机械振动学习题解答(一)

解：对物体受力分析
mg N m&x&
N 物体
要使物体保持与台面接触，必须 台面 N ≥ 0 ，即
mg m&x&
mg &x&
所以 又由于 所以
&x&max g
&x&max n2 A A g / n2
1－7 计算两简谐运动 x1 X cost 和 x2 X cos t
之和。其中 ε << ω。如发生拍的现象，求其振幅和拍 频。
3－1 如图所示，设杆a和杆b为质量和转动惯矩可忽 略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。 求质量m上、下振动的固有频率。
解：在a点施加竖直作用力Fa，使其产生位移
xa，并设此时k1变形x1，k2变形x2。由杆a受到
的力矩平衡，知 k1x1 k2x2。所以a点等效刚度
ka
Fa xa
k1x1 k2 x2
2
由动量矩定理J&& Ti
得
mL2
&&
F
L
i
cos
mg
L
sin
3
2
2
又由于 sin , cos 1
上式可化简为
m mg k 0
3 2L 2
θF mg
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0。当 杆顺时针偏转θ角时
势能 U 2 1 k L sin 2 mg L 1 cos
2 2
解：(1) cc 2
mk ,
c
cc 2
70
0.1
17.5 7000
(2)
d
1 2n
1 0.01
7000 19.9(rad / s) 17.5
(3) 2 0.631
1 2
(4) xn e 1.879
xn1
5－4 带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量m = 5 kg，等效刚度k = 10 kN/m，其任意两相邻振幅比为1： 0.98，求：(1)系统的有阻尼固有频率；(2)对数衰减 率；(3)阻尼系数 c；(4) 阻尼比ζ．
《机械振动学》习题解答（一）
2013-04-19
1－4 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s， 求其振幅、周期和最大加速度。
解：简谐振动的位移 x(t) Asin(nt )
速度 x&(t) n Acos(nt ) 速度幅值 x&max n A
加速度 &x&(t) n2 Asin(nt ) 加速度幅值 &x&max n2 A
4
1 4k1
1 4k2
1 k3
1 k4
于是质量m的固有频率 n kb / m
3－3 如图所示，一长度为L、质量为m的均匀刚性杆 铰接在O点，并以弹簧和粘性阻尼器支承。求：(1) 系统作微振动的微分方程；(2) 系统的无阻尼固有频 率；(3) 系统的临界阻尼。 解：(1)（力法）
化简得
(2)
解：当悬臂梁在自由端受到弯曲力F时，自由端的
位移为 x FL3 ，所以悬臂梁自由端的等效刚度为
3EI
kb
F
/
x
F
/
FL3 3EI
3EI L3
而系统的等效刚度相当于悬臂
梁的等效刚度与弹簧k串联
ke
kkb k kb
3EIk 3EI kL3
系统的等效质量 me m
计算系统等效刚度、等效质量的方法
3）由牛顿第二定律 Fi m&x&（或动量矩定理Ti J&&）
i
i
列方程。
能量法
1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移x（或θ）；
2）写出系统势能U（包括重力势能mgh和弹簧弹性势
能3）12由kx2能）量，守动恒能原V=理12 md&x&（2(U或V12JP&&)2） 0，列耗方散程能。P：
dP dt
动能
V
1 2
Mr 2 2
x2 r
1 2
mx2
由能量守恒原理 d (U V ) 0
dt
化简得
M mx kx 0 2
M, r
m
k
2－6 图示系统垂直放置，L2杆处于铅垂位置时系统 静平衡，求系统作微振动的微分方程。（刚性杆质 量忽略）
解：（力法）静平衡时（假设此时弹簧被压缩，即m3 的力矩大于m1的力矩）
m3gL3 L4 kL3 L4 m1gL1
假设L2杆顺时针旋转θ角
由动量矩定理 J T
m1L12 m2L22 m3L3 L4 2 m1gL1 m2gL2 m3gL3 L4 kL3 L4 kL3 L4 2 cL23
化简得m1L12
m2 L22
m3
L3
L4
2
&&
cL23& m2gL2
m2
k
且系统位于平衡位置处的弹簧伸长量
m1 m2 g / k
所以系统的初始位移，即m1单独悬挂时的弹簧
m1
伸长量减去平衡位置处弹簧伸长量
c1
x0
m2 g k
而系统的初始速度可根据两物体接触瞬间所满足的动量定理得到
m2 2gh m1 m2 x&0
c2
x0
m2
2gh
m1 m2 k
5－2 一振动系统具有下列参数：质量m = 17.5kg， 弹簧刚度k = 70.0 N/cm，粘性阻尼系数c = 0.70 Ns/cm。求：(1)阻尼比ζ；(2)有阻尼固有频率；(3)对 数衰减率；(4)任意二相临振幅比值。
由能量守恒原理 d U V P 0
dt
化简得
m1L12
m2L22
m3 L3
L4
2
&&
cL23&
m2
gL2
k L3
L4 2
0
注：阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功，即
x
P 0 cx&dx
所以 dP dP dx cx& x& cx&2 dt dx dt
2－7 求图示系统的振动微分方程。（刚性杆质量忽 略）
k
L3
L4 2
0
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0
势能 动能
U V
1 2 1 2
k[(L3 L4 ) ]2 m2gL2
m1(L1&)2
1 2
m2
(L2&)2
(1 1
2
cos )
m3[(L3
m1和m3参与静平衡， 重力势能抵消了弹 簧静变形的势能。 L4 )&]2
耗散能
d dt
P
cL232
-10
10cos(2 t)
0.5s（不是1s）
0
0.5
1
1.5
2
补充 若两简谐运动振幅和频率都不同：
x x1 x2 X1 cost X 2 cos( )t
X1 cost X 2 cost X 2 cost X 2 cos( )t
X1
X
2
cost
2
X2
cos
2
t
cos t
0
2－11 求图所示系统对于广义坐标 x 的等效刚度。
解：对小车m沿x方向施加作用力F，使小车产生位移 x。则弹簧k1伸长 x cos ，弹簧k2伸长ax / b。小车受力
其中
F F1 cos F2
F
F1
F2
F1 k1x cos
F2b F2a k2ax / b a F2 k2xa2 / b2
x&
于是系统动能：
V
1 2
J&c2
1 2
mx&c2
1 2
mL2 12
x&2 nL
1 2
m
1 2n 2n
2
x&
绕质心转动 随质心平动
而等效系统的动能：Ve
1 2
me x&2
由Ve=V，得
me
m
1 3n2
1
1 n
2－13 如图所示，悬臂梁长度为L，弯曲刚度为EI， 质量不计。求系统的等效刚度和等效质量。
(3)根据临界阻尼时的条件
得到
注意：临界阻尼是指阻尼元件c的 临界值，不是系统阻尼项的临界值。
3－5 如图所示，质量为 m1的重物悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置，质量为 m2的重物从高 度为 h 处自由降落到m1 上而无弹跳，求系统的运动 规律。
解：系统的运动规律为简谐振动：
k
m1 m2
X1
X
2
2X2
cos
2
t
cos
t
可变振幅
A%(t)
X1
X2
2X
2
cos
2
t
可变振幅
拍振的振幅为
A%max
A%min
2X2（假设X2较小），拍频为
f
4
例：当=80， =4，X1 8，X2 5时，
x1 x2 3 10cos(2 t)cos(80 t)
13
0
振幅为13
拍频为1Hz
3 10cos(2 t)
解：（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0
圆盘转动 圆盘平动 质量块平动
动能
势能
U
1 2
k1
r2 a
b
2
1 2
k2
r2
2
m1参与静平衡，重力势能抵消了弹簧k1和
k2静变形的势能。
由能量守恒原理
d (U V ) 0 dt
化简得
J Mr22 m1r12
&&
k1
a2 b2
r22
k2r22
由题意，fn 10 Hz, x&max 4.57 m/s
所以，圆频率 n 2 fn 20
振幅 A x&max 0.072734 m
n
周期 T 1/ fn 0.1 s
最大加速度
&x&max n2 A n x&max 287.14 m/s2
1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台 面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可 有多大？
所以等效刚度
F2
ke F / x k1 cos2 k2a2 / b2
F2
2－12 一质量为 m、长度为 L 的均匀刚性杆，在距 左端O为 nL 处设一支承点，如图所示。求杆对O点 的等效质量。
解：设弹簧k以速度x&发生变形，则杆的质心的运动
速度为
x&c
L 2
nL nL
x& 1 2n 2n
-13
0
0.5
1
1.5
2
2－2 如图所示，长度为 L、质量为 m 的均质刚性杆 由两根刚度为 k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的 微分方程。
解：（力法）假设杆顺时针偏转了θ角， 则杆受到重力 mg 和弹簧弹力 F 产生的 力矩（均为逆时针方向）,其中F为两边 弹簧弹力之和 F 2k L sin
x1 x2 / 2
k2 x2
2k2 x2
/ k1 x2 / 2
4
1 k1
1 k2
xa x1 x2 / 2
ka与k3串联后的等效刚度为 ka3 1
1 ka
1 k3
1
1 4k1
1 4k2
1 k3
b点的等效刚度计算与a点类似：
kb 4
1 ka3
1 k4
2
动能 V 1 J2 1 mL2 2
2
23
由能量守恒原理 d (U V ) 0
θ
dt
kL2 mg L sin mL2 0
2
2
3
源自文库化简得 m mg k 0
3 2L 2
列系统微分方程的一般步骤
力法
1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移x（或θ）；
2）分析系统受到的所有力 Fi（或力矩Ti）；
1）计算等效刚度的原则是利用等效前后系统弹性势 能不变。但通常只需根据刚度的定义即可算出。即： 在质量上施加外力F，使其发生位移x，则ke=F/x。
2）计算等效质量的原则是利用等效前后系统动能不
变。即：令弹簧以速度x&发生变形，
3）计算系统等效刚度时，也可“分部”计算，即： 把系统分成几个部分，计算每部分的等效刚度，再把 各个刚度串联或并联起来。
解：
x1
x2
2X
cos(
2
t) cos(2
2
t)
当ε<< ω时，
x1 x2
2X cos( t) cost
2
可变振幅
拍振的振幅为2X，拍频为 f
（不是
）课本p.6
2
4
例：当=80， =4，X 5时，x1 x2 10 cos(2 t) cos(80 t)
10
振幅为10
拍频为2Hz
0
拍的周期为
考虑 若假设弹簧相对于平衡位置缩短x，会如何？
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0， 当弹簧相对于平衡位置伸长x时
势能
U 1 kx 2 1 k2 mgx
2
2
1 kx2 kx mgx 1 kx2
2
2
注意：重物和弹簧满足 静平衡关系 mg k
可见，计算势能时，若系统静平衡时已有弹簧 发生静变形，则参与静平衡的质量的重力势能 x 恰好与弹簧静变形的弹性势能抵消，可以不写。
对数衰减率：时间-位移曲线上两相邻极大值之比再取对数。
解：(2)由
xn e 1: 0.98 1.0204
xn1
得 ln1.0204 0.0202
(4)由 2
1 2
得
2 4 2 2
0.0032
(1)
d
1 2n
1 0.0032
10000 44.7(rad / s) 5
(3) c cc 2 km 1.43N s / m
cx&2
dt
2－5 求图示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。
解：（力法）静平衡时有：
mg k （Δ为弹簧的伸长量）
M, r
F
F’
假设弹簧相对于平衡位置伸长x，则圆
盘沿逆时针方向转过x/r角
F
质量m m&x& mg F
k x
圆盘M
Mr2 &x& Fr k(x )r
mg
2r
联立得
M 2
mx kx 0