初中正方形的判定专项练习30题

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初二正方形的判定练习题

初二正方形的判定练习题正方形是几何中的一种基本形状，具有四条边相等且四个角都是直角的特点。

在初二的数学学习中，我们需要学会判定一个图形是否为正方形。

下面，我们来进行一些正方形判定的练习题，帮助你巩固相关知识。

题目一：判断下列图形是否为正方形：A.1. 定义：四条边相等，四个角都是直角；2. 测量边长，计算角度，比较结果；3. 得出结论：这个图形是正方形。

题目二：判断下列图形是否为正方形：B.解答：1. 定义：四条边相等，四个角都是直角；2. 测量边长，计算角度，比较结果；3. 得出结论：这个图形是正方形。

题目三：判断下列图形是否为正方形，如果是，则计算其面积：C.解答：1. 定义：四条边相等，四个角都是直角；2. 测量边长，计算角度，比较结果；3. 得出结论：这个图形是正方形。

4. 计算面积公式：面积 = 边长 ×边长；5. 带入边长计算面积；6. 得出结论：该正方形的面积为 XXX 平方单位。

题目四：判断下列图形是否为正方形，如果是，则计算其周长：D.解答：1. 定义：四条边相等，四个角都是直角；2. 测量边长，计算角度，比较结果；3. 得出结论：这个图形是正方形。

4. 计算周长公式：周长 = 4 ×边长；5. 带入边长计算周长；6. 得出结论：该正方形的周长为 XXX 单位。

通过以上的练习题，我们对初二正方形的判定有了更好的认识和理解。

在判定正方形时，我们要注意四条边相等以及四个角都是直角的特点。

同时，我们还掌握了计算正方形面积和周长的公式，并且能够用具体的数值进行计算。

这将有助于我们更好地应用正方形的相关知识，解决实际问题。

希望通过这些练习题，你能够进一步掌握正方形的判定方法，提高数学运算和推理能力。

在以后的学习中，不仅能够准确判断正方形，还能够应用到更多的几何形状中，为数学学习打下坚实的基础。

加油！。

人教版八年级下册数学《正方形的判定》同步练习(含答案)

正方形的判定一、填空题（本大题共7小题）1.如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=2.如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD相交于点F ，则AFD ∠=3.知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形4.如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =5.如图，在正方形ABCD中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠=6.如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，PDCBAFEDCBAOFE DC BAP 1PDC BA且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为7.如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=二、解答题（本大题共10小题）8.如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．9.如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．FE D CBAH GFEDCBA M N CDO B APMF EDC BA10.如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数11.如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．12.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．13.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.14.如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE ∆是等边三角形． ⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．NMDCBAGFEBDA MFEDCBABDCAEF15.如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.16.如图，已知四边形ABDE 、ACFG 都是△ABC 外侧的正方形，连接DF ，若M 、N分别为DF 、BC 的中点，求证：MN ⊥BC 且MN ＝12BC ．17.在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，如图1．（1）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；（2）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图3，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；OEDCBAlPM FE DC BACAFBDEGMN（3）将图1中的△BEF 绕点B 逆时针旋转任意角度，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ，如图3，则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．C ABDE F图1 C ABDEGF 图2 CAB DEG F图3CABDE GF 图4正方形的判定答案解析一、填空题1.15︒2.60︒；1809060152AFB CFB FAB FCB ︒-︒-︒∆∆∠=∠==︒≌，，故451560AFD ∠=︒+︒=︒3.2:14.55.45︒；连结PC，则45PCD PCB BCP DCP ∆∆∠=∠=︒≌，，又1PBP CBP ∆∆≌，得145BPP BCP ∠=∠=︒ 6.127.；AEF DHE AF DE ∆∆=≌，，则22123a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以得到b a -= 二、解答题8.BM 与CN 的关系是：BM CN =且BM CN ⊥∵ABCD 是正方形，∴OA OB =∵MN ∥AB ，∴OM =ON ，∴AM BN = ∵45MAB NBC ∠=∠=，AB BC =∴ABM ∆≌BCN ∆，∴BM CN =，BCN ABM ∠=∠ ∵ABM CBM ∠+∠=90︒，∴90BCN CBM ∠+∠=︒ ∴BM CN ⊥9.当P 运动到BC 中点时，四边形PFME 为正方形∵AMB △是等腰直角三角形 ∴45ABM ∠=︒ 又∵90ABC ∠=︒∴45PBF ABC ABM ∠=∠-∠=︒ 同理可得：45PCE ∠=︒ ∴45PBF PCE ∠=∠=︒ ∴90BMC ∠=︒ ∴四边形FMEP 为矩形在PBF △和PCE △中，90PBF PCE BFP CEP PB PC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴PBF PCE △≌△ ∴PF PE =∴四边形PEMF 为正方形． 10.MN BM DN=+，延长CD至'M ，使'M D BM=，证明''ADM ABM AM N AMN ∆∆∆∆≌，≌，测得1''452MAN M AN M AM ∠=∠=∠=︒11.设正方形的边长为a ，如图所示．引BG AE ⊥于G ，则ABG ∆为等腰直角三角形．1122BG BD BE == 所以，在直角BEG ∆中，30BEG ∠=︒．由于12∠=∠，23∠=∠，所以1315∠=∠=︒．从而，在EFD ∆中，()180********F ∠=︒-∠+∠-︒=︒=∠，DE DF =．12.延长CE ，DA 交于点G可证AEG BEC △≌△及BCE CDF △≌△ 可得DM CE ⊥ ∴GA BC = ∵BC AD = ∴GA AD = ∴12AM GD =又∵12AD GD =∴AD AM =13.∵CE CF =，BC CD =，BC CD ⊥，CF CD ⊥∴BCE ∆≌DCF ∆ ∴BEC DFC ∠=∠ ∵30FDC ∠=︒ ∴60BEC DFC ∠=∠=︒ ∵CF CD ⊥，CE CF = ∴45CEF ∠=︒ ∴105BEF ∠=︒14.⑴ ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．又∵ACE ∆是等边三角形，∴EO AC ⊥，即DB AC ⊥． ∴平行四边形ABCD 是菱形．⑵ ∵ACE ∆是等边三角形，∴60AEC ∠=︒． ∵EO AC ⊥，∴1302AEO AEC ∠=∠=︒．∵2AED EAD ∠=∠，∴15EAD ∠=︒．∴45ADO EAD AED ∠=∠+∠=︒．四边形ABCD 是菱形，∴290ADC ADO ∠=∠=︒ ∴四边形ABCD 是正方形．15.虑到将AM 、EP 集中到一条线段上，然后将CD 也平移过来.我们将视线集中在正方形ABFE 之中，通过ABG EHA ∆∆≌可以得证.过A 点作BC 的垂线，过P 作AG 的垂线，垂足分别为G 、H ，则有HGPN 为矩形，90BAG EAH AEH ∠=︒-∠=∠．90ABG BAG EAH ∠=∠︒-∠=∠．又因为AB AE =，所以ABG EHA ∆∆≌．所以2222EP AD HR AG CD +===GMFEDCBA16.分别过点D 、A 、F 作直线BC 的垂线，垂足分别为P 、R 、Q∵四边形ABDE 为正方形，∴AB ＝BD ，∠ABD ＝90° ∴∠DBP ＝∠BAR ，∴Rt △DPB ≌Rt △BAR ∴DP ＝BR ，PB ＝AR ，同理CQ ＝AR ，CR ＝FQ ∴PB ＝CQ又N 为BC 的中点，∴BN ＝NC ∴PB ＋BN ＝CQ ＋NC ，即PN ＝QN在直角梯形DPQF 中，M 为DF 的中点，N 为PQ 的中点 ∴MN ∥DP ，MN＝1 2 ( DP ＋FQ )＝ 1 2 ( BR ＋CR )＝ 1 2BC 又DP ⊥BC ，∴MN ⊥BC 即：MN ⊥BC 且MN ＝ 12BC17.（1）EG ＝CG ，EG ⊥CG（2）EG ＝CG ，EG ⊥CG证明：如图3，延长FE 交DC 延长线于H ，连接GH ∵∠AEH ＝90°，∠EBC ＝90°，∠BCH ＝90° ∴四边形BEHC 是矩形，∴BE ＝CH ，∠EHC ＝90° 又∵BE ＝EF ，∴EF ＝CH∵∠EHC ＝90°，FG ＝DG ，∴HG ＝ 12DF ＝FG ∵BC ＝EH ，BC ＝CD ，∴EH ＝CD ∵EF ＝CH ，∴FH ＝DH ，∴∠F ＝45°C ABDEGF 图2H又FG＝DG，∴∠CHG ＝12∠EHC＝45°∴∠F＝∠CHG，∴△EFG≌△CHG∴EG＝CG，∠EGF＝∠CGH∵∠FHC＝90°，FH＝DH，FG＝DG，∴HG⊥DF∴∠EGF＋∠EGH＝90°∴∠CGH＋∠EGH＝90°，即∠EGC＝90°∴EG⊥CG（3）EG＝C G，EG⊥CG证明：如图4，延长CG至H，使GH＝CG，连接HF、HE、EC ∵GF＝GD，∠HGF＝∠CGD，GH＝GC，∴△HFG≌△CDG∴HF＝CD，∠GHF＝∠GCD，∴HF∥CD∵正方形ABCD，∴HF＝BC，HF⊥BC∵△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE，EF⊥BE∴∠HFE＝∠CBE，∴△HFE≌△CBE∴EH＝EC，∠FEH＝∠BEC，∴∠HEC＝∠BEF＝90°∴△ECH为等腰直角三角形又∵GH＝GC∴EG＝CG，EG⊥CGCABD EGF图4HCABDEGF图3H。

初三上册正方形判定练习题

初三上册正方形判定练习题1. 介绍正方形正方形是一种特殊的四边形，它的四条边长度相等且四个内角均为直角。

正方形具有很多特性，比如对角线相等、对边平行等。

接下来，我们将通过练习题来测试你对正方形的判定能力。

2. 练习题一请判定下面的图形是否为正方形。

如果是，请说明理由；如果不是，请说明是什么图形。

a)AB = BC = CD = DAAD ⊥ ABb)PQ = QR = RS = SPPQ ⊥ PSc)EF = FG = GH = HEEG ⊥ EH3. 解析练习题一并且角BAD为90度。

b) 这个图形不是正方形。

虽然四条边PQ、QR、RS、SP的长度相等，但是角PSQ不是直角，而是锐角。

c) 这个图形不是正方形。

虽然四条边EF、FG、GH、HE的长度相等，但是角EGH不是直角，而是钝角。

4. 练习题二请判定下面的图形是否为正方形。

如果是，请说明理由；如果不是，请说明是什么图形。

a)MN = NO = OP = MP∠MNO = 90°b)QR = RS = ST = TQQS ⊥ QTc)UV = VW = WX = XUUY ⊥ UY5. 解析练习题二并且角MNO为90度。

b) 这个图形不是正方形。

虽然四条边QR、RS、ST、TQ的长度相等，但是角QST不是直角，而是钝角。

c) 这个图形不是正方形。

虽然四条边UV、VW、WX、XU的长度相等，但是角UYU不是直角，而是钝角。

6. 总结通过以上练习题，我们可以得出以下结论：- 要判断一个图形是不是正方形，需要满足四个内角均为直角且四条边长度相等。

- 如果只有四条边长度相等，而角不是直角，则图形不是正方形。

- 如果只有四个内角为直角，而边的长度不相等，则图形也不是正方形。

希望通过这些练习题，你能对正方形的判定有更进一步的理解和掌握。

继续努力，加油！。

初中正方形的判定专项练习30题

正方形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB=2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．2．已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？3．已知：如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，将△ADE绕点D旋转180°至△BDF．（1）小明发现四边形BCEF的形状是平行四边形，请你帮他把说理过程补齐．理由是：因为△BDF是由△ADE绕点D旋转180°得到的所以△ADE与△BDF全等且点A、D、B在同一条直线上点E、D、F也在同一条直线上．所以BF=AE，∠F=∠_________可得BF∥_________又因为E是AC的中点，所以EC=AE，所以BF= _________因此，四边形BCEF是平行四边形（根据_________ ）（2）小明还发现在原有的△ABC中添加一个条件后，就可以使四边形BFEC成为一种特殊的平行四边形．你也来试试．你认为添加条件_________ 后，四边形BFEC是_________ ．（友情提示：我们将根据你所提出问题的难易程度，给予不同的分值．）理由是：_________ ．4．如图，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，求证：四边形EMFN是正方形．5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于点F．求证：（1）点F为AC中点；（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件？并证明你的结论．6．求证：对角线相等的菱形是正方形．已知：四边形ABCD是菱形，且AC=BD （又：AC，BD互相平分）求证：四边形ABCD是正方形．7．在△ACD中，∠D=90°，∠D的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．8．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？9．如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（2）当∠A=90°时，求证：四边形AFDE是正方形．10．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG 与CD相交于点F．求证：四边形ABCD是正方形．11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）若再添加一个条件，即可证得四边形AEDF为正方形，这个条件是_________ ．12．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形．13．已知：如图，在△ABC是，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为EF，求证：四边形CFDE 是正方形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（2）若∠A=90°，判断四边形AEDF的形状，并说明理由．15．如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．（1）说明 EO=FO．（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？16．如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E（1）求证：PD=PE；（2）DE与BC平行吗？请说明理由；（3）请添加一个条件，使四边形ADPE为正方形，并加以证明．17．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，（1）求∠ADB的度数；（2）试说明四边形CEDF是什么形状的特殊四边形．18.证明：对角线相等的菱形是正方形．19．已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．21．如图所示，在Rt△ABC中，CF为直角的平分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是怎样的四边形，为什么？22．如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形．23．如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．24．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CEDF是正方形．25．如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．求证：四边形EFGH是正方形．26．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．27．已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形，并说明理由．28．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．29．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB．（1）如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是_________ 形；（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是_________ 形；（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是_________ 形，证明你的结论（仅需证明第3）题结论）30．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）矩形的判定30题参考答案：1.（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．∵△ACE是等边三角形，∴AE=CE．∴BE⊥AC．∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO=90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO=60°，∴∠AEB=30°∵∠AEB=2∠EAB，∴∠EAB=15°，∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60°﹣15°=45°．又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD=2∠BAO=90°∴四边形ABCD是正方形．2．（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°，∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．（2）答：当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由是：∵∠ACE=∠ACB=45°，∵∠AEC=90°，∴∠EAC=45°=∠ACE，∴AE=CE，∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．3．（1）故答案为∠AED（1分）；BF∥AC（2分）；EC（3分）；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．（2）A层次：（提出问题（1分），说理1分）添加条件∠C=90°后四边形BFEC为矩形．（5分）理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．（6分）．B层次：（提出问题分，说理1分）添加条件AC=2BC后四边形BFEC为菱形．理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形又知AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，即一组邻边相等的平行四边形是菱形．C层次：（提出问题（3分），说理3分）添加条件∠C=90°且AC=2BC时四边形BFEC为正方形．（7分）理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此时四边形BFEC为矩形，又因为AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，一组邻边相等的矩形是正方形，所以此时四边形BFEC为正方形．4．∵四边形ABCD是矩形，∴四个内角均为90°，∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴△EBC为等腰直角三角形，∴∠E=90°，同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°，∴四边形MFNE为矩形，∵AD=BC，∠E=∠F=90°，∠DAF=∠EBC=45°，∴△DAF≌△CBE（AAS）∴AF=BE，∵AM=BM，∴AF﹣AM=BE﹣BM，即FM=EM，∴四边形MFNE是正方形．5．（1）∵四边形DBEC是平行四边形，∴DE∥BC，∵D为AB中点，∴DF为△ABC的中位线，即点F为AC的中点；（2）∵平行四边形BDEC，∴CE平行等于BD．∵D为AB中点，∴AD=BD，∴CE平行且等于AD，∴四边形ADCE为平行四边形，又∵AD=CD=BD，∴四边形ADCE为菱形；（3）应添加条件AC=BC．证明：∵AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°．∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）6．∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD也是平行四边形，又∵AC=BD（且AC，BD互相平分），∴四边形ABCD也为矩形，又∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形．7．∵DE平分∠ADE，EF⊥AD，EF⊥AD，∴EF=EG，∵DE=DE，∴△DEF≌△DGE（HL），∴∠DEF=∠EDG，∠DEG=∠EDF，∴FE∥DG，GE∥DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∵∠EFD=90°，∴四边形EFDG是矩形，∵EF=EG，∴四边形EFDG是正方形．8．Ⅰ）法1：答：当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，又∵AM=DM，∴△AMB≌△DMC（SAS）∴∠AMB=∠DMC∵四边形PEMF为矩形，∴∠BMC=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°∴AM=DM=DC，即AD=2DC．∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；法2：∵四边形PEMF为矩形，∴∠M为直角，∴B、C、M三点共圆，BC为直径，又∵M为AD的中点，∴BC=2CD，∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．（Ⅱ）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．∵△AMB≌△DMC，∴MB=MC．∵四边形PEMF为矩形，∴PE∥MB，PF∥MC又∵点P是BC中点，∴PE=PF=MC∴四边形PEMF为正方形．9．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，在Rt△BDF和Rt△CDE 中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；（2）答：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形10．∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，∴∠CBE=∠ABE=45°，∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，∴AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD是正方形．11．（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，又∵D是BC中点，AB=AC，∴BD=CD，在△BFD与△CED中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）解：当△ABC为等腰直角三角形时，则有AE=DE=DF=AF，四边形AEDF为菱形，又∵∠A=90°，∴菱形AEDF为正方形12．过点D作DG⊥AB，垂足为G，∵∠CFD=∠CED=∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形．∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的平分线，∴DF=DG，DG=DE．∴DF=DE．∴四边形CFDE是正方形．13．∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形CFDE是矩形．.又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF．∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．14．（1）∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C．∵D为BC边的中点，∴BD=CD．在△BED与△CFD中，∵，∴△BED≌△CFD（AAS）；（2）四边形AEDF是正方形．理由如下：∵∠DEB=90°，∠A=90°，∴∠DEB=∠A，∴AF∥ED．同理，AE∥FD，∴四边形AEDF是矩形．又由（1）知，△BED≌△CFD，∴ED=FD，∴矩形AEDF是正方形15．（1）∵MN∥BC，∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∵CE，CF分别为∠BCA，∠GCA的角平分线，∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF，（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形，（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∵AC⊥BC，MN∥BC，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．16．1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠PDB=∠PEC=90°，∵P是BC的中点，∴BP=PC，即∠BDP=∠PEC=90°，∠B=∠C，PB=PC，∴△PDB≌△PEC，∴PD=PE．（2）答：DE∥BC，理由是：∵△PDB≌△PEC，∴BD=CE，∵AB=AC，∴=，∴DE∥BC．（3）答：当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形，证明：∵∠A=∠ADP=∠AEP=90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AE，∴矩形ADPE是正方形，即当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形．17．（1）∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=×90°=45°，∴∠ADB=180°﹣45°=135°；（2）四边形CEDF是正方形．过D作DG⊥AB于G，∵AD、BD是∠CAB、∠CBA的平分线，∴DF=DG，DE=DG，∴DF=DE，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC 于F，∴四边形CEDF是正方形．18．连接AC、BD相交于O∵菱形ABCD∴OA=OC=AC，OB=OD=BD∵AC=BD∴OA=OB∵OA⊥OB（菱形的对角线互相垂直）∴∠OAB=∠OBA=45°同理∠OBC=∠OCB=45°..∴∠OBA+∠OBC=90° ∴∠ABC=90°∴ABCD 是正方形．19．①∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形； ②∵四边形AEDF 为菱形， ∴AD 平分∠BAC ，则AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 为菱形； ③由四边形AEDF 为正方形，∴∠BAC=90°， ∴△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形即可 20．∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠AED=90°，∠AFD=90° ∵∠BAC=90° ∴∠EDF=90° ∴□AEDF 是矩形在△BDE 和△CDF 中 ∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠DEB=∠DFC 又∵D 是BC 的中点 ∴BD=DC∴△BDE ≌△CDF ∴DE=DF∴□AEDF 是正方形21．四边形CDFE 是正方形理由如下：∵FD ⊥AC ，FE ⊥BC ，AC ⊥BC ∴四边形CDFE 是矩形 ∵CF 平分∠ACB ∴∠FCD=45° ∴CD=DF∴四边形CDFE 是正方形22．∵∠ABC=90°，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ， ∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°． ∴四边形BEDF 为矩形．又∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ， ∴DF=DE ．∴矩形BEDF 为正方形．23．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG ，又∵BE=CF=DG=AH ， ∴CG=DH=AE=BF∴△AEH ≌△CGF ≌△DHG ，∴EF=FG=GH=HE ，∠EFB=∠HEA ， ∴四边形EFGH 为菱形，∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA ， ∴∠FEB+∠HEA=90°，∴四边形EFGH 是正方形．24．∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ， ∴DE=DF ，∠DFC=90°，∠DEC=90°，又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF 是矩形， ∵DE=DF ，∴矩形DECF 是正方形．25．∵矩形的ABCD 的外角都是直角，HE ，EF 都是外角平分线，∴∠BAE=∠ABE=45°． ∴∠E=90°．同理，∠F=∠G=90°． ∴四边形EFGH 为矩形．∵AD=BC ，∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45°， ∴△ADH ≌△BCF （AAS ）． ∴AH=BF ．又∵∠EAB=∠EBA ， ∴AE=BE ．∴AE+AH=EB+BF ，即EH=EF ． ∴矩形EFGH 是正方形．26．四边形ABCD 满足AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为正方形．理由如下：∵E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EF ∥AC ，且EF=AC ， EH ∥BD ，且EH=BD ，∵四边形EFGH 是正方形， ∴EF=EH ，EF ⊥EH ， ∴AC=BD ，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 满足对角线互相垂直且相等时，四边形EFGH 是正方形．..即四边形ABCD 满足AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为正方形．27．本题答案不唯一，以下是其中两种解法：（1）添加条件AB ∥DC ，可得出该四边形是矩形；理由：∵AB ∥DC ，AB=DC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形．（2）添加条件AC 垂直平分BD ，那么该四边形是正方形．理由：∵AC 垂直平分BD ， ∴AB=AD ，BC=CD ． ∵AB=DC ，∴AB=AD=BC=DC ．∴四边形ABCD 是菱形． ∵AC 垂直BD ，∴四边形ABCD 是正方形．28．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO=AC ，∵EA=EC ， ∴EO ⊥AC ，即BD ⊥AC ，∴平行四边形ABCD 是菱形；（2）∵∠1=∠EAD+∠AED ，∠DAC=∠EAD+∠AED ， ∴∠1=∠DAC ， ∴AO=DO ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC=2AO ，DB=2DO ， ∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是正方形．29．（1）∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，又∵∠BAC=90°，∴四边形AEDF 是矩形；（2）∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴∠ADE=∠DAF ，四边形AEDF 是平行四边形，又∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAE=∠DAF ， ∴∠ADE=∠DAE ， ∴AE=DE ，∴▱AEDF 是菱形；（3）由（1）知四边形AEDF 是矩形，由（2）知四边形AEDF 是菱形，所以四边形AEDF 是正方形． 30．（1）四边形ADEF 是平行四边形． ∵等边三角形BCE 和等边三角形ABD ， ∴BE=BC ，BD=BA ．又∵∠DBE=60°﹣∠ABE ，∠ABC=60°﹣∠ABE ， ∴∠DBE=∠ABC ．在△BDE 和△BCA 中，∴△BDE ≌△BCA ．（2分） ∴DE=AC ．∵在等边三角形ACF 中，AC=AF ， ∴DE=AF ．同理DA=EF ．∴四边形ADEF 是平行四边形．（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF 是矩形．（5分）理由：∵∠DAF=360°﹣∠DAB ﹣∠BAC ﹣∠CAF=90°， ∴▱ADEF 是矩形．（3）当AB=AC ，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF 是菱形．（6分）理由：∵AB=AC ， ∴AD=AF ，∴▱ADEF 是菱形．（4）当∠BAC=150°且AB=AC ，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF 是正方形．（7分）（5）当∠BAC=60°时，以A ，D ，E ，F 为顶点的四边形不存在．（8分）。

初二正方形性质及判定练习题

初二正方形性质及判定练习题
形状与性质
正方形是一种特殊的四边形，具有以下性质：
1. 四条边相等：正方形的四条边的长度相等。

2. 四个角相等：正方形的四个角的大小都是90度。

3. 对角线相等：正方形的对角线长度相等。

4. 正方形是菱形：正方形的对角线相互垂直，且长度相等，因此也是菱形的一种特殊情况。

判定练题
以下是一些判定练题，帮助你巩固对正方形性质的理解：
1. 判断下列图形是否为正方形：
A. ![正方形A](image-link)
B. ![正方形B](image-link)
C. ![图形C](image-link)
D. ![图形D](image-link)
答案：A是正方形，B是正方形，C不是正方形，D不是正方形。

2. 若两个正方形的边长分别为4cm和6cm，哪个正方形的面积更大？
答案：边长为6cm的正方形面积更大，因为面积与边长的平方成正比。

3. 若一个正方形的对角线长度为10cm，求其边长。

答案：根据正方形的性质，对角线长度等于边长乘以√2，所以边长等于10cm除以√2，约为7.07cm。

4. 若一个四边形的边长均为5cm，四个角的大小均为90度，是否一定是正方形？
答案：不一定，虽然满足了长宽相等和角度为90度的条件，但没有保证对角线相等，因此不一定是正方形。

5. 若一个四边形的对角线相等，四个角的大小均为90度，是否一定是正方形？
答案：是的，根据这些条件可以确定该四边形是正方形，因为这些是正方形的定义性质。

以上是关于初二正方形性质及判定练习题的内容。

希望能够帮助你更好地理解和应用正方形的性质。

正方形的性质专项练习30题(有答案)ok

正方形的性质专项练习30题（有答案）1．如图，在正方形ABCD中，AB=4，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC．求△AEF的面积．2．如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：四边形BFDE是平行四边形．3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F，求证：EF+AC=AB．4．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED；①求证：△BEC≌△DEC；②延长BE交AD于点F，若∠DEB=130°，求∠AFE的度数．5．如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．（1）求证：∠1=∠2；（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论．6．如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由．7．如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且BE=CF，试判断AE、BF的关系，并说明理由．8．如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且∠AEC=132°，求∠DAE的度数．9．如图，在正方形ABCD中，AE=AB，∠AEB=75°．求证：（1）△BEF是等腰三角形；（2）点E在线段AD的垂直平分线上．10．如图，E是正方形ABCD外的一点，连接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，点F在DE上，连接AF，BE=DF．（1）求证：△ADF≌△ABE；（2）小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE=AE．请你说明理由．11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；（2）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．12．如图，延长正方形ABCD的边BC到E，使CE=CB，连接AE交CD于F，连接BF．△BEF和△ABF是否是等腰三角形，说明理由．13．如图，正方形ABCD中，M是BC上任意一点（点M与B、C不重合），DE⊥AM于E，BF⊥AM于F，在图中找出一对全等三角形，并加以证明．14．如图，E是正方形ABCD中AD边的中点，延长BA到点F，使AF=AE，判断BE与DF之间有何关系？并说明理由．15．已知，如图，正方形ABCD的面积为100，菱形PQCB的面积为80，求阴影部分的面积．16．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．求证：BE=DG．17．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）求证：∠ADP=∠EPB；（2）求∠CBE的度数．18．在△ABC中，∠C=90°，四边形ABDE，AGFC都是正方形，如图，求证：BG=EC．19．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．求证：BE=DF．20．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB，那么DF，BE在数量上有什么关系，并说明理由．21．如图，E为正方形ABCD的对角线AC上一点，过点E作EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接FG．（1）若AE=AB，求∠CDE的度数．（2）FG与DE相等吗？为什么？22．如图，在正方形ABCD中，E为线段CD上一点，且DE=3CE，M、N分别是AD、AE的中点，点F在CD的延长线上，且∠DMF=∠DAE．（1）求cos∠DAE的值；（2）求证：四边形MNEF是等腰梯形．23．如图，正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，请利用旋转知识，证明∠APB=135°．（提示：将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△BCP′，连接PP′）．24．如图，E为正方形ABCD外一点，且△ADE为等边三角形，试求∠CEB的度数．25．如图，正方形ABCD中，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE，连接BG并延长交DE于H．（1）求证：∠BGC=∠DEC．（2）若正方形ABCD的边长为1，试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？26．点E是正方形ABCD外一点，点F在DE上，且AF=AE=，∠EAF=90°，FB=3．（1）求证：△AFD≌△AEB；（2）求∠DEB的度数；（3）求正方形ABCD的面积．27．如图，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB 于点F．求证：AF=BE．28．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上的一点，连接DE，过A作AF⊥DE于F，过C作CG⊥DE于G．已知AF=1，CG=2，求正方形的边长．29．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点（E与A、D不重合）．连接CE，将△CED绕点D顺时针旋转90°，得到△AFD．（1）猜想CE和AF之间的关系，并进行证明．（2）连接EF，若∠ECD=30°，求∠AFE的度数．30．如图，正方形ABCD的边长为1，G是CD边上的一个动点（G不与C、D重合），以CG为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF，连接DE、BG，并延长BG交DE于点H．（l）求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．（2）当点G运动到何处时，四边形DGEF是平行四边形，并加以证明．（3）当点G运动到何处时，BH垂直平分DE？请说明理由．参考答案：1．由题意知正方形ABCD的边长为4，则EC=1，BE=3，CF=DF=2，由勾股定理，得，AE2=AB2+BE2=42+32=25，AF2=AD2+DF2=42+22=20，EF2=EC2+CF2=12+22=5，∴AF2+EF2=AE2，由勾股定理的逆定理知△AEF是以AE为斜边的直角三角形．∴S△AEF=AF•EF=××==5．2．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，AD∥BC，即DE∥BF，∵点E、F是AD、BC的中点，∴DE=AD，BF=BC，∴DE=BF，又DE∥BF∴四边形BFDE是平行四边形3．如图，过F作FM⊥AB于点M，∵AC⊥BD于点E，∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，∵AF平分∠BAC，∴EF=MF．又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM，∵∠MFB=∠ABF=45°，∴MF=MB，∴MB=EF，∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠DCA=∠BCA，∵CE=CE，∴△BEC≌△DEC．（2）解：∵∠DEB=130°，∵△BEC≌△DEC，∵∠DAB=90°，∴∠DAC=∠BAC=45°，∴∠AFE=180°﹣65°﹣45°=70°．答：∠AFE的度数是70°．5．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠BAF=45°，在△ADF与△ABF 中，，∴△ADF≌△ABF（SAS），∴∠1=∠2；（2）如图：AE⊥DF．设AE与DF相交于点H，∵四边形ABCD是正方形，E是DC的中点，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴∠3=∠4，又∵∠1=∠2（已证），∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∴∠AHD=90°，∴AE⊥DF．6．∵AB=4，CE=BC，∴EC=1，BE=3，∵F为CD的中点，∴DF=FC=2，∴EF==，AF==，AE==．∴AE2=EF2+AF2．∴△AEF是直角三角形．7．AE=BF且AE⊥BF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°．∴△ABE≌△BCF（SAS）∴AE=BF，∠BAE=∠CBF．∵∠ABE=90°∴∠BAE+∠AEB=90°∴∠CBF+∠AEB=90°∴∠BGE=90°∴AE⊥BF．∴AE=BF且AE⊥BF．8．在正方形ABCD中，AB=CB，∠ABE=∠CBE=∠ADB=45°，在△ABE和△CBE 中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠AEB=∠CEB，∵∠AEC=132°，∴∠AEB=×132°=66°，∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADB=66°﹣45°=21°．9．（1）∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB=75°，∴∠FBE=∠ABE﹣∠ABD=75°﹣45°=30°，在△BEF中，∠BFE=180°﹣∠FBE﹣∠AEB=180°﹣30°﹣75°=75°，∴∠BFE=∠AEB，∴BF=BE，即△BEF是等腰三角形；（2）连接DE，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=180°﹣75°﹣75°=30°，∴∠DAE=∠DAB﹣∠BAE=90°﹣30°=60°，∵正方形ABCD中，AD=AB，又∵AB=AE，∴AE=AD，∴△ADE是等边三角形．∴AE=DE，∴点E在线段AD的垂直平分线上．10．（1）∵四边形正ABCD是正方形，∴AB=AD，，∴△ADF≌△ABE；（2）理由如下：由（1）有△ADF≌△ABE，∴AF=AE，∠3=∠4，在正方形ABCD中，∠BAD=90°，∴∠BAF+∠3=90°，∴∠BAF+∠4=90°，∴∠EAF=90°，∴△EAF是等腰直角三角形，∴EF2=AE2+AF2，∴EF2=2AE2，∴EF=AE，即DE﹣DF=AE，∴DE﹣BE=AE．11．（1）证明：在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°，在△ADQ和△ABQ 中，，∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；（2）若△ADQ是等腰三角形，则有①如图1，AQ=DQ时，点Q为正方形ABCD的中心，点B、P重合；②如图2，AQ=AD时，根据等边对等角有∠ADQ=∠AQD，∵正方形ABCD的边长为4，∴AC==4，∴CQ=AC﹣AQ=4﹣4，∵AD∥BC，∴∠CPQ=∠ADQ，∴∠CQP=∠CPQ，∴CP=CQ=4﹣4，此时点P在距离点B：4﹣（4﹣4）=8﹣4；③如图3，AD=DQ时，点C、P、Q三点重合；综上所述，当点P运动到①点B的位置；②在BC上，且到点B的距离为8﹣4处；③运动到点C的位置时，△ADQ恰为等腰三角形12．△BEF和△ABF是等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵CE=CB，DC⊥BE，∴BF=EF，∴△BEF是等腰三角形，∵FC∥AB，∴=又∵BC=EC，∴EF=AF，∴△ABF是等腰三角形13．△ADE≌△BAF．证明：∵DE⊥AM于E，BF⊥AM，∠AFB=∠AED=90°．又∵∠BAF+∠EAD=90°，在直角△ABF中，∠BAF+∠ABF=90°．∴∠ABF=∠EAD．∴在△ADE与△BAF中：∴△ADE≌△BAF．14．BE=DF且BE⊥DF．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠FAD=∠EAB=90°，AD=AB，而AF=AE，∴把△AFD绕点A顺时针旋转90°后得到△AEB；延长BE交DF于G，如图，∵把△AFD绕点A顺时针旋转90°后得到△AEB，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，∵∠AEB=∠DEG，∠BAE=90°∴∠ABE+∠AEB=∠ADF+∠DEG=90°，∴∠DGE=90°，即BE⊥DF，∴BE=DF且BE⊥DF．15．∵正方形ABCD的面积是100，∴AB=BC=BP=PQ=QC=10，又∵S菱形BPQC=PQ×EC=10×EC=80，∴EC=8，在Rt△QEC中，EQ==6；∴PE=PQ﹣EQ=4，∴S阴影=S正方形ABCD﹣S梯形PBCE=100﹣×（10+4）×8=100﹣56=44．16．∵四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，∴在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG．17．1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=90°，∴∠ADP+∠DPA=90°，又∵线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，∴∠DPE=90°，∴∠DPA+∠EPB=90°，∴∠ADP=∠EPB；（2）过E点作EG⊥AB于G，如图，∵线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，∴PD=PE，而∠ADP=∠EPB，又∵∠A=∠G=90°，∴Rt△PAD≌Rt△EPG，∴AP=EG，AD=PG，而AD=AB，∴AP+PB=PB+BG，∴AP=BG，∴BG=EG，∴△EBG为等腰直角三角形，∴∠EBG=45°，∴∠CBE=45°．18．∵四边形ABDE，AGFC都是正方形，∴∠EAC=∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴BG=CE．19．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCD=∠DCF=90°，在△BCE和△DCF中，∵，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴BE=DF20．DF=BE．理由如下：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠DAF=180°﹣90°=90°，∴∠BAD=∠DAF，∵E是AD的中点，∴AE=AD=AB，∵AF=AB，∴AE=AF，∵在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴DF=BE．21．（1）由题意得，AE=AB=AD，∠DAE=45°，故可得∠ADE=∠AED=67.5°，故∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣∠ADE=22.5°；（2）FG和DE相等．理由如下：由题意得，EN=EG，EM=EF=ND，（角平分线上的点到角的两边距离相等），在Rt△GEF和Rt△END 中，，故△GEF≌△END（HL），故可得出FG=DE．22．（1）在正方形ABCD中，设DC=4a，∵DE=3CE，∴DE=3a，∴在Rt△ADE中，AE=5a，∴cos∠DAE==；（2）∵M、N分别是AD、AE的中点，∴MN∥DE且MN=DE，∴∠AMN=90°．在△AMN和△MDF中，有∠AMN=∠MDF=90°，AM=MD，∠DAE=∠DMF，∴△AMN≌△MDF，∴MF=AN，又AN=NE，∴MF=NE，又MN∥EF且MN≠EF，∴四边形MNEF是等腰梯形．23．如图，画出旋转后的图形，并连接PP′．设PA=x，PB=2x，PC=3x，∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BP′C，∴△BP′C≌△APB，∠APB=∠BP′C，∴△BP′P为等腰直角三角形，∴∠BP′P=45°，∵PB=BP′=2x，∴PP′==2 x，∵PC=3x，CP′=PA=x，∴PC2=PP′2+CP′2，∴∠PP′C=90°，∴∠APB=∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°．24．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=CD，∠CDA=∠DAB=90°，又∵△ADE为等边三角形，∴AE=AD=DE，∠EDA=∠EAD=∠AED=60°，∴AB=AE=CD=CE，∠EDC=∠EAB=150°，∴△ABE和△DCE都为全等的等腰三角形，（4分）∴∠AEB=∠DEC==15°，（6分）∴∠CEB=60°﹣15°﹣15°=30°．25．（1）证明：∵四边形ABCD、GCEF都是正方形，∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，GC=EC∴△BCG≌△DCE∴∠BGC=∠DEC（2）连接BD如果BH垂直平分DE，则有BD=BE∵BC=CD=1，∴BD=（8分）∴CE=BE﹣BC=﹣1∴CG=CE=﹣1即当CG=﹣1时，BH垂直平分DE．26．1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=90°，又∵∠EAF=90°，∴∠EAB=∠DAF，在△AFD与△AEB中，∵，∴△AFD≌△AEB（SAS）；（2）解：∵AF=AE=，∠EAF=90°，∴∠AFE=∠AEF=45°，∵∠AFE+∠DFA=180°，∴∠DFA=135°，∵△AFD≌△AEB，∴∠AEB=∠DFA=135°，∴∠DEB=∠AEB﹣∠AEF=135°﹣45°=90°；（3）在Rt△AEF中，EF===2，在Rt△BEF中，BE===，∵△AFD≌△AEB，∴DF=BE=，连接BD，设正方形ABCD的边长为x，则在Rt△ABD 中，BD=x，在Rt△BED中，BE2+DE2=BD2，即（）2+（2+）2=（x）2，∴x2=7+2，∴正方形ABCD的面积为（7+2）．27．∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠CDA=∠DAB=∠B=90°，∵DG⊥AE，∴∠DGA=90°，∴∠ADG+∠DAG=90°，∵∠ADG+∠EAB=90°，∴∠ADG=∠EAB，∵AD=AB，∠DAF=∠B=90°，∴△ADF≌△BAE，∴AF=BE．28．∵ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∴∠CDG+∠FDA=90°，∵AF⊥DE，CG⊥DE，∴∠AFD=∠CGD=90°，∴∠FAD+∠FDA=90°，∴∠FAD=∠CDG，∴△ADF≌△DCG，∴FD=CG=2，∴AD==．故正方形的边长为．29．（1）CE=AF，且CE⊥AF（1分）证明：如图，∵△AFD是由△CED绕点D顺时针旋转90°而得到的．∴△ADF≌△CDE，∴CE=AF，∠1=∠2，DE=DF．（3分）延长CE交AF于点G．∵四边形ABCD是正方形，∠CDA=90°．又∠3=∠4，∠2+∠4+∠EGA=∠1+∠3+∠CDE=180°∴∠EGA=∠CDE=90°即CE⊥AF；（5分）（2）∵∠1=30°，∠2=30°又∠ADF=90°，∴∠AFD=60°（7分）∵DE=DF，∴∠EFD=45°（9分）∴∠AFE=∠AFD﹣∠EFD=15°30．1）证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），②∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∠CBG+∠BGC=90°，∴∠CDE+∠DGH=90°，∴∠DHG=90°，∴BH⊥DE；（2）解：当G是CD的中点，即CG=CD时，四边形DGEF是平行四边形．理由：连接DF、GE，∵G是CD的中点，∴CG=GD，∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴DG∥EF，CG=EF，∴DG=EF，∴四边形DGEF是平行四边形．∴当G是CD的中点，即CG=CD时，四边形DGEF 是平行四边形．（3）解：当CG=﹣1时，BH垂直平分DE，理由：连接BD，∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴∠A=90°，AB=AD=BC=1，∴BD==，∵CG=﹣1，∴BE=BC+CE=，∴BD=BE，∵BH⊥DE，∴DH=EH，∴BH垂直平分DE，∴当CG=﹣1时，BH垂直平分DE．。

正方形的判定练习题

正方形的判定练习题一、选择题1. 下列说法中，正确的是（）A. 一组邻边相等的四边形是正方形B. 对角线互相垂直的四边形是正方形C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形2. 一个四边形的对角线互相垂直，且一条对角线平分另一条对角线，这个四边形是（）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形3. 如果一个四边形是正方形，那么它的四个角的度数分别是（）A. 90°B. 120°C. 135°D. 180°二、填空题4. 一个正方形的四条边都相等，其对角线的长度相等且互相________。

5. 正方形的对角线与边的关系是：对角线长度是边长的________倍。

6. 如果一个正方形的边长为a，那么它的面积是________。

三、判断题7. 一个四边形的对角线相等，那么这个四边形一定是正方形。

（）8. 正方形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。

（）9. 正方形的四个角都是直角，因此它是一个特殊的矩形。

（）四、简答题10. 描述如何通过已知正方形的边长来计算其对角线的长度。

五、证明题11. 证明：如果一个四边形的一组邻边相等，且对角线互相垂直平分，则这个四边形是正方形。

六、计算题12. 已知正方形的边长为10厘米，求其对角线的长度。

七、应用题13. 在一个正方形的平面图中，有四个点A、B、C和D，它们分别位于正方形的四个顶点上。

如果AB=BC=CD=DA=10，求正方形的面积和对角线的长度。

八、探索题14. 探索并证明：正方形的对角线将正方形分成四个等腰直角三角形。

九、作图题15. 根据题目要求，画出一个边长为5厘米的正方形，并标出其对角线。

十、综合题16. 一个正方形的对角线长度为20厘米，求正方形的边长，并计算其面积。

十一、开放性问题17. 如果你有一个正方形的瓷砖，边长为x厘米，如何计算需要多少块这样的瓷砖来铺设一个面积为100平方厘米的正方形区域？注意：以上题目的答案需要根据几何学原理进行解答，确保解题过程的逻辑性和准确性。

九年级数学正方形的判定(基础)(含答案)

正方形的判定（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列说法，错误的是( )A.所有的平行四边形都是中心对称图形B.矩形是轴对称图形C.菱形不是轴对称图形D.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形答案：C解题思路：所有平行四边形均为中心对称图形，对称中心为对角线的交点；矩形是轴对称图形，对称轴为过中心且与边垂直的直线；菱形是轴对称图形，对称轴为对角线所在直线；综上，A，B，D正确，C错误．试题难度：三颗星知识点：略2.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.每一条对角线平分一组对角答案：A解题思路：所有平行四边形均满足对角线互相平分；矩形对角线相等但不垂直，不平分一组对角；菱形对角线相互垂直但不相等，平分一组对角；正方形对角线相等，互相垂直，且平分一组对角．综上，A正确．试题难度：三颗星知识点：略3.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )A.8B.C. D.16答案：A解题思路：正方形的一条对角线长为4，则边长为，面积为8试题难度：三颗星知识点：略4.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连接CE，则∠BCE的度数是( )A.22.5°B.25°C.30°D.无法确定答案：A解题思路：如图，∵四边形ABCD是正方形，AE=AC∴∠CAB=∠ACB=45°，∠ACE=(180°-45°)=67.5°∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°试题难度：三颗星知识点：略5.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的的度数为( )A.15°B.35°C.45°D.55°答案：C解题思路：∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形∴AD=AB，∠DAB=90°，AE=AB，∠EAB=∠AEB=60°∴△ADE为等腰三角形，且∠EAD=150°∴∠AED=15°∴∠BED=∠AEB-∠AED=60°-15°=45°试题难度：三颗星知识点：略6.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为( )A.5B.C.7D.答案：D解题思路：由旋转性质，则△ADE≌△ABF∴S四AECF=S△ABF+S四ABCE=S△ADE+S四ABCE=S正ABCD=25∴AD=5∴Rt△ADE中，∠D=90°，AD=5，DE=2，由勾股定理得AE=试题难度：三颗星知识点：略7.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是( )A. B.5C. D.20答案：C解题思路：如图，连接BD交AC于点O．∵四边形ABCD为正方形，AE=CF∴AO=OC，BO=OD，BD⊥AC∴AO-AE=CO-OF，即EO=OF∴四边形BEDF为菱形∵AC=8，CF=2∴OC=OD=4，OF=OC-FC=2Rt△DOF中，∠DOF=90°，OF=2，OD=4，由勾股定理得DF=故菱形BEDF的周长为4DF=试题难度：三颗星知识点：略8.如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF，连接AE，AF，EF．若AE=5，则EF的长为( )A. B.C.10D.无法确定答案：A解题思路：∵四边形ABCD为正方形，BE=DF∴AB=AD，∠B=∠ADC=∠ADF=90°∴△ABE≌△ADF∴AE=AF，∠BAE=∠DAF∴∠EAF=∠DAF+∠DAE=∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°∴△EAF为等腰直角三角形且AE=5∴EF=AE=试题难度：三颗星知识点：略9.如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF 交DC于点E，则DE的长是( )A.1B.C.2D.答案：C解题思路：如图，连接AE．∵四边形ABCD为正方形，△ABG沿AG对折至△AFG∴AF=AB=AD，∠AFG=∠B=∠D=90°∴∠AFE=∠D=90°∵AE=AE∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL）∵G是BC的中点，BC=6，若设DE=x则CG=3，FG=BG=3，EF=DE=x，CE=6-xRt△CGE中，由勾股定理CG2+CE2=EG2即32+(6-x)2=(3+x)2，解得x=2∴DE的长是2试题难度：三颗星知识点：略10.如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．若正方形边长是5，BE=2，则AF的长为( )A.4B.C. D.答案：B解题思路：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°∵BH⊥AE∴∠BAE+∠BEA=90°，∠EBH+∠BEA=90°∴∠BAE=∠EBH∴△ABE≌△BCF（ASA）∴CF=BE∵BC=5，BE=2∴AD=5，DF=3则Rt△ADF中，利用勾股定理可得AF=试题难度：三颗星知识点：略。

判断正方形练习题

判断正方形练习题正方形是一种常见的几何图形，具有特定的属性和特征。

判断正方形的练习题有助于巩固对正方形的认识和理解。

下面将介绍几道判断正方形的练习题，并提供详细解答。

练习题1：给出一个四边形ABCD，判断是否为正方形，理由是什么？解答1：要判断一个四边形是否为正方形，需要满足以下条件：1. 四条边的长度相等；2. 对角线相等且互相垂直；3. 每条内角均为90度。

若四边形ABCD满足以上所有条件，则可以判断其为正方形。

练习题2：给出一个四边形EFGH，已知EF=FG=GH=HE，且对角线EG和FH 相等且互相垂直，判断是否为正方形。

解答2：根据题意，已知四边形EFGH满足以下条件：1. 四条边的长度相等：EF=FG=GH=HE；2. 对角线相等且互相垂直：EG=FH，且EG⊥FH。

由题意可知，四边形EFGH满足了正方形的所有条件，因此可以判断它是一个正方形。

练习题3：给出一个四边形IJKL，已知IJ=JK=KL=LI，并且对角线IK和JL相等，但不垂直，判断是否为正方形。

解答3：根据题意，已知四边形IJKL满足以下条件：1. 四条边的长度相等：IJ=JK=KL=LI；2. 对角线相等：IK=JL；3. 对角线不垂直：IK⊥JL不成立。

由于对角线IK和JL不垂直，不满足正方形的所有条件，因此可以判断四边形IJKL不是一个正方形。

练习题4：给出四个点M、N、O、P，已知MN=NO=OP，且对角线MO和NP相等，判断四边形MNOP是否为正方形。

解答4：根据题意，已知四边形MNOP满足以下条件：1. 四条边的长度相等：MN=NO=OP；2. 对角线相等：MO=NP。

对于判断四边形MNOP是否为正方形，还需验证其他条件，包括内角是否为90度。

由于题目未给出四边形MNOP的内角信息，无法确定是否为正方形。

因此，需要更多的信息或条件来判断。

通过以上练习题，我们可以应用正方形的定义和特征，运用几何知识来判断一个四边形是否为正方形。

正方形的性质与判定(八大类型)(原卷版)

专题03 正方形的性质与判定（八大类型）【题型1 正方形的性质】【题型2 正方形的判定】【题型3 矩形的性质与判定综合运用】【题型4 正方形中最小值问题】【题型5 正方形-对角互模型】【题型6 正方形-半角互模型】【题型7 正方形-手拉手模型】【题型8 正方形-十字架模型】【题型1 正方形的性质】1．（2023春•增城区期中）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB度数为（）A．10°B．15°C．22.5°D．30°2．（2023春•鼓楼区期中）矩形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．邻边相等C．对角线互相垂直D．对角线平分对角3．（2023春•张北县校级期中）四边形ABCD是正方形，E为CD．上一点，连接AE，过B作BF⊥AE于E，∠ABF＝30°且，则正方形ABCD的周长为（）A．B．C．24D．6 4．（2023•官渡区校级模拟）用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形ABCD，测得BD＝10cm，活动学具成图（2）所示的四边形ABCD，测得∠A＝120°，则图（2）中BD的长是（）A．cm B．cm C．cm D．cm 5．（2023•龙川县一模）如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB 同侧作正方形APCD、正方形PBEF，连接AF，BC，设∠CBE＝x°，∠AFP ＝y°，则y与x的关系为（）A．y＝x B．y＝2x C．y＝180﹣x D．y＝90﹣x 6．（2023•巧家县一模）如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，F为线段BC的中点，连接EF，则线段EF的长为（）A．B．C．1D．2 7．（2023•新华区模拟）一个正方形和一个直角三角形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（）A．α﹣45°B．α﹣90°C．270°﹣αD．180°﹣α8．（2023春•苏州期中）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝35°，则∠CFD的度数为（）A．80°B．70°C．75°D．45°9．（2023•碑林区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连接AP，EF，若AP＝5，则EF＝（）A．5B．5C．2.5D．10．（2023•五华区校级模拟）如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠B＝60°，对角线AC＝10cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（）A．cm2B．50cm2C．cm2D．25cm2 11．（2023春•天津期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，点F分别是BC，AB上的点，连接DE，DF，EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（）A．B．C．D．12．（2022春•汉阴县期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB ＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个13．（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为.（将正确的序号都填入）14．（2022春•长春期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图1中对角线AC的长为cm．【题型2 正方形的判定】15．（2023春•黄埔区期中）下列说法错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线垂直且相等的四边形是正方形16．（2023•雁塔区校级二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（）A．CD＝AD B．OD＝CD C．BD＝AC D．∠AOB＝60°17．（2022春•铁岭县期中）小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．现有下列四种选法你认为错误的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④18．（2022•鼓楼区校级开学）如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，则四边形EFMN的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形19．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（）A．∠AFP＝∠BPQB．EF∥QPC．四边形EFPQ是正方形D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半20．（2023•莱西市一模）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点，AC ＝EC．（1）求证：△BCD≌△CBE；（2）△ACE添加一个条件，矩形ABCD为正方形．请说明理由．21．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．连接EF，若BE⊥EC，EF⊥BC，说明：四边形EGFH是正方形．22．（2022秋•皇姑区期末）如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝35°，当∠C＝度时，四边形AEDF为正方形（直接填空）．23．（2022秋•东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB 的中点，连接CD，过点C作CE∥AB，过点B作BE∥CD，CE，BE交于点E．（1）判断四边形CDBE是什么特殊的四边形，并证明；（2）直接写出当△ABC再满足什么条件时，四边形CDBE是正方形．24．（2022春•隆阳区期中）如图，点B，C，F在同一条直线上，AC⊥BF于点C，且AC＝BC，连接AB，取AB的中点D，连接CD，过点A作CE的垂线，垂足为E，已知点E到直线AC和CF的距离相等．求证：四边形ADCE是正方形．25．（2021秋•平远县期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC 的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形．【题型3 正方形的性质与判定综合运用】26．（2023春•任城区校级月考）如图所示△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC＝12，BC＝16，求CE的长．27．（2022春•南谯区校级月考）如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．（1）求证：BE＝DE；（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．28．（2022春•海阳市期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G．（1）求证：矩形ABCD为正方形：（2）若AE：EB＝2：1，△AEG的面积为4，求四边形BEGF的面积．29．（2022春•关岭县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB于点F．（1）求证：四边形AFDE是正方形；（2）若AD＝3，求四边形AFDE的面积．30．（2022春•覃塘区期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若，BE＝1，求四边形ABCD的面积．31．（2022春•交口县期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH．（1）求证：AK＝AH；（2）求证：四边形AKFH是正方形；（3）若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．【题型4 正方形中最小值问题】32.（2021春•龙口市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，则EF的最小值为（）A．B．C．4D．333.（河西区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（）A．2B．4C．D．234．（铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．35．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为．36．（2021秋•江汉区月考）已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并证明；（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）如图3，连接BG，N为BG中点，若AB＝13，CE＝5，则MN的最大值为．【题型5 正方形-对角互模型】37.（2021秋•锦江区期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC 于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（）A．6B．7C．8D．938.（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1B．C．2D．2 39．（2022春•龙胜县期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（）A．不变B．先增大再减小C．先减小再增大D．不断增大40．（2021春•正阳县期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…A n分别是正方形对角线的交点，则2021个正方形形成的重叠部分的面积和为（）A．cm2 B．505cm2C．cm2 D．（）2021cm2 41.（2020•呼伦贝尔）已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．42.（2021•深圳模拟）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON；（2）若正方形ABCD的边长为6，OE＝EM，求MN的长．【题型6 正方形-半角互模型】43．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF ＝45°，延长CD到点C，使DG＝BE，连接EF、AG，求证：EF＝FG；（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在边BC上，且∠MAN ＝45°，若BM＝2，AB＝AC，CN＝3，求MN的长．44．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．（1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN＝MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明）45．把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，然后把三角板绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、DC于点M、N．（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MN＝BM+DN．（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、DN 之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明．【题型7 正方形-手拉手模型】46．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB＝GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝3，AG＝，求EB的长．47.点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE 和BCFG，连接AF、BD．（1）如图①，AF与BD的数量关系和位置关系分别为，；（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由；②若AC＝4，BC＝，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．【题型8 正方形-十字架模型】48.（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°49.（2022•灞桥区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1B．2C．D．250．（2022春•孝南区期中）如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P 与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．（1）求证：AP⊥BQ；（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD 之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．51．（2021春•船营区校级期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC，CE于点F、G．（1）求证：CE＝DF；（2）若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为，CG+DG的长为．52．（2020秋•莲湖区期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝5，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度．。

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