流体力学第七章(旋转流体动力学)

U T 1 T
dV 1 2 g p V 2k V dt
U2 L
U L
0 2 L2 0 L
L U
g
U 2 L
U
g U

L
2
1
19
旋转流体运动的无量纲方程
L 1 1 V U g 2 (V )V ( p) g 2 V 2k V T t L U U L
重力加速度特征量：
密度特征量：
g
0
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旋转参考系的自转角速度特征量：
特征压力差可以取两种不同的尺度：
0U 、0 L
2
2 2
考虑到讨论 有效尺度
U / L 1的极限情形，通常选取最大 2 2 作为压力差的尺度。 0 L
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二、旋转流体运动的无量纲方程
V 1 2 (V )V p g V 2k V t
无量纲方程为：
1 1 L V 1 2 R0 (V )V p g Ek V 2k V Fr UT t R0
为了突出旋转流体的主要特征，下面着重讨论偏向力有重 要作用的流体运动，此时，偏向力项远远大于运动的惯性 项和粘性项。
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此时，无量纲方程变为：
1 1 1 0 p g 2k V R0 Fr
即：
1 1 1 2k V p Fr g R0
28
1 1 1 2k V p Fr g R0




10
d aVa dV 2 V ( r) dt dt

( r) R ( )
d aVa dV 2 2 V R dt dt
2 R
R
r
11
2V
2k V
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②地转偏向力的出现，完全是由于旋转参考系下观测 流体运动所产生的旋转效应。当坐标不旋转时，惯性 离心力和偏向力均不出现，运动方程退化为N-S方程 在地球物理流体力学或大气动力学中，流体运动方 程大多数是采用旋转流体运动方程的（除小尺度运动 外）。但必须注意：旋转效应与流体运动的尺度密切 相关。
方程进一步处理：
考虑压力梯度力项（两种情况）： ①假设流体不可压： 1 p 常数 p ( ) ②正压流体：
f ( p)

f ( p)
1 1 p p F ( p) f ( p)
可见：上述两种情况下均可将流体的压力梯度项表示为 某函数的梯度G( ' , p' ) 。
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万有引力（地心引力）与惯性离心力 合成重力项，于是：
F g
2 R
dV 1 2 g p V 2V dt
旋转流体力学运动方程
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地转偏向力的讨论：
①引进了旋转坐标系之后或者说考虑了地球的旋转效 应之后，出现了地转偏向力（或称柯氏力）。地转偏 向力与流速相垂直，且它只改变流速的方向，并不改 变流速矢量的大小；沿着流向观测，对于地球流体运 动而言，地转偏向力使流体向右偏转（北半球）。
考虑不可压缩粘性流体的运动方程：
dV 1 2 F p V dt d aVa dV 2 2 V R dt dt dV 1 2 2 F p V 2 V R dt 偏向力 惯性离心力
① ② ①、③＝0 ②＝0 ③
由于是 k 常矢量，
而由不可压性可知， V 0
于是： (k V ) (k )V 0
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最后有： (k )V 0 V / z 0 通常取 V ui vj wk
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1 1 L V 1 2 R0 (V )V p g Ek V 2k V Fr UT t R0
假定流体运动满足：强旋转效应 RO 1 或者RO 0（即 Rossby 数很小）；
U L V 1 1 g 2 (V )V p 2 L g L2 V 2k V U L UT t L
RO
1/Fr
Ek
1 1 L V 1 2 R0 (V )V p g Ek V 2k V Fr UT t R0
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1 1 1 2k V p Fr g R0
1 g 重力项： Fr
考虑 （有势力）
g gg,
g 1
1 1 z g ( k ) Fr Fr Fr
30
无量纲方程
1 1 1 2k V p Fr g R0
R0 Ek 0 Re 1 L V R0 (V )V UT t R0
1 1 2 p g Ek V 2k V Fr
同时要求： RO L/UT 0 （即要求T很大，1/T 0，即 对应准定常缓慢运动）。 1 1 L V 1 2 R0 (V )V p g Ek V 2k V Fr UT t R0
①流体不可压 或者 ②正压流体
重力为有势力
方程变为： 2k V 1 G( ' , p' ) z R0 Fr
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1 z ' ' 2k V G( , p ) Fr R0
梯度取旋度为零
对上式取旋度 (k V ) 0
32
(k V ) 0
根据矢量运算法则
(k V ) (V )k (k )V k( ) V ( k) V
1
低压
高压
2
低压
高压
3
本章将主要介绍考虑地球旋转效应下的流体运动 主要内容 第一节 旋转参考系中的流体运动方程 第二节 旋转流体的无量纲方程和 Rossby 数 第三节 普鲁德曼—泰勒定理 第四节 地转流动
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第一节 旋转参考系中的流体运动方程
惯性坐标系与旋转坐标系中的运动速度之间满足：
绝对速度
第七章
旋转流体动力学
前面讨论的流体运动，是在惯性坐标系下进行的，并没有 考虑地球的旋转效应。 地球自身以一定速度自转，而地球的旋转效应，将会对地 球大气、海洋等流体的运动产生很显著的影响。 假设考虑流体运动的参考系，本身是以一定的角速度绕轴 转动的；那么，这种参考系称为旋转参考系，而相对于旋转参 考系的流体运动则称之为旋转流体运动。大多数的地球物理流 体力学所关心的大量问题均属于旋转流体动力学问题。
d aVa Fi dt i
以下分析得出适用于描述旋转流体的运动方程。
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d aVa dVa Va dt dt daVa d V r V r dt dt d aVa dV 2 V ( r ) dt dt
Va V Ve
相对速度
牵连速度
牵连速度：
Ve r
5
Va V Ve
引进微分算子：
d a r dr r dt dt
速度---矢径随时间的变化
da d dt dt
① ② ③
①绝对变化项 ②相对变化项 ③牵连变化项

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第二节 旋转流体的无量纲方程和Rossby数
为了进一步研究旋转流体运动的特征，通常需要对旋转 流体运动方程进行分析和简化。 本节将导出旋转流体运动的无量纲方程，为旋转流体运 动方程的分析和简化提供依据，并介绍旋转流体力学中 常用到的特征Rossby数。
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一、选取特征尺度（特征值） 首先选取进行尺度分析所需的各物理量的特征尺度： 特征长度尺度： 特征速度尺度： 特征时间尺度： L U T
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第三节
普鲁德曼－泰勒定理
旋转与非旋转流体动力学的本质差别在于偏向力的作用。
普鲁德曼--泰勒定理：不可压或正压流体，在有势力 作用下的准定常缓慢运动，由于强旋转效应，其速度 将与垂直坐标无关，流动趋于两维化（流动是水平、 二维的）。
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dV 1 2 p g V 2 V 旋转流体运动方程： dt
特征惯性力 U 2 / L UL Re 2 特征粘性力 U/L
Ek R0 Re
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3.旋转流体的弗雷德数
旋转惯性力 (L) 2 / L 2 L Fr 重力 g g
反映了旋转流体中旋转作用和重力作用的相对重要性
一般流体的弗雷德数
特征惯性力 U 2 / L Fr 特征重力 g
实际应用中：
大尺度运动（L大），流速缓慢（U小）， RO 1，旋转效应重要，采 用旋转流体运动方程； 中小尺度运动，流速快， RO 1，可以不考虑地球的旋转效应，采用 一般的流体运动方程。
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2.埃克曼数
特征粘性力 U / L2 Ek 特征偏向力 U L2
反映了旋转流体中粘性的相对重要性
于是有： u / z v / z w / z 0 流体运动不随高度变化。
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u / z v / z w / z 0
进一步考虑下边界平坦时，边界条件为：z 0, w 0