第9次课-平面图形及其位置关系
建筑工程制图课件 第九章 建筑施工图(1概述总平)
组合较复杂的平面图中定位轴线也可采用分区编号
折线形平面定位轴线的编号
圆形平面定位轴线的编号
圆形与弧形平面图中的定位轴线，其径向轴线应以角度进 行定位，其编号宜用阿拉伯数字表示，从左下角或-90°(若径向 轴线很密，角度间隔很小)开始，按逆时针顺序编写；其环向轴 线宜用大写拉丁字母表示，从外向内顺序编写
的顺序排列）通读一遍，对工程对象先有一个大概的了解。
（3）负责不同专业的技术人员，根据不同要求，重点深入地 阅读不同类别的图纸。阅读时，应按先整体后局部，先文字说 明后图样，先图形后尺寸等原则依次仔细阅读。同时应特别注 意各类图纸之间的联系，以避免发生矛盾而造成质量事故和经 济损失。
建筑施工图的有关规定GB50104—2010 1. 图线
总平面图中应标注出 新建建筑物的总长、总宽
及与周围房屋或道路的间
距。同时还应标注出新建
总图中的坐标 、标高、距离宜以 米为单位，并宜取 至小数点后两位，
房屋底层室内地面和室外 整平地面的绝对标高。
室外整平地坪 的绝对标高
不足时以“0”补齐
4、定位
新建建筑物可以根据原有的建筑物或道路来定位，也 可以根据坐标（测量坐标或施工坐标）来定位。
建房屋的平面形状、位置、朝向及其与周围环境的相互关系 。它是新建房屋的定位放线、土方施工以及施工现场布置的 依据，也是其他专业（如水、电、暖、煤气）的管线总平面 图规划布置的依据。
建筑施工图——总平面图
二、总平面图的内容 1、图名与比例 图名：总平面图 比例：1：500 ， 1：1000， 1：2000
4. 定位轴线及其编号
定位轴线是施工定位、放线的重要依据。凡是承重的墙、 柱、梁、屋架、基础等构件都要画上轴线并进行编号，以确定 其位置，这些轴线称为定位轴线。对于非承重的分隔墙、次要 承重构件等，一般采用附加轴线来定位，也可注明它们与附近 轴线的相关尺寸来确定。
基本图形及其位置关系
直线、射线、线段之间的区别：
联系：射线是直线的一部分。
线段是射线的一部分，也是直线的一部分．
直线，即两点确定一条直线；
①余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．
②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．
并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫
∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相
____________
的中点，且EB=3 ㎝，CD=BC－DB＝10－6=4（cm
CBD
）
下列每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是（）的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？
上一点，且∠l=∠2．
l=∠2．
15○的补角是165○
，余角为38○……
代替题中的10○，15○，4。
北师大版初中数学课本目录
北师大版初中七-九年级数学目录数学北师大版七年级上册第一章丰富的图形世界1.1生活中的立体图形1.2展开与折叠1.3截一个几何体1.4从不同方向看1.5生活中的平面图形本章综合第二章有理数及其运算2.1数怎么不够用了2.2数轴2.3绝对值2.4有理数的加法2.5有理数的减法2.6 有理数的加减混合运算2.7水位的变化2.8有理数的乘法2.9有理数的除法2.10有理数的乘方2.11有理数的混合运算2.12计算器的使用本章综合第三章字母表示数3.1字母能表示什么3.2代数式3.3代数式求值3.4合并同类项3.5去括号3.6探索规律本章综合第四章平面图形及其位置关系4.1线段、射线、直线4.2比较线段的长短4.3角的度量与表示4.4角的比较4.5平行4.6垂直4.7有趣的七巧板本章综合第五章一元一次方程5.1你今年几岁了5.2解方程5.3日历中的方程5.4我变胖了5.5打折销售"希望工程"义演5.7能追上小明吗5.8教育储蓄本章综合第六章生活中的数据6.1认识100万6.2科学记数法6.3扇形统计图6.4你有信心吗6.5统计图的选择本章综合第七章可能性7.1一定摸到红球吗7.2转盘游戏"四位数"大本章综合数学北师大版七年级下册第一章整式的运算1.1整式1.2整式的加减1.3同底数幂的乘法1.4幂的乘方与积的乘方1.5同底数幂的除法1.6整式的乘法1.7平方差公式1.8完全平方公式1.9整式的除法本章综合第二章平行线与相交线2.1余角与补角2.2探索直线平行的条件2.3平行线的特征2.4用尺规作线段和角本章综合第三章生活中的数据3.1认识百万分之一3.2近似数和有效数字3.3世界新生儿图本章综合第四章概率4.1游戏公平吗4.2摸到红球的概率4.3停留在黑砖上的概率本章综合第五章三角形5.1认识三角形5.2图形的全等5.3全等三角形5.4探索三角形全等的条件5.5作三角形5.6利用三角形全等测距离5.7探索直角三角形全等的条件本章综合第六章变量之间的关系6.1小车下滑的时间6.2变化中的三角形6.3温度的变化6.4速度的变化本章综合第七章生活中的轴对称7.1轴对称现象7.2简单的轴对称图形7.3探索轴对称的性质7.4利用轴对称设计图案7.5镜子改变了什么7.6镶边与剪纸本章综合数学北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1 探索勾股定理1.2 能得到直角三角形吗1.3 蚂蚁怎样走最近本章综合第二章实数2.1 数怎么又不够用了2.2 平方根2.3 立方根2.4 公园有多宽2.5 用计算器开方2.6实数本章综合第三章图形的平移与旋转3.1 生活中的平移3.2 简单的平移作图3.3 生活中的旋转3.4 简单的旋转作图3.5 它们是怎样变过来的3.6 简单的图案设计本章综合第四章四边形性质探索4.1 平行四边形的性质4.2 平行四边形的判别4.3 菱形4.4 矩形、正方形4.5 梯形4.6 探索多边形的内角和与外角和4.7中心对称图形本章综合第五章位置的确定5.1 确定位置5.2 平面直角坐标系5.3变化的鱼本章综合第六章一次函数6.1 函数6.2 一次函数6.3 一次函数的图象6.4 确定一次函数表达式6.5 一次函数图象的应用本章综合第七章二元一次方程组7.1谁的包裹多7.2解二元一次方程组7.3 鸡兔同笼7.4 增收节支7.5 里程碑上的数7.6 二元一次方程与一次函数本章综合第八章数据的代表8.1 平均数8.2 中位数与众数8.3 利用计算器求平均数本章综合学北师大版八年级下册第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.1 不等关系1.2 不等式的基本性质1.3 不等式的解集1.4 一元一次不等式1.5 一元一次不等式与一次函数1.6 一元一次不等式组本章综合第二章分解因式2.1 分解因式2.2 提公因式法2.3 运用公式法本章综合第三章分式3.1 分式3.2 分式的乘除法3.3 分式的加减法3.4 分式方程本章综合第四章相似图形4.1 线段的比4.2 黄金分割4.3 形状相同的图形4.4 相似多边形4.5 相似三角形4.6 探索三角形相似的条件4.7 测量旗杆的高度4.8 相似多边形的性质4.9 图形的放大与缩小本章综合第五章数据的收集与处理5.1 每周干家务活的时间5.2 数据的收集5.3 频数与频率5.4 数据的波动本章综合第六章证明〔一〕6.1 你能肯定吗6.2 定义与命题6.3 为什么它们平行6.4 如果两条直线平行6.5 三角形内角和定理的证明6.6 关注三角形的外角本章综合学北师大版九年级上册第一章证明〔二〕1.1你能证明它们吗1.2直角三角形1.3线段的垂直平分线1.4角平分线本章综合第二章一元二次方程2.1花边有多宽2.2配方法2.3公式法2.4分解因式法2.5为什么是0.618本章综合第三章证明〔三〕3.1平行四边形3.2特殊平行四边形本章综合第四章视图与投影4.1视图4.2太阳光与影子4.3灯光与影子本章综合第五章反比例函数5.1反比例函数5.2反比例函数的图象与性质5.3反比例函数的应用本章综合第六章频率与概率6.1频率与概率6.2投针试验6.3生日相同的概率6.4池塘有多少条鱼本章综合数学北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.1从梯子的倾斜程度谈起1.2 30°、45°、60°角的三角函数值1.3三角函数的有关计算1.4船有触礁的危险吗1.5测量物体的高度本章综合第二章二次函数2.1二次函数所描述的关系2.2结识抛物线2.3刹车距离与二次函数2.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象2.5用三种方式表示二次函数2.6何时获得最大利润2.7最大面积是多少2.8二次函数与一元二次方程本章综合第三章圆3.1车轮为什么做成圆形3.2圆的对称性3.3圆周角和圆心角的关系3.4确定圆的条件3.5直线和圆的位置关系3.6圆和圆的位置关系3.7弧长及扇形的面积3.8圆锥的侧面积本章综合第四章统计与概率4.150年的变化4.2哪种方式更合算4.3游戏公平吗本章综合。
七年级数学平面图形及其位置关系
06 空间位置关系初步认识
空间中点、直线、平面位置关系描述
• 中点：连接两点线段的中点，将线段等分为两部分 。
• 直线：由无数个点组成，且任意两点都在该直线上 。直线可以无限延伸，没有端点。
• 平面：由无数个点组成，且任意三点不共线。平面 可以无限延展，没有边界。
• 位置关系描述：点和直线可以有三种位置关系—— 点在直线上、点在直线外、点在直线的延长线上。 两直线可以有三种位置关系——平行、相交、重合 。直线和平面可以有三种位置关系——直线在平面 内、直线与平面相交、直线与平面平行。
空间距离计算方法介绍
直角三角形勾股定理应用
勾股定理
在直角三角形中，两直角边的平 方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满 足a²+b²=c²，那么这个三角形
是直角三角形。
勾股定理的应用
用于求解直角三角形中的未知边 长或角度，以及解决一些实际问
题如最短路径问题等。
三角形全等条件及证明方法
全等三角形的定义
定义法
判定定理
两条直线相交成直角时，这两条直线 互相垂直。
在同一平面内，如果两条直线都垂直 于同一条直线，那么这两条直线互相 垂直。
性质法
利用平行线的性质，若两条直线分别 与第三条直线垂直，则这两条直线互 相垂直。
平行四边形中平行与相交关系
1 2
平行四边形定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
射线
有一个固定端点，另一端 无限延伸。
线段
有两个端点，长度有限， 可以度量。
用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修一
空间中直线、平面的平行、垂直教学设计（一）教学内容空间直线、平面间的平行、垂直关系的向量表示，证明直线、平面位置关系的判定定理.（二）教学目标通过用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系．发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行、垂直关系的判定定理的能力．提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.（三）教学重点及难点重点：用向量方法解决空间图形的平行、垂直问题．难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，如何把立体几何问题转化为空间向量问题．（四）教学过程设计新课导入：因为空间向量可以表示空间中的点、直线、平面，所以自然地会联想到利用空间向量及其运算可以表示“直线与直线”“直线与平面”和“平面与平面”之间的平行、垂直等位置关系，解决此问题的关键是转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.教材对空间中直线、平面的平行和垂直两种位置关系分开研究，首先研究空间中直线、平面的平行.1.空间中直线、平面的平行问题1：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？师生活动：学生思考，教师点拨.问题1.1由直线与直线平行，可以得到直线的方向向量间有什u1l1u2l2的方向向量分别为u,v ,则l 1//l 2u //v u =λv , λ∈R.问题1.2由直线与平面平行、平面与平面平行，可以得到直线与面平行.得出结论：直线与平面平行还可以用直线的方向向量与平面法向量垂直进行，平面平行可以转化为法向量共线，教师可以结合右图启发学生对此进行研究.设计意图: 实现将直线平行与直线的方向向量平行的互相转化，直线和平面的平行与直线的方向向量和平面法向量垂直的转化，平面平行与平面法向量共线的转化. 2．空间中直线、平面的平行例题例2. 已知:如图，a ⊄β，b ⊂β，a ⋂b =P ， a //α，b //α. 求证:α//β.师生活动：学生读懂题意，尝试分析解答.老师引导分析.分析：设平面α的法向量为n ，直线a ，b 的方向向量分别为u ，v ，则由已知条件可得n·u =n·v =0，由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.学生完成证明, 教师示范解答. 证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v .αn 1βn 2a buvP αnβ因为a //α，b //α， 所以n·u =0，n·v =0.因为a ⊂β，b ⊂β，a ⋂b =P ，所以对任意点Q ∈β，存在x ，y ∈R,使得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xu +yv . 从而n·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n·(xu +yv )=xn· u +yn· v =0. 所以，向量n 也是平面β的法向量．故α//β.设计意图：例2是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理，设置例2的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路.例3.如图在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2． 线段BC 上是否存在点P ，使得A 1P//平面 ACD 1? 师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析.分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以及平面ACD 1的法向量n 等都可以用坐标表示．如果点P 存在，那么就有n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此通过向量的坐标运算可得结果.学生完成求解，教师示范解答.解:以D 为原点，DA ，DC ，DD 1，所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A,C,D 1的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,2). 设n =(x,y,z )是平面ACD 1的法向量， 则n·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−3x +4y =0−3x +2z =0),所以x =23z ，y =12z .取z =6,则x =4,y =3, 所以n =(4,3,6)是平面ACD 1的一个法向量,由A,C,B 1的坐标分别为（3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)， 得A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,-2)DABC D 1A 1B 1C 1设点P 满足B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1)， 则B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,0,-2λ)，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,4,-2λ).令n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=12，这样的点P 存在 所以,当B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即P 为B 1C 的中点时，A 1P//平面ACD 1.设计意图：例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题，设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解. 3.空间中直线、平面的垂直问题2：在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？师生活动：教师引导学生结合图形研究线与面垂直，两平面垂直.教师引导学生类比已经经历了研究空间中直线、平面平行的过程，对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式.问题2.1 直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1，v 2，直线l 1，l 2垂直时,方向向量v 1，v 2有什么关系？师生活动：让学生自主探究显现垂直时，直线方向向量v 1，v 2有什么关系，教师展示答案.问题 2.2：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究线面垂直时，直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.问题2.3：由平面与平面的垂直关系,可以得到这两个平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究面面垂直时，两个平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.设计意图：让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式，进一步体会空间向量在研究直线、平面间位置关系中的作用. 4.空间中直线、平面的垂直例题例4 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，求证：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析.分析：根据条件建立适当的基底向量，通过向量运算证明直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.证明：设AB a =，AD b =，1AA c =，则{,,}a b c 为空间的一个基底且1AC a b c =+-，BD b a =-，1BB c =.因为AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°， 所以2221ab c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=. 在平面BDD 1B 1上，取BD 、1BB 为基向量，则对于面BDD 1B 1上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得1BP BD BB λμ=+. 所以，1111()()()0AC BP AC BD AC BB a b c b a a b c c λμλμ⋅=⋅+⋅=+-⋅-++-⋅=. 所以1AC 是平面BDD 1B 1的法向量． 所以A 1C ⊥平面BDD 1B 1.设计意图：设置例 4 的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.例 5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析,学生完成证明.已知：如图，l⊥α，1⊂β,求证：α⊥β.证明：取直线 l 的方向向量u⃗，平面β的法向量n⃗.因为l⊥α，所以u⃗是平面α的法向量.因为1⊂β，而n⃗是平面β的法向量，所以u⃗⊥n⃗.所以α⊥β.设计意图：设置例 5 的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系.5.课堂小结，反思感悟（1）知识总结：（2）学生反思：①通过这节课，你学到了什么知识？②回顾这节课的学习，空间中用向量法判断直线、平面平行与垂直用的具体方法？③在解决问题时，用到了哪些数学思想？设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”. 6.课堂检测与评价1. 如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面AB 1，面A 1C 1的中心. 求证：EF//平面ACD 1.证明:设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz , 则根据题意A(2,0,0)，C( 0,2,0)，D 1(0,0,2 )，E( 2,1,1 )， F( 1,1,2 ) 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， 设n=( x , y ,z )是平面ACD 1的一个法向量，则n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以{n ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0)，取x = 1，则y =1，z = 1，所以n = ( 1,1,1 ) 又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =(−1,0,1)·(1,1,1)= − 1+1=0，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 所以EF 平面ACD 1.2.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧ n 1·AA1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .设计意图：第一题证明线面平行，第二题用向量法证明面面垂直，恰当建系向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度，可以使学生巩固课上所学习的知识.7.作业布置完成教材：第31页练习第1，2题第33页练习第1，2，3题第41 页习题1.4 第5，8，11题（六）教学反思1.认识与运用向量及其运算中数与形的关联，体会转化思想.教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体、长方体模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背;2.深化理解向量运算的作用,正是有了向量运算，向量才显示其重要性.要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用;3.重视综合方法、基底向量方法、建立坐标系方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题，基底向量方法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法.总之新的教材，让学生经历向量由平面向空间的推广，重视了知识的发生、发展过程，使学生学会数学思考和推理.。
【中考-章节复习三】 第四章 平面图形及其位置关系
第四章 平面图形及其位置关系【同步教育信息】一. 教学内容：第四章：平面图形及其位置关系学习目标：1. 经历观察、测量、折叠、模型制作与图案设计等活动，发展空间观念。
2. 在现实情境中认识线段、射线、直线、角等简单图形。
3. 了解平面上两条直线的平行和垂直关系。
4. 能用符号表示角、线段、互相平行或垂直的直线。
5. 会进行线段或角的比较。
能估计一个角的大小，会进行角的单位的简单换算。
6. 经历在操作活动中探索图形性质的过程。
7. 了解线段、平行线、垂线的有关性质。
8. 借助三角尺、量角器、方格纸等工具；会画角、线段、平行线、垂线。
9. 能进行简单的图案设计，并能表达和交流自己的设计方案。
§4.1线段、射线、直线基本知识回顾：图形 名称 特征 端点 度量 表示方法直线向两方 无限延长 无不可以 A B 直线AB 或直线BAl 直线l射线 向一方 无限延长 1个 不可以O M射线OM线段 不可延长2个 可以A B 线段AB 或线段BA a线段a直线的相关知识：（1）过一点可以做无数条直线。
（2）过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线） （3）过三点中的两个点最多可以做3条直线。
（）过个点中的两个点最多可以做条直线。
4n n n ()12例1：过平面上的两个点最多可以作几条直线？若平面上有三个点、四个点、五个点……n 个点，过任意两点作一条直线，最多可以作多少条直线，完成下列表格。
点的个数 2 3 4 5 6 n最多可以作直线 1361015n n ()-12§4.2 比较线段的长短基本知识回顾：（1）两点之间，线段最短。
（2）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
（3）点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，点M 叫做线段AB 的中点。
A M B表达式：∵M 是AB 中点∴==AM BM AB 12AB AM BM ==22（4）作一条线段等于已知线段。
a作法书P 123A C B∴线段AC 即为所求。
【小升初】数学奥数第15讲：平面图形及其位置关系-教案
（小升初）备课教员：×××第十五讲平面图形及其位置关系一、教学目标： 1. 理解线段、直线、射线等简单的平面图形，了解两点确定一条直线的事实。
2. 了解“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质，能借助直尺，圆规等工具比较两条线段的长短。
3. 理解角的有关概念，认识角的表示及度、分、秒，能进行简单的换算。
4. 能掌握锐角、钝角、直角、平角、周角的概念，会比较角的大小。
5. 了解两条直线的平行关系，掌握两条直线平行的符号表示。
6. 了解两条直线的垂直关系，掌握两条直线垂直的符号表示。
7. 能用直尺、三角板、量角器等工具熟练地画垂线、平行线，培养识图与绘图能力。
二、教学重点：综合性几何问题中培养学生养成多角度思考和数形结合的良好习惯。
三、教学难点：提高观察、分析、概括、抽象的能力。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分种)师：在我们小学，我们已经学习过一些平面图形，同学们还记得我们学过哪些吗？生：师：是的，这节课我们主要来研究这方面的知识点。
（板书课题：平面图形及其位置关系）师：在小学我们已经学习过线段、射线、直线，现在我们一起来回顾一下这方面的知识点。
也是我们这节课所要学习的东西。
二、星海遨游（43分钟）例题一：（9分钟）如果线段AB=5cm，BC=3cm，那么A、C两点间的距离是（）。
A、8cmB、2㎝C、4cmD、不能确定师：题目中告诉我们AB、BC的两条线段长度，我们先画图表示出线段AB。
生：师：同学们再画出线段BC。
生：师：同学们好像遇到一点麻烦了，我们不知道C点到底画在哪里对吗？生：是的。
师：同学们思考的比较认真，题目中没有告诉我们A、B、C三点是否在同一条直线上，所以C点的位置是没有固定的，所以A、C两点间的距离是不能确定的。
板书：解：D例题二：已知线段AB=20㎝，C为AB中点，D为CB上一点，E为DB的中点，且EB=3㎝，则CD=________cm。
平面图形及其位置思考与回顾ppt课件
角的另一种定义： 角可以看成是由一条射线绕着它 的端点旋转而成的。
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一条直线成平角
如果你想将一根细木条固定在墙上， 至少需要几个钉子.
解:2个
经过两点可以画几条直线？
经过两点有且只有一条直线。
· A
· Ｂ
线段 两点之间的所有连线中, _____ 最短。
可以简单地说：两点之间，线段最短。
两点之间线段的 _______________ 长度， ______叫做这两点 之间的距离。
7.实际问题 在新疆有一干旱地区，由于 河流太长，下游已经干涸，准备 缩短流程。你有什么建议吗？
9.（1）画一个角，并设法画出这个角的平分线。 （2）如图，AD是∠BAC的平分线，找出图中 相等的角。 A
解：∠BAD＝∠CAD
1
α
B D
C
（3）右图中，有几个 角，分别用适当的方 式表示出来。
解： 有7个角。分别是：∠BAC、∠1、∠CAD、 ∠B、∠C、∠ADB、∠α
6.在直线l 上顺次取A、B、C三点，使得AB=4cm，BC=3cm， 如果O是线段AC的中点，则线段OB＝_____cm 。 0.5
7.实际问题 在新疆有一干旱地区，由于 河流太长，下游已经干涸，准备 缩短流程。你有什么建议吗？
7.实际问题 在新疆有一干旱地区，由于 河流太长，下游已经干涸，准备 缩短流程。你有什么建议吗？
P
A
B
C
D
m
点到直线的距离 过P点作m的垂线，垂足为B。 线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。
有关线段的计算：
练习
1、点C、D顺次将线段AB分成
三部分，且AC = 2CD，CD ：DB = 1 ：3， M、N分别为AC、BD的中点，MN = 7cm， 求 AB 2、已知：E、F两点顺次把线段AB分成
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平面图形及其位置关系一、知识点：一、线段、射线、直线1、线段、射线、直线的定义（1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。
线段可以量出长度。
（2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。
射线无法量出长度。
（3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。
直线无法量出长度。
2、线段、射线、直线的表示方法（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。
（3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
3、直线公理：过两点有且只有一条直线。
简称两点确定一条直线。
4、线段的比较（1）叠合比较法；（2）度量比较法。
5、线段公理：“两点之间，线段最短”。
连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
6、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。
若C是线段AB 的中点，则：AC=BC= 12AB 或AB=2AC=2BC二、角1、角的概念：（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。
两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。
（2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。
2、角的表示方法：角用“∠”符号表示（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。
（顶点必须在中间）（2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。
（3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。
（4）直接用一个大写英文字母来表示。
3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。
4、角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、〃表示，角的单位是 60 进制与时间单位° ′ 〃是类似的。
度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60〃。
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。
（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。
6、画两个角的和，以及画两个角的差（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。
（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。
7、角的平分线从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。
若 BD 是∠ABC 的平分线，则有：∠ABD=∠CBD= 12∠ABC; ∠ABC=∠ABD=2∠CBD三、平行线和垂线1、平行线的定义：（1）如果在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线。
（2）平行线用“‖”来表示；强调要在同一平面内，若不在同一平面内的两条直线，又不平行，又不相交，叫异面直线；线段、射线的平行关系根据它所在的直线来决定，若它们所在的直线不相交，就平行，若所在的直线相交，就不平行。
2、平行的公理及推论：（1）平行公理：若经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）平行公理的推论：两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也相互平行。
（平行于同一直线的两直线平行）3、画已知直线的平行线的方法用直尺和三角板画平行线。
4、垂直的概念：（1）如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
（2）两条线段互相垂直指它们所在的直线互相垂直。
（3）两条直线垂直用“⊥”来表示，如直线 AB 与直线 CD 垂直，记作：AB⊥BC5、垂线段的概念：（1）过一点 A 做直线 a 的垂线，垂足为 B，则线段 AB 叫直线 a 的垂线段。
（2）直线外一点 A 到直线 a 的垂线段长度叫点 A 到直线 a 的距离。
6、垂直的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
四、七巧板七巧板的制作：七巧板由 5 块三角形，1 块正方形，一块平行四边形组成。
补充结论：平面内n条直线，最多．．可有()21-nn个交点；过平面上n个点中的两个点，最多．．可画()21-nn条直线；n个班进行单循环比赛，共比赛()21-nn场；n个人相互握手的总次数为()21-nn次；直线上有n个点，则一共有()21-nn条线段；有公共端点的n条射线共可组成()21-nn个角；平面内n条直线最多．．可将平面分成222++nn个部分.图（6）D '图（4）东图（2）第19题图时钟的时针与分针的夹角公式：设为a 点b 分。
|30o a-5.5o b| 注意：我们所求的角指不超过180o 的角，当所求的度数大于180度时，就用360度减去这个度数。
二、典型例题：1、 图（1）中有______条线段，分别表示为___________2、 时钟表面3点30分时，时针与分针所夹角的度数是______。
3、 已知线段AB,延长AB 到C ，使BC=31AB ，D 为AC 的中点，若AB ＝9cm ，则DC 的长为 。
4、如图（2），点D 在直线AB 上，当∠1＝∠2时， CD 与AB 的位置关系是 。
5、如图（3）所示，射线ＯＡ的方向是北偏_________度。
6、将一张正方形的纸片，按如图（4）所示对折两次，相邻两折痕间的夹角的度数为 度。
7、如图（6），把一张长方形的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B ′、D ′点处，若得∠AOB ′=700, 则∠B ′OG 的度数为 。
8、下列说法中正确的个数为（ ）①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 ②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④平行同一直线的两直线平行A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图，已知∠AOB 内有一点P ，过点P 画MN ∥OB 交OA 于C,过点P 画PD ⊥OA,垂足为D,并量出点P 到OA 距离。
图（1）第23题图第20题图BC E 10、如图已知点C 为AB 上一点，AC ＝12cm, CB ＝32AC ，D 、E 分别为AC 、AB 的中点求DE 的长。
21、如图，直线AB 、CD 、EF 都经过点O ，且AB ⊥CD ，∠COE=350，求∠DOF 、∠BOF 的度数。
9、如图已知∠AOB=21∠BOC, ∠COD=∠AOD=3∠AOB, 求∠AOB 和∠COD 的度数。
三、过关测试：一、填空题：（每小题3分，共30分）1. 过平面内一点，能画________条直线；过平面内两点，能画________条直线.2. 下面说法：①直线AB 与直线BA 是同一条直线；②射线与射线BA 是同一条射线；③线段AB 与线段BA 表示同一条线段；④直线、射线和线段上有无限多个点. 其中错误的是_________（填序号）.3. 0.15°=_________′=_________″，60°=________平角=_________周角.4. 如图4-1，∠AOB =114°15′，则∠AOC =________________.5. 小明利用星期天搞社会调查活动，早晨8∶00出发，中午12∶30到家，则出发时和到家时时针和分针的夹角分别为________度和________度.6. 已知一条射线OA ，再引射线OB 和OC 使∠AOB =80°∠A OCB图4-1AAOC =30°，则∠BOC 的度数是___________________.7. 如图4-2，以O 为顶点的角是___________________________，以B 为顶点的角（不含平角）是___________________________________.8. 已知如图4-3，从A 地到B 地有四条路线，其中最近的是________，其理由是___________________________________________.9. 在直线l 上顺次取A 、B 、C 三点，AB =6，BC =4，取AC 的中点O ，则AO =_______，OB =____________.10. 如图4-4，指出其中的平行线，并表示出来_________________________________.二、选择题：（每小题3分，共30分）11. 图4-5各直线的表示法中，正确的是（ ）12. 如图4-6，∠AOB =∠COD =90°，∠BOC =42°，则∠AOD =（ ） A. 48° B. 148° C. 138°D. 128°13. ∠AOB 内部任取一点C ，作射线OC ，则一定存在（ ） A. ∠AOB >∠AOC B. ∠AOC >∠BOC C. ∠BOC >∠AOC D. ∠AOC =∠BOC14. 栽树时，只要确定两个树坑的位置，就可以确定同一行树坑所在的位置，其理由是（ ）A. 过两点有且只有一条直线B. 两点之间所有连线中，线段最短ABCD EFO图4-2 ①②③④图4-3AB BA C EFG图4-4直线A 直线AB直线ab直线aBABCD图4-5C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 15. 如图4-7，在方格纸上给出的线中，平行和垂直各有（ ） A. 2对，1对 B. 3对，3对 C. 3对，1对D. 2对，2对16. 点B 在线段AC 上，在下列条件下，不能确定点B 是线段AC 的中点的是（ ） A. AB =BC B. AC AB 21 C. 2AB=AC D. AB +BC =AC 17. 若∠1=25°12′，∠2=25.12°，∠3=25.2°，则下面说法正确的是（ ）A. ∠1=∠2B. ∠2=∠3C. ∠1=∠3D. ∠1、∠2、∠3互不相等 18. 在同一平面内，直线a ∥b ，b ∥c ，则直线a 与直线c 的关系为（ ）A. 一定互相平行B. 一定相交C. 可能平行也可能相交D. 重合19. 如图4-8，直线l 、线段a 及射线OA 能相交的图形是（ ）20. 观察图4-9中点划分直线的情况，结合实践进行比较可发现，n 个点可把直线分成__________部分.三、解答题：（满分60分）21. （6分）把一根木条钉在墙上，在只钉了一颗钉子的时候，这根木条还可以转动，为什么？如果在这根木条的其他地方再钉上一颗钉子，这根木条就不会动了，这是为什么？22. （8分）计算：（1）19°23′×4（2）56°÷6图4-7aAaOABlOAC laD图4-8图4-923. （10分）已知点A 、B 、C 都在直线l 上，且AB =6cm ，BC =2cm ，则A 、C两点的距离是多少？24. （14分）图4-10是由一副三角尺拼成的图案，试确定图中各角的度数.25. （10分）如图4-11，一只蚂蚁从O 点出发，沿北偏东45°的方向爬行2.5cm ，碰到障碍物（记做B ）后，折向北偏西60°的方向爬行3cm （此时的位置记作C ）. （1）画出蚂蚁爬行路线； （2）求出∠OBC 的度数.26. （12分）利用图4-12可以制作七巧板.（1）分别找出三组互相平行的线段及互相垂直的线段，1234图4-10AD E L O并用符号表示出来；（2）找出一个锐角、一个钝角、一个直角，将它们表示出来，并说明分别是多少度角.（3）请你用这副七巧板设计一个图形.1.如图，已知∠AOB是直角，∠BOC＝600, OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.(1)求∠EOF的度数；(2)若将条件“∠AOB是直角，∠BOC＝600”改为：∠AOB＝ x0，∠EOF＝y0，其它条件不变.①则请用x的代数式来表示y.②如果∠AOB+∠EOF＝1560.则∠EOF是多少度？2.若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？3.如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC∥ED，CE是∠ACB的平分线，求证：∠EDF=∠BDF．4.如图甲用边长10cm的正方形ABCD纸板做了一套七巧板．拼成一座桥（如图乙），阴影部分的面积是（）cm2A、25B、50C、75D、100O BCEAF。