平方根立方根知识点总结归纳及常见题型
平方根 算术平方根 立方根
平方根算术平方根立方根三说王峰一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要1. 平方根、算术平方根的概念与性质如果一个数x的平方等于a（即），那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根），记作：，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为，例如16的算术平方根是，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①；②。
2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。
联系：①它们之间具有包含关系；②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；③0的平方根以及算术平方根均为0。
3. 立方根的定义与性质如果一个数x的立方等于a（即），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根），记作：。
立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
二、解题中常见的错误剖析例1. 求的平方根。
错解：的平方根是剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。
例2. 求的算术平方根。
错解：的算术平方根是3剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。
，而3的算术平方根为，故的算术平方根应为。
仿此你能给出的平方根的结果吗？三、典型例题的探索与解析例3. 已知：是算数平方根，是立方根，求的平方根。
分析：由算术平方根及立方根的意义可知联立<1><2>解方程组，得：代入已知条件得：所以故M＋N的平方根是±。
例4. 已知，求的算术平方根与立方根。
中考数学《平方根和立方根》知识点及练习题
平方根和立方根一.知识梳理：1.平方根定义1：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
a 叫做被开方数。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
定义2：正数a 的正的平方根叫做a a ”， 性质1：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
性质2：算术平方根a 的双重非负性：①a ≥0 ； ②0≥a定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根定义1：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
即如果x 3=a ，那么x 叫做a 3a x =。
性质1：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
性质2：33a a -=-，三次根号内的负号可以移到根号外面。
定义2：求一个数的立方根的运算，叫做开立方3. 实数大小的比较（1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
（2）实数大小比较的几种常用方法①作差法：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0.②作商法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b a b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> ③平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22④近似值法：记住这些数值：236.25732.13414.12≈≈≈；；二.课后作业1.9的算术平方根是 ；4的平方根是 。
2.-8的立方根是 ；立方根是它本身的数是______3.25的算术平方根是_____，64的立方根是5.比较大小：-3.14 π-；23。
6. 22(3)0y z -+-=，则xyz 的立方根是________7.23-的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。
平方根和立方根专题(难易结合)
平方根和立方根【知识归纳】1.平方根：（1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方根,记为 。
规定，0的算术平方根为 。
（2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。
（3）两个公式：（a ）2＝ （ ）；=2a 2.立方根：1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ；2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。
3）立方根的性质：（1）()33a ＝ ，（2）33a ＝ . 【典型例题】求平方根（1）100 （2）25121（3）0.25 求值（1）4 （2）2516-（3）±16 （4）()27±【课堂练习】一、填空题 1．1的平方根是 ， 的平方根是02．=36 ；=-2)9( ；=--2)3( 。
3． 当0≥a 时，a ±表示的意义是 ，其中被开方数是 . 225的算术平方根用符号表示为 ，它的结果是 。
4． -7的平方的算术平方根是 ，3的平方的平方根是 。
二求下列各数的平方根1． 0.64 2．94 3．2500 4．2)3(- 5. 8164 6．2.56 7．2)3(- 11.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.12.已知:2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值.13.已知a <0,b <0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平方根.14.要切一块面积为36 m 2的正方形铁板，它的边长应是多少？15.甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1.乙的解答：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5.哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？立方根一、填空题1． 数a 的立方根，记作 ，其中被开方数是 ，根指数是 。
七年级数学下册平方根与立方根【九大题型】(举一反三)(人教版)
专题6.1 平方根与立方根【九大题型】【人教版】【题型1 平方根、立方根的概念及表示】 (1)【题型2 平方根性质的运用】 (2)【题型3 开平方、开立方的运算】 (4)【题型4 利用开平方、开立方解方程】 (5)【题型5 算术平方根的概念及非负性】 (7)【题型6 开方运算中的小数点移动规律】 (8)【题型7 平方根与立方根综合】 (10)【题型8 算术平方根、立方根的应用】 (11)【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】 (13)【例1】（2022春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（）A．﹣a B．﹣a2+1C．﹣a2D．﹣a2﹣1【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案．【解答】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a2﹣1中，﹣a2﹣1是负数，没有平方根．故选：D．【变式1-1】（2022春•鞍山期末）下列说法正确的是（）A．﹣1是1的平方根B．﹣1是-1的平方根C．﹣1是1的立方根D．﹣1没有立方根【分析】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可．【解答】解：∵±1都是1的平方根， ∴选项A 符合题意； ∵-1没有平方根， ∴选项B 符合题意； ∵1的立方根是1， ∴选项C 不符合题意； ∵﹣1的立方根是﹣1， ∴选项D 符合题意， 故选：A ．【变式1-2】（2022春•应城市期末）下列各式中，正确的是（ ） A ．−√−9=3B ．√−273=−3C ．√183=±12D ．√83=−2【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题． 【解答】解：A ．−√−9无意义，故A 不符合题意． B ．√−273=−3，故B 符合题意． C ．√183=12，故C 不符合题意． D ．√83=2，故D 不符合题意． 故选：B ．【变式1-3】（2022春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（ ） A ．0只有一个平方根 B ．若x 2＝3，则x ＝±√3C ．√64的立方根是2D ．512的立方根是±8【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：A 、0只有一个平方根，故A 不符合题意． B 、若x 2＝3，则x ＝±√3，故B 不符合题意． C 、√64=8，8的立方根是2，故C 不符合题意． D 、512的立方根是8，故D 符合题意． 故选：D ．【例2】（2022春•临洮县期中）一个正数x 的两个平方根分别是2a ﹣1与﹣a +2，求a 的值和这个正数x 的值．【分析】正数x 有两个平方根，分别是﹣a +2与2a ﹣11，所以﹣a +2与2a ﹣1互为相反数；即﹣a +2+2a ﹣1＝0解答可求出a ；根据x ＝（﹣a +2）2，代入可求出x 的值．【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，∴﹣a+2+2a﹣1＝0解得a＝﹣1．所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．【变式2-1】（2022•工业园区期中）一个正数M的两个平方根分别是2a+3和2b﹣1，求（a+b）2022．【分析】利用正数的平方根有2个，且互为相反数求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：2a+3+2b﹣1＝0，整理得：a+b＝﹣1，则原式＝1．【变式2-2】（2022春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b．（1）当b＝8时，m的值是﹣4；（2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝√2．【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；（2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值．【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b∴m+m+b＝0，∵b＝8，∴2m+8＝0∴m＝﹣4；（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，∴（m+b）2＝x，m2＝x，∵m2x+（m+b）2x＝4，∴x2+x2＝4，∴x2＝2，∵x＞0，∴x=√2．故答案为：（1）﹣4；（2）√2．【变式2-3】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（）A．8B．0C．8或0D．4或﹣4【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求解即可．【解答】解：∵a是（﹣4）2的平方根，∴a＝±4．∵b的一个平方根是2，∴b＝4．∴当a＝4，b＝4时，a+b＝8；当a＝﹣4，b＝4时，a+b＝0．故选：C．【例3】（2022春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知a＝﹣2020，b＝﹣2020．【分析】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．【解答】解：依据图中呈现的运算关系，可知2020的立方根是m，a的立方根是﹣m，∴m3＝2020，（﹣m）3＝a，∴a＝﹣2020；又∵n的平方根是2020和b，∴b＝﹣2020．故答案为：﹣2020，﹣2020．【变式3-1】（2022春•绥棱县期末）已知x、y为实数，且满足√1+x+√1−y=0，那么x2022﹣y2022＝0．【分析】根据√1+x+√1−y=0，且√1+x与√1−y均大于等于0，以此解出x、y值进而计算出结果．【解答】解：∵√1+x+√1−y=0，且√1+x与√1−y均≥0，∴1+x＝0，1﹣y＝0，得x＝﹣1，y＝1，x2022﹣y2022＝（﹣1）2022﹣12022＝1﹣1＝0，故答案为：0．【变式3-2】（2022春•五常市期末）1106的平方根是±11000，﹣27的立方根是﹣3．【分析】根据平方根、立方根的定义进行计算即可．【解答】解：1106的平方根为±√1106=±1103=±11000；﹣27的立方根为√−273=−3，故答案为：±11000，﹣3．【变式3-3】（2022春•龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（）A．2√2B．2C．√2D．±√2【分析】直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案．【解答】解：由题意可得：64的立方根为4，4的算术平方根是2，2的算术平方根是√2，即y=√2．故选：C．【题型4 利用开平方、开立方解方程】【例4】（2022•靖江市期末）求出下列x的值：（1）4x2﹣9＝0；（2）8（x+1）3＝125．【分析】（1）移项，把二次项系数化为1，开平方求出x；（2）把二次项系数化为1，开立方求出x．【解答】解：（1）4x2﹣9＝0，4x2＝9，x2=94，x1=32，x2=−32；（2）8（x+1）3＝125，（x+1）3=1258，x+1=52，x＝1.5．【变式4-1】（2022春•阆中市期中）（1）已知4（x﹣3）2＝64，求x的值．（2）已知（x+1）3+27＝0，求x的值．【分析】（1）根据题意可化为（x﹣3）2＝16，根据平方根的定义可得x﹣3=±√16，计算即可得出答案；（2）根据题意可化为（x+1）3＝﹣27，根据立方根的定义可得x+1=√−273，计算即可得出答案．【解答】解：（1）4（x﹣3）2＝64，（x﹣3）2＝16，x﹣3=±√16，x﹣3＝±4，x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，x＝7或x＝﹣1；（2）（x+1）3+27＝0，（x+1）3＝﹣27，x+1=√−273，x+1＝﹣3，x＝﹣4．【变式4-2】（2022春•安陆市期中）求x的值：（1）2x2＝50；（2）（x+1）3+3=−38．【分析】（1）根据等式的性质以及平方根的定义就求出答案；（2）根据等式的性质以及立方根的定义即可求出答案．【解答】解：（1）2x2＝50，两边都除以2得，x2＝25，根据平方根的定义得，x＝±5；（2）（x+1）3+3=−38，移项得，（x+1）3=−38−3，合并同类项得，（x+1）3=−278，根据立方根的定义得，x+1=−32，解得x=−52．【变式4-3】（2017秋•金牛区校级月考）解方程：若（x﹣1）2﹣1＝8，则x＝﹣2或4；若x3−827=0，则x＝23．【分析】（1）方程利用平方根定义开方即可求出x的值；（2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出x的值．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣1＝8，（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，x＝﹣2或4；（2）x3−827=0，x3=8，27x=2．3．故答案为：﹣2或4；23A．（x2+4）4B．（x2+4）2C．x2+4D．√x2+4【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根．我们把正的平方根叫a的算术平方根，由此即可求出√(x2+4)2的算术平方根．【解答】解：∵√(x2+4)2=x+4，∴√(x2+4)2的算术平方根是√x2+4．故选：D．【变式5-1】（2022春•巴彦县期末）若x﹣5有算术平方根，则x满足的条件是x≥5．【分析】根据非负数有平方根列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣5≥0，解得x≥5，故答案为：x≥5．【变式5-2】（2022春•宁县期末）若√7−x为整数，x为正整数，则x的值为3或6或7．【分析】根据算术平方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得，7﹣x≥0．∴x≤7．∵x为正整数，∴x可能为1、2、3、4、5、6、7．∵√7−x为整数，∴x＝3或6或7．故答案为：3或6或7．【变式5-3】（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，√(−9)×(−4)=6，√(−9)×(−1)=3，√(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；（2）分两种情况讨论：①当√−3m=12时，②当√−12m=12时，分别计算即可．【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：∵√(−18)×(−8)=12，√(−18)×(−2)=6，√(−8)×(−2)=4，∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；（2）∵√(−3)×(−12)=6，∴分两种情况讨论：①当√−3m=12时，﹣3m＝144，∴m＝﹣48；②当√−12m=12时，﹣12m＝144，∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；综上，m的值是﹣48．【题型6 开方运算中的小数点移动规律】【例6】（2022春•遵义期末）如下表，被开方数a和它的算术平方根√a的小数点位置移动符合一定的规律，根据规律可得m，n的值分别为a0.06250.625 6.2562.5625625062500625000√a0.250.791m n2579.1250791（注：表中部分数值为近似值）（）A．m＝0.025，n≈7.91B．m＝2.5，n≈7.91C．m≈7.91，n＝2.5D．m＝2.5，n≈0.791【分析】根据二次根式的乘法法则以及算术平方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得，√0.0625=0.25，√0.625≈0.791，√6.25=m，√62.5=n．∵√6.25=√0.0625×100=√0.0625×10=0.25×10＝2.5， √62.5=√0.625×100=√0.625×10≈0.791×10≈7.91， ∴m ＝2.5，n ≈7.91． 故选：B ．【变式6-1】（2022•乐清市校级期中）（1）填表：a0.000001 0.001 1 1000 1000000 √a 30.010.1110100（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 右 移动 1 位； （3）根据你发现的规律填空：①已知√33=1.442，则√30003= 14.42 ； ②已知√0.0004563=0.07696，则√4563= 7.696 ． 【分析】（1）开立方运算，然后填表即可； （2）根据表格信息，可得答案； （3）根据（2）的规律求解即可． 【解答】解：（1）如表格所示；（2）被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动1位； （3）①已知√33=1.442，则√30003=14.42； ②已知√0.0004563=0.07696，则 √4563=7.696；【变式6-2】（2022春•岳麓区校级期中）已知√25.36≈5.03587，√253.6≈15.92482，则√253600≈ 503.587 （结果保留3位小数）．【分析】根据算术平方根的定义，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位，进行解答即可． 【解答】解：√25.36≈5.03587， √253600 =√25.36×104， =√25.36×√104， ＝5.03587×100， ＝503.587． 故答案为：503.587．【变式6-3】（2022•无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题：a… ﹣0.001 0 0.001 1 1000 … √a 3…﹣0.11…（1）被开方数a 的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．（2）已知：√a 3=−50，√0.1253=0.5，你能求出a 的值吗？【分析】（1）首先依据立方根的定义进行计算，然后依据计算结果找出其中的规律即可； （2）依据规律进行计算即可． 【解答】解：填表结果为0.1，10；（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，立方根的小数点向左（或向右）移动1位； （2）能求出a 的值； ∵√0.1253=0.5， ∴√−0.1253=−0.5，由﹣0.5和﹣50，小数点向右移动了2位，则﹣0.125的小数点向右移动6位， ∴a ＝﹣125 000【题型7 平方根与立方根综合】【例7】（2022春•海珠区校级期中）一个正数m 的两个平方根分别为1﹣3a 和a +5，则这个正数m 的立方根是 4 ．【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程求出a ，再求出平方根，然后根据平方根的平方求出m ，最后求m 的立方根． 【解答】解：根据题意，得：（1﹣3a ）+（a +5）＝0， 1﹣3a +a +5＝0， ﹣3a +a ＝﹣1﹣5， ﹣2a ＝﹣6， a ＝3．∴a +5＝3+5＝8， ∴m ＝82＝64， ∴64的立方根为4． 故答案为：4．【变式7-1】（2022春•海珠区期末）若实数5x +19的立方根是4，则实数3x +9的平方根是 ±6 ．【分析】根据立方根的定义列出方程求出x ，然后求出3x +9的值，最后求它的平方根即可．【解答】解：∵5x +19的立方根是4， ∴5x +19＝43＝64， ∴x ＝9，∴3x+9＝3×9+9＝36，∴36的平方根为±6，故答案为：±6．m−2是n﹣m+3的算术平方根，B=【变式7-2】（2022春•兴仁市月考）已知A=√n−m+3m−2n+3是m+2n的立方根，求B﹣A的平方根．√m+2n【分析】首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出n，m的值，进而利用平方根的定义求出答案．【解答】解：由题意得：m﹣2＝2，m﹣2n+3＝3，解得：m＝4，n＝2，3=2，则A=√2−4+3=1，B=√4+2×2∴B﹣A＝2﹣1＝1，则B﹣A的平方根为：±1．【变式7-3】（2022•兴化市月考）若a、b满足a2＝9，b3＝﹣8，则a﹣b的值为5或﹣1．【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a＝±3，b＝﹣2，当a＝3时，原式＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5．当a＝﹣3时，原式＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．故答案为：5或﹣1．【题型8 算术平方根、立方根的应用】【例8】（2022•桥西区校级期中）解答下列应用题：（1）某房间的面积为17.6m2，房间地面恰好由110块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？（2）已知第一个正方体水箱的棱长是60cm，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？【分析】（1）先求出一块地砖的面积，再求出边长即可；（2）先求出第一个正方体水箱的体积，再根据第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多81 000cm3，求出第二个水箱的棱长，进而求出表面积即可．【解答】解：（1）每块地砖的面积为：17.6÷110＝0.16（m2），所以正方形地砖的边长为：√0.16=0.4（m）．答：每块地砖的边长是0.4m；（2）由题意可知，第一个正方体水箱的体积为：603＝216000（cm3），所以第二个正方体水箱的体积为：3×216000+81000＝729000（cm3），3=90（cm），所以第二个正方体水箱的棱长为：√729000所以需要铁皮90×90×6＝48600cm2＝4.86m2．【变式8-1】（2022秋•沂源县期末）有一个底面为正方形的水池，水池深2m，容积为11.52m3，则此水池底面正方形的边长为（）A．2.4m B．4.2m C．9.25m D．13.52m【分析】设水池底面正方形的边长为xm，由题意得2x2＝11.52，再根据算术平方根的定义求得x＝2.4．【解答】解：设水池底面正方形的边长为xm．由题意得，2x2＝11.52．∴x＝2.4．∴此水池底面正方形的边长为2.4 m．故选：A．【变式8-2】（2022•南安市校级月考）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为0.25m3，且长方体的高是底面边长的2倍．（1）求长方体的底面边长；（2）求长方体的表面积．【分析】（1）设出地面边长，然后根据高是底面边长的2倍表示出高，利用正方体的体积公式求得底边长即可；（2）利用其表面积的计算方法求得其表面积即可．【解答】解：（1）设底面边长为xm，则高为2x（m），则x2•2x＝0.25解得：x＝0.5，故长方形的底面边长为0.5m；（2）S全＝2S底+4S侧＝2×0.25+4×0.5＝2.5m2【变式8-3】（2022春•奈曼旗期中）小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．【分析】根据长方形的面积，可得一个元二次方程，根据解方程，可得长方形的边长，根据长方形的边长与正方形的边长的比，可得答案．【解答】解：能做到，理由如下设桌面的长和宽分别为4x（cm）和3x（cm），根据题意得，4x×3x＝588．12x2＝588x2＝49，x＞0，x=√49=7∴4x＝4×7＝28 （cm）3x＝3×7＝21（cm）∵面积为900cm2的正方形木板的边长为30cm，28cm＜30cm∴能够裁出一个长方形面积为588 cm2并且长宽之比为4：3的桌面，答：桌面长宽分别为28cm和21cm．【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】【例1】（2022春•崇川区校级期中）将1、√2、√3、√6按如图方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是1+√2．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m﹣1排有（﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n 个数到底是哪个数后再计算．【解答】解：（5，4）表示第5排从左向右第4个数是√2，×11×（11+1）＝66（个）．∵前11排共有12∴（12，3）表示第12排从左向右第3个数是第69个数，每4个数一个循环，∴69÷4＝17……1，∴（12，3）表示的数是1，两数之和是1+√2．故答案为：1+√2．【变式1-1】（2022春•青山区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①√13；②√13+23；③√13+23+33；④√13+23+33+43，观察你计算的结果，用你发现的规律写出下面式子的值：√13+23+33+⋯+263=351．【分析】先计算出前4个式子的值，据此得出√13+23+33+⋯⋯+n 3=1+2+3+……+n ，据此求解可得．【解答】解：∵①√13=1；②√13+23=3＝1+2；③√13+23+33=6＝1+2+3；④√13+23+33+43=10＝1+2+3+4，……∴√13+23+33+⋯+263=1+2+3+ (26)(1+26)×262=351，故答案为：351．【变式1-2】（2022春•孝义市月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定√593193是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定√593193个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此确定√593193十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是 28 ．【分析】根据题目提供的方法，类推确定21952的立方根．【解答】解：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定√219523是两位数；（2）由21952个位上的数是2，确定√219523个位上的数是8；（3）划去21952后面的三位952得到21，而23＝8，33＝27，由此确定√219523十位上的数是2，所以√219523=28，故答案为：28．【变式1-3】（2022春•越秀区校级期中）将一组数√3，√6，√9，√12，⋯，√180，按下面的方式进行排列：√3，√6，√9，√12，√15，√18√21，√24，√27，√30，√33，√36⋯⋯若√12的位置记为（1，4），√24的位置记为（2，2），则这组数据中最大的有理数的位置记为 （8，6） ．【分析】观察数据的规律为3的倍数的算术平方根，6个为一排，共10列，其中最大的有理数应该为12，据此规律解答即可．【解答】解：∵这组数据是3的倍数的算术平方根，其中最大的有理数是√144=12， 又√144在第八行第六列，∴这组数据中最大的有理数√144的位置记为（8，6），故答案为：（8，6）．。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，让我们详细地了解一下平方根和立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
用数学语言表达为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2 。
（2）0 的平方根是 0 。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0 。
例如，4 的算术平方根是 2 ，即√4 ＝ 2 。
4、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
在进行开平方运算时，需要注意被开方数的取值范围，被开方数必须是非负数。
5、平方根的估算对于一些不是完全平方数的数，我们可以通过估算来确定其平方根的大致范围。
例如，估算√7 的值。
因为 4 ＜ 7 ＜ 9 ，所以 2 ＜√7 ＜ 3 。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
用数学语言表达为：若 x³＝ a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。
例如，因为 2³＝ 8 ，所以 8 的立方根是 2 ，即³√8 ＝ 2 。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0 。
也就是说，任意一个数都有且只有一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
三、平方根与立方根的区别1、个数不同平方根中，正数有两个平方根，0 的平方根是0 ，负数没有平方根；而立方根中，任何数都只有一个立方根。
平方根和立方根知识点总结及练习
基础知识巩固一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根1平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根．2开平方的定义：求一个数的平方根的运算,叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义;3平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9,9的平方根是±3 4一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 5符号：正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根1算术平方根的定义： 一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正数x叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 x≥0中,规定a x =;2a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时,a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数;3当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小;一般来说,被开放数扩大或缩小a 倍,算术平方根扩大或缩小a 倍,例如=5,=50;4夹值法及估计一个无理数的大小5a x =2x≥0 <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 6正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零; a a ≥00≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a a <0 a ≥07平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数; 3、立方根1立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根也叫做三次方根,即如果3x a =,那么x 叫做a 的立方根2一个数a 的立方根,记作3a ,读作：“三次根号a ”,其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方; 3 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根,是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根;4利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即()330a a a -=->;5a x =3 <—> 3a x =a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x633a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;典型例题分析知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是 A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数2、下列语句中,正确的是A ．一个实数的平方根有两个,它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个3、下列说法中：①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,④()4832±=±;其中正确的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 4、()20.7-的平方根是A ．0.7-B ．0.7±C ．0.7D ．0.49 5、下列各组数中,互为相反数的组是A 、－2与2)2(- B 、－2和38- C 、－21与2 D 、︱－2︱和2知识点二：计算类题型1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.___________, ___________,___________.2、=-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 38-= .3、① 2+32—52 ② 771-7③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 41)2(823--+4、1327-＋2)3(-－31- 233364631125.041027-++---3知识点三：利用平方根和立方根解方程1、12x-12-169=0； 212142=x 3125)2(3=+x知识点四：关于有意义的题a ,有非负性,a 0a a ≥0;要使1a有意义,必须满足a ≠0. 1、若a 的算术平方根有意义,则a 的取值范围是 A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 2、要使62-x 有意义,x 应满足的条件是3、当________x 时,式子21--x x 有意义;知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x,则a 是多少2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根,求m 的值;3、已知x 、y 都是实数,且334y x x =--,求x y 的平方根;知识点六：非负性的应用1、已知实数x,y 满足 2x -+y+12=0,则x-y 等于解答：根据题意得,x-2=0,y+1=0,解得x=2,y=-1, 所以,x-y=2--1=2+1=3．2、已知a 、b 满足0382=-++b a ,解关于x 的方程()122-=++a b x a ;3、若0)13(12=-++-y x x ,求25y x +的值;4、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ,求代数式acb -的值;5、已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数,求ab －2－27 的值;重点知识巩固考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义1如果一个正数x 的平方等于a,即,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根;2如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根或二次方跟;如果,那么x 叫做a 的平方根;3如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根;如果,那么x叫做a的立方根;2、运算名称1求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算;2求一个数的立方根的运算,叫做开立方;开立方和立方互为逆运算;3、运算符号1正数a的算术平方根,记作“a”;2aa≥0的平方根的符号表达为;3一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数;4、运算公式4、开方规律小结,a的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反1若a≥0,则a的平方根是a数,其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根;实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同;正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0;2若a<0,则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数,则a的立方根是;3正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数;。
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常重要的概念，它们在解决各种数学问题以及实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，咱们就详细地聊聊这两个重要的知识点。
一、平方根（一）定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。
也就是说，若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根。
（二）表示方法一个正数 a 的正的平方根记作“√a”，读作“根号a”；a 的负的平方根记作“ √a ”，读作“负根号a”。
（三）性质1、正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 9 的平方根是 ±3，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9 。
2、 0 的平方根是 0 。
这是个比较特殊的情况，要牢记。
3、负数没有平方根。
（四）开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
（五）算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0 。
例如，√4 ＝ 2 ，这里的 2 就是 4 的算术平方根。
（六）平方根的应用在实际生活中，平方根常用于计算直角三角形的边长、求解一些几何图形的面积和体积等问题。
比如，已知一个正方形的面积是 25 平方厘米，那么它的边长就是√25 ＝ 5 厘米。
二、立方根（一）定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根。
（二）表示方法数 a 的立方根记作“³√a”，读作“三次根号a”。
（三）性质1、正数的立方根是正数。
比如 8 的立方根是³√8 ＝ 2 。
2、负数的立方根是负数。
例如，－8 的立方根是³√ 8 ＝ 2 。
3、 0 的立方根是 0 。
（四）开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
（五）立方根的应用在物理学、工程学等领域，立方根常用于计算物体的体积、密度等问题。
比如，已知一个正方体的体积是 27 立方米，那么它的棱长就是³√27 ＝ 3 米。
(完整版)平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）； （3）； ⑷ 642)3(-4915121(3)-例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.81±16-2592)4(-（5），（6），（7）（8）44.136-4925±2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ ； ⑶ 0.72910227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±，即a 是非负数.a 例4、若求y x 的立方根.,622=----y x x 练习：已知求的值.,21221+-+-=x x y y x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±，而a .0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.32+a 12-a m m 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.0≥a a 例4、已知：y=,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.)1(32++-b a ，求xyz 的值。
专题03 平方根与立方根章节6种题型梳理
专题03 平方根与立方根6种题型梳理基础知识点知识点1-1 算术平方根的概念1）算术平方根概念：一个正数的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术平方根。
其中，a 叫作被开方数，规定0的算术平方根为0。
记作√a =x 。
注：①“”表示的是算术平方根（与后面的平方根注意区分）②a ≥0，x ≥0。
负数没有算术平方根（因为x 2≥0） 2）常见算术平方根表：知识点1-2 平方根1）平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫作a 的平方根或者二次方根。
求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方。
注：①“”表示算数平方根的意思，平方根表示为“±”②正数的平方根有两个，它们互为相反数。
且正数根即为算术平方根； ③0的平方根和算术平方根都为0；④负数没有平方根和算术平方根。
重难点题型题型1 运用平方根和算术平方根的概念解题 解题技巧：平方根与算术平方根的区别于联系：A3 B ．12-是14的平方根 C ．带根号的数不一定是无理数 D ．a 2的算术平方根是a 【答案】D【解析】±3，故A 正确；211()24-=，则12-是14的平方根，故B 正确；2=是有理数，则带根号的数不一定是无理数，故C 正确；∵a 2的算术平方根是|a|，∴当a≥0，算术平方根为a ，当a ＜0时，算术平方是﹣a ， 故a 2的算术平方根是a 不正确．故D 不一定正确；故选：D ．2．（2019·河南洛宁初二期中）算术平方根和立方根都等于本身的数有_________．【解析】1的算术平方根是1，立方根是1，0的算术平方根和立方根都是0，所以算术平方根和立方根都等于本身的数有0和1.3．（2019·全国初二课时练习）填空：(1)1的平方根为____，立方根为_____，算术平方根为_____；(2) 27的立方根是____；(3)___；(4)____．【解析】解：（1）1的平方根为1=±1=，算术平方根为1=，故答案为：±1，1，1；（2）273=，故答案为：3；（3）8=-2=-，故答案为：2-；（44==的平方根为2=±，故答案为：±2． 4．（2019·全国初二课时练习）下列说法中，正确的个数是( )①512的立方根是8，记做8=；②49的平方根是－7；③8是16的算术平方根；④ ±2；⑤如果一个数有立方根，那么它一定有平方根． A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：①512的立方根是8，记做35128=，正确；②不正确，49的平方根是±7；③不正确，16的算术平方根是4±2，正确；⑤不正确，如－8的立方根，是－2，但－8没有平方根．综上所述，正确的有①④．故选：B ．A ±6B ±2C ．|﹣8|的立方根是﹣2D 4【解析】解：A 6=，6的平方根是，故该选项错误；B 4=，4的平方根是±2，故该选项正确；C 、|−8|＝8，8的立方根2，故该选项错误；D 4=，4的算术平方根是2，故该选项错误，故选：B ．6．（2020·河南省初二期中）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．【解析】82，2．题型2利用平方根和立方根解方程解题技巧：（1）先将方程化简为（x +a ）2=ℎ的形式，移项将系数化为1；然后直接开方即可。
(完整版)平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解
6.1平方根、算术平方根、立方根例题讲解第一部分：知识点讲解1、学前准备【旧知回顾】2.平方根（ 1）平方根的定义：一般的，若是一个数的平方等于a ，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。
即若 x2 a ，( a0) ，则x叫做a的平方根。
即有 x a ，（a0 ）。
（ 2）平方根的性质：（ 3）注意事项：x a ， a 称为被开方数，这里被开方数必然是一个非负数（a0 ）。
（ 4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3.算术平方根（ 1）算术平方根的定义：若x2 a ， (a 0) ，则x叫做a的平方根。
即有x a ，（ a 0 ）。
其中x a 叫做 a 的算术平方根。
（ 2）算术平方根的性质：（ 3）注意点：在今后的计算题中，像22， 5 分别指的是 2 和25 （ - 2），其中5的算术平方根。
4.几种重要的运算：①ab a ? b a 0, b 0, a ? b ab a 0,b0②a a0),a a0,b0) b(a 0,bb(ab b③(a )2a ( a 0) ,2，2aaa（ - a）★★★ 若 a b 0，则(a b)2 a b a b a b5.立方根（1）立方根的定义：一般地，若是一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根。
即若x3 a ，则x叫做a的立方根。
即有x 3 a。
（2）立方根的性质：（3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式：3ab 33,33b3ab③ a ?b a ?a 33a a3a(b 0),3(b 0) b33b bb④3333，33( a ) a (a可以为任何数）,a a（- a）-a 第二部分：例题讲解题型 1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
1.求平方根、算术平方根、立方根。
（1） 0 的平方根是，算术平方根是.（2） 25 的平方根是，算术平方根是.（3）1的平方根是，算术平方根是. 64（4）(9) 2的平方根是，算术平方根是.（5） 23 的平方根是，算术平方根是.（6）16的平方根是，算术平方根是.(6)（2，算术平方根是. 16）的平方根是(8)- 9的平方根是，算术平方根是.（9）8。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平方根立方根知识点总结归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结
一、知识要点
1、平方根:
⑴、定义:如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“a ±”
(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。
⑶、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“
a ”。
2、立方根:
⑴、定义:如果x 3=a ,则x 叫做a 的立方根,记作“3a ”
(a 称为被开方数)。
⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。
3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。
二、规律总结:
1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
3、a 本身为非负数,即a ≥0;a 有意义的条件是a ≥0。
4、公式:⑴(
a )2=a (a ≥0);⑵3a -=3a -(a 取任何数)。
5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0
例1 求下列各数的平方根和算术平方根
(1)64;(2)2)3(-; (3)49151
; ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值
(1)81±
; (2)16-; (3)259; (4)2)4(-.
(5)
44.1,(6)36-,(7)4925±(8)2)25(-
例3、求下列各数的立方根:
⑴ 343; ⑵
10227-; ⑶ 0.729
二、巧用被开方数的非负性求值.
当a ≥0时,a 的平方根是±
a ,即a 是非负数. 例4、若
,622=----y x x 求y x 的立方根.
练习:已知
,21221+-+-=x x y 求y x 的值.
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
当a ≥0时,a 的平方根是±a ,而.0)()(=-++a a
例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a ,求a 的平方的相反数的立方根.
练习:若32+a 和12-a 是数m 的平方根,求m 的值.
四、巧解方程
例6、解方程(1)(x+1)2
=36 (2)27(x+1)3=64
五、巧用算术平方根的最小值求值.
0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.
例4、已知:y=
)1(32++-b a ,当 a 、b 取不同的值时,y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.
练习①已知
233(2)0x y z -+-++=,求xyz 的值。
②已知
互为相反数,求a ,b 的值。
六、实数 1、实数:有理数和无理数统称为实数.我们一般用下列两种情况将实数进行分类:
①按属性分类: ②按符号分类
2.关于有理数的运算法则:运算规律和运算性质,在进行实数运算时仍适用.在实数范围内,不仅可以进行加.减.乘.除.乘方运算,而且正数和零总可以进行开平方运算,任何一个数都可以开立方运算.
3.实数和数轴上的点的对应关系:实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.反过来,数轴上的每一个点都可以表示一个实数.可以用几何作图方法,在数轴上表示某些无理数,如
、
等.
思考:(1)-a 2一定是负数吗?-a 一定是正数吗?
(2
)我们都知道
是一个无理数,那么-1在哪两个整数之间? (3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____
(4)实数包括____________或__________________;
(5)下列各数:()3
35,π,0.28,0,4,3.14159,0.121121112 ,3-,227.其无
理数有( )个
七、实数大小比较的方法
一、平方法比较23和3的大小二、求差法比较2
15-和1的大小
练习:比较下列各组数的大小: ①2-和3-; ②3和23-; ③15和543; ④7-和-2.45。
八、解答题(每题4分,共8分)
2、已知实数 a 、b 在数轴上表示的点如上图, 化简 b a ++2)1(+-b a b 10a -1。