2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊四边形问题)(含简单答案)
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊四边形问题)
2023年九年级中考数学专题复习： 二次函数综合题（特殊四边形问题） 1．如图，抛物线223y ax ax =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式．(2)若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值及此时点P 的坐标．(3)若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线2y ax x c =++经过(3,0)B ，52,2D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的解析式和点C 的坐标；(2)若点M 在直线BC 上方的抛物线上运动（与点B ，C 不重合），求使MBC △面积最大时M 点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．（请在图2中探索）3．如图，抛物线经过A (﹣1，0)，B (3，0)，C (0，32)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使P A +PC 的值最小，求点P 的坐标；(3)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，3OA =，4OC =，抛物线24y ax bx =++经过点B ，且与x 轴交于点()1,0D -和点E ．(1)求抛物线的表达式：(2)若P 是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP ，PE ，当四边形OCPE 的面积最大时，求点P 的坐标，此时四边形OCPE 的最大面积是多少；(3)若N 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M ，使以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．5．已知二次函数2(0)y x bx c a =++≠的图像与x 轴的交于A 、(1,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -．(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．6．如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点（点P不与点B，C重合），连结PB，PC，以PB，PC为边作平行四边形CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当平行四边形CPBD有两个顶点在x轴上时，点P的坐标为；(3)当平行四边形CPBD是菱形时，求m的值．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点()1,6A -，()2,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴，交AB 于点Q ，过点P 作PM AB ⊥于M ，当线段PM 的长度取得最大值时，求点P 的坐标和线段PM 的长度；(3)把抛物线2y x bx c =-++沿射线AB C 是新抛物线对称轴上一点，D 为平面上任意一点，直接写出所有使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为菱形的点D 的坐标．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （O ，6），抛物线的顶点坐标为E （2，8），连接BC 、BE 、CE ．(1)求抛物线的表达式；(2)判断△BCE 的形状，并说明理由；(3)如图2，点F 为线段BE 的中点，点P ，Q 分别为x 轴，y 轴上的动点，当四边形EFPQ 的周长取最小值时，求P ，Q 两点的坐标．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标（3，0），抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线顶点，对称轴x＝1与x轴交于点E，连接BC、EC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是BC下方异于点D的抛物线上一动点，若S△PBC＝S△EBC，求此时点P的坐标；(3)点Q是抛物线上一动点，点M是平面上一点，若以点B、C、Q、M为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q的横坐标．11．如图，一次函数y＝kx＋2的图象分别交y轴，x轴于A，B两点，B的坐标为（4，0），抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．(1)求k的值及抛物线的解析式．(2)直线x＝t在第一象限交直线AB于点M，交抛物线于点N，当t取何值时，线段MN的长有最大值？最大值是多少？(3)在（2）的情况下，以A，M，N，D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标，并直接写出所有平行四边形的面积是多少．12．如图，一次函数3y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，并与x 轴交于点A ．点(),0M m 是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC 相交于点D 和点E ，连接CD ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)①求DE 、CE 的值（用含m 的代数式表示）．②当以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求m 的值．(3)点F 是平面内一点，是否存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （1，0）、B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，3）．(1)求抛物线的函数表达式：(2)设P 为抛物线上一动点，点P 在直线BC 上方时，求△BPC 面积的最大值：(3)若M 为抛物线上动点，点N 在抛物线对称轴上，是否存在点M 、N 使点A 、C 、M 、N 为平行四边形？如果存在，直接写出点N 的坐标：如果不存在，请说明理由．14．如图已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 为常数）的图像经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作AB x ∥轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．(1)求该二次函数的表达式及点M 的坐标；(2)若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后每到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部（不包括ABC 的边界），求m 的取值范围；(3)若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣1，0)，B (3，0)，与y 轴交于点C ．(1)b ＝______，c ＝______；(2)若点D 为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D 作DE ∥y 轴交BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，过点F 作FG ⊥y 轴于点G ，求出DE +FG 的最大值及此时点D 的坐标；(3)若点P 是该抛物线对称轴上的一点，点Q 为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x 轴上方是否存在点M ，使四边形OMPQ 为正方形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =+-≠与x 轴交于点A （1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和点D 的坐标；(2)求△BCD 的面积；(3)点M 为抛物线上一动点，点N 为平面内一点，以A ，M ，I ，N 为顶点作正方形，是否存在点M ，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，二次函数2y ax 2x c =++（0a ≠）的图象经过点()0,3C ，与x 轴分别交于点A ，点()3,0B ．(1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；(2)点P 是直线BC 上方的抛物线上任意一点，点P 关于y 轴的对称点记作点P '，当四边形POP C '为菱形时，求点P 的坐标；(3)点P 是抛物线上任意一点，过点P 做PD BC ⊥，垂足为点D ．过点P 作PQ x ∥轴，与抛物线交于点Q ．若PQ =，求点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，二次函数223y mx mx =-+的图像与x 轴交于A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且AB ＝4．(1)求这个函数的解析式，并直接写出顶点D 的坐标；(2)点E 是二次函数图像上一个动点，作直线EF x ∥轴交抛物线于点F （点E 在点F 的左侧），点D 关于直线EF 的对称点为G ，如果四边形DEGF 是正方形，求点E 的坐标；(3)若射线AC 与射线BD 相交于点H ，求∠AHB 的大小．19．如图，已知直线3y =-与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线213y x bx c =++的顶点是)1-，且与x 轴交于C ，D 两点，与y 轴交于点E ，P 是抛物线上一个动点，过点P 作PG AB ⊥于点G ．(1)求b 、c 的值；(2)若点M 是抛物线对称轴上任意点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请你说明理由．(3)当点P 运动到何处时，线段PG 的长最小？最小值为多少？20．综合与探究 如图，抛物线249y x bx c =-++与y 轴交于点()0,8A ，与x 轴交于点()6,0B ，C ，过点A 作AD x ∥轴与抛物线交于另一点D ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AB ，点P 为AB 上一个动点，由点A 以每秒1个单位长度的速度沿AB 运动（不与点B 重合），运动时间为t ，过点P 作PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，求PQ 与t 的函数关系式；(3)点M 是y 轴上的一个点，点N 是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点,M N ，使得以,,,B D M N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：2．(1)223y x x =+-(2)当32x =-时，△ACP 面积的最大值为278，此时点3(2,)4P --； (3)点F 的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）3．(1)21322y x x =-++，30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)315,28M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当32m =时，S 有最大值为2716 (3)满足条件的点P 坐标为154,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2214,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，332,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)21322y x x =-++ (2)（1，1）(3)存在，3(2,)2，(13)2，(13)25．(1)y ＝－x 2＋3x ＋4(2)P （2，6）；四边形OCPE 的面积最大为16(3)存在； M 113,28⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 252728,⎛⎫ ⎪⎝⎭或M 355,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或M 453,22⎛⎫- ⎪⎝⎭6．(1)223y x x =+-，(3,0)A -(2)315,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)存在，(2,3)--或(0,3)-或(2,5)7．(1)点A （1，0），点B （4，0），点C （0，4）(2)平行四边形(3)存在；F （0，1）或（0，﹣1）或（0，258）8．(1)223y x x =--(2)（2，-3）(3)12m m ==9．(1)26y x x =--+(2)1(2P ，21)4；PM =(3)5(2-，6或5(2-，6或7(2或7(2， 10．(1)y 212x =-+2x +6 (2)直角三角形(3)P ，Q 两点的坐标分别为（2，0），（0，4）11．(1)y =x 2-2x -3(2)(2，-3)(3)1或-212．(1)k =-12，y =-x 2+72x +2； (2)当t =2时，MN 有最大值4；(3)点D 的坐标为（0，-2）或（0，6）或（4，4）时，以A 、M 、N 、D 为顶点的四边形是平行四边形，平行四边形的面积均为8．13．(1)2y x 2x 3=-++(2)①23DE m m =-，CE =；②m 的值为32或53(3)存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形，点M 的坐标为(1，0)或(2，0)或(3，0)．14．(1)223y x x =--+(2)278(3)存在，(1-，0)或(1-，8)15．(1)二次函数解析式为224y x x =--，点M 的坐标为（1，-5）(2)24m <<(3)当点Q 的横坐标为3时，四边形CEQP 为顶点的四边形为菱形16．(1)﹣2，3(2)GF +DE 有最大值258，D 57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，M 点的坐标为或 17．(1)2212y x x 255=-+-，顶点D 的坐标是（3，85） (2)6(3)存在，点M ）或18．(1)2y x 2x 3=-++(2)32P ⎫⎪⎪⎝⎭(3)()2,3P 或1,0或⎝⎭或⎝⎭19．(1)2y x 2x 3=-++；D （1，4）；(2)E （0，3）；(3)45AHB ︒∠=．20．(1)b =3c =．(2)存在，符合条件的点N 的坐标为或(0,3)或)1-．(3)当点P PG 21．(1)244893y x x =-++ (2)PQ 与t 的函数关系式为248255PQ t t =-+（010t ≤<）； (3)存在点,M N ，使得以,,,B D M N 为顶点的四边形是矩形，点N 的坐标为(3,)98-或()233,4-.。
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(特殊四边形)及参考答案
2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊四边形）()1求该抛物线的表达式；()2点P在该抛物线上，点Q在y轴上，要使以点形，求所有满足条件的点P的坐标．2．如图，已知抛物线223=--+y x x的左侧），与y轴交于点C．点E为抛物线对称轴上的一个动点：(1)当点E 在x 轴上方且CE BD ∥时，求sin DEC ∠(2)若点P 在抛物线上，是否存在以点B ，E ，C ，P 求出点P 的坐标；(3)若抛物线对称轴上有点E ，使得55AE DE +取得最小值，连接限抛物线为点M ，从请直接写出AM 的长度．3．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于(1,0A -(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是抛物线上的一点，当ABD △的面积为(3)点P 是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q(1)求出抛物线与直线的解析式；(2)已知点K为线段AD上一动点，过点K作AH，求AHD的最大面积；(3)若点M是x轴上的一动点，点N是抛物线上一动点，当以点顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 是抛物线第四象限上的一个动点，过点P 作PQ AC ∥交BC 于点Q ．①如图1，记APQ △面积为1,S BPQ 面积为2S ，求12S S +的面积最大值及此时点P 的坐标．②如图2，若将QP 沿直线BC 翻折得到QE ，且点E 落在线段AC 上，求此时点P 的坐标．6．如图，抛物线y ＝﹣54x 2+bx +c 与直线y ＝12x +c 相交于A （0，1），B （3，52）两点，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，在线段AB 上方的抛物线上取一点D ，过D 作DF 轴，垂足为点F ，交AB 于点E ．（1）求该抛物线的表达式；（2）求△ABD面积的最大值；（3）连接BD、CE，四边形BDEC能否成为平行四边形？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（2，'''．1）．将此矩形绕点O逆时针旋转90°，得到矩形OA B C（1）求过点A、A'、C'的抛物线的解析式；（2）将矩形OABC沿x轴正方向平移，使点C落在抛物线上，求平移的距离．12．如图，在平面直角坐标系中，点()3,4A -、()5,10B -在抛物线2y x bx c =++上，点P 为该抛物线上一点，其横坐标为m ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 与点A 关于该抛物线的对称轴对称时，求PAB 的面积；（3）当该抛物线在点B 与点P 之间部分（含点B 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标之差为3时，求m 的值；（4）点Q 为该抛物线的对称轴上任意一点，当以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点P 的坐标．13．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()3,0，点C 的坐标为()0,3，点C 与点D 关于抛物线的对称轴对称．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为抛物线对称轴上一点，连接BD ，以PD PB 、为边作平行四边形PDNB ，是否存在这样的点P ，使得PDNB 是矩形？若存在，请求出tan BDN ∠的值；若不存在，请说明理由；(3)点Q 在y 轴右侧抛物线上运动，当ACQ 的面积与ABQ 的面积相等时，请直接写出点Q 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，与y 轴交于点()0,3B ．P 是该抛物线上一点，其横坐标为m ，作点P 关于原点O 的对称点Q ．当线段PQ 不与坐标轴垂直时，以PQ 为对角线构造矩形PMQN ，该矩形的边均与某条坐标轴垂直．(1)求该抛物线对应的函数解析式；(2)当点P 是该抛物线的顶点时，求点Q 的坐标；(3)当点B 在矩形PMQN 的边上时，求m 的值；(4)当0m >，且矩形PMQN 与该抛物线有三个交点时，直接写出m 的取值范围．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线()10y kx k =+>与y 轴交于点D ，与抛物线在第一象限交于点于点M ，记CPM CDMS m S =△△，试求m 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，m 取最大值时，点Q 是x 轴上的一个动点，点参考答案：t。
2023年九年级中考数学专题练习——二次函数与特殊的四边形(附答案)
中考专题练习——二次函数与特殊的四边形1．如图，已知点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标．2．如图，已知直线y=﹣12x+2与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=﹣212x+bx+c过点B、C，且与x轴交于另一个点A．（1）求该抛物线的表达式；（2）点M是线段BC上一点，过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠DBA=∠CAO，求点D的坐标．3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，9），与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，5）．（Ⅰ）求二次函数的解析式及点A，B的坐标；（Ⅱ）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q的坐标；（Ⅲ）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M，N的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，且点B的坐标为（3，0），点E的坐标为（2，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点G为抛物线对称轴上的一个动点，H为x轴上一点，当以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长最小时，求出这个最小值及点G、H的坐标；（3）设直线AE与抛物线对称轴的交点为P，M为直线AE上的任意一点，过点M作MN∥PD 交抛物线于点N，以P、D、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求点M的坐标；若不能，请说明理由．6．如图，抛物线y═﹣1x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，30），点C的坐标为（0，5）．有一宽度为1，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠10Q的坐标；（3）在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线与x轴交两点A（﹣1，0），B（3，0），过点A作直线AC与抛物线交于C 点，它的坐标为（2，﹣3）．（1）求抛物线及直线AC的解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A，C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E 点，点E与点A、C围成三角形，求出△ACE面积的最大值；（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，如果不存在，请说明理由．8．如图4，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S△ABC=16．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的解析式及其对称轴；（3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S正方形DEFG．9．如图，抛物线y=nx2﹣3nx﹣4n（n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），且抛物线与y轴交于点A．（1）点B的坐标为，点C的坐标为；（2）若∠BAC=90°，求抛物线的解析式．（3）点M是（2）中抛物线上的动点，点N是其对称轴上的动点，是否存在这样的点M、N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA 匀速运动，同时动点Q从点A2/cm s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为他t(s)．（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？（2）是否存在某一时刻t，使APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式．11．如图①，直线y＝kx+2与坐标轴交于A、B两点，OA＝4，点C是x轴正半轴上的点，且OC＝OB，过点C作AB的垂线，交y轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）求抛物线函数关系式；（2）如图②，点P是射线BA上一动点（不与点B重合），连接OP，过点O作OP的垂线交直线CD于点Q．求证：OP＝OQ；（3）如图③，在（2）的条件下，分别过P、Q两点作x轴的垂线，分别交x轴于点E、F，交抛物线于点M、N，是否存在点P的位置，使以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交A（﹣1，0），B两点，与y 轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为点E．(1)求抛物线的解析式；(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当点P运动到点E时，求△PCD的面积；(3)点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣4ax+c与直线y=kx+1（k≠0）交于y轴上一点A和第一象限内一点B，该抛物线顶点H的纵坐标为5．（1）求抛物线的解析式；，求k的值；（2）连接AH、BH，抛物线的对称轴与直线y=kx+1（k≠0）交于点K，若S△AHB=214（3）在（2）的条件下，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（如图2），连接PA．当∠PAB=45°时，ⅰ）求点P的坐标；ⅱ）已知点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，当四边形PBMN 为平行四边形时，请求出点M 的坐标．15．如图，已知抛物线21322y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（2）如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴交于点E ，若AE:ED ＝1:4，求n 的值.16．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PF=3PE ，求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；AB向点B运动，点Q从点C出（2）点P从点A发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．18．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）三点，顶点为D．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连接BC与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（点P不与B、C两点重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①是否存在点P，使四边形PEDF为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．②过点F作FH⊥BC于点H，求△PFH周长的最大值．19．抛物线2y ax bx c=++经过点A（-1,0）、B（4,0），与y轴交于点C（0,4）.(1)求抛物线的表达式；(2)点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP 的面积，求P点坐标；(3)在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q,该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1x2+bx+c的图象与x轴交于点A（2，0）、B（﹣24，0），与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BD，点P在抛物线的对称轴上，以Q为平面内一点，四边形PBQD能否成为矩形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由；（3）在抛物线上有一点M，过点M、A的直线MA交y轴于点C，连接BC，若∠MBO=∠BCO，请直接写出点M的坐标．参考答案：1．（1）y=﹣38x2+34x+3；D（1，278）；（2）P（3，158）．【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），将点C（0，3）代入可求得a的值，将a的值代入可求得抛物线的解析式，配方可得顶点D的坐标；（2）画图，先根据点B和C的坐标确定直线BC的解析式，设P（m，-38m2+34m+3），则F（m，-34m+3），表示PF的长，根据四边形DEFP为平行四边形，由DE=PF列方程可得m的值，从而得P的坐标．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将点C（0，3）代入得：﹣8a=3，解得：a=﹣38，y=﹣38x2+34x+3=﹣38（x﹣1）2+278，∴抛物线的解析式为y=﹣38x2+34x+3，且顶点D（1，278）；（2）∵B（4，0），C（0，3），∴BC的解析式为：y=﹣34x+3，∵D（1，278），当x=1时，y=﹣34+3=94，∴E（1，94），∴DE=278-94=98，设P（m，﹣38m2+34m+3），则F（m，﹣34m+3），∵四边形DEFP是平行四边形，且DE∥FP，∴DE=FP，即（﹣38m2+34m+3）﹣（﹣34m+3）=98，解得：m1=1（舍），m2=3，∴P（3，158）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，利用方程思想列等式求点的坐标，难度适中．2．（1）213222y x x =++；（2）4；（3）（﹣5，﹣18）或（3，2）． 【分析】（1）根据直线解析式求出点B 、C 的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可； （2）设M （m ，-12m+2），则N （m ，-12m 2+32m+2），则MN=（-12m 2+32m+2）-（-12m+2）=-12m 2+2m ，根据MN=OC=2列方程可得M 的横坐标，根据平行四边形的面积公式可得结论；（3）分两种情况：①当D 在x 轴的下方：根据AC ∥BD ，直线解析式k 相等可设直线BD 的解析式为：y=2x+b ，把B （4，0）代入得直线BD 的解析式为：y=2x-8，联立方程可得D 的坐标；②当D 在x 轴的上方，根据对称可得M 的坐标，利用待定系数法求直线BM 的解析式，与二次函数的交点，联立方程可得D 的坐标．【解析】（1）当x=0时，y=2，∴C （0，2），当y=0时，﹣12x+2=0，x=4，∴B （4，0），把C （0，2）和B （4，0）代入抛物线y=﹣212x +bx+c 中得：22{14402c b c =-⨯++=， 解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴该抛物线的表达式：y=213222x x -++； （2）如图1，∵C （0，2），∴OC=2，设M （m ，﹣12m+2），则N （m ，213222m m -++）， ∴MN=（21322m m -++2）﹣（﹣12m+2）=﹣12m 2+2m ， ∵MN ∥y 轴，当四边形OMNC 是平行四边形时，MN=OC ， 即﹣12m 2+2m=2， 解得：m 1=m 2=2，∴S ▱OCMN =OC×2=2×2=4；（3）分两种情况：当y=0时，﹣21322x x ++2=0， 解得：x 1=4，x 2=﹣1，∴A （﹣1，0），易得直线AC 的解析式为：y=2x+2，①当D 在x 轴的下方时，如图2，∵AC ∥BD ，∴设直线BD 的解析式为：y=2x+b ，把B （4，0）代入得：0=2×4+b ，b=﹣8，∴直线BD 的解析式为：y=2x ﹣8，则2x ﹣8=21322x x -++2，解得：x 1=﹣5，x 2=4（舍）， ∴D （﹣5，﹣18）；②当D 在x 轴的上方时，如图3，作抛物线的对称轴交直线BD 于M ，将BE （图2中的点D ）于N ，对称轴是：x=﹣3212()2⨯-=32， ∵∠CAO=∠ABE=∠DAB ，∴M 与N 关于x 轴对称，直线BE 的解析式：y=2x ﹣8，当x=32时，y=﹣5， ∴N （32，﹣5），M （32，5）， 直线BM 的解析式为：y=﹣2x+8，﹣2x+8=﹣21322x x ++2，解得：x 1=3，x 2=4（舍）， ∴D （3，2），综上所述，点D 的坐标为：（﹣5，﹣18）或（3，2）．【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要有直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，两直线平行的关系，对称性等知识，（3）题有难度，采用分类讨论的思想解决问题．3．（1）（1，4）；（2）①点M 坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣94）；②m 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①根据tan∠MBA=2233m mMGBG m-++=-，tan∠BDE=BEDE=12，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题．【解析】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得到9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标（1，4）；（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，∴tan∠MBA=2233m mMGBG m-++=-，∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），∴BE=2，∴tan∠BDE=BEDE=12，∵∠MBA=∠BDE，∴2233m mm-++-=12，当点M在x轴上方时，2233m mm-++-=12，解得m=﹣12或3（舍弃），∴M（﹣12，74），当点M在x轴下方时，2233m mm---=12，解得m=﹣32或m=3（舍弃），∴点M（﹣32，﹣94），综上所述，满足条件的点M坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣94）；②如图中，∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|，当﹣m2+2m+3=1﹣m时，解得m，当﹣m2+2m+3=m﹣1时，解得m∴满足条件的m．【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．4．（1）y=﹣x2+4x+5，A（﹣1，0），B（5，0）；（2）Q；（3）M（1，8），N（2，13）或M′（3，8），N′（2，3）．【分析】(1)设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；(2)设点Q（m，﹣m2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；(3)利用平移AC的思路，作MK⊥对称轴x=2于K，使MK=OC，分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.【解析】（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，把C（0，5）代入得到a=﹣1，∴y=﹣（x﹣2）2+9，即y=﹣x2+4x+5，令y=0，得到：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，∴A（﹣1，0），B（5，0）．（Ⅱ）设点Q（m，﹣m2+4m+5），则Q′（﹣m，m2﹣4m﹣5）．把点Q′坐标代入y=﹣x2+4x+5，得到：m2﹣4m﹣5=﹣m2﹣4m+5，∴55-，∴Q55．（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．∵此时点M的横坐标为1，∴y=8，∴M（1，8），N（2，13），②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.5．（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）G（1，1），H（12，0），四边形CFHG的周长最小值5（3）M的坐标为：M（0，1117-317-117+317+．【分析】(1)根据抛物线上的两点列方程组求抛物线y=﹣x2+bx+c中的系数b和c，(2)根据题目的提示可以画出简图，然后表示出以点C、G、H、F四点所围成的四边形的周长，在根据表示出的线段就可以求出最短的周长，对应的点G、H的坐标也可得出；（3）根据题意可以分两种情况讨论，点N在点M的上方或者下方，然后设出点M，根据题目给出的条件是否能将P、D、M、N为顶点的四边形组成平行四边形，可以根据平行四边形对边相等来入手.【解析】（1）∵y=﹣x2+bx+c经过（3，0）和（2，3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为x=1．当y=0时，﹣x2+2x+3=0，∴x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0）．当x=0时，y=3，∴C（0，3）∴CE=2．OC=3如图，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F点I关于x轴对称，在x轴上取点H，连接HF、HI、HG、GC、GE、则HF=HI．∵抛物线的对称轴为x=1，∴点C点E关于对称轴x=1对称，∴CG=EG．设直线AE的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线AE的解析式为y=x+1．当x=0时，y=1，∴F（0，1），∴OF=1，CF=2．∵点F与点I关于x轴对称，∴I（0，﹣1），∴OI=1，CI=4．在Rt△CIE中，由勾股定理，得EI==2．∵要使四边形CFHG的周长最小，而CF是定值，∴只要使CG+GH+HF最小即可．∵CG+GH+HF=EG+GH+HI，∴只有当EI为一条直线时，EG+GH+HI最小．设EI的解析式为y=k1x+b1，由题意，得，解得：，∴直线EI的解析式为：y=2x﹣1，∵当x=1时，y=1，∴G（1，1）．∵当y=0时，x，∴H（，0），∴四边形CFHG的周长最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2；（3）∵y=﹣x2+2x+3，∴y=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）∴直线AE的解析式为y=x+1．∴x=1时，y=2，∴P（1，2），∴PD=2．∵四边形DPMN是平行四边形，∴PD=MN=2．∵点M在AE上，设M（x，x+1），①当点M在线段AE上时，点N点M的上方，则N（x，x+3），∵N点在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3，解得：x=0或x=1（舍去）∴M（0，1）．②当点M在线段AE或EA的延长线上时，点N在M的下方，则N（x，x﹣1）．∵N点在抛物线上，∴x﹣1=﹣x2+2x+3，解得：x=或x=，∴M （，）或（，）．∴M 的坐标为：M （0，1）或（，）或（，）．【点评】本题是一道比较综合的解析几何题，涉及到了抛物线方程的求解和在动点的情况下对四边形周长的表示进行求最小周长，第三问考察了学生对动点问题的分类讨论能力，灵活运用平行四边形对边相等这个条件入手解题.6．（1）y=﹣13x2﹣23x +5，点A 的坐标是（﹣5，0）；（2）点Q 坐标（﹣4，73）；（3）以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为（﹣2，3）或（﹣23）或（﹣2，3）．【分析】(1)把点B 、C 的坐标代入函数解析式求出b 、c 的值，进而求出点A 的坐标即可;(2) 作FG ⊥AC 于G , 设点F 坐标（m ，0），根据sin ∠AMF=FG FM =; (3)分两种情况讨论①当MN 是对角线时；②当MN 为边时；解答即可.【解析】（1）∵抛物线上的点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，5）∴将其代入y═﹣13x 2+bx+c ，得 130{5b c c -++== ，解得b=﹣23，c=5．∴抛物线的解析式为y=﹣13x2﹣23x+5．∴点A的坐标是（﹣5，0）．（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），则AF=m+5，AE=EM=m+6，2m+5），2221(6)EF EM m+++∵sin∠10∴=10 FG FGFM FM==225)21(6)mm+++10整理得到2m2+19m+44=0，∴（m+4）（2m+11）=0，∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），∴点Q坐标（﹣4，73）．（3）①当MN是对角线时，点M在y轴的右侧，设点F（m，0），∵直线AC解析式为y=x+5，∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），∵QN=PM，∴﹣13m2﹣23m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣13（m+1）2﹣23（m+1）+5]，解得m=﹣3+6或﹣3﹣6（舍弃），此时M （﹣，，当MN 是对角线时，点N 在点A 的左侧时，设点F （m ，0）．∴m+5﹣（﹣13m 2﹣23m+5）=[﹣13（m+1）2﹣23（m+1）+5]﹣（m+6），解得m=﹣3，此时M （﹣2，3）②当MN 为边时，设点Q （m ，﹣13m 2﹣23m+5）则点P （m+1，﹣13m 2﹣23m+6）， ∵NQ=PM ，∴﹣13m 2﹣23m+6=﹣13（m+1）2﹣23（m+1）+5， 解得m=﹣3．∴点M 坐标（﹣2，3），综上所述以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为（﹣2，3）或（﹣3+23）． 【点评】本题考查了二次函数的综合题、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是会用待定系数法求解二次函数的解析式，会用分类讨论及方程的思想解决问题.7．（1）直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1；（2）S △ACE =278；（3）存在4个符合条件的F 点． 【分析】（1）将A 、B 坐标代入y=x 2+bx+c ，利用待定系数法可求得二次函数解析式，设直线AC 的解析式为：y=mx+n ，将A 、C 坐标代入，利用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；（2）设点P 的横坐标为x （﹣1≤x≤2），则P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3），由S △ACE =12PE•|x C ﹣x A |，而|x C ﹣x A |的值是确定的，因此只要求得PE 的最大值即可；（3）分CG 与AF 平行、CF 与AG 平行，分别画出符合题意的图形，分别进行求解即可得.【解析】（1）将A （﹣1，0），B （3，0）代入y=x 2+bx+c ， 得01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴y=x 2﹣2x ﹣3，设直线AC 的解析式为：y=mx+n ，将A 、C 坐标代入得032m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，解得：11m n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1；（2）设点P 的横坐标为x （﹣1≤x≤2），则P （x ，﹣x ﹣1），E （x ，x 2﹣2x ﹣3），∵点P在点E的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣12）2+94，∴当x=12时，PE的最大值为94，∴S△ACE=12PE•|x C﹣x A|=12×94×3=278；（3）①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，∵C（2，﹣3），G（0，﹣3）∴CG∥X轴，此时AF=CG=2，∴F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1±73），由于直线GF的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h，将G 点代入后可得出直线的解析式为y=﹣7．因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（7，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4，0）；综合四种情况可得出，存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（0），F4（4，0）．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质等，综合性较强，熟练掌握待定系数法是解题的关键.8．（1）（0，8）；（2）y=23x2﹣163x+8，其对称轴为直线x=4；（3）4【分析】（1）由S△ABC＝12×AB×OC求出OC的长度，进而确定C点坐标；（2）因为抛物线经过点A（2，0），B（6，0），故可以设二次函数的交点式，即y＝a（x﹣2）（x﹣6），再将C点坐标代入即可求得解析式,进一步得到对称轴；（3）设正方形DEFG的边长为m，再根据题中的条件列出正确的D、E坐标，再将E点坐标代入二次函数求出边长m，进一步求得正方形DEFG的面积.【解析】（1）∵A（2，0），B（6，0），∴AB＝6﹣2＝4．∵S△ABC＝16，∴12×4•OC＝16，∴OC＝8，∴点C的坐标为（0，8）；（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），将C（0，8）代入，得8＝12a，解得a＝23，∴y＝23（x﹣2）（x﹣6）＝23x2﹣163x＋8，故抛物线的解析式为y＝23x2﹣163x＋8，其对称轴为直线x＝4；（3）设正方形DEFG的边长为m，则m＞0，∵正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），∴D（4﹣12m，﹣m），E（4＋12m，﹣m）．将E（4＋12m，﹣m）代入y＝23x2﹣163x＋8，得﹣m＝23×（4＋12m）2﹣163×（4＋12m）＋8，整理得，m2＋6m﹣16＝0，解得m1＝2，m2＝﹣8（不合题意舍去），∴正方形DEFG的边长为2，∴S正方形DEFG＝22＝4．【点评】本题考查了三角形的面积、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质，注意灵活运用知识点，另外利用面积求出点C坐标、根据二次函数与正方形的性质正确表示D、E的坐标是解答此题的关键.9．（1）（﹣1，0），（4，0）；（2）y=﹣12x2+32x+2；（3）点M的坐标分别为：（﹣52，﹣398）或（112，﹣398）或（52，218）．【分析】（1）利用x轴上点的坐标特点即可得出结论；（2）判断出△AOB∽△COA，建立方程求出OA，进而得出点A坐标，最后用待定系数法即可的结论；（3）设出点M，N的坐标，分三种情况，利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论．【解析】（1）令y=0，∴nx2-3nx-4n=0，∵n＜0，∴x2-2x-4=0,∴x=-1或x=4,∴B(-1,0),C(4,0)；（2）∵∠BAC=90°，AO⊥BC，易证△AOB ～△COA ， ∴OA BO CO AO =，14OA AO=， ∴OA=2，故A （0，2），则设抛物线的解析式为：y=a(x-x1)( x-x2),把A （0，2）、B （-1，0）、C （4，0）代入上式得，-4a=2， ∴12a =-， ∴()()2113142222y x x x x =-+-=-++， ∴对称轴直线为32x =， ∴设N （32，b ），M （m ，213222m m --+）， 以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴①当AC 为对角线时，()11304222m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴52m =. ∴M （52，218）. ②当AM 为对角线时，()11304222m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴112m =. ∴M （112，-398）. ③当AN 为对角线时，()13104222m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴52m =-. ∴M （52-，-398）. 即：抛物线上存在这样的点M ，点M 的坐标分别为：M （52，218）或（112，-398）或（52-，-398）. 【点评】二次函数综合题，主要考查了待定系数法，x 轴上点的坐标特点，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，求出OA 的是解本题的关键．10．（1）(843t s =- （2）存在，43s 或2s （3）()204s t t =<< 【分析】（1）连接PB ，由点B 在线段PQ 的垂直平分线上，推出BP=BQ ，由此构建方程即可解决问题；（2）分两种情形分别构建方程求解即可；（3）如图4中，连接QC ，作QE ⊥AC 于E ，作QF ⊥BC 于F ．则QE=AE ，QF EC =，可得QE+QF=AE+EC=AC=4．根据S=1122QNC PCQ SS CN QF PC QE +=⋅+⋅，计算即可； 【解析】（1）如图1中，连接BP ．在Rt ΔACB 中，AC BC 4==，C 90∠=︒，AB 42∴=点B 在线段PQ 的垂直平分线上，BP BQ ∴=，AQ 2t =，CP t =，BQ 422t ∴=，222PB 4t =+，()22422t 16t ∴=+， 解得t 843=-843+，(t 843s ∴=-时，点B 在线段PQ 的垂直平分线上． （2）①如图2中，当PQ QA =时，易知ΔAPQ 是等腰直角三角形，AQP 90∠=︒．则有PA 2AQ =，4t 2?2t ∴-=，解得4t 3=． ②如图3中，当AP PQ =时，易知ΔAPQ 是等腰直角三角形，APQ 90∠=︒．则有：AQ =，∴)4t -，解得t 2=， 综上所述：4t s 3=或2s 时，ΔAPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形． （3）如图4中，连接QC ，作QE AC ⊥于E ，作QF BC ⊥于F ．则QE AE =，QF EC =，可得QE QF AE EC AC 4+=+==．()ΔQNC ΔPCQ 111S S S ?CN?QF ?PC?QE t QE QF 2t(0t 4)222=+=+=+=<<． 【点评】本题考查了四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．11．(1) y ＝﹣14x 2﹣12x +2; (2)见解析;(3)见解析. 【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系可得A 、B 点坐标，再根据OB ＝OC 可得C 点坐标，进而根据待定系数法可得抛物线解析式；（2）根据题意易得∠BAO ＝∠ODC ，然后根据“ASA”证得△AOB ≌△COD ，进而可得OA ＝OD ，∠OAD ＝∠ODQ ，再根据∠POQ ＝∠AOD ＝90°得到∠AOP ＝∠DOQ ，因此可证△AOP≌△DOQ，即可证OP＝OQ；（3）设点P横坐标为n，则点P坐标为（n，12n+2），点M的坐标为（n，1 4﹣n2﹣12n+2），通过证△OPE≌△OQF（AAS）确定Q，N的坐标，由题意可得PM∥QN，故当PM ＝QN时，以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形，分P在M点上方以及P在M点下方两种情况进行讨论，根据PM＝QN求出点P坐标即可.【解析】解：（1）∵OA＝4∴点A（﹣4，0）∵直线y＝kx+2与坐标轴交于A、B两点，∴点B（0，2），0＝﹣4k+2∴OB＝2，k＝12∴直线解析式y＝12x+2∵OC＝OB＝2∴点C（2，0）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、C三点．∴20164042ca b ca b c⎧⎪⎨⎪⎩＝＝－＋＝＋＋，解得：a＝﹣14，b＝﹣12，c＝2∴抛物线解析式：y＝﹣14x2﹣12x+2;（2）∵CD⊥AB∴∠BAO+∠DCO＝90°又∵∠ODC+∠DCO＝90°∴∠BAO＝∠ODC且OB＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°∴△AOB≌△COD（ASA）∴OA＝OD，∠OAB＝∠ODC∴∠OAP＝∠ODQ∵∠POQ＝90°，∠AOD＝90°∴∠AOP＝∠DOQ且OA＝OD，∠OAP＝∠ODQ∴△AOP≌△DOQ（ASA）∴OP＝OQ（3）设点P横坐标为n，则点P坐标为（n，12n+2），点M的坐标为（n，14﹣n2﹣12n+2）∵QF⊥x轴，∴∠FQO+∠QOF＝90°，且∠QOF+∠POE＝90°∴∠FQO＝∠EOP又∵∠OEP＝∠QFO＝90°，OP＝OQ∴△OPE≌△OQF（AAS）∴OE＝QF，PE＝OF∴点Q的坐标为（12n+2，﹣n），点N坐标（12n+2，﹣116n2﹣34n）．由题意可得PM∥QN当PM＝QN时，以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形当点P位于点M上方时：如图：∴PM＝（12n+2）﹣（14﹣n2﹣12n+2）＝14n2+nQN＝（﹣n）﹣（﹣116n2﹣34n）＝116n2﹣14n∴116n2﹣14n＝14n2+n解得：n＝0（不合题意舍去），n＝﹣20 3∴12×（﹣203）+2＝﹣43∴点P坐标为（﹣203，﹣43）当点P位于点M下方时，如图：∴PM ＝（14﹣n 2﹣12n +2）﹣（12n +2）＝﹣14n 2﹣n QN ＝（﹣n ）﹣（﹣116n 2﹣34n ）＝116n 2﹣14n ∴﹣14n 2﹣n ＝116n 2﹣14n 解得：n ＝0（不合题意舍去），n ＝﹣125， ∴12×（﹣125）+2＝45 ∴点P 的坐标为（﹣125，45） 综上所述：点P 坐标（﹣203，﹣43），（﹣125，45） 【点评】本题考查了一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，弄清题意，综合运用所学知识，掌握数形结合的思想是解答的关键.12．(1) y=﹣x²+2x+3；(2)1;(3)见解析.【分析】（1）由点 A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B 的坐标，利用配方法可求出顶点 E 的坐标，由点 B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式， 利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点 D 的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出当点 P 运动到点 E 时△PCD 的面积；(3)设点 M 的坐标为（m ，0），点 N 的坐标为（1，n ），分四边形 CBMN 为平行四边形、四边形 CMNB 为平行四边形及四边形 CMBN 为平行四边形三种情况，利用平行四边形的性质找出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】（1）将 A （﹣1，0），C （0，3）代入 y=ax 2+2x+c ，得：203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得：13a c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为 y=﹣x 2+2x+3．（2）当 y=0 时，有﹣x 2+2x+3=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=3，∴点 B 的坐标为（3，0）．∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴点E 的坐标为（1，4）．设过B，C 两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b，得：303k bb+=⎧⎨=⎩,解得：13kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y=﹣x+3．∵点D 是直线与抛物线对称轴的交点，∴点D 的坐标为（1，2），∴DE=2，∴当点P 运动到点E 时，△PCD 的面积=12×2×1=1．（3）设点M 的坐标为（m，0），点N 的坐标为（1，n）．分三种情况考虑：①当四边形CBMN 为平行四边形时，有1﹣0=m﹣3，解得：m=4，∴此时点M 的坐标为（4，0）；②当四边形CMNB 为平行四边形时，有m﹣1=0﹣3，解得：m=﹣2，∴此时点M 的坐标为（﹣2，0）；③当四边形CMBN 为平行四边形时，有0﹣1=m﹣3，解得：m=2，∴此时点M 的坐标为（2，0）．综上所述：存在这样的点M 与点N，使以M，N，C，B 为顶点的四边形是平行四边形，点M 的坐标为（4，0）或（﹣2，0）或（2，0）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法，求出点D，E 的坐标；（3）分四边形CBMN 为平行四边形、四边形CMNB为平行四边形及四边形CMBN 为平行四边形三种情况求出点M 的坐标．13．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）M（﹣35，﹣65）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（173）或（17，3）或（2，﹣3）．【分析】（1）把A，B，C的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值即可；（2）由题意得到直线BC与直线AM垂直，求出直线BC解析式，确定出直线AM中k的值，利用待定系数法求出直线AM解析式，联立求出M坐标即可；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可．【解析】（1）把A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）代入抛物线解析式得：9303a b ca b cc++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得：123abc=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，则该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）设直线BC解析式为y=kx﹣3，把B（﹣1，0）代入得：﹣k﹣3=0，即k=﹣3，∴直线BC解析式为y=﹣3x﹣3，∴直线AM解析式为y=13x+m，把A（3，0）代入得：1+m=0，即m=﹣1，∴直线AM解析式为y=13x﹣1，联立得：33113y xy x=--⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：3565xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M（﹣35，﹣65）；（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑：设Q（x，0），P（m，m2﹣2m﹣3），当四边形BCQP为平行四边形时，由B（﹣1，0），C（0，﹣3），根据平移规律得：﹣1+x=0+m，0+0=﹣3+m2﹣2m﹣3，解得：m=1±7x=2±7当7m2﹣2m﹣7﹣2﹣7﹣3=3，即P（73）；。
2023年九年级中考数学复习：二次函数(特殊四边形问题)综合题(Word版,含答案)
2023年九年级中考数学复习：二次函数（特殊四边形问题）综合题1．已知抛物线()21=++4(0)2y a x m m am -≠过点()0,4A(1)若=2m ，求a 的值；(2)如图，顶点M 在第一象限内，B 、C 是抛物线对称轴l 上的两点，且MB MC =，在直线l 右侧以BC 为边作正方形BCDE ，点E 恰好在抛物线上．①求am 的值；①试判断点E 和点A 是否关于直线l 对称，如果对称，请说明理由，如果不对称，请举出反例．2．如图，抛物线y ＝ax 2-2x +c (a ≠0)与直线y ＝x +3交于A ，C 两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上一动点，且在直线AC 下方，当①ACP 的面积为6时，求点P 的坐标．（3）D 为抛物线上一点，E 为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形时点D 的坐标．3．如图1，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接AC 和BC ，①OAC ＝60°．（1）求二次函数的表达式．（2）如图2，线段BC 上有M 、N 两动点（N 在M 上方），且MN 3P 是直线BC 下方抛物线上一动点，连接PC 、PB ，当①PBC 面积最大时，连接PM 、AN ，当MN 运动到某一位置时，PM +MN +NA 的值最小，求出该最小值．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AP ，将AP 绕着点A 逆时针旋转60°至AQ ．点E 为二次函数对称轴上一动点，点F 为平面内任意一点，是否存在这样的点E 、F ，使得四边形AEFQ 为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．4．直线3y x =-+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，抛物线2y ax 2x c =++经过点A ，B ，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为直线AB上方的抛物线上的一动点，求四边形APBO的面积的最大值；D为抛物线上的一点，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，（3）如图2，(2,3)∥轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四过H作HK y边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．5．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．①点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．。
2023年九年级中考数学：二次函数综合题压轴题(特殊四边形问题)(含答案)
(1)求该抛物线的解析式和顶点 的坐标；
(2)设点 的横坐标是 ，问当 取何值时，四边形 的面积最大；
(3)如图，若直线 的解析式是 ，点 和点 分别在抛物线上和直线 上，问：是否存在以点 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点 的坐标
3．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点．
(1)求抛物线解析式；
(2)点 在此抛物线的对称轴上，当 最大时，点 的坐标为_____，此时 的面积为_____；
(3)点 在抛物线上，平面内存在点 使四边形 为菱形时，请直接写出点 的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 和直线 交于 、 两点，直线 交 轴于点 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上， ， ，抛物线 经过点B，且与x轴交于点 和点E．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少；
(3)若N是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
(1)求点 的坐标与 的值；
(2)当点 恰好是 的中点时，求点 的坐标；
(3)连结 ，作点 关于直线 的对称点 ，当点 落在线段 上时，则点 的坐标为______ 直接写出答案
6．已知抛物线 与x轴有公共点．
2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(特殊四边形问题)
2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）1．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()0,6C ，顶点为D ，且()1,8D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC 上存在一点M ，过点O 作OH OM ⊥交BC 的延长线于H ，且MO HO =，求点M 的坐标； (3)点P 是y 轴上一动点，点Q 是在对称轴上一动点，是否存在点P ，Q ，使得以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线223y x x =--+与x 轴相交于点A 、B （点B 在点A 左侧），与y 轴相交于点C ．(1)求点A 到直线BC 的距离；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，过点P 作PF y ∥轴交BC 于点F ，求PEF !周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y '，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点M ，N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线()213022y x x n n =-->与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．(1)如图1，若5AB =，则n 的值为______（直接写出结果）；(2)如图1，在（1）的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；(3)如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴于点E ，若:1:4AE ED =，求n ． 4．已知抛物线23y ax bx =++（0a ≠）交x 轴于()0A 1，和()30B -，，交y 轴于C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若M 为抛物线上第二象限内一点，求使MBC V 面积最大时点M 的坐标；(3)若F 是对称轴上一动点，Q 是抛物线上一动点，是否存在F 、Q ，使以B 、C 、F 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(y x bx c b =++，c 是常数）经过点(0,4)-，其对称轴是直线1x =．点A 在这个抛物线上，其横坐标为m ，点B 、C 的坐标分别为(,2)m m -、(1,2)m m --，点D 在坐标平面内，以A 、B 、C 、D 为顶点构造矩形ABCD ．(1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当点A 、B 重合时，求m 的值；(3)当抛物线的最低点在矩形ABCD 的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标之差为(0)h h >，求h 的值； (4)当该抛物线在矩形ABCD 内部的部分的图像对应的函数值y 随x 增大而减小时，直接写出m 的取值范围． 6．如图，直线4y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线2y ax x c =++经过B ，C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCE V 面积的最大值及点E 的坐标；(3)Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线BC 下方抛物上一动点，连接PB ，PC ，求PBC V 面积的最大值以及此时点P 的坐标； (3)在（2）中PBC V 的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q ，M 为y 轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．8．如图1，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴相交于点A 、B （点B 在点A 左侧），与y 轴相交于点(0,3)C ．已知点A 坐标为(1,0)，ABC V 面积为6．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为点E ，过点P 作PF y ∥轴交BC 于点F ，求PEF !周长的最大值及此时点P 的坐标：(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y '，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D ，点M 为直线BC 上的一点，点N 是平面坐标系内一点，是否存在点M ，N ，使以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 9．在直角坐标系中，抛物线()2102y x bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点．其中点()2,0A -，点()4,0B ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，在直线1:2l y x n =-+经过A 点，与y 轴交于D ．在直线l 下方的抛物线上有一个动点P ，连接PA ，PD ，求PAD V 面积的最大值及其此时P 的坐标．(3)将抛物线y 向右平移1个单位长度后得到新抛物线1y ，点E 是新抛物线1y 的对称轴上的一个动点，点F 是原抛物线上的一个动点，取PAD V 面积最大值时的P 点．若以点P 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F 的坐标，并写出求解其中一个F 点的过程．10．如图，抛物线212y x bx c =-++经过点()8,0A 和点()0,8B -．(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点(),E E x y 是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当（2）中的平行四边形OEAF 的面积为32时，请你判断平行四边形OEAF 是否为菱形，并说明理由． 11．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧）、直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中点C 的横坐标为2．(1)求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；(2)若点Р是线段AC 上的一个动点，过点Р作y 轴的平行线交抛物线于点E ，求线段PE 长度的最大值； (3)若点G 是抛物线上的一个动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出．．．．所有满足条件的点F 的坐标；如果不存在，请说明理由． 12．如图（1），一块钢板余料截面的两边为线段OA ，OB ，另一边曲线ACB 为抛物线的一部分，其中C 点为抛物线的顶点，CD OA ⊥于D ，以OA 边所在直线为x 轴，OB 边所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位代表1米．已知1OD =米，2DA =米，4CD =米．(1)求曲线ACB 所在抛物线的函数表达式；(2)若在该钢板余料中截取一个一边长为3米的矩形，设该矩形的另一边长为h 米，求h 的取值范围； (3)如图（2），若在该钢板余料中截取一个PBD △，其中点P 在抛物线ACB 上，记PBD △的面积为S ，求S 的最大值．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx =++（0a ≠）与x 轴交于点()4,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ．点D 的坐标为()0,4．(1)求二次函数的解析式及点A 的坐标．(2)如图1，点E 为该抛物线在第一象限内的一动点，过E 作FE y ∥轴，交CD 于点F ，求EF 的最大值及此时点E 的坐标．(3)如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D 旋转180︒得到新抛物线y '，点N 是新抛物线y '上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M ，使得点D ，E ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标，并写出其中一个点M 的求解过程．14．在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线2224y x x =-++与x 轴的交点为A 、B ．与y 轴的交点为C ．(1)请你求出点A 、B 、C 的坐标并直接写出直线BC 的关系式；(2)若点F 是直线BC 上方抛物线上的任意一点，连接FB 、FC ，请你求出FBC V 面积的最大值；(3)点D 在该抛物线的对称轴上，点E 是平面直角坐标系内的任意一点，以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是矩形，则点E 的坐标是__________（请直接写出答案） 15．综合与探究 如图，抛物线213222y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．过点A 的直线与抛物线在第一象限交于点()5,3D ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AD 的函数表达式．(2)点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交直线AD 于点F ．试探究是否存在一点P ，使线段EF 最大．若存在，请求出EF 的最大值；若不存在，请说明理由．(3)若点M 在抛物线上，点N 是直线AD 上一点，是否存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是以BD 为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧，且5OA OB =．直线BD 与y 轴的交点为点0C ⎛ ⎝⎭，与x 轴的夹角30CBO ∠=︒，与抛物线交于点B 和点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴交直线BD 于点E ，点P 是抛物线上一点，且位于第三象限，连接、PE PD ．点M 为抛物线对称轴上动点，过点M 作MN y ⊥轴交y 轴于点N （M 、N 位于直线BD 的下方）．当PDE △面积最大时，求PM MN +的最小值． (3)点S 为平面内一点，在抛物线的对称轴上是否存在点R ，使得点B 、D 、R 、S 构成的四边形为菱形？若存在，直接写出点R 坐标；若不存在，请说明理由． 17．综合与探究 如图，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于点A 和B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点P 在直线AC 下方的抛物线上运动．(1)求点B 的坐标和直线AC 的解析式；(2)如图1，过点P 作PD y ∥轴交直线AC 于点D ，过点P 作PE AC ⊥，垂足为E ，当P D E △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在x 轴上运动，以点B ，C ，M 和N 为顶点的四边形是平行四边形，借助图2探究，请直接写出符合条件的点M 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，点B 是这条直线上第一象限内的一个点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，已知ABD △的面积为18．(1)求点B 的坐标；(2)如果抛物线212y x bx c =-++经过点A 和点B ，求抛物线的解析式；(3)已知（2）中的抛物线与y 轴相交于点C ，该抛物线对称轴与x 轴交于点H ，P 是抛物线对称轴上的一点，过点P 作PQ AC ∥交x 轴于点Q ，如果点Q 在线段AH 上，且AQ CP =，求点P 的坐标．参考答案：1．(1)2246y x x =-++ (2)126,55⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)(1,8或(1,8或271,4⎛⎫⎪⎝⎭2．(1)(2)当点P 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，PEF !94+(3)7544⎛⎫- ⎪⎝⎭，或(3-或(3- 3．(1)2(2)11(2，395),(82-，39)8 (3)278n =4．(1)223y x x =--+(2)31524⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)存在，点Q 的坐标为()23-，或()45-，-或()25，-5．(1)224y x x =-- (2)3m = (3)1 (4)112m <≤6．(1)2142y x x =-++(2)()2,4E(3)点P 的坐标为75,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或73,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭或53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)2=23y x x -- (2)315(,)24P - (3)17(,)24N -或533(,)24N 或57(,)24N --8．(1)223y x x =-+(2)当315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PEF !94(3)点M 的坐标为：(3.6)或13,865⎛⎫- ⎪⎝⎭或(3-或(3-9．(1)2142y x x =-- (2)PAD V 面积最大值为258，此时，135,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)335,28F ⎛⎫- ⎪⎝⎭或527,28F ⎛⎫- ⎪⎝⎭或311,28F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．(1)21582y x x =-+-，顶点坐标为95,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． (2)()24406428S x x x =-+-<<；(3)见解析11．(1)()1,0A -，()3,0B ，1y x =+ (2)94(3)存在，(3,0)-，(1,0)，(40)，(40)12．(1)()214y x =--(2)02h <≤ (3)25813．(1)2184y x x =-++，()0,8A (2)8，()4,8E(3)存在，()2,1M --或()2,7M -或()2,3M --，见解析14．(1)(1,0)A -，(2,0)B ，(0,4)C ，24y x =-+；(2)2FBC S =V ；(3)13(,22E 或23(,22E 或351(,)24E 或4313(,)24E -；15．(1)()1,0A -，()4,0B ，()0,2C -，1122y x =+ (2)存在，EF 的最大值为92(3)存在，点M 的坐标为()0,2-，2⎛ ⎝⎭或2⎛ ⎝⎭16．(1)2y x x =(2)578(3)2⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭17．(1)点B 的坐标为()20，，直线AC 的解析式为4y x =--， (2)()24--，(3)()24--，或()1-或()1-+； 18．(1)()46B ， (2)21262y x x =-++ (3)()26，或922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，。
2022-2023学年九年级数学中考专题训练——二次函数与特殊的四边形(附答案)
2023中考专题训练——二次函数与特殊的四边形1．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；2．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C1：y＝x2＋3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C2．C2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线C2的解析式；（2）若抛物线C2的对称轴与x轴交于点C，与抛物线C2交于点D，与抛物线C1交于点E，连结AD、DB、BE、EA，请证明四边形ADBE是菱形，并计算它的面积；（3）若点F为对称轴DE上任意一点，在抛物线C2上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请求出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=﹣12x2+32x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．（1）试求A，B，C的坐标；（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为，点C的坐标为．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=-3时，y2=．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设D（m，n），矩形ABCD的周长为l，写出l与m的关系式，并求出l的最大值；（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否还存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出F点的坐标．7．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC="3" ，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．8．已知抛物线m：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在左），与y轴交于点C，顶点为M，抛物线上部分点的横坐标与对应的纵坐标如下表：（1）根据表中的各对对应值，请写出三条与上述抛物线m有关（不能直接出现表中各对对应值）的不同类型的正确结论；（2）若将抛物线m，绕原点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线n的解析式，并在坐标系中画出抛物线m、n的草图；（3）若抛物线n的顶点为N，与x轴的交点为E、F（点E、F分别与点A、B对应），试问四边形NFMB是何种特殊四边形？并说明其理由．9．如图，直线l ：112y x =-+ 与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，经过B 、C 两点的抛物线 2y x bx c =++ 与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作//PD x 轴交l 于点D ，//PE y 轴交l 于点E ，求PD PE+的最大值；(3)设F 为直线l 上的点，点P 仍在直线l 下方的抛物线上，以A 、B 、P 、F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点A （1-，6），B （2，0）．(2)点Р为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ ⊥x 轴，交AB 于点Q ，过点P 作PM ⊥AB 于M ﹐当线段PM 的长度取得最大值时，求点Р的坐标和线段PM 的长度；(3)把抛物线2y x bx c =-++沿射线AB 5c 是新抛物线对称轴上一点，D 为平面上任意一点，直接写出所有使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为菱形的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的坐标的过程写出来．11．如图，已知抛物线21:41C y x x =-++与y 轴相交于点C ，顶点为D ．(1)求直线CD 的解析式：(2)点P 为直线CD 左上方抛物线上的一动点，过点P 作y 轴的平行线交直线CD 于点Q ，当线段PQ 取得最大值时，在抛物线的对称轴上找一点G ，使PCG 的周长最小，求点G 的坐标；(3)将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ，2C 与1C 相交于点E ，点F 为抛物线1C 对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H ，使以点C ，E ，F ，H 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H 的坐标：若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，直线3y x =-+经过B ，C 两点，连接AC ．(2)点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面积为S，求S的最大值；(3)若点Q在x轴上，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图1，二次函数y＝43x2＋bx－4的图象与x轴交于A(3，0)、B两点，与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿线段AB，AC运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．(1)求该二次函数的解析式和点C的坐标；(2)如图2，当点P、O同时运动52秒时，停止运动，这时在抛物线对称轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为项点的三角形为等腰三角形?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，当P、Q运动t秒时，把△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上点D处，请判定此时四边形APDQ的形状，简要说明理由，并求出此时t的值．14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，-92），B（-2，0），其中点A是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．(1)求二次函数解析式；(2)如图1，点P 是第四象限抛物线上一点，且满足BP ∥AD ，抛物线交x 轴于点C ．M 为直线AB 下方抛物线上一点，过点M 作PC 的平行线交BP 于点N ，求MN 最大值；(3)如图2，点Q 是抛物线第三象限上一点（不与点B 、D 重合），连接BQ ，以BQ 为边作正方形BEFQ ，当顶点E 或F 恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q 点的坐标．15．综合与探究如图，已知抛物线228y x x =--与x 轴相交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），与y 轴相交于点C ，其顶点为点D ，连接AC ，BC ．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E ，P 为第四象限内抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交线段BC 于点F ．若四边形DEFP 为平行四边形，求点P 的坐标；（3）设点M 是线段BC 上的一个动点，过点M 作MN AB ，交AC 于点N ．点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动，运动时间为t （6t <）秒，直接写出当t 为何值时，QMN 为等腰直角三角形．16．如图，已知抛物线213(0)42y x x n n =-->与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．（1）如图1，若△ABC 为直角三角形，①求n 的值；②P 是抛物线上的一点，Q 是抛物线的对称轴上的一点，若以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P 的坐标；（2）如图2，过点B 作BC 的垂线BD 分别交抛物线和y 轴于点D 、E ，且BE =ED ，求n 的值． 17．已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，点()3,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P 的坐标；（3）已知点450,8H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0G ，在抛物线对称轴上，找一点F ，使HF AF +的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小？若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在矩形ABCO 中，5,4OA AB ==，点D 为边AB 上一点，将BCD △沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在边OA 上的点E 处，分别以,OC OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系． （1）求OE 的长及经过,,O D C 三点抛物线的解析式；（2）一动点P 丛点C 出发，沿CB 以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动，设运动时时为t 秒，当t 为何值时，DP DQ =；（3）若点N 在（1）中抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使,,,M N C E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点坐标：若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系中，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于(4,0)A -，(2,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使ACP △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）抛物线上是否存在点Q ，且满足AB 平分CAQ ∠，若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由；（4）点N 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在点M ，使以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，直线y ＝﹣2x +4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A 、E ，点E 的坐标是（5，3），抛物线交x 轴于另一点C （6，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为D ，连接BD ，AD ，CD ，动点P 在BD 上以每秒2个单位长度的速度由点B 向点D 运动，同时动点Q 在线段CA 上以每秒3个单位长度的速度由点C 向点A 运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，PQ 交线段AD于点H．①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（1）239344y x x =--+ （2）当点P 的坐标为（5，3）时，以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，将A ，B ，C 带入构造方程组，可求出a ，b ，c 的值，得到抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中存在一点P （5，3），使得以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，∵()()()1,0,0,3,4,0A B C -∴031640a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩解得： 39,,344a b c =-=-= ∴经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为；239344y x x =--+ （2）在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，当BP 平行且等于AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴BP=AC=5，且点P 到x 轴的距离等于OB ，∴点P 的坐标为（5，3），当点P 在第二、三象限时，以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P 的坐标为（5，3）时，以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形；【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．2．解：（1）∵将抛物线C 1：y ＝x 2＋3先向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到抛物线C 2，∴抛物线C 1的顶点（0，3）向右平移1个单位，再向下平移7个单位得到（1，－4）．∴抛物线C 2的顶点坐标为（1，－4）．∴抛物线C 2的解析式为()2y x 14=--，即2y x 2x 3=--．（2）证明：由2x 2x 30--=解得12x 1x 3=-=，，∵点A 在点B 的左侧，∴A （－1，0），B （3，0），AB=4．∵抛物线C 2的对称轴为x 1=，顶点坐标D 为（1，－4），∴CD=4．AC=CB=2． 将x 1=代入y ＝x 2＋3得y ＝4，∴E （1， 4），CE=DE ．∴四边形ADBE 是平行四边形．∵ED ⊥AB ，∴四边形ADBE 是菱形．．（3）存在．分AB 为平行四边形的边和对角线两种情况：①当AB 为平行四边形的一边时，如图，设F （1，y ），∵OB=3，∴G 1（－2，y ）或G 2（4，y ）．∵点G 在2y x 2x 3=--上，∴将x=－2代入，得y 5=；将x=4代入，得y 5=．∴G 1（－2，5），G 2（4，5）．②当AB 为平行四边形的一对角线时，如图，设F （1，y ），OB 的中点M ，过点G 作GH ⊥OB 于点H ，∵OB=3，OC=1，∴OM=12，CM=．∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM=．∴OH=2．∴G3（2，－y）．∵点G在2y x2x3=--上，∴将（2，－y）代入，得，即．∴G3（2，－3）．综上所述，在抛物线C2上是否存在这样的点G，使以O、B、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形，点G的坐标为G1（－2，5），G2（4，5），G3（2，－3）．【解析】试题分析：（1）根据平移的性质，写出平移后的顶点坐标即可得出抛物线C2的解析式．（2）求出点A、B、D、E的坐标，即可根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形的判定得到证明；从而根据菱形的性质求出面积．（3）分AB为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可．3．（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE 为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P 点的横坐标则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．【解析】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，∴102550b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得45bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8），设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，∴C ′点的坐标为（1，8）或（3，8），∵C （﹣6，8），∴当点C 落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，∴m 的值为7或9；（3）∵y =﹣x 2+4x +5=﹣（x ﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为x =2，∴可设P （2，t ），由（2）可知E 点坐标为（1，8），①当BE 为平行四边形的边时，连接BE 交对称轴于点M ，过E 作EF ⊥x 轴于点F ，当BE 为平行四边形的边时，过Q 作对称轴的垂线，垂足为N ，如图，则∠BEF =∠BMP =∠QPN ，在△PQN 和△EFB 中QPN BEF PMQ EFB PQ BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PQN ≌△EFB （AAS ），∴NQ =BF =OB ﹣OF =5﹣1=4，设Q （x ，y ），则QN =|x ﹣2|，∴|x ﹣2|=4，解得x =﹣2或x =6，当x =﹣2或x =6时，代入抛物线解析式可求得y =﹣7，∴Q 点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；②当BE 为对角线时，∵B （5，0），E （1，8），∴线段BE 的中点坐标为（3，4），则线段PQ 的中点坐标为（3，4），设Q （x ，y ），且P （2，t ），∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，∴Q（4，5）；综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．4．（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①D（3，﹣2）；②四边形ADBC是矩形,理由见解析;（3）存在,点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）．【分析】（1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．【解析】（1）当y=0时，0=﹣12x2+32x+2，解得：x1=﹣1，x2=4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x=0时，y=2，故C（0，2）；（2）①过点D作DE⊥x轴于点E，∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，∴D（3，﹣2）；②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，∴AC=BD，AD=BC，∴四边形ADBC是平行四边形，∵22125+222425+=AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四边形ADBC是矩形；（3）由题意可得：55则12BD AD =， 当△BMP ∽△ADB 时，12PF BD BA AD ==， 可得：BM=2.5，则PM=1.25，故P （1.5，1.25），当△BMP 1∽△ABD 时，P 1（1.5，﹣1.25），当△BMP 2∽△BDA 时，可得：P 2（1.5，5），当△BMP 3∽△BDA 时，可得：P 3（1.5，﹣5），综上所述：点P 的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，﹣1.25），（1.5，5），（1.5，﹣5）． 5．（1）P （1，4），C （0，3）；（2）（1，4），（0，3），12；（3）当抛物线m 1沿水平方向向K3）；当抛物线m 1时K （3）【解析】试题分析：（1）先利用待定系数法求出抛物线m 1的解析式为y 1=-x 2+2x+3，再配成顶点式可得到P 点坐标，然后计算自变量为0时的函数值即可得到C 点坐标；（2）根据抛物线的几何变换得到抛物线m 1与抛物线m 2的二次项系数互为相反数，然后利用顶点式写出抛物线m 2的解析式，再计算自变量为-3时的函数值；（3）先确定A 点坐标，再根据平移的性质得到四边形AMKC 为平行四边形，根据菱形的判定方法，当CA=CK 时，四边形AMKC 为菱形，接着计算出，然后根据平移的方向不同得到K 点坐标．试题解析：（1）把（-1，0），（1，4），（2，3）分别代入y 1=a 1x 2+b 1x+c 1得1111111110{4423a b c a b c a b c -+=++=++=，解得1111{23a b c =-==．所以抛物线m 1的解析式为y 1=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，则P （1，4），当x=0时，y=3，则C （0，3）；（2）因为抛物线m 1沿x 轴翻折，得到抛物线m 2，所以y 2=（x-1）2-4，当x=-3时，y 2=（x+1）2-4=（-3-1）2-4=12．（3）存在．当y 1=0时，-x 2+2x+3=0，解得x 1=-1，x 2=3，则A （-1，0），B （3，0），∵抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3，∴CK∥AM，CK=AM，∴四边形AMKC为平行四边形，当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，而22103=110当抛物线m110K103）；当抛物线m1沿水平方向10K（103）．考点：二次函数综合题．6．（1）y=﹣x2+4x；（2）l=﹣2（m﹣1）2+10，周长l有最大值10；（3）存在，F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）【分析】（1）根据条件确定出M的坐标为（4，0），顶点P的坐标为（2，4），然后设顶点式代入计算即可；（2）根据点D的坐标（m，n），用m表示出矩形ABCD的长和宽，然后代入矩形的周长计算公式化简即可；（3）分OM是平行四边形的边和OM是平行四边形的对角线两种情况讨论，然后利用抛物线的性质和平行四边形的性质可确定出满足条件的点F的坐标．【解析】解：（1）∵抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，∴顶点P的横坐标为4÷2=2，M的坐标为（4，0），∵顶点P到x轴的距离是4，∴顶点P的纵坐标为4，∴顶点P的坐标为（2，4），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+4，则a（4﹣2）2+4=0，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+4，即y=﹣x2+4x；（2）∵D（m，n）在抛物线上，∴n=﹣m2+4m，BC=4﹣2m，∴矩形ABCD的周长为l=2（4﹣2m+n）=2（4﹣2m﹣m2+4m）=﹣2（m2﹣2m+1）+10=﹣2（m﹣1）2+10，即l=﹣2（m﹣1）2+10，∴当m=1时，周长l有最大值10；（3）①OM是平行四边形的边时，点F的横坐标为2﹣4=﹣2，纵坐标为：﹣（﹣2）2+4×（﹣2）=﹣4﹣8=﹣12，此时点F（﹣2，﹣12），或点F的横坐标为2+4=6，纵坐标为：﹣62+4×6=﹣36+24=12，此时，点F（6，﹣12），②OM 是平行四边形的对角线时，EF 所在的直线经过OM 的中点，∴EF 都在抛物线的对称轴上，∴点F 与点P 重合，此时点F （2，4），综上所述，点F （﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E 、F 、O 、M 为顶点的四边形是平行四边形．7．（1）y=21524x x -；（2）当t=12时，d 有最大值，最大值为2；（3）在抛物线上存在三个点：E 1（12，-2532），E 2（154，7532），E 3（-12，7532），使以O 、A 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）在Rt △ABC 中，根据∠BAC 的正切函数可求得AC=4，再根据勾股定理求得AB ，设OC=m ，连接OH 由对称性知，OH=OC=m ，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，即得AH=AB-BH=2，OA=4-m ．在Rt △AOH 中，根据勾股定理可求得m 的值，即可得到点O 、A 、B 的坐标，根据抛物线的对称性可设过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式为：y=ax （x-52），再把B 点坐标代入即可求得结果；（2）设直线AB 的解析式为y=kx+b ，根据待定系数法求得直线AB 的解析式，设动点P （t ，31548t -+），则M （t ，21524t t -），先表示出d 关于t 的函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果；（3）设抛物线y=21524x x -的顶点为D ，先求得抛物线的对称轴，与抛物线的顶点坐标，根据抛物线的对称性，A 、O 两点关于对称轴对称．分AO 为平行四边形的对角线时，AO 为平行四边形的边时，根据平行四边形的性质求解即可.【解析】（1）在Rt △ABC 中，∵BC=3 ，tan ∠BAC=34， ∴AC=4．∴5=．设OC=m ，连接OH由对称性知，OH=OC=m ，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，∴AH=AB-BH=2，OA=4-m ．∴在Rt △AOH 中， OH 2+AH 2=OA 2，即m 2+22=(4-m)2，得 m=32． ∴OC=32，OA=AC －OC=52， ∴O （0，0） A （52，0），B （-32，3）． 设过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式为：y=ax （x-52）． 把x=32-，y=3代入解析式，得a=12． ∴y=12x （x-52）=21524x x -． 即过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式为y=21524x x -． （2）设直线AB 的解析式为y=kx+b ，根据题意得332502b k b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解之得34k =-，158=b ． ∴直线AB 的解析式为y=31548x -+． 设动点P （t ，31548t -+），则M （t ，21524t t -）． ∴d=（31548t -+）—（21524t t -）=—21115228t t ++=211()222t --+ ∴当t=12时，d 有最大值，最大值为2．（3）设抛物线y=21524x x -的顶点为D ． ∵y=21524x x -= 215252432x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴抛物线的对称轴x=12，顶点D （12，-2532）． 根据抛物线的对称性，A 、O 两点关于对称轴对称．当AO 为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D 以及点D 关于x 轴对称的点F 与A 、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D 即为点E ，所以E 点坐标为（525432-，）．当AO为平行四边形的边时，由OA=52，知抛物线存在点E的横坐标为5542+或5542+，即154或54 -，分别把x=154和x=54-代入二次函数解析式y=21524x x-中，得点E（154，7532）或E（-12，154）．所以在抛物线上存在三个点：E1（12，-2532），E2（154，7532），E3（-12，7532），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．考点：二次函数的综合题点评：此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．8．（1）①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为x=1；③抛物线的顶点M（1，﹣4）等；（2）y=﹣x2﹣2x+3；（3）四边形NFMB是平行四边形．【解析】分析：（1）取三对对应的x，y值代入y=ax2+bx+c，求得函数的解析式，问题得解．（2）若将抛物线m，绕原点O顺时针旋转180°得n，则m和n关于原点O成中心对称，利用中心对称的性质问题得解．（3）由图形可知原点O是NM的中点，也是FB的中点．即NM，FB两条对角线相互平分，所以NFMB的形状可判定．解析：（1）①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为x=1；③抛物线的顶点M（1，﹣4）等．（2）抛物线m，n如图1所示，并易得：A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．设抛物线m的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），已知抛物线过C（0，﹣3），则有：﹣3=a（0+1）（0﹣3），∴a=1，∴抛物线m的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．若将抛物线m，绕原点O顺时针旋转180°得n，则m和n关于原点O成中心对称，∴抛物线n的顶点是N（﹣1，4），和x轴的交点坐标是E（1，0），F（﹣3，0），∴抛物线n的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即：y=﹣x2﹣2x+3；草图如图1．（3）如图2，四边形NFMB是平行四边形．理由如下：∵N与M关于原点中心对称，∴原点O是NM的中点，同理，原点O也是FB的中点，∴四边形NFMB是平行四边形．点评：本题考查了二次函数解析式的确定、二次函数图象的性质，函数图象上点的坐标意义、图象关于原点成中心对称解析式的求解，综合性强．9．(1)2512y x x =-+ (2)最大值是3(3)能，13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）先确定出点B 、C 坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先设出点P 的坐标，进而得出点D 、E 的坐标，即可得出PD PE +的函数关系式，即可得出结论；（3）分AB 为边和对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论．（1）解：∵直线112y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ， ∴()2,0B 、()0,1C ，∵点B 、C 在抛物线解2y x bx c =++上，∴4201b c c ++=⎧⎨=⎩， 解得：521b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为2512y x x =-+． （2） ∵点P 在直线l 下方的抛物线上，设25,12P m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵//PD x 轴，//PE y 轴，点D ，E 都在直线112y x =-+上， ∴1,12E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，22525,12D m m m m ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭， ∴221511222PE m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222524PD m m m m m =-+-=-+，∴()22224236PD PE m m m m m m +=-++-+=-+， 即：()2236313PD PE m m m +=-+=--+，∴当1m =时，PD PE +的最大值是3．（3）能，理由如下：∵抛物线的解析式为2512y x x =-+， 令25012x x =-+， 解得：2x =或12x =， ∴1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0B ， ∴32AB =， 如图，若以A 、B 、P 、F 为顶点的四边形能构成平行四边形，①当以AB 为边时，则1//AB PF 且1AB PF =， 设25,12P a a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则221525,12F a a a a ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭， ∴23252a a a -+-=， 解得：32a =或1(2a =与A 重合，舍去)， ∴113,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ②当以AB 为对角线时，连接2PF 交AB 于点G ，则AG BG =，2PG F G =，设(),0G m ， ∵1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0B ，∴122m m -=-， ∴54m =， ∴5,04G ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 作PM AB ⊥于点M ，2F N AB ⊥于点N ，则NG MG =，PM FN =， 设25,12P b b b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则2225254,12F b b b b ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭， ∴25525444b b b -=-+-， 解得：32b =或1(2b =与A 重合，舍去)， ∴211,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上所述，以A 、B 、P 、F 为顶点的四边形能构成平行四边形，此时点F 的坐标为13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数极值的确定方法，平行四边形的性质，二元一次方程组，一元二次方程，中点坐标，两点间距离公式等知识．用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．10．(1)26y x x =--+ (2)1(2P ，21)495(3)5(2-，3196)或5(2-，3196)或7(2319或7(2，319 【分析】（1）将点(1,6)A -，(2,0)B 代入2y x bx c =-++，即可求解；（2）延长PQ 交x 轴于点H ，求出直线AB 的解析式为24y x =-+，由QBH MPQ ∠=∠，设2(,6)P t t t --+，则(,24)Q t t -+，22PQ t t =-++，则cos MP ABO PQ ∠==21)2MP t =-12t =时，MP1(2P ，21)4； （3）设26y x x =--+向右平移n 个单位，则向下平移2n 个单位，由抛物线沿射线AB 方向1n =，平移后的函数为211724y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，设1(2C ，)m ，(,)D x y ，分两种情况讨论：①当AC 与BD 是对角线，112260x m y⎧-+=+⎪⎨⎪+=+⎩，由BC AB =，可得，求得5(2D -，6或5(2D -，6；②当AD 与BC 是对角线，112260x y m⎧-+=+⎪⎨⎪+=+⎩，由AB BD =，得7(2D或7(2D，． (1)解：将点(1,6)A -，(2,0)B 代入2y x bx c =-++，∴16420b c b c --+=⎧⎨-++=⎩7 解得16b c =-⎧⎨=⎩， 26y x x ∴=--+；(2)如图1，延长PQ 交x 轴于点H ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴206k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩， 24y x ∴=-+，AB ∴与y 轴的交点为(0,4)，PM AB ⊥，PQ x ⊥轴，QBH MPQ ∴∠=∠，设2(,6)P t t t --+，则(,24)Q t t -+，22PQ t t ∴=-++，5cos 25ABO ∠= ∴5MP PQ = 22551952))2MP t t t ∴-++=- ∴当12t =时，MP 951(2P ，21)4； (3)设26y x x =--+向右平移n 个单位，则向下平移2n 个单位，沿射线AB 51n ∴=， ∵22125624y x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭， ∴22125117122424y x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴对称轴为直线12x =， 设1(2C ，)m ，(,)D x y ， (1,6)A -，(2,0)B ， ()2221635AB ∴=++①如图2，当AC 与BD 是对角线，∴112260x m y⎧-+=+⎪⎨⎪+=+⎩， ∴526x y m⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，BC AB =，∴m ∴=6y ∴=或6y = 5(2D ∴-，6或5(2D -，6； ②如图3，当AD 与BC 是对角线，∴112260x y m⎧-+=+⎪⎨⎪+=+⎩，∴726x y m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，AB BD =，22735(2)2y ∴-+， 319y ∴= 7(2D ∴319)或7(2D ，319； 综上所述：D 点坐标为5(2-，3196或5(2-，3196或7(2319或7(2，319)． 【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数是图象及性质，平移变换的特点，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．11．(1)21y x =+(2)点G 的坐标为(2,3)(3)存在，点H 的坐标为（﹣1，3）．【分析】（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标，用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）设P （m ，﹣m 2+4m +1），则Q （m ，2m +1），依据图象用m 的代数式表示出线段PQ 的长，利用配方法可求得线段PQ 取得最大值时的点P 在坐标，利用将军饮马模型找出点C 的对称点C ′，连接C ′P 交抛物线对称轴于点G ，则G 点为所求的点；利用待定系数法求出直线C ′P 的解析式，令x ＝2，则点G 坐标可求；（3）利用平移后的抛物线解析式与与原抛物线联立求得点E 坐标，依题意画出符合题意的图形，利用菱形的性质求得直线FH 的解析式，进而求得点F 的坐标，过点C 作CM ⊥FD 于点M ，过点H 作FN ⊥CM 交MC 的延长线于点N ，过点E 作EG ⊥DF 于点G ，利用求得三角形的性质求得相应线段的长度，则点H 坐标可求．（1）解：∵y ＝﹣x 2+4x +1＝﹣（x ﹣2）2+5，∴D （2，5）．令x ＝0，则y ＝1，∴C （0，1）．设直线CD 的解析式为y ＝kx +n ，∴251k n n +=⎧⎨=⎩解得21kn=⎧⎨=⎩．∴直线CD的解析式为y＝2x+1．（2）解：设P（m，﹣m2+4m+1），则Q（m，2m+1），∵点P为直线CD左上方抛物线上的一动点，∴PQ＝（﹣m2+4m+1）﹣（2m+1）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1．∵﹣1＜0，∴当m＝1时，PQ取得最大值，此时P（1，4）．设点C关于抛物线的对称轴对称的点为C′，则C′（4，1），如图1，连接C′P交抛物线对称轴于点G，则G点为所求的点．设直线C′P的解析式为y＝ax+b，∴441a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得15ab=-⎧⎨=⎩．∴直线C′P的解析式为y＝﹣x+5．当x＝2时，y＝﹣2+5＝3，∴G（2，3）．（3）在平面直角坐标系中存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，理由：将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2，则C2的解析式为y＝﹣（x﹣2+2）2+5＝﹣x2+5．∴22415y x xy x⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩，解得：14xy==⎧⎨⎩．∴E（1，4）．则以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，此时CE为菱形的对角线，如图2，则EC，FH互相垂直平分，设EC，FH相交于点A，则A（12，52）．设直线CE的解析式为y＝cx+d，∴41c dd+=⎧⎨=⎩，解得：31 cd=⎧⎨=⎩．∴直线CE的解析式为y＝3x+1．∴设直线FH的解析式为y＝﹣13x+e，∴115 322e-⨯+=．∴e＝83．∴直线FH的解析式为y＝﹣13x+83．当x＝2时，y＝﹣13×2+83＝2．∴F（2，2）．过点C作CM⊥FD于点M，过点H作FN⊥CM交MC的延长线于点N，过点E作EG⊥DF 于点G，则CM＝2，FM＝1，EG＝1，GM＝3．∴GF＝3﹣2＝2．∴CM＝GF．∵四边形EFCH为菱形，∴CF＝EF＝HC．在Rt△CFM和Rt△FEG中，CF FE CM FG=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CFM ≌Rt △FEG （HL ）．∴∠EFG ＝∠FCM ．∵∠FCM +∠CFM ＝90°，∴∠CFM +∠EFG ＝90°，∴∠EFC ＝90°．∴菱形EFCH 为正方形．∴∠HCF ＝90°．∵∠CHN +∠NCH ＝90°，∠NCH +∠FCM ＝90°，∴∠CHN ＝∠FCM ．在Rt △CNH 和Rt △FMC 中，90?CHN FCM HNC CMF CH FC =⎧⎪==⎨⎪=⎩∠∠∠∠，∴Rt △CNH ≌Rt △FMC （AAS ）．∴CN ＝FM ＝1，NH ＝CM ＝2．∴H （﹣1，3）．∴在平面直角坐标系中存在点H ，使以点C ，E ，F ，H 为顶点的四边形为菱形，H 的坐标为（﹣1，3）．【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．12．(1)223y x x =-++ (2)758(3)(2，3)或（1-3）【分析】（1）将(1A -，0)(3B ，0)代入2y x bx c =-++，即可求解；（2）过E 作EF x ⊥轴于点F ，与BC 交于点H ，设2(,23)F a a a -++，则(,3)H a a -+，则23375()228S a =--+，当32a =时，S 的最大值为758； （3）设(,0)Q x ，(,)P ab ，分三种情况讨论：①当//BQ PC 时，BP 与CQ 是对角线，求出(2,3)P ；②当//BQ PC 时，BC 与PQ 是对角线，求出(2,3)P ；③当//BP CQ 时，BQ 与CP 是对角线，。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题1．在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点且经过点C ，已知A 点坐标为()1,0-．C 点坐标为()4,5．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为第四象限内抛物线上一个动点，连接AC 、AP ，PC ，过点B 作BG AC ∥交PC 于点G ，连接AG ．请求出APG 面积的最大值以及此时点P 的坐标；(3)如图2，将抛物线2y x bx c =++沿射线AC y '，记y 与y '的交点为M ，点D 是直线AC 与y 轴的交点，点N 为直线AC 上一点，点K 为平面内一点，若以D 、M 、K 、N 为顶点的四边形是菱形且DM 为菱形的边，请直接写出点K 的坐标并选择其中一个坐标写出求解过程．2．如图1，抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ．点P 是抛物线上一点，且在直线BC 的上方．(1)直接写出点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； (2)当点P 的坐标为()1,4时，求四边形BOCP 的面积；(3)如图2，AP 交BC 于点D ．PE AC ∥交BC 于点E ，记,,DEP CPD CDA 的面积分别为123,,S S S ，判断1223S S S S +是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．(4)如图3，点C 在线段MN 上，满足90MAN ∠=︒，2CN CM =，直线1l 过点M ，直线2l 过点N ，且12l AC l ∥∥，求直线1l 与2l 之间的最大距离．3．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ．抛物线的对称轴为直线1x=-，点C 坐标为()04，．(1)求抛物线表达式；(2)在抛物线上是否存在点P ，使ABP BCO ∠=∠，如果存在，求出点P 坐标；如果不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，若点P 在x 轴上方，点M 是直线BP 上方抛物线上的一个动点，求点M 到直线BP 的最大距离．4．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x =-++与x 轴分别交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)如图2，点P 是该抛物线上一个动点，并沿抛物线从点B 运动至点A ，连接PO 、PB ，并以PO 、PB 为边作POQB ．①当POQB 的面积为9时，求点P 的坐标；①在整个运动过程中，求点Q 与线段BC 的最大距离．5．如图，已知抛物线2=++30y ax bx a ≠（）经过点10A （），和点30B （），，与y 轴相交于点C ．(1)求此抛物线的解析式．(2)若点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点D ，设点P 的横坐标为m ． ①用含有m 的代数式表示线段PD 的长；①连接PB ，PC ，求PBC 的面积最大时点P 的坐标．6．如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,2C -，(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在第四象限的抛物线上，设ABC 的面积为1S ，PBC 的面积为2S ，当2S =451S 时，求点P 的坐标；(3)点M 在抛物线上，当2MAB ACO ∠∠=时，求点M 的横坐标．7．如图，已知抛物线2y ax c =+交x 轴于点()10A -，和点B ，交y 轴于点()01C -，．(1)求此抛物线的解析式．(2)过点A 作AP CB ∥交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG x ⊥轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与ACP △相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．8．如图1，直线25y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，抛物线2L y x bx c =-++:(1)①点A 的坐标为__________，点B 的坐标为__________；①求L 的解析式； (2)当点P 到AB 距离最大时，求出点P 的坐标；(3)尺规作图：在图2中作出经过C 、D 两点且圆心在抛物线对称轴上的圆，并结合图像直接写出该圆与抛物线的交点P 的坐标．9．在平面直角坐标系中，抛物线(1)(3)y a x x =+-(0)a ≠与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，点D 为抛物线的顶点，点P 是抛物线的对称轴上一点．(1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)如图①连接PB ，PD ，求PB 的最小值； (3)如图①，连接CP ，PB ，BC ，若135CPB ∠=︒，求点P 的坐标．的左边），与y 轴交于点C ．点P ，Q 为抛物线上两动点．(1)若点P 坐标为(1,3)，求抛物线的表达式；(2)如图①，连接BC ，在（1）的条件下，是否存在点Q ，使得BCQ ABC ∠=∠．若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)若点P 为抛物线顶点，连接OP ，当a 的值从3-变化到1-的过程中，求线段OP 扫过的面积．11．如图，已知二次函数2y ax 2x c =++的图象经过点()0,3C ，与x 轴分别交于点()1,0A -和点B ，点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式； (2)求BC 所在直线的函数解析式；(3)过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，求线段PM 长度的最大值．12．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A （1，0），点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 在第二象限的抛物线上，连接PC 、PO ，线段PO 交线段BC 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)设：PCE 的面积为1S ，OCP △的面积为2S ，当1225S S =时，求点P 的坐标； (3)设：点C 关于抛物线对称轴的对称点为点N ，连接BN ，点H 在x 轴上，当HCB NBC ∠=∠时，①直接写出所有满足条件的所有点H 的坐标；①当点H 在线段AB 上时，点Q 是线段BH 外一点，1QH =，连接AQ ，将线段AQ 绕着点Q 逆时针旋转90︒得到线段QM ，连接MH ，直接写出线段MH 的取值范围．13．如图，直线1112y x =+与抛物线221482y x x =-+交于B 、C 两点（B 在C 的左侧）(1)求B 、C 两点的坐标；(2)直接写出12y y <时，x 的取值范围； (3)抛物线的顶点为A ，求ABC 的面积．14．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于()1,0A -，()2,0B ，交y 轴于()0,2C -．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 在该二次函数图象的对称轴上，且使PB PC -最大，求点P 的坐标； (3)若点M 为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点M 运动到何处时，四边形ACMB 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形ACMB 面积的最大值．15．如图，直线1112y x =+与抛物线221482y x x =-+交于B 、C 两点（B 在C 的左侧）．(1)求B 、C 两点的坐标；(2)直接写出12y y <时，x 的取值范围； (3)抛物线的顶点为A ，求ABC 的面积．16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于()1,0A -，(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P ，使POC △是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和PBC 的最大面积．17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++的顶点为()2,8D ，与x 轴交于两点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，连接AD BC ，，点P 是线段BC 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PQ AD ∥交CB 于点Q ，求PQ 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线关于直线1x =对称得到新抛物线1y ，点E 是原抛物线y 和新抛物线1y 的交点，F 是原抛物线对称轴上一点，G 为新抛物线上一点，若以E 、F 、A 、G 为顶点的四边形是是平行四边形，请直接写出点F 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于()()4010A C -，，，两点，于y 轴相交于点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为线段AB 的中点，连接OP ，求三角形PAO 的面积；(3)在（2）的条件下，点M 是抛物线第二象限上一点，若2APM ABO ∠∠=，求点M 的横坐标．参考答案：1．(1)2=23y x x --(2)当32t =时，APG 面积的最大，最大值为458；点P 的坐标为31524⎛⎫ ⎪⎝⎭,-(3)(23-或(23-．2．(1)()1,0-；()3,0 (2)152(3)存在，983．(1)2142y x x =--+ (2)532P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或752P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(3)MN4．(1)(3,0)B ；(0,3)C(2)点P 的坐标为(0,3)或(2,3)；点Q 与线段BC ．5．(1)2=4+3y x x -(2)①2+3m m -；①3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，6．(1)213222y x x =-- (2)P 的坐标为()2,3-(3)点M 的横坐标为203或437．(1)21y x =-(2)4(3)存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似，M 点的坐标为()23-，，4739⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()415，8．(1)①5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,5；①23522y x x =-++ (2)733416P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (3)39,44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．(1)223y x x =-++，(1,4)D(2)(3)P 或(1,3P10．(1)233322y x x =-++； (2)存在；()1,3Q ；339(,)525Q -； (3)3411．(1)223y x x =-++(2)3y x =-+ (3)9412．(1)223y x x =--+；(2)()1,4-或()2,3-；(3)①()1,0-或()9,0-；①22MH ≤≤13．(1)()2,2B ，97,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)2x <或7x > (3)15214．(1)2y x x 2=-- (2)1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)1,2，415．(1)(2,2)B ，9(7,)2C ； (2)7x >或2x <； (3)152．16．(1)234y x x =--(2)2-） (3)当P 点坐标为()26-，时，PBC 的最大面积为817．(1)21262y x x =-++(2)PQ =153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)()2,4或()2,15或()2,12-．18．(1)213222y x x =--+ (2)2(3)7-。
中考数学总复习《二次函数压轴题(特殊四边形)》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数压轴题（特殊四边形）》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数228y x x =--的图像与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)连接PO ，PC ，并将POC △沿y 轴对折，得到四边形POP C '．是否存在点P ，使四边形POP C '为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积．2．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，过点A 的直线l 交抛物线于点()2,C m .(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为x 轴上一点，在抛物线上是否存在一点F ，使得以点A ，C ，D ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++与x 轴分别交于()4,0A -，()2,0B 两点，与y 轴交于C 点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为直线AC 上方抛物线上任意一点，过点P 作PD y ∥轴交直线AC 于点D ，过点D 作DH x ∥轴，交y 轴于点H ，求PD DH +的最大值及此时点P 的坐标；(3)将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E 为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M 为平移后的抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，直接写出所有使得以点B ，E ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的求解过程写出来．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)求线段AC 的长度；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点，且点P 在抛物线对称轴左侧，过点P 作PD y ∥轴，交AC 于点D ，作PE x ∥轴，交抛物线于点E ．求3PD PE ＋的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中3PD PE ＋取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线CA 方向平移13个单位长度，得到一条新抛物线y '，M 为射线CA 上的动点，过点M 作MF x ∥轴交新抛物线y '的对称轴于点F ，点N 为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点P ，F ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 5．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式； (2)点P 是抛物线上一动点． ①当45PCA ∠=︒时，求点P 坐标；①如图2，当点P 运动到抛物线的顶点时，作PD AB ⊥于点D ，点M 在直线PD 上，点N 在平面内，若以B ，C 和M ，N 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点M 的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线43y x b =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2745y ax ax =--经过点A 、B ．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是线段．．AB 上一点，过点E 作EF y ∥轴交抛物线于点F ，设E 的横坐标为t ，线段EF 的长度为()0d d ≠，求d 与t 的函数关系式，并直接写出自变量．．．．．．．t 的取值范围．．．．．； (3)在（2）的条件下，若点C 在（1）中所求得的抛物线上，且点C 的横坐标为1-，连接AC ，过点E 作AC 的垂线交x 轴于点D ，当点E 运动到A 、C 恰好关于直线DE 对称时，试判断四边形ADCE 的形状，并给予证明，求出此时t 的值．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线25y ax bx =++与x 轴交于(1A ，0）、D （6，5）两点(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)点P 在这条抛物线上，且不与A 、D 两点重合，过点P 作x 轴的垂线与射线AD 交于点Q ，过点Q 作QF 平行于x 轴，点F 在点Q 的右侧，以QF 、QP 为邻边作矩形QPEF ．设矩形QPEF 的周长为d ，点P 和点E 的横坐标分别为m 和2m +．①求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF 的面积分为1:3两部分时m 的值． ①求d 与m 之间的函数关系式及d 随m 的增大而减小时d 的取值范围．8．如图所示，抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴相交于点C ，点M 为抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式及顶点M 的坐标．(2)若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN 、CN ，求①BCN 面积的最大值及此时点N 的坐标．(3)若点D 是抛物线对称轴上的动点，点G 是抛物线上的动点，是否存在以点B 、C 和D 、G 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点G 的坐标：若不存在，试说明理由． 9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线25y ax bx =++的对称轴为2x =，与x 轴交于点A B 、，与y 轴交于点C ，其中()5,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2，连接BC ，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线于点D ，点P 为抛物线上一点，且在CD 的上方，过点P 作PEy 轴，交BC 于点E ．连接PD PC DE 、、，求四边形CPDE 的面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中四边形CPDE 的面积最大的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点F 为点 P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点M ，点N 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点G ，使得以点F M N G 、、、为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并把求其中一个点G 的坐标的过程写出来．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()30A -,和()10B ,，与y 轴交于点C ．点P 在线段AC 上（不与点A 、C 重合），PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，以PQ 为边作矩形PQMN ，矩形的顶点M 、N 均在此抛物线的对称轴上．设点P 的横坐标为m ．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)当22x -≤≤时，y 的取值范围是______；(3)设矩形PQMN 的周长为l ，求l 与m 之间的函数关系式；(4)当矩形PQMN 被线段AC 分成的两部分图形的面积比为13：时，直接写出m 的值． 11．已知抛物线2y x bx c =-++交y 轴于点C ，过C 作∥CE x 轴，交抛物线于点E ，且2OC CE ==．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以MNCE 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，连接EO ，延长EO 交抛物线于点F ，点P 为EF 上方抛物线上的一个点，过点P 作y 轴的平行线交EF 于点G ，作PH EF ⊥于点H ，请问是否存在点P ，使得HPG △的周长最长，若存在，请求出周长的最大值；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+与二次函数，2y x mx n =-++交于点()3,0A ，()0,3B 两点．(1)求一次函数y kx b =+和二次函数2y x mx n =-++的解析式．(2)点P 是二次函数图象上一点，且位于直线AB 上方，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点Q ，求当PAB 面积最大时，点P 的坐标．(3)点M 在二次函数图象上，点N 在二次函数图象的对称轴上，若以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴的两交点分别是()1,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上的点，过P 作PE AB ⊥于点E ，交BC 于点D ，F 为射线DC 上的点，连接PF ，且∠=∠FPD FDP ，求+PF PD 的最大值，以及此时点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线22y ax bx =++沿射线BC 方向平移5个单位长度，平移后的抛物线与y 轴交于点Q ，点M 为平移后抛物线对称轴上的点，N 为平面内一点，直接写出所有使得以点,,,P Q M N 为顶点的四边形为菱形的点N 的坐标．14．如图，抛物线()240y ax bx a =++≠交y 轴正半轴于点C ，交x 轴分别于点()2,0A -点()8,0B ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上第一象限内的一点，过点P 作x 轴的垂线，交BC 于点F ，设点P 的横坐标为t ．①求t 为何值时，四边形PFOC 是平行四边形；②连接PA ，当90APF ABC ︒∠+∠=时，求点F 的坐标；15．如图，在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒和4AB =．动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动．点P 出发后，过点P 作PQ AB ⊥交折线AC CB -于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为点D ，以点D 为直角顶点向PD 右侧作等腰直角三角形PDE ．设点P 的运动时间为t 秒．(1)当点E 落在BC 边上时，求t 的值； (2)当PD 最大时，求PE 的长；(3)设PDE △与ABC 重叠部分图形的面积为S ，当PDE △与ABC 重叠部分图形不是五边形时，求S 关于t 的函数关系式．参考答案：1．(1)(2,0)- (4,0) (0,8)- (2)存在 (15,4)+- (3)(2,8)-，322．(1)2=23y x x --(2)存在，满足条件的点F 的坐标为()0,3-或()17,3+或()17,3-3．(1)2142y x x =--+ (2)92 53,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)()1,419-+或()1,419--或()3,19或()3,19-4．(1)13(2)最大值6，P 的坐标为()22--，(3)N 的坐标为21321,22⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1063⎛⎫- ⎪⎝⎭，或26621,25⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或26621,25⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭5．(1)223y x x =-++(2)①()4,5P -；①M 点坐标为()1,4或1,2或3171,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．(1)257466y x x =-- (2)()2550362d t t t =-+<<(3)四边形ADCE 为菱形 32t =7．(1)265y x x =-+ (2)①m =32或m =52；①d 随m 的增大而减小时d 的取值范围是4d <≤3328．(1)2=23y x x -- 顶点M 的坐标为()1,4-(2)当32t =时，S 有最大值278，点N 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．(3)存在，点G 的坐标为()4,5或()2,5-或()2,3-．9．(1)245y x x =-++ (2)1258S =最大 535(,)28P (3)335(,)24- 127(,)2410．(1)223y x x =+- (2)45y -≤≤(3)l 与m 之间的函数关系式为()()222823124210m m m l m m m ⎧----<<-⎪=⎨--+-<<⎪⎩(4)5334--或2-11．(1)222y x x -=-+(2)M 的坐标为()13-，或()11-，或()31--， (3)当11124P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，HPG △的周长最长，为9294+12．(1)3y x =-+ 223y x x =-++ (2)315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭(3)()2,5--或()4,5-或()23，13．(1)213222y x x =-++(2)()23P ，(3)点N 的坐标为513,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或3619,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或 3619,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭第 11 页 共 11 页 14．(1)213442y x x =-++(2)①4t =；①()6,1F 15．(1)45t =(2)42(3)()223402532144t t s t t t ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+≤<⎪⎩。
2023年九年级中考数学专题训练二次函数与特殊的四边形含答案解析
中考专题训练——二次函数与特殊的四边形1．如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1．（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．①当t＞0时，①BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AD向点D运动，运2动时间为t秒．过点P作PE①x轴交抛物线于点M，交AC于点N．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，①ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？3．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE①x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF①BC于点F，试问①PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．（3）当点P在抛物线上运动时，将①CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．4．抛物线y=13x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧．（1）求D点坐标；（2）若①PBA=12①OBC，求点P的坐标；（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若将该抛物线向下平移m个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在①ABC的内部（不包括①ABC 的边界），求m的取值范围；（3）已知点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求出抛物线y=x2+bx+c的表达式；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF①DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．①设四边形OBFC的面积为S，求S的最大值．7．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（2，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴为直线x=﹣1，点E为线段AC的中点，点F为x轴上一动点．（1）直接写出点B的坐标，并求出抛物线的函数关系式；（2）当点F的横坐标为﹣3时，线段EF上存在点H，使①CDH的周长最小，请求出点H，使①CDH的周长最小，请求出点H的坐标；（3）在y轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P，F，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3).（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设抛物线上的一个动点P 的横坐标为t （0＜t ＜3），过点P 作PD ①BC 于点D . ① 求线段PD 的长的最大值；① 当BD =2CD 时，求t 的值；（3）若点Q 是抛物线的对称轴上的动点，抛物线上存在点M ，使得以B 、C 、Q 、M 为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有满足条件的点M 的坐标.9．已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．（1）求该抛物线对应的函数的解析式；（2）将该抛物线向下平移m(m>0)个单位，设得到的抛物线的顶点为A ，与x 轴的两个交点为B 、C ，若①ABC 为等边三角形．①求m 的值；①设点A 关于x 轴的对称点为点D ，在抛物线上是否存在点P ，使四边形CBDP 为菱形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知抛物线2y x bx c =++的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B .（1）如图1，若点P 的横坐标为1，点(3B ，6)，试确定抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若点M 是直线AB 下方抛物线上的一点，且S △ABM =3，求点M 的坐标；（3）如图2，若P 在第一象限，且PA PO =，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，将抛物线2y x bx c =++平移，平移后的抛物线经过点A 、D ，该抛物线与x 轴的另一个交点为C ，请探索四边形OABC 的形状，并说明理由.图1 图211．如图，已知抛物线212533y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，有一宽度为1的刻度尺沿x 轴方向平移，与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P 和点Q ，交直线AC 于点M 和点N ，交x 轴于点E 和点F ．(1)求点A、B、C的坐标；(2)当点M和点N都在线段AC上时，连接EN，如果点E的坐标为（4，0），求sin①ANE的值；(3)在刻度尺平移过程中，当以点P、Q、N、M为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．12．如图，把Rt△ACO以O点为中心，逆时针旋转90① ，得Rt△BDO，点B坐标为（0，-3），点C坐标为（0，抛物线y=2+bx+c经过点A和点C(1)求b，c的值；(2)在x轴以上的抛物线对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由(3)点P从点O出发沿ｘ轴向负半轴运动，每秒1个单位，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，当ｔ为几秒时，以M、P、O、C为顶点得四边形是平行四边形？13．已知二次函数2=-++的图象与y轴交于点A(0，-2)，与x轴交于点B(1，0)和点C，D(m，0)(my x ax b＞2)是x轴上一点．(1)求二次函数的解析式；(2)点E是第四象限内的一点，若以点D为直角顶点的Rt①CDE与以A，O，B为顶点的三角形相似，求点E 坐标(用含m的代数式表示)；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形BCEF为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，顶点为（1，4）的抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=12x+n 交于点A （2，2），直线y=12x+n 与y 轴交于点B 与x 轴交于点C ．（1）求n 的值及抛物线的解析式；（2）P 为抛物线上的点，点P 关于直线AB 的对称轴点在x 轴上，求点P 的坐标；（3）点D 为x 轴上方抛物线上的一点，点E 为轴上一点，以A 、B 、E 、D 为顶点的四边为平行四边形时，直接写出点E 的坐标．15．抛物线y=ax 2+c 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P（1）若A （﹣2，0），C （0，﹣4）①求抛物线的解析式；①在①的情况下，若点P 在第四象限运动，点D （0，﹣2），以BD 、BP 为邻边作平行四边形BDQP ，求平行四边形BDQP 面积的取值范围．（2）若点P 在第一象限运动，且a ＜0，连接AP 、BP 分别交y 轴于点E 、F ，则问S AOE BOF ABCS S ∆∆∆+ 是否与a ，c 有关？若有关，用a ，c 表示该比值；若无关，求出该比值．16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =a 2x +bx +c 的图像经过点A （﹣1，0），B （0，C （2，0），其对称轴与x 轴交于点D(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2)若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求12PB +PD 的最小值；(3)M （x ，t ）为抛物线对称轴上一动点① 若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有_______个； ① 连接MA ，MB ，若①AMB 不小于60°，求t 的取值范围．17．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P在第一象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P的坐标；（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），点B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的BC段上，是否存在一点G，使得①GBC的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点G 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P是抛物线的第一象限内的动点，过点P作PM①x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与①BO C相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．19．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，二次函数232(0)2y ax x a =-+≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A （﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC 的函数解析式；（2）若点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式；（3）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E 的坐标．参考答案1．（1），B 点坐标为（3，0）；（2）①；①．【分析】（1）由对称轴公式可求得b ，由A 点坐标可求得c ，则可求得抛物线解析式；再令y =0可求得B 点坐标；（2）①用t 可表示出ON 和OM ，则可表示出P 点坐标，即可表示出PM 的长，由矩形的性质可得ON =PM ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值；①由题意可知OB =OA ，故当①BOQ 为等腰三角形时，只能有OB =BQ 或OQ =BQ ，用t 可表示出Q 点的坐标，则可表示出OQ 和BQ 的长，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【解析】（1）①抛物线2y x bx c =-++对称轴是直线x =1，①﹣2(1)b ⨯-=1，解得b =2， ①抛物线过A （0，3），①c =3，①抛物线解析式为223y x x =-++，令y =0可得2230x x -++=，解得x =﹣1或x =3，①B 点坐标为（3，0）；（2）①由题意可知ON =3t ，OM =2t ，①P 在抛物线上，①P （2t ，2443t t -++），①四边形OMPN 为矩形，①ON =PM ，①3t =2443t t -++，解得t =1或t =﹣34（舍去）， ①当t 的值为1时，四边形OMPN 为矩形；①①A （0，3），B （3，0），①OA =OB =3，且可求得直线AB 解析式为y =﹣x +3，①当t ＞0时，OQ ≠OB ，①当①BOQ 为等腰三角形时，有OB =QB 或OQ =BQ 两种情况，由题意可知OM =2t ，①Q （2t ，﹣2t +3），①OQ BQ t ﹣3|，又由题意可知0＜t ＜1，当OB =QB t ﹣3|=3，解得t t当OQ =BQ |2t ﹣3|，解得t =34；综上可知当t 34时，①BOQ 为等腰三角形．2．（1）A （1，4）；y ＝－x 2＋2x ＋3；（2）当t ＝２时，①A ＭC 面积的最大值为1；（3）20-2013． 【解析】（1）由矩形的性质得到点A 的坐标，由抛物线的顶点为A ，设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋4，把点C 的坐标代入即可求得a 的值；（2）由点P 的坐标以及抛物线解析式得到点M 的坐标，由A 、C 的坐标得到直线AC 的解析式，进而得到点N 的坐标，即可用关于t 的式子表示MN ，然后根据①ACM 的面积是①AMN 和①CMN 的面积和列出用t 表示的①ACM 的面积，利用二次函数的性质即可得到当t ＝２时，①A ＭC 面积的最大值为1；（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由P Ｎ＝CQ ，PN①CQ ，得到四边形PNCQ 为平行四边形，所以当PQ ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；①当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），①抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，代入点C（3, 0），可得a＝－1．①y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）①P（112t+，４），将112x t=+代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝2144t-，①M（112t+，2144t-），设直线AC的解析式为，将A（１,４），C（３,０）代入，得：，将112x t=+代入得，①N（112t+，），①MN ，①，①当t＝２时，①AＭC面积的最大值为1．（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，①Ｎ（112t+，），P（112t+，４），①PＮ＝４—（）＝＝CQ，又①PN①CQ，①四边形PNCQ为平行四边形，①当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，PQ2＝PD2+DQ2 ＝，①，整理，得240800t t -+=．解得120t =-220t =+；①如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形，NQ 2＝CQ 2，得：．整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013t =，（舍去）．“点评”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.3．(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），①PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m +，证明①PFD①①BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，①PCQ=①PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ①PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论．试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， 故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），①PFD 的周长为L ， ①直线BC 经过B （4，0），C （0，3），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ①直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +， ①PE①x 轴，PE①OC ，①①BDE=①BCO ，①①BDE=①PDF ，①①PDF=①BCO ，①①PFD=①BOC=90°，①①PFD①①BOC ， ①=PED PD BOC BC的周长的周长， 由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5， 故①BOC 的周长=12，①2334125m m L -+=， 即L=﹣95（m ﹣2）2+365， ①当m=2时，L 最大=365； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，①PCQ=①PCD ，当点Q 落在y 轴上时，CQ①PD ，①①PCQ=①CPD ，①①PCD=①CPD ，①CD=PD ，①CD=DP=PQ=QC ，①四边形CDPQ 是菱形，过D 作DG①y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +）， 在Rt①CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ， 而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ①PD=CD ，①﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②， 解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去），解方程①得：n=173或0（不符合条件，舍去）， 当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）． 点评: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．4．（1）D （﹣1，﹣3）（2）P （﹣112，154）；（3）（﹣1，1）． 【解析】（1）抛物线的解析式为y=13（x+4）（x ﹣2），然后利用配方法可求得点D 的坐标； （2）在x 轴上点E （﹣2，0），连接CE ，并延长CE 交PB 与点F ，过点F 作FG①x 轴，垂足为G ．首先证明EF=EB=4，然后证明①FGE①①COE ，依据相似三角形的性质可得到FG=125，EG=125，故可得到点F 的坐标，然后可求得BP 的解析式，最后可求得直线与抛物线的交点坐标即可；（3）设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）且过点H （﹣1，0）的直线PQ 的解析式为y=kx+b ，得到b=k ，利用方程组求出点M 坐标，求出直线DN 解析式，再利用方程组求出点N 坐标，列出方程求出k ，即可解决问题．解：（1）①y=13x 2+bx+c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0）两点，①y=13（x+4）（x﹣2）=13（x2+2x﹣8）=13（x+1）2﹣3．①D（﹣1，﹣3）．（2）如图1，在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FG①x轴，垂足为G．①点E与点B关于y轴对称，①①OBC=①OEC．①①OBC=①GEF．①①PBA=12①OBC，①①PBA=①EFB．①EF=EB=4．①OE=2，OC=83，①EC=103．①GF①OC，①①FGE①①COE．①FGOC=EGOE=EFEC，即83FG=2EG=4103，解得：FG=165，EG=125，①F（﹣225，165）．设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得：20221655k bk b+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：k=﹣12，b=1，①直线BP的解析式为y=﹣12x+1．将y=﹣12x+1与y=13x2+23x﹣83联立，解得：x=﹣112，x=2（舍去）， ①y=154． ①P （﹣112，154）； （3）设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）且过点H （﹣1，0）的直线PQ 的解析式为y=kx+b ，①﹣k+b=0，①b=k ，①y=kx+k ． 由2128333y kx k y x x =+⎧⎪⎨=+-⎪⎩得：13 x 2+（33﹣k ）﹣83﹣k=0 ①x 1+x 2=﹣2+3k ，y 1+y 2=kx 1+k+kx 2+k=3k 2，解得：x 1=﹣1，x 2=3k ﹣1，①点M 是线段PQ 的中点，①由中点坐标公式的点M （32k ﹣1，32k 2）． 假设存在这样的N 点如图2，直线DN①PQ ，设直线DN 的解析式为y=kx+k ﹣3由2128333y kx k y x x =+⎧⎪⎨=+-⎪⎩， 解得：x 1=﹣1，x 2=3k ﹣1，①N （3k ﹣1，3k 2﹣3）．①四边形DMPN 是菱形，①DN=DM ，①（3k ）2+（3k 2）2=（32k ）2+32k 2+3）2， 整理得：3k 4﹣k 2﹣4=0，①k2+1＞0，①3k2﹣4=0，解得①k＜0，①k=①P（﹣1，6），M1，2），N（﹣1，1）．①PM①DN，①四边形DMPN是平行四边形，①DM=DN，①四边形DMPN为菱形，①以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣1，1）．“点评”本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、菱形的判定和性质等知识，求得点F的坐标是解答问题（2）的关键，分类讨论是解答问题（3）的关键.5．（1）y=﹣x2﹣2x+8；（2）3＜m＜9；（3）满足条件的点Q为（﹣2，0）或（﹣6，0）或（0）或（30）．【解析】试题分析：（1）把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值，然后可得到抛物线的解析式；（2）平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+9﹣m，然后求得直线AC的解析式y=2x+8，当x=﹣1时，y=6，最后由抛物线的顶点在①ABC的内部可得到0＜9﹣m＜6，从而可求得m的取值范围；（3）设点Q的坐标为（a，0），点P（x，y）．分为AC为对角线、CP为对角线、AQ为对角线三种情况，依据平行四边形对角相互平分的性质和中点坐标公式可求得x、y的值（用a的式子表示），然后将点P的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而可得到点Q的坐标．试题解析：（1）把点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得：4208b cc-++=⎧⎨=⎩，解得：28bc=-⎧⎨=⎩，①y=﹣x2﹣2x+8．（2）y=﹣x2﹣2x+8=﹣（x+1）2+9，①平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+9﹣m．①抛物线的对称轴为x=﹣1，点B（2，0），①A（﹣4，0）．设直线AC的解析式为y=kx+8，将点A的坐标代入得：﹣4k+8=0，解得k=2，①直线AC解析式为y=2x+8．当x=﹣1时，y=6．①抛物线的顶点落在①ABC的内部，①0＜9﹣m＜6．①3＜m＜9．（3）设点Q的坐标为（a，0），点P（x，y）．①当AC为对角线时．①四边形APCQ为平行四边形，①AC与PQ互相平分．依据中点坐标公式可知：402-+=2x a+，080=22y++．①x=﹣4﹣a，y=8．①点P在抛物线上，①﹣（a+4）2﹣2（﹣4﹣a）=0，解得：a=﹣2或a=﹣4（舍去）①点P的坐标为（﹣2，0）．①当CP为对角线时，①四边形APCQ为平行四边形，①CP与AQ互相平分．依据中点坐标公式可知：0422a x+-+=，00822y++=，①x=a+4，y=8．①点P在抛物线上，①﹣（a+4）2﹣2（a+4）=0，解得：a=﹣6或a=﹣4（舍去）①点P的坐标为（﹣6，0）．①AQ为对角线时．①四边形APCQ为平行四边形，①AQ与CP互相平分．依据中点坐标公式可知：4022a x-++=，008=22y++，①x=﹣4+a，y=﹣8．①点P在抛物线上，①﹣（a﹣4）2﹣2（a﹣4）+16=0，整理得：a2﹣6a﹣8=0，解得：a=3①点Q的坐标为（0）或（30）．综上所述满足条件的点Q为（﹣2，0）或（﹣6，0）或（0）或（30）．6．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）①2；①638．【解析】分析:（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；（2）①可求得直线BC 的解析式，则可表示出P 、F 的坐标，从而可表示出PF 和DE 的长，由平行四边形的性质可知PF=DE ，则可得到关于m 的方程，可求得m 的值；①用m 可表示出PF 的长，则可表示出①BCF 的面积，从而可表示出四边形OBFC 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值．本题解析:（1）①抛物线过B 、C 两点，①9303b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩, ①抛物线表达式为y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①①B （3，0），C （0，﹣3），①直线BC 解析式为y=x ﹣3，①y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，①D （1，﹣4），①E （1，﹣2），①DE=﹣2﹣（﹣4）=2，①PF①DE ，且P （m ，m ﹣3），①F （m ，m 2﹣2m ﹣3），①点P 为线段BC 上的一个动点，①PF=m ﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）=﹣m 2+3m ，当四边形PEDF 为平行四边形时，则有PF=DE=2，即﹣m 2+3m=2，解得m=1（舍去）或m=2，①当m 的值为2时，四边形PEDF 为平行四边形；①由①可知PF=﹣m 2+3m ，①S △FBC =12PF•OB=12×3（﹣m 2+3m ）=﹣32（m ﹣32）2+278， ①S △OBC =12OB•OC=12×3×3=92， ①S=S △FBC +S △OBC =﹣32（m ﹣32）2+278+92=﹣32（m ﹣32）2+638， ①﹣32＜0， ①当m=32时，S 有最大值638． 点评:本题考查了二次函数的应用,涉及待定系数法、平行四边形的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.7．（1）B （﹣4，0），y =12x 2+x ﹣4；（2）H （34，158-）；（3）存在，点P 的坐标为（﹣1﹣12），（﹣112）．【解析】试题分析：（1）根据轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据配方法，可得D点坐标，根据勾股定理，可得CF的长，根据等腰三角形的性质，可得A，C关于EF对称，根据轴对称的性质，可得P A=PC，根据两点之间线段最短，可得P是AD与EF的交点，根据解方程组，可得答案；（3）根据平行四边形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．解：（1）由A、B关于x=﹣1对称，得B（﹣4，0），①抛物线y=ax2+bx﹣4过A（2，0）、B（﹣4，0），①4240 16440a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：121ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，①y=12x2+x﹣4，（2）如图1，当x=0时，y=﹣4，即C（0，﹣4），y=12x2+x﹣4=12（x+1）2﹣92①D（﹣1，﹣92），①E为线段AC的中点，A（2，0），C（0，﹣4），①E（1，﹣2）．①点F横坐标为﹣3，①F（﹣3，0），①AF=5，CF，①AF=CF，①E 为线段AC 的中点，①EF 垂直平分AC ，①A 、C 关于直线EF 轴对称，连接AD ，与直线EF 交点即为所求H ，①EF ①AC ．设直线EF 关系式为y =k 1x +b 1，①1111230k b k b +=-⎧⎨-+=⎩， 解得：111232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ①直线EF ：y =﹣12x ﹣32， 设直线AD 关系式为y =k 2x +b 2， ①22222092k b k b +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩， 解得：22323k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ①y =32x ﹣3， 联立AD ，EF ，得1322332y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ①34158x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ①H （34，158-）． （3）若CD 为对角线，不存在；若CD 为边，则PF ①CD 且PF =CD ，①C （0，﹣4），D （﹣1，﹣92），点F 为x 轴上一动点， 如图2，PDCF 是平行四边形，对角线的纵坐标为﹣94，P 点纵坐标﹣12，当y =﹣12时，12x 2+x ﹣4=﹣12，解得x 1=﹣，x 2=﹣1﹣①P 1（﹣1﹣12）．如图3 ，PFDC 是平行四边形，对角线的交点坐标为﹣2，P 点坐标为12，当y =12时，12x 2+x ﹣4=12，解得x 1=﹣（舍），x 2=﹣1，①P 2（﹣112）．综上所述：在y 轴左侧的抛物线上存在点P ，使以P ，F ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标（﹣1﹣12），（﹣1，12）．点评：本题是一道二次函数综合题，主要考查了一次函数与二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质和平行四边形的性质等知识. 利用交点坐标建立方程组和利用平行四边形对角线互相平分是解题的关键.8．(1) y =-x 2+2x 或(4,-5)或(-2,-5). 【解析】试题分析: （1）将A 、B 、C 三点的坐标代入y=a （x+1）（x -3）即可求出抛物线的解析式．（2）①过点P 作PE①x 轴于点E ，交BC 于点F ，求出△PBC 的最大面积，即可求出PD 的最大值．①过点D 作DG①x 轴于点G ，由于DG①OC ，从而可知BD BG CD OG=，从而可求出t 的值． （3）由于BC 是B 、C 、Q 、M 为顶点的四边形中的一条固定的线段，因此将此线段分为平行四边形的边和对角线进行讨论即可求出M 的坐标．试题解析:（1）设抛物线所对应的函数关系式为2y ax bx c =++将A （-1，0），B （3，0），C （0，3）代入2y ax bx c =++得：{9303a b c a b c c -+=++==解得：1{23a b c =-==①抛物线所对应的函数关系式为223y x x =-++（2）①设点P 的坐标为（t ，223t t -++）过P 作PN①x 轴于点F ，交BC 于点E设直线BC 解析式为y=kx+b把B （3，0），C （0，3）代入y=kx+b 得30{3k b b +==解得：k=-1,b=3 ①直线BC 解析式为y=-x+3①点E 坐标为（t ，3t -+）PE=223t t -++-（3t -+）=23t t -+①OB=OC=3，①①OBC=45°①PD①BC①①PED=45°23t t -+）=232t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭①当t=32时，PD 的最大面积为8①过D 作DG①x 轴于点G ，则DG①OC①①BOC①①BGD ①DG BD OC BC= 当BD=2CD 时，BD ：BC=2：3233DG = ①DG=2，即点D 的纵坐标为2把y=2代入y=-x+3得x=1①D 点坐标为（1，2）设直线PD 解析式为：y=x+b把D （1，2）代入上式得：2=1+b,解得：b=1①直线PD 解析式为y=x+1解方程组2t 23{1y t y t =-++=+得：1t 2=，2t 1=-（ 舍去） ①当BD=2CD 时,t 的值为2{或①①PDE 是等腰直角三角形，①()P E D 1y y y 2+=） 即()()21t 2t 3t 322⎡⎤-+++-+=⎣⎦， 解得：1t 2=，2t 1=-（ 舍去）}（3）①点Q 是抛物线2y x 2x 3=-++的对称轴x=1上的动点，①点Q 的横坐标为1,①点M 在抛物线2y x 2x 3=-++上，①设点M 的坐标为（m ，2m 2m 3-++）（I ）如图，当BC 、QM 为平行四边形的对角线时，可得：B C Q M x x x x +=+即：3=1+m,①m=2①点M 坐标为（2，3）（II ）如图，当BQ 、MC 为平行四边形的对角线时，可得：B Q M C x x x x +=+即：3+1=m,①m=4①点M 坐标为（4，-5）（III ）如图，当BM 、QC 为平行四边形的对角线时，可得：B M Q C x x x x +=+即：3+m=1,①m=-2①点M 坐标为（-2，-5）综合以上所述，满足平行四边形的点M 的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-2，-5）点评: 本题难度较大，考查的是二次函数图象与解析式的灵活运用，一般这样题目都是作为压轴题出现，考生平时应多积累二次函数的综合知识．9．（1）221y x x =-+; （2）①m=3;①不存在这样的点P,理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据抛物线的顶点坐标及函数经过点（0，1），利用待定系数法求解即可．（2）①先写出平移后的函数解析式，然后得出A 、B 、C 三点的坐标，过点A 作AH①BC 于H ，根据①ABC 为等边三角形，可得出关于m 的方程，解出即可；①求出点D 坐标，分两种情况进行讨论，①PD 为对角线，①PD 为边，根据菱形的性质求解即可． 试题解析：（1）由题意可得，0,{1,2 1.a b c b a c ++=-== 解得1,{2,1.a b c ==-= ①抛物线对应的函数的解析式为221y x x =-+．（2）①将221y x x =-+向下平移m 个单位得：221y x x =-+-m=()21x m --，可知A(1，-m)，B(1，0)，0)，由①ABCm =，由m ＞0，解得m=3． ①不存在这样的点P ．①点D 与点A 关于x 轴对称，①D （1，3）．由①得要使四边形CBDP 为菱形，需DP①BC ，DP=BC ．由题意，知点P 的横坐标为当221y x x =-+-m=222x x --=((2121293+-+-=≠， 故不存在这样的点P ．点评：本题属于二次函数的综合题，属于综合性较强的题目，应理清思路，对每一个知识点都应熟练掌握并能灵活运用，求出二次函数的解析式是解此题的关键，应熟练掌握三点式和顶点式求抛物线解析式的方法，二次函数的平移通常指的是图象的平移，应注意总结平移的规律.10．（1）223y x x =-+；（2）(1, 2) 或 (2, 3).；（3）四边形OABC 是矩形，理由见解析【解析】（1）利用顶点P 的横坐标求出b =-2,然后把b =-2和B 点的坐标代入求出抛物线的解析式；（2）先求出A 点坐标，然后得出直线AB 的解析式，设M 点坐标为（x ，x 2-2x +3），根据S △ABM =3列出方程，并解方程，从而得出M 点坐标；（3）根据抛物线的图象可求出A 、P 、D 的坐标，利用抛物线与直线相交求出B 点坐标，然后求出平移后抛物线的解析式，然后求出C 点坐标，然后求出BC 的长度，从而得出四边形OABC 是平行四边形，再根据①AOC =90︒得出四边形OABC 是矩形.解：（1）依题意, 121b -=⨯, 解得b =-2.将b =-2及点B (3, 6)的坐标代入抛物线解析式2y x bx c =++得 26323c =-⨯+. 解c =3. 所以抛物线的解析式为223y x x =-+.（2）①抛物线 223y x x =-+与y 轴交于点A ，① A (0, 3).① B (3, 6), 可得直线AB 的解析式为3y x =+.设直线AB 下方抛物线上的点M 坐标为（x ，223x x -+），过M 点作y 轴的平行线交直线AB 于点N , 则N (x , x +3). (如图1)图1 ① 132ABM AMN BMN B A S S S MN x x ∆∆∆=+=⋅-=. ①()21323332x x x ⎡⎤+--+⨯=⎣⎦. 解得 121,2x x ==.①点M 的坐标为(1, 2) 或 (2, 3).（3）如图2，由 P A =PO , OA =c , 可得2c PD =.图2①抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为 24,24b c b P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,① 2442c b c -=. ①22b c =.① 抛物线2212y x bx b =++, A （0，212b ），P （12b -，214b ）, D （12b -，0）. 可得直线OP 的解析式为12y bx =-. ① 点B 是抛物线2212y x bx b =++与直线12y bx =-的图象的交点， 令 221122bx x bx b -=++. 解得12,2b x b x =-=-. 可得点B 的坐标为（-b ，212b ）. 由平移后的抛物线经过点A , 可设平移后的抛物线解析式为2212y x mx b =++. 将点D (12b -，0)的坐标代2212y x mx b =++入，得32m b =. ① 平移后的抛物线解析式为223122y x bx b =++. 令y =0, 即2231022x bx b ++=. 解得121,2x b x b =-=-. 依题意, 点C 的坐标为（-b ，0）.① BC =212b . ① BC = OA .又BC ①OA ，① 四边形OABC 是平行四边形.① ①AOC =90︒，① 四边形OABC 是矩形.点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，并与几何图形相结合的综合题，难度较高.解题的关键在于灵活运用二次函数的性质及待定系数法，并注重点的坐标与线段长的互相转化.11．(1)A （5，0）、B （-3，0）、C （0，5）；(3)点N 的坐标为（2，3）或（3）或（2，）．【分析】（1）利用坐标轴上点的坐标特征即可结论；（2）先确定出AF =FN =2，GE NE （3）先确定出直线AC 的函数表达式为y =-x +5．再分MN 为边和对角线两种情况，建立方程求解即可得出结论．（1）解：令y =0得：−13x 2+23x +5=0， 解得x =5或x =-3．①点A 在点B 的右侧，①点A 、B 的坐标分别为（5，0）、（-3，0）．当x =0时，y =5，①点C 的坐标为（0，5）；（2）解：如图1，作EG ①AC ，垂足为点G ．①点E 的坐标为（4，0），①OE =4．①OA =OC =5，①AE =1，①OAC =45°．①AF =FN =2，GE =AE ，在Rt ①EFN 中，依据勾股定理可知NE①sin①ANE =GE EN =；（3）解：设直线AC的函数表达式为y=kx+b．将点A和点C的坐标代入得：505k bb+=⎧⎨=⎩，解得k=-1，b=5．①直线AC的函数表达式为y=-x+5．①当MN为边时，如图2所示：设点Q（n，−13n2+23n+5），则点P（n+1，−13n2+163），点N（n，-n+5）M（n+1，-n+4）．①QN=PM，①(−13n2+23n+5)−(−n+5)=(−13n2+163)−(−n+4)，解得n=2．①点N的坐标为（2，3）；①当MN是平行四边形的对角线时，如图3所示：设点F的坐标为（m，0），则N （m ，-m +5），M （m +1，-m +4），Q （m ，−13m 2+23m +5），P （m +1，−13m 2+163）． ①QN =PM ，①(−m +5)−(−13m 2+23m +5)=(−13m 2+163)−(−m +4)， 解得m①点N 的坐标为（3）或（2，）．综上所述，以点P 、Q 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形时，点N 的坐标为（2，3）或（，3）或（2，．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，平行四边形的性质，解（2）的关键是求出NE 的长，解（3）的关键是分MN 为平行四边形的边和对角线两种情况，用方程的思想解决问题． 12．(1)b =c = (2)存在，有2个Q 点，坐标分别为：（—1，；（—1）；(3)当t =2秒时，以M 、P 、O 、C 为顶点得四边形是平行四边形.【分析】（1）先由旋转得出点A 的坐标为（-3，0），直接利用待定系数法求出抛物线解析式得出即可； （2）利用当AQ =AC=AC =Q 1C 时，分别得出符合题意的答案即可；（3）利用平行四边形的性质首先得出BC 的长，进而表示出线段ME 的长，进而求出答案.（1）由旋转知：OA =OB =3①A （—3，0）由2330{b c c -+== ，①{b c == （2）由（1）得y =2+bx +c =2xx +1)2， 即抛物线的对称轴为直线x =-1，如图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1)求抛物线的解析式；
(2)当抛物线上的点 的在 下方运动时，求 面积的最大值．
(3)连接 ，把 沿着 轴翻折，使点 落在 的位置，四边形 能否构成菱形，若能，求出点 的坐标，如不能，请说明理由；
18．如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求直线 的解析式；
(2)M是二次函数图象对称轴上的点，在抛物线上是否存在点N．使以M，N，A，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点 是抛物线上的动点，连接 ，设 的面积为S．求S与x之间的函数关系式，当 时，求S的最大值．
(3)若点 是该抛物线上的动点，点 是该抛物线对称轴上的动点，当以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时，写出此时点 的坐标．
5．如图，对称轴为直线 的抛物线经过点 和 ．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)点 在第四象限抛物线的图像上，当平行四边形 的面积为24时，求点 的坐标；
(3)在直线 是否存在一点 ，使得 与 相似，如存在求出点 坐标，如果不存在请说明理由．
7．如图1，抛物线 与x轴交于点 ， 两点，与y轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)求 的面积；
(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线 交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图①，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线 的解析式；
(2)如图②，连接 ，点E是第四象限内抛物线上的动点，求 面积的最大值及此时点E的坐标；
(3)如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴分别交于点 和点 ，与 轴交于点 ，连接 ．
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标；
(2)如图，点 为线段 上的一个动点（点 不与点 ， 重合），过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，求线段 长度的最大值．
(3)动点 以每秒 个单位长度的速度在线段 上由点 向点 运动，同时动点 以每秒 个单位长度的速度在线段 上由点 向点 运动，在平面内是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
11．(1)
(2) 的面积最大值为4
(3)四边形 能构成菱形，点 的坐标为 或
12．(1)见解析
(2)点 的坐标为
(3)点 的坐标为 或
13．(1)
(2)
(3)存在， 或 或
14．(1)
(2) 或 或
(3)最小值是
15．(1)抛物线的解析式为 ；
(2) 的最大值为 ；此时，点 ；
(3)满足条件的点P有4个，坐标分别为 或 或 或 ．
16．如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线经过 ， 两点，与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴 上找一点M．使 的周长最小，求出点M的坐标．
(3)在（2）的条件下，连接 ，点E是直线 上的一个动点，过点E作 交抛物线于点F，以M，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线 和抛物线交于点 ， ，且点B是抛物线的顶点．
(1)求直线 和抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一点，求当 面积最大时点P的坐标；
(3)M是直线 上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 、 、 三点．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2) 是抛物线对称轴上的一点，求满足 的值为最小的点 坐标；
(3)在第四象限的抛物线上是否存在点 ，使四边形 是以 为对角线且面积为 的平行四边形？若存在，请求出点 坐标，若不存在请说明理由．
13．如图，抛物线 与x轴交于 ，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点 ，点E，P为抛物线的对称轴上的动点．
6．综合与探究．
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与 轴交于点C．
(1)求 三点的坐标．
(2)连接 ，直线 与抛物线交于点 ，与 交于点 ，m为何值时线段 的长度最大，最大值是多少？
(3)点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 最小时，求此时点E的坐标；
(3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线 经过点B， 两点，且与直线DC交于另一点E．
①当四边形 为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．
3．如图，已知直线 与x轴交于点D，与y轴交于点C，经过点C的抛物线 与x轴交于 、B两点，顶点为E．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)连接 ，求 的值；
2．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．
例如： 的“同轴对称抛物线”为 ．
(1)请写出抛物线 的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线” 的顶点坐标；写出抛物线 的“同轴对称抛物线”为．
(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L： 上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点 、 ，连接 、 、 、 ，设四边形 的面积为 ．
(3)设P为抛物线上一动点，Q为直线 上一动点，是否存在点P与点Q，使得以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线 与轴交于点 和点 ，与 轴交于 ，连接 ．
(1)求该抛物线的解析式和对称轴；
(2)将线段 先向左平移2个单位长度，再向下平移 个单位长度，使点 的对应点 恰好落在该抛物线上，求出此时点 的坐标和 的值；
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （b，c为常数）的顶点坐标为 ，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C、点D关于x轴对称，连接 ，作直线 ．
(1)求b、c的值；
(2)求点A、B的坐标；
(3)求直线 的解析式；
(4)点P在抛物线上，点Q在直线 上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（特殊四边形问题）
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，四边形 是平行四边形，线段 ，二次函数 与y轴交于A点，与x轴分别交于B点、E点（B点在E点的左侧）
(1)分别求A、B、E点的坐标；
(2)连接 、 ，请判断 与 是否相似并说明理由；
(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线 上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．
16．(1)
(2)
(3)能；E点坐标为 或 或
17．(1) ；
(2)
(3)点N的坐标为 或 或 或
18．(1) ．
(2)点N的坐标为 或 或 ．
(3) ．
(2) 或
(3)在直线 存在一点 ，
6．(1)
(2) 时， 最大为4
(3)存在，
7．(1) ， ；
(2)3；
(3)存在，Q点的坐标为 或 或 ．
8．(1) ， ；
(2)存在， 或 ；
(3) 或 或 或 ．
9．(1) ，
(2) ，
(3)
(4)点Q的坐标为 ， ， ，
10．(1) ，
(2)当பைடு நூலகம்时，
(3)存在， 或 或
8．如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点 ，M是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式和点M的坐标；
(2)在抛物线上A，C两点之间的部分（不包含A，C两点），是否存在一点D，使得 ？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若E是x轴上的一个动点，F为平面直角坐标系内的一点，当以A，C，E，F为顶点的四边形为菱形时，请求出满足条件的点E的坐标．
(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴与x轴的交点，M为线段DE上一点，N为平面直角坐标系中的一点，若存在以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形．请直接写出点N的坐标，不需要写过程：
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接OB、BP，探究 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1) ， ， ；
(2) 与 相似，理由见解析；
(3)F点的坐标为： 、 、 、 ．
2．(1) ， ，
(2)①a ；② 或
3．(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为 或 或
4．(1) ，对称轴是直线 ；