2013届高三数学第一轮复习《平面向量的概念及线性运算》讲义

→ → → (1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线.
(2)如图所示，若四边形 ABCD 是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N 分别是 DC、AB 的中点， → → → → → → → 已知AB＝a，AD＝b，DC＝c，试用 a、b、c 表示BC，MN，DN＋CN. 变式迁移 2 解 → → → → BC＝BA＋AD＋DC
题型三例3
共线向量问题
设两个非零向量 a 与 b 不共线，
��
��
��
＝ AB + λ ( − AB +
��
→ → → → → → m → → 又AG＝AC＋CG＝AC＋mCF＝AC＋ (CA＋CB) 2 → m→ m ＝(1－m)AC＋ AB＝ a＋(1－m)b， 2 2
m 2 ∴ λ 1－m＝ 2
1－λ＝
2 → 1 1 ，解得λ＝m＝，∴AG＝ a＋ b. 3 3 3
1.设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， BC =16 ，| AB + AC ＝ AB − AC ，| → 则|AM|等于 A．8 1. ( B．4 C．2 ) D．1
�� 2
��
��
2．下列四个命题： ①对于实数 m 和向量 a，b，恒有 m(a－b)＝ma－mb； ②对于实数 m 和向量 a，b (m∈R)，若 ma＝mb，则 a＝b； ③若 ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则 m＝n； ④若 a＝b，b＝c，则 a＝c，其中正确命题的个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当 m＝0 时，ma＝mb＝0，但 a 与 b 不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．] 3.如图，正六边形 ABCDEF 中， BA ＋ CD ＋ EF ＝( A．0
→ → 中点，BE 与 CF 相交于 G 点，设AB＝a，AC＝b， → 试用 a，b 表示AG. 解
� �� 1 �� → → → → → �� AG＝AB＋BG＝AB＋λBE＝ AB + λ ( BA + AC ) 2 �� 1� 1 �� AC ) ＝ (பைடு நூலகம் − λ )a + b . 2 2
平面向量的概念及线性运算
自主梳理 1．向量的有关概念 (1)向量的定义：既有__大小____又有__方向____的量叫做向量．平面向量是自由向量（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头 → → 所指的方向表示向量的方向. 用字母 a，b， …或用AB，BC，…表示． (3)模：向量的__长度____叫向量的模，记作___ |a|__或__ AB __．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. (4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 0；零向量的方向是__任意的___． (5)单位向量：长度为_1 个___单位长度的向量叫做单位向量．与 a 平行的单位向量 e＝ a __± ___. |a| (6)平行向量：方向__相同___或__相反__的__非零___向量；平行向量又叫___ 共线向量 _________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0 与任一向量_平行 __．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. (7)相等向量：长度___相等___且方向__相同___的向量． 2．向量的加法运算及其几何意义 → → （1）已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作AB=a，BC=b，则 → 向量AC叫做 a 与 b 的和，记作 a＋b ， → → → AC 即 a＋b =AB+BC= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 . （2）以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边 → 作平行四边形 OACB，则以 O 为起点的对角线OA就是 a 与 b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量 .解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.
a a (5)非零向量 a 与的关系是：是 a 方向上的单位向量. |a| |a|
变式训练 1 (1)下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①|a|＝|b|⇒a＝b； ②若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ③|a|＝0⇒a＝0； ④若 a＝b，则|a|＝|b|；⑤若λ＝0，则λa＝0； → → ⑥若 A、B、C、D 是不共线的四点，则AB＝DC⇔四边形 ABCD 是平行四边形． ⑦若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点在同一个单位圆上．变式训练 1 解析 ①模相同，方向不一定相同，故①不正确； ②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确； 3 只有零向量的模才为 0，故③正确； → → ⑥④AB＝DC，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故⑥正确．故应选②③④⑤⑥⑦. (2)判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且 a 与 b 方向相同，则 a＝b； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反； (6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (7)任一向量与它的相反向量不相等. 解 (1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相
��
)
B. BE
��
C. AD
��
４．设 P 是△ABC 所在平面内的一点， BC ＋ BA ＝2 BP ，则(
��
�� D. CF
��
)
A. PA + PB ＝0 � �� C. PB ＋ PC ＝0
��
等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行 .(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)正确. 对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的. (7)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等. 二向量的线性运算例 2 在△ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB＝2GE， → → → → 设AB＝a，AC＝b，试用 a，b 表示AD，AG. 解 → 1 → → 1 1 AD＝ (AB＋AC)＝ a＋ b； 2 2 2 → → → → 2→ → 1 → → 2→ 1 → → AG＝AB＋BG＝AB＋ BE＝AB＋ (BA＋BC)＝ AB＋ (AC－AB) 3 3 3 3 1→ 1→ 1 1 ＝ AB＋ AC＝ a＋ b. 3 3 3 3
1 2
定义 a－b＝a＋__(－b) __，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量____． → → → → 图，AB＝a，，AD＝b，则AC＝ a＋b ，DB＝__ a－b ____.
4．向量数乘运算及其几何意义 (1)定义：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作__λa ____，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝___|λ||a| ___； ②当λ>0 时，λa 与 a 的方向__相同____；当λ<0 时，λa 与 a 的方向__相反______；当λ＝0 时，λa＝____. (2)运算律设λ，μ是两个实数，则 1 λ(μa)＝__(λμ)a ___.(结合律) 2 (λ＋μ)a＝__λa＋μa ___.(第一分配律) ③λ(a＋b)＝__λa＋λb ____.(第二分配律) (3)两个向量共线定理：向量 b 与 a (a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使 b＝λa. 5．重要结论 → 1→ → → PG＝ (PA ＋PB＋PC)⇔G 为△ABC 的___重心__； 3 → → → PA ＋PB＋PC＝0⇔P 为△ABC 的___重心___． 3.共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得___ b =λa _. 自我检测
��
.
(3)加法运算律 a＋b＝___ b＋a _____ (交换律)； (a＋b)＋c＝__ a＋(b＋c)__________(结合律)． 3．向量的减法及其几何意义 (1)相反向量与 a____长度相等__、____方向相反__的向量，叫做 a 的相反向量，记作__－a ____． (2)向量的减法
B. PC ＋ PA＝0 �� D. PA + PB ＋ PC ＝0
��
��
→ → → → → ５．在平行 ABCD 中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M 为 BC 的中点，则MN等于 ( ) 1 1 1 1 A．－ a＋ b B．－ a＋ b 4 4 2 2 1 3 3 C．a＋ b D．－ a＋ b 2 4 4 → → → → A [由AN＝3 NC得 4AN＝3AC＝3(a＋b)， 1 a＋ b → 1 → 3 1 1 又AM＝a＋ b，所以MN＝ (a＋b)－ 2 ＝－ a＋ b.] 2 4 4 4 �� → → → → → ６.已知△ABC 和点 M 满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数 m 使得AB＋AC＝m AM 成立，则 m 等于 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 B [由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接 AM 并延长交 BC 于 D， → 2→ 则AM＝ AD，① 3 → → → → → → 因为 AD 为中线，AB＋AC＝2AD＝mAM，即 2AD＝mAM，② 联立①②可得 m＝3.] → → → ７.在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ、 μ∈R，则λ＋μ＝______. → → 解析设AB＝a，AD＝b， → 1 → 1 → 那么AE＝ a＋b，AF＝a＋ b，又∵AC＝a＋b， 2 2 → 2 → → 2 4 AC＝ (AE＋AF)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝ . 3 3 3 例 1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； → → ③向量AB与向量CD共线，则 A、B、C、D 四点共线； ④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c. ⑤a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b. 以上命题中正确的个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．0 [①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段； ②不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果 b＝0 时，则 a 与 c 不一定平行．探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.

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高考数学一轮复习课件51平面向量的概念及线性运算

且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.
综上所述,正确命题的序号是②③.
-13-
考点1
考点2
考点3
思考你对向量的定义、相等、共线有怎样的认识?
解题心得向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和大小.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
=-x2-(x-1),∵A,B,C 三点共线,
∴-x2-(x-1)=1,即 x2+x=0,解得 x=0 或 x=-1.当 x=0 时,x2+x +
=0,此时 B,C 两点重合,不合题意,舍去.故 x=-1.
-22-
考点1
考点2
考点3
思考如何用向量的方法证明三点共线?
解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量
λa+b=k[a+(2λ-1)b].整理得 λa+b=ka+(2λk-k)b.由于 a,b 不共线,所以
= ,
1
有
整理得 2λ2-λ-1=0,解得 λ=1 或 λ=- .
2
2- = 1,
1
又因为 k<0,所以 λ<0,故 λ=- .
2
(3)∵ = − ,∴x2+x + − =0,即
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.
(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.
-14-
考点1
考点2
考点3
对点训练1给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;

高考一轮复习理科数学课件平面向量的概念及线性运算

方向角
方向角是指向量与正x轴之间的夹角，记作$theta$。方向角的取值范围是$[0, 2pi)$，其中$0$表示向量与x轴正方向相同，$pi$表示向量与x轴负方向相同。
零向量、单位向量和相反向量
零向量
零向量是模长为0的向量，记作 $vec{0}$。零向量没有方向，与
任何向量平行。
单位向量
单位向量是模长为1的向量，记作 $hat{a}$。单位向量具有确定的方向，可以用来表示其他向量的方向。
向量表示方法
向量可以用有向线段表示，也可以用字母表示，如$vec{a}$、$vec{b}$等。向量的表示方法还包括坐标表示法，即用一对有序实数表示向量的坐标。
向量模长与方向角
向量模长
向量的模长是一个非负数，表示向量的大小，记作$|vec{a}|$。对于平面直角坐标系中的向量，其模长等于坐标原点到该向量终点的距离。
= vec{0}$（零向量）。
坐标运算
若向量$a=(x,y)$，实数 $lambda$，则数乘向量 $lambda a = (lambda x,
lambda y)$。
线性组合与线性表示
线性组合
给定向量组$A: a_1, a_2, ldots, a_m$和实数$k_1, k_2, ldots, k_m$，则向量$k_1a_1 + k_2a_2 + ldots + k_ma_m$称为向量组$A$的一个线性组合。
02
平面向量线性运算
向量加法运算规则
平行四边形法则
将两个向量平移至同一起点，以这两个向量为邻边作平行四边形，则与这两个向量有共同起点的对角线向量就是这两个向量的和。
三角形法则
将两个向量平移至同一起点，首尾相接，则第三个向量（即第一个向量的起点指向第二个向量的终点）就是这两个向量的和。

高考数学一轮总复习教学课件第五章平面向量、复数第1节平面向量的概念及线性运算

→
→
→
②利用结论“若=λ+μ(λ,μ为实数),则 A,B,C 三点共线的
充要条件是λ+μ=1”来证明三点共线,但应注意此结论成立的前提条
→
→
件是“,不共线”.
[针对训练]
→
→
→
(1)已知向量 a,b 且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三
点是(
A.A,B,D
相等,与起点(终点)无关.
(3)两向量可以相等,也可以不相等,但两向量不能比较大小.向量
的模长均为实数,所以模长可以比较大小.

(4)非零向量a与 || 的关系: ||是与a同方向的单位向量.
[针对训练] 给出下列命题:
→
→
①若A,B,C,D是不共线的四点,且 = ,则四边形ABCD为平行
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.( √
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(
→
×
)
)
→
(3)向量与向量是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上.
(
)
×
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √
)
2.在平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点
k(2a-b),则有(1-2k)a+(k+λ)b=0,因为a,b是两个不共线向量,故a
- = ,
与b均不为零向量,所以
+ = ,

解得 k=,λ=-.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
平面向量的基本概念
[例1] (1)下列命题正确的是(

高考数学一轮总复习第26讲平面向量的概念及线性运算课件文新课标

二向量的线性运算
【例 2】如图所示，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、 AC 边的中点，M、N 分别是 DE、BC 的中点，已知B→C＝ a，B→D＝b，试用 a、b 分别表示D→E、C→E和M→N.
素材2
已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，P 为一动点，及O→P＝ O→A＋tA→B.
(1)|λa|= 11
;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向
当λ1<2 0时，λa的方向与a的方向
λ=013时，λa=
.
14
；；当
运算律：交换律、分配律、结合律.
4.平面向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充分必要条件
是15
.
5.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内两个16
的
向量，那么对这个平面内任一向量
1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理,平面向量一一对应实数对(x,y),任何一个平面向量都有惟一的坐标表示，但
是每一个坐标所表示的向量却不一定惟一.
也就是说，向量的坐标表示和向量不是一
一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系.即向量(x,y) 一一对应 OA
a，17
.实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
6.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y
轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，
对任一向量a，18
x、y,使得
a=xi+yj,则实数对 19 叫做向量a的直角坐标,
记作a=(x,y)，其中x、y分别叫做a在x轴、y 轴上的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.
定零向量的方向是任意的.

第一节平面向量的概念讲义--高三数学一轮复习备考

平面向量与复数第一节平面向量的概念一、课程标准1.向量概念(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．2.向量运算(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．二、知识梳理知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01.对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制．知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a ＋b ＝ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝；当λ>0时，λa 的方向与a 的方向；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝；λ(a ＋b )＝知识点三共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得．知识点四平面向量的数量积 1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是θ＝0或θ＝π⇔ ，⇔a ⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .2．平面向量的数量积 (1)投影向量①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则＝(|a |cos θ)e .两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律①a ·b ＝；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝；③(a ＋b )·c ＝．• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．三、基础自测1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．33．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．05．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →＝________(用a ，b 表示).四、核心题型题型一平面向量的有关概念及线性运算例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )A .|a |＝|b |＝1B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b同向时，a ＝b（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →＝( )A ．56 AB → －43 AC → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →D ．43AB → ＋56AC →题型二平面向量共线定理的应用例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )A ．5B ．3C ．52 D ．2(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．B ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23题型三平面向量的数量积及应用例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →＝2NA → ，则BC → ·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a 在向量e 上的投影向量．(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．五、变式训练1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．42..设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．44.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．4六、作业一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。

高考数学一轮复习第五章第一讲平面向量的概念及线性运算课件

②试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线.
(1)①证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b). ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝ 5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线. ∵它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线.
D.若四边形 ABCD 满足A→B＝D→C，则四边形 ABCD 是平行四边形
解析：平行向量即共线向量，故 A 错误；A→B与B→A为相反向量，所以模相等，故 B 正确；|AA→ →BB|是与非零向量A→B共线的单位向量，C 正确；A→B＝D→C，所以A→B∥D→C且|A→B|∥|D→C|，则四边形 ABCD 是平行四边形，D 正确.故选 BCD.
(4)向量加法的多边形法则多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，如图 5-1-1，首尾顺次连接，a＋b＋c 表示从始点指向终点的向量，即O→A＋A→B＋ B→C＝O→C.
图 5-1-1
考点一平面向量的概念
1.(多选题)(2023 年广东省月考)下列说法正确的是( ) A.平行向量不一定是共线向量 B.向量A→B的长度与向量B→A的长度相等 C.|AA→→BB|是与非零向量A→B共线的单位向量
设A→E＝λA→C＋μB→F，
因为A→C＝A→D＋D→C，
A→E＝12(A→C＋A→B)＝12A→D＋32D→C， B→F＝B→A＋A→D＋D→F＝A→D－32D→C，
图 5-1-2
所以A→E＝12A→D＋32D→C＝λ(A→D＋D→C)＋μA→D－32D→C，
即12A→D＋23D→C＝(λ＋μ)A→D＋λ－32μD→C，
亦可用口诀“减数指向被减数”运算. (2)在小题中遇到线段的等分点时，可直接用等和线定理运算.

高三数学一轮复习优质课件1：5.1 平面向量的概念及线性运算

②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；
③向量A→B与向量C→D共线，则 A、B、C、D 四点共线；
④如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c.
以上命题中正确的个数为( D )
A．1
B．2
C．3
D．0
[解析] ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若 a 与 b 中有一个 ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
④不正确，如果 b＝0 时，则 a 与 c 不一定平行．
[规律方法] 对于向量的概念应注意以下几条： (1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示； (2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；
(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．
线向量，规定：0 与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向___相__同_____的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向__相___反_____的向量．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝ ___b_＋__a____ ；结
合律：(a＋b)＋c ＝__a_＋__(b_＋__c_)_
则 a∥b；④若 a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知 O，A，B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，
满足 2 A→C＋C→B＝0，则O→C等于( A )
A．2 O→A－O→B

高考数学一轮复习规划5.1平面向量的概念及线性运算课件

零向量
长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0
单位向量
长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位向量
平行向量(共线向量)
相等向量相反向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记作－a
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第五章平面向量与复数
(2)【多选题】(2021 届海南华侨中学高三第一次月考)如图，在梯形 ABDC 中，AB∥CD，|AB| ＝2|CD|，AD 与 BC 相交于点 O，则下列结论正确的是 ( )
A. A→D－A→C＝12A→B C. |O→A＋2O→D|＝0
B. A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0 D. O→A＝23D→C＋13D→B
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第五章平面向量与复数
1. 向量的有关概念
名称
定义
向量
在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量
有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母 a，b，c，… 表示
向量的模
向
量
→ AB
的
大
小
称
为
向
量 A→B
的
长
度
(
或
称
模)，记作|A→B|
5. 线性运算重要结论 (1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O→P＝12(O→A＋O→B). (2)若 G 为△ABC 的重心，则G→A＋G→B＋G→C＝0. (3)若O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ为实数)，则点 A，B，C 共线的充要条件是 λ＋μ＝1.

高三理数一轮讲义：5.1-平面向量的概念及线性运算

第1节平面向量的概念及线性运算最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . [微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP→＝12(OA →＋OB →). 基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)向量AB→与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( )(4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( )2.(必修4P78A6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等.则所有正确命题的序号是( )A.①B.③C.①③D.①②3.(必修4P92A12改编)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( ) A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →OC→＝c ，4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC →＝3BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，则下列等式中成立的是( ) A.c ＝32b －12a B.c ＝2b －a C.c ＝2a －bD.c ＝32a －12b5.(2018·长沙检测)若四边形ABCD 满足AD→＝12BC →且|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 的形状是( ) A.等腰梯形 B.矩形 C.正方形D.菱形6.(2019·西安调研)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.考点一平面向量的概念【例1】 (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B.a ∥b C.a ＝－13bD.a ⊥b(2)给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.①②C.③④D.②④规律方法对于向量的有关概念应注意以下几点：(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性. (2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量.【训练1】 (1)如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( ) A.AD →＝BC → B.AC →＝BD → C.PE→＝PF →D.EP→＝PF → (2)给出下列说法：①非零向量a 与b 同向是a ＝b 的必要不充分条件； ②若AB→与BC →共线，则A ，B ，C 三点在同一条直线上； ③a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与－b 反向； ④设λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误说法的序号是________. 考点二平面向量的线性运算多维探究角度1 向量的线性运算【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →角度2 利用向量线性运算求参数【例2－2】 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( ) A.1B.34C.23D.12(2)在锐角△ABC 中，CM→＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x y ＝________.规律方法 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【训练2】 (1)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( ) A.a －12bB.12a －b C.a ＋12bD.12a ＋b(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. 考点三共线向量定理及其应用【例3】设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.规律方法 1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.2.向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立.【训练3】 (1)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A.λ＋μ＝2 B.λ－μ＝1 C.λμ＝－1D.λμ＝1(2)(一题多解)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( ) A.{0} B.∅ C.{－1}D.{0，－1}[思维升华]1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”. 2.三个常用结论(1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA→＋OB →＋OC →＝0； (2)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB→＋DC →＝2EF →；(3)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B共线⇔x ＋y ＝1.注意向量共线与三点共线的区别. [易错防范]1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.已知下列各式：①AB→＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC→＋BD →－CD →，其中结果为零向量的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE→ C.AD→ D.CF→ 3.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a4.已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A.A ，B ，CB.A ，B ，DC.B ，C ，DD.A ，C ，D5.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.BC→ B.12AD → C.AD → D.12BC → 6.(2019·唐山二模)已知O 是正方形ABCD 的中心.若DO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ＝( ) A.－2B.－12C.－ 2D. 27.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A.1B.2C.3D.48.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC→＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 二、填空题9.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个.10.设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.11.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝________. 12.(2018·清华大学自主招生能力测试)设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC→＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为________. 能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上14.(2019·孝感二模)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA →＋2EB →＋3FC →＝( ) A.12AD → B.32AD →C.12AC →D.32AC →15.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.16.(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________.。

2013届高考数学一轮复习讲义：第五章 5[1].1 平面向量的概念及线性运算

探究提高
(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ1，λ2，使 λ1a＋λ2b＝ 0 成立，若 λ1a＋λ2b＝0，当且仅当 λ1＝λ2＝0 时成立，则向量 a、 b 不共线．
→ ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. → → ∴AB、BD共线，又∵它们有公共点 B，
∴A、B、D 三点共线．
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(2)解
∵ka＋b 与 a＋kb 共线，
∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即 ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a、b 是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝± 1.
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规范解答 → 解设OM＝ma＋nb， → → → 则AM＝OM－OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. 1 → → → 1→ → AD＝OD－OA＝ OB－OA＝－a＋ b. 2 2 → → 又∵A、M、D 三点共线，∴AM与AD共线． → → ∴存在实数 t，使得AM＝tAD， 1 即(m－1)a＋nb＝t－a＋2b.
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变式训练 1
判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； (2)若|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且 a 与 b 方向相同，则 a＝b； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反； → → (6)若向量AB与向量CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等．

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