排列组合平均分组重复问题排列组合问题中用组合公式平均分组会有重复
浅析排列组合中的“平均分组”问题
浅析排列组合中的“平均分组”问题作者：郑晓华来源：《读写算》2014年第15期在排列组合中，有不少涉及到“平均分给”问题，学生在解题过程中容易重复计算，这类问题．如果通过注意观察、对照、比较，可以提高分析问题和解决问题的能力，涉及平均分组问题可以先组(分组)后排(排序)使复杂问题简单化，同时提高分析问题和解决问题的能力。
一、整体平均问题分组问题例1有6本不同的书(1)平均分给甲、乙、丙三人，有多少种不同的分法。
(2)平均分成三堆有多少种不同的分法。
（2）同解法1共有下面我们对解法（2）进行分析：设有A、B、C、D、E、F六本书。
所以种方法中有重复分堆，应该剔除，事实上AB、CD、EF的所有排列有种，种排列只有一种分堆，所以本题正确解答是：所以就有 =15种方法。
从（2）的解法中知道，若平均分成m组，则m组的所有排列有种，种排列只对应一种分组，所以要除以。
二、部分均匀问题分组问题分组中若n组中有m组均匀，则需除以。
例2把5本不同的书分成3堆，其中2堆各2本，1堆1本，有多种不同的方法。
解：3堆中有2堆都是2本，即有2部分均匀，所以共有： =10种方法三、用先组（分组）后排（排序）的方法解决排列组合问题例3（1）有5本不同的书，借给甲、乙、丙三人其中两人各2本，1人1本，有多少种不同的借法。
（2）有6本不同的书，借给甲、乙、丙三人其中两人各2本，另2人1本，有多少种不同的借法。
解：（1）先分堆，由于有2堆数相同（部分均匀），所以共有：再排序：种方法。
所以共有60种不同的借法。
本题也可以用分类计数原理，分借1本的是甲或乙或丙三类；种不同的方法。
（2）本题用分类计数原理显然比较繁琐，若采用先组的排的方法，就简单得多。
再排序： =1080种方法所以共有1080种方法。
例4把10人分成三组，一组4人，其它两组各3人，其中甲、乙、丙3人必须分别在各组，一组4人，其它两组各3人，其中甲、乙、丙3人必须分别在各组，则有多少种不同的分法。
排列组合之重复剔除
排列组合之重复剔除华图教育 杨东时在公考中，排列组合题目一直都是考生最为头疼的一块内容，在之前的文章中已经对于基础的排列组合的知识以及捆绑法、插空法、挡板法，进行了介绍，在本文中将继续对这一部分中的另一个重点也是难点的内容进行讲解—重复剔除。
重复剔除所用的情况一般有两种，第一种是平均分组。
第二种是环形排列，接下来将对这两种情况进行进一步的讨论以及说明。
平均分组6个人平均分3组有多少种情况？大家都会想到是6个人中选2人，再从剩下的4人中选2人，最后将余下的2人选出，情况数应该为=90种，但是在选择的时候忽略了重复的情况，如果分成的三组是：AB 、CD 、EF ；CD 、AB 、EF ；EF 、AB 、CD ；AB 、EF 、CD ；CD 、EF 、AB ；EF 、CD 、AB ；其实际对应的是一种情况，所以，最后要将重复的情况剔除，结果为90/6=15；所以，在平均分租的情况下N 组人数相同，在最后÷N N A ，剔除重复的情况； 环形排列4人围坐一圈有多少种情况？4个人坐成一排为 但围成圈的时候会发现有重复的情况出现，例如线性排列A 、B 、C 、D 在环形排列中有4种情况如下： A B D A C D B CD C C B B A A D则本题的最总结果为种，所以在N 个人环形围坐的情况数为-1N -1N NN A N A =÷以下将通过两道例题的求解来具体的介绍重复剔除题目的求解步骤。
【例1】八位同学出去野营，晚上他们在沙滩上玩游戏，游戏需要这八位同学围成两个四人的圆圈，请问一共有多少种方法？A.720B.900C.1080D.1260222426C C C 44A 64=÷44A【答案】D【解析】第一步：8个人分成两个4人组，是平均分组情况数为224448A C C /；第二步：第一组4人围圈，环形排序33A第三步：第二组4人围圈，环形排序33A 总的情况数= 【例2】有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。
高中数学排列组合平均分组分配问题
C61C52C33
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法
六、非均分组分配对象确定问题
C61C52C33
七、非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人1人1本1人2本1人3本有多少种分法
C61C52C33
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高中数学排列组合平均分组分配问题
1掌握平均分组问题解决方法理解其实际应用 2 理解的非均分组问题解决方法及其简单应用
一、学习目标
一、平均分组问题 1.平均分成的组不管它们的顺序如何都是一种情况所以分组后要除以Amm 即m其中m表示组数 2.有分配对象和无分配对象
3
4
5
C
5
2
C
3
3
C
6
1
A
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一、均分无分配对象的问题
排列组合中分组分配问题
分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。
高中数学排列组合-平均分组(分配问题)概要
每班至少一个.由（1）可知共有 C62 种15分法
注：第一小题也可以先给每个班一个指标，
然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两
个班、三个班、四个班进行分类，共有
C61 3C62 3C63 C64 126 种分法.
C61C52C33
注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完 再用乘法原理作积
六、非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有 多少种不同的分法？
C61C52C33
七、非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C61C52C33 A33
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三 个人，有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的三组看成是三个元素在三个位 置上作排列
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
2 2
=90
三、部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五 个人有多少种不同的分法？
注意：非均分组有分配对象要把组数当作元素 个数再作排列。
五、当堂训练
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C132
C
39 C 36
C
3 3
A
4 4
练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成四
高中数学排列组合相关公式
排列组合公式——熊雄排列定义：从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
组合定义：从n 个不同元素中取r 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n 个中取r 个的无重组合。
组合的个数用C(n,r)表示。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略具体情况分析例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合问题经典题型与通用方法 (1)
排列组合问题经典题型与通用方法（一）排序问题1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例11.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共有143472A A =种。
12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C .（2）解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法.16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列n 个普通排列：12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a - 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n 个元素的圆排列数有!n n种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n -元素全排列.例16.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有44A 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式5242768⨯=种不同站法.说明：从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m nA m种不同排法.17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n 个不同元素排在m 个不同位置的排列数有nm 种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种.解析：先取男女运动员各2名，有2254C C 种，这四名运动员混和双打练习有22A 种排法，故共有222542120C C A =种.4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A 、B 、C……表示写着n 位友人名字的信封，a 、b 、c……表示n 份相应的写好的信纸。
高中数学第十章-排列组合
高三数学总复习................................................................高考复习科目：数学 高中数学总复习（九）复习内容：高中数学第十章-排列组合 复习范围：第十章 编写时间：2004-7修订时间：总计第三次 2005-4 一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种） 二、排列.1. ⑪对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑫相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑬排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示.⑭排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n=.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑪组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑫组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n mmmn m n -=+--==⑬两个公式：①;m n n m n C C -= ②mn m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m n 种，依分类原理有mn m n m n C C C 11+-=+.⑭排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑮①几个常用组合数公式n n n n n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n kn m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nCkC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C .vi. 构造二项式. 如：n nn n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中nx 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而mm A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A nn ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）mm n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （!2/102022818C C C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmm m n m n m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某rx 1x 2x 3x 4个指定位置则有rk r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有m n A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
典型排列组合问题的处理方法
严子超（贵州省毕节市民族中学 ５５１７００）严子超２００５年毕业于贵州师范大学数学与应用数学专业，理学学士，中小学一级教师，市级骨干教师。
排列组合是高中数学中比较独特的内容，是教学中的一个难点，也是高考的热点．其解题思路既有一般规律性、又有很强的技巧性．在解题过程中极易“重复”或“遗漏”．因此在解排列组合问题时，要善于提炼方法、归纳总结、举一反三、触类旁通．本文针对一些常见题型和思维方法加以归纳，供参考．１．特殊元素或特殊位置“优先法” 对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，可从这些特殊元素或特殊位置入手，先处理特殊元素或特殊位置，再处理其它元素或位置．例１ １名歌手和４名观众排成一排照相留念，若歌手不排在两端，共有多少种不同的排法解法１ 优先考虑特殊位置，先排两端．从４名观众中选２人排两端，有Ａ２４种不同的排法，再排剩下的三个位置，有Ａ３３种不同的排法，由分步计数原理知，共有不同的排法Ａ２４·Ａ３３＝７２（种）．解法２ 优先考虑特殊元素，先排歌手．因为歌手不排在两端，所以歌手只能从剩下的３个位置选１个排，有Ａ１３种排法，然后４名观众站在另外４个位置，有Ａ４４种不同排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ１３·Ａ４４＝７２（种）．注 对特殊元素或特殊位置作特殊的照顾，容易找到通向成功之路的入口处．若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素；若以位置分析为主，要先满足特殊位置的要求，再处理其它位置．如果特殊元素或特殊位置不止一个时，要注意正确的分类和分步，避免重复和遗漏．２．元素相邻问题“捆绑法” 要求某些元素必须相邻的问题，可采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素捆绑在一起视为“一个元素”与其它元素进行排列，然后再将这些相邻的元素进行内部排列．例２ 有８本不同的书，其中数学书３本，英语书２本，其它书３本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书恰好排在一起，英语书也恰好排在一起，共有多少种不同的排法？解 将数学书与英语书分别捆在一起看成两个不同的元素，再与其它３本书一起排列，有Ａ５５种不同排法，再将３本数学书内部进行自排有Ａ３３种排法，２本英语书内部进行自排有Ａ２２种排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ５５Ａ３３Ａ２２＝１４４０（种）．注 要求某些元素必须排在一起的问题，要先把相邻元素进行捆绑．处理此类问题一般遵循“先整体，后局部”的原则．３．元素不相邻问题“插空法” 要求某些元素不相邻的问题，可先排其它没有限制条件的元素，然后在已经排好的元素·４１·２０２０１２之间的间隙和两端的空位插入不相邻的元素，使问题得以解决．例３ ４名学生和２位老师站成一排合影，２位老师不相邻的不同排法共有多少种？解 分两步进行：第一步，由于２位老师不相邻，所以先将４名学生排序，有Ａ４４种不同排法．第二步，将２位老师分别插入４名学生之间的间隙及首尾两个空位中，有Ａ２５种不同排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ４４·Ａ２５＝４８０（种）．注 “元素不相邻问题”也称为“元素相离问题”，处理时先把没有位置要求的元素进行排列，再把不相邻元素插入已排好的各元素之间和两端的空位中．４．选排混合问题“先选后排法” 对于排列问题与组合问题混在一起时，应先用组合公式将符合题意的元素选出，再利用排列公式进行排列．例４ 从１，２，３，４，５，６，７这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中共有多少个不同的奇数？解 先从１，３，５，７四个奇数中选择两个有Ｃ２４种不同选法，再从２，４，６三个偶数中选择两个有Ｃ２３种不同选法，由于个位数字必须是奇数，所以先排个位有Ｃ１２种排法，其余三个元素进行十位，百位，千位三个位置的全排．由分步计数原理可知，共有不同的奇数Ｃ２４Ｃ２３Ｃ１２Ａ３３＝２１６（个）．注 从几类元素中取出符合题意的若干元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法来处理．此方法是解决排列组合混合问题最基本的方法．５．正难反易问题“间接法” “间接法”又称“排除法”、“总体淘汰法”．有些问题从正面考虑较为错综复杂而不易得出答案时，可以从反面入手考虑，往往会取得意想不到的效果．即先不考虑题目限制条件，求出所有的排列数，然后再排除不符合条件的排列数．一般解含有“至少”、“至多”等限制条件的排列组合问题，可用此方法．例５ 某校开设Ａ类选修课３门，Ｂ类选修课４门，某同学从中共选３门，若要求两类课程中各至少选一门，则共有多少种不同的选法？解 先不考虑限制条件，从７门选修课中选３门共有Ｃ３７种不同选法，所选３门选修课均为Ａ类有Ｃ３３种不同选法，均为Ｂ类有Ｃ３４种不同选法，由分步计数原理可知，共有不同的选法Ｃ３７－Ｃ３３－Ｃ３４＝３０（种）．注 对某些排列组合问题，从正面直接考虑比较复杂，而其反面情况却比较简单，可考虑从问题的反面入手，会让你进入“柳暗花明”的境界．６．顺序一定问题“先排后除法” “先排后除法”也称为“缩倍法”．要求某些元素必须保持一定顺序的排列问题，可以采用缩小倍数的方法来处理．即先把顺序一定的元素与其它元素一起进行全排列，再用全排列数除以顺序一定元素的全排列数．例６ 某工程队有６项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这６项工程的不同排法共有多少种解 依题意，丁必须在丙完成后立即进行，故可以把两个视为一个大元素，先不管其它限制条件，使其与其它四个进行排列，共有Ａ５５种排法，在所有这些排法中，甲，乙，丙相对顺序固定共有Ａ３３种排法，·５１·２０２０１２由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ５５Ａ３３＝２０（种）．注 对“定序型”问题，若将ｎ个元素排成一排，其中要求ｍ（ｍ≤ｎ）个元素顺序一定．可先将ｎ个元素进行全排列有Ａｎｎ种排法，ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的全排列有Ａｍｍ种排法，由于要求ｍ个元素顺序一定，因此只能取其中的某一种排法，则共有ＡｎｎＡｍｍ种不同排列方法．７．标号排位问题“分步处理法” 把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题．要求某些元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，再排下一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例７ 毕业前夕，同室四人各写了一张毕业赠言，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的毕业赠言，则四张毕业赠言共有多少种不同的分配方式？解 设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的毕业赠言分别标号为１，２，３，４．第一步，甲取其中一张，有３种方式；第二步，假设甲取２号，则乙的取法可分两类：（１）乙取１号，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，（２）乙取３号或４号（２种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的．由分步计数原理可知，四张毕业赠言共有不同的分配方式３×（１＋２）＝９（种）．注 本例实际上也属于错位排列问题，即把编号为１至４的４个小球放入编号为１到４的４个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不相同，共有多少种不同的放法８．可重复排列问题“求幂法” “求幂法”又称为“住旅店法”，允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排各元素的位置，一般地：把ｎ个不同元素没有限制地放入到ｍ个不同的盒子中，共有ｍｎ种不同的方法．例８ 现有６名同学去听同时进行的５个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，共有多少种不同的选法？解 因为每位同学均有５个课外知识讲座可以选择，第一名同学有５种选法，第二名同学有５种选法，以此类推．问题就转化为：将６个不同的元素没有限制地放入到５个不同的盒子中，由分步计数原理可知，共有不同的选法５×５×５×５×５×５＝５６（种）．注 允许可以重复排列的问题，实际上就是信箱模型．一般地，把ｎ封不同的信投到ｍ个不同的信箱的排列数共有ｍｎ种．９．不同元素分配问题“先分组后分配法” 对于不同元素的分配问题，可以按需分配（即定人又定数可以直接取），也可以按照先分组再分配的方式处理．分组时，如果是平均分组，则要注意去除组间顺序，避免重复计数．例９ 将６位志愿者分成４组，其中两个组各２人，另两个组各１人，分赴世博会的四个不同场馆服务，共有多少种不同的分配方案？解 先分组，由于有２个是平均分组，所以两个两人组的分法有Ｃ２６Ｃ２４Ａ２２种，两个１人组的分法有Ｃ１２Ｃ１１Ａ２２种，由分步计数原理再进行分配，共有不同的分配方案Ｃ２６Ｃ２４Ａ２２·Ｃ１２Ｃ１１Ａ２２·Ａ４４＝１０８０（种）．·６１·２０２０１２注 在分组时，组与组无顺序．若有平均分组，一定要除以平均分组的组数的阶乘，避免重复计数．１０．相同元素分配问题“隔板法” 对于相同元素的分配问题，可以采用“隔板法”来处理．问题的一般形式：ｎ个相同小球放入ｍ（ｍ≤ｎ）个不同的盒子里，有多少种放法？（１）若要求每个盒子里至少放一个小球，则问题等价于ｎ个相同的小球排成一排，从ｎ－１个间隙中插入ｍ－１块隔板，把它们隔成ｍ段即可，共有Ｃｍ－１ｎ－１种不同的放法．（２）若允许某些盒子空着，则相当于在ｎ＋ｍ－１个位置中，选ｍ－１个位置称为隔板，把ｎ个位置分成ｍ份，共有Ｃｎ－１ｎ＋ｍ－１种不同的放法．例１０ 某校准备参加２０２０年高中数学联赛，把１０个选手名额分配到高三年级的８个教学班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？解 因为１０个名额没有差别，所以问题等价于把１０个相同小球放入８个盒子里，每个盒子至少有一个小球的放法种数．就是把１０个名额看成１０个相同的小球分成８堆，每堆至少一个，可以在１０个小球的９个空位中插入７块木板，每一种插法对应着一种分配方案，因此，不同的分配方案共有Ｃ７９＝３６种．注 运用隔板法必须同时具备两个条件：①所有元素必须相同；②所有元素必须分完．同时还要注意，盒子是否有空．１１．多排问题“一排法” 把元素排成几排的排列问题称为多排问题．如果没有其他条件限制，可归结为一排考虑，再分段处理．例１１ ８名同学排成前后两排，每排４名，其中男生甲和女生乙要排在前排，男生丙排在后排，共有多少种不同的排法？解 男生甲和女生乙在前半段四个位置中选排２个，有Ａ２４种排法，男生丙排在后半段的四个位置中，有Ａ１４种排法，其余５名同学在剩下的５个位置上任意排列，有Ａ５５种排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法Ａ１４Ａ２４Ａ５５＝５７６０（种）．注 一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排来处理．１２．圆排问题“线排法” 把ｎ个不同元素放在圆周上的ｎ个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首、尾之分，因此可将某个元素固定展成线排，其它的ｍ－１元素全排列．即总数为（ｎ－１）！种．例１２ ５对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，共有多少种不同的站法？解 首先可让５位姐姐站成一圈，属于圆排列问题，有Ａ４４种站法，然后在让妹妹插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有２种方式，由分步计数原理可知，共有不同的站法２４×２５＝７６８（种）．注 对于普通圆排列：ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ；ａ２，ａ３，ａ４，…，ａｎ，…；ａｎ，…，ａｎ－１在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，所以ｎ个元素的圆排列数有ｎ！ｎ种．特别地，从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素作圆形排列，共有１ｍＡｍｎ种不同的排法．总之，排列组合问题不仅内容抽象，解法灵活多变，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，只要我们平时认真分析，思考，遵循排列组合问题的解题原则，寻找解题的最佳策略，就能轻松解决问题，从而在解题中立于不败之地．·７１·２０２０１２。
几类经典排列组合问题
一、小球放盒子问题（分组问题）（1 ）6 个不同的小球放到 6 个不同的盒子里。
解析：分步乘法计数原理，每个小球都有六种放法答案：66。
（2 ）6 个不同的小球放到 6 个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。
解析：思路一：分步乘法计数原理，第一个小球有 6 种放法第二个小球有 5 种放法第六个小球有 1 种放法即6*5*4*3*2*1 ；思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A6 6 。
答案：720 。
（3 ）6 个不同的小球平均放到 3 个相同的盒子里。
解析：平均分组的问题因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想 6 个小球编号为ABCDEF ，首先从 6 个球中选出 2 个，为C2 6 ；然后从剩下的 4 个球中选出 2 个，为C2 4 ；最后剩下 2 个球，为C2 2 ；但是：C2 6 取出AB 球、C2 4 取出CD 球、剩EF 球；C2 6 取出AB 球、C2 4 取出EF 球、剩CD 球；C2 6 取出CD 球、C2 4 取出AB 球、剩EF 球；C2 6 取出CD 球、C2 4 取出EF 球、剩AB 球；C2 6 取出EF 球、C2 4 取出AB 球、剩CD 球；C2 6 取出EF 球、C2 4 取出CD 球、剩AB 球；得到的结果是一样的，故按照C2 6C2 4C2 2 组合完成后还应除去A3 3 ，答案：C2 6C2 4C2 2/A3 3（4 ）6 个不同的小球平均放到 3 个不同的盒子里。
解析：平均分组后再分配的问题平均分组得到的结果为C2 6C2 4C2 2/A3 3 ，分完组后三堆小球还要放到不同的盒子里，即再进行一个A3 3 的排列答案：C2 6C2 4C2 2（5 ）6 个不同的小球按1、2 、3 的数量，分别放到 3 个相同的盒子里。
解析：非平均分组的问题因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆，首先从 6 个球中选出 1 个，为C1 6 ；然后从剩下的 5 个球中选出 2 个，为C2 5 ；最后剩下 3 个球，为C3 3 ；注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的情况，因此C1 6C2 5C3 3 即为最后结果，不需要再除以A3 3答案：C1 6C2 5C3 3（6 ）6 个不同的小球按1、2 、3 的数量，分别放到 3 个不同的盒子里。