二次函数章末整合提升
所以直线 AC 的表达式为 y＝－x－3.
当 x＝－1 时， y＝－(－1)－3＝－2，
所以点 P 的坐标为(－1，－2)．
(3)① 当点 M 运动到抛物线的顶点时，△AMB 的面积最大． 由抛物线表达式 y＝(x＋1)2－4 可知，抛物线的顶点坐标为 (－1，－4)．∴点 M 的坐标为(－1，－4)．
当 b2－4ac<0 时，方程没有实数根，抛物线与 x 轴没有交点．
【例 2】 已知函数 y＝mx2－6x＋1(m 是常数)． (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一 个定点； (2)若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值． 思路点拨：(1)根据解析式可知，当 x＝0 时，函数值与 m
二次函数的综合应用
【例 3】 已知关于 x 的二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图 象经过点 C(0,1)，且与 x 轴交于不同的两点 A，B，点 A 的坐标 是(1,0) (1)求 c 的值；
(2)求 a 的取值范围；
(3)该二次函数的图象与直线 y＝1 交于 C，D 两点，设 A，
B，C，D 四点构成的四边形的对角线相交于点 P，记△PCD 的
1 ∴Δ＝1－4a＝0.∴a＝4. 1 ∴当 a＝0 或 a＝4时，函数图象与 x 轴恰有一个交点．
4a－1 (2)依题意，有 4a ＞0. 1 当 4a＞0,4a－1＞0，解得 a＞4； 当 4a＜0,4a－1＜0，解得 a＜0. 1 ∴当 a＞4或 a＜0 时，抛物线顶点始终在 x 轴上方．
热点三
(3)证明：如图 22-2，∵ 0<a<1，
图 22-2
－a－1 a＋1 ∴对称轴为 x＝－ 2a ＝ 2a >1. ∴
a＋1 1－a AB＝2 ＝ a . － 1 2a
把 y＝1 代入 y＝ax2－(a＋1)x＋1，得
ax2－(a＋1)x＝0，解得
1＋a ∴CD＝ . a
1＋a x1＝0，x2＝ . a
∴S1－S2＝S△PCD－S△PAB＝S△ACD－S△CAB
1 1 ＝2×CD×OC－2×AB×OC 1 1＋a 1 1－a ＝2× 2 ×1－2× a ×1＝1.
∴S1－S2 为常数，这个常数为 1.
【跟踪训练】 6．如图 22-3，抛物线 y＝x2＋bx＋c 的顶 点为 D(－1，－4)，与 y 轴交于点 C(0，－3)，
与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)．
(1)求抛物线的解析式； (2)连接 AC，CD，AD，试证明△ACD 为 直角三角形； 图 22-3
(3)若点 E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，
使以 A，B，E，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求 出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图 22-1，在 Rt△OAB 中，∠OAB＝90°，O 为坐标原 点，边 OA 在 x 轴上，OA＝AB＝1 个单位长度，把 Rt△OAB 沿
x 轴正方向平移 1 个单位长度后得AA1B1.
(1)求以 A 为顶点，且经过点 B1 的抛物线的解析式； (2)若(1)中的抛物线与 OB 交于点 C，与 y 轴交于点 D，求
【跟踪训练】 1．二次函数 y＝x2＋2x－5 有( D ) A．最大值－5 C．最大值－6 B．最小值－5 D．最小值－6
2．抛物线 y＝(x＋2)2－3 可以由抛物线 y＝x2 平移得到，则 下列平移过程正确的是( B ) A．先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C．先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D．先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位
移得到．平移的规律是：“h 左加右减，k 上加下减”．二次函
数的一般形式 y＝ax2＋bx＋c 可以转化为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 加以分析．
【例 1】已知二次函数 y＝2(x－1)2＋m 的图象上有三个点， 坐标分别为 A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)，则y1，y2，y3的大 ) 小关系是( A．y1>y2>y3 C．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 D．y3>y2>y1
方法二： 如图D6，过点 M 作 MH⊥x 轴于点H，交直线AC 于点N， 连接 AM，MC，CB. 点 M 在抛物线上，且在第三象限，设点 M 的坐标为(x， x2＋2x－3)，则点 N 的坐标为(x，－x－3)． 则|MN|＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x. 则 S四边形AMCB＝S△ABC＋S△AMC
7．如图 22-4，抛物线 y＝(x＋1)2 ＋k 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C(0，－3)． (1)求抛物线的对称轴及 k 的值； (2)抛物线的对称轴上存在一点 P，使得 PA ＋PC 的值最小，求此时点 P 的坐标； (3)点 M 是抛物线上一动点，且在第三象限． 图 22-4
b －2＝－1， 解：(1)由题意，得 2 4 c － b ＝－4. 4
则抛物线解析式为＝x2＋2x－3.
解得 b＝2，c＝－3，
(2)结合图形，抛物线 y＝x2＋2x－3，与 x 轴的交点为(1,0)， (－3,0)，
由题意， 点 A(－3,0)， ∴AC＝ 9＋9＝3 2，AD＝ 4＋16＝2 5，
解析：∵二次函数的解析式为 y＝2(x－1)2＋m， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为直线 x＝1. ∵点 A(2，y1)，B(3，y2)，C(－4，y3)为二次函数 y＝2(x－1)2 ＋m 的图象上三个点，且三点横坐标距离对称轴 x＝1 的距离远 近顺序为 C(－4，y3)，B(3，y2)，A(2，y1)， ∴三点纵坐标的大小关系为 y3>y2>y1. 答案：D
图 D6
由(1)可知，抛物线的表达式为 y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3.
令 y＝0，则(x＋1)2－4＝0，解得 x1＝－3，x2＝1.
则点 A，B 的坐标分别是 A(－3,0)、B(1,0)． 设直线 AC 的表达式为 y＝kx＋b，则
－3k＋b＝0， b＝－3. k＝－1， 解得 b＝－3.
值无关，故不论 m 为何值，函数 y＝mx,1)．
(2)应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与 x 轴有 一个交点；②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．
解：(1)当 x＝0 时，y＝1. 所以不论m 为何值，函数 y＝mx2－6x＋1 的图象都经过 y 轴上的一个定点(0,1)． (2)①当m＝0 时，函数 y＝－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点； ②当m≠0 时，函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点，则方程 mx2－6x＋1＝0 有两个相等的实数根，所以(－6)2 －4m＝0，解得 m＝9. 综上所述，若函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个 交点，则 m 的值为 0 或 9. 【跟踪训练】 3 个． 4．抛物线 y＝2x2－5x＋3 与坐标轴的交点共有_______
面积为 S1，△PAB的面积为S2，当0<a<1时，求证：S1－S2为 常数，并求出该常数．
(1)解：将点 C(0,1)代入 y＝ax2＋bx＋c，得 c＝1. (2)解：由(1)知：y＝ax2＋bx＋1，将点 A(1,0)代入， 得 a＋b＋1＝0，∴b＝－(a＋1)． ∴二次函数为 y＝ax2－(a＋1)x＋1. ∵二次函数为 y＝ax2－(a＋1)x＋1 的图象与 x 轴交于不同 的两点， ∴Δ>0.而Δ＝[－(a＋1)]2－4a＝a2＋2a＋1－4a＝a2－2a＋1 ＝(a－1)2， ∴实数 a 的取值范围是 a>0 且 a≠1.
章末整合提升
热点一
二次函数的图象与性质
二次函数的图象是抛物线，其性质主要体现在开口方向、 对称轴、顶点坐标、增减性、最值、对称性等方面，熟练掌握 这些性质是学好本章的前提和基础． 再者注意 y＝a(x－h)2＋k 的图象与函数 y＝ax2 的图象的关 系，它们形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平
点 C，D 的坐标．
图 22-1
解：(1)由题意，得点 A(1,0)，B1(2,1)． 设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2. 将 B1 坐标代入，得 a＝1.
所以抛物线的解析式为 y＝(x－1)2.
(2)因为点 B 坐标为(1,1)，所以直线 OB 的解析式为 y＝x.
将其代入 y＝(x－1) 中，得
1 △ AMB 的最大面积 S△ AMB＝2× (3＋1)× 4＝8.
②方法一： 如图D6，过点M 作MH⊥x 轴于点H，连接AM，MC，CB. 点 M 在抛物线上，且在第三象限，设点 M 的坐标为(x，
x2＋2x－3)，则
S 四边形 AMCB＝S△ AMH＋S 梯形 OHMC＋S△ OBC 1 1 1 2 2 ＝2(x＋3)(－x －2x＋3)＋2(3－x －2x＋3)(－x)＋2× 1× 3 3 2 9 ＝－2x －2x＋6 3 32 75 ＝－2x＋2 ＋ 8 . 3 75 当 x＝－2时，四边形 AMCB 的面积最大，最大面积为 8 . 3 3 3 15 2 2 当 x＝－2时，x ＋2x－3＝ －2 ＋2× －2 －3＝－ 4 . ∴ 当 四 边 形 AMCB 的 面 积 最 大 时 ， 点 M 的 坐 标 为 3 15 － ，－ . 4 2
①当 M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB
的最大面积及此时点 M 的坐标；
②当 M 点运动到何处时，四边形 AMCB 的面积最大？求出 四边形 AMCB 的最大面积及此时点 M 的坐标．
解：(1)抛物线 y＝(x＋1)2＋k 的对称轴为直线 x＝－1. ∵抛物线 y＝(x＋1)2＋k 过点 C(0，－3)， 则－3＝(0＋1)2＋k, ∴k＝－4. (2)如图 D6，根据两点之间线段最短可知，当 P 点在线段 AC 上就可使PA ＋PC 的值最小，又因为点P 要在对称轴上，所 以 P 点应为线段 AC 与对称轴直线 x＝－1 的交点．
九年级数学下册 第二章 二次函数章末小结与提升课件 (
所以函数图象与y轴的交点坐标为( 0,10 ).
【针对训练】
1.某二次函数的最大值为 2,图象的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象
经过点( 2,1 ),则这个二次函数的表达式为 y=-x2+2x+1 .
2.( 黄石中考 )已知抛物线 y=a( x-1 )2 过点( 3,1 ),D 为抛物线的
������
<
-
������ 2������
时,������随������的增大而增大
二次函数的表达式:待定系数法 二者关系
二次函数与一元二次方程 利用图象解方程
最大面积问题 二次函数与实际问题 最大利润问题
其他问题
类型 1 二次函数的图象与性质 典例 1 ( 齐齐哈尔中考 )如图,抛物线 y=ax2+bx+c( a≠0 )
章末小结与提升
二次函数描述的关系 实际问题 二次Байду номын сангаас数概念
二次函数������ 上、下平移|������|个单位长度: ������ = ������������2 + ������
= ������������2的平移 左、右平移|ℎ|个单位长度:������ = ������( ������-ℎ )2 上、下平移|������|个单位长度,左、右平移|ℎ|个单位长度:������ = ������( ������-ℎ )2 + ������
二次函数������ = ������������2 + ������������
+ ������的图象及性质
开口方向:������ > 0,开口向上;������ < 0,开口向下
第26章二次函数总结提升PPT课件(华师大版)
本章总结提升
[解析] (1)由题意知,若观光车能全部租出,则 0<x≤100,由
50x-1100>0,解得 x>22.
又∵x 是 5 的倍数,
∴每辆车的日租金至少应为 25 元.
(2)设每天的净收入为 y 元.
当 0<x≤100 时,y1=50x-1100.
对称轴在 y 轴右侧
本章总结提升
2
y=ax +bx+c(a≠0)
字母的符号
图象的特征
c=0
经过原点
c>0
与 y 轴正半轴相交
c<0
与 y 轴负半轴相交
2
b -4ac=0
与 x 轴有唯一交点(顶点)
2
与 x 轴有两个不同的交点
2
与 x 轴没有交点
c
2
b -4ac
b -4ac>0
b -4ac<0
本章总结提升
2
D.y=3(x-2) -3
本章总结提升
2
2
【归纳总结】 将抛物线 y=ax +bx+c 用配方法化成 y=a(x-h) +k 的形式,
2
2
而任意抛物线 y=a(x-h) +k 均可由抛物线 y=ax 平移得到,具体平移方法
如下:
本章总结提升
模块3 二次函数的图象与性质
二次函数的图象名称叫什么?二次函数的性质包括哪几个方面?
一元二次方程的一般情势是什么?从情势上看,它与二次函数
的一般式有什么异同?它们之间又有什么联系?
2
例 7 已知二次函数 y=x -3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点
2025年湘教版九年级下册数学第1章全章整合与提升
全章整合与提升
12．某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关 部门规定，其销售单价不低于进价，且不高于进价的 1.5倍．通过分析销售情况，发现每天的销售量y(件)与 销售单价x(元)满足一次函数关系，且当x＝15时，y＝ 50；当x＝17时，y＝30.
全章整合与提升
(1)求y与x之间的函数表达式；
数为( B )
A．3
B．2
C．1
D．0
全章整合与提升
17．[2024·淄博二模]若函数y＝(m＋1)x2－3x＋2的图象与x 轴只有一个交点，则m的值为_－__1_或__18__．
第1章 二次函数 全章整合与提升
习题链接
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14
6 y＝2(x＋1)2－2 11 B
2B
7 (1，－3)
12
3
8
13 C
4D
9 ①②③
14 D
5 y2>y1 10 x1＝1，x2＝3 15
答案呈现
16 B 17
全章整合与提升
1．若函数y＝(a＋4)x|a|－2＋5x－8是二次函数，则a的值为 ______4______．
全章整合与提升
10．已知二次函数y＝ax2－4ax＋t(a≠0)的图象与x轴的一个 交点为(1，0)，则方程ax2－4ax＋t＝0的解为 ___x_1_＝__1_，__x2_＝__3____．
全章整合与提升
11．已知一次函数 y1＝ax＋c 和反比例函数 y2＝bx的图象如图 所示，则二次函数 y3＝ax2＋bx＋c 的大致图象是( B )
全章整合与提升
2．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数 y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的 图象可能是( B )
九年级培优专题(三)二次函数整合提升全省一等奖公开课PPT
4．抛物线 y＝2x2－5x＋3 与坐标轴的交点共有_______3个．
5．已知关于 x 的函数 y＝ax2＋x＋1(a 为常数)． (1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点，求 a 的值；
(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x 轴上方，求 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝0 时，函数为 y＝x＋1，它的图象显然与 x 轴 只有一个交点(－1,0)．
－32，－145.
方法二： 如图D6，过点 M 作 MH⊥x 轴于点H，交直线AC 于点N， 连接 AM，MC，CB. 点 M 在抛物线上，且在第三象限，设点 M 的坐标为(x， x2＋2x－3)，则点 N 的坐标为(x，－x－3)． 则|MN|＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x. 则 S四边形AMCB＝S△ABC＋S△AMC
1＋a a
.
∴CD＝1a＋a .
∴S1－S2＝S△PCD－S△PAB＝S△ACD－S△CAB ＝12×CD×OC－12×AB×OC ＝12×1＋2 a×1－12×1－a a×1＝1.
∴S1－S2 为常数，这个常数为 1.
【跟踪训练】
．如图 22-3，抛物线 y＝x2＋bx＋c 的顶
点为 D(－1，－4)，与 y 轴交于点 C(0，－3)，
－b2＝－1， 解：(1)由题意，得4c－4 b2＝－4.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解得 b＝2，c＝－3，
则抛物线解析式为＝x2＋2x－3. (2)结合图形，抛物线 y＝x2＋2x－3，与 x 轴的交点为(1,0)， (－3,0)，
由题意，点 A(－3,0)，∴AC＝ 9＋9＝3 2，CD＝ 1＋1＝ 2，AD＝ 4＋16＝2 5，
九年级数学培优专题训练（三） 二次函数整合提升
九年级数学上二次函数章末整合提升训练专训1利用二次函数解决问题的四种类型浙教
(2)当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？ 并求该三角形面积的最小值．
＝－54，c＝5.故抛物线的表达式为 y＝－54x2＋5.当 x＝1 时，y＝145； 当 x＝32时，y＝3156.故1，145，32，3156两点在抛物线上． 当竖直摆放 5 个圆柱形桶时，桶高为 0.3×5＝1.5＝32(米)． ∵32＜145且32＜1365，∴网球不能落入桶内．
(2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时，网球可以落入桶内？
解：∵AB＝x m，∴BC＝(24 －3x) m，此时S＝x(24－3x) ＝－3x2＋24x.
(2)如果围成面积为45 m2的鸡舍，AB的长是多少米？
解：由已知得－3x2＋24x＝45，整理可得 x2－8x＋15＝0.解得 x1＝5，x2＝3. ∵0＜24－3x≤10，得134≤x＜8， ∴x2＝3 不符合题意，故 AB＝5 m.
－S△ CDF－S△ ADG＝12(AG＋FC)·FG－12FC·FD－12DG·AG ＝12(y＋y＋2)×4－12(y＋2)·x－12(4－x)·y＝2y－x＋4.
将 y＝－12x2＋52x－2 代入，得 S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x －2)2＋4，当 x＝2 时，y＝1，此时 S△ACD 最大，最大值为 4.∴ D(2，1)．∵S△ACD＝12AC·DE，AC＝2 5，∴当△ ACD 的面积最 大时，高 DE 最大，则 DE 的最大值为1 4 ＝1 4 ＝4 55.∴当
2023年人教版九年级上册数学第二十二章二次函数章末小结与提升
章末小结与提升
(3)已知点(1，y1)和(2，y2)在函数的图象上， 且y1＜y2，求a的取值范围． 解：(3)易知y2＝a2＋a－2，y1＝a2＋3a，且y1＜y2， ∴y2－y1＝a2＋a－2－a2－3a＝－2－2a＞0， ∴a＜－1．
-6-
章末小结与提升
考点2 待定系数法求二次函数解析式 5．已知一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝ －1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5．这个二次函 数的解析式是 y＝4x2＋3x－5 ．
-10-
章末小结与提升
考点4 二次函数的实际应用 8．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒， 经过t秒时球的高度为h米，h和t满足关系式：h＝
v0t－12gt2(v0表示球弹起时的速度，g表示重力加速 度，取g＝10米/秒2)，则球的高度不低于3米的持续 时间是( A ) A．0.4秒 B．0.6秒 C．0.8秒 D．1秒
-7-
章末小结与提升
考点3 二次函数与一元二次方程的关系 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数) 的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝m有实数根 的条件是( A )
A．m≥－4 C．m≥5
B．m≥0 D．m≥6
-8-
章末小结与提升
7．已知抛物线y＝x2－(m＋1)x＋m． (1)求证：无论m为何值，抛物线与x轴必有交点； (2)若该抛物线与直线y＝－x的两个交点的横坐标 分别是x1，x2，且x12＋mx2＝6，求m的值． 解：(1)∵Δ＝[－(m＋1)]2－4m＝m2＋2m＋1－4m ＝(m－1)2≥0， ∴无论m为何值，抛物线与x轴必有交点．
-9-
章末小结与提升
(2)由题意，令x2－(m＋1)x＋m＝－x，
人教版-数学-九年级下册-第二十六章 二次函数全章总结提升
第26章二次函数全章总结提升◆本章总结归纳（一）知识框架（二）重点难点突破1．函数图象的理解与应用易错点：函数图象的意义认识不表，它的性质、特征与函数图象联系不上，不能达到数形互助；突破点：加强对函数图象中点的坐标的意义认识，分析各点的坐标，理解y随x的变化情况，从而达到能直接根据图象说出二次函数的有关性质。
（如：增减性、极值、对称轴等）理解,,a b c的值对抛物线2y ax bx c=++的影响，提高解题效率2.抛物线2y ax bx c=++的特征与,,a b c符号：,,a b c决定开口方向0,0,aa>⎧⎨<⎩开口向上;开口向下.,,a b c与b决定对称轴位置,,a ba b⎧⎨⎩同号,在轴左侧;异号,在轴右侧.c决定抛物线与y轴交点的位置0,0,0,ccc>⎧⎪=⎨⎪<⎩交点在y轴的正半轴上;交点在原点;交点在y轴的负半轴上.易错点：以上关系不清楚，导致做题盲目，出错。
突破点：数形结合，变式训练，特别是,,a b c 与b 一走决定对称轴位置的理解与判定。
3．解析式之间的转化与解析式的求法。
易错点：①将2y ax bx c =++化成顶点式224()24b ac b y a x a a -=++ ②用待定系数法求解时，不能根据不同条件恰当地选取解析式。
突破点：①强调配方的步骤、配方的规律，注意恒等变形与检验。
②比较不同形式的解析式的优劣，应用的环境，加强对顶点式、交点式的理解，并能正确运用。
4．抛物线的平移规律，表达式的变化。
易错点：抛物线的移动，对解析式变化理解不透，不同方向的移动，到底是加还是减判断不清。
突破点：抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减。
5．抛物线与x 轴交点情况。
易错点：此类题综合性较大，对应关系不很明确，隐含条件较多，极易出错。
突破点：抛物线与x 轴交点横坐标就是相应一元二次方程的两根，把交点的个数转化为方程。
根的个数，把交点位置转化为方程根的正负，多加练习，方可过关。
人教九年级数学上册《二次函数》本章总结提升课件
本章总结提升
► 探究问题四 二次函数的实际应用
例4 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每 天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10 元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天 支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高 于340元.设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）.
图 22－T－4 ∵四边形 ACNM 是平行四边形，∴CN∥x 轴， ∴点 C 与点 N 关于对称轴 x＝2 对称. ∵点 C 的坐标为0，－52， ∴点 N 的坐标为4，－52.
本章总结提升
（ii）当存在的点 N′在 x 轴上方时，如图 22－T－4 所示，
作 N′H⊥x 轴于点 H，
∵四边形 ACM′N′是平行四边形，
∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO，
∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，∴N′H＝OC＝52，
即 N′点的纵坐标为52，∴12x2－2x－52＝52，
解得 x1＝2＋ 14，x2＝2－ 14.
∴点 N′的坐标为2－
14，52和2＋
14，52.
综上所述，满足题目条件的点 N 共有三个，分别为4，－52，
本章总结提升
（2）∵点 A 的坐标为（－4，0），∴AO＝4. 设点 P 到 x 轴的距离为 h，则 S△AOP＝12×4h＝8，解得 h＝ 4. ①当点 P 在 x 轴上方时，－x2－4x＝4， 解得 x＝－2， 所以点 P 的坐标为（－2，4）； ②当点 P 在 x 轴下方时，－x2－4x＝－4， 解得 x1＝－2＋2 2，x2＝－2－2 2， 所以点 P 的坐标为（－2＋2 2，－4）或（－2－2 2， －4）. 综上所述，点 P 的坐标为（－2，4）或（－2＋2 2，－4） 或（－2－2 2，－4）.
九年级数学上册第一章二次函数章末总结提升2课件新版浙教版
第2题图
3．2017·咸宁中考如图所示，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)， B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是__x_＜__－__1_或__x_＞__4____． 4．如图所示，P是抛物线y＝2(x－2)2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别
(2)如图2，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养
室长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
变式图
探究点 六
二次函数与几何知识的结合应用
D
变式 【2017·安顺中考】如图所示，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、 点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三 角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（例6图） 变式图
探究点 六
二次函数与几何知识的结合应用
章末提升训练
1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作
探究点 五
二次函数与方程、不等式的关联性函
【例5】小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚横截面为抛物线，有关数据如图所示，
已知小燕的身高1.40米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围有____6____米．
（例5图）
变式 【2017·绍兴中考】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计 划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)． (1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
第1章 二次函数 章末总结提升
第1章二次函数章末总结提升AB 的下方，并且在3＜x ＜4这一段位于直线AB 的上方，则该抛物线的解析式为__y ＝2x 2－4x －2__．(2)抛物线的图象在－1<x<0这一段位于x 轴的下方，在3<x<4这一段位于x 轴的上方，求m 的值．【解析】 (1)y ＝2x 2－4x －2(2)由(1)可得对称轴为直线x ＝1，由抛物线的轴对称性得，当－1＜x ＜0这一段位于x 轴的下方，则在2＜x ＜3这一段位于x 轴的下方， 所以，抛物线过点(3，0)，代入，求得m ＝23. , 探究点 2 二次函数的增减性)【例2】 若A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫114，y 2为二次函数y ＝－x 2＋4x ＋c 图象上的两点，则y 1－y 2的值为( A )A ．正数B ．负数C ．0D ．无法确定变式图变式抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线l相交于点A(－1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N，抛物线的顶点为D.(1)写出抛物线及直线l的函数关系式：__y ＝－x2＋2x＋3与y＝x＋1__．(2)B为直线l上的任意一点，过点B作BD∥y轴交抛物线于点D，当BD随x的增大而增大时，求x的取值范围．解：(1)y＝－x2＋2x＋3与y＝x＋1(2)当点D在直线l上方时．BD＝－x2＋2x＋3－(x＋1)＝－x2＋x＋2，当x＝12时，BD最大，故－1≤x≤12，BD随x的增大而增大；当点D在直线l下方时．当x≥2时，BD随x的增大而增大．故x的取值范围为－1≤x≤12或x≥2., 探究点3二次函数数与形的结合性)例3图【例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过菱形ABOC的三个顶点A，B，C，∠BAC＝120°，则ac的值是__－23__．变式图变式如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x(s)，△ADP 的面积为y(cm2)，则能够大致反映y与x之间函数关系的图象是(B)A．B．C． D.第1题图1．已知抛物线y＝x2＋bx－3的部分图象如图所示，若y＜－3，则x的取值范围是(B) A．－1＜x＜4 B．0＜x＜2C．x＜－1或x＞4 D．x ＜0或x＞22．2019·广州中考a≠0，函数y＝ax与y＝－ax2＋a在同一直角坐标系中的大致图象可能是(D)A．B．C． D.3．2019·宁波中考抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在(A)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第4题图4．龙岩中考已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则|a－b＋c|＋|2a＋b|＝(D) A．a＋b B．a－2b C．a －b D．3a5．资阳中考已知二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)，B(x1＋n，m)两点，则m，n的关系为(D)A．m＝12n B．m＝1 4nC．m＝12n2D．m＝14n26．已知抛物线y＝－(x－a)2＋a＋2，当a 取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是__y＝x＋2__．抛物线与y轴交点为C，当－1≤a ≤2时，C 点经过的路径长为__92__． 7．2019·乐山中考已知二次函数y ＝x 2－2mx(m 为常数)，当－1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为－2，则m 的值是__－32或2__． 8．已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象上，当x 1＝1，x 2＝3时，y 1＝y 2.(1)①求m 的值；②若抛物线与x 轴只有一个公共点，求n 的值；(2)若P(a ，b 1)，Q(3，b 2)是函数图象上的两点，且b 1＞b 2，求实数a 的取值范围．解：(1)①∵当x 1＝1，x 2＝3时，y 1＝y 2， ∴1＋m ＋n ＝9＋3m ＋n ，∴m ＝－4； ②∵抛物线与x 轴只有一个公共点，∴Δ＝m 2－4n ＝0，即16－4n ＝0，∴n ＝4.(2)∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴当P(a ，b 1)，Q(3，b 2)在对称轴的右侧，则a ＞3时，b 1＞b 2；当P(a ，b 1)，Q(3，b 2)在对称轴的两侧，而当x 1＝1，x 2＝3时，y 1＝y 2，则a ＜1时，b 1＞b 2.∴实数a 的取值范围为a ＜1或a ＞3.第9题图9．2019·北京中考在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C.(1)求直线BC 的表达式；(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，与直线BC 交于点N(x 3，y 3)，若x 1<x 2<x 3，结合函数的图象，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．解：(1)由抛物线y ＝x 2－4x ＋3 与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，令y ＝0，解得x ＝1或x ＝3,∴点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)， ∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴交于点C ，令x ＝0，解得y ＝3,∴点C 的坐标为(0，3)．设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3.(2)由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x＝2, 直线l垂直轴，由图知P，Q关于直线x＝2对称．∴x1＋x2＝4.∵x1<x2<x3，∴由图可知－1<y<0，∴－1<y3<0，即－1<－x3＋3<0.即3<x3<4，∴7<x1＋x2＋x3<8,∴x1＋x2＋x3的取值范围为7<x1＋x2＋x3<8.第2课时(见A本13页), 探究点4二次函数与方程、不等式的关联性)【例4】已知，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y＝x－1的图象交于A(－2，－3)，B(1，0) 两点，则方程ax2＋(b－1)x＋c＋1＝0(a≠0)的根为(C)A．x1＝－2，x2＝－3B．x1＝1，x2＝0C．x1＝－2，x2＝1 D．x1＝－3，x2＝0变式在作二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝kx＋m的图象时，先列表如下：x …－10 1 2 3 …y1…0 －3－4－30 …y2…0 2 4 6 8 …请你根据表格信息回答问题：当y1＞y2时，自变量x的取值范围是__x<－1或x>5__．, 探究点5二次函数与生活实际的结合应用)【例5】 小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚横截面为抛物线，有关数据如图所示，已知小燕的身高1.40米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围有__6__米．例5图变式 2019·绍兴中考某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m ．设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m 2)．(1)如图1，问饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大？(2)如图2，现要求在图中所示位置留2 m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2 m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．变式图解：(1)∵y ＝x·50－x 2＝－12(x －25)2＋6252， ∴当x ＝25时，占地面积最大，即饲养室长x 为25 m 时，占地面积y 最大．(2)∵y ＝x·50－（x －2）2＝－12(x －26)2＋338，∴当x＝26时，占地面积最大，即饲养室长x为26 m时，占地面积y最大；∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．, 探究点6二次函数与几何知识的结合应用)【例6】如图所示，分别过点P i(i，0)(i＝1，2，…，n)作x轴的垂线，交y＝12x2的图象于点A i，交直线y＝12x于点B i.则1A1B1＋1A2B2＋…＋1A nB n的值为(D)例6图A.2nn＋1B．2 C.2n（n＋1）D.2n＋1变式2019·安顺中考如图所示，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A ，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．变式图解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，∴B(3，0)，C(0，3)，把B ，C 两点坐标代入抛物线解析式可得⎩⎨⎧9＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线解析式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)， 设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25，∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP ，MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2，32； ②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M(2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，32或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)． 1．如图所示，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连结BD ，则对角线BD 的最小值为__1__. 1题图第2题图2．如图所示，一张正方形纸板的边长为2 cm ，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分)．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x(cm)，四边形EFGH 的面积为y(cm 2)．则(1)y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围为__y ＝2x 2－4x ＋4(0＜x ＜2)__；(2)当x ＝__1__时，四边形EFGH 的面积的最大值为__2__(cm 2)．第3题图3．2019·咸宁中考如图所示，直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x 的不等式mx ＋n ＞ax 2＋bx ＋c 的解集是__x ＜－1或x ＞4__．第4题图4．如图所示，P 是抛物线y ＝2(x －2)2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与y ＝x 和抛物线交于A ，B.若△ABP 是以AB为斜边的等腰直角三角形，则t ＝__5±52或1或3__．5．在平面直角坐标系中，平移二次函数y ＝(x －2019)(x －2019)＋3的图象，使其与x 轴的两个交点间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是(B)A．向上平移3个单位B．向下平移3个单位C．向左平移3个单位D．向右平移3个单位第6题图6．2019·河池中考抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB＝∠ABC，求点P的坐标．解：(1)在y＝－x2＋2x＋3中，令y＝0可得0＝－x2＋2x＋3，解得x＝－1或x＝3，令x＝0可得y＝3，∴B(3，0)，C(0，3)，∴可设直线BC的解析式为y＝kx＋3，把B点坐标代入可得3k＋3＝0，解得k＝－1，∴直线BC解析式为y＝－x＋3.(2)∵OB＝OC，∴∠ABC＝45°，第6题答图∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线对称轴为直线x ＝1，设抛物线对称轴交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ，当点P 在x 轴上方时，如图，∵∠APB ＝∠ABC ＝45°，且PA ＝PB ，∴∠PBA ＝180°－45°2＝67.5°，∠DPB ＝12∠APB ＝22.5°， ∴∠PBD ＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DPB ＝∠DBP ，∴DP ＝DB ，在Rt △BDE 中，BE ＝DE ＝2，由勾股定理可求得BD ＝22，∴PE ＝2＋22，∴P(1，2＋22)；当点P 在x 轴下方时，由对称性可知P 点坐标为(1，－2－22)；综上可知P 点坐标为(1，2＋22)或(1，－2－22)．7．2019·荆州中考荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为：p ＝⎩⎪⎨⎪⎧14t ＋16（1≤t ≤40，t 为整数），－12t ＋46（41≤t ≤80，t 为整数），日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系如图所示．第7题图(1)求日销售量y 与时间t 的函数关系式；(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m(m ＜7)元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求m 的取值范围．解：(1)设解析式为y ＝kt ＋b ，将(1，198)，(80，40)代入，得⎩⎨⎧k ＋b ＝198，80k ＋b ＝40，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝200，∴y ＝－2t ＋200(1≤t ≤80，t 为整数)．(2)设日销售利润为w ，则w ＝(p －6)y ，①当1≤t ≤40时，w ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫14t ＋16－6(－2t ＋200)＝－12(t －30)2＋2450， ∴当t ＝30时，w 最大＝2450；②当41≤t ≤80时，w ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12t ＋46－6(－2t ＋200)＝(t －90)2－100，∴当t ＝41时，w 最大＝2301.∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．(3)设日销售利润为w ，根据题意，得w ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫14t ＋16－6－m (－2t ＋200)＝－12t 2＋(30＋2m)t ＋2019－200m ，其函数图象的对称轴为直线t ＝2m ＋30， ∵w 随t 的增大而增大，且1≤t ≤40， ∴由二次函数的图象及其性质可知2m ＋30≥40，解得m ≥5，又m ＜7，∴5≤m ＜7.。