高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习及答案
27 ，圆柱的用料 r2
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L ′ < 0;
当 8 − 4√2 < x < 4√2 时，
L ′ > 0.
所以当 x = 8 − 4√2 时，L 取得最小值，此时
x = 8 − 4√2 ≈ 2.343 m，y = 2.828 m.
即当 x 为 2.343 m ，y 为 2.828 m 时，用料最省． 如图，有一块半椭圆形的钢板，其长半轴长为 2r ，短半轴长为 r ，计划将此钢板切割成等腰梯 形的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上．记 CD = 2x，梯形面积为
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例
一、学习任务 1. 能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等优化问题． 2. 体会导数在解决实际问题中的作用．
二、知识清单
利用导数处理生活中的优化问 题
Байду номын сангаас
三、知识讲解
1.利用导数处理生活中的优化问题 描述： 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 例题： 货车欲以 x km/h 的速度行驶到 130 km 远的某地．按照交通法则，车辆行驶速度的允许范围 是 50 km ∼ 100 km．假设汽油的价格为 2 元/L ，而汽车耗油的速度是 (2 + 机的工资是 14元/h ，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？
3 16 √2 x = ( + √2 )x + ． 2 2 x 3 16 L ′ = + √2 − 2 ， 2 x L = 2x + 2y + 2 ⋅
令 L ′ = 0 ，即
3 16 + √2 − = 0, 2 x2
解得
x1 = 8 − 4√2 ，x2 = 4√2 − 8（舍去），
当 0 < x < 8 − 4√2 时，
S．
（1）求面积 S 以 x 为自变量的函数式，并写出定义域； （2）求面积 S 的最大值．
解：（1）依题意，以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O − xy（如图），
则点 C 的横坐标为 x ．点 C 的纵坐标 y 满足方程
解得 y = 2√r2 − x 2 (0 < x < r) ．
− − − − − −
k ，则 6 = k ⋅ 103 ，求得
y=−
A．13 万件
答案： C
1 3 x + 81x − 234 ，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 ( 3
B．11 万件 C．9 万件
)
D．7 万件
3. 从边长为 10cm × 16cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容 积的最大值为 ( A．12cm3
答案： C
)
B．72cm3 C．144cm3 D．160cm3
4. 做一个无盖的圆柱形木桶，若需使其体积是 27π ，且用料最省，则圆柱的底面半径为
答案： 解析：
．
3
设圆柱的高为 h，半径为 r ，则 πr2 h = 27π ，即 h =
S (r) = πr2 + 2πrh = π (r2 +
54 )，求导，运用导数求解即可． r
y2 x2 + = 1(y ⩾ 0), 4r2 r2 − − − − − − − − − − − − 1 (2x + 2r) ⋅ 2√r2 − x2 = 2(x + r) ⋅ √r2 − x2 , 2
S=
其定义域为 {x | 0 < x < r}． （2）记
f (x) = 4(x + r)2 (r2 − x2 )，0 < x < r,
所以 f (
四、课后作业
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1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为 10km/h 时，燃料费是每小时
6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元．要使航行每千米的总费用和最小，则此轮船的速度为 ( )
B．20km/h C．15km/h D．30km/h A．25km/h
x2 ) L/h ，司 360
130 130 x2 h ，耗油量为 ⋅ (2 + ) L ，耗油费用为 x x 360 130 130 x2 元． 2⋅ ⋅ (2 + ) 元，司机的工资为 14 ⋅ x 360 x
解：汽车行驶的时间为 故这次行车的总费用为
y =2⋅
所以
130 130 x 18 x2 ⋅ (2 + ) + 14 ⋅ = 130( + )元， x 360 x 180 x 1 18 − ). 180 x2
某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x、y （单位：m ）的矩形，上部 是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为 8 m 2 ，问 x、y 分别为多少时用料最省（精确到 0.001 m）？
解：依题意，有
xy +
所以
1 x x ⋅ = 8， 2 2
y=
于是框架用料总长度为
8 x − (0 < x < 4√2 )， x 4
答案： B 解析： 因为轮船航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，可设比例系数为
3 3 3 1 ，所以航行每千米的总费用为 y = (96 + v ) ⋅ ，然后利用导数可求得当 y 取 500 500 v 最小值时 v = 20 ． k=
2. 已知某生产厂家的年利润 y ， （单位：万元）与年产量 x （单位：万件）的函数关系式为
则 f ′ (x) = 8(x + r)2 (r − 2x)．令
f ′ (x) = 0，
得 x=
1 r 时， r．因为当 0 < x < 2 2 f ′ (x) > 0；
当
r < x < r 时， 2 f ′ (x) < 0，
r r 时，S 也取得最大值，最大值为 ) 是 f (x) 的最大值．因为，当 x = 2 2 − − − − 3√3 2 r− 3√3 2 r ，即梯形面积 S 的最大值为 r ． √f ( ) = 2 2 2
y ′ = 130(
令
y ′ = 0,
得
−或x = −18√− −（舍去）. x = 18√− 10 10 − ≈ 57 km/h x = 18√−
− ≈ 57 km/h 时，y 取得最小值．故最经济的车速约为 因为 50 ⩽ x ⩽ 100，所以当 x = 18√− 10 57 km/h，最低费用为 130 × ( − 18√− 18 10 + − ) ≈ 82.2 元． 180 18√− 10
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3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检 验 f′(x) ＝ 0 的 根 的 两 侧 f′(x) 的 符 号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． x (3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)． 切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3： 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx， 在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝ 时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
高中数学 第一章 导数及其应用章末归纳总结课件 新人教A版选修2-2
• [例4] 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0 处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x 的取值范围为(1,3)．
• (1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；
• (2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x 的最大值．
• [解析] (1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c • ＝3a(x－1)(x－3)(a<0)， • ∴在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)是减函数， • 在(1,3)上f′(x)>0，f(x)是增函数， • 在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是减函数． • 因此f(x)在x0＝1处取极小值－4，在x＝3处
• 特别要注意写单调区间时，区间之间用 “和”或“，”隔开，绝对不能用“∪” 连接．
• 2．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)的导数 f′(x)>0总成立，则该函数在(a，b)上单调递 增；f′(x)<0总成立，则该函数在(a，b)上单 调递减，求函数的单调区间转化为解不等 式f′(x)>0或f′(x)<0.
[解析] (1)a＝－1 时，f(x)＝lnx＋x＋2x－1，x∈(0，
＋∞)．
f′(x)＝x2＋xx2－2，x∈(0，＋∞)，
因此 f′(2)＝1，
即曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为 1.
又 f(2)＝ln2＋2， 所以 y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为 y－(ln2＋ 2)＝x－2，即 x－y＋ln2＝0. (2)因为 f(x)＝lnx－ax＋1－x a－1， 所以 f′(x)＝1x－a＋a－x2 1＝－ax2－xx＋2 1－a x∈(0， ＋∞)．
函数 y＝f(x)的导函数 f′(x)，就是当 Δx→0 时，函数的
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5．利用导数研究函数的极值要注意 (1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言 的． (2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能 没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函 数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小． (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零 的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点 为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异 号．
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在 x∈[1,2)上，g′(x)<0；在 x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使 g(x)＝0 在[1,3]
g1≥0， 上恰有两个相异的实根，则g2<0，
g3≥0，
解得－2<c≤0.
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专题四 导数与函数、不等式 利用导数知识解决不等式问题是我们常见的一个热点问题，
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②当 Δ＝0 即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2，有 f′(x)＝0，对其余的 x ＞0 都有 f′(x)＞0.此时 f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数． ③当 Δ＞0 即 a＞2 2时，方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 x1＝a－ 2a2－8，x2＝a＋ 2a2－8，0＜x1＜x2. 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
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x 0 (0,2) 2 (2，t)
t
f′(x) 0 － 0 ＋
f(x) 2
－2
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0. 所以f(x)max＝f(0)＝2. (3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c， g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
人教a版数学【选修2-2】第1章《导数及其应用》归纳总结课件
3 1 ∴x1＝2是极小值点，x2＝2是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号， 结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，∴Δ＝ 4a2－4a＝4a(a－1)≤0， ∵a＞0，知0＜a≤1. ∴a的取值范围为(0,1]．
1 2 5．(2014· 成都质量检测)已知函数f(x)＝－2x ＋2x－aex. (1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．
故函数g(x)在x＝3处取得极小值，亦即最小值， 1 1 即g(x)min＝－e3，所以a≤－e3， 1 即实数a的取值范围是(－∞，－e3]．
典例探究学案
1 2 [解析] (1)当a＝1时，f(x)＝－2x ＋2x－ex， 1 2 3 则f(1)＝－2×1 ＋2×1－e＝2－e， f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e， 3 故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－( 2 －e)＝(1－e)(x 1 －1)，即y＝(1－e)x＋2.
ex· 1＋ax2－2ax [解析] 对f(x)求导得f′(x)＝ .① 1＋ax22 4 (1)当a＝3时，令f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0， 3 1 解得x1＝2，x2＝2.
结合①，可知 x f ′( x ) f ( x) 1 (－∞，2) ＋ 1 2 0 极大值 1 3 (2，2) － 3 2 0 极小值 3 (2，＋∞) ＋
1.(2014· 黄山模拟)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝ ( ) A．e2 ln2 C． 2 B．e D．ln2
[答案] B [解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1， 由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.7知识点总结含同步练习及答案
若 n ∈ N，n ⩾ 2 ，求证： 1 + 1 + ⋯ + 1 < ln n < 1 + 1 + 1 + ⋯ +
3 n 2 3 证明：构造函数 y = 1 ，因为 (ln x) ′ = 1 ，作 y = 1 的图象， x x x 2
由图知，在区间 [n − 1, n](n ≥ 2) 上曲边梯形的面积大小在以区间长度 1 为一边长，以左右端点对应的函数值为 另一边长的两个矩形面积之间，即
由累加法可得 1 + 1 + ⋯ + 1 < ln n < 1 + 1 + 1 + ⋯ +
2 3 n 2 3
1 成立． n−1
四、课后作业
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1. 如图中阴影部分的面积是 (
)．
A．2√3
答案： C
B．9 − 2√3
C．
32 3
D．
35 3
n 1 1 1 <∫ dx < ， n n−1 n−1 x
而
∫
n n−1
1 dx = ln x| n n−1 = ln n − ln(n − 1)， x
故不等式
1 1 < ln n − ln(n − 1) < n n−1
成立，从而当 n ⩾ 2 时，
1 < ln 2 − ln 1 < 1, 2 1 1 < ln 3 − ln 2 < , 3 2 ⋯ 1 1 < ln n − ln(n − 1) < , n n−1
1 1 x, g (x) = cos x ；② f (x) = x + 1, g (x) = x − 1 ；③ 2 2 f (x) = x, g (x) = x2 ．其中为区间 [−1, 1] 的正交函数的组数是 ( )
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.4
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： y′＝－x2＋81， ∴当 x>9 时，y′<0，当 x∈(0,9)时，y′>0， ∴函数 y＝－13x3＋81x－234 在(0,9)上递增，在(9，＋∞)上 递减． 故当 x＝9 时，y 有最大值．
答案： C
数学 选修2-2
C(x)＝
k 3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8
万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
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第一章 导数及其应用
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1．4 生活中的优化问题举例
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解析： (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消 耗费用为C(x)＝3x＋k 5，
再由C(0)＝8，得k＝40， 因此C(x)＝3x4＋0 5. 而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×3x4＋0 5＋6x ＝38x＋005＋6x(0≤x≤10)．
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.5知识点总结含同步练习及答案
A．②③④
答案： C
3. 求由抛物线 y = 2x 2 与直线 x = 0，x = t (t > 0)，y = 0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间 [0, t] 等分成 n 个 小区间，则第 i − 1 个区间为 (
) i i+1 , ] n n t (i − 2) t (i − 1) D．[ , ] n n
a c
b d
c b
f (x) dx + ∫
d c
f (x) dx
答案： D
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1 0
n n i i 1 1 n 1 n(n + 1) n+1 xdx ≈ S n = ∑ f ( ) Δx = ∑ ⋅ = = ． ∑i = 2 ⋅ 2 n n n 2 2n n i=1 n i=1 i=1
③取极限：
∫
利用定积分的几何意义求：
1 0
xdx = lim S n = lim
n→∞
n→∞
y = 0 和曲线 y = f (x) 所围成的曲边梯形（如下图）的面积．这就是定积分 ∫ ab f (x)dx 的几何意义．
由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质： （1）∫ ab kf (x)dx = k ∫ ab f (x)dx（k 为常数）； （2）∫ ab [f 1 (x) ± f 2 (x)]dx = ∫ ab f 1 (x)dx ± ∫ ab f 2 (x)dx； 微积分基本定理 一般地，如果 f (x) 是区间 [a, b] 上的连续函数，并且 F ′ (x) = f (x)，那么
Δx i =
于是
1 i−1 i i−1 ，在 [xi−1 , xi ] = [1 + （i = 1 ，2 ，3 ，⋯，n）， , 1 + ] 上取 ξi = xi−1 = 1 + n n n n f (ξi ) = f (xi−1 ) = 1 + 1 + i−1 i−1 =2+ ， n n
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结高中数学人教版选修2-2导数及其应用学问点总结数学选修2-2导数及其应用学问点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的转变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxex xylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinx dxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特殊地：Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特殊地："2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特殊地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数f"(x)②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在a,b 上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
2014年人教A版选修2-2课件 第一章小结(导数及其应用)
本章内容
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 变化率与导数 导数的计算 导数在研究函数中的应用 生活中的优化问题举例 定积分的概念 微积分基本定理 定积分的简单应用 第一章 小结
知识要点 例题选讲
复习参考题 自我检测题
1. 平均变化率与瞬时变化率 (1) 平均变化率: f f ( x2 ) f ( x1 ) | BC | . x x2 x1 | AB | (2) 瞬时变化率:
4. 基本初等函数的导数公式 (1) 若 f(x)c, 则 f (x)0; (2) 若 f(x)xn (nQ*), 则 f (x)nxn1; (3) 若 f(x)sin x, 则 f (x)cos x; (4) 若 f(x)cos x, 则 f (x) sin x; (5) 若 f(x)ax, 则 f (x)ax lna; (6) 若 f(x)ex, 则 f (x)ex; (7) 若 f(x)logax, 则 f (x) 1 ; x ln a (8) 若 f(x)lnx, 则 f (x) 1 . x
b a f ( x)dx F (b) F (a).
为了方便, 常把 F(b)F(a) 记成 F ( x)|b a, 即
b b a f ( x)dx F ( x)|a F (b) F (a).
(牛顿-莱布尼兹公式)
14. 定积分的性质
(1)