初中数学 第二讲 图形位置关系(含答案)

中考数学重难点专题讲座第二讲 图形位置关系【前言】 在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。

在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。

综合整个一模来看，18套题中有17套都是很明确的采用圆与三角形问题的一证一算方式来考察。

这个信息告诉我们中考中这一类题几乎必考。

由于此类题目基本都是上档次解答题的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。

所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。

从题目本身来看,一般都是采取很标准的两问式.第一问证明切线,考察切线判定定理以及切线性质定理及推论,第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值,求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。

一模尚且如此,中考也不会差的太远。

至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到.所以本讲笔者将从一模真题出发，总结关于圆的问题的一般思路与解法。

第一部分 真题精讲【例1】(，丰台，一模)已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊙BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若DE =2，tan C =12，求⊙O 的直径．【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。

对于此题来说，自然连接OD ，在△ABC 中OD 就是中位线，平行于BC 。

所以利用垂直传递关系可证OD ⊥DE 。

至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。

利用垂直平分关系得出△ABC 是等腰三角形，从而将求AB 转化为求BD ，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。

【解析】A（1）证明：联结OD ． ∵ D 为AC 中点， O 为AB 中点，∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线． （2）解：联结DB ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°. ∵ D 为AC 中点， ∴AB=AC． 在Rt△DEC 中，∵DE=2 ，tanC=12， ∴EC=4tan DE C=. （三角函数的意义要记牢） 由勾股定理得：DC=在Rt△DCB 中，BD=tan DC C ⋅= BC=5.∴AB=BC=5. ∴⊙O 的直径为5.【例2】（，海淀，一模） 已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .（1）求证：DA 为O 的切线； （2）若1BD =，1tan 2BAD ∠=，求O 的半径.【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。

题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA 平分∠CBF 。

看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。

用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。

本题中，连OA 之后发现∠ABD=∠ABC ，而OAB 构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO ，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。

第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD 通过等量关系放AFC在△ABC 中，从而达到计算直径或半径的目的。

【解析】证明：连接AO .∵ AO BO =， ∴ 23∠=∠. ∵ BA CBF ∠平分， ∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .∴ DB ∥AO . （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行） ∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒. ∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线. （2）∵ AD DB ⊥,1BD =，1tan 2BAD ∠=， ∴ 2AD =.由勾股定理，得AB ∴sin 4∠=.（通过三角函数的转换来扩大已知条件） ∵ BC 是⊙O 直径，∴ 90BAC ∠=︒.∴ 290C ∠+∠=︒. 又∵ 4190∠+∠=︒, 21∠=∠,∴ 4C ∠=∠. （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin ∠BAD ） 在Rt △ABC 中，sin AB BC C ==sin 4AB∠=5. ∴O 的半径为52.【例3】（，昌平，一模）FC已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且8BE =，tan BFA ∠= 求⊙O 的半径长.【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD ，聪明的同学瞬间就能看出来BA 其实就是三角形OBD 中斜边OD 上的中线。

那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。

事实上如果看不出来，那么连接OB 以后像例2那样用角度传递也是可以做的。

本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。

利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。

近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。

【解析】（1）证明：连接OB .∵,OA AB OA OB ==，∴OA AB OB ==. ∴ABO ∆是等边三角形.∴160BAO ∠=∠=︒. ∵AB AD =，∴230D ∠=∠=︒.∴1290∠+∠=︒.∴DB BO ⊥ . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已） 又∵点B 在⊙O 上， ∴DB 是⊙O 的切线 .（2）解：∵CA 是⊙O 的直径， ∴90ABC ∠=︒.在Rt ABF △中，tan AB BFA BF ∠==,∴设,AB =则2BF x =，∴3AF x = . ∴23BF AF = . （设元的思想很重要） ∵,34C E ∠=∠∠=∠,∴BFE ∆ ∽ AFC ∆. ∴23BE BF AC AF == .CC∵8BE =, ∴12AC = .∴6AO =.………………………………………5分【例4】（，密云，一模）如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O 的切线； （2）求sin E ∠的值．【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。

欲证EF 是切线，则需证OD 垂直于EF ，但是本题中并未给OD 和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD ，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC 是以AC,CB 为腰的等腰三角形，从而得出D 是中点。

成功转化为前面的中点问题，继而求解。

第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT 三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。

【解析】（1）证明：如图，连结CD ，则90BDC ∠=︒．∴CD AB ⊥． ∵ AC BC =，∴AD BD =． ∴D 是AB 的中点． ∵O 是BC 的中点， ∴DO AC ∥． ∵EF AC ⊥于F ． ∴EF DO ⊥．∴EF 是O 的切线．( 2 ) 连结BG ，∵BC 是直径, ∴90BGC CFE ∠=︒=∠．（直径的圆周角都是90°）DFGCO B E A∴BG EF ∥．∴sin FC CGE EC BC∠==． 设CG x =，则6AG x =-．在Rt BGA △中，222BG BC CG =-． 在Rt BGC △中，222BG AB AG =-．（这一步至关重要，利用两相邻RT △的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）∴()2222686x x -=--．解得23x =．即23CG =．在Rt BGC △中．∴ 213sin 69CG E BC ∠===．【例5】2010，通州，一模如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。

判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明。

事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。

这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。

第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。

【解析】G FEDCBA（1）结论：GD 与O 相切证明：连接AG⊙点G 、E 在圆上， ⊙AG AE =⊙四边形ABCD 是平行四边形， ⊙AD BC ∥ ⊙123B ∠=∠∠=∠， ⊙AB AG = ⊙3B ∠=∠⊙12∠=∠ （做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引） 在AED ∆和AGD ∆ 12AE AG AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙AED AGD ∆∆≌ ⊙AED AGD ∠=∠ ⊙ED 与A 相切 ⊙90AED ∠=︒ ⊙90AGD ∠=︒ ⊙AG DG ⊥⊙GD 与A 相切（2）⊙5GC CD ==，四边形ABCD 是平行四边形 ⊙AB DC =，45∠=∠，5AB AG == ⊙AD BC ∥ ⊙46∠=∠⊙1562B ∠=∠=∠⊙226∠=∠ （很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT 三角形中就产生了30°和60°的特殊角） ⊙630∠=︒⊙10AD = .【总结】 经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。

要证相切，做654321GF EDCBA辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。

近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。