导数的加减法法则资料讲解
高中数学知识点精讲精析 导数的加法与减法法则
4.1 导数的加法与减法法则1．如果函数u (x )、v (x )均为可导函数，则有[ u (x )±v (x ) ]ˊ= u ˊ(x ) ± v ˊ(x )2．导数的基本公式（1）幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数还是幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数。
这四类函数的导数仍是同类函数，而对数函数和反三角函数的导数是代数函数。
（2）正弦、正切、反正弦、反正切的导数带正号；余弦、余切、反余弦、反余切的导数带负号。
（3）正弦与正切的导数分别是余弦与正割的平方；余弦与余切的导数分别是正弦与余割的平方但要加负号。
（4）反正弦与反余弦的导数仅差一负号；反正切与反余切的导数也仅差一负号。
（5）双曲正弦、双曲余弦、双曲正切的导数带正号。
3．对求导公式作如下两点说明:(1) 求导公式})]([{'x f ϕ表示函数)]([x f ϕ对自变量x 的导数，即})]([{'x f ϕ=xx f d )]([d ϕ, (2) 求导公式)]([x f ϕ'表示函数)]([x f ϕ对函数)(x ϕ的导数，即)]([x f ϕ'=)(d )]([d x x f ϕϕ.1．已知函数),2()(31)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数. （1）求k 的取值范围；（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由题意x k x x f )1()(2+-='………………因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数所以),2(0)1()(2+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立，……即2,1>≤+x x k 又恒成立所以1,21≤≤+k k 故……当k=1时，),2(1)1(2)(22+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0，故),2()(+∞在x f 上单增，符合题意.所以k 的取值范围为k ≤1.………（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h令10)(==='x k x x h 或得………由（1）知k ≤1，①当k=1时，)(,0)1()(2x h x x h ≥-='在R 上递增，显然不合题意…②当k<1时，x x h x h 随)(),('的变化情况如下表：……………………11分由于)()(,021x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点， 即方程)()(x g x f =也即0)(=x h 有三个不同的实根故需0312623>-+-k k 即,0)22)(1(2<---k k k 所以,02212⎩⎨⎧>--<k k k 解得31-<k 综上，所求k 的范围为31-<k .……………………14分2．已知某质点的运动方程为32(),s t t bt ct d =+++下图是其运动轨迹的一部分，若1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()3s t d <恒成立，求d 的取值范围. 【解析】2()32s t t bt c '=++由图象可知，()s t 在t=1和t=3处取得极值则(1)0,(3)0s s ''==即320627609b c b b c c ++==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩ 2()31293(1)(3)1,121,4,()2s t t t t t s t '∴=-+=--⎡⎫'∈⎪⎢⎣⎭'∈'∈⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当t 时,s (t)>0当t (1,3)时,s (t)<0当t (3,4)时,s (t)>0则当t=1时,s(t)取得极大值4+d又s(4)=4+d故t 时的最大值为4+d. 221()3,423413s t d d dd d ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦∴+<><-2max 已知在上恒成立s(t)<3d 即4解得或。
导数运算法则加减法则ppt课件
[ f1(x) f2 (x)
fn (x)] f1(x) 解多项式函数的导数就容易了——
练习
求函数 f (x) 2x3 9x2 6x 4 的导数
f (x) (2x3) (9x2 ) (6x) (4) 和差法则
常函数
2 (x3) 9 (x2 ) 6 (x) 0 数乘法则
3x2
2x
1
23x2 9 2x 61
幂法则 整理
6x2 18x 6
求函数 f (x) 2x 1 的导数
2x
f (x) (2x) ( 1 ) 2 (x) 1 (x1)
2x
2
2
11
1 2
(
x2x)2
2
1 2x2
求函数 f (x) 3 x 1 的导数
f (x) ( 3
x ) (
点( 2, 3 )的切线方程 ( y 3) 3(x 2)
y 3x 9
函数 f (x) 1 5x 2x2
2）何处有水平切线
斜率为零 f (x) 5 4x 0 x5 4
3）何处的斜率为1 f (x) 5 4x 1
x 1
1.25
求函数 f (x) x 2 在一点( 1, 3 )的切线方程 x
1 幂法则 （xn） nxn1 2 数乘法则 [c f (x)] c f (x)
常数的导数为零 (c) 0
多项式函数
f (x) an xn an1xn1
是若干幂函数的和
a0
引入两个或两个以上函数和的导数法则是非常有用的
3 和差法则
两个可导函数和的导数等于这两个函数导数的和
[ f (x) g(x)] f (x) g(x)
( y 3) k(x 2)
点( 2, 3 )处的切线斜率值
新教材高中数学第二章导数的加法与减法法则：导数的乘法与除法法则pptx课件北师大版选择性必修第二册
导数的乘法与除法法则
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.掌握导数的四则运算法则.
课标要求 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则
求简单函数的导数.
基础落实·必备知识全过关
知识点 导数的四则运算法则
积形式的求导变为和差形式求导更为简洁.
变式训练2求下列函数的导数.
2 +1
(1)y= 2 ;(2)y=xsin
+3
2
x.
cos
(2 +1)'(2 +3)-(2 +1)(2 +3)' 2(2 +3)-2(2 +1)
解 (1)y'=
(2)y'=(xsin
(2 +3)2
2
x)'-(cos)'=x'sin
=sin x+xcos
2sin
x- 2 .
cos
=
x+x(sin
(2 +3)2
2'cos-2(cos)'
x)'- cos2
=
4
(2 +3)2
.
探究点三
求导法则的综合应用
角度1.求导法则的逆向应用
【例3】 设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f'(x)=2x+1.
(2)y'=(x2-log
3
x)'=(x2)'-(log
1
3x)'= 2x-ln3.
5.2.2导数的四则运算法则
2 所以 f′(1)＝ae＝2，故 a＝ .
e
导数的运算法则的综合应用
x)(
x2 )
2x2 cos x 4x sin x
x4
2x cos
x x3
4 sin
x
.
导数的运算法则的综合应用
例 3：设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x ＋1.
求 y＝f(x)的函数表达式．
解：因为 f′(x)＝2x＋1，所以 f(x)＝x2＋x＋c(c 为常数)，
解：( 1) y ′＝( 2x 3) ′ ＋( x 2) ′ －( x ) ′＋( 1) ′＝6x 2＋2x －1.
(2)y′＝(x4)′＋(cos x)′＝4x3－sin x.
(3)y′＝(ex)′＋(ln
x
)
′
＝ex
1 ＋
.
x
(4)y′＝(5x)′－(ln
x ) ′＝5x
ln
1 5－
.
x
1
(5)y′＝(lg x)′＋(sin x)′＝
导数的运算法则的综合应用
又点( 1，0) 在切线上，所以
3x02－2x03＝0，解得
x0＝0
或
3 x0＝
.
2
当 x0＝0 时，由直线 y＝0 与曲线 y＝ax2＋15 x－9 相切可得, 4
方程 ax2＋15 x－9＝0 有两个相等的实数根， 4
4.1导数的加法与减法法则
4.1 导数的加法与减法法则
藤县第二中学 梁中南 2019.04.25
复习
求函数的导数的方法是:
说明:上面的方法 中把x换x0即为求 函数在点x0处的 导数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
作业： P76页 2（1）、（4）；3.
解： ∵y'=cosx ∴曲线在点（0,1）处的
切线的斜率k=cos0=1 故切线方程为 y-1=1（x-0） 即x-y+1=0
[方法、规律、小结]
• 1.熟记导数公式表，必要时先化简 再求导
• 2.计算f'(x0)时,可先求f'(x),再将x=x0 代入
• 3.直线与曲线相切时，切点就是直 线与曲线的公共点，切线的斜率就 是曲线对应的函数在切点处的导数.
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
导数的加法与减法法则: [f(x) +g(x)] ′= f'(x) + g'(x);
切线方程.
•
解：
y' (x3 1)' x
( x 3 )'
(1 )' x
3x2
导数的加减法法则
x
由函数差的求导法则
f(x ) g (x )f(x ) g (x )
及求导公式可得：
(x31 x)(x3) (1 x)3x2(x 1 2)
x 1 将 代入上式得：
31 1 4 即 1
ห้องสมุดไป่ตู้
k切线 4
故所求切线方程为：
y04(x1)
即 4xy40
巩固练习
＊ 导数公式：
（1） C0(C为 常 数 )
（2） (xn)nxn1(nR)
f(x ) g (x )f(x ) g (x )
可得：
( xlnx)( x)(lnx)11 2x x
巩固练习
分析：
本题中，要求过已知点的切线方程，应求出切线
的斜率，而前面学习了导数的几何意义，导数即是切
线的斜率，所以只要求出函数在
处的导数，即
可写出切线方程。
x 1
解答
解： 设 f (x和) x3 ， g ( x ) 1
（3） (sinx)cosx
（4） (cosx)sinx
（5） (ax)axlna(a0,a1) (ex) ex
（6） (logax)xl1 na(a0,a1)
(ln x) 1 x
返回
ycosxex
y 1 1 2 x cos2 x
x
两个，±1 例2
动手做一做
1. 求曲线 程。
在 y处c的o切s线x斜率和方x
k 1
6
x2y
30
2
6
f(x)x x 2. 若曲线
在 P 处的切线平4行于直
线
，求 P 点坐标。
y 3x
(1,0)
提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。
导数的加法与减法法则
当堂检测
1、求下列函数的导数。
3 x
（ 1）y x 2 ; 1 (3) y ln x. x
(2) f ( x) x sin x;
2
2、课本72页练习第1、2题
课堂小结
导数的加法与减法法则是什么?
几个常用的函数的导数是什么?
y c(c是常数), y x (为实数),
相应的平均变化率为 y x 2 xx x 2 1 2 x x. x x
当x趋于0时, 得到导数: f ( x) 1 2 x. 2 2 可以看出: ( x x ) x ( x ).
点拨精讲
两个函数和(差)的导数等于这两个函数 导数的和(差),即:
x
(e ) __________ _; e
x '
x
1 1 ' ' x ln a (ln x) __________ x (4)(loga x) _______; _; ' cos x (5)(sin x) ________; ' sin x (6)(cosx) ______ _.
y a x ( a 0, a 1), y loga x( a 0, a 1), y sin x, y cos x, y t an x, y cot x.
布置作业
课本 P75 习题3-4
A组 第1、2题
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
二、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度
0 (1)(C ) __________ _; (C为常数)
'
x (2)(x ) __________ ; (为常数)
导数的加减乘除运算公式
导数的加减乘除运算公式一、导数的加法与减法运算公式。
1. 公式内容。
- 若u(x)，v(x)都可导，则(u(x)± v(x))^′ = u^′(x)± v^′(x)。
2. 证明（以加法为例）- 根据导数的定义，函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)=limlimits_Δx→0(f(x_0 + Δ x)-f(x_0))/(Δ x)。
- 设y = u(x)+v(x)，则y^′=limlimits_Δ x→0([u(x+Δ x)+v(x + Δ x)]-[u(x)+v(x)])/(Δ x)- =limlimits_Δ x→0(u(x+Δ x)-u(x))/(Δ x)+limlimits_Δ x→0(v(x+Δ x)-v(x))/(Δ x)=u^′(x)+v^′(x)。
- 减法同理可证。
3. 例题。
- 求y = x^2+sin x的导数。
- 解：设u(x)=x^2，v(x)=sin x。
- 因为u^′(x) = 2x，v^′(x)=cos x。
- 根据加法求导公式y^′=(u(x)+v(x))^′ = u^′(x)+v^′(x)，所以y^′ = 2x+cos x。
二、导数的乘法运算公式。
1. 公式内容。
- 若u(x)，v(x)都可导，则(u(x)v(x))^′=u^′(x)v(x)+u(x)v^′(x)。
2. 证明。
- 设y = u(x)v(x)，则y^′=limlimits_Δ x→0(u(x+Δ x)v(x+Δ x)-u(x)v(x))/(Δ x)- =limlimits_Δ x→0(u(x+Δ x)v(x+Δ x)-u(x)v(x+Δ x)+u(x)v(x+Δ x)-u(x)v(x))/(Δ x)- =limlimits_Δ x→0<=ft[(u(x+Δ x)-u(x))/(Δ x)v(x+Δ x)+u(x)(v(x+Δ x)-v(x))/(ΔDelta x)]- 当Δ x→0时，v(x+Δ x)→ v(x)，所以y^′ = u^′(x)v(x)+u(x)v^′(x)。
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6
x 2y
3 0
6
2. 若曲线 f (x) x4 x 在 P 处的切线平行于直
线 y 3x ，求 P 点坐标。 (1,0)
提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。
3. 已知 y ax3 3x2 2，它在 x 1处的切
线斜率是 4 ，求 a 值。 a 10
3
小结
＊ 求导的加减法法则： 两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导
及求导公式可得：
(x3
1 x
)
(x3
)
(
1 x
)
3x2
(
1 x2
)
将x
1代入上式得：3 Nhomakorabea1
1
4
1
即 k切线 4
故所求切线方程为： y 0 4(x 1)
即 4x y 4 0 巩固练习
＊ 导数公式： （1） C 0 (C为常数) （2） (xn ) nxn1 (n R)
（3） (sin x) cos x
？？
问题：
我们前面学习了求单个函数的导数的方法， 如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它 们的和、差、积、商的导数呢？
求 f (x) x x2 的导函数。
y (x x) (x x)2 x x2 x 2xx x2
y x 2xx x2
x
x
1 2x x
f (x) 1 2x
巩固练习
分析： 本题中，要求过已知点的切线方程，应求出切线
的斜率，而前面学习了导数的几何意义，导数即是切
线的斜率，所以只要求出函数在 x 1处的导数，即
可写出切线方程。
解答
解： 设 f (x) x3和 g(x) 1 ，
x
由函数差的求导法则 f (x) g(x) f (x) g(x)
y 4x ln 4 1 x ln 3
y cos x ex
(4) y x0.5 tan x
y 1 1 2 x cos2 x
2. 使得函数 y 2x3 6x 的导数等于0的 x 值有几
个？
两个，±1
例2
动手做一做
1. 求曲线 y cosx在 x 处的切线斜率和方
程。
k 1 2
数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
课后练习
1. 求下列函数的导数：
(1) y 3x4 23x2 40x 10
(2) y
1
2 x
3 x2
4 x3
(3)y 1 x3 7x2 3 3x
2. 函数f (x) a4 5a2x2 x6 的导数是_______
复习回顾
＊ 计算导数的步骤：
求导“三步曲”：求y
求 y x
求 lim y x0 x
＊ 导函数定义：
f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
f (x)是x 的函数，称之为 f (x) 的导函数，也简称导
数。
＊ 常用导数公式：
（1） C 0 (C为常数) （2） (xn ) nxn1 (n R) （3） (sin x) cos x （4） (cos x) sin x
（4） (cos x) sin x
（5） (a x ) a x ln a (a 0, a 1)
（6） (loga
x)
1 x ln a
(a 0, a 1)
(ln x) 1 x
(ex ) ex 返回
例1 求下列函数的导数：
（1） y x2 2x （2） y x ln x
分析
例2 求曲线 y x3 1 过点(1,0) 的切线方程。 x
分析
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 2 2 33 x
(1) y 3 x2 2x (2) y 4x log3 x (3) y sin x ex
f (x) 2x
g(x) 2x ln 2
导数公式
由函数和的求导法则
f (x) g(x) f (x) g(x)
可得：
(x2 2x ) 2x 2x ln 2
（2）由函数差的求导法则
f (x) g(x) f (x) g(x)
可得：
( x ln x) ( x ) (ln x) 1 1 2x x
3. 求曲线 y x3 x 1在点(1,3) 处的切线方程。
结束
分析： 直接考查导数加减法的计算法则，基础题型，
需要熟悉运算法则：两函数和（差）的导数等于这 两个函数导数的和（差）。
f (x) g(x) f (x) g(x)
解答
解：
它们的导数分别
（1）设 f ( x) x2与 g( x) 2x ，则 是？依据是？
∴ x (x2 ) 1 2x ( x x2 )
( x x2 ) x (x2 )
所以 f (x) g(x) f (x) g(x) 同理 f (x) g(x) f (x) g(x)
概括
两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导 数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)