欧拉线的发现与证明过程
欧拉线
欧拉线三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
他证明了在任意三角形中，以上四点共线。
欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线的证法1：作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。
连结AD、CD、AH、C H、OH。
作中线AM，设AM交OH于点G’∵BD是直径∴∠BAD、∠BCD是直角∴AD⊥AB，DC⊥BC∵CH⊥AB，AH⊥BC∴DA‖CH，DC‖AH∴四边形ADCH是平行四边形∴AH=DC∵M是BC的中点，O是BD的中点∴OM= 1/2DC∴OM= 1/2AH∵OM‖AH∴△OMG’ ∽△HAG’∴AG/GM=2/1∴G’是△ABC的重心∴G与G’重合∴O、G、H三点在同一条直线上如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H 三点的坐标即可.欧拉线的证法2：设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。
连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。
连接AH并延长交BC于E,因H 为垂心,所以AE⊥BC。
所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。
由于G为重心，则GA:G D=2:1。
连接CG并延长交BA于F,则可知D为BC中点。
同理，OF//CM.所以有∠OFC =∠MCF连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。
FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠O DF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以O D:HA=GA:GD=2:1又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。
欧拉线定理解析几何证明
欧拉线定理解析几何证明欧拉线定理是几何学中最基本的定理，它以18世纪意大利数学家拉尔森欧拉（Leonhard Euler）命名。
欧拉线定理指出，任意一个多边形内角和为360度，即：在一个n边形中，它的内角和（S）为n-2个相邻夹角的和，即S=180°（n-2）。
欧拉线定理的解析几何证明：首先，证明1边形的内角和等于180°：考虑一个1边形，它只有一个单独的一条边。
根据欧拉线定理，它的内角和（S）为n-2个夹角的和，由于它只有一条边，因此n-2=0。
所以，它的内角和（S）为0，即S=180°（0）=180°。
接下来，证明2边形的内角和等于180°：考虑一个2边形，它只有两条边相交而形成的一个夹角。
根据欧拉线定理，它的内角和（S）为n-2个夹角的和，由于它只有一个夹角，因此n-2=1。
所以，它的内角和（S）为一个夹角，即S=180°（1）=180°。
再次，证明3边形的内角和等于180°：考虑一个3边形，它有三条边相交而形成的两个夹角。
根据欧拉线定理，它的内角和（S）为n-2个夹角的和，由于它有两个夹角，因此n-2=2。
所以，它的内角和（S）为两个夹角，即S=180°（2）=180°。
以上，我们已经证明了1，2，3边形的内角和为180°。
接下来，我们将演示任意n边形的内角和也等于180°。
假设，我们有一个有n条边组成的多边形ABC...n，它有n个夹角。
要证明它的内角和等于180°，我们可以采取以下步骤：（1）把多边形ABC...n拆分为n-2个小三角形，如多边形ABC...n，它可以被拆分为三角形ABC、三角形BCD...等。
（2）把每个小三角形的三个夹角加起来，由于每个三角形的三个夹角和为180°，因此，n-2个三角形的总夹角和为180°×（n-2）=180°（n-2）。
(西姆松定理-欧拉线-九点圆)
西姆松(Simson)定理西姆松定理说明过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）定理定义：（1）称三角形的垂心为H。
西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。
（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
相关的结果有：（1）称三角形的垂心为H。
西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。
（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
证明证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE②而∠ACP+∠PCE=180°③∴∠FDP+∠PDE=180°④即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.故A、B、P、C四点共圆。
若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。
因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.故L、M、N三点共线。
欧拉线问题 解析版-高中数学
欧拉线问题欧拉线是高中数学常见的信息题类的考点，其原理很简单：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线叫做三角形的欧拉线，只需要掌握图形特点即可轻松求解等腰三角形中的欧拉线(中垂线)1.数学巨星欧拉(LeonhardEuler，1707~1783)在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离之半”，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．若已知△ABC的顶点B(-1,0)，C(0,2)，且AB=AC，则△ABC的欧拉线方程为()A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=0【答案】D【分析】根据题意得出△ABC的欧拉线方程为线段BC的垂直平分线，再根据点B和点C的坐标求出线段BC 的垂直平分线即可．【详解】由B(-1,0)，C(0,2)，得线段BC中点的坐标为-1 2 ,1，所以线段BC的斜率k BC=2，所以线段BC垂直平分线的方程为：y-1=-12x+12，即2x+4y-3=0，又因为AB=AC，所以△ABC的外心、中心、垂心都在线段△ABC的垂直平分线上，所以△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0，故选：D．2.瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC，点B-1,3，点C4,-2，圆M:(x+3)2+y2= 4,P x0,y0是“欧拉线”上一点，过P可作圆的两条线切，切点分别为D,E.则下列结论正确的是()A.△ABC的“欧拉线”方程为y=x-1B.圆M上存在点N，使得∠MPN=π6C.四边形PDME面积的最大值为4D.直线DE恒过定点【答案】ABD【分析】由题意求出BC中点为D的坐标，根据欧拉线的定义求出欧拉线的方程即直线AD的方程，再利用圆和圆的切线的性质判断各选项即可.【详解】设BC中点为D，因为AB=AC，所以AD⊥BC，因为k BC=3+2-1-4=-1，所以k AD=1，且x D=-1+42=32，y D=3-22=12，所以D32,12，由题意可得欧拉线为直线AD，则欧拉线的方程为y-12=x-32即y=x-1，A正确；由圆的切线性质可得∠MPD≥∠MPN，设P(a,a-1)，则PM2=(a+3)2+(a-1)2=2a2+4a+10，在△MPD中由正弦定理得PMsin∠PDM=PDsin∠MPD，所以sin∠MPD=PD×sin∠PDMPM=22a2+4a+10，由二次函数的性质得当a=-42×2=-1时2a2+4a+10取最小值8，所以sin∠MPD=22a2+4a+10≤22，即∠MPD的最大值为π4，所以∠MPN≤π4，所以圆M上存在点N，使得∠MPN=π6，B正确；由圆的切线的定义可知PD⊥MD，PE⊥ME，PD=PE，所以S PDME=S△PMD+S△PME=12×PD×MD+12×PE×ME=2PD，又因为PD=PM2-4，且PM min=-3-112+(-1)2=22，所以PD min=4即四边形PDME面积的最小值为4，C错误；设P(a,a-1)，因为PD⊥MD，PE⊥ME，所以P,D,M,E四点共圆，其中PM为直径，设PM中点Ha-32,a-12，则PH=a-a-322+a-1-a-122=a2+2a+52，所以圆H为x-a-3 22+y-a-122=a2+2a+52即x2+y2-(a-3)x-(a-1)y-3a=0，所以DE为圆M和圆H的相交弦，两圆方程相减得DE方程为(a+3)x+(a-1)y+5+3a=0，即a(x+y+3)+3x-y+5=0，由x+y+3=03x-y+5=0解得DE过定点(-2,-1)，D正确；故选：ABD3.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在非等边△ABC中，AB=AC，点B坐标为-1,1，点C坐标为3,-3，且其“欧拉线”与圆M:x2+y2=r2r>0相切，则△ABC的“欧拉线”方程为，圆M的半径r=．【答案】y=x-22【分析】分析可知△ABC 的“欧拉线”为线段BC 的中垂线，求出线段BC 的中垂线方程，可得出△ABC 的“欧拉线”方程，利用圆心到“欧拉线”的距离等于圆的半径可求得r 的值，即可得解.【详解】线段BC 的中点为M 1,-1 ，在非等边△ABC 中，AB =AC ，所以，△ABC 的“欧拉线”为线段BC 的中垂线，k BC =1+3-1-3=-1，所以，△ABC 的“欧拉线”方程为y +1=x -1，即y =x -2，由已知，圆M 与直线y =x -2相切，故r =212+12= 2.故答案为：y =x -2；2.普通三角形中的欧拉线4.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点分别为A 0,2 ，B -1,0 ，C 4,0 ，则△ABC 的欧拉线方程为()A.4x -3y -6=0B.3x +4y +3=0C.4x +3y -6=0D.3x +4y -3=0【答案】C【分析】先求出△ABC 的重心坐标，由k AB ⋅k AC =-1得出△ABC 为直角三角形，外心为斜边中点，进而求出外心坐标，由于外心和重心在同一直线上，根据外心和重心的坐标即可得出答案．【详解】因为△ABC 的顶点分别为A 0,2 ，B -1,0 ，C 4,0 ，所以△ABC 的重心为G 1,23 ，因为k AB =2，k AC =-12，所以k AB ⋅k AC =-1，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 的外心为BC 的中点D 32,0 ，因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC 的欧拉线为直线GD ，所以△ABC 的欧拉线方程为y -023-0=x -321-32，即4x +3y -6=0，故选：C ．5.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知A 0,2 ，B 4,2 ，C a ,-1 ，且△ABC 为圆x 2+y 2+Ex +Fy =0内接三角形，则△ABC 的欧拉线方程为.【答案】y =1/y -1=0【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出E 、F ，从而得到圆心坐标即△ABC 的外心坐标，再确定△ABC的重心坐标，即可得解.【详解】依题意22+2F=042+22+4E+2F=0，解得E=-4F=-2，所以圆x2+y2-4x-2y=0，即x-22+y-12=5，故圆心坐标为2,1，即△ABC的外心坐标为2,1，又△ABC的重心坐标为a+43,1 ，又点2,1、a+4 3,1均在直线y=1上，所以△ABC的欧拉线方程为y=1.故答案为：y=16.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足AC=BC，顶点A-1,0、B1,2，且其“欧拉线”与圆M：x+52+y2=r2r>0相切．(1)求△ABC的“欧拉线”方程；(2)若圆M与圆x2+y-a2=2有公共点，求a的范围．【答案】(1)x+y-1=0(2)a∈-7,7【分析】(1)由等腰三角形三线合一知△ABC的欧拉线即为AB的垂直平分线，根据与直线AB垂直得到斜率，结合过中点得到所求直线方程；(2)由直线与圆相切得到圆M的圆心和半径，由两圆有公共点得到两圆的位置关系进而得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围.【详解】(1)因为AC=BC，所以△ABC是等腰三角形，由三线合一得：△ABC的外心、重心、垂心均在边AB 的垂直平分线上，设△ABC的欧拉线为l，则l过AB的中点，且与直线AB垂直，由A-1,0、B1,2可得：AB的中点D1-12,0+22，即D0,1 ，由k AB=2-01--1=1，得k l=-1，故l的方程为y-1=-x即x+y-1=0；(2)因为l与圆M：x+52+y2=r2相切，故圆心M-5,0，r=|6|1+1=32，圆x2+y-a2=2的圆心坐标为0,a，半径r1=2，则要想圆M与圆x2+y-a2=2有公共点，则两圆外切、相交或内切，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，即32-2≤-52+a2≤32+2，故22≤25+a2≤42，解得a∈-7,7．。
欧拉线的发现与证明过程
• 欧拉线的发现 • 欧拉线的证明过程 • 欧拉线在几何学中的应用 • 欧拉线的扩展研究 • 总结与展望
01
欧拉线的发现
欧拉简介
欧拉（Leonhard Euler）是18世纪的瑞士数学家，被誉为历史上最伟大 的数学家之一。他不仅在数学领域有着广泛而深入的研究，还在物理学、 工程学和天文学等领域有着卓越的贡献。
欧拉还利用面积法证明了欧拉线定理，即三角形各边的垂直 平分线交于一点，这一点将三角形的重心分为2:1的两部分。
欧拉线的深入证明
欧拉线的深入证明主要涉及解析几何和代数方法的应用。 通过建立坐标系，将三角形的顶点和角元线方程表示为坐 标形式，然后利用代数方法求解这些方程，可以得到欧拉 线的方程。
此外，还可以利用向量和矩阵等工具来证明欧拉线定理， 这些方法在处理更复杂的几何问题时非常有用。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
欧拉线的重要意义
数学史上的里程碑
欧拉线的发现是数学史上的一个重要 里程碑，它推动了数学领域的发展， 丰富了数学理论体系。
对几何学的影响
在其他学科的应用
欧拉线不仅在数学领域有广泛应用， 还涉及到物理学、工程学等多个学科， 为这些学科的发展提供了重要的理论 支持。
欧拉线是几何学中的重要概念，它的 出现为几何学的研究提供了新的思路 和方法，促进了几何学的发展。
欧拉线是由欧拉在18世纪提出的几何概念。它是指在一个多边形中，连接所有顶 点与对边中点的线段组成的折线。
欧拉在研究多边形的几何性质时，发现了这一特殊的折线。他发现，无论多边形 的形状如何变化，只要边数固定，欧拉线的长度总和保持不变。这一性质被称为 “欧拉线的定长性”。
欧拉线在几何学中的地位
三角形三条高线交于一点的六种证明方法
三角形三条高线交于一点的六种证明方法一、欧拉线证明法：欧拉线证明方法是最常见的证明三角形三条高线交于一点的方法之一。
欧拉线又称欧拉三线，由数学家欧拉提出，并以他的名字命名。
该方法通过对三角形的边、高线和重心进行关联，最终证明三条高线交于一点。
欧拉线证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接三条边的中点，分别记为D、E、F。
连接B和C的垂直平分线，交于点O。
则利用垂心定理可得，AO垂直于BC。
同理，连接A和C的垂直平分线与AB的中垂线交于点O'，连接A和B的垂直平分线与AC的中垂线交于点O"，可得BO'垂直于AC，CO"垂直于AB。
因此，三条高线通过点O、O'、O"，即证明了三条高线交于一点。
二、重心证明法：重心证明法是另一种常用的证明方法。
重心是指三角形三条中线交于一点的点，也是三角形内切圆的圆心。
通过证明三角形的三条高线交于重心，可间接证明三条高线交于一点。
重心证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接三个顶点与相对边的中点，分别记为D、E、F。
以点D为圆心，AC的中点D为半径画圆，与AB和BC相交于点G；以点E为圆心，AB的中点E为半径画圆，与AC和BC相交于点H；以点F为圆心，BC的中点F为半径画圆，与AB和AC相交于点I。
根据圆的性质可知，AG、BH和CI与三条高线垂直且交于一点，即证明了三条高线交于一点。
三、垂心证明法：垂心证明法是通过垂心的定义和性质来证明三角形三条高线交于一点的方法。
垂心是指三角形三条高线交于一点的点，也是三角形外接圆的圆心。
垂心证明法的步骤如下：在给定的三角形ABC中，连接任意两个顶点的垂线。
设垂足分别为D、E、F。
连接BD、CE和AF，得到三条高线。
根据垂心定义可知，BD、CE和AF都经过垂心点H。
因此，三条高线交于一点H，即证明了三条高线交于一点。
四、费马点证明法：费马点证明法是通过费马点的定义和性质来证明三角形三条高线交于一点的方法。
有关欧拉线性质的证明(M)
xb ab b 2 c )； ab ，于是的点 I 的坐标为 (b, y x c b c
经计算 k HI kGI ，即 G、H、I 三点共线。
9b 4 c 4 10b 2 c 2 10 abc2 a 2 c 2 9a 2b 2 18ab3 计算线段 GH 的距离为 ； 6c
GI 的距离为 即 GH
9b 4 c 4 10b 2 c 2 10 abc2 a 2 c 2 9a 2b 2 18ab3 ； 3c
1 GI 。 2
ab c , )； 3 3
c b b b2 c ，则垂线斜率 k AB ，直线 DH 可表为 y x ， c 2c 2 b c a a b 2 ab c 2 ，联立得 H 点坐标为（ ( , )； 2 2c 2
相似可知直线 EH 可表为 x
同理，联立直线 AI 和 CI 得
有关欧拉线性质的证明
证明：1）任意三角形外心、重心、垂心三点共线； 2）其外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半。 （注：欧拉线，即外心、重心、 垂心所在的直线。 ）
12
10
A
8
6
D
4
F H G I
2
B
5
C E
10 15 20 25 30
-2
作一任意三角形 ABC，然后以 B 为原点 BC 边为半径建立直角坐标系，于是可设 C 点 坐标为（a，0） 点坐标为（b，c） ，A 。 据重心性质可知点 G 的坐标为 ( 直线 AB 的斜率 k AB
关于欧拉线的一个有趣结论
关于欧拉线的一个有趣结论上海市延安中学 钟建国我们知道，三角形的外心、重心、垂心三点共线。
这条直线，就叫做三角形的欧拉线。
笔者在研究中发现一个关于欧拉线的有趣结论：如图1，已知1234L L L L 、、、这四条直线中的任意三条直线都能围成一个非等边的三角形，且123L L L 、、所围成的三角形的欧拉线平行于4L ，则124L L L 、、所围成的三角形的欧拉线平行或重合于3L 。
下面给出这一结论的两种证法。
方法一：平几法。
我们先来证明一个预备定理：设1C 是ABC ∆边CB 延长线上的一点，O G 、分别为ABC ∆的外心和重心，11O G 、分别为1ABC ∆的外心和重心。
如果1//OG AC ，那么11//O G AC 。
证明：如图2，设直线OG 交直线1CC 于点D 。
我们试图证明：1//G D AC ，1//O D AC ，从而就有11//O G AC 。
先证明1//G D AC 。
如图3，连结1AG 并延长交1C B 于点1E ，连结AG 并延长交BC 于点E ，显然，1E E 、分别为线段1C B BC 、的中点。
设111C E E B x ==，BE EC y ==。
由1// GD AC ，得12C D DE =。
通过计算容易证得112E D DC =，即1//G D AC 。
再证明1//O D AC 。
如图4，因为1//OD AC ，所以11ODB C OO B ∠=∠=∠，这表明1O D B O 、、、四点共圆。
于是，111O D C O O BC ∠=∠=∠，即1//OD AC 。
最后证明原命题：如图5，过2L 、3L 的交点作54//L L 。
利用相似形的原理容易证明：124L L L 、、围成的三角形的欧拉线，一定平行于125L L L 、、围成的三角形的欧拉线。
如果123L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行于4L ，那么，123L L L 、、围成的三角形的欧拉线平行于5L 。
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约翰·伯努利（J.Bernoulli,1667-1748）
巴塞尔大学数学教授 伯努利家族在欧洲科学界威名赫赫
先后出了八、九位著名的数学家 特别注重选拔、培养人材
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完全数
6这个数可以分解成1、2、3、6这4个数，把前面的 3个数1、2、3、加起来正好等于最后的一个数6；
还有一个数是28，它可以分解为1、2、4、7、14、 28这6个数，把前面的5个数1、2、4、7、14加起来， 又正好是最后面的一个数28。
约翰先生，请问这种奇妙的数除了这两个以外，还 有吗？”
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PART 3 发现欧拉线定理
发现思路：
1.全等三角形的证明方法：SSS 2.海伦公式：利用三角形的三条边长来求取三角形面积。 3.是否可以利用三边来确定一些特殊点呢
父亲想围一个羊圈，长40尺，宽15尺，面积自然是600平方尺。 这显然需要110尺的篱笆，但他只有100尺，十分犯愁。
小欧拉想帮父亲的忙，父亲说“大人的事，小孩子懂什么。”
小欧拉不肯罢休，最后总算知道父亲愁什么。想了一会儿， 用树枝在地上画了些什么，对父亲说：“爸爸，您可以把长 宽都定为25尺，那羊圈面积成了625尺，比原来还大25平方 尺，篱笆也刚好够用。”
1.借助电脑软解 2.从特殊到一般 3.辅助线
这也是我证的
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PART 6 欧拉的一生
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读读欧拉，他永远是我们可敬的老师。
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欧拉线的发现与证明
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PART I 数学史上的“四杰”
(首项+末项)*项数/2
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PART 2 小欧拉的趣事
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数星星
“天上到底有多少颗星星？”
“有多少颗星星这并不关紧要，我们应该知道的是，那些星星是上帝 一颗一颗地镶上去的。”
“那么，既然是上帝一颗一颗地镶上去，他肯定 知道有多少颗星星了。”
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围篱问题
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惊人的计算过程
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惊人的计算过程
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惊人的计算过程
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惊人的计算过程
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惊人的计算过程
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惊人的计算过程
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惊人的计算过程
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
惊人的计算过程
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惊人的计算过程
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PART 5 欧拉精神
1.敢于尝试 2.不要轻言放弃 3.重视基础，计算很重要 4.掌握新技术 5.重视简单的题目和想法
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PART 4 后人的其他证法