和742S =，则其公差是（ ） A ．13-B ．13C ．23D ．23- 4.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为（ ）A ．2B ．12C ．3D ．1 5.已知(3,2)a =- ，(1,0)b =-，向量a b λ+ 与2a b - 垂直，则实数λ的值为（ ）A ．17 B ．17- C ．16 D ．16-6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（ ） A ．4?n > B ．5?n > C ．6?n > D ．7?n >7.函数1()sin 2f x x x =-的图象可能是（ ）8.如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，PA AB =，E 是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．129.已知函数4()|log |f x x =，正实数,m n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为（ ）A ．1,22 B ．1,44 C ．1,24 D ．1,4210.已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ） A ．323π B ．π C ．3π D ．43π11.已知椭圆：2221(02)4x y b b+=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22||||BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ）A ．1BC ．32D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）.根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为^6.517.5y x =+，则表中t 的值为 .14.过原点的直线与双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>交于,M N 两点，P 是双曲线上异于M ，N 的一点，若直线MP 与直线NP 的斜率都存在且乘积为54，则双曲线的离心率为 .15.已知函数3()31xx f x =+，正项等比数列{}n a 满足501a =，则12399(ln )(ln )(ln )(ln )f a f a f a f a ++++= .16. ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是 . ①若ABC ∆最小内角为α，则1cos 2α≥； ②若sin sin A B B A >，则B A >；③存在某钝角ABC ∆，有tan tan tan 0A B C ++>；④若20aBC bCA cAB ++= ，则ABC ∆的最小值小于6π；三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，若()22A f =，边1,2AC AB ==，求边BC 的长及sin B 的值. 18. （本小题满分12分）某学校高三年级学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率； （2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？19. （本小题满分12分）如图甲，圆O 的直径2AB =，圆上两点,C D 在直径AB 的两侧，使4CAB π∠=，3DAB π∠=，沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，根据图乙解答下列各题： （1）求点B 到平面ACD 的距离；（2）如图：若DOB ∠的平分线交弧BD 于一点G ，试判断FG 是否与平面ACD 平行？并说明理由.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,0)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)B 且斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线,AE AF 分别交直线3x =于,M N 两点，线段MN 的中点为P . 记直线PB 的斜率为'k ，求证：'k k ∙为定值.21. （本小题满分12分） 已知函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈. （1）当0a >时，讨论()f x 的单调区间；（2）设()()2ln g x f x a x =+，且()g x 有两个极值点为12,x x ，其中1(0,]x e ∈，求12()()g x g x -的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的一条切线，切点为B ，直线,,ADE CFD CGE 都是圆O 的割线，已知AC AB =.（1）若1,4CG CD ==，求DEGF的值； （2）求证：//FG AC .23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为)6π，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线:cos 2sin 10l ρθρθ++=的距离的最小值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =-.（1）解不等式()(4)8f x f x ++≥；（2）若||1,||1,0a b a <<≠，求证：()||()bf ab a f a>.参考答案一、选择题 CDCAB AABBD DC 1.C2.D 【解析】由图形可得：12z i =--，2z i =，再利用复数的运算法则即可得出. 解：由图形可得：12z i =--，2z i =， ∴21(2)21122(2)(2)555z i i i i i z i i i ----====----+-， 故选：D3．C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵78a =，前7项和742S =， ∴168a d +=，1767422a d ⨯+=， 解得124,3a d ==. 故选C.4．A 【解析】对于直线型的线性约束条件，代数式的最值几乎都在这些直线的某个交点处取得（个别因为代数式在交点处无意义而不能取最值），所以先求约束条件中各直线的交点，可求得分别为(1,1),(1,3),(2,2)，1y x -在这三点处的值分别为0，2，12，所以最大值为2，本题中因代数式的值不能为零，所以如果所求交点横坐标为零，要将此点舍去，这时候就得运用图象法来求最值，本题的正确选项为A. 5．B6．A 【解析】模拟执行程序框图，可得0,1s n == 2,2s n == 10,3s n == 34,4s n == 98,5s n ==此时，由题意，满足条件，退出循环，输出s 的值为98，则判断框内可填入的条件为：4?n > 故选A. 7．A8．B 【解析】取BC 的中点F ，连接,EF AF ， 则//EF PB ，∴AEF ∠或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角 ∵ABC ∆为正三角形，∴60BAC ∠=.设2PA AB a ==，PA ⊥平面ABC ，∴,,AF AE EF =，∴1cos 4AEF ∠==.9．B 【解析】∵函数4()|log |f x x =，正实数,m n 满足1m n <<，且()()f m f n =，∴4log 0m <，4log 0n >，且44log log m n -=，∴1,1n mn m==. 由于()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，即()f x 在区间21[,]m m上的最大值为2，∴24log 2m -=，∴4log 1m =-，∴1,44m n ==，故选B.则H 为三棱锥外接球的球心，AH 为外接球的半径.∵122AE AB ==1AH =.∴三棱锥外接球的体积344133V ππ=⨯=. 故选D11．D 【解析】如图所示，由椭圆定义，有22||||||48AB AF BF a ++==，所以当线段AB长度达最小值时，22||||BF AF +有最大值，当AB 垂直于x 轴时，222min ||222b b AB b a =⨯=⨯=，所以22||||BF AF + 的最大值为285b -=，∴23b =，即b = D.12.C 【解析】由题意得函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称，即函数()y f x =为奇函数，因此由22(2)(2)0f x x f y y -+-≤得22(2)(2)f x x f y y -≤-+，2222x x y y -≥-+，()(2)0x y x y -+-≥.因为14x ≤≤，所以可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(4,4),(4,2)A B C -，而2OM ON x y ∙=+，所以过点C 时取最小值0，过点B 时取最大值12，选C.二、填空题13.50【解析】由题意，245685x ++++=，304060704055t ty ++++==+. ∵y 关于x 的线性回归方程为：^6.517.5y x =+， ∴40 6.5517.55t+=⨯+，∴40505t+=， ∴105t=， ∴50t =. 故答案为：50. 14．32【解析】由双曲线的对称性知，可设0011(,),(,)P x y M x y ，则11(,)N x y --. 由54PM PN k k =，可得：010*******y y y y x x x x -+∙=-+，即222201015()4y y x x -=-，即222200115544x y x y -=-， 又因为0011(,),(,)P x y M x y 均在双曲线上，所以2200221x y a b -=，2211221x y a b-=，所以2254b a =，所以双曲线的离心率为32c e a ===.15．992【解析】∵3()31x x f x =+，∴33()()13131x xxx f x f x --+-=+=++. ∵数列{}n a 是等比数列，∴21992984951501a a a a a a a ===== ，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+= ，设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ，① 又999998971(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ，② ①+②得：99299S =，∴99992S =. 16．①④【解析】对①，因为ABC ∆最小内角为α，所以03πα<≤，1cos 2α≥，故正确；对②，构造函数sin ()x F x x =，求导得：'2cos sin ()x x x F x x -=，当(0,)2x π∈时，tan x x >，即sin cos x x x >，则cos sin 0x x x -<，所以'2cos sin ()0x x x F x x -=<，即sin ()xF x x=在(0,)2x π∈上单减，由②sin sin A B B A >，得sin sin B A B A >，即()()F B F A >，所以B A <，故②不正确；对③，因为tan tan tan tan tan tan A BC A B C ++=，则在钝角ABC∆中，不妨设A 为钝角，有tan 0,tan 0,tan 0A B C <>>，故tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=<，③不正确；对④，由22()(2)()0aBC bCA cAB aBC bCA c AC CB a c BC b c CA ++=+++=-+-= ，即(2)()a c BC c b CA -=- ，而,B CC A不共线，则20,0a c b c -=-=，解得2,2c a b a ==，则a 是最小的边，故A 是最小的角，根据余弦定理222222447cos 22228b c a a a a A bc a a +-+-===>⨯⨯，故④正确，故①④正确. 三、解答题17.【解析】（1）()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-，∴22T ππ==，所以最小正周期为π. （2）()2sin()226A f A π=-=，(0,)A π∈，∴62A ππ-=，∴23A π=.ABC ∆中，由余弦定理得，222cos 2AC AB BC A AC AB+-=∙，即21412221BC +--=⨯⨯，∴BC =由正弦定理sin sin BC AC A B =，可得sin B =. 18．【解析】（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名. 分数小于110分的学生中，男生有600.053⨯=（人），记为123,,A A A ；女生有400.052⨯=（人），记为12,B B ， 从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：1213(,),(,)A A A A ，23(,)A A ，11(,)A B ，122122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B B B ，其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：111221223132(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A B A B A B A B A B ，故所求的概率63105P ==. （2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生600.2515⨯=（人），女生400.37515⨯=（人） 据此可得22⨯列联表如下：所以得222()100(15251545)25 1.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，因为1.792.706<.所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.19．【解析】（1）点B 到面ACD 的距离为7. （2）//FG 面ACD ，理由如下：连结OF ，则ABC ∆中，,F O 分别为,BC AB 的中点， ∴//FO AC ，又∵FO ⊄面ACD ，AC ⊂面ACD ， ∴//FO 面ACD ，∵OG 是DOB ∠的平分线，且OD OB =，令OG 交DB 于M ， 则M 是BD 的中点，连结MF ，则//MF CD ，又∵MF ⊄面ACD ，CD ⊂面ACD ，∴//MF 面ACD ， 且MF FO F = ，,MF FO ⊂面FOG ，∴面FOG //面ACD . 又FG ⊂面FOG ，∴//FG 面ACD .20．【解析】（1）由题设：2222a b c caa ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解之得：2,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=， （2）设直线l 的方程为(1)y k x =-，代入椭圆方程2214x y +=得：2222(41)8440k x k x k +-+-=，设1122(,),(,)E x y F x y ，则由韦达定理得：2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+， 直线,AE AF 的方程分别为：11(2)2y y x x =--，22(2)2yy x x =--， 令3x =得：11(3,)2y M x -，22(3,)2y N x -，所以12121(3,())222yy P x x +--， 1212'12121221121()022222(1)(2)(1)(2)3144(2)(2)y y y y x x x x k x x k x x k kk k k x x +-+------+--=⨯=⨯=⨯---21212121223()442()4x x x x k x x x x -++=⨯-++22222222222882416441414416164444441k k k k k k k k k k k --++-+=⨯=⨯=---+++. 21．【解析】（1）()f x 的定义域(0,)+∞，2'2211()1a x ax f x x x x-+=+-=，令'()0f x =，得210x ax -+=， ①当02a <≤时，240a ∆=-≤，此时，'()0f x ≥恒成立，所以，()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；②当2a >时，240a ∆=->，解210x ax -+=的两根为12a x =，22a x =，当x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；当x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；综上得，当02a <≤时，()f x 的递增区间为(0,)+∞，无递减区间；当2a >时，()f x的递增区间为，)+∞，递减区间为(22a a ；（2）1()ln g x x a x x=-+，定义域为(0,)+∞， 2'2211()1a x ax g x x x x ++=++=，令'()0g x =，得210x ax ++=，其两根为12,x x ，且12121x x a x x +=-⎧⎨=⎩，所以，211x x =，111()a x x =-+，∴0a <. ∴12111111111111()()()()ln (ln )g x g x g x g x a x x a x x x x -=-=-+--+ 111111111112()ln 2()2()ln x a x x x x x x x =-+=--+. 设11()2()2()ln h x x x x x x =--+，(0,]x e ∈，则12min min (()())()g x g x h x -=.∵'22211112(1)(1)ln ()2(1)2[(1)ln ()]x x x h x x x x x x x x +-=+--++=，当(0,]x e ∈时，恒有'()0h x ≤，∴()h x 在(0,]e 上单调递减；∴min 4()()h x h e e ==-，∴12min 4(()())g x g x e-=-. 22．【解析】由题意可得：,,,G E D F 四点共圆， ∴CGF CDE ∠=∠，CFG CED ∠=∠，∴CGF ∆∽CDE ∆，∴DE CDGF CG =， 又∵1,4CG CD ==，∴4DEGF=. （2）因为AB 为切线，AE 为割线，2AB AD AE =∙，又因为AC AB =，所以2AD AE AC ∙=.所以AD ACAC AE=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC ∆∽ACE ∆， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠， 所以//FG AC .23.【解析】（1）点P的直角坐标，由2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得22(4x y +=，所以曲线C的直角坐标方程为22(4x y +=.（2）曲线C的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l 的普通方程为210x y ++=，设(2cos ,2sin )Q θθ，则3(cos ,sin )2M θθ+，那么点M 到直线l 的距离355|cos 2sin 1||)|12d θθθϕ+++++==≥=-， 所以点M 到直线l1. 24．【解析】（1）22,3()(4)|1||3|4,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-； 当31x -≤≤时，48≥不成立；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥.所以不等式()(4)8f x f x ++≥的解集为{|53}x x x ≤-≥或. （2）要证()||()b f ab a f a>，即证|1|||ab a b ->-. 因为||1,||1a b <<，所以22222222|1|||(21)(2)(1)(1)0ab a b a b ab a ab b a b ---=-+--+=-->， 所以|1|||ab a b ->-，故所证不等式成立.。
考前冲刺30天数学(文)训练卷(1)(解析版).docx
2016年考前冲刺30天数学（文）训练卷（1）（解析版）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+6=0的( ). A. 右上方 B. 右下方 C. 左上方 D. 左下方2. 已知复数z=a+b i(a ,b ∈R 且ab ≠0),且z (1-2i)为实数,则ab 等于( ).A. 3B. 2C. 12D. 133. 已知cos α=35,则cos2α+sin 2α的值为( ). A. 925B. 1825C. 2325D. 34254. 已知向量a=(-√3,1),b=(√3,λ).若a 与b 共线,则实数λ等于( ). A. -1 B. 1 C. -3 D. 35. 如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17” 之值,则判断框内可以填入( ).(第5题)A. k ≤10B. k ≤16C. k ≤22D. k ≤346. 若直线y=x+m 与圆x 2+y 2+4x+2=0有两个不同的公共点,则实数m 的取值范围是( ).A. (2-√2,2+√2)B. (-4,0)C. (-2-√2,-2+√2)D. (0,4) 7. 已知数列{a n }满足a 1=0,a n+1=a n +2√a n +1,则a 13等于( ). A. 121 B. 136 C. 144 D. 1698. 一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为a 的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面积为( ).A. 32πa 2 B. 3πa 2 C. 6πa 2D. 163πa 29. 在Excel 中产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand( )”,在用计算机模拟估计函数y=sin x 的图象、直线x=π2和x 轴在区间[0,π2]上部分围成的图形面积时,随机点(a 1,b 1)与该区域内的点(a ,b )的坐标变换公式为( ).A. a=a 1+π2,b=b 1B. a=2(a 1-0.5),b=2(b 1-0.5)C. a ∈[0,π2],b ∈[0,1] D. a=πa 12,b=b 110. 已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ,直线y=k (x-2)与此抛物线相交于P ,Q 两点,则1|FP|+1|FQ|等于( ). A. 12 B. 1 C. 2D. 411. 某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( ).(第11题) A. 4B. 2√2C. 208D. 812. 若函数f (x )对任意的x ∈R 都有f (x+3)=-f (x+1),且f (1)=2013,则f [f (2013)+2]+1等于( ). A. -2013 B. -2012 C. 2012 D. 2013 二、 填空题:本大题共4小题,每小题5分.13. 函数f(x)=lg(x 2+3x-4)的定义域为 .14. 若等比数列{a n }的首项是a 1,公比为q,S n 是其前n 项和,则S n = .15. 以双曲线x 23-y 2=1的右焦点为焦点、顶点在原点的抛物线的标准方程是 .16. 已知集合A={(x,y)| (x -3)2+(y -4)2=45},B={(x,y)|2|x-3|+|y-4|=λ}.若A ∩B ≠ 则实数λ的取值范围是 .三、 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且sin A cos C+cos A sin C=√32.若b=√7,△ABC 的面积S △ABC =3√34,求a+c 的值.18. (本小题满分12分)国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表:空气质量指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 300以上 空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染(第18题)(Ⅰ)试根据上面的统计数据,判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系;(只需写出结果) (Ⅱ)试根据上面的统计数据,估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率;(Ⅲ)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个,试求这两个城市空气质量等级相同的概率.(注:s 2=1n [(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],其中x 为数据x 1,x 2,…,x n 的平均数) 19. (本小题满分12分)如图,E 是矩形ABCD 中边AD 上的点,F 为边CD 的中点,AB=AE=23AD=4,现将△ABE 沿边BE 折至△PBE 位置,且平面PBE ⊥平面BCDE.(Ⅰ)求证:平面PBE ⊥平面PEF ; (Ⅱ)求四棱锥P-BEFC 的体积.(第19题)20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,方向向量为d=(1,k )的直线经过椭圆x 218+y 29=1的右焦点F ,与椭圆相交于A ,B 两点.(Ⅰ)若点A 在x 轴的上方,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF⃗⃗⃗⃗⃗ |,求直线的方程; (Ⅱ)若k=1,P (6,0),求△PAB 的面积;(Ⅲ)当k (k ∈R 且k ≠0)变化时,试求一点C (x 0,0),使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.(第20题)21. (本小题满分12分)已知函数f (x )=e xsin x.(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ)如果对于任意的x ∈[0,π2],f (x )≥kx 总成立,求实数k 的取值范围;(Ⅲ)是否存在正实数m ,使得当x ∈(0,m )时,不等式f (x )<2x+12x 2恒成立?请给出结论并说明理由. 请考生从第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明如图,AB 是☉O 的直径,弦CD 与AB 垂直,并与AB 相交于点E ,点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点,连接BF ,AF 并延长交☉O 于点M ,N.求证: (Ⅰ)B ,E ,F ,N 四点共圆;(Ⅱ)AC 2+BF ·BM=AB 2.(第22题)23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =2+tcosα,y =1+tsinα(t 是参数,0≤α<π),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ2=21+cos 2θ. (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;(Ⅱ)当α=π4时,曲线C 1和C 2相交于M ,N 两点,求以线段MN 为直径的圆的直角坐标方程.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f (x )≥3的解集;(Ⅱ)若f (x )≤|x-4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.答案解析1. B 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式所表示的区域位置问题. 【解题思路】可先画出直线x-2y+6=0,再取原点(0,0)代入不等式x-2y+6>0检验,符合,则在原点(0,0)这边,即右下方为不等式所表示区域.故选B .2. C 【命题意图】本小题主要考查复数的概念及其基本运算.【解题思路】由z ·(1-2i)=(a+b i)(1-2i)=(a+2b )+(b-2a )i 为实数,所以b=2a ,a b =12.故选C .3. A 【命题意图】考查同角三角函数的基本解析式以及二倍角的余弦公式的应用. 【解题思路】由cos α=35,得cos2α+sin 2α=2cos 2α-1+1-cos 2α=cos 2α=925,故选A . 4. A 【命题意图】考查平面向量共线的意义.【解题思路】因为a 与b 共线,所以-√3λ-√3=0,解得λ=-1.5. C 【命题意图】考查程序框图,会按照循环结构分步写出结果. 【解题思路】第1步:S=2,k=3;第2步:S=2×3,k=5; 第3步:S=2×3×5,k=9;第4步:S=2×3×5×9,k=17;第4步:S=2×3×5×9×17,k=33;退出循环,符合条件的判断只有C .6. D 【命题意图】考查直线与圆的方程,直线与圆的位置关系,会用点到直线的距离公式. 【解题思路】圆的标准方程为(x+2)2+y 2=2,所以圆心为(-2,0),半径为√2.由题意知√2<√2,即|m-2|<2,解得0<m<4.故选D .7. C 【命题意图】本小题主要考查数列的递推问题以及等差数列的通项公式,也同时考查学生利用构造思想解决问题的能力以及学生的推理论证能力.【解题思路】由a n+1=a n +2√a n +1,可知a n+1=(√a n +1)2,即√a n+1=√a n +1,故{√a n }是公差为1的等差数列,√a 13=√a 1+12=12,则a 13=144. 故选C .【举一反三】本题通过构造,得到数列{√a n }是公差为1的等差数列,在数列的求解中经常用到构造思想,应多加训练.8. B 【命题意图】由本小题主要考查立体几何中球与球的内接几何体的基本量的关系,以及球表面积公式的应用.【解题思路】由题可知该三棱锥为一个棱长为a 的正方体的一角,则该三棱锥与该正方体有相同的外接球.又正方体的对角线长为√3a ,则球半径为√32a ,则S=4πr2=4π(√32a)2=3πa 2. 故选B .【举一反三】本考点是近年来高考中的热点问题,同时此类问题对学生的运算求解能力、空间想象能力也提出较高要求.9. D 【命题意图】本小题主要考查均匀随机数的意义与简单应用,对于不同尺度下点与点的对应方式也做出一定要求. 本题着重考查考生数据处理的能力与化归的数学思想.【解题思路】由于a ∈[0,π2],b ∈[0,1],而a 1∈[0,1],b 1∈[0,1],所以坐标变换公式为a=π2a 1,b=b 1. 故选D .【易错警示】本题要认真审题,弄清a 与a 1的取值范围及其关系,才能正确作答.10. A 【命题意图】本小题是定值问题,考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质,考查直线恒过定点问题,会联立方程组,用韦达定理求解,对考生的计算能力、化归与转化的数学思想也有较高要求.【解题思路】直线y=k (x-2)过定点(2,0),抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0),设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),由题意可知,|PF|=x 1+2,|QF|=x 2+2,则1|FP|+1|FQ|=1x1+2+1x2+2=x 1+x 2+4x1x 2+2(x 1+x 2)+4,联立直线与抛物线方程,消去y ,得k 2x 2-(4k 2+8)x+4k 2=0,可知x 1x 2=4,故1|FP|+1|FQ|=x 1+x 2+4x1x 2+2(x 1+x 2)+4=x 1+x 2+42(x 1+x 2)+8=12. 故选A .【易错警示】由于直线方程带字母k,求解过程中,稍不细心,结果会出现k消不去,没有答案的情况,因此,本题要求有较好计算能力.11. D【命题意图】考查空间几何体的三视图,会由三视图还原几何体,会用割补法求几何体的体积.【解题思路】由三视图可知,该几何体为如图所示的几何体,其中长方体底面为正方形,正方形的边长为2.其中HD=3,BF=1,将相同的两个几何体放在一起,构成一个高为4的长方体,所以该几何体体积为12×2×2×4=8.故选D.(第11题)【举一反三】对于不规则图形,可以补图形,变成规则图形,或者将不规则图形割成几个规则图形来求解.12. B【命题意图】本小题着重考查函数的周期性问题,以及复合函数的求值问题,对于不同的解析式,函数周期性的意义也不同.【解题思路】由f(x+3)=-f(x+1)=-[f(x-1)]=f(x-1)可知函数f(x)周期T=4,当x=0时可知,f(3)=-f(1)=-2013,f(2 013)=f(1)=2 013,因此f[f(2 013)+2]+1=f(2015)+1=f(3)+1=-2012.故选B.【举一反三】此类问题是高考中常见的重要考点之一,应理解函数的周期与对称问题,提高解题过程中的推理论证能力与运算求解能力.13. (-∞,-4)∪(1,+∞)【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质与其定义域的求值问题以及一元二次不等式的解法.【解题思路】由题意可知x2+3x-4>0,解得x<-4或x>1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(1,+∞).【易错警示】注意零和非负数没有对数,由于对数概念不清,容易错解为x2+3x-4≥0,多一个等号.14.S n={a1(1-q n)1−q,q≠1,na1,q=1【命题意图】本小题主要考查等比数列的前n项和公式及公式的适应范围,分类讨论的数学思想.【解题思路】根据等比数列前n项和公式:S n={a1(1-q n)1−q,q≠1, na1,q=1.【易错警示】注意本题中q可取任何实数,而当q=1时,等比数列的前n项和公式不适用,所以要分类,容易不写q=1的情况致错.15.y2=8x 【命题意图】考查双曲线、抛物线的方程及其性质.【解题思路】双曲线的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),即抛物线的方程为y2=2px,其中p2=2,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.16.[2√55,2]【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题,对学生数形结合与分类讨论思想的应用做出较高要求.【解题思路】由题可知,集合A表示圆(x-3)2+(y-4)2=45上点的集合,集合B表示曲线2|x-3|+|y-4|=λ上点的集合,此二集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处,集合A表示圆,集合B则表示菱形,可以将圆与菱形的中心同时平移至原点,如图所示,可求得λ的取值范围是[2√55,2].(第16题)【易错警示】曲线B 应分四种情况讨论,画出四条线段,容易出错.【举一反三】对于曲线与方程问题,经常要画出图形,用数形结合的方法求解,比较简捷. 17. 【命题意图】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理等知识. 【解题思路】由条件可知sin(A+C )=√32, 即sin B=√32.(2分) 因为S △ABC =12ac sin B=3√34,所以ac=3.(6分)由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得 b 2=(a+c )2-2ac-2ac cos B , 即7=(a+c )2-2×3(1+12).(10分)所以a+c=4.(12分)18. 【命题意图】考查茎叶图,数据的方差,古典概型以及读图和阅读理解能力,数据处理能力. 【解题思路】(Ⅰ)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.(3分) (Ⅱ)根据上面的统计数据,可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35,则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35.(6分)(Ⅲ)设事件A :从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个,这两个城市的空气质量等级相同,由题意可知,从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个,共有25个结果,分别记为: (29,43),(29,41),(29,55),(29,58)(29,78), (53,43),(53,41),(53,55),(53,58),(53,78), (57,43),(57,41),(57,55),(57,58),(57,78), (75,43),(75,41),(75,55),(75,58),(75,78),(106,43),(106,41),(106,55),(106,58),(106,78).(8分)其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29,乙41,乙43,同为2级良的为甲53,甲57,甲75,乙55,乙58,乙78. 则空气质量等级相同的为: (29,41),(29,43),(53,55),(53,58),(53,78), (57,55),(57,58),(57,78),(75,55),(75,58),(75,78).共11个结果.(10分)则P (A )=1125.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125.(12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面、面面的垂直关系、空间几何体体积的求值. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【解题思路】(Ⅰ)由题可知,在△DEF 中,ED=DF ,ED ⊥DF , 所以∠DEF=45°.在△ABE 中,AE=AB ,AE ⊥AB , 所以∠AEB=45°. 所以EF ⊥BE.(3分)因为平面PBE ⊥平面BCDE , 平面PBE ∩平面BCDE=BE , EF ⊥BE ,所以EF ⊥平面PBE. 因为EF ⊂平面PEF ,所以PBE ⊥平面PEF.(6分)(Ⅱ)S 四边形BEFC =S 四边形ABCD -S △ABE -S △DEF =6×4-12×4×4-12×2×2=14,(9分) 则V P-BEFC =13·S 四边形BEFC ·h=13×14×2√2=28√23.(12分)【举一反三】证明面面垂直,关键是在一个平面内找到一直线垂直另一个平面.求不规则图形BEFC 的面积,通过用较大的规则图形减去较小的规则图形的方法求得.20. 【命题意图】本题主要考查直线方程、椭圆的标准方程、直线的斜率.【解题思路】(Ⅰ)由题意a 2=18,b 2=9,得c=3, 所以F (3,0).(1分)|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OF⃗⃗⃗⃗⃗ |且点A 在x 轴的上方,得A (0,3). 所以k=-1,d=(1,-1). 所以直线为x -31=y -0-1,即直线的方程为x+y-3=0.(3分)(Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),当k=1时,直线:y=x-3. 将直线与椭圆方程联立{x 218+y 29=1,y =x -3,(5分)消去x ,得y 2+2y-3=0,解得y 1=-3,y 2=1. 所以S △PAB =12×|PF|×|y 1-y 2|=12×3×4=6.(7分)(Ⅲ)假设存在这样的点C (x 0,0),使得直线AC 和BC 的斜率之和为0. 由题意得,直线:y=k (x-3)(x ≠0). 由{x 218+y 29=1,y =k(x -3),消去y ,得 (1+2k 2)x 2-12k 2x+18(k 2-1)=0.因为Δ>0恒成立,所以{x 1+x 2=12k 21+2k 2,x 1·x 2=18(k 2-1)1+2k2.(9分) k AC =y 1x1-x 0,k BC =y 2x2-x 0, k AC +k BC =y 1x 1-x 0+y 2x2-x 0=k(x 1-3)x 1-x 0+k(x 2-3)x2-x 0=k(x 1-3)(x 2-x 0)+k(x 2-3)(x 1-x 0)(x 1-x 0)(x 2-x 0)=0.所以2kx 1x 2-k (x 0+3)(x 1+x 2)+6kx 0=0, 即36k(k 2-1)1+2k 2-12k 3(x 0+3)1+2k 2+6kx 0=0,解得x 0=6,(11分)所以存在一点(6,0),使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.(12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用,对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【解题思路】(Ⅰ)由于f (x )=e xsin x ,所以f'(x )=e x sin x+e x cos x=e x(sin x+cos x )=√2e x sin (x +π4).(2分)当x+π4∈(2k π,2k π+π),即x ∈(2k π−π4,2k π+3π4)时,f'(x )>0;当x+π4∈(2k π+π,2k π+2π), 即x ∈(2k π+3π4,2k π+7π4)时,f'(x )<0.所以f (x )的单调递增区间为(2k π−π4,2k π+3π4)(k ∈Z),单调递减区间为(2k π+3π4,2k π+7π4)(k ∈Z).(4分)(Ⅱ)令g (x )=f (x )-kx=e xsin x-kx ,要使f (x )≥kx 总成立,只需x ∈[0,π2]时,g (x )min ≥0.对g (x )求导得g'(x )=e x(sin x+cos x )-k ,令h (x )=e x(sin x+cos x ),则h'(x )=2e xcos x>0(x ∈(0,π2)).所以h (x )在[0,π2]上为增函数,所以h (x )∈[1,e π2].(6分) 对k 分类讨论:当k ≤1时,g'(x )≥0恒成立,所以g (x )在[0,π2]上为增函数.所以g (x )min =g (0)=0,即g (x )≥0恒成立;②当1<k<e π2时,g'(x )=0在[0,π2]上有实根x 0,因为h (x )在(0,π2)上为增函数, 所以当x ∈(0,x 0)时,g'(x )<0, 所以g (x 0)<g (0)=0,不符合题意;③当k ≥e π2时,g'(x )≤0恒成立,所以g (x )在(0,π2)上为减函数,则g (x )<g (0)=0,不符合题意.综合①②③可得,所求的实数k 的取值范围是(-∞,1].(8分)(Ⅲ)存在正实数m 使得当x ∈(0,m )时,不等式f (x )<2x+12x 2恒成立.理由如下:令g (x )=e xsin x-2x-x 22,要使f (x )<2x+x 22在(0,m )上恒成立,只需g (x )max <0.(10分)因为g'(x )=e x(sin x+cos x )-2-x ,且g'(0)=-1<0,g'(π2)=e π2-(2+π2)>0,所以存在正实数x 0∈(0,π2),使得g'(x )=0.当x ∈(0,x 0)时,g'(x )<0,g (x )在(0,x 0)上单调递减, 即当x ∈(0,x 0)时,g (x )<g (0)=0,所以只需m ∈(0,x 0)均满足当x ∈(0,m )时,f (x )<2x+12x 2恒成立.(12分) 注:因为e π>e 3>2.73>19,(2+π2)2<42=16,所以e π2-(2+π2)>0.【易错警示】分类讨论是本题的一个难点,注意分类不遗漏、不重复.22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到四点共圆的证明、圆中三角形相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【解题思路】(Ⅰ)连接BN ,则AN ⊥BN ,又CD ⊥AB ,则∠BEF=∠BNF=90°,即∠BEF+∠BNF=180°,则B ,E ,F ,N 四点共圆.(4分)(Ⅱ)由直角三角形的射影原理可知AC 2=AE ·AB , 由Rt △BEF 与Rt △BMA 相似可知BF BA =BEBM ,(6分)即BF ·BM=BA ·BE=BA ·(BA-EA ),BF ·BM=AB 2-AB ·AE ,(8分)则BF ·BM=AB 2-AC 2,即AC 2+BF ·BM=AB 2.(10分)23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷 算求解能力有一定要求.【解题思路】(Ⅰ)对于曲线C 1消去参数,得当α≠π2时,C 1:y-1=tan α(x-2);当α=π2时,C 1:x=2.(2分) 对于曲线C 2:ρ2+ρ2cos 2θ=2,x 2+y 2+x 2=2,则C 2:x 2+y 22=1.(4分) (Ⅱ)当α=π4时,曲线C 1的方程为x-y-1=0, 联立C 1,C 2的方程消去y 得2x 2+(x-1)2-2=0,即3x 2-2x-1=0,(6分) |MN|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2√(23)2+43=√2·√169=4√23,(8分) 圆心为(x 1+x 22,y 1+y 22),即(13,-23),从而所求圆方程为(x -13)2+(y +23)2=89.(10分)24. 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【解题思路】(Ⅰ)当a=-3时,f (x )≥3,即|x-3|+|x-2|≥3,所以{x ≤2,3−x +2−x ≥3或{2<x <3,3−x +x -2≥3或{x ≥3,x -3+x -2≥3.(3分) 解得x ≤1或x ≥4.(5分)(Ⅱ)由原命题可知f (x )≤|x-4|在[1,2]上恒成立,即|x+a|+2-x ≤4-x 在[1,2]上恒成立,即-2-x ≤a ≤2-x 在[1,2]上恒成立,所以-3≤a ≤0.(10分)。
2016届湖南省2016届高三普通高等学校招生全国统一考前演练数学试卷(文科)(二)(解析版)
2016年湖南省高三普通高等学校招生全国统一考前演练数学试卷（文科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合M={（x，y）|x=0}，N={（x，y）|y=x+2}，则M∩N=（）A．{0} B．{（0，2）} C．{2} D．{（2，0）}2．已知复数z的实部为2，虚部为1，则（2﹣i）z=（）A．4+i B．4﹣i C．5 D．43．已知sin（3π﹣α）=，则cos2α等于（）A．B．﹣C．D．﹣4．在边长为1的等边△ABC中，设=（）A．B．C．D．5．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b≥a 的概率是（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，+∞）是增函数，则常数a的取值范围是（）A．1≤a≤2 B．a＜1或a≥2 C．1＜a≤2 D．a＜1或a＞27．如图是一个算法的程序框图，当输入x的值为3时，输出y的结果恰好是，则？处的关系式可以是（）A．y=x2 B．y=3﹣x C．y=3x D．y=x8．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日9．曲线y=2cos（x+）cos（x﹣）和直线y=在y轴右侧的交点的横坐标按从小到大的顺序依次记为P1，P2，P3，…，则|P3P7|=（）A．πB．2πC．4πD．6π10．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）11．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C．D．12．已知抛物线C的方程为y2=8x，设抛物线C的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为﹣，那么||=（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2016届湖南省高考冲刺卷(全国卷I)(四)数学(文)试题
2016届湖南省高考冲刺卷（全国卷I ）（四）数学（文）试题文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数i z -=1，则z z+1对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 若集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R 所含的元素个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.在单调递减等比数列}{n a 中，若13=a ，2542=+a a ，则=1a （ ） A ．2 B ．4 C ．2 D ．224. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．32cmB ．33cm C ．333cm D ．33cm5.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=8,log 80,6cos )(2x x x x x f π，=-))16((f f （ ） A ．21-B ．23-C ．21D ．236.已知n m ,是两条不同直线，γβα,,是三个不同平面，下列命题正确的是（ ） A ．若,//,//ααn m 则n m // B ．若,,γβγα⊥⊥则βα// C ．若,//,//βαm m 则βα// D ．若,,αα⊥⊥n m 则n m //7.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y x y 02，且y x z +=2的最小值为4，则实数b 的值为（ ）A ．1B ．2C ．25D ．3 8.下列推断错误的是（ ）A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”B ．命题p ：存在R x ∈0，使得01020<++x x ，则非p ：任意R x ∈，都有012≥++x xC ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“1<x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件9.设函数42)(-+=x e x f x，52ln )(2-+=x x x g ，若实数b a ,分别是)(),(x g x f 的零点，则（ ） A ．)(0)(b f a g << B ．)(0)(a g b f << C ．)()(0b f a g << D ．0)()(<<a g b f10.已知抛物线)0(22>=p px y 上一点)0)(,1(>m m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-y ax 的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数=a （ ） A ．91 B ．41 C ．31 D ．21 11.在ABC Rt ∆中，3==CB CA ，N M ,是斜边AB 上的两个动点，且2=MN ，则CN CM ⋅的取值范围为（ ）A ．]25[2, B ．[2,4] C ．[3,6] D ．[4,6]12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，)1,0(),1,1(),0,1(C B A ，映射f 将xOy 平面上的点),(y x P 对应到另一个平面直角坐标系v uO '上的点),2('22y x xy P -，则当点P 沿着折线C B A --运动时，在映射P 的作用下，动点'P 的轨迹是（ ）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设曲线)(1*+∈=N n xy n 在点)1,1(处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201420152201512015log log log x x x +++ 的值为 .14.第十二届全运会于2013年8月31日在沈阳举行，运动会期间从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是 .15.已知函数⎩⎨⎧<≥+=0,10,1)(2x x x x f ，则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的取值范围是 .16.已知R 上的不间断函数)(x g 满足：（1）当0>x 时，0)('>x g 恒成立；（2）对任意的R x ∈都有)()(x g x g -=.奇函数)(x f 满足：对任意的R x ∈，都有)()3(x f x f -=+成立，当]3,0[∈x 时，x x x f 3)(3-=，若关于x 的不等式)2()]([2+-≤a a g x f g 对]3,3[-∈x 恒成立，则a 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设ABC ∆是锐角三角形，三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，并且)3sin()3sin()sin )(sin sin sin B B B A B A +-=+-ππ（.（1）求角A 的值；（2）若12=⋅AC AB ，72=a ，求c b ,（其中c b <）.18.有7为歌手（1号至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：（1）为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.（2）在（1）中，若A ，B 两组被抽到的评委各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.19.如图，四棱锥ABCD P -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60=∠ABC 的菱形，M 为PC 的中点.（1）求证：AD PC ⊥；（2）求点D 到平面PAM 的距离.20.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为22，过椭圆顶点),0(),0,(b a 的直线与圆3222=+y x 相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点)0,2(M 的直线与椭圆C 相交于两点B A ,，设P 为椭圆上一点，且满足OP t B O OA =+（O为坐标原点），当352||<-PB PA 时，求实数t 的取值范围.21.设函数)1()1ln()1()(2->+++=x bx x x a x f ，曲线)(x f y =过点)1,1(2+--e e e ，且在点)0,0(处的切线方程为0=y . （1）求b a ,的值；（2）证明：当0≥x 时，2)(x x f ≥.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 切圆O 于点B ，BC 是圆O 的直径，AC 交圆O 于点D ，DE 是圆O 的切线，DE CE ⊥于E ，4,3==CE DE ，求AB 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ty t x 23121（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为）（4sin 22πθρ+=.直线l 与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于点P . （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求||1||1PB PA +的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数3)(|,2||12|)(+=++-=x x g a x x x f . （1）当2-=a 时，求不等式)()(x g x f <的解集； （2）设1->a ，且当)21,2[a x -∈时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围.文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1-； 14．53； 15．)12,1(--； 16．),1[]0,(+∞-∞ 三、解答题：本大题共6个题，共70分． 17．解：（1）B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-⋅+=∵c b <，∴6,4==c b .18．解：（1）由题设知，分层抽样的抽取比例为%6，所以各组抽取的人数如下表：（2）记从A 组抽到的3位评委分别为321,,a a a ，其中21,a a 支持1号歌手；从B 组抽到的6位评委分别为654321,,,,,b b b b b b ，其中21,b b 支持1号歌手，从},,{321a a a 和},,,,,{654321b b b b b b 中各抽取1人的所有结果如图：由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有11b a ，21b a ，12b a ，22b a 共4种. 故所求概率92184==P . 19．（1）证明：取AD 中点O ，连接OP ，OC ，AC .依题意可知PAD ∆，ACD ∆均为正三角形，所以AD OC ⊥，AD OP ⊥，又O OP OC = ，⊂OC 平面POC ，⊂OP 平面POC ，所以⊥AD 平面POC ，又⊂PC 平面POC ，所以AD PC ⊥.（2）解：点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离.由（1）知，AD OP ⊥，又平面⊥PAD 平面ABCD ，平面 PAD 平面AD ABCD =，⊂OP 平面PAD ，所以⊥OP 平面ABCD ，即OP 为三棱锥ACD P -的体高. 在POC Rt ∆中，6,3===PC OC PO ，在PAC ∆中，6,2===PC AC PA ，边PC 上的高21022=-=PM PA AM ，所以PAC ∆的面积21521062121=⨯⨯=⋅=∆AM PC S PAC ， 设点D 到平面PAC 的距离为h ，由ACD P PAC D V V --=得PO S h S ACD PAC ⋅=⋅∆∆3131，又32432=⨯=∆ACD S ，所以333121531⨯⨯=⋅⨯h ，解得5152=h ，所以点D 到平面PAM 的距离为5152.20．解：（1）由题意知22==a c e ，∴21222222=-==a b a a c e ，即222b a =① ∵过椭圆顶点),0(),0,(b a 的直线),0(),0,(b a 与圆3222=+y x 相切，∴32||||22=+b a ab ②， 由①②联立解得1,222==b a ，故椭圆C 的方程为1222=+y x .（2）由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：)2(-=x k y ，),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x P ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)2(22y x x k y 得0288)21(2222=-+-+k x k x k .0)28)(12(464224>-+-=∆k k k ，212<k ， 2221218k k x x +=+，22212128kk x x +-=⋅，∵OP t B O OA =+，∴),()2121y x t y y x x =++，（， )21(82221k t k t x x x +=+=，)21(4]4)([122121k t kk x x k t t y y y +-=-+=+=，∵点P 在椭圆上， ∴2)21()4(2)21(8222222=+-++k t k k t k ，∴)21(16222k t k +=，∵352||<-PB PA ， ∴352||1212<-+x x k ，920]4))[(1(212212<-++x x x x k ， ∴920]21284)21(64)[1(222242<+-⨯-++k k k k k ，∴0)134)(14(22>+-k k ，∴412>k ，∴21412<<k ， ∵)21(16222k t k +=，∴222221882116k k k t +-=+=，∴3622-<<-t 或2362<<t ， ∴实数t 的取值范围为 )362,2(--)2,362(.21．解：（1）b x a x x a x f +++++=)1()1ln()1(2)('，∵0)0('=+=b a f ，1)1()1()1e ('222+-=+-=-+=-e e e e a e b ae f ，∴1=a ，1-=b . （2）x x x x f -++=)1ln()1()(2，设)0(,)1ln()1()(22≥--++=x x x x x x g ，x x x x g -++=)1ln()1(2)('，01)1ln(2))'('(>++=x x g ，∴)('x g 在),0[+∞上单调递增，∴0)0(')('=≥g x g ，∴)(x g 在),0[+∞上单调递增，∴0)0()(=≥g x g ，∴2)(x x f ≥. 请考生在22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.解：连接OD ，∵DE 是圆O 的切线，∴DE OD ⊥，又DE CE ⊥于E ，∴CE OD //， ∴OCD ODC ECD ∠=∠=∠，∵3,3==CE DE ，∴5=CD ， ∴43tan tan tan =∠=∠=∠OCD ODC ECD ，∴54cos =∠OCD ，故425cos =∠=OCD CD BC ，故1675tan =∠⋅=OCD BC AB ，∴AB 的长为1675.23.解：（1）利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程为）（4sin 22πθρ+=化为θρθρcos 2sin 22+=，所以普通方程为x y y x 2222+=+，即2)1()1(22=-+-y x .（2）直线与曲线C 交于B A ,两点，与y 轴交于点P ，把直线的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 23121（t 为参数）代入曲线C 的普通方程2)1()1(22=-+-y x 中，得012=--t t ，∴⎩⎨⎧-=⋅=+112121t t t t ，∴54)(||||||1||1||1||121221212121=-+=⋅-=+=+t t t t t t t t t t PB PA . 24．（1）当2-=a 时，不等式)()(x g x f <可化为03|22||12|<---+-x x x ， 设函数3|22||12|---+-=x x x y ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=1,63121,221,5x x x x x x y其图象如图所示，从图象可知，当且仅当)2,0(∈x 时，0<y ，所以原不等式的解集是}20|{<<x x .（2）当)21,2[a x -∈，a x f +=1)(，不等式)()(x g x f ≤ 化为31+≤+x a ，∴2-≥a x 对)21,2[a x -∈都成立，故22-≥-a a ，即34≤a ，从而a 的取值范围是]34,1(-.。
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2016年考前冲刺30天数学（文）训练卷（1）（解析版）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.不等式x-2y+6>0表示的区域在直线x-2y+6=0的().A. 右上方B. 右下方C. 左上方D. 左下方2.已知复数z=a+b i(a,b∈R且ab≠0),且z(1-2i)为实数,则等于().A. 3B. 2C.D.3.已知cosα=,则cos2α+sin2α的值为().A. B. C. D.4.已知向量a=(-,1),b=(,λ).若a与b共线,则实数λ等于().A. -1B. 1C. -3D. 35.如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值,则判断框内可以填入().(第5题)A. k≤10B. k≤16C. k≤22D. k≤346.若直线y=x+m与圆x2+y2+4x+2=0有两个不同的公共点,则实数m的取值范围是().A. (2-,2+)B. (-4,0)C. (-2-,-2+)D. (0,4)7.已知数列{a n}满足a1=0,a n+1=a n+2+1,则a13等于().A. 121B. 136C. 144D. 1698.一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为a的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面积为().A. πa2B. 3πa2C. 6πa2D. πa29.在Excel中产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”,在用计算机模拟估计函数y=sin x的图象、直线x=和x轴在区间上部分围成的图形面积时,随机点(a1,b1)与该区域内的点(a,b)的坐标变换公式为().A. a=a1+,b=b1B. a=2(a1-0.5),b=2(b1-0.5)C. a∈,b∈[0,1]D. a=,b=b110.已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q两点,则+等于().A. B. 1 C. 2 D. 411.某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为().(第11题)A. 4B. 2C.D. 812.若函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+3)=-f(x+1),且f(1)=2013,则f[f(2013)+2]+1等于().A. -2013B. -2012C. 2012D. 2013二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13. 函数f(x)=lg(x2+3x-4)的定义域为.14. 若等比数列{a n}的首项是a1,公比为q,S n是其前n项和,则S n=.15. 以双曲线-y2=1的右焦点为焦点、顶点在原点的抛物线的标准方程是.16. 已知集合A=,B={(x,y)|2|x-3|+|y-4|=λ}.若A∩B≠ 则实数λ的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且sin A cos C+cos A sin C=.若b=,△ABC的面积S△ABC=,求a+c的值.18. (本小题满分12分)空气质量指数0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 300以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染下:(第18题)(Ⅰ)试根据上面的统计数据,判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系;(只需写出结果) (Ⅱ)试根据上面的统计数据,估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率;(Ⅲ)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个,试求这两个城市空气质量等级相同的概率.(注:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2],其中为数据x1,x2,…,x n的平均数)19. (本小题满分12分)如图,E是矩形ABCD中边AD上的点,F为边CD的中点,AB=AE=AD=4,现将△ABE沿边BE折至△PBE位置,且平面PBE⊥平面BCDE.(Ⅰ)求证:平面PBE⊥平面PEF;(Ⅱ)求四棱锥P-BEFC的体积.(第19题)20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,方向向量为d=(1,k)的直线经过椭圆+=1的右焦点F,与椭圆相交于A,B两点.(Ⅰ)若点A在x轴的上方,且||=||,求直线的方程;(Ⅱ)若k=1,P(6,0),求△PAB的面积;(Ⅲ)当k(k∈R且k≠0)变化时,试求一点C(x0,0),使得直线AC和BC的斜率之和为0.(第20题)21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=e x sin x.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)如果对于任意的x∈,f(x)≥kx总成立,求实数k的取值范围;(Ⅲ)是否存在正实数m,使得当x∈(0,m)时,不等式f(x)<2x+x2恒成立?请给出结论并说明理由.请考生从第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明如图,AB是☉O的直径,弦CD与AB垂直,并与AB相交于点E,点F为弦CD上异于点E的任意一点,连接BF,AF并延长交☉O于点M,N.求证:(Ⅰ)B,E,F,N四点共圆;(Ⅱ)AC2+BF·BM=AB2.(第22题)23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t是参数,0≤α<π),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=.(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(Ⅱ)当α=时,曲线C1和C2相交于M,N两点,求以线段MN为直径的圆的直角坐标方程.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.答案解析1. B【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式所表示的区域位置问题.【解题思路】可先画出直线x-2y+6=0,再取原点(0,0)代入不等式x-2y+6>0检验,符合,则在原点(0,0)这边,即右下方为不等式所表示区域.故选B.2. C【命题意图】本小题主要考查复数的概念及其基本运算.【解题思路】由z·(1-2i)=(a+b i)(1-2i)=(a+2b)+(b-2a)i为实数,所以b=2a,=.故选C.3. A【命题意图】考查同角三角函数的基本解析式以及二倍角的余弦公式的应用.【解题思路】由cosα=,得cos2α+sin2α=2cos2α-1+1-cos2α=cos2α=,故选A.4. A【命题意图】考查平面向量共线的意义.【解题思路】因为a与b共线,所以-λ-=0,解得λ=-1.5. C【命题意图】考查程序框图,会按照循环结构分步写出结果.【解题思路】第1步:S=2,k=3;第2步:S=2×3,k=5;第3步:S=2×3×5,k=9;第4步:S=2×3×5×9,k=17;第4步:S=2×3×5×9×17,k=33;退出循环,符合条件的判断只有C.6. D【命题意图】考查直线与圆的方程,直线与圆的位置关系,会用点到直线的距离公式.【解题思路】圆的标准方程为(x+2)2+y2=2,所以圆心为(-2,0),半径为.由题意知<,即|m-2|<2,解得0<m<4.故选D.7. C【命题意图】本小题主要考查数列的递推问题以及等差数列的通项公式,也同时考查学生利用构造思想解决问题的能力以及学生的推理论证能力.【解题思路】由a n+1=a n+2+1,可知a n+1=(+1)2,即=+1,故{}是公差为1的等差数列,=+12=12,则a13=144.故选C.【举一反三】本题通过构造,得到数列{}是公差为1的等差数列,在数列的求解中经常用到构造思想,应多加训练.8. B【命题意图】由本小题主要考查立体几何中球与球的内接几何体的基本量的关系,以及球表面积公式的应用.【解题思路】由题可知该三棱锥为一个棱长为a的正方体的一角,则该三棱锥与该正方体有相同的外接球.又正方体的对角线长为a,则球半径为a,则S=4πr2=4π=3πa2.故选B.【举一反三】本考点是近年来高考中的热点问题,同时此类问题对学生的运算求解能力、空间想象能力也提出较高要求.9. D【命题意图】本小题主要考查均匀随机数的意义与简单应用,对于不同尺度下点与点的对应方式也做出一定要求.本题着重考查考生数据处理的能力与化归的数学思想.【解题思路】由于a∈,b∈[0,1],而a1∈[0,1],b1∈[0,1],所以坐标变换公式为a=a1,b=b1.故选D.【易错警示】本题要认真审题,弄清a与a1的取值范围及其关系,才能正确作答.10. A【命题意图】本小题是定值问题,考查抛物线的定义与基本性质及过焦点的弦的性质,考查直线恒过定点问题,会联立方程组,用韦达定理求解,对考生的计算能力、化归与转化的数学思想也有较高要求.【解题思路】直线y=k(x-2)过定点(2,0),抛物线y2=8x的焦点为(2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知,|PF|=x1+2,|QF|=x2+2,则+=+=,联立直线与抛物线方程,消去y,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知x1x2=4,故+===.故选A.【易错警示】由于直线方程带字母k,求解过程中,稍不细心,结果会出现k消不去,没有答案的情况,因此,本题要求有较好计算能力.11. D【命题意图】考查空间几何体的三视图,会由三视图还原几何体,会用割补法求几何体的体积.【解题思路】由三视图可知,该几何体为如图所示的几何体,其中长方体底面为正方形,正方形的边长为2.其中HD=3,BF=1,将相同的两个几何体放在一起,构成一个高为4的长方体,所以该几何体体积为×2×2×4=8.故选D.(第11题)【举一反三】对于不规则图形,可以补图形,变成规则图形,或者将不规则图形割成几个规则图形来求解.12. B【命题意图】本小题着重考查函数的周期性问题,以及复合函数的求值问题,对于不同的解析式,函数周期性的意义也不同.【解题思路】由f(x+3)=-f(x+1)=-[f(x-1)]=f(x-1)可知函数f(x)周期T=4,当x=0时可知,f(3)=-f(1)=-2013,f(2 013)=f(1)=2 013,因此f[f(2 013)+2]+1=f(2015)+1=f(3)+1=-2012.故选B.【举一反三】此类问题是高考中常见的重要考点之一,应理解函数的周期与对称问题,提高解题过程中的推理论证能力与运算求解能力.13. (-∞,-4)∪(1,+∞)【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质与其定义域的求值问题以及一元二次不等式的解法.【解题思路】由题意可知x2+3x-4>0,解得x<-4或x>1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-4)∪(1,+∞).【易错警示】注意零和非负数没有对数,由于对数概念不清,容易错解为x2+3x-4≥0,多一个等号. 14.S n=【命题意图】本小题主要考查等比数列的前n项和公式及公式的适应范围,分类讨论的数学思想.【解题思路】根据等比数列前n项和公式:S n=【易错警示】注意本题中q可取任何实数,而当q=1时,等比数列的前n项和公式不适用,所以要分类,容易不写q=1的情况致错.15.y2=8x【命题意图】考查双曲线、抛物线的方程及其性质.【解题思路】双曲线的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),即抛物线的方程为y2=2px,其中=2,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.16.【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题,对学生数形结合与分类讨论思想的应用做出较高要求.【解题思路】由题可知,集合A表示圆(x-3)2+(y-4)2=上点的集合,集合B表示曲线2|x-3|+|y-4|=λ上点的集合,此二集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处,集合A表示圆,集合B则表示菱形,可以将圆与菱形的中心同时平移至原点,如图所示,可求得λ的取值范围是.(第16题)【易错警示】曲线B应分四种情况讨论,画出四条线段,容易出错.【举一反三】对于曲线与方程问题,经常要画出图形,用数形结合的方法求解,比较简捷.17.【命题意图】本题主要考查三角形面积公式、余弦定理等知识.【解题思路】由条件可知sin(A+C)=,即sin B=.(2分)因为S△ABC=ac sin B=,所以ac=3.(6分)由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得b2=(a+c)2-2ac-2ac cos B,即7=(a+c)2-2×3.(10分)所以a+c=4.(12分)18.【命题意图】考查茎叶图,数据的方差,古典概型以及读图和阅读理解能力,数据处理能力.【解题思路】(Ⅰ)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.(3分)(Ⅱ)根据上面的统计数据,可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为,则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为.(6分)(Ⅲ)设事件A:从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个,这两个城市的空气质量等级相同,由题意可知,从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个,共有25个结果,分别记为:(29,43),(29,41),(29,55),(29,58)(29,78),(53,43),(53,41),(53,55),(53,58),(53,78),(57,43),(57,41),(57,55),(57,58),(57,78),(75,43),(75,41),(75,55),(75,58),(75,78),(106,43),(106,41),(106,55),(106,58),(106,78).(8分)其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29,乙41,乙43,同为2级良的为甲53,甲57,甲75,乙55,乙58,乙78.则空气质量等级相同的为:(29,41),(29,43),(53,55),(53,58),(53,78),(57,55),(57,58),(57,78),(75,55),(75,58),(75,78).共11个结果.(10分)则P(A)=.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为.(12分)19.【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面、面面的垂直关系、空间几何体体积的求值.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【解题思路】(Ⅰ)由题可知,在△DEF中,ED=DF,ED⊥DF,所以∠DEF=45°.在△ABE中,AE=AB,AE⊥AB,所以∠AEB=45°.所以EF⊥BE.(3分)因为平面PBE⊥平面BCDE,平面PBE∩平面BCDE=BE,EF⊥BE,所以EF⊥平面PBE.因为EF⊂平面PEF,所以PBE⊥平面PEF.(6分)(Ⅱ)S四边形BEFC=S四边形ABCD-S△ABE-S△DEF=6×4-×4×4-×2×2=14,(9分)则V P-BEFC=·S四边形BEFC·h=×14×2=.(12分)【举一反三】证明面面垂直,关键是在一个平面内找到一直线垂直另一个平面.求不规则图形BEFC 的面积,通过用较大的规则图形减去较小的规则图形的方法求得.20.【命题意图】本题主要考查直线方程、椭圆的标准方程、直线的斜率.【解题思路】(Ⅰ)由题意a2=18,b2=9,得c=3,所以F(3,0).(1分)||=||且点A在x轴的上方,得A(0,3).所以k=-1,d=(1,-1).所以直线为=,即直线的方程为x+y-3=0.(3分)(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),当k=1时,直线:y=x-3.将直线与椭圆方程联立(5分)消去x,得y2+2y-3=0,解得y1=-3,y2=1.所以S△PAB=×|PF|×|y1-y2|=×3×4=6.(7分)(Ⅲ)假设存在这样的点C(x0,0),使得直线AC和BC的斜率之和为0.由题意得,直线:y=k(x-3)(x≠0).由消去y,得(1+2k2)x2-12k2x+18(k2-1)=0.因为Δ>0恒成立,所以(9分)k AC=,k BC=,k AC+k BC=+=+==0.所以2kx1x2-k(x0+3)(x1+x2)+6kx0=0,即-+6kx0=0,解得x0=6,(11分)所以存在一点(6,0),使得直线AC和BC的斜率之和为0.(12分)21.【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点的情况.本小题主要考查考生分类讨论思想的应用,对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【解题思路】(Ⅰ)由于f(x)=e x sin x,所以f'(x)=e x sin x+e x cos x=e x(sin x+cos x)=e x sin.(2分)当x+∈(2kπ,2kπ+π),即x∈时,f'(x)>0;当x+∈(2kπ+π,2kπ+2π),即x∈时,f'(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z),单调递减区间为(k∈Z).(4分)(Ⅱ)令g(x)=f(x)-kx=e x sin x-kx,要使f(x)≥kx总成立,只需x∈时,g(x)min≥0.对g(x)求导得g'(x)=e x(sin x+cos x)-k,令h(x)=e x(sin x+cos x),则h'(x)=2e x cos x>0.所以h(x)在上为增函数,所以h(x)∈[1,].(6分)对k分类讨论:当k≤1时,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在上为增函数.所以g(x)min=g(0)=0,即g(x)≥0恒成立;②当1<k<时,g'(x)=0在上有实根x0,因为h(x)在上为增函数,所以当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,所以g(x0)<g(0)=0,不符合题意;③当k≥时,g'(x)≤0恒成立,所以g(x)在上为减函数,则g(x)<g(0)=0,不符合题意.综合①②③可得,所求的实数k的取值范围是(-∞,1].(8分)(Ⅲ)存在正实数m使得当x∈(0,m)时,不等式f(x)<2x+x2恒成立.理由如下: 令g(x)=e x sin x-2x-,要使f(x)<2x+在(0,m)上恒成立,只需g(x)max<0.(10分)因为g'(x)=e x(sin x+cos x)-2-x,且g'(0)=-1<0,g'=->0,所以存在正实数x0∈,使得g'(x)=0.当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,g(x)在(0,x0)上单调递减,即当x∈(0,x0)时,g(x)<g(0)=0,所以只需m∈(0,x0)均满足当x∈(0,m)时,f(x)<2x+x2恒成立.(12分)注:因为eπ>e3>2.73>19,<42=16,所以->0.【易错警示】分类讨论是本题的一个难点,注意分类不遗漏、不重复.22.【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到四点共圆的证明、圆中三角形相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【解题思路】(Ⅰ)连接BN,则AN⊥BN,又CD⊥AB,则∠BEF=∠BNF=90°,即∠BEF+∠BNF=180°,则B,E,F,N四点共圆.(4分)(Ⅱ)由直角三角形的射影原理可知AC2=AE·AB,由Rt△BEF与Rt△BMA相似可知=,(6分)即BF·BM=BA·BE=BA·(BA-EA),BF·BM=AB2-AB·AE,(8分)则BF·BM=AB2-AC2,即AC2+BF·BM=AB2.(10分)23.【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求.【解题思路】(Ⅰ)对于曲线C1消去参数,得当α≠时,C1:y-1=tanα(x-2);当α=时,C1:x=2.(2分)对于曲线C2:ρ2+ρ2cos2θ=2,x2+y2+x2=2,则C2:x2+=1.(4分)(Ⅱ)当α=时,曲线C1的方程为x-y-1=0,联立C1,C2的方程消去y得2x2+(x-1)2-2=0,即3x2-2x-1=0,(6分)|MN|===·=,(8分)圆心为,即,从而所求圆方程为+=.(10分)24.【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.【解题思路】(Ⅰ)当a=-3时,f(x)≥3,即|x-3|+|x-2|≥3,所以或或(3分)解得x≤1或x≥4.(5分)(Ⅱ)由原命题可知f(x)≤|x-4|在[1,2]上恒成立,即|x+a|+2-x≤4-x在[1,2]上恒成立,即-2-x≤a≤2-x在[1,2]上恒成立, 所以-3≤a≤0.(10分)。