九点圆与欧拉线
初中数学奥林匹克中的几何问题：第7章九点圆定理及应用附答案
第七章九点圆定理及应用【基础知识】九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，这九点共圆． 如图7-1，设ABC △三条高AD ，BE ，CF 的垂足分别为D ，E ，F ；三边BC ，CA ，AB 的中点分别为L ，M ，N ；又AH ，BH ，CH 的中点分别为P ，Q ，R ．求证：D ，E ，F ，L ，M ，N ，P ，Q ，R 九点共圆．BVO RF P E NMHQL图7-1A证法1连PQ ，QL ，LM ，MP ，则知12LM BA QP ∥∥，即知L M P Q 为平行四边形．又LQ CH BP LM ⊥∥∥，知LMPQ 为矩形．从而L ，M ，P ，Q 四点共圆，且圆心V 为PL 与QM 的交点．同理，MNQR 为矩形，从而L ，M ，N ，P ，Q ，R 六点共圆，且PL ，QM ，NR 均为这个 圆的直径．由90PDL QEM RFN ∠=∠=∠=︒，知D ，E ，F 三点也在这个圆上．故D ，E ，F ，L ，M ，N ，P ，Q ，R 九点共圆．证法2设ABC △的外心为O ，取OH 的中点并记为V ，连AO ，以V 为圆心，12AO 为半径作V ，如图71-．由12VP OA ∥，知P 在V 上．同理，Q ，R 也在V 上．由12OL AH ∥（可由延长AO 交ABC △的外接圆于K ，得HBKC 为平行四边形，此时L 为KH 的中点，则OL 为AKH △的中位线即得），知OL PH ∥．又OV VH =，知O L V H P V △△≌，从而1=2VL VP OA =，且L ，V ，P 共线，故L 在V 上． 同理，M ，N 在V 上．由L ，V ，P 共线知LP 为V 的一条直径．又90LDP ∠=︒，90MEQ ∠=︒，90NFR ∠=︒，知D ，E ，F 在V 上， 故D ，E ，F ，L ，M ，N ，P ，Q ，R 九点共圆．上述圆通常称为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆，显然，正三角形的九点圆即为其内切圆． 证法3由Rt Rt CBF ABD △∽△，有BC BABF BD=．注意到L 、N 分别为BC 、BA 的中点， 则BL BNBF BD=，即BL BD BF BN ⋅=⋅，这表明L 、D 、F 、N 四点共圆（或者联结NL 、DF ，则由BDF BAC BNL ∠=∠=∠知L 、D 、F 、N 四点共圆）．同理，L 、D 、E 、M 及E 、M 、F 、N 分别四点共圆．由戴维斯定理，即知L 、D 、E 、M 、F 、N 六点共圆于Γ．又Rt Rt CHD CBF △∽△，有C H C B CD C F =，注意R 、L 分别为CH 、CB 中点，则CR CLCD CF=，知R 、F 、L 、D 共圆，即点R 在圆Γ上．同理，点P 、Q 也在圆Γ上，故九点均在圆Γ上． 注戴维斯定理指的是：三角形每边所在直线有一对点（可以重合），若每两对点同在一个圆上，则三对点（六点）均在同一圆上．事实上，若所说三个圆不重合．则由根轴共点或平行推得三条边共点或平行，这是不可能的，所以三个圆非重合不可，特别地，三角形内切圆是其特殊情形． 由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论：推论1ABC △九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是ABC △的外接圆半径的12． 注意到PQR △与ABC △是以垂心H 为外位似中心的位似形，位似比是12H P H A =∶∶，因此，可得 推论2三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是12∶的位似形；垂心与三角形外接圆上任一点的连接线段被九点圆截成相等的两部分． 注意到欧拉定理（欧拉线），又可得推论3ABC △的外心O ，重心G ，九点圆圆心V ，垂心H ，这四点（心）共线，且12OG GH =∶∶，13GV VH =∶∶，或O 和V 对于G 和H 是调和共轭的，即OG OHGV HV=． 推论4ABC △的九点圆与ABC △的外接圆又是以ABC △的重心G 为内位似中心，位似比为12∶的位似形．事实上，因G 为两相似三角形LMN △与ABC △的相似中心，而LMN △的外接圆即ABC △的九点圆． 推论5一重心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同的九点圆．【典型例题与基本方法】例1如图72-，设H 为ABC △的垂心，L 为BC 边的中点，P 为AH 的中点．过L 作PL 的垂线交AB 于G ，交AC 的延长线于K ．求证：G ，B ，K ，C 四点共圆．A证明设ABC △的外心为O ，连OH ，取OH 的中点V ， 则V 为ABC △九点圆的圆心．连AO ，则A O P V ∥，从而AO GK ⊥．设N 为AB 的中点，连ON ，则O N A G ⊥，由此知AON AGL ∠=∠．又ACL AON ∠=∠，则ACL AGL ∠=∠．从而BGL BGK KCL KCB ∠=∠=∠=∠．故B ，K ，C ，G 四点共圆． 例2试证：ABC △的垂心H 与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分．证明如图73-，过垂心H 作ABC △外接圆的两条弦DE ，FG ，连DF ，EG ．E图7-3STG DAM HCN F B设M ，N ，S ，T 分别为HD ，HE ，HF ，HG 的中点，则 FDH SMH ∠=∠，EGH NTH ∠=∠． 又FDH EGH ∠=∠，则SMH NTH ∠=∠． 故M ，S ，T ，N 四点共圆，由DE ，FG 的任意性，得H 与ABC △外接圆上任意点连线的中点在同一圆上，由于这个圆过HA ，HB ，HC 的中点，故这个圆就是ABC △的九点圆，从而命题获证．例3如图74-，ABC △中，O 为外心，三条高AD ，BE ，CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ．求证：（1）OB DF ⊥，OC DE ⊥；（2）OH MN ⊥． （2001年全国高中联赛题）AN证明（1）设ABC △的外接圆半径为R ，由相交弦定理，有 22R OF AF FB -=⋅，22R OD BD DC -=⋅，从而22OF OD BD DC AF FB -=⋅-⋅．由A ，F ，D ，C 四点共圆，有BD BC BF BA ⋅=⋅，即()()B D B D D C B F B F FA ⋅+=+，亦即2222B F B D B D D C A F F B O F O D -=⋅-⋅=-，故OB DF ⊥．同理，OC DE ⊥． （2）由九点圆定理的推论1，知OH 的中点V 为DEF △的外心．又由D ，E ，A ，B 及D ，F ，A ，C 分别四点共圆，有M D M E M B M A ⋅=⋅，ND NF NC NA ⋅=⋅．由此，即知M ，N 对ABC △的外接圆与DEF △的外接圆的幂相等，从而M ，N 在这两个外接圆的根轴上，即有MN OV ⊥，故MN OH =． 【解题思维策略分析】1．注意题中九点圆的显现形式例4如图75-，ABC △中，O 为外心，H 是垂心，作CHB △，CHA △和AHB △的外接圆，依次记它们的圆心为1A ，1B ，1C ，求证：111ABC A B C △△≌，且这两个三角形的九点圆重合．（IMO 31-预选题）图7-51证明由于()18090(90)180CHB B C B C A ∠=︒-︒-∠-︒-∠=∠+∠=︒-∠，知CHB △外接圆的半径和 CAB △外接圆的半径相等，从而，有1A 是O 关于BC 的对称点．设M 是BC 中点，则知2AH OM =，即1AH OA =．又1AH OA ∥，则连1AA 与OH 的交点K 为平行四边形1AHAO 的中心，即1AA 与OH 互相平分于K ． 同理，1BB ，1CC 也经过K 且被它平分，从而111A B C △与ABC △关于K 中心对称，故111A B C ABC △△≌．显然，K 是ABC △九点圆的圆心．因此，这个圆关于K 作中心对称时不变，它也是111A B C △的九点圆． 例5如图76-，在ABC △中，AD 是BC 边上的高，M ，N 分别是CA ，AB 两边的中点，设直线l 通过A 点，且BC 在l 上的射影为B C ''，连B N '与C M '交于点P ．求证：B '，C '，D ，P 四点共圆，且其圆心O 与P 点均在ABC △的九点圆上．P O NMDBAC '21l 图7-6B'C证明BB '，CC '，ND ，MD ．在Rt AB B '△中，N 为斜边AB 的中点，令1BAB '∠=∠，则1N BA'∠=∠． 同理，NAD NDA ∠=∠， MAD MDA ∠=∠．令2CAC '∠=∠，则2MC A '∠=∠． 于是，12NB A MC A ''∠+∠=∠+∠180A =︒-∠， 故()180MPN NB A MC A ''∠=︒-∠+∠180(180)A A =︒-︒-∠=∠NAD DAM NDA ADM MDN =∠+∠=∠+∠=∠．由此，知D ，M ，N ，P 四点共圆．而MND △的外接圆即为ABC △的九点圆，即点P 在ABC △的九点圆上． 由A ，B '，B ，D 四点共圆，连B D '，则知901B DA B BA ''∠=∠=︒-∠．同理，902C DA C CA ''∠=∠=︒-∠． 于是，18012B DC B DA C DA A MPN B PC ''''''∠=∠+∠=︒-∠-∠-∠=∠=∠， 故B '，C '，D ，P 四点共圆．由题设，B C DP '' 的圆心为O ，连DO ，PO ，则2DOP DB P '∠=∠． 由于A ，B '，B ，D 四点共圆且以N 为其圆心，则知NB ND '=． 于是，有2DNP DB P '∠=∠，DOP DNP ∴∠=∠，D ∴，O ，P ，N 四点共圆．O ∴在DPN 上，即O 在ABC △的九点圆上，故命题获证． 2．注意题中九点圆的隐含形式例6如图77-，锐角ABC △中，角A 的等分线与三角形的外接圆交于另一点1A ，点1B ，1C 与此类似．直线1AA 与B ，C 两角的外角等分线交于0A ，点0B ，0C 与此类似．求证：A 0A 1IC 0B 1C 1B 0图7-7C A（1）000A B C △的面积是六边形111AC BACB 面积的二倍；（2）000A B C △的面积至少是ABC △面积的四倍． （IMO 30-试题）证明（1）令ABC △的内心为I 000()I AA BB CC =∩∩．则I 又是000A B C △的垂心（内、外角平分线互相垂直）．显然，ABC △的外接圆是000A B C △的九点圆，即知1A ，1B ，1C 分别为0A I ，0B I ，0C I 的中点，于是得012A BI A BI S S =△△，012A CI A CI S S =△， 从而012A BIC A BIC S S =四边形四边形．同理，012B CIA B CIA S S =四边形四边形，012C AIB C AIB S S =四边形四边形， 故0001112A B C AC BA CB S S =六边形． （2）由（1），有()1110002=2A BC B CA C ABA B C ABCABCS S S S S S +++△△△△△△故只要证1111A BC B CA C ABABCS S S k S ++=△△△△≥．记2BAC α∠=，2ABC β∠=，2BCA γ∠=，则 ()12111sin 1802sin sin sin 2sin 21sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 22A BC ABCA B AC S S AB AC αααααγβαβγα⋅⋅︒-⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅△△ 同理，12sin sin 2sin 2B CA ABCS S βαγ=⋅△△，1sin sin 2sin 2C AB ABC S S γαβ2=⋅△△． 于是，2222sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2k αβγβγαγαβ=++⋅⋅⋅()233cos cos cos 4αβγ-⋅⋅≥ 223cos cos cos 3cos 14343αβγαβγ--++++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥． 例7如图78-，123A A A △是一非等腰三角形，它的边长分别为以1a ，2a ，3a ，其中i a 是i A 的对边（123i =，，），i M 是边i a 的中点，123A A A △的内切圆I 切边i a 于i T 点，i S 是i T 关于i A ∠角平分线的对称点(123)i =，，．求证：11M S ，22M S ，33M S 三线共点． （IMO 23-试题）311图7-8证明由题设，知1221M M A A ∥，下面证1121S S A A ∥，由1T 和1S ，2T 和3T 分别关于直线1A I 对称，有 1231TT T S =． 同理， 1232TT T S =． 故有 3132T S T S =，即3T 是等腰312T S S △的顶点，有312T I S S ⊥，从而1221S S A A ∥． 同理，2332S S A A ∥，3113S S A A ∥．又1221M M A A ∥，2332M M A A ∥，3113M M A A ∥，于是123M M M △和123S S S △的对应边两两平行，故这两个三角形或全等或位似．由于123S S S △内接于ABC △的内切圆，而123M M M △内接于ABC △的九点圆，且123A A A △不为正三角形，故其内切圆与九点圆不重合，所以123S S S △与123M M M △位似，这就证明了11M S ，22M S ，32M S 共点（于位似中心）．例8过锐角ABC △的顶点A ，B ，C 的三条高线分别交其对边于点D ，E ，F ，过点D 平行于EF 的直线分别交AC ，AB 于点Q 和R ，EF 交BC 于点P ．证明：PQR △的外接圆过BC 的中点．（IMO 38-预选题）证明由题设，点P 的存在意味着AB AC ≠．由对称性，可设AB AC >，则P 在射线BC 上，如图79-．PLR DCFA EB图7-9取BC 的中点L ，我们证明Q ，P ，R ，L 四点共圆⇔DR DQ DP DL ⋅=⋅①因BE AC ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，则B ，C ，E ，F 共圆，于是知CEP ABC ∠=∠． 又EF QR ∥，有CEP CQD ∠=∠，则知B ，Q ，C ，R 四点共圆，从而DR DQ DB DC ⋅=⋅ 设BL CL a ==，CP c =，DL b =，则证①式等价于证明DB DC DP DL ⋅=⋅，即()()()a b a b a c b b +⋅-=+-⋅，亦即()2a b a c =+．由九点圆定理，知D ，E ，F ，L 四点共圆，有PE PF PD PL ⋅=⋅．注意到B ，C ，E ，F 四点共圆，有PE PF PC PB ⋅=⋅，故得PC PB PD PL ⋅=⋅，即 ()()()2c a c a c b b a +=+-⋅+，亦即()2a b a c =+．故有DB DC DP DL ⋅=⋅，亦有DR DQ DP DL ⋅=⋅．亦即Q ，P ，R ，L 四点共圆，即PQR △的外接圆过BC 的中点．注 由例8可演变得如下第8届台湾数学奥林匹克试题：己知过锐角ABC △的顶点A ，B ，C 的垂线分别交对边于D ，E ，F ，AB AC >，直线EF 交直线BC 于P ，过点D 且平行于EF 的直线分别交直线AC ，AB 于Q ，R ，N 是BC 上的一点，且180NQP NRP ∠+∠<︒．求证：BN CN >．事实上，同例8，取BC 的中点L ，关键是证明Q ，P ，R ，L 四点共圆，又等价地证明DR DQ DP DL ⋅=⋅．而当Q ，P ，R ，L 四点共圆时，180LQP LRP ∠+∠=︒，参见图79-，若180NQP NRP ∠+∠<︒，则N 点在QPRL 的内部，又因N 是BC 上的一点，则N 在点L 的右侧，于是BN CN >．【模拟实战】习题A1．试证：圆的直径两端点对ABC △的西姆松线垂直相交，且相交于此三角形的九点圆上．2．设G 为ABC △的重心，P 为ABC △外接圆上任一点，连PG 并延长至点Q ，使12PQ PG =．求证：点Q 在ABC △的九点圆上．3．试证：ABC △的九点圆与它的内切圆及三个旁切圆相切．4．给定非退化的ABC △，设外心为O ，垂心为H ，外接圆的半径为R ．求证：3OH R ．（1994年亚太地区奥林匹克题）5．试证：三角形的三个切圆（内切或旁切）的圆心构成一个三角形，此新三角形的外心对于已知三角形的外心为另外一个切圆圆心的对称点．习题B 1．设A I ，B I ，C I 分别为ABC △的切BC ，CA ，AB 边的旁切圆的圆心．试证：（1）A B C I I I △的九点圆为ABC △的外接圆；（2）过点A I ，B I ，C I 分别作BC ，CA ，AB 边的垂线，则这三条垂线共点． 2．试证：圆周上任意四点，过其中任意三点作三角形，则这四个三角形的九点圆的圆心共圆．第七章九点圆定理及应用习题A1．设P O P '是ABC △的外接圆(圆心为O )的直径，关于P 点的西姆松线为1l ，关于P '点的西姆松线为2l 因为1l 与2l 的交角可以12PP '度量，从而1l 与2l 的交角为直角．设H 为ABC △的垂心，则1l 和2l 分别经过PH ，PH'的中点Q ，Q '，而Q 和Q '在ABC △的九点圆上，H 点是三角形的九点圆和外接圆的外 位似中心，线段QQ '是线段PP '的位似图形，从而QQ '是九点圆的直径，故1l 与2l 的交点在ABC △的九点圆上．2．连AG 并延长交BC 于L ，则A 在ABC △的外接圆上，L 在ABC △的九点圆上，又G 是ABC △的外接圆与九点圆的内位似中心，且位似此为21∶．而21PG GQ =∶∶，且P 点在外接圆上，则Q 点必在九点圆上．3．设I ，O ，H ，V 分别为ABC △的内心、外心、垂心及九点圆圆心，R ，r ，ρ分别为ABC △外接圆、内切圆、九点圆的半径，A I ，A ρ分别为在BC 边外侧相切的旁切圆圆心和半径，则由心距公式，有222OI R Rr =-，2222IH r R ρ=-，224OH R R ρ=-．注意到V 为OH 的中点，由斯特瓦尔特定理的推论（即三角形中线长公式），有()2222222111242VI VI HI VH R Rr r R r ⎛⎫=+-=-+=- ⎪⎝⎭，即12VI R r =-．故九点圆与内切圆相内切．同理，222AA OI R R ρ=+，得22112A VI R ρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即有112VI R ρ=-，故九点圆与此旁切圆相外切．同理，可证九点圆与其他两个旁切圆相外切．4．设G 是ABC △的重心，V 是九点圆的圆心，O 和V 对于G 和H 是共线且调和共轭的，考察以O 点为起点的向量，则33332OA OB OC OH OG OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭．因此3OH OA OB OC R ++=≤ ，仅当A B C ==时等号成立，这是不可能的．故3OH R <．5．设O ，H 分别为ABC △的外心与垂心，I ，1I ，2I ，3I 分别为ABC △的内心和三个旁心，由于H ，A ，B ，C 构成一老垂心组（四点中，任一点是另三点构成的三角形的垂心，此四点为垂心组）；I 与1I ，2I ，3I 构成一新垂心组，又ABC △的外接圆是123I I I △的九点圆，从而123I I I △的外心O '是关于O的I 的对称点．其余以此类似地推证，从而新垂心组各点与老垂心组各点关于123I I I △的九点圆的圆心对称．习题B1．(1)设E ，F 分别是边BA 的延长线，CA 的延长线上的点，由旁心的定义，知A I A 平分BAC ∠，B I A 平分CAE ∠，C I A 平分BAF ∠．又BAF CAE ∠=∠，从而有B I ，A ，C I 三点共线，且A B C I A I I ⊥．同理，B A C I B I I ⊥，C A B I C I I ⊥．故ABC △为A B C I I I △的垂足三角形，故ABC △的外接圆即为A B C I I I △ 的九点圆．(2)设O '为A B C I I I △的外心，则()()11180180222B C B C B A C O I I I O I I I I ''∠=︒-∠︒-∠=．由A I ，C I ，A ，C 四点共圆，知B B A C I AC I I I ∠=∠，从而90B C B O I I I AC '∠+<∠=︒，即B I O AC '⊥． 同理，A I O BC '⊥，B I O BA '⊥．故三条垂线共点于O '．2．设11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，44()D x y ，是单位圆上任意四点，则()2211234i i x y i +==，，，． 由九点圆圆心是三角形外心与垂心连线的中点，得△ABC ，△ABD ，△BCD ，△ACD 九点圆圆心坐标分别为1231231,22x x x y y y O ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭,1241242,22x x x y y y O ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭, 2342343,22x x x y y y O ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭,1341344,22x x x y y y O ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭． 考虑点12341234,22x x x x y y y y G ++++++⎛⎫⎪⎝⎭，则 12221234123123412312222x x x x x x x y y y y y y y O G ⎡⎤++++++++++⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=12=． 同理，23412O G O G O G ===故1O ，2O ，3O ，4O 在以G 力圆心，12为半径的圆上．。
三角形的中心与圆的关系
三角形的中心与圆的关系三角形与圆的关系一直是几何学中的重要内容之一。
在三角形中，经常涉及到三个特殊的点，它们是三角形的中心。
分别是重心、外心、内心和垂心。
这些中心点与三角形外接和内切的圆有着密切的关联。
本文将重点对这几个中心点与圆的关系进行探讨。
首先，我们来看重心。
重心是三角形内部到三个顶点的连线的交点，即三角形各边的中垂线的交点。
如果我们将三角形的各边分别延长，它们所交于一点的位置就是重心。
与重心相关的圆是重心圆。
重心圆的圆心即为重心，而半径是三角形各边之间的距离的一半。
也就是说，重心圆的半径是从重心到三个顶点的距离的平均值。
值得一提的是，无论三角形的形状如何，重心始终位于三角形的内部。
其次，我们来研究外心。
外心是三角形内接圆的圆心，也是三角形外接圆的圆心。
三角形的外接圆是经过三个顶点的圆，外接圆的半径等于外接圆的直径的一半。
外心到三个顶点的距离都相等，而且外心与三个顶点的连线构成一个等腰三角形。
无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，外心都位于三角形的外部。
然后，我们来讨论内心。
内心是三角形内切圆的圆心。
三角形的内切圆是与三角形的三边都切于一点的圆，内切圆与三角形的三个边的交点称为内切点。
内心与三个顶点之间的连线交于一点，这个点就是内心。
内心到三个顶点和三边的距离都相等。
内心是三角形内部唯一一个位于三角形内部的中心点。
最后，我们研究垂心。
垂心是三角形的三条高线的交点。
三角形的高是从顶点到对边的垂线段，而相应的垂心就是三个垂线的交点。
垂心的特点是它与三个顶点之间的连线垂直相交。
与垂心相关的圆是垂心圆。
垂心圆的半径等于垂心到三个顶点的距离，即三角形的三条高线的长度。
总结起来，三角形的重心、外心、内心和垂心与圆之间存在着密切的关系。
重心圆的圆心即为重心，而半径是重心到三个顶点距离的平均值；外心是三角形外接圆的圆心，位于三角形的外部；内心是三角形内切圆的圆心，位于三角形的内部；垂心是三角形的三条高线的交点，与垂心相关的圆是垂心圆。
初中数学：三角形5心(内外重垂旁)+拓展欧拉点线、九点圆及其相关性质与结论
三角形之重心、垂心、内心、外心、旁心拓展：欧拉点、欧拉线、九点圆三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
注：（1）三角形的中线、高线及角平分线都有3条，且分别都交于一点。
（2）三角形各边的垂直平分线交于一点。
◆重心：三角形三条中线的交点相关性质与结论：（1）三角形的重心都在其内部；（2）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1；（3）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到三条边的距离与三条边的长成反比；（4）三角形内，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.◆垂心：三角形三条高线的交点相关性质与结论：（1）锐角三角形的垂心在其内部，直角三角形的垂心在两条直角边的交点上，钝角三角形的垂心在其外部；（2）垂心到三角形一顶点的距离是这个三角形的外心到此顶点对边距离的2倍.◆内心：三角形三条角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心。
相关性质与结论：（1）三角形的内心都在其内部；（2）内心到三角形三条边的距离相等. 外心：三角形三条边的垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心相关性质与结论：（1）锐角三角形的外心在其内部，直角三角形的外心是斜边上的中点，钝角三角形的外心在其外部；（2）外心到三角形的3个顶点的距离相等；（3）垂心到三角形一顶点的距离是这个三角形的外心到此顶点对边距离的2倍.三角形四心的位置锐角△直角△钝角△重心均在其内部（中线之交点）垂心内部两直角边的交点外部（高之交点）内心均在其内部（角平分线之交点）外心内部斜边上的中点外部（垂直平分线之交点）◆旁心：三角形的一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，是三角形旁切圆的的圆心。
旁切圆：与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆相关性质与结论：（1）旁心一定在三角形外；（2）三角形有三个旁切圆，三个旁心；（3）旁心到三角形三边的距离相等；（4）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半.◆拓展：欧拉点、欧拉线、九点圆欧拉点：三角形顶点与垂心连线所得线段的中点（如下图，D、E、F为欧拉点）九点圆：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三条线段的中点）九点共圆，通常称这个圆为九点圆，也称欧拉圆或费尔巴哈圆。
平面几何的17个著名定理
平面几何的17个著名定理1«欧拉(Enter)线…同一三角形的垂心*重心、外心三点共线，这条直线稀为三角形的欧拉线, 且外4与重心的距离等于垂心与重心距离的一半审氛九点圆匕*任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶歳与垂心问线段的中点，共九个点共圆，这个風秫为三角形的九点圆；其圆心为三角形夕皿与垂心所连线段的中勲其半径等于三角形外接圆半径的一半• *3.费尔马点…己知 P 为锐SAABC 内一点，当ZAPB = ZBPC= ZCPA= 120° 时，PA +PB + PC 的值最小，这个点P 称为AABC 的费尔马点。
心CP = 2.45 厘米AP = 1.64 厘米4、海伦(Heron)公式:：卩在ZXABC 中，边BC 、CA. AB 的长分别为a 、b 、c,若 严丄(a+b+c), “2则/XABC 的面积 S = Jp(p_a)(p_b)(p_c)，A7 p (p-AB>(p-BC)-(p-CA) = 8.96 殛米2BC AD = 8.96 J#米25、SK (Ceva)在AABC 中，过AABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F,则竺.—= 1；其逆亦真aDC EA FBBD = 2.78 MX DC = 1.95 厘米 CE = 1.64 厘米EA = 2.23 厘米 AF =2.31 厘米FB = 2.42 厘米 6、密格尔(Kfeuel)点=♦若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是AABF 、AAED . ABCE . ADCF ,贝I J 这四个三角形的外接圆共(韵借)备)"点，这个点称为密格尔点°卩A B DP （托动）7、葛尔刚（仙輙峻）点2A ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、C 為于点D 、E 、F,则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。
从欧拉几何定理到彭色列闭合定理(欧拉--彭色列—大狗熊线)
从欧拉几何定理到彭色列闭合定理(欧拉--彭色列—大狗熊线)徐文平（东南大学 南京210096）一、引言1）彭色列闭合定理图1思考：彭色列闭合定理的本质是什么？为什么如此奇妙的首尾相连闭合？2）谢国芳定理谢国芳老师猜想，双圆锥曲线的内接外切四边形时候，对角线交叉点不变。
图2思考：如果是三角形的时候，彭色列闭合定理，是什么关键点永恒不变啊。
3）欧拉几何定理 a)设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则有rR R d 222-=（备注： 欧拉定理定理也涉及到圆中圆的问题）b ）欧拉线（三角形ABC的垂心H，九点圆圆心V，重心G，外心O共线，称为欧拉线）图3c）欧拉九点圆三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。
通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。
九点圆具有许多有趣的性质，例如：1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；4. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。
图44）欧拉--彭色列--大狗熊线大狗熊定理：三角形内切圆的切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G与三角形内心I、外心O共线（欧拉--彭色厉--大狗熊线），三角形作彭色列闭合变换时，五心位置恒定不变。
（备注：三角形内切圆的切点三角形的外心就是三角形ABC的内心I）图 5 （彭色列闭合变换时切点三角形的重心不变）（三角形在圆中圆中，作彭色列闭合变化时候，切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G不变，非常奇妙的发现，作业：作图试试切点三角形的垂心H，九点圆圆心V，重心G，是不是雷打不动啊）谢国芳定理，双圆锥曲线的内接外切四边形时候，对角线交叉点不变。
高中平面几何常用定理总结
（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b ma -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：Cb Bc A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE 交AB于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r r r r r r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．32． 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．33． 塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA=1． 34． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB 分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q 两点关于圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N 点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．。
初中平面几何知识的60个定理
初中平面几何知识的60个定理1、勾股定理、勾股定理((毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理) )小学都应该掌握的重要定理小学都应该掌握的重要定理 2、射影定理、射影定理((欧几里得定理欧几里得定理) )重要重要3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分的两部分重要重要4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点学习中位线时的一个常见问题，中考不需要，初中竞赛需要学习中位线时的一个常见问题，中考不需要，初中竞赛需要5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
完全没有意义，学习解析几何后显然的结论，不用知道完全没有意义，学习解析几何后显然的结论，不用知道6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
重要重要7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点重要重要8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 中考不需要，竞赛中很显然的结论中考不需要，竞赛中很显然的结论9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
高中竞赛中非常重要的定理，称为欧拉线高中竞赛中非常重要的定理，称为欧拉线1010、、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆))三角形中，三角形中，三边中心、三边中心、三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，高中竞赛中的常用定理高中竞赛中的常用定理1111、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线((欧拉线欧拉线))上 高中竞赛中会用，不常用高中竞赛中会用，不常用1212、库立奇、库立奇、库立奇**大上定理：大上定理：((圆内接四边形的九点圆圆内接四边形的九点圆) ) ) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
第七章九点圆定理及应用
第七章九点圆定理及应用【基础知识】九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，这九点共圆． 如图7-1，设ABC △三条高AD ，BE ，CF 的垂足分别为D ，E ，F ；三边BC ，CA ，AB 的中点分别为L ，M ，N ；又AH ，BH ，CH 的中点分别为P ，Q ，R ．求证：D ，E ，F ，L ，M ，N ，P ，Q ，R 九点共圆．BVO CRF P E NMHQLD图7-1A证法1连PQ ，QL ，LM ，MP ，则知12LM BA QP ∥∥，即知LMPQ 为平行四边形．又LQ CH BP LM ⊥∥∥，知LMPQ 为矩形．从而L ，M ，P ，Q 四点共圆，且圆心V 为PL 与QM 的交点．同理，MNQR 为矩形，从而L ，M ，N ，P ，Q ，R 六点共圆，且PL ，QM ，NR 均为这个 圆的直径．由90PDL QEM RFN ∠=∠=∠=︒，知D ，E ，F 三点也在这个圆上．故D ，E ，F ，L ，M ，N ，P ，Q ，R 九点共圆．证法2设ABC △的外心为O ，取OH 的中点并记为V ，连AO ，以V 为圆心，12AO 为半径作V ，如图71-．由12VP OA ∥，知P 在V 上．同理，Q ，R 也在V 上．由12OL AH ∥（可由延长AO 交ABC △的外接圆于K ，得HBKC 为平行四边形，此时L 为KH 的中点，则OL 为AKH △的中位线即得），知OL PH ∥．又OV VH =，知OLV HPV △△≌，从而1=2VL VP OA =，且L ，V ，P 共线，故L 在V 上． 同理，M ，N 在V 上．由L ，V ，P 共线知LP 为V 的一条直径． 又90LDP ∠=︒， 90MEQ ∠=︒，90NFR ∠=︒，知D ，E ，F 在V 上， 故D ，E ，F ，L ，M ，N ，P ，Q ，R 九点共圆．上述圆通常称为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆，显然，正三角形的九点圆即为其内切圆． 证法3由Rt Rt CBF ABD △∽△，有BC BABF BD=．注意到L 、N 分别为BC 、BA 的中点， 则BL BNBF BD=，即BL BD BF BN ⋅=⋅，这表明L 、D 、F 、N 四点共圆（或者联结NL 、DF ，则由BDF BAC BNL ∠=∠=∠知L 、D 、F 、N 四点共圆）．同理，L 、D 、E 、M 及E 、M 、F 、N 分别四点共圆．由戴维斯定理，即知L 、D 、E 、M 、F 、N 六点共圆于Γ．又Rt Rt CHD CBF △∽△，有CH CB CD CF =，注意R 、L 分别为CH 、CB 中点，则CR CLCD CF=，知R 、F 、L 、D 共圆，即点R 在圆Γ上．同理，点P 、Q 也在圆Γ上，故九点均在圆Γ上． 注戴维斯定理指的是：三角形每边所在直线有一对点（可以重合），若每两对点同在一个圆上，则三对点（六点）均在同一圆上．事实上，若所说三个圆不重合．则由根轴共点或平行推得三条边共点或平行，这是不可能的，所以三个圆非重合不可，特别地，三角形内切圆是其特殊情形． 由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论：推论1ABC △九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是ABC △的外接圆半径的12． 注意到PQR △与ABC △是以垂心H 为外位似中心的位似形，位似比是12HP HA =∶∶，因此，可得 推论2三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是12∶的位似形；垂心与三角形外接圆上任一点的连接线段被九点圆截成相等的两部分． 注意到欧拉定理（欧拉线），又可得推论3ABC △的外心O ，重心G ，九点圆圆心V ，垂心H ，这四点（心）共线，且12OG GH =∶∶，13GV VH =∶∶，或O 和V 对于G 和H 是调和共轭的，即OG OHGV HV=． 推论4ABC △的九点圆与ABC △的外接圆又是以ABC △的重心G 为内位似中心，位似比为12∶的位似形．事实上，因G 为两相似三角形LMN △与ABC △的相似中心，而LMN △的外接圆即ABC △的九点圆． 推论5一重心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同的九点圆．【典型例题与基本方法】例1如图72-，设H 为ABC △的垂心，L 为BC 边的中点，P 为AH 的中点．过L 作PL 的垂线交AB 于G ，交AC 的延长线于K ．求证：G ，B ，K ，C 四点共圆．A证明设ABC △的外心为O ，连OH ，取OH 的中点V ， 则V 为ABC △九点圆的圆心． 连AO ，则AO PV ∥，从而AO GK ⊥．设N 为AB 的中点，连ON ，则ON AG ⊥，由此知AON AGL ∠=∠． 又ACL AON ∠=∠，则ACL AGL ∠=∠．从而BGL BGK KCL KCB ∠=∠=∠=∠．故B ，K ，C ，G 四点共圆． 例2试证：ABC △的垂心H 与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分．证明如图73-，过垂心H 作ABC △外接圆的两条弦DE ，FG ，连DF ，EG ．E图7-3STG DAM HCN F B设M ，N ，S ，T 分别为HD ，HE ，HF ，HG 的中点，则 FDH SMH ∠=∠，EGH NTH ∠=∠． 又FDH EGH ∠=∠，则SMH NTH ∠=∠． 故M ，S ，T ，N 四点共圆， 由DE ，FG 的任意性，得H 与ABC △外接圆上任意点连线的中点在同一圆上，由于这个圆过HA ，HB ，HC 的中点，故这个圆就是ABC △的九点圆，从而命题获证．例3如图74-，ABC △中，O 为外心，三条高AD ，BE ，CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ．求证：（1）OB DF ⊥，OC DE ⊥；（2）OH MN ⊥． （2001年全国高中联赛题）AN证明（1）设ABC △的外接圆半径为R ，由相交弦定理，有 22R OF AF FB -=⋅，22R OD BD DC -=⋅， 从而22OF OD BD DC AF FB -=⋅-⋅．由A ，F ，D ，C 四点共圆，有BD BC BF BA ⋅=⋅，即()()BD BD DC BF BF FA ⋅+=+，亦即2222BF BD BD DC AF FB OF OD -=⋅-⋅=-，故OB DF ⊥．同理，OC DE ⊥．（2）由九点圆定理的推论1，知OH 的中点V 为DEF △的外心．又由D ，E ，A ，B 及D ，F ，A ，C 分别四点共圆，有M D M E M B M A ⋅=⋅，ND NF NC NA ⋅=⋅．由此，即知M ，N 对ABC △的外接圆与DEF △的外接圆的幂相等，从而M ，N 在这两个外接圆的根轴上，即有MN OV ⊥，故MN OH =． 【解题思维策略分析】1．注意题中九点圆的显现形式例4如图75-，ABC △中，O 为外心，H 是垂心，作CHB △，CHA △和AHB △的外接圆，依次记它们的圆心为1A ，1B ，1C ，求证：111ABC A B C △△≌，且这两个三角形的九点圆重合．（IMO 31-预选题）图7-51证明由于()18090(90)180CHB B C B C A ∠=︒-︒-∠-︒-∠=∠+∠=︒-∠，知CHB △外接圆的半径和CAB △外接圆的半径相等，从而，有1A 是O 关于BC 的对称点．设M 是BC 中点，则知2AH OM =，即1AH OA =．又1AH OA ∥，则连1AA 与OH 的交点K 为平行四边形1AHAO 的中心，即1AA 与OH 互相平分于K ． 同理，1BB ，1CC 也经过K 且被它平分，从而111A B C △与ABC △关于K 中心对称，故111A B C ABC △△≌． 显然，K 是ABC △九点圆的圆心．因此，这个圆关于K 作中心对称时不变，它也是111A B C △的九点圆． 例5如图76-，在ABC △中，AD 是BC 边上的高，M ，N 分别是CA ，AB 两边的中点，设直线l 通过A 点，且BC 在l 上的射影为B C ''，连B N '与C M '交于点P ．求证：B '，C '，D ，P 四点共圆，且其圆心O 与P 点均在ABC △的九点圆上．P O NMDBAC '21l 图7-6B'C证明BB '，CC '，ND ，MD ．在Rt AB B '△中，N 为斜边AB 的中点，令1BAB '∠=∠，则1NB A '∠=∠． 同理， NAD NDA ∠=∠， MAD MDA ∠=∠．令2CAC '∠=∠，则2MC A '∠=∠． 于是， 12NB A MC A ''∠+∠=∠+∠180A =︒-∠， 故()180MPN NB A MC A ''∠=︒-∠+∠180(180)A A =︒-︒-∠=∠NAD DAM NDA ADM MDN =∠+∠=∠+∠=∠． 由此，知D ，M ，N ，P 四点共圆．而MND △的外接圆即为ABC △的九点圆，即点P 在ABC △的九点圆上． 由A ，B '，B ，D 四点共圆，连B D '，则知901B DA B BA ''∠=∠=︒-∠． 同理， 902C DA C CA ''∠=∠=︒-∠． 于是， 18012B DC B DA C DA A MPN B PC ''''''∠=∠+∠=︒-∠-∠-∠=∠=∠， 故B '，C '，D ，P 四点共圆．由题设，B C DP ''的圆心为O ，连DO ，PO ，则2DOP DB P '∠=∠． 由于A ，B '，B ，D 四点共圆且以N 为其圆心，则知NB ND '=． 于是，有2DNP DB P '∠=∠，DOP DNP ∴∠=∠，D ∴，O ，P ，N 四点共圆．O ∴在DPN 上，即O 在ABC △的九点圆上，故命题获证． 2．注意题中九点圆的隐含形式例6如图77-，锐角ABC △中，角A 的等分线与三角形的外接圆交于另一点1A ，点1B ，1C 与此类似．直线1AA 与B ，C 两角的外角等分线交于0A ，点0B ，0C 与此类似．求证：A 0A 1IC 0B 1C 1B 0图7-7C AB（1）000A B C △的面积是六边形111AC BACB 面积的二倍；（2）000A B C △的面积至少是ABC △面积的四倍． （IMO 30-试题）证明（1）令ABC △的内心为I 000()I AA BB CC =∩∩．则I 又是000A B C △的垂心（内、外角平分线互相垂直）．显然，ABC △的外接圆是000A B C △的九点圆，即知1A ，1B ，1C 分别为0A I ，0B I ，0C I 的中点，于是得012A BI A BI S S =△△，012A CI A CI S S =△， 从而012A BIC A BIC S S =四边形四边形．同理，012B CIA B CIA S S =四边形四边形，012C AIB C AIB S S =四边形四边形， 故0001112A B C AC BA CB S S =六边形．（2）由（1），有()1110002=2A BC B CA C ABA B C ABCABCS S S S S S +++△△△△△△故只要证1111A BC B CA C ABABCS S S k S ++=△△△△≥．记2BAC α∠=，2ABC β∠=， 2BCA γ∠=，则 ()12111sin 1802sin sin sin 2sin 21sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 22A BC ABCA B AC S S AB AC αααααγβαβγα⋅⋅︒-⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅△△ 同理，12sin sin 2sin 2B CA ABCS S βαγ=⋅△△，1sin sin 2sin 2C AB ABC S S γαβ2=⋅△△． 于是，2222sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2k αβγβγαγαβ=++⋅⋅⋅()233cos cos cos 4αβγ-⋅⋅≥ 223cos cos cos 3cos 14343αβγαβγ--++++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥． 例7如图78-，123A A A △是一非等腰三角形，它的边长分别为以1a ，2a ，3a ，其中i a 是i A 的对边（123i =，，），i M 是边i a 的中点，123A A A △的内切圆I 切边i a 于i T 点，i S 是i T 关于i A ∠角平分线的对称点(123)i =，，．求证：11M S ，22M S ，33M S 三线共点．（IMO 23-试题）311图7-8证明由题设，知1221M M A A ∥，下面证1121S S A A ∥， 由1T 和1S ，2T 和3T 分别关于直线1A I 对称，有1231T T T S =． 同理，1232T T T S =．故有3132T S T S =，即3T 是等腰312T S S △的顶点，有312T I S S ⊥，从而1221S S A A ∥． 同理，2332S S A A ∥，3113S S A A ∥．又1221M M A A ∥，2332M M A A ∥，3113M M A A ∥，于是123M M M △和123S S S △的对应边两两平行，故这两个三角形或全等或位似．由于123S S S △内接于ABC △的内切圆，而123M M M △内接于ABC △的九点圆，且123A A A △不为正三角形，故其内切圆与九点圆不重合，所以123S S S △与123M M M △位似，这就证明了11M S ，22M S ，32M S 共点（于位似中心）．例8过锐角ABC △的顶点A ，B ，C 的三条高线分别交其对边于点D ，E ，F ，过点D 平行于EF 的直线分别交AC ，AB 于点Q 和R ，EF 交BC 于点P ．证明：PQR △的外接圆过BC 的中点．（IMO 38-预选题）证明由题设，点P 的存在意味着AB AC ≠．由对称性，可设AB AC >，则P 在射线BC 上，如图79-．PQLR DCFA EB图7-9取BC 的中点L ，我们证明Q ，P ，R ，L 四点共圆⇔DR DQ DP DL ⋅=⋅①因BE AC ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，则B ，C ，E ，F 共圆，于是知CEP ABC ∠=∠． 又EF QR ∥，有CEP CQD ∠=∠，则知B ，Q ，C ，R 四点共圆，从而DR DQ DB DC ⋅=⋅ 设BL CL a ==，CP c =，DL b =，则证①式等价于证明DB DC DP DL ⋅=⋅，即()()()a b a b a c b b +⋅-=+-⋅，亦即()2a b a c =+．由九点圆定理，知D ，E ，F ，L 四点共圆，有PE PF PD PL ⋅=⋅．注意到B ，C ，E ，F 四点共圆，有PE PF PC PB ⋅=⋅，故得PC PB PD PL ⋅=⋅，即 ()()()2c a c a c b b a +=+-⋅+，亦即()2a b a c =+．故有DB DC DP DL ⋅=⋅，亦有DR DQ DP DL ⋅=⋅．亦即Q ，P ，R ，L 四点共圆，即PQR △的外接圆过BC 的中点．注 由例8可演变得如下第8届台湾数学奥林匹克试题：己知过锐角ABC △的顶点A ，B ，C 的垂线分别交对边于D ，E ，F ，AB AC >，直线EF 交直线BC 于P ，过点D 且平行于EF 的直线分别交直线AC ，AB 于Q ，R ，N 是BC 上的一点，且180NQP NRP ∠+∠<︒．求证：BN CN >．事实上，同例8，取BC 的中点L ，关键是证明Q ，P ，R ，L 四点共圆，又等价地证明DR DQ DP DL ⋅=⋅．而当Q ，P ，R ，L 四点共圆时，180LQP LRP ∠+∠=︒，参见图79-，若180NQP NRP ∠+∠<︒，则N 点在QPRL 的内部，又因N 是BC 上的一点，则N 在点L 的右侧，于是BN CN >． 【模拟实战】习题A1．试证：圆的直径两端点对ABC △的西姆松线垂直相交，且相交于此三角形的九点圆上． 2．设G 为ABC △的重心，P 为ABC △外接圆上任一点，连PG 并延长至点Q ，使12PQ PG =．求证：点Q 在ABC △的九点圆上．3．试证：ABC △的九点圆与它的内切圆及三个旁切圆相切．4．给定非退化的ABC △，设外心为O ，垂心为H ，外接圆的半径为R ．求证：3OH R ．（1994年亚太地区奥林匹克题）5．试证：三角形的三个切圆（内切或旁切）的圆心构成一个三角形，此新三角形的外心对于已知三角形的外心为另外一个切圆圆心的对称点．习题B 1．设A I ，B I ，C I 分别为ABC △的切BC ，CA ，AB 边的旁切圆的圆心．试证：（1）A B C I I I △的九点圆为ABC △的外接圆；（2）过点A I ，B I ，C I 分别作BC ，CA ，AB 边的垂线，则这三条垂线共点． 2．试证：圆周上任意四点，过其中任意三点作三角形，则这四个三角形的九点圆的圆心共圆．。
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九点圆与欧拉线
【九点圆（欧拉圆或费尔巴赫圆）】三角形中，三边中点、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上。
九点圆具有许多有趣的性质,例如:
1、三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
2、九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3、三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．【欧拉线】
定义：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
欧拉线定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。
欧拉线的性质：
1、在任意三角形中，以上四点共线。
锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和
2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
3、欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2－2Rr．。